Relatório Velocidade da Luz (Foucault)

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Universidade Estadual de Londrina
Centro de Ciências Exatas
Departamento de Física
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Determinação da velocidade da luz pelo método de Foucault 
Débora Rodrigues Rocha
Disciplina: 2FIS022 – Laboratório de Física Moderna
Docente: Américo Tsuneo Fujii
Londrina, 16 de julho de 2015
INTRODUÇÃO
Convencionalmente chamada de c, a velocidade da luz no vácuo é uma das constantes mais importantes da natureza. Seu valor c = 299 792 458 m/s é o mesmo quando medido com a luz das estrelas mais distantes ou com um laser que se segura nas mãos em um laboratório. Em outras palavras, a velocidade c independe das velocidades relativas da fonte de onde está sendo emitida e do observador. 
Além disso, dos postulados da relatividade de Einsten[1], tem-se que a velocidade da luz estabelece um limite superior de velocidade para qualquer objeto e, um corpo, ao mover-se em velocidades próximas a c, segue um conjunto de leis físicas diferentes das que se tem intuitivamente.
Albert Michelson fez uma das medidas mais precisas do valor c entre 1926 e 1929, mas as tentativas e especulações acerca do assunto já existiam antes, desde Galileu (1564-1642)[2]. O que aconteceu no decorrer dos anos foi o aperfeiçoamento das metodologias empregadas. Destacam-se abaixo três delas: a de Galileu Galilei, a de Olaf Römer e a de Hippolyte Fizeau. Elas antecederam o método utilizado por Leon Foucault, que será analisado mais detalhadamente neste relatório. Em todos os casos mostrados a luz será considerada como partícula.
GALILEU GALILEI
Em sua época, Galileu foi um dos primeiros a questionar a suposição de que a velocidade da luz era infinita (instantânea). Para tanto, desenvolveu o seguinte método: duas pessoas, A e B, levavam lanternas cobertas para os topos de morros que eram separados por uma distância de cerca de uma milha (aproximadamente 1,6 quilômetros). A pessoa A descobria sua lanterna e acionava um cronômetro. Assim que B visse a luz de A, descobriria sua própria lanterna. Quando A visse a luz de B pararia o cronômetro e, em seguida, bastaria dividir este tempo pelo dobro da distância (ida e volta da luz) entre os topos das colinas e a velocidade da luz seria determinada.
Com o resultado desta experiência, Galileu concluiu apenas uma coisa: a velocidade da luz era muito maior do que a que podia ser medida usando o seu método! Contudo, ele introduziu uma boa proposta para as próximas tentativas – deveria existir uma longa distância para medir grandes velocidades com precisão. 
Imagem 1: Metodologia de Galileu com lanternas e duas pessoas, A e B, cada uma em uma colina à distância de ~1,6 quilômetro[3].
1.2 OLAF RÖMER
Assim, a primeira medição bem sucedida da velocidade da luz foi feita pelo astrônomo dinamarquês Olaf Römer (1644-1710), em 1675. A proposta de Galileu de longas distâncias foi posta em prática. Römer baseou-se em observações dos eclipses de uma das luas de Júpiter (Io) e no movimento da órbita Terra (se ela estava mais próxima ou mais longe de Júpiter). Ele notou que o tempo entre esses eclipses podia variar ao longo do ano e, curioso com isso, passou a estudar minuciosamente este tempo. Disso ele teorizou corretamente que a luz refletida de Io não viajava instantaneamente, fato que Galileu não havia conseguido comprovar em seu experimento.
Imagem 2: A distância que a luz percorre quando a Terra está mais longe de Júpiter (bloco de cima) e quando a Terra está mais próxima de Júpiter (bloco de baixo). No primeiro caso os observadores da Terra marcam um tempo maior para o eclipse do que no segundo caso, quando a luz leva menos tempo para chegar à Terra. Essa foi a comparação feita por Römer ao fazer suas observações[4].
Usando alguns cálculos envolvendo o diâmetro das órbitas da Terra e de Júpiter e suas observações dos eclipses de Io, Römer foi capaz de concluir que: a luz levava mais tempo para atravessar o diâmetro da órbita da Terra ao redor do Sol [5] quando a Terra estava mais distante (em certo período do ano), e menos tempo quando a Terra estava mais próxima de Júpiter (em outra época do ano). Mais tarde, Christiaan Huygens mostrou que pelas estimativas de Römer, a luz viajava a cerca de 220 mil km/h. Essa medida é um pouco distante (cerca de 27%) do número correto de c, mas esse valor é bem aceitável para a época em que foi medido. O motivo pelo qual a estimativa de Römer para c ter sido mais lenta que o valor real tem a ver com o fato de que os diâmetros das órbitas da Terra e de Júpiter comumente aceitos estavam errados quando ele fez seus cálculos. Isso quer dizer que Römer só errou porque outras pessoas “erraram antes” dele. 
1.3 HIPPOLYTE FIZEAU
A primeira medida da velocidade da luz feita na própria Terra, sem usar métodos astronômicos, foi realizada por Hippolyte Fizeau em 1849. Ele utilizou uma roda dentada com a ideia de que, ao fazer um feixe de luz atravessar seus dentes, dada certa rotação constante, seria possível calcular c. O esquema abaixo mostra a montagem feita:
Imagem 3: Esquema do experimento de Fizeau para medir a velocidade da luz utilizando uma roda dentada e espelhos [6].
Um feixe sai da fonte de luz e incide sobre o espelho E1 que é semi-prateado. A parte dele que é refletida por E1 passa entre dois dentes da roda dentada, percorre uma grande distância L entre a roda e um espelho normal E2, reflete em E2 e volta pelo mesmo caminho, no sentido contrário. Passando novamente entre dois dentes da roda, metade da luz passa por E1, chegando ao olho do observador. Nessa situação, põe-se a roda para girar com velocidade constante. Ajustando convenientemente a velocidade da roda é possível fazer com que o observador deixe de ver o feixe de luz. Isso se dará se, exatamente no tempo T que a luz leva para ir da roda até E2 e voltar, a roda gira e antepõe um dente no caminho do feixe que volta. 
Seja L a distância entre a roda e o espelho E2. A luz percorre d = 2L (ida e volta) em um tempo T = 2L/c, onde c é a velocidade da luz que Fizeau queria medir. Nesse mesmo tempo a roda gira e, no ponto onde o feixe deve passar, um espaço é substituído por um dente. Sendo N o número de dentes e se a roda dá M voltas por segundo, o tempo para trocar entre um espaço e um dente será . Igualando esse tempo a T obtém-se , logo, . Portanto, bastaria medir o número de voltas por segundo M, a distância L e o número de dentes N para se obter c. A roda usada por Fizeau tinha 720 dentes e a distância L era de 8.633 metros. Fizeau achou M = 12,5 voltas/segundo, obtendo c = 315.000 km/s [6]. Posteriormente, Foucault aperfeiçoou essa metodologia e obteve um valor melhor para c.
OBJETIVO
Determinar a velocidade da luz c, através da metodologia desenvolvida por Leon Foucault, considerando a natureza da luz como partícula.
METODOLOGIA 
Tendo melhorado o método de Fizeau, em 1862, Leon Foucault usou um espelho giratório ao invés de uma roda dentada. A imagem seguinte mostra a montagem idealizada por ele:
Imagem 4: Esquema idealizado por Foucalt para determinara velocidade da luz com o auxílio de um espelho giratório.
Inicialmente considera-se todo o equipamento devidamente alinhado e o espelho rotatório parado, conforme diagrama do arranjo experimental mostrado na Figura 4. O feixe paralelo de luz criado pelo laser é focado no ponto s pela lente L1. A lente L2 é posicionada de modo que a imagem em s seja refletida pelo espelho rotatório MR para um espelho esférico fixo MF. MF reflete a luz e este feixe volta ao ponto s seguindo a mesma trajetória, formando assim uma imagem em s. 
Colocando-se um espelho semi-transparente ao longo da trajetória dos feixes, pode-se observar o ponto refletido por MF em um microscópio posicionado no ponto s'. Agora existem duas situações distintas a serem analisadas: a primeira supondo que MR é levemente rotacionado e a segunda que MR é rotacionado continuamente com velocidade ω.
Na primeira situação o feixe é refletido em um ponto diferente de MF. Entretanto, devidoa sua forma esférica, o feixe será refletido diretamente de volta para MR e a imagem será formada nos pontos s e s'. A única diferença significante é que o ponto de reflexão em MF muda devido à rotação de MR. 
Na segunda situação, quando um pulso de luz que viaja de MR até MF e retorna, encontra MR em um ângulo diferente do ângulo original, e então a imagem que volta de MF não será mais formada nos pontos s e s'. Assim, medindo no microscópio o deslocamento da imagem causado pela rotação de MR, é possível determinar a velocidade da luz conforme será demonstrado. Os cálculos a serem realizados neste método são os seguintes:
Considerando o feixe de luz saindo do laser (Figura 4), inicialmente deve ser determinado como o ponto de reflexão em MF se relaciona com o ângulo θ de rotação de MR.
Figura 5: a) Quando MR está no ângulo θ, o laser é refletido no ponto S de MF.
b) Quando MR está no ângulo θ1, o laser é refletido no ponto S1 de MF.
A Figura 5(a) mostra a trajetória da luz do laser até MF, quando MR está em um ângulo θ. Neste caso, o ângulo de incidência com MR também é θ. Sendo o ângulo de incidência igual ao de reflexão, o ângulo entre o raio incidente e refletido é 2θ. Como mostrado na figura 5(a), o feixe atinge MF em um ponto denominado de S. A figura 5(b) mostra a trajetória da luz, do laser até MF, quando MR está em um ângulo θ1= θ+Δθ. Neste momento, o ângulo entre os raios incidente e refletido é 2θ1=2(θ+Δθ). Denominaremos o ponto onde o feixe atinge MF de S1 e definiremos D a distância entre MF e MR. Temos que por definição l = rθ, então a distância entre S e S1 pode ser calculada como:
Para resolver o restante do problema basta observar que a geometria das imagens virtuais é a mesma das imagens refletidas, podendo assim ser feita uma aplicação da ótica de lentes.
Figura 6: Análise geométrica das lentes.
Com MR em θ1, o ponto S1 está no eixo focal da lente L2. O ponto S também está no plano focal da lente L2, mas a uma distância ΔS= S1 – S. Da teoria de lentes, sabe-se que um objeto de altura ΔS (mais à esquerda) no plano focal de L2 será focalizado no plano de s (mais à direita) com uma altura (–i/o)ΔS. Onde i e o são as distâncias da lente até a imagem (D+B) e o objeto (A), respectivamente, e o sinal menos corresponde a uma inversão da imagem. Como na figura 6, a reflexão no semi-espelho forma uma imagem similar e de mesma altura. Pode-se escrever uma expressão para o deslocamento ( Δs' ), ignorando o sinal de menos, pois não se está preocupado com a inversão da imagem:
Combinando as equações (1) e (2):
O ângulo depende da velocidade de rotação de MR e do tempo que o pulso de luz viaja de MR a MF e volta a MR, uma distância igual a 2D, então:
Onde c é a velocidade da luz e ω é a velocidade de rotação do espelho em radianos por segundo. 2D/c é o tempo que o pulso de luz gasta para viajar de MR até MF e volta para MF.
Substituindo (4) na equação (3) temos:
Explicitando a velocidade da luz:
Onde:
c = velocidade da luz;
ω = a velocidade de rotação do espelho rotatório (MR);
A = a distância entre as lentes L2 e L1, menos a distância focal de L1;
B = a distância entre a lente L2 e o espelho rotatório (MR);
D = a distância entre o espelho rotatório (MR) e o espelho fixo (MF);
Δs' = o deslocamento da imagem, vista através do microscópio (Δs '= s1 – s), em que s é a posição da imagem quando o espelho rotatório (MR) está parado e s1 é a posição da imagem quando o espelho rotatório está rodando com velocidade angular ω).
Podemos ainda reescrever (5) sabendo que uma volta completa em uma circunferência corresponde a 2π. Teremos:
R = rotações por segundo;
CW = Designa o sentido horário de rotação de MR;
CCW = Designa o sentido anti-horário de rotação de MR.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Para a realização do experimento foram utilizados os instrumentos da PASCO® descritos no manual [6]:
1 - Espelho rotatório de alta velocidade;
2 - Espelho fixo;
3 - Microscópio de medida;
4 - Laser de 0,5 mW;
5 - Bancada óptica de 1 m;
6 - Bancada para alinhamento do laser;
7 - Acopladores para as bancadas ópticas;
8 - Lente 1 com distância focal de 48 mm;
9 - Lente 2 com distância focal de 252 mm;
10 - Polarizadores;
11- Suportes para componentes;
12 - Peças para alinhamento do feixe de laser e
13 - Trena para medir a distância entre o espelho rotativo e o espelho fixo.
Os componentes foram alinhados na bancada óptica segundo a Figura 7:
Figura 7: Alinhamento dos componentes.
O espelho fixo foi colocado a uma distância D do espelho rotativo e o restante da montagem dos equipamentos e alinhamento do feixe de luz foi feita com cuidado e paciência. Fez se o alinhamento do espelho fixo e das lentes de maneira que o feixe refletido incidisse aproximadamente na região central do espelho fixo, utilizou um papel branco para auxílio. 
Centralizou-se a imagem vinda do espelho fixo no centro da cruz do microscópio e, através do micrômetro, fez-se a leitura inicial. Ligou-se o motor na rotação anti-horária máxima colhendo dados até zerar e depois na rotação horária, anotou-se o seu valor e mediu-se o deslocamento s’ correspondente através do parafuso micrométrico. Pelas medidas de A, B e D e com os dados anteriores determinou-se a velocidade da luz comparando-a com o valor esperado.
Imagem 8: Detalhe do microscópio sobre a bancada óptica utilizado no experimento.
ANÁLISE DE DADOS
Os dados foram colhidos duas vezes. Para os valores fixos da primeira tomada, temos:
A (distância entre L1 e L2 menos a distância focal de L1) = 0,301±0,005m;
B (distância entre L2 e o espelho rotativo) = 0,501±0,005m;
D (distância entre o espelho rotativo e o fixo) = 6,470±0,005m;
Então passamos aos valores variáveis para rotação do espelho giratório e medida do micrômetro s’:
	
	R (rev/s)
	s' (±0,05mm)
	1
	1087
	11,97
	2
	642
	11,91
	3
	-835
	11,65
	4
	-1060
	11,61
	5
	-1555
	11,56
Tabela 1: Medidas feitas com o micrômetro para rotações do espelho no sentido horário (valores positivos) e anti-horário (valores negativos).
Utilizando a equação (6) para alguns pares de dados, calcularam-se os seguintes valores para a velocidade c:
	Par de dados
	c (* 10 8 m/s)
	1 e 3
	1,79
	1 e 4
	2,29
	1 e 5
	2,46
	2 e 3
	2,17
	2 e 4
	2,17
	2 e 5
	2,40
	MÉDIA
	2,15
Tabela 2: Valores obtidos para a velocidade da luz c através dos dados coletados pela primeira vez.
A segunda tomada de dados teve os seguintes valores fixos:
A (distância entre L1 e L2 menos a distância focal de L1) = 0,252±0,005m;
B (distância entre L2 e o espelho rotativo) = 0,490±0,005m;
D (distância entre o espelho rotativo e o fixo) = 6,380±0,005m;
E os seguintes valores para rotação e s’:
	
	R (rev/s)
	s' (±0,05mm)
	1
	1077
	13,49
	2
	607
	13,41
	3
	-587
	13,21
	4
	-1081
	13,06
	5
	-1542
	13,07
Tabela 3: Medidas feitas com o micrômetro para rotações do espelho no sentido horário (valores positivos) e anti-horário (valores negativos).
Usando novamente a equação (6), os seguintes valores para c foram encontrados:
	Par de dados
	c (* 10 8 m/s)
	1 e 3
	2,23
	1 e 4
	1,88
	1 e 5
	2,34
	2 e 3
	2,24
	2 e 4
	1,81
	2 e 5
	2,37
	MÉDIA
	2,21
Tabela 4: Valores obtidos para a velocidade da luz c através dos dados coletados pela segunda vez.
	As velocidades encontradas respeitaram, em sua totalidade, a ordem de grandeza de c (~108 m/s). O melhor par de dados foi o “1 e 5” da primeira tomada de dados, provavelmente porque neste caso foram utilizados os valores máximos de rotações do espelho giratório, e as condições de montagem experimental foram melhores do que na segunda tentativa.
	As médias dos valores e seus respectivos desvios para c são: 2,15 ± 0,102 * 108 m/s para a primeira medida e 2,21 ± 0,097 * 108 m/s para a segunda. Ambas ficam em torno de ~2,30 * 108 m/s, considerando os desvios. Isso pode ser interpretado como um erro associado às condições externas do experimento (erros sistemáticos).Com os dados das tabelas 1 e 3 também foi possível plotar um gráfico de rev/s x s’ para calcular a velocidade da luz:
Gráfico 1: rotações versus posição s’ com os dados da Tabela 1.
É possível comparar o parâmetro b da função obtida através do ajuste linear com a equação (6) da seguinte forma:
Onde k é uma constante (medidas referentes às distâncias dos instrumentos). Assim:
Abaixo seguem o gráfico e o cálculo semelhante para a segunda tomada de dados:
Gráfico 2: rotações versus posição s’ com os dados da Tabela 3.
Cálculo da velocidade c com o parâmetro b do gráfico 2:
CONCLUSÃO
Através da metodologia de Foucault e com os instrumentos da PASCO® foi possível realizar duas tomadas de dados (em dias diferentes) e, consequentemente, a velocidade da luz foi estimada duas vezes com condições de montagem distintas.	
Compreendeu-se logo de início que os valores obtidos seriam aproximados devido à sensibilidade do instrumento de medida, tanto como a interferência do ar no feixe do laser, o erro experimental (medidas) e o próprio movimento das pessoas no laboratório. A primeira tentativa se mostrou mais eficiente, pois o valor de c obtido () foi mais próximo do esperado teoricamente (c = 299 792 458 m/s). Contudo, a segunda tentativa também foi satisfatória, pois apesar dos valores terem sido mais baixos, a ordem de grandeza esperada (~108 m/s) foi respeitada. Os resultados obtidos através dos gráficos também se mostraram satisfatórios.
REFERÊNCIAS
[1] BALDIOTTI, M. C. Física Moderna I – Parte A. Pgs. 21-24. Junho, 2013.
[2] Galileu Galilei. <https://pt.wikipedia.org/wiki/Galileu_Galilei> Acesso em 31/07/2015.
[3] Como foi calculada a velocidade da luz pela primeira vez? <http://physicsgg.me/ 2015/03/03/>. Acesso em 31/07/2015.
[4] A Velocidade da Luz. <http://pt.wikinoticia.com/cultura%20cient%C3%ADfica /Ci%C3%AAncia/67273-a-velocidade-da-luz>. Acesso em 01/08/2015.
 [5] SMALLWOOD, Karl. Como a velocidade da luz foi medida pela primeira vez. <http://gizmodo.uol.com.br/como-a-velocidade-da-luz-foi-medida-pela-primeira-vez/>. Acesso em 01/08/2015.
[6] Instruction Manual 012-12647A. PASCO®.