Aula_04 E D - Eq Lineares Não Homogêneas (Stewart 17 2)

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EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS
Vamos resolver equações da forma:
SOLUÇÃO:
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EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS
Método dos Coeficientes Indeterminados:
 É mais simples, mas funciona apenas para uma classe 
restrita de funções 𝐺;
Método da Variação dos Parâmetros:
 Funciona para todas as funções 𝐺, mas é mais difícil de 
aplicar;
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MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
𝑮 𝒙 é um Polinômio:
1) Avaliar o grau do polinômio 𝐺 𝑥 ;
2) Escrever a forma do polinômio (Ex.: Grau 1: 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵);
3) Derivar 𝑦 e substituir na E.D.;
4) Igualar os coeficientes do lado esquerdo e direito;
5) Substituir os coeficientes em 𝑦𝑝.
Polinômios de mesmo grau
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MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Exemplo:
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MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Exercício:
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MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
𝑮 𝒙 é da forma 𝑪𝒆𝒌𝒙:
1) Encontrar a constante 𝑘;
2) Derivar 𝑦𝑝 = 𝐴𝑒
𝑘𝑥 e substituir na E.D.;
3) Igualar os coeficientes do lado esquerdo e direito;
4) Substituir o coeficiente 𝐴 em 𝑦𝑝.
Solução da mesma forma pois as derivadas de 𝑒𝑘𝑡 são 
múltiplas por constantes de 𝑒𝑘𝑡
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MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Exemplo:
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MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Exercício:
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MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
𝑮 𝒙 é da forma 𝑪𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒙 ou 𝑪𝒔𝒆𝒏(𝒌𝒙):
1) Encontrar o valor de 𝑘;
2) Derivar 𝑦𝑝 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) e substituir na E.D.;
3) Igualar os coeficientes do lado esquerdo e direito;
4) Substituir o coeficiente 𝐴 e 𝐵 em 𝑦𝑝.
Por causa das regras de derivação 
das funções 𝑠𝑒𝑛 e cos
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MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Exemplo:
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MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Exercício:
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MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
𝑮 𝒙 for um PRODUTO de funções:
Exemplo:
Tentamos a solução como um produto de 
funções do mesmo tipo
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MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
𝑮 𝒙 for uma SOMA de funções:
Usamos o princípio da superposição
1
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MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Exemplo:
1 2
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MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Exemplo:
1 2
2
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MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Quando 𝒚𝒑 = 𝒚𝒄:
multiplicamos a solução tentativa recomendada 
por 𝑥 (ou por 𝑥2 se necessário) 
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MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Exemplo:
=
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MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Exemplo:
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MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Exemplo:
=
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MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
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EXERCÍCIOS
Exercícios 1 ao 10 do capítulo 17.2 do Stewart Volume 2, 7ª
edição (Página 1032).
1. STEWART, J. Cálculo, vol. II, 7 ed., Cengage Learning.
2. BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Equações
Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de
Contorno. 7.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
3. PINTO, Diomara; MORGADO, Maria Cândida Ferreira.
Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias
Variáveis. 3.ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS