Lista2 - Patricia

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Universidade Estadual Paulista “Ju´lio Mesquita Filho”
FCT-Presidente Prudente
Lista 1: Sequeˆncias Infinitas
1. Encontre os sete primeiros termos das seguintes sequeˆncias:
(a) an =
2n
2n+1
(b) an =
(−1)n+1
2n− 1
(c) an =
1− n
n2
(d) a1 = 1, an+1 = an +
1
2n
(e) a1 = −2, an+1 = nan
n + 1
(f) a1 = 2, a2 = −1, an+2 = an+1
an
2. Encontre uma fo´rmula para as seguintes sequeˆncias
(a) {1,−1, 1,−1, . . . }
(b) {1,−4, 9,−16, 25, . . . }
(c)
{
1
9
,
2
12
,
22
15
,
23
18
,
24
21
, . . .
}
(d) {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3}
(e) {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, . . . }
(f)
{
1,−1
4
,
1
9
,− 1
16
,
1
25
, . . .
}
3. Determine se as seguintes se´ries convergem ou divergem. Encontre o limite de cada se-
quencia convergente.
(a) an =
n− (−1)n
n
(b) an =
3n + 1
1− 4√n
(c) an =
1− 2n2
n4 + 10n3
(d) an =
√
2n
n + 1
(e) an = lnn− ln(n + 1)
(f) an =
ln(n + 1)√
n
(g) an =
(
1 +
3
n
)n
(h) an =
sin2 n
2n
(i) an =
(
1
3
)n
+
1√
2n
(j) an =
1
n
∫ n
1
1
x
dx
(k) an =
(
6n + 1
6n− 1
)n
(l) an =
√
n sin
1√
n
(m) an =
n
√
4nn
(n) an = n
(
1− cos 1
n
)
4. Encontre o limite das sequeˆncias definidas recursivamente:
(a) a1 = −1, an+1 = an + 6
an + 2
(b) a1 = 0, an+1 =
√
8 + 2an
(c) a1 = 2, an+1 =
72
1 + an
(d) a1 = 5, an+1 =
√
3an
5. O primeiro termo de uma sequeˆncia e´ x1 = 1. Cada um dos termos seguintes e´ a soma de
todos os seus antecedentes:
xn+1 = x1 + x2 + · · ·+ xn
• Profa. Patricia H. Tacuri page 1 of 2
Escreva os primeiros termos da sequeˆncia suficientes para deduzir uma fo´rmula geral para
x, que seja verdadeira para n ≥ 2.
6. O Me´todo de Newton: Este me´todo e´ aplicado para resolver numericamente a equac¸a˜o
f(x) = 0, onde f(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel, o me´todo consiste na construc¸a˜o de uma
sequeˆncia de nu´meros, que sob condic¸o˜es favora´veis converge para um zero de f , isto e´,
converge para um nu´mero L, tal que f(L) = 0 .
As seguintes sequeˆncias vem da fo´rmula recursiva para o Me´todo de Newton,
xn+1 = xn − f(xn)
f ′(xn)
(a) x0 = 1, xn+1 = xn − x
2
n − 2
2xn
(b) x0 = 1, xn+1 = xn − tanxn − 1
sec2 xn
Encontre o valor para o qual as sequeˆncias convergem. Em cada caso comece identificando
a func¸a˜o f que gera a sequeˆncia.
7. Suponha que f(x) seja deriva´vel e que f ′(x) seja cont´ınua, para todo x em [0, 1], ale´m
disso suponha que f(0) = 0. Defina a sequeˆncia an da seguinte forma
an = nf
(
1
n
)
Mostre que limn→∞ an = f ′(0). Utilize este resultado para calcular os limites das seguintes
sequeˆncias:
(a) an = n tan
−1
(
1
n
)
(b) an = n
(
e
1
n − 1
)
(c) an = n ln
(
1 +
2
n
)
(d) an = n ln
(
1 + n2
n2
)
(e) an =
1− n
n
+ n sin(
1
n
)
(f) an = n tan(
1
n
)
8. Determine se as seguintes sequeˆncias sa˜o monotoˆnicas e se sa˜o limitadas.
(a) an =
3n + 1
n + 1
(b) an =
2n3n
n!
(c) an =
(2n + 3)!
(n + 1)!
(d) an = 2− 2
n
− 1
2n
9. Determine se as seguintes sequeˆncias convergem ou divergem. Justifique sua resposta.
(a) an =
4n − 1
4n
(b) an = ((−1)n + 1)
(
n + 1
n
)
(c) a0 = cos 1, an+1 = max{an, cos(n+ 1)}
(d) an =
5n+1 + 3n
5n
(e) an =
1 +
√
2n√
n
(f) an =
5n − 1
8n
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