p3 Calculo 1 Carlos Bocker

Prévia do material em texto

UFPB/CCEN/Departamento de Matema´tica
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - 2018.1
3a Prova - 29 de outubro de 2018
Nome: Matr´ıcula:
Curso: Nota:
Cada questa˜o abaixo vale 2 pontos.
1. Uma escada de 10m esta´ encostada em uma parede vertical. Se a extremidade inferior da escada for
afastada do pe´ da parede a uma velocidade constante de 0, 5m/s, com que velocidade a extremidade
superior estara´ descendo no instante em que a inferior estiver a 6m da parede?
2. Considere a func¸a˜o f(x) = x4 − 2x2 + 3.
(a) Decida sobre a existeˆncia de ma´ximos e mı´nimos locais e absolutos de f ;
(b) Calcule os valores ma´ximo e mı´nimo de f no intervalo [−2, 3] e determine os pontos nos quais
esses valores sa˜o assumidos.
3. Considere a func¸a˜o f(x) =
x2
1 + x2
.
(a) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f .
(b) Estude a concavidade de f .
(c) Calcule os limites lim
x→+∞ f(x) e limx→−∞ f(x)
(d) Usando os dados dos itens anteriores, esboce o gra´fico de f .
4. Mostre que de todos os triaˆngulos iso´celes de igual per´ımetro, o que tem maior a´rea e´ o triaˆngulo
equila´tero.
5. Calcule a derivada das func¸o˜es.
(a) f(x) = cos2 x + cos(2x)
(b) g(x) =
xe−x
1 + x2