01 - P A e P G (80 questões)

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“É melhor lançar-se à luta em busca do triunfo, mesmo expondo-se ao insucesso, do que ficar na fila dos pobres de espírito, que nem gozam muito nem
sofrem muito, por viverem nessa penumbra cinzenta de não conhecer vitória e nem derrota.”
Franklin D. Roosevelt
P.A. e P.G.
Questões EEAR
SEQUÊNCIAS, PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E
GEOMÉTRICAS
(EEAR-2000) Questão 1.
As seqüências (x, 3, y), e (y,
√
5, x), são, respectivamente, progressões arit-
mética e geométrica. Se a progressão aritmética é crescente, a razão da pro-
gressão geométrica é:
(a)
√
5
5
(b)
2
√
5
5
(c)
√
5
(d) 2
√
5
(EEAR-2000) Questão 2.
Sejam a, b e c termos consecutivos de uma PG, todos positivos. Se a < b < c
e a = m − 1, b = m + 5 e c = 11m − 1, então o valor de a + b + c é:
(a) 40
(b) 42
(c) 44
(d) 46
(EEAR-2001) Questão 3.
O valor de mercado de um automóvel é alterado a cada mês com um acrés-
cimo de 1% em relação ao mês anterior. A seqüência de valores do automóvel,
a cada mês, forma uma progressão:
(a) aritmética de razão 0, 1.
(b) aritmética de razão 0, 01.
(c) geométrica de razão 1, 1.
(d) geométrica de razão 1, 01.
(EEAR-2001) Questão 4.
Na sequência (1, 1, 2, 3, . . .), onde an+1 = an + an−1, o nono termo é:
(a) 34
(b) 21
(c) 43
(d) 28
(EEAR-2001) Questão 5.
Numa progressão geométrica de 6 termos positivos, a soma de a2 e a4 é 6,
e a soma de a4 e a6 é 12. A razão dessa P.G. é
(a) 2
(b)
√
2
(c) −
√
2
(d) −2
(EEAR-2001) Questão 6.
Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 10x − 9y, o último termo
é y, e a razão é y − x. Sendo x 6= y, o número de termos dessa P.A. é
(a) 8
(b) 9
(c) 10
(d) 11
(EEAR-2001) Questão 7.
Tanto numa P.A. quanto numa P.G., os números 3 e 243 são, respectiva-
mente, a razão e o 6o termo. O produto do 1o termo da P.G. pelo 3o termo
da P.A. é
(a) 702
(b) 693
(c) 234
(d) 231
(EEAR-2002) Questão 8.
A soma dos vinte primeiros termos da PA cujo termo geral tem para ex-
pressão an = 3n + 5 é
(a) 657.
(b) 730.
(c) 803.
(d) 1460.
(EEAR-2002) Questão 9.
A soma dos termos de uma PG crescente de três termos positivos é 21 e a
diferença entre os extremos, 15. A razão dessa PG é
(a) 4.
(b) 5.
(c) 6.
(d) 7.
(EEAR-2002) Questão 10.
Ao se efetuar a soma de 50 primeiras parcelas da P.A.: 202+206+210+ . . .,
por distração, não foi somada a 35a parcela. A soma encontrada foi
(a) 10200
(b) 12585
(c) 14662
(d) 16419
(EEAR-2002) Questão 11.
Seja a função f : N→ Z, definida por f(x−1) = f(x)−2. Se f(1) = −4, então
a soma dos valores dos 50 menores elementos do conjunto Im(f) é
(a) 1150
(b) 1450
(c) 2250
(d) 2450
(EEAR-2004) Questão 12.
Na P.G. (y, 2y + 2, 3y + 3, . . .), o 4.o termo, que é diferente de zero, vale
(a) 2.
(b)
3
2
.
(c) −4.
(d)
−27
2
.
(EEAR-2004) Questão 13.
Numa P.A., o 10o termo e a soma dos 30 primeiros termos valem, respecti-
vamente, 26 e 1440. A razão dessa progressão é
(a) 2.
(b) 3.
(c) 4.
(d) 6.
(EEAR-2005) Questão 14.
A quantidade de números naturais, compreendidos entre 100 e 300, que não
são divisíveis por 3, é
(a) 136.
(b) 133.
(c) 130.
(d) 127.
(EEAR-2005) Questão 15.
A soma dos números múltiplos de 7, compreendidos entre 20 e 300, é
(a) 6250.
(b) 6300.
(c) 6350.
(d) 6400.
(EEAR-2005) Questão 16.
A soma dos infinitos termos da P.G.
(√
3
2
,
√
3
3
, . . .
)
é
(a)
3
2
(b)
2
3
(c)
2
√
3
3
(d)
3
√
3
2
(EEAR-2005) Questão 17.
Numa P.G., onde o 1o termo é 3, a soma dos três primeiros termos é 21. Se
a soma dos quatro primeiros termos é 45, o quinto termo é
(a) 51.
(b) 50.
(c) 49.
(d) 48.
(EEAR-2006) Questão 18.
A soma dos 10 primeiros termos de uma P.A., cujo termo geral é dado pela
expressão ak = 3k − 16, é
(a) 5.
(b) 14.
(c) 18.
(d) −6.
(EEAR-2006) Questão 19.
O perímetro de um triângulo retângulo é 36 cm, e os números que expressam
as medidas de seus lados formam uma PA. O cateto maior desse triângulo,
em cm, mede
(a) 15.
(b) 12.
(c) 8.
(d) 6.
(EEAR-2006) Questão 20.
Se a base média de um trapézio mede 30 cm, e a base maior é
3
2
da base
menor, então o módulo da diferença entre as medidas das bases, em cm, é
(a) 8.
(b) 10.
(c) 12.
(d) 14.
(EEAR-2006) Questão 21.
Os números que expressam as medidas das arestas que concorrem em um
mesmo vértice de um paralelepípedo retângulo estão em progressão geomé-
trica. Se a maior dessas arestas mede 6m, e o volume desse sólido é 27m3,
então a sua área total, em mq, é
(a) 63.
(b) 57.
(c) 53.
(d) 47.
(EEAR-2007) Questão 22.
Se
x∑
i=3
2i = 4088, o valor de x é divisor de
(a) 24.
(b) 22.
(c) 21.
(d) 18.
(EEAR-2008) Questão 23.
A soma dos n primeiros termos da PG (1,−2, 4,−8, . . .) é −85. Logo, n é
(a) 8.
(b) 10.
(c) 12.
(d) 14.
(EEAR-2009) Questão 24.
O 4.o termo de uma P.G. é −80, e o 6.o termo é −320. Se essa P.G. é
alternante, então sua razão é
(a) 4.
(b) 3.
(c) −1.
(d) −2.
(EEAR-2009) Questão 25.
Se a soma dos n primeiros termos de uma P.A. é 3n2, ∀n ∈ N∗, então a
razão dessa P.A. é
(a) 6.
(b) 4.
(c) 3.
(d) 2.
(EEAR-2009) Questão 26.
Quatro números naturais formam uma PG crescente. Se a soma dos dois
primeiros números é 12, e a dos dois últimos é 300, a razão da PG é
(a) 7.
(b) 5.
(c) 4.
(d) 2.
(EEAR-2010) Questão 27.
Seja a PG (a, b, c). Se a+b+ c =
7
6
, e a ·b · c = −1, então o valor de a+ c é
(a) 8
(b) 12
(c)
5
6
(d)
13
6
(EEAR-2010) Questão 28.
Inscrevendo-se nove meios aritméticos entre 15 e 45, obtém-se uma PA cujo
sexto termo é
(a) 25.
(b) 30.
(c) 33.
(d) 42.
(EEAR-2011) Questão 29.
Sejam as sequências S1 = (1, 5, 25, 125, . . .) e S2 = (4, 7, 10, 13, . . .). A razão
entre o 6o termo de S1 e o 8o de S2 é
(a) 150.
(b) 125.
(c) 100.
(d) 75.
(EEAR-2012) Questão 30.
Se a sequência (x, 3x+ 2, 10x+ 12) é uma PG de termos não nulos, então x2
é
(a) 1.
(b) 4.
(c) 9.
(d) 16.
(EEAR-2013) Questão 31.
As medidas dos ângulos internos de um triângulo formam uma PA. Assim,
independente do valor da razão, pode-se afirmar que um desses ângulos mede
(a) 30◦.
(b) 45◦.
(c) 60◦.
(d) 90◦.
(EEAR-2013) Questão 32.
Na PA decrescente (18, 15, 12, 9, . . .), o termo igual a −51 ocupa a posição
(a) 30
(b) 26
(c) 24
(d) 18
(EEAR-2014) Questão 33.
Em uma PG de razão 6, o quarto termo é 48. Assim, o primeiro termo é
(a) 2
(b) 3
(c)
1
6
(d)
2
9
(EEAR-2015) Questão 34.
Em uma Progressão Geométrica, o primeiro termo é 1 e a razão é
1
2
. A
soma dos 7 primeiros termos dessa PG é
(a)
127
64
(b)
97
64
(c)
63
32
(d)
57
32
(EEAR-2015) Questão 35.
Em uma PA cuja razão é igual ao seu primeiro termo, temse a3 + a7 = 5.
Assim, a razão dessa PA é
(a) 0, 5.
(b) 2, 5.
(c) 2.
(d) 1.
(EEAR-2015) Questão 36.
Quatro números estão em PA de razão 3. Se o primeiro termo somado ao
último é igual a 19, então o primeiro termo é
(a) 3.
(b) 4.
(c) 5.
(d) 6.
(EEAR-2016) Questão 37.
Quatro números estão dispostos de forma tal que constituem uma PG finita.
O terceiro termo é igual a 50 e a razão é igual a 5. Desta maneira, o produto
de a1 · a4 vale
(a) 10
(b) 250
(c) 500
(d) 1250
(EEAR-2016) Questão 38.
A progressão aritmética, cuja fórmula do termo geral é dada por an =
5n − 18, tem razão igual a
(a) −5
(b) −8
(c) 5
(d) 8
Questões AFA
(AFA-1998) Questão 39.
Quanto devemos adicionar a cada um dos números k+ 3, k, k− 2 para que,
nesta ordem, formem uma Progressão Geométrica?
(a) 6 − k
(b) 6 + k
(c) 1 − 6k
(d) 1 + 6k
(AFA-1999) Questão 40.
Se a seqüênciade inteiros (2, x, y) é uma Progressão Geométrica e (x +
1, y, 11) uma Progressão Aritmética, então, o valor de x + y é:
(a) 11
(b) 12
(c) 13
(d) 14
(AFA-1999) Questão 41.
Uma bola é solta de uma altura de 128 metros em relação ao solo, e, ao
atingir o mesmo, ela sobe a metade da altura anterior. Esse movimento se
repete até atingir o solo pela décima vez. Nesse momento, quanto a bola terá
percorrido, em metros?
(a) 255, 50
(b) 383, 00
(c) 383, 50
(d) 383, 63
(AFA-2000) Questão 42.
Se a soma dos 6 primeiros termos de uma progressão aritmética é 21 e o
sétimo termo é o triplo da soma do terceiro com o quarto termo, então o
primeiro termo dessa progressão é
(a) −7
(b) −8
(c) −9
(d) −10
(AFA-2000) Questão 43.
Seja (x, y, z, w) uma progressão aritmética crescente cuja soma é 10 e
(a, b, c, d) uma progressão geométrica com a + b = 1 e c + d = 9. Se am-
bas têm a mesma razão, então o produto yw é
(a) −8
(b) −2
(c) 7
(d) 9
(AFA-2001) Questão 44.
A soma dos treze primeiros termos da progressão geométrica (2i,−2, . . .),
onde i =
√
−1, é
(a) 0
(b) 2i
(c) −2i
(d) 2i − 2
(AFA-2001) Questão 45.
Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética (PA) é
dada pela fórmula Sn =
3n2 + n
2
, então a soma do quarto com o sexto termo
dessa PA é
(a) 25
(b) 28
(c) 31
(d) 34
(AFA-2002) Questão 46.
Sendo S =
pi
2
+
pi
3
+
pi
4
+
pi
9
+
pi
8
+
pi
27
+ . . .+
pi
2n
+
pi
3n
+ . . ., o valor do cos(S−x)
é igual a
(a) −sen x
(b) sen x
(c) − cos x
(d) cos x
(AFA-2003) Questão 47.
Uma P.A. cujo primeiro termo é zero e uma P.G. cujo primeiro termo é 1
possuem a mesma razão. O nono termo da P.G. é igual ao quadrado do nono
termo da P.A.. Então:
(a) uma das razões comum é −2.
(b) a razão comum é −1.
(c) a razão comum é 1.
(d) não existem as duas progressões.
(AFA-2003) Questão 48.
Considere uma P.G. onde o 1o termo é a, a > 1, a razão é q, q > 1, e o
produto dos seus termos é c. Se loga b = 4, logq b = 2 e logc b = 0, 01, então
a soma dos termos da P.G. é:
(a)
a41 − a
a2 − 1
(b)
a40 − a
a2 − 1
(c)
a41 − 1
a2 − 1
(d)
a40 − 1
a2 − 1
(AFA-2004) Questão 49.
Num certo jogo de azar, apostando-se uma quantia x, tem-se uma das duas
possibilidades seguintes:
1a) perde-se a quantia x apostada;
2a) recebe-se a quantia 2x.
Uma pessoa jogou 21 vezes da seguinte maneira: na 1a vez apostou 1 cen-
tavo; na 2a vez apostou 2 centavos; na 3a vez apostou 4 centavos e assim por
diante, apostando em cada vez o dobro do que havia apostado na vez anterior.
Nas 20 primeiras vezes, ela perdeu. Na 21a vez, ela ganhou. Comparando a
quantia total T perdida e a quantia Q recebida, tem-se que Q é igual a
(a)
T
2
(b) 2T
(c) 2(T + 1)
(d) T + 1
(AFA-2006) Questão 50.
São dadas uma progressão aritmética e uma progressão geométrica alter-
nante com primeiro termo igual a 1. Multiplicando-se os termos correspon-
dentes das duas seqüências obtém-se a seqüência (−1, 1, 3, . . .). A soma dos 5
primeiros termos desta seqüência é
(a) 61
(b) 97
(c) 103
(d) 111
(AFA-2008) Questão 51.
Um cão e um gato, ambos parados, observam-se a uma distância de 35m.
No mesmo instante, em que o cão inicia uma perseguição ao gato, este parte
em fuga. O cão percorre 2m no primeiro segundo, 4m no seguinte, 6m no
terceiro segundo e, assim, sucessivamente. O gato, apavorado, percorre 3m
no primeiro segundo, 4m no seguinte, 5m no terceiro segundo e, assim, su-
cessivamente. Considerando que os dois animais se deslocam sempre sem
interrupção em seu movimento e numa trajetória retilínea de mesmo sentido,
assinale a alternativa INCORRETA.
(a) Até o quinto segundo, o cão terá percorrido uma distância igual àquela
que o separa do gato naquele instante.
(b) Ao final dos três primeiros segundos, o cão ainda está 35m distante do
gato.
(c) Em dez segundos, o cão alcançará o gato.
(d) No oitavo segundo, o gato percorre 14 metros.
(AFA-2008) Questão 52.
Sejam as seqüências de números reais (−3, x, y, . . .) que é uma progressão
aritmética de razão r, e (x, y, 24, . . .) que é uma progressão geométrica de razão
q.
O valor de
r
q
pertence ao intervalo:
(a)
[
0,
1
2
[
(b)
[
1
2
, 1
[
(c) [1, 2[
(d) [2, 3[
(AFA-2009) Questão 53.
Considere as proposições abaixo.
I) A soma dos infinitos termos da seqüência cujo termo geral é
n
3n
, n ∈ N∗,
converge para
3
4
.
II) Se ak = cos
(
2kpi
3
)
; k ∈ N∗, o valor de a1 + a2 + . . . + a97 é zero.
III) Se (3, a, b) formam uma progressão geométrica de razão q e (a, b, 45),
uma progressão aritmética de razão r, com a, b ∈ N, então r
q
= 6.
Pode-se afirmar que, entre as proposições,
(a) todas são falsas
(b) apenas duas são falsas
(c) apenas uma é falsa
(d) todas são verdadeiras
(AFA-2009) Questão 54.
João Victor e Samuel são dois atletas que competem numa mesma ma-
ratona. Num determinado momento, João Victor encontra-se no ponto M,
enquanto Samuel encontra-se no ponto N, 5m a sua frente. A partir desse
momento, um observador passa a acompanhá-los registrando as distâncias per-
corridas em cada intervalo de tempo de 1 segundo, conforme tabelas abaixo.
João Victor
Intervalo Distância (m)
1o
1
2
2o
3
4
3o
9
8
...
...
Samuel
Intervalo Distância (m)
1o
1
2
2o
3
4
3o 1, 0
...
...
Sabe-se que os números da tabela acima que representam as distâncias
percorridas por João Victor formam uma progressão geométrica, enquanto
os números da tabela acima que representam as distâncias percorridas por
Samuel formam uma progressão aritmética.
Com base nessa informações, é INCORRETO afirmar que ao final do
(a) 6o Segundo, João Victor terá alcançado Samuel
(b) 5o Segundo, João Victor já terá atingido o ponto N
(c) 5o Segundo, Samuel percorreu uma distância igual à que os separava nos
pontos M e N
(d) 8o segundo, João Victor estará mais de 8 metros à frente de Samuel.
(AFA-2010) Questão 55.
Sejam as funções f : N→ R e g : N→ R definidas por f(x) = x
2
e g(x) = 2−x.
Considere os números A e B, tais que A = f(1) + f(2) + . . . + f(50) e B =
1 + g(1) + g(2) + . . . + g(n) + . . .
Se o produto de A por B tende para o número α, então, α é
(a) ímpar múltiplo de 9
(b) par divisor de 10000
(c) par múltiplo de 15
(d) ímpar múltiplo de 25
(AFA-2011) Questão 56.
De um dos lados de uma avenida retilínea, estão dispostos alguns postes
nos ponto P1, P2, . . . , Pi, i ∈ N. Do outro lado dessa mesma avenida, estão
dispostas algumas árvores nos pontos A1, A2, . . . , Aj, j ∈ N.
Sabe-se que:
• P1P2 = 3dam;
• P1Pi = 63dam;
• (P1P2, P2P3, . . .) é uma progressão aritmética finita de razão 3;
• A1Aj = P1Pi;
• (A1A2, A2A3, . . .) é uma progressão geométrica finita de razão 2;
• i = j.
Com base nessas informações, é correto afirmar que a maior distância entre
duas árvores consecutivas é, em dam, igual a
(a) 63
(b) 32
(c) 18
(d) 16
(AFA-2012) Questão 57.
Sejam (1, a2, a3, a4) e (1, b2, b3, b4) uma progressão aritmética e uma pro-
gressão geométrica, respectivamente, ambas com a mesma soma dos termos e
ambas crescentes. Se a razão r da progressão aritmética é o dobro da razão q
da progressão geométrica, então, o produto r · q é igual a
(a) 15
(b) 18
(c) 21
(d) 24
(AFA-2013) Questão 58.
A sequência
(
x, 6, y, y +
8
3
)
é tal, que os três primeiros termos formam uma
progressão aritmética, e os três últimos formam uma progressão geométrica.
Sendo essa sequência crescente, a soma dos seus termos é
(a)
92
3
(b)
89
3
(c)
83
3
(d)
86
3
(AFA-2014) Questão 59.
Uma escultura de chapa de aço com espessura desprezível foi feita
utilizando-se inicialmente uma chapa quadradade 1 metro de lado apoiada
por um de seus vértices sobre um tubo cilíndrico. A partir desse quadrado, a
escultura foi surgindo nas seguintes etapas:
1a Em cada um dos 3 vértices livres do quadrado foi construído um quadrado
de lado
1
2
metro.
2a Em cada um dos vértices livres dos quadrados construídos anteriormente,
construiu-se um quadrado de lado
1
4
de metro.
E assim, sucessivamente, em cada vértice livre dos quadrados construídos
anteriormente, construiu-se um quadrado cuja medida do lado é a metade da
medida do lado do quadrado anterior.
A figura seguinte esquematiza a escultura nas etapas iniciais de sua confec-
ção.
Considerando que a escultura ficou pronta completadas sete etapas, é cor-
reto afirmar que a soma das áreas dos quadrados da 7a etapa é igual a
(a)
(
1
4
)7
(b)
(
3
4
)8
(c)
(
1
4
)8
(d)
(
3
4
)7
(AFA-2015) Questão 60.
Seja o quadrado ABCD e o ponto E pertencente ao segmento AB. Sabendo-
se que a área do triângulo ADE, a área do trapézio BCDE e a área do quadrado
ABCD formam juntas, nessa ordem, uma Progressão Aritmética (P.A.) e a
soma das áreas desses polígonos é igual a 800 cm2, tem-se que a medida do
segmento EB
(a) é fração própria.
(b) é decimal exato.
(c) é decimal não-exato e periódico.
(d) pertence ao conjunto A = R∗+ − Q+
(AFA-2016) Questão 61.
Considere as expressões
A = 262 − 242 + 232 − 212 + 202 − 182 + . . . + 52 − 32 e
B = 2 · √2 · 4√2 · 8√2 · 16√2 · . . .
O valor de
A
B
é um número compreendido entre
(a) 117 e 120
(b) 114 e 117
(c) 111 e 114
(d) 108 e 111
(AFA-2017) Questão 62.
A solução do sistema:
x − y
2
−
x − y
6
+
x − y
18
−
x − y
54
+ . . . = −1
3x − y = −2
é tal que x + y é igual a
(a)
11
3
(b)
10
3
(c) −
7
3
(d) −
8
3
Questões UERJ (EQ)
PROGRESSÃO ARITMÉTICA, PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA E MATRIZES
(UERJ-2007) Questão 63.
A figura a seguir mostra um molusco Triton tritonis sobre uma estrela do
mar.
Um corte transversal nesse molusco permite visualizar, geometricamente,
uma seqüência de semicírculos. O esquema abaixo indica quatro desses semi-
círculos.
Admita que as medidas dos raios (AB, BC, CD, DE, EF, FG, . . .) formem
uma progressão tal que:
AB
BC
=
BC
CD
=
CD
DE
=
DE
EF
= · · ·
Assim, considerando AB = 2, a soma AB+BC+CD+DE+. . . será equivalente
a:
(a) 2 +
√
3
(b) 2 +
√
5
(c) 3 +
√
3
(d) 3 +
√
5
(UERJ-2010) Questão 64.
Uma bola de boliche de 2kg foi arremessada em uma pista plana. A tabela
abaixo registra a velocidade e a energia cinética da bola ao passar por três
pontos dessa pista: A, B e C.
Se (E1, E2, E3) é uma progresão geométrica de razão
1
2
, a razão da progressão
geométrica (V1, V2, V3) está indicada em:
(a) 1
(b)
√
2
(c)
√
2
2
(d)
1
2
(UERJ-2011) Questão 65.
Observe a representação do trecho de um circuito elétrico entre os pontos
X e Y, contendo três resistores cujas resistências medem, em ohms, a, b e c.
Admita que a sequência (a, b, c) é uma progressão geométrica de razão
1
2
e
que a resistência equivalente entre X e Y mede 2, 0Ω. O valor, em ohms, de
(a + b + c) é igual a:
(a) 21, 0
(b) 22, 5
(c) 24, 0
(d) 24, 5
(UERJ-2011) Questão 66.
Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de
atendimento do dia, com o número 49. Verificou que havia 12 pessoas à
sua frente na fila, cujas senhas representavam uma progressão aritmética de
números naturais consecutivos, começando em 37. Algum tempo depois, mais
de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com isso, os
números das senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar
uma nova progressão aritmética. Se os clientes com as senhas de números
37 e 49 não saíram do banco, o número máximo de pessoas que pode ter
permanecido na fila é:
(a) 6
(b) 7
(c) 9
(d) 12
(UERJ-2014) Questão 67.
Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências
recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses
cartões são convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios:
• os dois primeiros cartões recebidos não geram multas;
• o terceiro cartão gera multa de R$500, 00;
• os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de
R$500, 00 em relação ao valor da multa anterior.
Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões
aplicados a um atleta.
Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o cam-
peonato. O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões
equivale a:
(a) 30.000
(b) 33.000
(c) 36.000
(d) 39.000
(UERJ-2014) Questão 68.
Uma farmácia recebeu 15 frascos de um remédio. De acordo com os rótulos,
cada frasco contém 200 comprimidos, e cada comprimido tem massa igual a
20mg. Admita que um dos frascos contenha a quantidade indicada de com-
primidos, mas que cada um destes comprimidos tenha 30mg. Para identificar
esse frasco, cujo rótulo está errado, são utilizados os seguintes procedimentos:
• numeram-se os frascos de 1 a 15;
• retira-se de cada frasco a quantidade de comprimidos correspondente à
sua numeração;
• verifica-se, usando uma balança, que a massa total dos comprimidos re-
tirados é igual a 2540mg.
A numeração do frasco que contém os comprimidos mais pesados é:
(a) 12
(b) 13
(c) 14
(d) 15
(UERJ-2015) Questão 69.
Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, em quilômetros,
dAB, dBC e dCD formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O vigé-
simo termo dessa progressão corresponde a:
(a) −50
(b) −40
(c) −30
(d) −20
(UERJ-2015) Questão 70.
Observe a matriz A, quadrada e de ordem três.
A =
 0, 3 0, 47 0, 60, 47 0, 6 x
0, 6 x 0, 77

Considere que cada elemento aij dessa matriz é o valor do logaritmo decimal
de (i + j). O valor de x é igual a:
(a) 0, 50
(b) 0, 70
(c) 0, 77
(d) 0, 87
(UERJ-2016) Questão 71.
Admita a seguinte sequência numérica para o número natural n:
a1 = 3 e an = an−1 + 3
Sendo 2 ≤ n ≤ 10, os dez elementos dessa sequência, em que a1 =
1
3
e
a10 =
82
3
, são: (
1
3
,
10
3
,
19
3
,
28
3
,
37
3
, a6, a7, a8, a9,
82
3
,
)
A média aritmética dos quatro últimos elementos da sequência é igual a:
(a)
238
12
(b)
137
6
(c)
219
4
(d)
657
9
(UERJ-2017) Questão 72.
Um fisioterapeuta elaborou o seguinte plano de treinos diários para o con-
dicionamento de um maratonista que se recupera de uma contusão:
• primeiro dia - corrida de 6km;
• dias subsequentes - acréscimo de 2km à corrida de cada dia imediata-
mente anterior.
O último dia de treino será aquele em que o atleta correr 42km. O to-
tal percorrido pelo atleta nesse treinamento, do primeiro ao último dia, em
quilômetros, corresponde a:
(a) 414
(b) 438
(c) 456
(d) 484
Questões UFRJ
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS, PROGRESSÕES
ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS
(UFRJ-1998) Questão 73.
Num Ka Kay, o oriental famoso por sua inabalável paciência, deseja bater
o recorde mundial de construção de castelo de cartas.
Ele vai montar um castelo na forma de um prisma triangular no qual cada
par de cartas inclinadas que se tocam deve estar apoiado em uma carta hori-
zontal, excetuando-se as cartas da base, que estão apoiadas em uma mesa. A
figura a seguir apresenta um castelo com três níveis.
Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis. Determine o número
de cartas que ele vai utilizar.
(UFRJ-1999) Questão 74.
Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10.
O logaritmo decimal do produto de seus termos vale 36. Ache a razão da
progressão.
(UFRJ-2000) Questão 75.
Mister MM, o Mágico da Matemática, apresentou-se diante de uma platéiacom 50 fichas, cada uma contendo um número. Ele pediu a uma espectadora
que ordenasse as fichas de forma que o número de cada uma, excetuando-se
a primeira e a última, fosse a média aritmética do número da anterior com o
da posterior. Mister MM solicitou a seguir à espectadora que lhe informasse
o valor da décima sexta e da trigésima primeira ficha, obtendo como resposta
103 e 58 respectivamente. Para delírio da platéia, Mister MM adivinhou então
o valor da última ficha.
Determine você também este valor.
(UFRJ-2003) Questão 76.
Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho uma mesada de R$300, 00 por
mês. Riquinho, que é muito esperto, disse a seu pai que, em vez da mesada de
R$300, 00, gostaria de receber um pouquinho a cada dia: R$1, 00 no primeiro
dia de cada mês e, a cada dia, R$1, 00 a mais que no dia anterior. Seu Juca
concordou, mas, ao final do primeiro mês, logo percebeu que havia saído no
prejuízo. Calcule quanto, em um mês com 30 dias, Riquinho receberá a mais
do que receberia com a mesada de R$300, 00.
(UFRJ-2003) Questão 77.
Os números reais a, b, c e d formam, nesta ordem, uma progressão aritmé-
tica. Calcule o determinante da matriz[
ea eb
ec ed
]
.
(UFRJ-2004) Questão 78.
Felipe começa a escrever números naturais em uma folha de papel muito
grande, uma linha após a outra, como mostrado a seguir:
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11 12 13
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
. . .
Considerando que Felipe mantenha o padrão adotado em todas as linhas:
a) determine quantos números naturais ele escreverá na 50a linha;
b) determine a soma de todos os números escritos na 50a linha;
c) prove que a soma de todos os elementos de uma linha é sempre o quadrado
de um número ímpar.
(UFRJ-2009) Questão 79.
Uma parede triangular de tijolos foi construída da seguinte forma. Na base
foram dispostos 100 tijolos, na camada seguinte, 99 tijolos, e assim sucessiva-
mente até restar 1 tijolo na última camada, como mostra a figura. Os tijolos
da base foram numerados de acordo com uma progressão aritmética, tendo
o primeiro tijolo recebido o número 10, e o último, o número 490. Cada ti-
jolo das camadas superiores recebeu um número igual à média aritmética dos
números dos dois tijolos que o sustentam.
Determine a soma dos números escritos nos tijolos.
(UFRJ-2009) Questão 80.
Uma pessoa pode subir uma escada da seguinte forma: a cada degrau, ou
ela passa ao degrau seguinte ou galga dois degraus de uma só vez, pulando
um degrau intermediário. A exceção dessa regra ocorre se a pessoa estiver no
penúltimo degrau, quando ela só tem a opção de passar ao último degrau.
Seja PN o número de modos diferentes que a pessoa tem de subir uma
escada de N degraus dessa maneira.
a) Calcule P7.
b) Determine N tal que PN = 987.
GABARITO
Questão 1 : A.
Questão 2 : B.
Questão 3 : D.
Questão 4 : A.
Questão 5 : B.
Questão 6 : D.
Questão 7 : C.
Questão 8 : B.
Questão 9 : A.
Questão 10 : C.
Questão 11 : C.
Questão 12 : D.
Questão 13 : C.
Questão 14 : B.
Questão 15 : B.
Questão 16 : D.
Questão 17 : D.
Questão 18 : A.
Questão 19 : B.
Questão 20 : C.
Questão 21 : A.
Questão 22 : B.
Questão 23 : A.
Questão 24 : D.
Questão 25 : A.
Questão 26 : B.
Questão 27 : D.
Questão 28 : B.
Questão 29 : B.
Questão 30 : B.
Questão 31 : C.
Questão 32 : C.
Questão 33 : D.
Questão 34 : A.
Questão 35 : A.
Questão 36 : C.
Questão 37 : C.
Questão 38 : C.
Questão 39 : A.
Questão 40 : B.
Questão 41 : C.
Questão 42 : C.
Questão 43 : C.
Questão 44 : B.
Questão 45 : B.
Questão 46 : A.
Questão 47 : A.
Questão 48 : A.
Questão 49 : C.
Questão 50 : D.
Questão 51 : D.
Questão 52 : C.
Questão 53 : C.
Questão 54 : A.
Questão 55 : D.
Questão 56 : B.
Questão 57 : B.
Questão 58 : D.
Questão 59 : D.
Questão 60 : C.
Questão 61 : B.
Questão 62 : B.
Questão 63 : D.
Questão 64 : C.
Questão 65 : D.
Questão 66 : B.
Questão 67 : B.
Questão 68 : C.
Questão 69 : A.
Questão 70 : B.
Questão 71 : B.
Questão 72 : C.
Questão 73 : 2420.
Questão 74 : 10 ou −10.
Questão 75 : 1.
Questão 76 : R$165, 00.
Questão 77 : 0.
Questão 78 : a) 99, b) 9801, c) Seja q(n) a quantidade de números na
n-ésima linha. Então: S = n + (n + 1) + (n + 2) + . . . + [n + q(n) − 1]︸ ︷︷ ︸
q(n) parcelas
⇔ S =
q(n) · n + {1 + 2 + . . . + [q(n) − 1]}︸ ︷︷ ︸
q(n)−1 parcelas
= q(n) · n + {1 + [q(n) − 1]} · [q(n) − 1]
2
=
q(n) · n + q(n) · [q(n) − 1]
2
. A primeira linha contém um número,
a segunda 3, a terceira 5, e assim por diante. Logo, q(n) =
2n − 1, e assim: S = (2n − 1) · n + (2n − 1) · [(2n − 1) − 1]
2
=
(2n − 1) · n + (2n − 1)(2n − 2)
2
=
2n(2n − 1) + (2n − 1)(2n − 2)
2
=
(2n − 1) · (2n + 2n − 2)
2
=
(2n − 1) · (4n − 2)
2
= (2n − 1) · (2n − 1) = (2n − 1)2
e portanto S é o quadrado de um ímpar.
Questão 79 : 1262500.
Questão 80 : a) 21, b) 15.