07 - Capitulo 7

Prévia do material em texto

7 – Controladores e Compensadores 1
7 – Controladores e Compensadores
7.1 – Objetivos da aula
• Caracterizar os tipos de compensadores;
• Conceituar controladores;
• Definir os tipos de projetos de compensadores a partir do Lugar das Raízes;
• Definir os tipos de projetos de compensadores a partir da Resposta em Frequência;
• Exercitar os conceitos.
7.2 - Introdução
A compensação é a modificação da dinâmica do sistema através de alteração ou ajuste de
dispositivos de forma a satisfazer um conjunto de especificações de projeto. Um requisito
importante é definir adequadamente as especificações de desempenho, de modo que o sistema
compensado seja capaz de atender as finalidades a que se destina. 
Neste capítulo são tratados apenas S.L.I.T.s, porém as configurações e técnicas apresentadas
são válidas também para outros sistemas. O projeto em geral desenvolve-se num esquema de
tentativa e erro, podendo conduzir, inclusive, a uma redefinição das especificações de projeto. 
Existem basicamente duas metodologias de projeto: 
1. abordagem pelo L.G.R.: utilizada nos casos em que as especificações de projeto são
fornecidas no domínio do tempo;
2. o projeto baseado na resposta em frequência: quando os requisitos de desempenho são
estabelecidos com base nas margens de estabilidade e largura de faixa. 
7.3 – Pré-compensação. Compensação Série e Compensação de Fase
Um dos objetivos da compensação é tornar a saída do sistema de controle insensível à ação
de distúrbios externos. Nas situações em que houver disponibilidade de um modelo matemático
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 2
satisfatório das perturbações, o projetista pode recorrer a um esquema de controle conhecido por
pré-compensação ou “feedforward”. 
O princípio básico dos pré-compensadores consiste em utilizar as informações disponíveis
sobre as perturbações e a dinâmica da planta para se obter uma estimativa da variável de controle.
Como a pré-compensação é uma técnica de malha aberta, cabe à realimentação adicional
compensar os desvios na saída do sistema de controle. 
O diagrama de blocos da figura abaixo apresenta a estrutura de um sistema de controle em
malha fechada com pré-compensação. 
Figura 7.1 – Sistema com Pré-compensação. Fonte: PEA2455 (2006)
Onde Gp(s) é a Função de Transferência do Pré-compensador, V(s) são variáveis medidas
associadas aos distúrbios, Gc(s) é a Função de Transferência do compensador de malha de
realimentação, G(s) é a Função de Transferência da Planta e U(s) a variável controlada.
Assim, a variável de controle U(s)é composta de duas parcelas: uma proveniente do bloco de
pré-compensação e a outra do compensador da malha de realimentação. Em sistemas de controle
nos quais a função de controle é desempenhada por um microcomputador, o bloco de pré-
compensação pode ser de natureza não linear. 
Um exemplo ilustrativo de um sistema de controle utilizando pré-compensação é o
posicionamento dinâmico de embarcações. Neste caso utilizam-se medições da direção e
intensidade do vento em conjunto com um modelo que fornece uma estimativa dos esforços
exercidos sobre a embarcação para se obter uma primeira aproximação dos empuxos a serem
produzidos pelos propulsores. A função do controlador da malha de realimentação é corrigir estes
valores de empuxo no sentido de compensar os inevitáveis erros do modelo e os demais efeitos de
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 3
difícil modelagem (por exemplo ondas e correntezas). 
Uma compensação bastante comum é projetos, pode ser feita de acordo com a figura abaixo:
Figura 7.2 – Sistema com compensação série. Fonte: PEA2455 (2006)
Os compensadores de fase apresentam a estrutura indicada na figura 7.3, sendo: 
Kc → Ganho constante
Gc(s) → Função de Transferência do Compensador
G(s) → Função de Transferência da Planta
Figura 7.3 – Compensação de Fase. Fonte: PEA2455 (2006)
7.4 – Compensação por avanço de Fase
7.4.1 – Características básicas do compensador por Avanço de Fase
A Função de Transferência de um compensador por avanço de fase é dada por:
Gc (s)=K c
s+ 1
T
s+ 1
αT
= K cα
Ts+1
αTs+1 (7.1)
Onde Kc>1 é um controlador de ganho proporcional, conforme a figura 7.3. 
O diagrama de polos e zeros deste controlador é dado por:
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 4
Figura 7.4 – Diagrama de Polos e Zeros de um compensador por avanço de fase. Fonte: PEA2455 (2006)
Analisando a expressão do compensador, observa-se que: o zero está à direita do polo e o
ganho em baixas frequências será dado por α<1 .
O Diagrama de Bode do Compensador pode ser visto na figura abaixo e tem a característica
de um filtro passa-altas:
Figura 7.5 – Diagrama de Bode de um compensador por avanço de fase α=0.1 . Fonte: PEA2455 (2006)
Pode-se mostrar que o valor máximo do avanço de fase é dado por:
Φ=arcsen(1−α1+α ) (7.2)
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 5
A Frequência em que este avanço ocorre é dada por:
ωm (AV )=√ 1T⋅ 1αT = 1√α⋅T (7.3)
7.4.2 – Projeto do Compensador por avanço de fase através do LGR
A abordagem através do L.G.R. é recomendável quando as especificações são fornecidas
através de parâmetros da resposta no tempo (sobressinal máximo, tempo de subida, etc). Os
parâmetros do compensador são determinados a partir da imposição de um par de polos
dominantes pertencentes ao L.G.R., que satisfazem as especificações da resposta transitória. 
O compensador pode ser projetado seguindo os passos abaixo:
1. Determinar a localização dos polos dominantes em malha fechada de forma a atender as
especificações de resposta transitória impostas; 
2. Construir o L.G.R. e verificar se apenas um ajuste de ganho é suficiente para alocar os polos
nas posições desejadas; caso contrário, obtêm-se a deficiência de ângulo φ a ser suprida
pelo compensador; 
3. Determinar as posições do polo e do zero do compensador. Não havendo especificações
para erro de regime, o polo e o zero devem ser alocados para que a contribuição de ângulo
φ exija um ganho adicional mínimo; 
4. Determinar o ganho de malha aberta do sistema compensado através da condição de
módulo do L.G.R..
Exemplo 7.1: Considere um servomecanismo utilizando motor CC com realimentação
unitária e controlado pela armadura, conforme o diagrama da figura abaixo, com Função de
Transferência dada por: G(s)= 4s⋅( s+2)
Figura 7.6 – Servomecanismo do exemplo 7.1. Fonte: PEA2455 (2006)
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 6
Para uma entrada degrau, deseja-se que a resposta do sistema tenha um sobressinal não
superior a 16% e um tempo de acomodação de 2s. A Função de Transferência em malha fechada
do sistema não compensado é dada por:
FTMF NC=
4
s2+2s+4
=
ωn
2
s2+2 ξωn s+ωn
2
De onde temos: ωn=2 rad /s e ξ=0.5 . Os polos deste sistema são: s=−1± j√3
Figura 7.7 – LGR do Sistema não compensado. Fonte: PEA2455 (2006)
Passo 1:
A partir de M p=e
−π
ξ
√1−ξ2 , e com ξ=0.5 calculamos Mp=0.163=16.3% (considerado
satisfatório).
O tempo de acomodação é dado por: t s(2%)=
4
ξωn
=4s . Este parâmetro deve ser
reduzido então pela metade, de acordo com as especificações de projeto.
Uma vez atendida a especificação do sobressinal, devemos manter ξ fixo. Desta forma,
para atender a especificação do tempo de acomodação, devemos mudar ωn para
wn
*=4 rad /s . Com esta alteração, os polos passam a ser:
s=−ξ⋅ωn± j⋅ωn
* √1−ξ2=−2± j⋅2√3 .Aqui termina o Passo 1.
Passo 2:
É fácil verificar que apenas um ajuste de ganho não é capaz de alocar os polos do sistema
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 7
para esta posição desejada. Etão, de forma “simples” é necessário compensar o sistema de modo
que o LGR do sistema compensado passe pelo ponto desejado.
Devemos então aplicar a Condição de Fase do LGR a fim de determina o ângulo a ser suprido
pelo compensador de forma a atender esta condição:
• ∢G (s*)=−210o , portanto a contribuição do compensador deve ser de +30o para que a
Condição de Fase (-180o) seja atendida.
Aqui termina o Passo 2.
Passo 3:
• Devemos determina a posição do polo e zero do compensador. A solução pode ser obtida
graficamente e existem infinitas posições para o polo e o zero do compensador que
satisfazem este requisito. Uma delas, a que corresponde ao valor máximo de α (vide nota
abaixo), resulta em T=0,345 , e α=0,537, ou seja:
Gc (s)=K c
s+ 1
T
s+ 1
αT
=K c
(s+2,9)
(s+5,4)
LGR do Sistema Compensado
Aqui termina o Passo 3.
Passo 4:
• Vamos determinar o valor do ganho de malha aberta através da Condição de Módulo do
LGR, aplicada para um dos polos desejados (determinado no Passo 1), neste caso, por
exemplo, s=−2+ j⋅2√3 :
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 8
• |K c⋅G c (s*)⋅G(s*)|=| k⋅(s*+2,9)s*⋅(s*+2)⋅(s*+5,4)|=1 , de onde temos que: K=18,7. Para este valor
de K, podemos obter então o valor de Kc: 4K c=18,7→K c=4,68
Observa-se que para um ganho de malha K=18,7 o terceiro polo em malha fechada está
localizado sobre o eixo real e muito próximo do zero do compensador. Portanto o seu efeito sobre
a resposta transitória é insignificante, o que confirma que os polos complexos conjugados são os
dominantes. 
Aqui termina o Passo 4.
NOTA: Procedimento para alocação do polo e zero do compensador para que α=αmax 
1. Traçar uma reta horizontal passando por P=a+j.b que corresponde a um dos polos
dominantes de malha; 
2. Traçar uma reta unindo o ponto P à origem; 
3. Achar a bissetriz do ângulo formado pelas duas retas com P como vértice; 
4. Traçar duas retas defasadas de ±φ/ 2 a partir do bissetriz, sendo φ a contribuição de fase do
compensador. Os pontos de intersecção das retas com o eixo real definem as posições do
polo e zero do compensador.
θ=arctan b
a , ∣P∣=√a
2+b2
1
T
=∣P∣⋅
cos(θ+ϕ2 )
cos(θ−ϕ2 )
,
1
α⋅T
=∣P∣⋅
cos(θ−ϕ2 )
cos(θ+ϕ2 )
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 9
7.5 – Compensação por atraso de Fase
7.4.1 – Características básicas do compensador por Atraso de Fase
A Função de Transferência de um compensador por atraso de fase é dada por:
Gc (s)=K cβ⋅
Ts+1
βTs+1 = K c
s+ 1
T
s+ 1
βT
, β>1 , T >0 (7.4)
O diagrama de polos e zeros deste controlador é dado por:
Figura 7.8 – Diagrama de Polos e Zeros de um compensador por atraso de fase. Fonte: PEA2455 (2006)
Analisando a expressão do compensador, observa-se que: o zero está à esquerda do polo e o
Diagrama de Bode do Compensador pode ser visto na figura abaixo (tem a característica de um
filtro passa-baixas):
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 10
Figura 7.9 – Diagrama de Bode de um compensador por atraso de fase β=10 . Fonte: PEA2455 (2006)
Pode-se mostrar que o valor máximo do avanço de fase é dado por:
Φ=arcsen(β−1β+1 ) (7.5)
A Frequência em que este avanço ocorre é dada por:
ωm (AT)=√ 1T⋅ 1βT = 1√β⋅T (7.6)
7.5.2 – Projeto do Compensador por atraso de fase através do LGR
A abordagem através do L.G.R. é recomendável quando as especificações são fornecidas
através de parâmetros da resposta no tempo (sobressinal máximo, tempo de subida, etc). O
compensador pode ser projetado seguindo os passos na sequência: 
1. Desenhar o L.G.R. para o sistema não compensado e, com base nas especificações da
resposta transitória localizar nos mesmos os polos dominantes do sistema em malha
fechada; 
2. Calcular o erro de regime para a entrada especificada; 
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 11
3. Determinar o fator de redução de ganho necessário para satisfazer as especificações de
erro de regime; 
4. Escolher o polo e o zero do compensador para se obter a redução calculada no item 3 sem,
contudo, alterar sensivelmente o L.G.R. nas vizinhanças dos polos dominantes; 
5. Desenhar o L.G.R. para o sistema compensado; 
6. Utilizando a condição de módulo, calcular o novo valor do ganho de malha para que os
polos dominantes de malha fechada estejam localizados na posição especificada. Se
necessário, determinar o fator de ganho adicional. 
Exemplo 7.2: Considere o sistema com realimentação unitária cuja Função de Transferência
de malha aberta seja dada por:
G(s)= 1.06
s⋅(s+1)⋅(s+2)
Admitindo-se que a resposta transitória tenha um sobressinal satisfatório, deseja-se
compensar o sistema para que o erro em regime para entrada em rampa seja de 0,2.
Nota: Para um erro de 0,2 temos que a constante de erro estático de velocidade deve ser:
ess=
1
K v
→0.2= 1
K v
→K v=5s
−1
Passo 1:
O LGR do sistema e os polos dominantes de malha fechada são dados por:
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 12
Compensador: K c
s+ 1
T
s+ 1
βT
s=−ξ⋅ωn± j⋅ωn√1−ξ2=−0.33± j⋅0.58
ξ=0.5 e ωn=0.67 rad / s
LGR do Sistema não Compensado
Passo 2:
O erro estacionário para entrada em rampa unitária é: ess=lim
s→0 [ ss2⋅(1+G(s))]=1,89 s , o
que corresponde a K v=
1
1,89
=0,53 s−1
Passo 3: 
Mantendo a resposta transitória virtualmente inalterada, para reduzir o erro de acordo com
a especificação, devemos ter o seguinte fator de redução 1,89/0,2 = 9,45. Podemos então adotar
β=10 .
Passo 4: 
Podemos alocar o polo do compensador próximo da origem, por exemplo em s=−0,005
para β=10 e desta forma, o zero do compensador resulta em s=−0,05 . A Função de
Transferência do Compensador e do Sistema são dadas por:
Gc (s)=K c⋅
s+0,05
s+0,005 e 
GcG (s)=K c⋅
s+0,05
s+0,005
⋅ 1.06
s⋅(s+1)⋅(s+2)
Passo 5:
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 13
O LGR para o sistema compensado é dado por: 
Passo 6:
Mantendo o coeficiente de amortecimento ξ=0.5 , os polos dominantes do sistema
compensado localizam-se no ponto de interseção do LGR com a reta que une a origem com os
polos do sistema não compensado, resultando: s*=−0,31± j⋅0,55 .
Aplicando-se a Condição de Módulo para este ponto, obtém-se:
| kmalha⋅(s*+0,05)s*⋅(s*+2)⋅(s*+0,005)|=1 → kmalha=1,02
Neste caso, é necessário providenciar uma amplificação adicional com ganho Kc, para que o
ganho de malha resulte no valor desejado (0.98): 1,06K cβ=0,98 → K c=0,97
Abaixo podemos ver o diagrama de blocos do sistema compensado:
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 14
O erro estacionário para entrada em rampa, resulta em:
ess= lim
s→0 [ ss2⋅(1+K c⋅Gc⋅G(s ))]=0.195s e pode-se considerar que a especificação foi
atingida. (Neste caso K v=5,14 s
−1 )
Além dos polos dominantes, o sistema em malha fechada tem dois outros polos: 
• s=−0,0549 , bastante próximo do zero do compensador e, por essa razão, praticamente
não tem influência sobre a resposta transitória; 
• s=−2,326 , suficientemente afastado do eixo imaginário e em relação aos polos
dominantes, de forma que sua contribuição para a resposta transitória cessa rapidamente. 
7.6 – Compensadores P, PI, PD e PID
Considere a títulode exemplo, o sistema da Figura 8.2 acima, cuja planta apresente a Função
de Transferência dada por:
G(s)= 1
(s+0.2)(s+1)
= 5
(5s+1)(s+1)
Na sequência é analisado o desempenho de um sistema em malha fechada para cada um dos
quatro tipos de controladores (ou compensadores): proporcional, PI, PD e PID.
7.6.1 – Compensador Proporcional
Neste tipo de controlador, temos:
Gc (s)=K p (7.1)
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 15
Neste caso o sistema é do tipo 0. Para se obter um valor reduzido de erro estacionário para
uma entrada degrau, é necessário impor um valor de ganho Kp elevado. 
Pelo diagrama do L.G.R. abaixo, verifica-se que, para ganhos elevados, os polos de malha
fechada tornam-se complexos conjugados e com baixo coeficiente de amortecimento. Nestas
condições, a resposta do sistema é oscilatória e apresenta um sobressinal elevado. 
Figura 7.10 – LGR do Sistema com controlador proporcional. Fonte: PEA2455 (2006)
7.6.2 – Compensador Derivativo (PD)
Neste tipo de controlador, temos:
Gc (s)=K p(1+s⋅T d) (7.2)
Adotando-se Td= 5 o zero do compensador coincide com o polo da planta. Nestas condições
o sistema é do tipo 0 e apresenta erro estacionário finito para entrada degrau. Note que a inclusão
do zero desloca o L.G.R. para a esquerda, aumentando a estabilidade relativa do sistema. 
Figura 7.11 – LGR do Sistema com controlador PD. Fonte: PEA2455 (2006)
Por outro lado, mesmo adotando-se valores de ganho elevados com o objetivo de reduzir o
erro estacionário, a resposta do sistema sempre será superamortecida. 
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 16
7.6.3 – Compensador Integral (PI)
Neste tipo de controlador, temos:
Gc (s)=K p⋅(1+ 1s⋅T i) (7.3)
Adotando-se Ti= 5, o zero do compensador coincide com o polo da planta e a inclusão do
polo na 
origem, proveniente do integrador, torna o sistema tipo 1. Portanto, o erro estacionário para
entrada degrau é nulo e independentemente do valor do ganho. 
Note que a presença do polo na origem desloca o L.G.R. para a direita, diminuindo a
estabilidade relativa do sistema. 
Figura 7.12 – LGR do Sistema com controlador PI. Fonte: PEA2455 (2006)
7.6.4 – Compensador PID
O compensador PID resulta de uma combinação dos compensadores PI (Proporcional
Integral) e PD (Proporcional Derivativo) cuja Função de Transferência é dada por: 
Gc (s)=K p⋅(1+ 1s⋅T i+ s⋅T d) (7.4)
Onde Ti é a constante de tempo integral (ou “reset time”), Td é a constante de tempo
derivativa (ou “reset rate”) e Kp é a constante de ganho proporcional.
A presença do termo de natureza integral introduz um polo na origem, aumentando o tipo
do sistema e reduzindo ou até eliminando erros estacionários. Em contrapartida, esse benefício
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 17
geralmente é obtido às custas de uma redução da estabilidade ou do amortecimento do sistema. 
Uma das características do termo integral é a capacidade de fornecer na saída do
controlador um sinal não nulo, mesmo após o sinal de erro (que é o sinal de entrada do
controlador) ter-se anulado. A explicação para este comportamento é o fato da saída do
controlador depender não apenas dos valores instantâneos do erro, mas também dos valores
acumulados. Em outras palavras, erros passados "carregam" o integrador com um determinado
valor, o quase mantém acumulado mesmo após o valor instantâneo do erro ter-se anulado. 
Ao contrário do controlador proporcional, no controlador integral as perturbações de valor
constante podem ser rejeitadas mesmo que o sinal de erro instantâneo seja nulo. A função do
termo derivativo é aumentar o amortecimento e desta forma, melhorar a característica de
estabilidade de um sistema. Intuitivamente, a ação do termo derivativo pode ser explicada a partir
de um controlador PD. 
Quando o valor instantâneo do erro se anula momentaneamente a ação do termo
proporcional é inibida. No entanto, se o erro apresentar uma taxa de variação não nula, o termo
derivativo assume a função de “antecipar” a ação do controlador. Esta característica torna o
controlador sensível à taxa de variação do erro e atua no sentido de aumentar o amortecimento
do sistema. 
A combinação dos termos de natureza proporcional, integral e derivativa permite reduzir o
erro estacionário e simultaneamente satisfazer as exigências relativas ao amortecimento e,
portanto, de estabilidade, conforme pode ser visto para o exemplo da figura 8.2, adotando-se
Td=0,833 e Ti=6.
Neste caso, os zeros do compensador cancelam os polos de malha aberta da planta. A
componente integradora transforma o sistema em tipo 1 e o erro estacionário para entrada degrau
é nulo, independente do ganho Kp. Note-se que a resposta do conjunto é sempre
superamortecida.
O gráfico do comportamento no tempo do sinal de erro para uma entrada degrau sintetiza as
considerações apresentadas e ilustra a atuação de cada um dos controladores. Neste exemplo
particular, verifica-se que o controlador PID reúne as boas qualidades dos controladores PI e PD. 
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 18
Figura 7.13 – LGR do Sistema com controlador PID. Fonte: PEA2455 (2006)
Figura 7.14 – Sinal de Erro para os controladores P, PI, PD e PID. Fonte: PEA2455 (2006)
Basicamente, existem três “montagens” utilizadas para o controlador PID (a expressão (7.4)
representa a configuração “ideal” ou ISA). Abaixo podem ser vistas as três “apresentações” do
controlador PID:
• Configuração Ideal ou ISA: normalmente é o algoritmo de controle recomendado.
Gc (s)=K p
isa⋅(1+ 1s⋅T iisa +s⋅T disa) (7.5)
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 19
Figura 7.15 – Controlador PID: configuração ideal. Fonte: o autor.
• Configuração Paralela: Facilita a sintonia por tentativa e erro, mas é incompatível com
métodos de sintonia.
Gc (s)=K p
paralela+ 1
s⋅T i
paralela +s⋅T d
paralela
(7.6)
Figura 7.16 – Controlador PID: configuração paralela. Fonte: o autor.
• Configuração Série: possui compatibilidade com antigos controladores analógicos e é de
fácil sintonia por alocação de polos.
Gc (s)=K p
serie⋅((1+ T dserieT iserie)+ 1s⋅T iserie+s⋅T dserie) (7.1)
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 20
Figura 7.17 – Controlador PID: configuração série. Fonte: o autor.
É possível realizar a conversão entre as formas, apenas fazendo as comparações adequadas
das Funções de Transferência apresentadas acima:
Tipo de Conversão
Paralela → ISA ISA → Paralela Série → ISA
K p
isa=K p
paralela K p
paralela=K p
isa K p
isa=K p
serie⋅(1+T dserieT iserie)
T i
isa=T i
paralela⋅K p
paralela T i
paralela=
T i
isa
K p
isa T i
isa=T i
serie+T d
serie
T d
isa=
T d
paralela
K p
paralela T d
paralela=T d
isa⋅K p
isa T d
isa= 1
1
T i
serie+
1
T d
serie
7.6.5 – Método Lambda-Tunning para projeto de controladores 
O método lambda-tuning é uma derivação do método Síntese Direta, onde o projeto do
controlador é feito a partir de um modelo do processo e da resposta em malha fechada desejada.
Neste método, um único parâmetro de projeto é utilizado λ , é o resultado é um controlador
com estrutura compatível com os algoritmos PI ou PID.
Dado o sistema da figura abaixo:
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 21
Figura 7.18 – Sistema em malha fechada com controlador. Fonte: o autor.
A Função de Transferênciade Malha Fechada será dada por :
H (s)=
G c (s)G (s)
1+Gc (s)G(s )
(7.7)
Supondo que:
Gc (s)=K c
1
G( s) , substituindo esta função na expressão acima se obtêm:
H (s)=
K c
1+K c
Desta forma, a função de transferência de malha fechada dependeria apenas do controlador
e o erro estacionário depende apenas de Kc. A ideia do método é realizar um cancelamento de
polos com zeros (note que a Função de Gc(s) é a inversa de G(s), ou seja, os polos de G(s) seriam
cancelados pelos zeros de Gc(s)).
Entretanto, existem limitações práticas para se aplicar exatamente a função descrita acima:
• O tempo morto (existente em todos os sistemas físicos) faria com que a malha de controle
ficasse instável a partir de determinado valor de Kc.
• Sistemas reais atuam no processo com uma capacidade de energia ou matéria limitada
(válvulas não abrem mais de 100%!!!) 
A fim de contornar estas limitações, o projeto do controlador deve resultar em uma Função
de Transferência da forma:
H (s)= 1
λ s+1 (7.8)
Esta Função de Transferência possui ganho unitário e um polo real. Para se determinar a
Função de Transferência do controlador, deve-se comparar as expressões (7.8) e (7.7):
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 22
H (s)=
G c (s)G (s)
1+Gc (s)G(s )
= 1
λ s+1 (7.9)
Isolando-se a variável Gc(s) na expressão acima, vem:
Gc (s)=
1
λ s( 1G(s )) (7.10)
Agora, a Função de Transferência do controlador além de cancelar a dinâmica da planta
ainda possui um polo na origem, tornando o sistema de Tipo 1, com erro estacionário nulo ao
degrau.
A partir da expressão (7.10) acima, é possível definir os valores apropriados dos
controladores para diversos tipos de plantas. A seguir serão apresentados os estudos para os tipos
mais comuns:
• Sistema de 1a Ordem: se a dinâmica do processo for descrita por uma Função de
Transferência de 1a ordem:
G(s )= K
T s+1 (7.11)
Substituindo esta expressão na (7.10), vem:
Gc (s)=
T
λ K ( s+
1
T
s ) (7.12)
Esta expressão é similar a Função de Transferência de um controlador PI:
Gcpi (s)=K cpi⋅(1+ 1s⋅T i ) → Gcpi (s)=K cpi⋅( s+ 1T is ) (7.13)
E, de fato, comparando as duas expressões, vem:
K cpi=
T
λK e 
T i=T (7.14)
Desta forma, para realizar o projeto, devem ser seguidos os passos abaixo:
• a partir da Função de Transferência do processo e das especificações de projeto, identifique
os parâmetros λ , K e T;
• utilizando a relação (7.14), calculam-se os parâmetros do controlador PI para o processo;
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 23
• Sistema de 2a Ordem com polos reais: se a dinâmica do processo tiver a forma:
G(s)= K
(T 1 s+1)(T 2 s+1)
→ G(s)=
K
T 1T 2 s
2+(T 1+T 2)s+1
(7.15)
Dividindo o numerador e denominador da expressão acima pelo termo T 1+T 2 , vem:
G(s )= K
T 1+T 2( 1( T 1T 2T 1+T 2)s2+ s+ 1T 1+T 2 ) (7.16)
Substituindo esta expressão na (7.10), vem:
G(s)=
T 1+T 2
K λ ((
T 1T 2
T 1+T 2)s2+s+ 1T 1+T 2
s ) (7.17)
Esta expressão é similar a Função de Transferência de um controlador PID:
Gcpid (s)=Kcpid⋅(1+ 1s⋅T i +s⋅T d) → Gcpid (s)=K cpid⋅(T d s2+s+ 1T is ) (7.18)
E, de fato, comparando as duas expressões, vem:
K cpid=
T 1+T 2
K λ
, T i=T 1+T 2 e T d=
T 1T 2
T 1+T 2
(7.19)
• Sistema de 2a Ordem com polos complexos: se a dinâmica do processo tiver a forma:
G(s)=
K ωn
2
(s2+2ξωn s+ωn
2)
(7.20)
Dividindo o numerador e denominador da expressão acima pelo termo 2ξωn , vem:
G(s)=
K ωn
2 ξ ( 112ξωn s2+s+ ωn2ξ ) (7.21)
Substituindo esta expressão na (7.10), vem:
G(s)= 2ξ
λ K ωn
( 12 ξωn s2+s+ ωn2 ξs ) (7.22)
Esta expressão é similar a Função de Transferência de um controlador PID:
Gcpid (s)=Kcpid⋅(1+ 1s⋅T i +s⋅T d) → Gcpid (s)=K cpid⋅(T d s2+s+ 1T is ) (7.23)
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 24
E, de fato, comparando as duas expressões, vem:
K cpid=
2ξ
λ Kωn
, T i=
2 ξ
ωn e 
T d=
1
2ξωn
(7.24)
7.6.5 – Exemplos de Projetos com Compensadores PI, PD e PID
Como visto anteriormente, a Função de Transferência de um Controlador PI, pode ser dada
por:
Gc (s)=K⋅(1+ 1s⋅T i) (7.25)
Sua realização pode ser feita na forma paralela, conforme a figura abaixo:
Figura 7.19 – Controlador PI. Fonte: NISE (2010)
Neste caso, nota-se que a Função de Transferência do compensador, será dada por:
Gc (s)=K1+
K2
s
(7.26)
No entanto, ambas as formas são equivalentes, como se pode mostrar a seguir:
Gc (s)=K1+
K2
s
→ Gc (s)=K1(1+ K 2K 1⋅1s )
Portanto, as Funções de Transferência são equivalentes desde que se mantenham as
relações:
K=K1 (7.27)
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 25
K 2
K 1
= 1
T i
Exemplo 7.3: Considere o sistema com realimentação unitária cuja Função de Transferência
de malha aberta seja dada por:
G(s)= 1
(s+1)⋅(s+2)⋅(s+10)
O sistema opera com fator de amortecimento 0,174. No entanto, apresenta erro de regime
permanente e neste caso deseja-se projetar um controlador PI de modo a melhorar este erro de
regime permanente.
Em termos de projetos de controladores, existem diversas abordagens a serem utilizadas.
Traçando o Lugar das Raízes da Função de Malha Aberta e verificando qual o ganho para um fator
de amortecimento de 0,174, temos:
Figura 7.20 – LGR do sistema em malha aberta. Fonte: o autor
Os comandos do MATLAB para gerar a figura acima são:
>> g = zpk([],[-1 -2 -10], 1);
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 26
>> rlocus(g);
>> sgrid(0.174,0);
Para obter o ganho associado ao ponto de cruzamento da reta de coeficiente de
amortecimento 0,174 com o LGR, utiliza-se o seguinte comando:
>> [k, poles] = rlocfind(g); %a seguir, clique em um ponto no gráfico do
LGR
O ganho aproximado para esta situação é K=164. 
O sistema é de Tipo 0 e assim, calculando-se o erro de regime permanente para o sistema
com esses dados, obtêm-se:
Figura 7.21 – Sistema não compensado. Fonte: o autor
e (∞)= 1
1+K p
, onde K p=lim
s→0
G(s) → K p=lim
s→0
164
(s+1)(s+2)(s+10) → 
K p=8,23
Assim: e (∞)=0,108
Como o comportamento transitório do sistema está satisfatório e deseja-se apenas corrigir o
erro estacionário, deve-se introduzir o compensador de modo que ele cause pouca interferência
no LGR do sistema e não deslocando os polos de sua posição original (ou deslocando muito
pouco). O Controlador PI possui um polo nulo, de forma que o seu zero deve ser posicionado
(neste problema) próximo ao zero, por exemplo em s=-0,1. 
Da expressão (7.5), nota-se que o zero do compensador situa-se em z=
−1
T i
 e com a
escolha do zero, tem-se que T i=10 .
Assim, a partir das relações dadas em (7.6), obtêm-se:
K1=K=164 e K2=
K1
T i
=16,4 e assim Gc=164+
16,4
s
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 27
Figura 7.22 – Sistema compensado. Fonte: o autor
Calculando-se a resposta ao degrau do sistema compensando e não compensando, obtém-se
o seguinte resultado:
Figura 7.23 – Sistema não compensado e compensando: Resposta ao degrau. Fonte: o autor
Para o controlador PID, a Função de Transferência já vista anteriormente é dada por:
Gc (s)=K⋅(1+ 1s⋅T i +s⋅T d) (7.28)
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 28
E sua realização na Forma Paralela é vista na figura abaixo:
Figura 7.24 – Controlador PID. Fonte: NISE (2010)
Desta figura, a Função de Transferência do controlador é dada por:
Gc (s)=K1+
K2
s
+K 3 s → Gc (s)=K1(1+K 2K 1 1s + K3K1 s) (7.29)
De forma que a relação de equivalênciapode ser dada comparando-se (7.9) e (7.8):
K=K1 
K 2
K 1
= 1
T i
K 3
K 1
=T d
(7.30)
Exemplo 7.4: Considerando o mesmo sistema do exemplo anterior, deseja-se reduzir o
sobressinal para 10% e neste caso pede-se que seja projetado um controlador PID que possa
atender a este requisito.
De (7.9), tem-se que:
Gc (s)=
K1 s+K2+K3 s
2
s
=
s2+
K1
K 3
s+
K 2
K 3
1
K3
s
=
(s+z1)(s+z2)
1
K3
s
A expressão abaixo pode ser utilizada para extrair relações importantes entre os coeficientes:
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 29
Gc (s)=
s2+
K1
K3
s+
K2
K3
1
K 3
s
(7.31)
Como o numerador da (7.11) é uma Equação de 2o grau, vale a seguinte propriedade:
s2+
K 1
K 3
s+
K2
K3
=0 → s2−S s+P=0 (7.32)
Onde S é a soma das raízes e P é o produto das raízes da equação (7.12). Daí, sendo z1 e z2
os zeros da (7.12), valem as seguintes relações:
S=−
K 1
K 3
 e P=
K2
K3
(7.33)
Neste caso, é possível escolher os zeros do compensador PID de modo a anular 2 polos do
sistema e assim reduzir a sua ordem, garantindo uma boa precisão para o ajuste do sobressinal.
Assim, se os zeros do compensador forem alocados em z1=−10e z2=−2 , tem-se:
Gc (s)=
(s+10)(s+2)
1
K3
s
E de (7.13), obtêm-se:
−12=−
K1
K3
→ K1=12K3
20=−
K2
K3
→ K1=20K3
A Função de Transferência de Malha Aberta será dada por 
F(s)=G c⋅G(s)=
1
1
K3
s (s+1)
A Função de Transferência de Malha Fechada será dada por:
H (s)= F (s)
1+F (s)
= 1
1
K3
s(s+1)+1
Assim: H (s)=
K3
s2+s+K3
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 30
Um sobressinal de 10% corresponde a um coeficiente de amortecimento ξ=0,5916 .
Assim:
2ξωn=1 → ωn=0,8457 → K 3=ωn
2=0,7153
Com este valor é possível obter K1 e K2: 
K1=8,5848 e K2=14,308
O controlador na forma paralela pode ser visto na figura abaixo:
Figura 7.25 – Sistema com Controlador PID sintonizado para o projeto. Fonte: o autor
Calculando-se a resposta ao degrau deste sistema da figura, acima obtêm-se:
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 31
Figura 7.26 – Resposta ao Degrau do Sistema compensado. Fonte: o autor
É possível notar que o sistema está com sobressinal de 10% na resposta ao degrau, conforme
as especificações de projeto.
Uma outra abordagem para este projeto pode considerar, como alguns autores fazem, uma
construção diferente do PID, a partir de um compensador PI em série com um compensador PD:
Gc (s)=K(1+ 1T i s )(1+T d s ) (7.34)
Da expressão acima, obtêm-se: Gc (s)=K(T i s+1T i s )(1+T d s ) e esta expressão possui dois
zeros situados em z1=
−1
T i
 e z2=
−1
T d
. Escolhendo-se os mesmos zeros adotados
anteriormente, tem-se:
z1=−10→T i=0.1 e z2=−2→T d=0.5
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 32
A Função de Transferência de Malha Aberta será dada por F(s)=G c⋅G(s)=
K
s(s+1)
A Função de Transferência de Malha Fechada será dada por: H (s)=
F (s)
1+F (s)
= 1
s2+s+K
Vale ressaltar que esta última Função de Transferência obtida é muito similar à obtida para a
forma paralela. Neste caso, utilizando a informação de projeto (sobressinal de 10%), calcula-se
então o valor de K:
2ξ√(K )=1 → K=0,7154
Assim, o controlador nesta configuração será dado por: Gc=0,7154(1+ 10,1 s)(1+0,5 s )
A resposta ao degrau do sistema compensado será exatamente igual à figura 7.21 acima.
Exemplo 7.5: Considerando o sistema cuja Função de Transferência de Malha Aberta é:
G(s )= 49
s2+35s+49
Calcule os parâmetros do PID série que deve ser projetado de forma que a resposta do
sistema ao degrau unitário seja de 1a ordem com tempo de assentamento de 2 segundos.
Resolução: 
É possível projetar o PID de duas formas distintas: por alocação de polos e utilizando lambda
tunning.
• Alocação de polos: lembrando que o PID série é definido como:
Gc (s)=K p(1+ 1T i s)(1+T d s ) → Gc (s)=K p(T i s+1T i s )(1+T d s )
Os zeros do PID acima são: z1=−
1
T i
 e z1=−
1
T d
 e ele possui um polo nulo.
Podemos escolher os zeros do PID de modo a cancelar os polos da Função de Transferência
de Malha aberta, resultando num sistema de 1a ordem.
Os polos do sistema dado são: 
s2+35s+49=0 → p1=−33,539 e p2=−1,4610
Assim, basta fazer:
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 33
− 1
T i
=−33,539 → T i=0,0298 e −
1
T d
=−1,4610 → T d=0,6845
Como: Gc (s)=K p(T i s+1T i s )(1+T d s ) → Gc (s)=K p( s+ 1T is )(s+ 1T d)⋅T d
O compensador fica: Gc (s)=K p( s+33,539s )(s+1,4610)0,6845
A Função de Transferência de Malha Aberta do Sistema Compensado será então:
Gc (s)⋅G (s)=K p( s+33,539s )( s+1,4610 )⋅0,6845⋅( 49(s+33,539)(s+1,4610))
Gc (s)⋅G (s)=33,5405
K p
s
A Função de Transferência do Sistema Compensado em Malha Fechada será:
H (s)=
33,5405K p
s+33,5405K p
Como se deseja um tempo de assentamento de 2s, a constante de tempo do sistema será:
t s=4T → T=0,5 s
Logo: T= −1polo → 
0,5= −1
−33,5405K p
→ K p=0,0596
Finalmente, o compensador fica: Gc (s)=0,0596( s+33,539s ) (s+1,4610)
Comparando as respostas ao degrau do sistema não compensado versus a compensação,
obtêm-se o resultado da figura abaixo:
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 34
Figura 7.27 – Resposta ao Degrau do Sistema compensado versus não compensado. Fonte: o autor
O sistema compensado é mais lento que o sistema não compensado (porém apresenta o
tempo de assentamento definido para o projeto). Além disso, note que o sistema compensado
apresenta erro estacionário nulo para a resposta ao degrau, o que é bastante desejável em um
projeto.
• Ajuste do PID por lambda tunning: como os polos do sistema são reais, a Função de
Transferência do sistema será da forma (7.15) e pode ser aplicada a expressão (7.19) para
cálculo dos parâmetros do PID. Desta forma:
G(s)= K
(T 1 s+1)(T 2 s+1)
→
G(s)= 1
(0,0298 s+1)(0.6845 s+1)
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 35
K cpid=
T 1+T 2
K λ
, T i=T 1+T 2 e T d=
T 1T 2
T 1+T 2
Como o tempo de assentamento desejado é de 2s, a constante de tempo será T=0,4s. No
caso da sintonia lambda-tunning esta constante de tempo corresponde ao fator λ , ou seja,
λ=0,5 . Os demais parâmetros podem ser obtidos da função de transferência acima, ou seja:
K=1 , T1=0,0298 e T2=0,6845
Portanto: K cpid=1,4286 , T i=0,7143 s e T d=0,0286
O compensador fica:
Gc (s)=K c(1+ 1sT i+T d s) → Gc (s)=1,4286(1+ 10,7143 s +0,0286 s)
A Função de Transferência de Malha Aberta do Sistema Compensado será então:
Gc (s)⋅G (s)=1,4286(1+ 10,7143 s+0,0286s)⋅( 1(0,0298 s+1)(0.6845 s+1))
Gc (s)⋅G (s)=
2
s
O que implica numa FTMF: H (s )= 2s+2 , conforme o desejado.
Exemplo 7.6: Considerando o sistema cuja Função de Transferência de Malha Aberta é:
G(s )= 1,5
(10s+1)(20s+1)
Calcule os parâmetros do PID série que deve ser projetado de forma que a resposta do
sistema ao degrau unitário seja de 1a ordem com constante de tempo de 5 segundos.
Resolução: 
É possível projetar o PID de duas formas distintas: por alocação de polos e utilizando lambda
tunning.
• Alocação de polos: utilizando o modelo PID série do exemplo anterior, é possível realizar a
alocação de zeros de forma a cancelar os polos do sistema dado.
Polos do Sistema: p1=−0,1 e p2=−0,05
Para o PID série, basta fazer: 
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 36
− 1
T i
=−0,1 → T i=10 e −
1
T d
=−0,05 → T d=20
O compensadorfica: Gc (s)=K p(10 s+110 s )(1+20 s)
Gc (s)⋅G (s)=K p(10s+110s )(20s+1)⋅( 1,5(10s+1)(20s+1))
Gc (s)⋅G (s)=0,15
K p
s
A Função de Transferência do Sistema Compensado em Malha Fechada será:
H (s)=
0,15K p
s+0,15K p
Como a constante de tempo do sistema de 1a ordem deve ser de 5 segundos, calcula-se Kp
facilmente:
T= −1
polo → 
5= −1
−0,15K p
→ K p=1,333
Finalmente, o compensador fica: Gc (s)=1,333(10s+110s )(20s+1)
Comparando as respostas ao degrau do sistema não compensado versus a compensação,
obtêm-se o resultado da figura abaixo:
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 37
Figura 7.28 – Resposta ao Degrau do Sistema compensado versus não compensado. Fonte: o autor
Vale ressaltar que agora o sistema possui uma resposta de 1a ordem com a constante de
tempo desejada e um tempo de assentamento menor do que o sistema sem compensação (que
ainda apresentava um nível de sobressinal bem como alto erro de regime permanente).
• Ajuste do PID por lambda tunning:
Exercício 1: Deseja-se projetar um controlador PI de maneira que o sistema, em malha
fechada, tenha uma resposta de primeira ordem com constante de tempo de 5 segundos. A FT do
processo em malha aberta G(s), é: G(s )= 1.510 s+1
Resp: Kc=1,33 e Ti=10s
Exercício 2: Deseja-se projetar um controlador PID de maneira que o sistema, em malha
fechada, tenha uma resposta de primeira ordem com constante de tempo de 5 segundos. A FT do
processo em malha aberta G(s), é: G(s )=
0.0052
s2+0.1 s+0.0026
Resp: Kc=3,84, Ti=38,4s e Td=10s
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
7 – Controladores e Compensadores 38
7.7 – Plano de Estudo e material de referência
Para os temas descritos neste capítulo, use como referência a bibliografia básica (NISE,
Norman – Engenharia de Sistemas de Controle) e a bibliografia de referência (OGATA, K. -
Engenharia de Controle Moderno – 5a Ed.):
1. [NISE] - Cap. 9 (pp.366-394)
2. [OGATA] - Cap. 6 (pp.281-311 e pp. 334-358)
7.8 - BIBLIOGRAFIA
1. CRUZ, J. J; FUAD, K; - PEE-413 – Controle I – Notas de Aula. Escola Politécnica da USP,
Fevereiro de 1997.
2. Notas de Aula. PEA2455. Escola Politécnica, USP, São Paulo, Fevereiro de 2006. 
Controle I Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
	7 – Controladores e Compensadores
	7.1 – Objetivos da aula
	7.2 - Introdução
	7.3 – Pré-compensação. Compensação Série e Compensação de Fase
	7.4 – Compensação por avanço de Fase
	7.4.1 – Características básicas do compensador por Avanço de Fase
	7.4.2 – Projeto do Compensador por avanço de fase através do LGR
	7.5 – Compensação por atraso de Fase
	7.4.1 – Características básicas do compensador por Atraso de Fase
	7.5.2 – Projeto do Compensador por atraso de fase através do LGR
	7.6 – Compensadores P, PI, PD e PID
	7.6.1 – Compensador Proporcional
	7.6.2 – Compensador Derivativo (PD)
	7.6.3 – Compensador Integral (PI)
	7.6.4 – Compensador PID
	7.6.5 – Método Lambda-Tunning para projeto de controladores
	7.6.5 – Exemplos de Projetos com Compensadores PI, PD e PID
	7.7 – Plano de Estudo e material de referência
	7.8 - BIBLIOGRAFIA