Estado Uniaxial de Tensões

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Estado Uniaxial de Tensões 
Nadine Machado Ficher(1), Rafael Thibes(1), Raissa Hammes(1), Tonilson Rosendo(2). 
(1) Discente do Programa de Pós-Graduação em Engenharias da Universidade Federal do Pampa 
(2) Docente do Programa de Pós-Graduação em Engenharias da Univerdade Federeam do Pampa, responsável pela 
disciplina de Fundamentos da Análise Experimental de Estruturas. 
Resumo: 
Designa-se estado uniaxial quando a componente da tensão é considerada em apenas uma direção, a 
resistência dos materiais estabelece considerações lineares e elásticas que envolvem os carregamentos 
e geometria a fim de realizar à definição e à análise do estado de tensão e propriedades da estrutura 
nos seus diversos pontos. No experimento realizado, a aplicação de uma carga uniaxial na extremidade 
livre de uma viga em balanço gerou deflexões que foram medidas através de um relógio comparador 
e de um escalimetro, assim como a deformação gerada pela mesma força foi medida através de um 
“strain gage”. O experimento avaliou a diferença nos resultados encontrados para o módulo de 
elasticidade do material, entre as técnicas utilizadas e também entre os valores que constam na 
literatura, concluindo posteriormente que a utilização do “strain gage” é mais fidedigna. Ainda foram 
avaliadas as tensões e deformações encontradas experimentalmente e analiticamente, podendo 
ressaltar que existem divergências nos resultados encontrados analiticamente para aqueles que foram 
encontrados experimentalmente. 
Palavras-chave: Tensões uniaxiais, deformações, módulo de elasticidade.
1. Introdução 
 
Os procedimentos experimentais de 
tensões têm como objetivos determinar as 
tensões e deformações que atuam nos corpos e 
objetos em análise. Esta análise nos permite 
representar os pontos críticos e permite 
estabelecer suas tensões equivalentes e, 
embasado em critérios de resistência, permitir a 
mensuração de seu estado limite último de 
operação e, assim, a segurança à falha do corpo. 
A resistência dos materiais estabelece 
metodologias que trabalham sob considerações 
lineares e elásticas e que abrange 
carregamentos, materiais e geometria para 
proceder à definição e à análise dos estados de 
tensão dos pontos críticos das estruturas. Neste 
experimento estão apresentados alicerces da 
resistência dos materiais que relacionam os 
estados de tensões e os estados de deformações. 
A Resistência dos Materiais procura 
definir os estados de tensões nos diversos 
pontos e, nos valendo do experimento e 
resultados, extrair e comparar estes estados 
empiricamente e teoricamente, correlacionando 
ambos para um resultado aprimorado e mais 
fidedigno. 
Para determinação do comportamento de 
um material ou até mesmo uma estrutura, 
quando esse é solicitado, utilizam-se dados 
analíticos e experimentais. No caso deste 
trabalho buscamos por meio de um 
experimento laboratorial analisar o 
comportamento mecânico e a deformações de 
uma viga em balanço sob o estado uniaxial de 
tensões. Com o auxílio de um “strain gage”, 
um relógio comparador digital e um 
escalímetro também se realizou a comparação 
entre os métodos de avaliação experimentais 
que podem ser utilizadas para encontrar, por 
exemplo, o módulo de Elasticidade do material. 
 
 
 
2. Fundamentação Teórica 
Para análise do comportamento mecânico 
da viga em balanço, sob estado uniaxial de 
tensão, foram calculados alguns componentes 
importantes, para isso utilizou-se das fórmulas 
descritas por Beer (2010) para a análise dos 
esforços que agem sofre o elemento. 
Para o cálculo da tensão máxima que 
ocorre na viga, temos a equação 1: 
𝜎 =
𝑀𝑓𝐶
𝐼
 (1) 
Onde Mf é o momento fletor máximo da viga; 
C é a distância da linha neutra da seção da viga, 
até o ponto mais afastado da seção transversal 
(ST) e I é o momento de inércia da ST. Sendo 
que Mf é definido por 𝑀𝑓 = 𝐹𝑑 , em que F é 
a força aplicada e d a distância de atuação da 
força até o local em que se calcula o momento. 
Aplicando a Lei de Hooke, ainda podemos 
dizer que: 
 𝜎 = E𝜀 (2) 
Onde a tensão máxima de flexão é definida 
pelo módulo de elasticidade do material (E) e 
pela deformação do mesmo (𝜀). 
Considerando ainda, que a solicitação da 
viga em balanço irá causar uma deflexão (y) 
sobre a mesma, o comportamento da deflexão é 
descrito pela equação abaixo: 
 𝑦 =
𝐹𝑥2
6𝐸𝐼
 (𝑥 − 3𝐿) (3) 
Segundo Hebbeler (2005) na prática da 
engenharia é importante determinarmos a 
máxima e a mínima tensão normal que a atuam 
sobre a viga, bem como a orientação que 
causará o maior esforço de cisalhamento do 
plano. Essas tensões máximas (𝜎1) e mínimas 
(𝜎2), são conhecidas como tensões principais, e 
são dadas pelas fórmulas a seguir: 
𝜎1,2 = 
𝜎𝑥+𝜎𝑦 
2
 ± √(
𝜎𝑥−𝜎𝑦 
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦2 (4) 
Onde 𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 correspondem as tensões 
normais atuantes nos eixos x e y, e 𝜏𝑥𝑦 é a 
tensão normal de torque, que para esse caso 
será zero. 
Assim como ocorre com as tensões 
normais, que ocorrem em seus máximos e 
mínimos, com as deformações também o 
ocorrem da mesma maneira. As deformações 
principais (𝜀1,2) são dadas pela seguinte 
equação: 
𝜀1,2 = 
𝜀𝑥+𝜀𝑦 
2
 ± √(
𝜀𝑥−𝜀𝑦 
2
)
2
+ (
𝛾𝑥𝑦
2
)
2
 (5) 
As deformações 𝜀𝑥 , 𝜀𝑦 são aquelas que 
ocorrem nos eixos x e y, assim como acontece 
com as tensões principais. 
3. Metodologia 
Os materiais utilizados para realização do 
experimento foram: 
 Uma barra de aço maciça; 
 Elementos de fixação (sargento); 
 Computador com software Catman; 
 Um Spider para ligação em ¼ de ponte; 
 Um peso-padrão de massa conhecida; 
 Um relógio comparador; 
 Um extensômetro de resistência 
elétrica, “strain gage”; 
 Uma régua metálica; 
 Um escalímetro; 
 Um paquímetro. 
3.1. Montagem do Experimento 
Uma barra de aço maciça de comprimento 
de 726,35mm, com seção retangular de 
9,59mm de base e altura de 9,70mm, foi fixada 
uma mesa, através de sargentos, de modo a 
formar um sistema engastado de uma viga em 
balanço. O esquema da viga em balanço é 
ilustrado na Fig. 1 
 
Fig. 1- Esquema de Viga em balanço utilizada no 
experimento. 
 
 
3.2. Relógio Comparador 
O relógio comparador foi posicionado 
adequadamente, a uma distância de 645,55mm 
do engaste da viga, de modo a realizar a medida 
da deflexão naquele ponto, no momento em que 
uma carga da 20,5N era aplicada na 
extremidade livre da barra. O experimento foi 
repetido por cinco vezes, de modo a obter uma 
média dos resultados posteriormente. A Fig. 2 
Fig. 2representa a configuração do sistema 
experimental. 
 
Fig. 2- Esquema de viga em balanço, com instalação do 
relógio comparador. 
3.3. Escalimetro 
Após a retirada do relógio comparador a 
medição da deflexão causada pela carga de 20, 
5N foi lida através do uso de um escalimetro 
com o auxílio de uma haste metálica que serviu 
como referência. A leitura por esse método foi 
realizada 5 vezes, para posterior média dos 
daos. Na Fig. 3 é possível visualizar o 
posicionamento do escalimetro, conforme foi 
realizado o experimento. 
 
Fig. 3- Esquema da viga em balanço com indicação da 
localização do escalimetro 
3.4. Strain Gage (SG) 
Conforme a Fig. 4 ilusta, um strain gage foi 
colado perto do engaste, na parte superior da 
viga, o mesmo foi conectado ao Spider em uma 
ligação de ¼ de ponte. O software Catman foi 
configurado com um fator de sensibilidade 
k=2,11, uma tensão de 2,5 V e uma aquisição 
dedados com 5Hz. A carga de 20,5N foi 
aplicada na extremidade da viga em balanço, e 
logo após a leitura da deformação foi realizada 
pelo sistema, o procedimento foi realizado 5 
vezes, para posteriormente realizar a média dos 
resultados. 
 
Fig. 4-Esquema da viga em balanço com a localização do 
SG 
4. Análise dos Resultados 
4.1. Avaliação experimental do Módulo de 
Elasticidade 
Na Tabela 1 é possível visualizar os valores 
das medições para os três experimentos 
realizados, bem como a média encontrada para 
para a deflexão (y), correspondente ao relógio 
comparador e ao escalimentro, e a média das 
deformações obtidas pelo SG. 
Tabela 1: Medidas obtidas experimentalmente. 
Medições 
Relógio 
(cm) 
Escalimetro 
(cm) 
SG (μm/m) 
1ª 2,12 1,90 539,82 
2ª 2,11 1,90 539,60 
3ª 2,11 2,00 540,28 
4ª 2,12 2,00 540,28 
5ª 2,11 2,00 540,50 
Média 2,11 1,96 540,10 
A partir das médias encontradas foi 
possível calcular o módulo de elasticidade (E) 
referente ao material, para os três casos, sendo 
elas 141,59 GPa, 171,88 GPa e 179,31 GPa, 
para o relógio comparador, escalimentro e SG, 
respectivamente. Quando comparamos esses 
valores de módulo de elasticidade com os 
valores sugeridos por Beer (2010) de 210GPa e 
por Hibbeler (2005) de 200GPa, vemos que 
existe uma variação nos resultados obtidos 
experimentalmente e com os resultados 
encontrados em literatura. Na Tabela 2, podemos 
conferir as diferenças em percentual, para as 
duas literaturas citadas anteriormente. 
 
Tabela 2: Módulos de Elasticidade experimentais e 
segundo literatura. 
Técnicas Experimental 
Beer 
(2010) 
Hibbeler 
(2005) 
Er (GPa) 141,59 32,57(%) 29,20(%) 
Ep (GPa) 171,88 18,15(%) 14,06(%) 
Esg (GPa) 179,31 14,62(%) 10,35(%) 
É possível ver que o módulo de 
elasticidade calculado a partir da deformação 
medida com o “strain gage” é o valor que 
melhor se aproxima dos resultados encontrados 
nas literaturas, com discrepância de 14,62 % e 
10,35%, para Beer (2010) e Hibbeler (2005), 
respectivamente. O módulo de elasticidade 
calculado através da deflexão medida pelo 
escalimetro aparece com valores mais 
próximos aos da literatura, após os dados do 
SG, sendo de 18,15% e 14,06%, para Beer 
(2010) e Hibbeler (2005), respectivamente. 
Quanto aos resultados encontrados a partir da 
deflexão medida pelo relógio comparador, os 
mesmos foram os que mais se distanciaram dos 
dados encontrados nas literaturas, 32,57% e 
29,20% afastados, em relação a Beer (2010) e 
Hibbeler (2005), respectivamente. 
4.2. Análise das tensões e deformações 
teóricas e experimentais 
Considerando apenas o E do aço como 
210GPa, sugerido em Beer (2010), foi 
calculado analiticamente a deformação (ε) 
esperada para a viga, através da equação 2 e a 
tensão de flexão teórica pode ser calculada a 
partir da equação 1. Com esses resultados os 
valores da tensão e da deformação teórica, 
puderam ser comparados com a tensão e a 
deformação experimental. Os resultados 
encontrados podem ser conferidos na Tabela 3: 
Tabela 3: Tensão e Deformação, teóricas e experimentais 
Propriedades Teórico Experimental 
𝜎 (MPa) 96,84 113,42 
𝜀 (μm/m) 461,16 540,10 
Nota-se que os resultados obtidos 
experimentalmente foram 17,12% acima dos 
resultados teóricos esperados. 
 A partir das equações 4 e 5 foi possível 
calcular as tensões e deformações principais 
que atuam sobre o elemento. Com os resultados 
obtidos foi possível traçar o círculo de Mohr 
para ambos os casos, os mesmos podem ser 
visualizados nas Fig. 5 e Fig. 6, respectivamente. 
 
Fig. 5: Tensões principais para o cálculo teórico e 
experimental. 
 
 
Fig. 6: Deformações principais para o cálculo teórico e 
experimental. 
É possível ver que a diferença de 17,12% 
encontrada entre os resultados teóricos e 
experimentais se replicam para as tensões e 
deformações principais. Através da análise 
gráfica percebe-se que os resultados teóricos 
são mais conservadores, em relação aos 
esforços que realmente estão atuando sobre a 
estrutura. 
 
 5. Conclusões 
Quanto ao estudo das diferentes maneiras 
experimentais de se obter o módulo de 
elasticidade de barra de aço, pode-se concluir 
que o “strain gage” por ser uma técnica com 
menor possibilidade de ser influenciada por 
fatores externos, uma vez que o mesmo é 
fabricado para evitar influências de 
temperatura, por exemplo, e ao mesmo tempo 
sensível a pequenas deformações realmente 
sofridas pela estrutura. Enquanto que as outras 
técnicas, são possíveis de serem influenciadas 
por fatores externos, assim como a leitura da 
deflexão não é precisa em ambas técnicas. 
Em relação as tensões encontradas 
teoricamente e experimentalmente percebe-se 
que utilização das ferramentas teóricas, para a 
análise do comportamento da estrutura, são de 
suma importância, uma vez que nos ajudam a 
determinar como se comportará a estrutura em 
serviço. No entanto através da análise 
experimental realizada pode se observar que é 
possível, devido a fatores externo, que a 
estrutura apresente um comportamento 
diferente do esperado analiticamente, sendo 
nesse caso 17,12% superior ao esperado, isso 
mais do que justifica o motivo do uso de 
coeficientes de segurança que nos permite 
trabalhar já supondo que possam existir fatores 
que venham por ventura gerar esforços maiores 
dos que os esperados analiticamente. 
6. Referências 
R. C. Hibbeler, Resistência dos Materiais, 
Pearson, 2005. 
F. P. Beer, Resistência dos Materiais, AMGH, 
2010.