5 Deformações e relações tensão-deformação

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA – PROF. SERGIO CARNEIRO
Deformações
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• Sempre que uma força é aplicada a um corpo, esta tende a 
mudar a forma e o tamanho dele.
• Essas mudanças são denominadas deformações.
Conceito de Deformação
Note as posições antes e depois de três
segmentos de reta, onde o material está
submetido à tensão.
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Deformação normal
• O alongamento ou contração de um segmento de reta por
unidade de comprimento é chamando denominado
deformação normal.
• A deformação normal média é definida como
• Se a deformação normal for
conhecida, então o comprimento
final é
s
ss



'
méd
  ss  1'
+ε  reta se alonga
-ε  reta se contrai
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Deformação
dx
du
x
u
x




 0
lim
A A’ B B’
u
u+u
x
x,u
Deformação normal (linear)
x,u
y
dx
x
u
u



dx
x
u
x



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Deformação por cisalhamento
• A mudança que ocorre no ângulo entre dois segmentos de reta
que eram perpendiculares um ao outro é denominada
deformação por cisalhamento.
tAC
nAB
nt
 de longo ao 
 de longo ao 
'lim
2


 


θ < 90° Deformação por cisalhamento positiva
θ > 90° Deformação por cisalhamento negativa
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Deformação de cisalhamento
z
y
ij
Deformação de cisalhamento (distorção) no plano i-j.
ij
Redução no ângulo entre as faces no plano i-j  positiva
aumento no ângulo entre as faces no plano i-j  negativa
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Unidades
• A deformação normal é uma quantidade adimensional,
visto que é uma razão entre dois comprimentos.
• A deformação de cisalhamento é uma quantidade 
adimensional, pois expressa uma variação de ângulos
em radianos.
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A variação de temperaturacria uma
deformação normal na haste de
onde z é dado em metros. Determine
a) o deslocamento da extremidade B 
devido ao aumento de temperatura e 
b) a deformação normal média na haste.
  2/131040 zz 
Exemplo 1
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Solução:
Parte (a)
Visto que a deformação normal é dada em cada ponto ao
longo da haste, terá um comprimento deformado de:
A soma total desses segmentos ao longo do eixo dá como
resultado o comprimento deformado da haste, isto é:
Portanto, o deslocamento da extremidade da haste é:
  dzzdz 2/1310401' 
   m 20239,010401'
2,0
0
2/13  
 dzzz
(Resposta) mm39,2m00239,02,020239,0 B
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Parte (b)
Considerando que a haste tem um comprimento orginal de 200 mm e há
uma mudança no comprimento de 2,39 mm,
(Resposta) mm/mm 0119,0
200
39,2'
méd 



s
ss
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Uma chapa é deformada até a forma 
representada pelas linhas tracejadas
mostradas na figura ao lado. Se, nessa
forma deformada, as retas horizontais
na chapa permanecerem horizontais e 
seus comprimentos não mudarem, 
determine
a) a deformação normal ao longo do 
lado AB e
b) a deformação por cisalhamento
média da chapa em relação aos
eixos x e y.
Exemplo 2
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Solução:
Parte (a)
A reta AB, coincidente com o eixo y, torna-se a reta AB’ após a deformação. 
Logo, o comprimento da reta é:
Portanto, a deformação normal média para AB é:
O sinal negativo indica que a deformação causa uma contração de AB.
  mm 018,24832250' 22 AB
    (Resposta) mm/mm 1093,7
250
250018,248' 3
méd





AB
ABAB
AB
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Parte (b)
Como observado, o ângulo BAC entre os lados da chapa, em relação aos eixos 
x, y, que antes era 90°, muda para θ’ devido ao deslocamento de B para B’.
Visto que , então é o ângulo mostrado na figura. Assim,
'
2
  xy xy

(Resposta) rad 0121,0
2250
3
tg 1 






 xy
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Tensões e Deformações 
em Carregamento Axial
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Deformação Normal
normal deformação
tensão


L
A
P



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Deformação Normal
normal deformação
tensão


L
A
P



L
A
P
A
P





2
2
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Deformação Normal
normal deformação
tensão


L
A
P



L
A
P
A
P





2
2
LL
A
P





2
2
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Teste de Tensão-Deformação
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Diagrama de tensão-deformação: materiais dúcteis
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Diagrama de tensão-deformação: materiais dúcteis
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Diagrama de tensão-deformação: materiais frágeis
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Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade
Abaixo da tensão de 
proporcionalidade
 E
E = Módulo de Elasticidade 
ou Módulo de Young
G = Módulo de Elasticidade Transversal 
 G
De forma similar, para 
cisalhamento temos:
Unidade de E e G Pa (GPa)
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Comportamento Elástico versus Plástico
Se a deformação desaparece 
quando a tensão é removida, 
dizemos que o material se 
comporta elasticamente. 
Quando a deformação não 
retorna a zero após a tensão ser 
removida, dizemos que o 
material se comporta 
plasticamente.
O maior valor de tensão para o 
qual isso ocorre é chamado de 
limite elástico do material.
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Deformações sob Carregamento Axial
AE
P
E
E 

Para a Lei de Hooke:
A definição de deformação
L

 
Transformando e substituindo a equação anterior 
na equação acima, temos 
AE
PL

Para barras com carregamentos em outros 
pontos, diversas seções transversais e 
diferentes materiais,

i ii
ii
EA
LP

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O conjunto é composto por um tubo de alumínio AB com área de seção transversal 
de 400 mm2. Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro está acoplada a um colar 
rígido e que passa pelo tubo. Se uma carga de tração de 80 kN for aplicada à barra, 
determine o deslocamento da extremidade C da barra. (Eaço = 200 GPa, Eal = 70 
GPa )
Exemplo 3
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   
      



m 001143,0001143,0
107010400
4,01080
96
3
AE
PL
B
O deslocamento da extremidade B em relação à
extremidade fixa A é
Visto que ambos os deslocamentos são para direita, 
o deslocamento resultante de C em relação à 
extremidade fixa A é, portanto, 
Resposta)(mm 20,4m0042,0/  BCCC 
Solução:
Encontre o deslocamento da extremidade C em
relação à extremidade B.
   
     

 m 003056,0
10200005,0
6,01080
9
3
/  AE
PL
BC
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Determine as deformações da barra de aço mostrada 
submetida às forças dadas.
GPaE 200
Exemplo 4
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SOLUÇÃO:
Divida a barra em três 
componentes:
2
21
21
mm 580
mm. 300


AA
LL
2
3
3
mm 200
mm. 400


A
L
Aplicar a análise de corpo livre em cada 
componente para determinar as forças 
internas, 
N10150kN150
N1050kN50
N10300kN300
3
3
3
2
3
1



P
P
P
Alongamento total
     
mm. 2,15 
200
31,429
200
400150
580
30050
580
300300
200
1
1
3
33
2
22
1
11






 











 


A
LP
A
LP
A
LP
EEA
LP
i ii
ii
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A barra rígida BDE é suspensa por duas barras AB e CD. A barra AB é feita de 
alumínio (E = 70 GPa) e tem uma área transversal de 500 mm2; A barra CD é feita de 
aço (E = 200 GPa) e tem uma área transversal de 600 mm2. 
Para a força de 30 kN mostrada, determinar os deslocamentos dos pontos
a) B, b) D e c) E. 
Exemplo 5
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SOLUÇÃO:
Realizar uma análise do corpo livre 
para a barra BDE para encontrar as 
forças exercidas pelas barras AB e 
DC.
Avaliar a deformação das barras AB e 
DC para encontrar os 
deslocamentos de B e D. 
Realize uma análise geométrica para 
encontrar o deslocamento do ponto 
E dado os deslocamentos em B e D.
Exemplo 5
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Corpo Livre: Barra BDE
 
 
compressãoF
F
traçãoF
F
M
AB
AB
CD
CD
B
 kN60
m2.0m4.0kN300
0M
 kN90
m2.0m6.0kN300
0
D








SOLUÇÃO: Deslocamento do ponto B:   
  
m10514
Pa1070m10500
m3.0N1060
6
926-
3





AE
PL
B
 mm 514.0B
Deslocamento do ponto D:   
  
m10300
Pa10200m10600
m4.0N1090
6
926-
3





AE
PL
D
 mm 300.0D
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Deslocamento do ponto E:
 
mm 7.73
mm 200
mm 0.300
mm 514.0






x
x
x
HD
BH
DD
BB
 mm 928.1E
 
mm 928.1
mm 7.73
mm7.73400
mm 300.0






E
E
HD
HE
DD
EE


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Exemplo 6
Um bloco retangular de material com módulo de rigidez G = 620 MPa é 
colado a duas placas rígidas horizontais. A placa inferior é fixa, enquanto a placa 
superior está submetida a uma força horizontal P. Sabendo que a placa 
superior se desloca 1 mm sob a ação da força, determine a) a deformação de 
cisalhamento média no material e b) a força P que atua na placa superior.
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Determinar a deformação de cisalhamento ou a 
tensão de ruptura do bloco.
rad020,0
mm50
mm1
tan  xyxyxy 
Aplicar a lei de Hooke para tensão e 
deformação de cisalhamento para encontrar 
a tensão de cisalhamento correspondente.
   MPa4,12rad020,0MPa620  xyxy G
Use a definição de tensão de cisalhamento 
para encontrar a força P.
    N108,148mm60mm200MPa4,12 3 AP xy
kN8,148P
Exemplo 6 - Solução
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Indeterminação Estática
Estruturas onde as forças internas e as reações não 
podem ser determinadas apenas por meio da 
estática, são chamadas de estruturas estaticamente 
indeterminadas. 
0 RL 
Deformações devido as forças reais e pela reações 
redundantes são determinadas separadamente e, 
em seguida, adicionadas ou superpostas. 
Reações redundantes são substituídas por forças 
desconhecidas que, juntamente com as demais 
forças, deve produzir deformações compatíveis 
com as restrições originais.
A estrutura será estaticamente indeterminada sempre 
que ela for vinculada a mais apoios do que aqueles 
necessários para manter seu equilíbrio.
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Exemplo 7
Determine o valor das reações em A e B para a barra de aço com os 
carregamentos mostrado, assumindo que não existe folgas entre os apoios e a 
barra. 
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Exemplo 7
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Exemplo 7
SOLUÇÃO:
Resolvendo o deslocamento em B devido às forças 
aplicadas, 
EEA
LP
LLLL
AAAA
PPPP
i ii
ii
9
L
4321
26
43
26
21
3
4
3
321
10125.1
m 150.0
m10250m10400
N10900N106000







Resolvendo o deslocamento em B devido à reação 
redundante, 
 







i
B
ii
ii
R
B
E
R
EA
LP
δ
LL
AA
RPP
3
21
26
2
26
1
21
1095.1
m 300.0
m10250m10400
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Os deslocamentos devido às forças e devido à reação 
redundante devem ser compatíveis, 
 
kN 577N10577
0
1095.110125.1
0
3
39







B
B
RL
R
E
R
E


Exemplo 7
Encontrar a reação em A, devido às cargas e a reação em B 
kN323
kN577kN600kN 3000

 
A
Ay
R
RF
kN577
kN323


B
A
R
R
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Tensão Térmica
A mudança de temperatura numa barra resulta uma 
mudança no comprimento , isto é, ocorre de 
deformação térmica. Não há tensão associada com a 
deformação térmica, a menos que o alongamento seja 
contido pelo apoio.
 
 térmicadilatação de ecoeficient 



AE
PL
LT PT
Trate o apoio adicional como redundantes e aplicar o 
princípio da superposição. 
0 PT 
A deformação térmica e a deformação do apoio 
redundante devem ser compatíveis. 
 
 
 TE
A
P
TAEP
AE
PL
LT





 0
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A barra rígida horizontal é fixada ao topo de três colunas, feitas de aço 
A-36 e alumínio 2014-T6. As colunas têm comprimento de 250 mm 
quando descarregadas e sob temperatura T1 = 20°C. Determine a força 
suportada por cada coluna quando a estrutura é submetida à carga 
distribuída de 150 kN/m e a temperatura é aumentada para T2 = 80°C.
Exemplo 8
Aço AçoAlumínio
st = 12x10
-6 (°C) -1
al = 23x10
-6 (°C) -1
Est = 200 GPa
Eal = 73,1 GPa
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• DCL
• Compatibilidade geométrica dos deslocamentos,
• Posição final do topo é combinação dos efeitos da temperatura e da força.
  (2) alst  
  (1) 010902 ;0 3   alsty FFF
     
     
FalTalal
FstTstst




 
 
Exemplo 8 - Solução
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Exemplo 8 - Solução
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• Eq. 2 fornece
• Considerando as propriedades dos materiais• Resolvendo Eqs. 1 e 3 simultaneamente (subst Eq 3 na Eq 1, p.ex)
       
FalTalFstTst
 
      
    
      
    
  (3) 109.165216.1 
101.7303.0
25.0
25.020801023
1020002.0
25.0
25.020801012
3
92
6
92
6

 
alst
alst
FF
FF

(Resp) kN 123 ; kN 4.16  alst FF
Exemplo 8 - Solução
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Coeficiente de Poisson
Para um barra delgada submetida a uma carga 
axial:
0 zy
x
x
E

O alongamento na direção x é acompanhado por 
uma contração em outras direções. Assumindo 
que o material é homogêneo e isotrópico (sem 
dependência direcional),
0 zy 
Coeficiente de Poisson é definido como x
z
x
y



 
axial deformação
sal transverdeformação
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Uma barra de aço A-36 tem as dimensões mostradas abaixo. Se uma força axial 
P = 80 kN for aplicada à barra, determine a mudança em seu comprimento e a 
mudança nas dimensões da área de sua seção transversal após a aplicação da 
carga. O material comporta-se elasticamente.
Exemplo 9
 = 0,32
E = 200 GPa
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Solução:
A tensão normal na barra é
 
 
 mm/mm 1080
10200
100,16 6
9
6
aço

E
z
z

 
  
 Pa 100,16
05,01,0
1080 6
3

A
P
z
Da tabela para o aço A-36, Eaço = 200 GPa,
Exemplo 9 - Solução
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O alongamento axial da barra é, portanto,
As deformações de contração em ambas as 
direções x e y são
   m/m 6,25108032,0 6aço   zyx v
    (Resposta) m1205,11080 6z   zz L
Assim, as mudanças nas dimensões da seção 
transversal são
   
    (Resposta) m28,105,0106,25
(Resposta) m56,21,0106,25
6
6






yyy
xxx
L
L
Exemplo 9 - Solução
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Lei de Hooke Generalizada
Para um elemento sujeito a um carregamento 
multiaxial, as componentes da deformação normal 
são expressas em função das componentes de 
tensão e podem ser determinadas a partir do 
princípio da superposição. Isto requer:
1) A deformação é linearmente relacionada a 
tensão.
2) A deformação resultante de determinada força 
é pequena.
EEE
EEE
EEE
zyx
z
zyx
y
zyx
x









Com estas restrições:
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Lei de Hooke Generalizada
No regime linear, as deformações de cisalhamento ocorrem de forma 
independente em cada plano, sem serem afetadas diretamente pelas 
deformações de cisalhamento em outros planos nem pelas deformações normais 
em qualquer direção EEE
EEE
EEE
zyx
z
zyx
y
zyx
x









Assim, para materiais homogêneos e isotrópicos, no regime linear: G
G
G
yz
yz
xz
xz
xy
xy









MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA – PROF. SERGIO CARNEIRO
Dilatação: Módulo de Compressibilidade Volumétrica
Em relação ao estado livre de tensões, a mudança no 
volume é
      
 
 volume)de unidadepor volumeem (variação dilatação 
21
111111






zyx
zyx
zyxzyx
E
e



Para um corpo submetido à pressão hidrostática 
uniforme,
 
 
ca volumétriilidadecompressib de módulo 
213
213








E
k
k
p
E
pe
Um material estável submetido a uma pressão uniforme, 
possui dilatação negativa e um módulo de 
compressibilidade positivo, portanto
2
10 
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Relação entre E,  e G
Uma barra delgada axialmente carregada irá 
alongar na direção axial e contrair nas 
direções transversais.
  1
2G
E
Componentes de deformação específica normal 
e de cisalhamento estão relacionadas,
Se o elemento cúbico é orientado como na 
figura (b), ele vai se transformando-se em 
um losango. A Carga axial produz uma 
deformação de cisalhamento.
Um elemento na forma de um cubo orientado 
como na figura (a), vai transformando-se 
em um paralelepípedo retangular. A carga 
axial produz uma deformação específica 
normal.
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Exemplo 10
Um círculo de diâmetro d = 220 mm é desenhado em uma placa de alumínio livre 
de tensões de espessura t = 19 mm. Forças atuando posteriormente no plano da 
placa provocam tensões normais x = 82 Mpa e z = 138 MPa. 
Para E = 69 GPa e  = 1/3, determine a alteração: 
a) do comprimento do diâmetro AB, 
b) do comprimento do diâmetro CD, 
c) da espessura da placa, e 
d) do volume da placa.
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Lei de Hooke generalizada -> três componentes da deformação normal. 
   
mm/mm10604,1
mm/mm10063,1
mm/mm10522,0
MPa138
3
1
0MPa82
MPa1069
1
3
3
3
3


















EEE
EEE
EEE
zyx
z
zyx
y
zyx
x






Exemplo 10 - Solução
MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA – PROF. SERGIO CARNEIRO
Variações de comprimento.
  mm220mm/mm10522,0 3 dxAB 
  mm220mm/mm10604,1 3 dzDC 
  mm19mm/mm10063,1 3 tyt 
mm.104,0AB
mm353,0DC
mm20,0t
Variação em volume
  33
3
mm1938038010063,1
10063,1




eVV
e zyx 
3mm916,2V
Exemplo 10 - Solução
MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA – PROF. SERGIO CARNEIRO
Estado Plano de Deformação (ex: plano x-y)
0z 0, yzxz Exemplo no plano x-y
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IMPORTANTE EEE
EEE
EEE
zyx
z
zyx
y
zyx
x









G
G
G
yz
yz
xz
xz
xy
xy









Estado Plano de Tensões não implica em Estado Plano de Deformações!
0z
0
0
0
0




yzxzz
xy
y
x




MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA – PROF. SERGIO CARNEIRO
Equações gerais de transformação no plano de deformação
• Equações de Transformação:
MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA – PROF. SERGIO CARNEIRO
Deformações principais
Deformação por cisalhamento máxima no plano.
• Deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média são as 
seguintes:
0'' yx
Equações gerais de transformação no plano de deformação
MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA – PROF. SERGIO CARNEIRO
Círculo de Mohr — estado plano de deformação
• Também podemos resolver problemas que envolvem a transformação da 
deformação usando o círculo de Mohr.
• Com centro sobre o eixo ε no ponto C(εméd, 0) e raio R.
MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA – PROF. SERGIO CARNEIRO
O ponto X é 
marcado 
abaixo do eixo 
horizontal
O ponto X é 
marcado
acima do eixo
horizontal





éSe xy

As abscissas dos pontos A 
e B, representam as 
deformações principais.
B A
X
+
-
OB
OB
xy
O B