Módulo 4 - Escoamento em condutos livres - parte 1

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Escoamento em condutos livres
Prof.ª Tainara Ramos da Rocha Lins de Brito Rodrigues
tainara.rodrigues@ifal.edu.br
1
Aspectos gerais
• Um escoamento pode ser classificado, quanto à pressão
reinante em:
• Forçado  pressão maior que a atmosférica;
• Livre  pressão igual a atmosférica.
2
Aspectos gerais
3
forçado
livre
Escoamento em 
condutos livres
4
Escoamento em condutos livres
• Há ao menos uma superfície de contato com a atmosfera –
Patm.
• As condições de contorno não são tão bem definidas como
nos condutos forçados  variáveis no tempo e no espaço.
• A maioria dos escoamentos livres ocorrem:
• Em grandes dimensões físicas;
• Elevados Re;
• Raramente laminares.
5
Escoamento em condutos livres
6
Riacho Pau D’Arco – Avenida Leste Oeste.
Rio Reginaldo – ladeira da moenda, entre Feitosa 
e Pitanguinha.
Escoamento em condutos livres
7
Ponte Canal – Delmiro Gouveia – AL.
Canal do Sertão – Delmiro Gouveia – AL.
Escoamento em condutos livres
• O que é um bueiro?
“Buraco circular ou quadrado praticado num muro, terreno ou estrada, com tubulação 
embutida para dar escoamento a águas pluviais, lençóis subterrâneos, riachos, rios etc.
8
Bueiro localizado no Canal do Sertão próximo ao trecho da Ponte Canal – Delmiro Gouveia – AL.
Escoamento em condutos livres
• Grande variabilidade da rugosidade ao longo do
escoamento.
• Conta com a presença de deformabilidades extremas na
superfície livre do escoamento:
• Remansos
• Ressalto hídráulico
9
Escoamento em condutos livres
10
Escoamento em condutos livres
• Maior variabilidade quanto à forma e à rugosidade das
paredes dos condutos livres, quando comparado aos
condutos forçados.
• Acarretando em uma maior complexidade nas formulações
matemáticas relativas aos escoamentos livres.
• Apesar disso, usam os mesmos princípios matemáticos
básicos: Equação da Continuidade, Equação da Quantidade
de Movimento e Conservação de Energia.
11
Escoamento em condutos livres
• Equação da Continuidade
• Equação da Quantidade de Movimento
• Conservação de Energia
12
2211 UAUAQ   1122 UUQR  
h
g
U
yZ
g
U
yZ 
22
2
2
22
2
1
11
y
P


Escoamento em condutos livres
• Representação da linha de energia em condutos forçados.
13
Escoamento em condutos livres
• Representação da linha de energia em canais.
14
Parâmetros geométricos 
e hidráulicos
15
Parâmetros geométricos e hidráulicos
B  largura superficial
y  profundidade (fundo à superfície)
A seção ou área molhada
P  perímetro molhado
yh  A/B  profundidade hidráulica
Rh  A/P  raio hidráulico
16
Parâmetros geométricos e hidráulicos
• A profundidade y muitas vezes é assimilada a uma altura de
escoamento perpendicular ao fundo do canal – h.
• Nas condições usuais de declividades reduzidas, pode-se
tomar as duas grandezas como equivalentes.
17
Parâmetros geométricos e hidráulicos
• O perímetro molhado leva em conta somente a parte em
contato com o líquido.
18
Seções com geometrias 
conhecidas
19
Seções com geometrias conhecidas
• Para algumas seções, de forma geométrica definida, os
elementos podem ser analiticamente expressos em função
de y (profundidade da água).
• A figura a seguir mostram as características geométricas
fundamentais das seções mais comumente usadas.
20
Seções com geometrias conhecidas
21
Seções com geometrias conhecidas
22
Seções com geometrias conhecidas
Seções retangulares e trapezoidais
• Comuns em canais abertos.
• As trapezoidais algumas vezes são preferidas por não
necessitar de estruturas rígidas para estabilizar os taludes.
• Podem precisar de mais espaço nas laterais.
23
Seção trapezoidal – Canal do Sertão – AL.
Seções com geometrias conhecidas
Seções retangulares e trapezoidais
• Comuns em canais abertos.
• Os retangulares requerem estruturas mais resistentes para
estabilização de seus taludes.
24
Seção retangular aproveitando a rocha –
Canal do Sertão – AL.
Seções com geometrias conhecidas
Seções circulares e triangulares
• Circulares
• Vazões mais reduzidas; redes de esgotamento sanitário e
pluvial, bueiros.
• Triangulares
• Canais de pequenas dimensões; sarjetas rodoviárias e
urbanas.
25
Aplicação do conteúdo
EXERCÍCIO 1:
Calcular o raio hidráulico e a profundidade hidráulica do canal
trapezoidal da figura, sabendo-se que a profundidade do fluxo é de 2
m.
26
Seções com geometrias 
irregulares
27
Seções com geometrias irregulares
• Para seções irregulares, como as dos canais naturais, as
relações analíticas mostradas anteriormente não podem ser
usualmente estabelecidas.
• Eventualmente, pode-se tentar ajustar curvas para
representar as relações conhecidas, como parábolas, para
cursos d’água de pequenas dimensões.
28
Seções com geometrias irregulares
• Pode-se supor um conjunto de trapézios, triângulos ou
retângulos pequenos o suficiente.
29
Seções com geometrias irregulares
• Nos canais naturais de grandes larguras e pequenas
profundidades:
• Trabalha-se com as chamadas Seções Retangulares Largas.
• Supõe-se que a profundidade é desprezível em relação à
largura do curso d’água, ou seja, o perímetro molhado pode ser
assimilado à largura.
30
ByA  BP  yRh
Seções com geometrias irregulares
• Quando a seção do conduto é constante ao longo de toda a
sua extensão, diz-se que o canal é prismático.
• Os canais e condutos prismáticos são os únicos que nos
permitem obter um escoamento uniforme, ou seja, com
profundidades constantes ao longo do escoamento, para
uma dada vazão.
31
Seções com geometrias irregulares
• Tendo em vista que o escoamento livre se processa
exclusivamente em função da gravidade, os desníveis
desempenham um papel fundamental.
• Declividade
• Corresponde ao parâmetro característico.
• Adimensionais, expressas em “metro por metro” (m/m);
• Razão entre o desnível e a distância horizontal;
• Também pode aparecer em %, ou seja, uma declividade de 4%
corresponde a uma declividade de 0,04 m/m.
32
Variação de pressão
33
Variação de pressão
• A variação de pressão é mais importante nos canais livres
do que nos condutos forçados.
• Nos condutos forçados a pressão é praticamente constante
em toda a seção.
• Nos casos dos condutos livres, esta consideração não pode
ser efetuada, a pressão é função da profundidade.
34
Variação de pressão
• Nos escoamentos livres, a diferença de pressões entre a
superfície livre e o fundo não pode ser desprezada.
• Não havendo interferências devidas à turbulência, a pressão
em qualquer ponto da massa líquida é aproximadamente
proporcional à profundidade  Lei de Stevin.
Onde: 
P: pressão;
: peso específico do fluido;
h: profundidade do ponto considerado.
35
hP 
Variação de pressão
• As linhas de corrente são retilíneas quando o escoamento
ocorre de forma paralela – Escoamento Paralelo.
• Esse tipo de fluxo ocorre apenas em situações de
escoamento uniforme.
• Todavia, para objetivos práticos, pode-se considerar também
os escoamentos gradualmente variados como sendo
paralelos; assume-se também para estes uma distribuição
hidrostática de pressões.
36
Variação de pressão
• Nos escoamentos bruscamente variados, quando a
curvatura das linhas de corrente no sentido vertical é
significativa, caracteriza-se o Escoamento Curvilíneo,
ocasionando uma alteração na distribuição hidrostática
das pressões.
• Em escoamentos curvos, convergentesou divergentes,
observa-se a presença de forças inerciais, que
correspondem às acelerações tangenciais e normais, que
alteram a distribuição hidrostática de pressões.
37
Variação de pressão
• Em perfis côncavos, observa-se uma sobrepressão
adicional.
• Em perfis convexos, constata-se uma redução da pressão
hidrostática.
38
PPP ' r
U
g
h
P
2
.


Variação de pressão
• Um outro aspecto que deve ser considerado é o efeito da
declividade na distribuição das pressões.
• Para canais com declividades, a distribuição de pressões
afasta-se da hidrostática relativa a um canal de largura
unitária e inclinação θ, em condições de escoamento
uniforme.
39
 2cos..' yPB 
Variação de pressão
• Esta pressão é denominada pseudo-hidrostática.
• Difere da hidrostática apenas pelo fator cos² θ.
• Com o aumento da declividade, o fator cos² θ cresce,
tornando a diferença mais significativa.
40
Em canais com declividades inferiores a 0,1 m/m, a diferença seria
menor do que 1 %, tornando, portanto, realista desprezar-se essa
correção no desenvolvimento de cálculos práticos em Hidráulica.
Variação de pressão
• Pode-se introduzir um critério de declividade para distinguir
dois tipos de canais e, consequentemente, as simplificações
passíveis de serem consideradas:
• Canais com declividade reduzida (I ≤ 10%)  distribuição
hidrostática de pressões;
• Canais com grandes declividades (I > 10%)  distribuição
pseudo-hidrostática de pressões.
41
Variação de pressão
• Distribuição de pressões no escoamento em um vertedor,
evidenciando zonas de:
• Subpressão (crista)
• Sobrepressão (pé)
42
• Distribuição pseudo-hidrostática
ao longo da sua calha.
Variação de pressão
• A subpressão observada na crista pode levar,
eventualmente, a valores de pressão efetiva inferiores à
atmosfera, conduzindo a problemas de cavitação e
consequente desgaste da estrutura.
43
• Da mesma forma, elevados
valores de sobrepressão
observados no pé do vertedor
podem também conduzir à
deterioração estrutural.
Aplicação do conteúdo
EXERCÍCIO 2:
Durante uma cheia, um vertedor de altura igual a 8,00 m e largura 5,00 m descarrega
uma vazão de 22,00 m³/s. Os raios de curvatura do vertedor nos pontos A e C são,
respectivamente, 1,20 m e 4,00 m. A calha (ponto B) tem uma inclinação de 90%.
Sabendo-se que no ponto A a lâmina d’água atinge 1,40 m de altura, e nos pontos B e C
as velocidades de escoamento são 9,00 m/s e 13,00 m/s, respectivamente, pede-se
calcular a pressão hidrostática nestes três pontos.
44
Variação de velocidade
45
Variação de velocidade
• Nos condutos livres, a presença de superfícies de atrito
distintas, correspondentes às interfaces líquido-parede e
líquido-ar, acarreta uma distribuição não uniforme da
velocidade nos diversos pontos da seção transversal.
46
Variação de velocidade
• Distribuição de velocidades nas seções transversais através
das Isótacas (curvas de igual velocidade), em algumas
seções usuais artificiais.
47
Variação de velocidade
• Em canais naturais, a distribuição de velocidades é mais
complexa.
• Em canais curvos a distribuição das velocidades é ainda
mais complexa.
48
Isótacas observadas no rio Amazonas.
Variação de velocidade
• De forma geral, no sentido horizontal as velocidades em
uma seção vão de valores nulos, junto às margens, a
valores máximos nas proximidades do centro do
escoamento.
• Já em na vertical, o perfil de distribuição das velocidades é
aproximadamente logarítmico.
• Vmáx ocorre entre 5% e 25% da profundidade
• Vméd é aproximadamente a média entre V20% e V80%.
• Ou aproximadamente V60%.
49
Variação de velocidade
• Perfil da velocidade média
50
Variação de velocidade
• A distribuição das velocidades em uma seção é bastante
complexa.
• Pode-se trabalhar com as velocidades médias nas
equações de Bernoulli e do Teorema de Euler, utilizando o
coeficiente de Coriolis (α) e de Boussinesq (β), para levar
em conta as irregularidades da distribuição das
velocidades nas seções sem, no entanto, adotar uma
abordagem tridimensional complexa.
51
Variação de velocidade
α é o fator de correção de energia (Coriolis).
β é o fator de correção da Quantidade de Movimento (Boussinesq).
52
AU
dAv
A
2
2

 AU
dAv
A
3
3


Variação de velocidade
• A partir da discretização das equações para obtenção de α e
β temos:
53
AU
Av
AU
dAv
n
ii
A
2
1
2
2
2 
 AU
Av
AU
dAv
n
ii
A
3
1
3
3
3 

Variação de velocidade
• Supondo uma distribuição logarítmica das velocidades em
uma vertical, os coeficientes α e β podem ser expressos em
função de uma relação entre as velocidades médias (U) e
máximas (Vmáx) em uma seção.
54
32 231   21  
1
U
Vmáx
Variação de velocidade
• A determinação das velocidades em uma seção só é
possível através de medições diretas.
• Usualmente efetuada por meio dos molinetes.
• Instrumento que associa a velocidade de escoamento à
rotação de uma hélice.
• Há também equipamentos mais modernos para medição de
velocidade, baseados na reflexão de ultrassons e raios laser.
55
Variação de velocidade
56
Exemplo de um molinete.
Variação de velocidade
• A velocidade média e a vazão podem ser então calculadas
de acordo com as seguintes expressões:
57

n
i
iAA 
n
i
ii AvQ .
A
Q
U 
Aplicação do conteúdo
EXERCÍCIO 3:
Em um canal retangular, com lâmina d’água de 1,50 m de altura,
foram efetuadas medições da velocidade de escoamento a 0,30
e 1,20 m de profundidade, obtendo-se respectivamente 1,50 e
0,90 m/s. Sabe-se que a velocidade superficial é de 1,40 m/s e
supondo-se que a velocidade máxima seja 15% superior a esta,
pede-se calcular para esta seção os parâmetros α e β.
58
Regimes de escoamento
59
Regimes de escoamento
• A energia correspondente a uma seção transversal de um
canal é dada pela soma de três cargas: cinética,
altimétrica e piezométrica.
60
g
U
yzH
2
2

Carga Altimétrica
Carga Piezométrica
Carga Cinética
Regimes de escoamento
• Pode-se considerar a quantidade de energia medida a partir
do fundo do canal – energia específica.
E  aquela disponível numa seção, tomando como referência um plano horizontal
passando pelo fundo do canal, naquela seção.
61
g
U
yE
2
2

Regimes de escoamento
• Adotando α = 1 e substituindo a velocidade média pela vazão
através da equação da continuidade, temos:
62
Q
Datum
y
Nova referência
(z = 0)
z
2
2
2gA
Q
yE 
Regimes de escoamento
• Considerando a área como uma função da profundidade:
• Pode-se dizer que a E é a distância vertical entre o fundo do
canal e a linha de energia, correspondendo, portanto, à soma
de duas parcelas, ambas funções de y.
63
2
2
)(2 ygf
Q
yE 
21 EEE 
yE 1
2
2
2
)(2 ygf
Q
E 
Regimes de escoamento
• A energia específica não é uma função monótona crescente
com y, existe um valor mínimo de energia – Profundidade
Crítica – yc.
• A energia correspondente à yc é a Energia Crítica – Ec.
64
E  ∞
Regimes de escoamento
• Para um dado valor de energia, superior a Ec existem dois
valores de profundidade, yf e yt, denominadas Profundidades
Alternadas.
• Logo, existem dois regimes de escoamento – Regimes
Recíprocos.
• Os escoamentos que acontecem em cada profundidade são:
• yf escoamento Superior, Tranquilo, Fluvial ou ainda Subcrítico• yt  escoamento Inferior, Rápido, Torrencial ou Supercrítico
• y = yc  escoamento Crítico
65
Regimes de escoamento
• Da mesma forma pode-se também introduzir o conceito de
Declividade Crítica.
• Pode-se supor, inicialmente, uma vazão constante escoando
em um canal prismático com uma profundidade superior à
crítica.
• Ao aumentar a declividade do canal constata-se um aumento
da velocidade de escoamento.
66
Regimes de escoamento
• Pela equação da continuidade, a esse aumento corresponde
uma redução da seção molhada, ou seja, uma redução da
profundidade de escoamento, podendo-se chegar a um ponto
em que a profundidade atinge o valor crítico.
• Tem-se então a Declividade Crítica – Ic.
67
Ic  conduz à yc
Regimes de escoamento
• Declividades superiores a essa serão declividades
supercríticas, pois conduzem a profundidades de
escoamento inferiores à crítica, y < yc.
• O mesmo raciocínio leva à conclusão de que declividades
inferiores à crítica, conduzindo a profundidades elevadas,
serão subcríticas.
68
O conceito de Velocidade Crítica também está
associada às condições críticas de escoamento.
Regimes de escoamento
• Cada valor de vazão escoando por um canal determina uma
curva de energia específica.
• Para um determinado canal, tem-se uma família de curvas de
energia específica, justapostas e de forma semelhante.
69
Regimes de escoamento
• Assim, uma determinada profundidade de escoamento no
canal pode ser subcrítica ou supercrítica, de acordo com a
vazão em trânsito.
• Um canal pode funcionar ora em escoamento subcrítico,
ora em escoamento supercrítico, de acordo com a vazão
em trânsito.
70
Vazão Crítica  aquela que conduz à
condição crítica em um dado canal.
Regimes de escoamento
• O crescimento da vazão em um canal leva ao aumento da
profundidade de escoamento, bem como da profundidade
crítica.
• De acordo com a relação entre as duas profundidades pode
ocorrer uma mudança de regime de escoamento.
• A presença de singularidades nos canais pode também
conduzir a mudanças de regime de acordo com a vazão.
71
Regimes de escoamento
• No ponto A, tem-se um escoamento supercrítico para a
vazão Q1 e escoamento subcrítico para as vazões Q3 e Q4,
em função do deslocamento de um ressalto hidráulico.
72
Número de Froude
73
Número de Froude
• Utilizado para caracterizar os regimes de escoamento
quanto à energia.
• Número adimensional obtido a partir da equação de energia
específica.
74
g
U
yE
2
2

Número de Froude
• Assim:
• Como no escoamento crítico, a energia específica é
mínima, ou seja, a derivada E em relação a y é nula, tem-se:
75
21 Fr
dy
dE

0
dy
dE
1Fr
hgy
U
Fr 
Número de Froude
• y < yc  dE/dy < 0  1 – Fr ² < 0  Fr > 1
• y > yc  dE/dy > 0  1 – Fr ² > 0  Fr < 1
76
Fr
1  crítico
> 1  supercrítico
< 1  subcrítico
Número de Froude
• Interpretação energética para o Fr:
• U  energia cinética
• 𝑔𝑦ℎ  energia potencial
• Quando ocorre uma preponderância da energia cinética sobre a
potencial, quando houver um escoamento rápido, tem-se Fr > 1  regime
supercrítico;
• Ao contrário, quando a energia potencial é superior à cinética, tem-se Fr
< 1  regime subcrítico;
• O regime crítico (Fr = 1) corresponde à uma condição de equilíbrio entre
as duas formas de energia.
77
21 Fr
dy
dE

hgy
U
Fr 
Número de Froude
• Interpretação cinética do Fr através da comparação entre:
• A velocidade de escoamento; e
• A velocidade de propagação das ondas gravitacionais
(perturbações superficiais).
• A velocidade de propagação dessas ondas é denominada
Celeridade.
• Portanto:
78
hgyc  c
U
Fr 
Número de Froude
• U > c  Fr > 1  Escoamento Supercrítico
• U < c  Fr < 1  Escoamento Subcrítico
• U = c  Fr = 1  Escoamento Crítico
79
No escoamento subcrítico as perturbações propagam-se
para jusante e montante; já no escoamento supercrítico
as perturbações propagam-se apenas para jusante.
Caracterização do 
escoamento crítico
80
Caracterização do escoamento crítico
• O escoamento crítico é caracterizado pelo número de Froude
igual à unidade.
• Sabendo que 𝑦ℎ = Τ
𝐴
𝐵 e 𝑄 = 𝐴𝑈 e que o regime crítico se dá
quando 𝑦 = 𝑦𝑐, para seções retangulares, temos:
81
1
hgy
U
Fr
hgyU 
3
2
3
2
2
g
q
gB
Q
yc 
Por razões de ordem
prática q = Q/B
Ocorrência do regime 
crítico
82
Ocorrência do regime crítico
• A condição crítica de escoamento corresponde ao limite
entre os regimes fluvial e torrencial.
• Quando ocorre a mudança do regime de escoamento, a
profundidade deve passar pelo valor crítico.
• A passagem pela condição crítica se dá de forma distinta de
acordo com o regime inicial – fluvial ou torrencial.
83
Ocorrência do regime crítico
• Passagem do escoamento subcrítico a supercrítico:
• Passagem de uma declividade subcrítica para uma declividade
supercrítica;
• Queda livre, a partir de uma declividade subcrítica a montante;
• Escoamento junto à crista de vertedores.
84
Ocorrência do regime crítico
• Passagem do escoamento subcrítico a supercrítico:
85
I < Ic
I > Ic
mudança de 
declividade
Esc. junto à crista 
de vertedores
Ocorrência do regime crítico
• A passagem do regime supercrítico a subcrítico é verificada
em mudanças de declividade e em saídas de comporta.
• Essa passagem não é feita de forma gradual.
• Nesses casos, observa-se a ocorrência de um fenômeno
bastante importante, o Ressalto Hidráulico.
86
Ressalto Hidráulico  Escoamento bruscamente
variado, caracterizado por uma grande turbulência
e uma acentuada dissipação da energia.
Ocorrência do regime crítico
• Passagem do escoamento supercrítico a subcrítico:
87
I < Ic
I > Ic
canal com mudança de 
declividade
Saídas de comporta
Ocorrência do regime crítico
88
Seção de controle  seção para a qual se conhece a profundidade
de escoamento, condicionada pela ocorrência do regime crítico ou
por uma estrutura hidráulica, ou uma determinada condição natural
ou artificial qualquer, que de alguma forma controla o escoamento.
Ocorrência do regime crítico
• SC Crítico  onde ocorre a yc.
• SC Canal  y é determinada pelas características de atrito
ao longo do canal, ou seja, quando houver a ocorrência de
escoamento uniforme.
89
• SC Artificial  associada a uma situação
na qual y é condicionada por uma
ocorrência distinta do regime crítico.
Ocorrência do regime crítico
• A aplicação da noção de controle hidráulico conduz à
identificação de duas possibilidades distintas, associadas aos
regimes de escoamento nos trechos em análise.
• Nos trechos de escoamento supercrítico, quando a influência de
obstáculos a jusante não pode afetar os escoamento a montante, pois
apenas o nível d’água a montante controle o escoamento pode-se
definir o controle como sendo de montante.
• Por outro lado, o controle é dito de jusante com referência ao
escoamento subcrítico, ou seja, a profundidade jusante pode afetar,
pode controlar o escoamento a montante.
90
ESCOAMENTO 
UNIFORME
91
Escoamento uniforme
• O escoamento uniforme ocorre quando:
• A profundidade, a área molhada, a velocidade, a rugosidade e a
forma da seção transversal permanecem constantes;
• A linha de energia, a superfície da água e o fundo do canal são
paralelos.
92
Escoamento uniforme
• Esta condição de escoamento pressupõe que o líquido não
sofra nenhuma aceleração ou desaceleração  a
velocidade é a mesma emtodas as seções.
• Situação de equilíbrio das forças atuantes no volume de
controle.
93
Escoamento uniforme
• Pode ocorrer em canais muito longos, retos e prismáticos.
94
Nestes canais, a Δh devida ao escoamento
turbulento é balanceada exatamente pelo
decréscimo de energia potencial.
Escoamento uniforme
Equações básicas
• Equação da Continuidade, Equação da Quantidade de
Movimento e Equação da Energia.
• Considerações:
• Escoamento permanente e uniforme
• Escoamento à profundidade constante (profundidade normal)
• Escoamento incompressível
• Escoamento paralelo e à declividade baixa
95
Escoamento uniforme
Equações básicas
• Equação da Continuidade
• Como A1 = A2:
96
222111  AUAU 
2211 AUAU 
21 UU 
Escoamento uniforme
Equações básicas
• Equação da Quantidade de Movimento
• Escoamento paralelo  distribuição de pressão hidrostática
• Inclinação do canal pequena  θ ≈ 0
• Da equação da continuidade
97
 12 UUQRx    12 UUQFF BxSx  
Resultante das forças 
em x
forças de 
superfície
forças de corpo 0 BxSx FF
Escoamento uniforme
Equações básicas
• Equação da Quantidade de Movimento
• Força de corpo  peso  componente  W.senθ
• Força de superfície  força de atrito Ff
• A força de pressão líquida é zero
98
0 WsenFf WsenFf 
supAF Wf 
Escoamento uniforme
Equações básicas
• Equação da Energia
• Para o caso do escoamento permanente, incompressível e
uniforme.
• Perda de carga = desnível
• As linhas de energia, piezométrica e de fundo do canal são
paralelas.
99
h
g
U
yZ
g
U
yZ 
22
2
2
22
2
1
11
JLZZh .21 
Escoamento uniforme
Equações de resistência – Equação de Chézy e de Manning
• Equação de Chézy (1769)
• Efetua a descrição matemática do escoamento uniforme em
condutos livres.
• A grande dificuldade está na definição do fator de resistência C
100
IRCU h
6/11
hR
n
C 
Escoamento uniforme
Equações de resistência – Equação de Chézy e de Manning
• Equação de Manning (1889)
• Bastante utilizada para cálculos hidráulicos relativos a canais
naturais ou artificiais.
• A grande dificuldade está na definição de n.
Onde: 
Q: vazão (m³/s);
A: área (m²);
Rh: raio hidráulico (m);
I ou S: declividade (m/m);
n: coeficiente de rugosidade de Manning.
101
2/13/21 IAR
n
Q h
Estimativa do coeficiente 
de resistência
102
Estimativa do coeficiente de resistência
• No cálculo do escoamento uniforme, a grande dificuldade é
avaliar os fatores de atrito, que traduzem a perda de carga.
• Na equação de Manning, o maior problema está na definição
do coeficiente de rugosidade “n”.
• Há alguns procedimentos para a determinação deste:
• Determinação direta do coeficiente de rugosidade
• Estimativa do coeficiente de rugosidade
103
Estimativa do coeficiente de resistência
Determinação direta do coeficiente de rugosidade
• Baseada na medição de vazões e de características das
seções.
• Raramente efetuada  envolve trabalhos de campo.
• Implicando em prazos e recursos relativamente elevados.
• Procedimento:
• Determinar as cotas de fundo e as características hidráulicas
em duas seções (1 e 2), separadas pela distância Δx;
• Determinar as velocidades médias de escoamento nas duas
seções;
104
Estimativa do coeficiente de resistência
Determinação direta do coeficiente de rugosidade
• Aplicar a equação de Bernoulli entre as duas seções, para
obtenção da declividade da linha de energia;
𝐽 =
𝑧1 + 𝑦1 + ൘
𝑈1
2
2𝑔 − 𝑧2 + 𝑦2 + ൘
𝑈2
2
2𝑔
∆𝑥
• Calcular o n “médio” pela aplicação da fórmula de Manning,
utilizando as características médias entre as seções.
𝑛 =
𝑅ℎ
2/3
𝐽1/2
ഥ𝑈
105
Estimativa do coeficiente de resistência
Estimativa do coeficiente de rugosidade
• Na impossibilidade de determinar n diretamente, como
frequentemente ocorre, é necessário estimar o valor deste.
• Há diversas metodologias para determinação de n:
• Cálculo de n a partir da granulometria da superfície de contato;
• Utilização da metodologia baseada na incrementação de um
valor básico de n, em função de diversos aspectos pertinentes;
• Tais como: alinhamento do canal (meandros), presença de
vegetação, irregularidades, etc.
106
Estimativa do coeficiente de resistência
Estimativa do coeficiente de rugosidade
• Utilização de tabelas que fornecem o valor de n em função
das características das superfícies de contato com o líquido;
• Utilização de fotos de canais e cursos d’água naturais, que
permitem, por analogia, a escolha de um valor adequado de
n.
107
Vale ressaltar que todos estes procedimentos revestem-se de uma
certa dose de subjetividade, dependendo da experiência prática
do engenheiro e exigindo bastante critério para sua utilização.
Estimativa do coeficiente de resistência
Estimativa do coeficiente de rugosidade
• A partir da granulometria
• Há várias expressões de natureza empírica.
• Destaca-se a expressão de Meyer-Peter e Muller, aplicável em
leitos com proporção significativa de material graúdo.
Onde: 
d90: diâmetro da peneira (m) correspondente à passagem de 90% do material em peso.
108
6/1
90.038,0 dn 
Estimativa do coeficiente de resistência
Estimativa do coeficiente de rugosidade
• Através da incrementação – Método Cowan
• Método interessante por permitir a análise dos diversos
fatores intervenientes e uma melhor compreensão dos
processo físicos envolvidos com a resistência do escoamento.
109
  543210 .mnnnnnn 
Estimativa do coeficiente de resistência
Onde: 
n0: valor básico do coeficiente para um canal retilíneo, uniforme e com superfícies planas, de acordo com o material
associado à superfície de contato;
n1: valor adicional correspondente às irregularidades presentes no curso d’água, tais como erosões, assoreamentos, 
saliências e depressões na superfície, etc.;
n2: valor correspondente à frequência de ocorrência de variações de forma no curso d’água, analisada segundo as 
possibilidades de causar perturbações no fluxo;
n3: valor baseado nas presenças de obstruções no curso d´água, tais como deposição de matacões, raízes, 
troncos, etc., avaliados segundo sua extensão no sentido da redução da seção e sua possibilidade de causar 
turbulência no escoamento;
n4: valor baseado na influência da vegetação no escoamento, devendo ser avaliado segundo o tipo, densidade e 
altura da vegetação nas margens, bem como a obstrução acarretada na seção de vazão;
m5: valor baseado no grau de meandrização do curso d’água, avaliado como sendo a razão entre o comprimento 
efetivo do trecho e a distância retilínea percorrida.
110
  543210 .mnnnnnn 
Estimativa do coeficiente de resistência
Estimativa do coeficiente de rugosidade
• Através da incrementação – Método Cowan
111
  543210 .mnnnnnn 
Estimativa do coeficiente de resistência
Estimativa do coeficiente de rugosidade
• Através de tabelas
• Encontra-se na literatura um grande número de tabelas,
obtidas a partir de ensaios e medições de campo.
112
Estimativa do coeficiente de resistência
Estimativa do coeficiente de rugosidade
• Através de tabelas
113
Estimativa do coeficiente de resistência
Estimativa do coeficiente de rugosidade
• Através de tabelas
• Condutos livres Fechados
114
*Valores aconselhados para projetos.
Estimativa do coeficiente de resistência
Estimativa do coeficiente de rugosidade
• Através de tabelas
• Condutos livres Artificiais Abertos
115
*Valores aconselhados para projetos.
Estimativa do coeficiente de resistênciaEstimativa do coeficiente de rugosidade
• Através de tabelas
• Condutos livres Artificiais Abertos (continuação)
116
*Valores aconselhados para projetos.
Estimativa do coeficiente de resistência
Estimativa do coeficiente de rugosidade
• Através de tabelas
• Condutos livres Naturais Abertos (Arroios e Rios)
117
*Valores aconselhados para projetos.
Estimativa do coeficiente de resistência
Estimativa do coeficiente de rugosidade
• Através de analogia com canais existentes
• Associação do curso d’água em estudo com um canal
existente, para o qual o coeficiente já foi determinado.
• Para aplicação desta metodologia, recorre-se a publicações
que apresentam coletâneas de fotos de canais existentes e
os correspondentes coeficientes de rugosidade medidos.
118
Estimativa do coeficiente de resistência
Coeficientes de rugosidade para seções simples com
rugosidade variável
• Frequentemente há situações em que a rugosidade varia ao
longo do perímetro do canal e conforme o nível d’água
atingido na seção.
• A velocidade média, entretanto, pode ainda ser calculada
levando-se em conta a seção como um todo, sem a
necessidade de efetuar-se uma subdivisão desta.
119
Estimativa do coeficiente de resistência
Coeficientes de rugosidade para seções simples com
rugosidade variável
• Nestes casos torna-se necessária a ponderação da
rugosidade, permitindo levar em conta as diferenças existentes
e chegar a um coeficiente de rugosidade global.
120
Estimativa do coeficiente de resistência
Coeficientes de rugosidade para seções simples com
rugosidade variável
• Segundo Chow, pode-se adotar a seguintes ponderação pelo
perímetro molhado associado a cada superfície de atrito:
Onde: 
n: coeficiente de rugosidade global;
P: perímetro molhado total;
Pi: perímetro molhado associado à superfície “i”;
ni: coeficiente de rugosidade associado à superfície “i”.
121
 
3/2
1
2/3















P
nP
n
m
i
ii
Aplicação do conteúdo
EXERCÍCIO 4:
Calcular o coeficiente de rugosidade global para o córrego Ressaca,
em Belo Horizonte, sendo que sua seção transversal é constituída
parcialmente com gabiões (n = 0,030) e solo com revestimento vegetal
(n = 0,040).
122
Estimativa do coeficiente de resistência
Coeficientes de rugosidade para seções compostas
• Em diversos tipos de canais artificiais e em cursos d’água
naturais, apresentam-se situações de seções compostas.
• No Brasil, a metodologia mais utilizada consiste na proposta
pelo U.S. Corps of Engineers.
• Cálculo de uma Rugosidade Equivalente, proporcional às
áreas de escoamento associadas a cada valor de n.
123
Estimativa do coeficiente de resistência
Coeficientes de rugosidade para seções compostas
• A delimitação das áreas associadas aos diferentes
coeficientes de rugosidade é efetuada de forma arbitrária,
através de verticais.
Onde: 
n: coeficiente de rugosidade equivalente;
A: área total;
Ai: área associada à superfície “i”;
ni: coeficiente de rugosidade associado à superfície “i”.
124
 
A
An
n
m
i
ii
 1
Aplicação do conteúdo
EXERCÍCIO 5:
Calcular o coeficiente de rugosidade equivalente para o córrego
Ressaca, figura a seguir, utilizando a equação para obtenção do n de
seções compostas.
Dados: Gabiões (n = 0,030) e solo com revestimento vegetal (n = 0,040).
125
Estimativa do coeficiente de resistência
Coeficientes de rugosidade para seções compostas
• Há um segundo método que consiste na divisão da seção
composta nas diversas subseções com características
distintas.
• Para cada subseção calcula-se um parâmetro denominado
Fator de Condução, definido como a vazão que
potencialmente pode ser transportada por ela.
126
3/2
3/53/2
.Pn
A
n
AR
K h 
Estimativa do coeficiente de resistência
Coeficientes de rugosidade para seções compostas
• Assim, a vazão associada a cada subseção é obtida
simplesmente pela equação:
• A vazão total é obtida pela soma das vazões de cada subseção.
• A velocidade média pode ser calculada por simples aplicação da
equação da continuidade.
127
IKQ .
Estimativa do coeficiente de resistência
Coeficientes de rugosidade para seções compostas
128
1
2/3
11
1 n
RA
K 
2
2/3
22
2 n
RA
K 
Soma de condutâncias hidráulicas
IKQ 



N
1i
iKK
i
2/3
ii
i n
RA
K 
A
An
n
N
1i
ii
e


Estimativa do coeficiente de resistência
Coeficientes de rugosidade para seções compostas
• A adoção deste procedimento permite também calcular os
coeficientes de Coriolis e Boussinesq.
• Estes podem desempenhar um papel importante em situações
de ocorrência de seções compostas.
129

























m
i i
i
m
i
i
m
i
i
A
K
K
A
1
2
3
3
1
2
1
. 
























m
i i
i
m
i
i
m
i
i
A
K
K
A
1
2
2
1
1
.
Algumas recomendações 
de projeto
130
Algumas recomendações de projeto
1. O projetista deve prever o “envelhecimento” do canal  nprojeto =
10 a 15% maior que o ntabelado.
2. Deixar uma folga de 20 a 30% acima do nível máximo de projeto,
sobretudo para canais fechados.
3. Preferir o método de soma de condutâncias hidráulicas para
cálculo de seções compostas.
131
SKQ 



N
1i
iKK
i
2/3
ii
i n
RA
K 
Algumas recomendações de projeto
4. A velocidade média em
um intervalo que evite
deposições e erosões.
5. Observar a inclinação
máxima dos taludes.
132