Cálculo Diferencial a uma Variável

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Cálculo Diferencial a uma Variável – Matemática – Apol - Uninter
Questão 1/5 - Cálculo Diferencial a uma Variável
Leia o texto a seguir:
A função  f(x)=x2−3x+8f(x)=x2−3x+8 tem como gráfico uma parábola com concavidade voltada para cima e possui valor de mínimo que caracteriza um ponto crítico.
Fonte: Livro-base, p. 107.
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, o ponto crítico da função acima vale
Nota: 20.0
	
	A
	1/2.
	
	B
	3/2.
Você acertou!
Para resolver a questão, basta calcular a derivada da função e igualar a zero. Assim,
f′(x)=0⟺2x−3=0⟺x=32.f′(x)=0⟺2x−3=0⟺x=32. 
(Livro-base, p. 107).
	
	C
	3/5.
	
	D
	3/4.
	
	E
	1/3.
Questão 2/5 - Cálculo Diferencial a uma Variável
O gráfico da figura abaixo mostra o aumento da Força G de um avião experimental em função do ângulo de inclinação da aeronave. A força G, representada pela função f(x)=ex−1x,f(x)=ex−1x, cresce exponencialmente quando a inclinação xx da aeronave aumenta, no entanto, pode-se observar que a função possui um limite em torno de x=0.x=0.
O valor da força G, em torno de x=0x=0, é dado por limx→0ex−1x,limx→0ex−1x, cujo valor é igual a
(Livro-base páginas 40 a 82).
Nota: 20.0
	
	A
	1/4.
	
	B
	3/4.
	
	C
	1/3.
	
	D
	1/2.
	
	E
	1.
Você acertou!
O limite em questão é um limite fundamental cujo valor é limx→0ex−1x=1.limx→0ex−1x=1.
(Livro-base páginas 40 a 82).
Questão 3/5 - Cálculo Diferencial a uma Variável
Leia o enunciado a seguir e responda de acordo com o que aprendeu nas aulas e no livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral:
Calculando ∫f(x)dx∫f(x)dx, para f(x)=x3+4x+5f(x)=x3+4x+5 teremos o resultado igual a:
(Livro-base, p. 147)
Nota: 0.0
	
	A
	x44+2x2+5xx44+2x2+5x.
	
	B
	x44+2x2+5x+Cx44+2x2+5x+C.
Observe que ao calcular a integral indefinida de uma função polinomial devemos aumentar uma unidade no expoente da parte literal de cada termo, e dividir cada termo pelo resultado da soma desse expoente, o resultado será um polinômio com um grau a mais que a função inicial, como a integral é indefinida, teremos o acréscimo de uma constante. (livro-base, p.147)
	
	C
	x4+4x2+5x+Cx4+4x2+5x+C.
	
	D
	3x2+4+C3x2+4+C.
	
	E
	x3+4x+5+C.x3+4x+5+C.
Questão 4/5 - Cálculo Diferencial a uma Variável
De acordo com os conhecimentos adquiridos em aula e no livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, leia as afirmações abaixo:
I. ∫20(3x2+2x+1)dx=33∫02(3x2+2x+1)dx=33.
II. ∫21(x5+2x3+1)dx=1196∫12(x5+2x3+1)dx=1196.
III. A área sob curva f(x)=−x2+1f(x)=−x2+1 e o eixo xx é igual a  43 u.a.43 u.a.
(Livro-base, p. 145 e 181)
É correto o que se afirma apenas em:
Nota: 20.0
	
	A
	I.
	
	B
	I e II.
	
	C
	II.
	
	D
	I e III.
	
	E
	III.
Você acertou!
Observe que ao calcular a área limitada por uma função e o eixo x, devemos observar como se comporta a função e em quais pontos no eixo x ela toca. Como a área definida entre a função e o eixo x será definida para −1⩽x⩽1−1⩽x⩽1, portanto a integral será definida no intervalo −1⩽x⩽1−1⩽x⩽1. Seu valor será: ∫1−1(−x2+1)dx=−x33+x|1−1=43 u.a.∫−11(−x2+1)dx=−x33+x|−11=43 u.a.
Resolvendo as integrais definidas, na alternativa I teremos que ∫20(3x2+2x+1)dx=14∫02(3x2+2x+1)dx=14, e na alternativa II: ∫21(x5+2x3+1)dx=(x66+x42+x)|21=19 u.a.∫12(x5+2x3+1)dx=(x66+x42+x)|12=19 u.a.. (livro-base, p. 145)
Questão 5/5 - Cálculo Diferencial a uma Variável
Uma função dada por f(x)=x21−5x2f(x)=x21−5x2 é utilizada em situações em que os valores sejam limitados, ou seja, não cresçam além do limite LL quando x→±∞.x→±∞. 
Referência: Livro-base, p. 52 a 60.
Nesse caso, o limite LL dessa função é dado por L=limx→−∞x21−5x2L=limx→−∞x21−5x2 e é igual a
Nota: 20.0
	
	A
	-1/5.
Você acertou!
Para o cálculo deste limite, devemos colocar x2x2 em evidência no denominador, pois temos uma indeterminação do tipo +∞−∞.+∞−∞. Assim, a expressão x21−5x2x21−5x2 pode ser escrita como x25x2(15x2−1)=15(15x2−1).x25x2(15x2−1)=15(15x2−1). Logo, 
limx→−∞x21−5x2=limx→−∞15(15x2−1)=1−5=−15.limx→−∞x21−5x2=limx→−∞15(15x2−1)=1−5=−15. 
Referência: Livro-base, p. 52.
	
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	1/5.
	
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	1.
	
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	-1.
	
	E
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