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'o ", > , , ., o o """i» tf '" " Oo~~ "'0, ",,"t.."';"1 "o ,/ PRESIDENTE DA REPÚBLICA Luiz Inácio Lula da Silva MINISTRO DA EDUCAÇÃO Fernando Haddad GOVERNADOR DO ESTADO DO PIAuí José Wellington Barroso de Araújo Dias REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAuí Luiz de Sousa Santos Júnior SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÃNCIA DO MEC Carlos Eduardo Bielschow sky COORDENADOR GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL Celso Costa José da Costa DIRETOR DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA A DISTÃNCIA DA UFPI Gildásio Guedes Fernandes CENTRO DE CIENCIAS DA NATUREZA Helder Nunes da Cunha COORDENADORA DO CURSO DE QUíMICA NA MODALIDADE EAD Rosa Una Gomes Pereira do Nascimento da Silva COORDENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI Cleid in alva Maria Barbosa Oliveira EQUIPE DE APOIO Franciane de Brito Vieira DIAGRAMAÇÃO Samuel Falcão Silva COORDENADOR DE REVISÃO DE TEXTO Naziozênio Antonio Larcerda REVISÃO qanes Lerros Ferreira Gabriel \.... f. .'-...- I'-...- I \..... \.-- .•.. ) Este texto. é destinado aos estudantes da disciplina Equações Diferenciais Ordinárias do curso de Química, modalidade de EaD. Curso que faz parte do programa de Educação a Distância da Universidade Aberta do Piauí (UAPQ vinculada ao consórcio formado pela Universidade Federal do Piauí (UFPI), Universidade Estadual do Piauí (UESPQ, Centro Federal de Ensino Tecnológico do Piauí (CEFET-PI), com o apoio do Governo do Estado do Piauí, através da Secretaria de Educação. Este livro é composto por 05 unidades, contendo itens e subitens, conforme descrevemos a seguir. . Na Unidade 1, apresentamos conceitos básicos a respeito de equações diferenciais, incluindo classificações. Na Unidade 2, fazemos um estudo sobre as principais equações diferenciais de primeira ordem e. primeiro grau, mostrando vários exemplos. Na Unidade 3, introduzimos as equações diferehciais de ordem superior. Concentramos-nos nas equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, apresentamos definições, tipos e os métodos de solução conhecidos por Método dos Coeficientes a Determinar e Método da Variação dos Parâmetros. No Unidade 4, incluímos as equações diferenciais com coeficientes variáveis: apresentamos o caso especial das equações de Cauchy-Euler e, soluções por séries de potência. No Unidade 5, abordamos os sistemas de equações diferencias de primeira ordem, apresentando os tipos e métodos de solução correspondentes. I sumário ...."';'":' :.",','.(".',', :".'r ;:',:, UNIDADE 1. Introdução ao Estudo das Equações Diferenciais Ordinárias 1.1 Definição e Classificações 12 1.1.1 Classificação por tipo ; 12 1.1.2 Classificação pela ordem 13 1.1.3 Classificação pelo grau 13 1.1.4 Classificação quanto à linealidade 14 1.2 Tipos de Solução ; 15 1.3 Condições Iniciais e Condições de Contorno 16 1.4 Exe rc ícios 19 1.4.1 Algumas respostas 22 Referê ncias Bibliog ráfi cas 23 UNIDADE 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 2.1 Equações Difere nciais Separáveis 27 2.2 Equações Diferenciais Homogêneas 30 2.3 Equações Diferenciais Exatas 33 2.4 Equações Diferenciais Lineares 38 2.5 Problemas de Valor IniciaL 43 2.6 Aplicações de Equações Diferenciais de Primeira Ordem 44 2.6.1 Proble mas de Crescime nto 44 2.7 Exe rc ícios 47 2.8 Alg umas respostas ; 51 Referê ncias Bibliográficas 53 '-. . .,-- '-.. ,--. '..:~~ Ô "--~..c~ C'J (> co ' " r'; ',_ d Cc ( { '- C' () '- C,:. "- r: ", t. " '-. () ,~ C'"<:1 {'\ '-';:: .•"i €h" \...".,} (2).... ~J "-- (t, '-...';".'1: f'" \..."'::.f!l C: "(':; ~ "- (~'. '" "- [' ''''; '-- '-- "-C) '--c .' f;;:'~ '-. CJ '-o €c> "-to; () "- €i;,":'<.:<! '-- C l '" \""c ; l '-t .. ,- '. UNIDADE 3. Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior 3.1 Equações diferenciais li neares de ordem n 57 3.1.1 Eq uações Diferenciais Homogêneas 62 3.1.2 Eq uações Diferenciais Não-Homogêneas 67 3.1.3 Exercicios 71 Algumas respostas 72 3.2 'Equações Diferenciais Uneares Homogêneas com Coeficientes Consta ntes 72 3.2.1 Exercícios 80 3.3. Equações Diferenciais Lineares NãO-Homogêneas com Coeficientes Consta ntes 82 3.3.1 Método dos Coeficientes a Determinar 83 3.3.2 Método da Variação dos Parâmetros ~ .., 94 3.4 Aplicações de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem 100 3.4.1 Problemas de Mola , 100 3.4.2 Proble mas de Flutuação 103 3.4.3 Problemas de Circuitos Elétricos (RLC) 104 3.5 Exe rc ícios 107 3.5.1 Alg umas respostas 109 ' Referências Bibliográficas 111 UNIDADE 4. Equações Diferenciais com Coeficientes Variáveis 4.1 Equações de Cauchy-E uler 115 4.1.1 Equação de Euler-Cauchy Geral 122 4.1.2 Exercícios 124 Algumas respostas ..: ~ 125 4.2 Resolução de Equações Diferenciais em Séries de Potência .----....-----. 126 4.2.1 Séries de Potências ~~ 126 4.2.2 Exerc ícios 130 Algumas respostas 137 4.2.3 Método de Frobenius 137 Exerc ícios 143 Algumas respostas : 144 Referê ncias Bibliográficas : 145 UNIDADE 5. Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 5.1 Sistemas de Eq uações Diferenciais Lineares Homogêneos 153 5.1.1 Solução de Sistemas Homogêneos 155 5.1.2 Autovalores Reais e Distintos 157 5.1.3 Autovalores Complexos 159 5.1.4 Autovalores reais e repetidos 161 5.2 Sistemas Lineares Não-Homogêneos com Coeficientes Consta ntes :.., 164 5.3 Exe rcícios , 172 5.3.1 Alg umas respostas ~ 173 Referê ncias Sibliográficas 175 l'.:i '\~'. (..i"" \:..! .( C. ,~... tb r....\ 1L.." Resumo Esta unidade é dedicada à uma introduçâo ao estudo das equações que envolvem funçóes incógnitas e suas derivadas, chamada de equações diferenciais. Nessa unidade ~ apresenta remos deFinição. c1assificaçâo e exemplos de equações diferenciais, noções sobre condições iniciais e condições de contorno, definiçâo de solução geral, sOlução particular e solução singular. Por fim, enunciaremos oteorema de existência e unicidade de solução. 1 s_u_má_ri_o_d_a_u_n_id_a_d_e_. 1 UNIDADE 1. Introdução ao Estudo das Equações Diferenciais Ordinárias 1.1 Definição e Classificações 12 1.1.1 Classificação por tipo 12 1.1.2 Classificação pela ordem 13 1.1.3 Classificação pelo grau 13 1.1.4 Classificação quanto à linearidade 14 1.2 Tipos de Solução 15 1.3 Condições Iniciais e Condições de Contorno 16 1.4 Exercícios 19 1.4.1 Algumas respostas 22 Referências Bibliográficas :..............................•............ 23 --------------- ------- r.f' '. --f --J c" . -;.. - f' -<, ~. -(., ('~. o_<c.... C; 1. Introdução ao Estudo das Equações Diferenciais Ordinárias Você já deve saber como resolver problemas do tipo: Dada uma função y = f (x), encontre a derivada y' = f' (x) = -dd¥... x ( Nesta disciplina estudaremos equações que envolvemderivadas, como por exemplo, ..:.\ -[ ,. '. C -./ ciais, acesse o sítio" ."C' -L: somatematica. S/$ ( dy dx = 5x2 - 3xy + 4y2, e nosso objetivo é conhecer métodos para determinar uma função y = f(x) que satisfaça a equação dada. Modelos que envolvem equações diferenciais surgem naturalmente ~{-e. (-lc::-[d) em diversas áreas das ciências. Por exemplo, a lei de resfriamento dé Newton determina que a taxa de esfriamento de um corpo é propor- cionai à diferença entre a temperatura de um corpo e a temperatura do meio ambiente (isto é, uma equação diferencial de primeira ordem). Nesta unidade, apresentaremos definição, classificação e exem- plos de equações diferenciais, noções sobre condições iniciais e condições de contorno, definição de solução geral, solução particu- lar e solução singular, Por fim, enunciaremoso teorema de existência , e unicidade de solução . Para incremen- tar o estudo de introdução às equações diferen-c: (:~;.~ _/. (, -(>:: 11 1.1 Definição e Classificações Nesta seção, apresentaremos definições básicas sobre as equações diferenciais. Iniciamos com a definição de Equação Dife- renciai. Definição 1.1.1. Chamamos de Equação Diferencial a toda equação cujas incógnitas são funções e que contém pelo menos uma derivada ou diferencial destas funções. Exemplo 1.1.1. São exemplos de equação diferencial: dy 1. - = 3x-1 dx 2 dy - 5t = 9. dt 3. xdy - ydx = O d3x dx 4. dt3 - dt + 21" = 3t 5. (X _ y ~~:) 3 = 1+ (~:;) 4 6. (t _ ~~:)3 + (~:~) 2 = O oZ oz 7.2-+3- =0 ox oy 8. 02u = (OU)2 _30U ox2 oy oz 1.1.1 Classificação por tipo As equações diferenciais são classificadas por tipo em: Ordinárias: quando há apenas uma variável independente. Neste caso, simbolizamos E.D.O. Parciais: quando há mais de uma variável independente. Neste caso, simbolizamos ED.P 12 [ -c fo':'.o _'i',.' ( I -'( -( ---o C> -( -f:. J::.:. f:' .--' ( -t J. C:: J.o C-. t -t.o 1::,.:: -r L':.": fâ 'c', Exemplo 1.1.2 (Exemplos de equações diferenciais). 1. São equaç~ões diferenciais ordinárias as equações 1-4do Exem- plo 1. 1. 1. Observe: em (1), (3) e (5), a única variável indepen- dente é x; em (2), (4) e (6), a única variável livre é t. 2. A sétima equação do Exemplo 1.1.1 é uma equação diferencial parcial. São duas as variáveis independentes: x e y. 3. A oitava equação do Exemplo 1.1. 1 é uma equação diferencial parcial, cujas variáveis independentes são x, y e z. 1,1.2 Classificação pela ordem Determinamos a ordem de uma equação diferencial através da ordem da derivada de mais alta ordem contida na equação. Exemplo 1.1.3. Vamos classificar quanto à ordem as equações diferenciais do Exemplo 1. 1. 1. 1. Os exemplos (1) - (3) são equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Em (7), a equação diferencial éparcial de primeira ordem. 2. Em (4) e (5), temos equações diferenciais ordinárias de terceira ordem. 3. Em (6), temos uma equação diferencial de quarta ordem. 4. Em (8), temos uma equação diferencial parcial de segunda or- dem. 1.1.3 Classificação pelo grau Determinamos o grau de uma equação diferencial através da maior potência da derivada de mais alta ordem contida na equação. 13 Exemplo 1.1.4. Vamos classificar quanto ao grau as equações diferenciais do Exemplo 1. 1. 1. 1. Os exemplos (1) - (4) são equações diferenciais ordinárias de primeiro grau. Em (7) e (8), temos equações diferenciais parciais de primeiro grau. 2. Em (5), temos uma equação diferencial de quarto grau. 3. Em (6), temos uma equação diferencial de segundo grau. 1.1.4 Classificação quanto à linearidade Uma E.D.O. é chamada linear quando satisfaz: (i) é uma E.D.O de primeiro grau; (i i) cada coeficiente das derivadas depende somente de x (ou é constante ). Isto é, pode ser escrita como: dyn dyn-l dy2 dy an(x)-d + an-1(x)-d 1 + ... + a2(x)d 2 + a1(x)-d + ao(x)y = g(x).xn xn- x" X Exemplo 1.1.5. As quatro primeiras equações diferen.ciais ordinárias do Exemplo 1. 1. 1 são do tipo linear. A seguir, apresentamos outros exemplos sobre classificação de equações diferenciais. E I 1 1 6 A - 2 d3X d2x 3 dx t ' -xemp o . .. equaçao d 3- -2 + x-+5t = e e uma equaçaot dt dt diferencial ordinária linear de terceira ordem e primeiro grau. E I 1 1 7 A - " (d 3y) 2 d5y dy ,xemp o ... equaçao x dx3 - 3dx5 + 5x dx = cosx e uma equação diferencial ordinária de quinta ordem e primeiro grau. E I 11 8 A - (~U)4 du , -xemp o . .. equaçao -2 - 3- d = 2xsenx e uma equaçao dx .T diferencial ordinária de segunda ordem e quarto grau .. E I" 1 1 9 A - (âu) 3 âu. - d'Ç, . "1xemp o . .. equaçao dx = 3 dy e uma equaçao IlerenCla parcial de primeira ordem e terceiro grau. 14 1.2 Tipos de Solução Definição 1.2.1. Chamamos solução de uma equação diferencial, em um intervalo I, a qualquer fu'}ção definida em I que, quando substituída na equação dada, a reduz a uma identidade. Observação 1.2.1. O intervalo I na definição acima, dependendo do contexto do problema, pode representar um intervalo aberto (a, b), um intervalo fechado [a, b], um intervalo infinito (O, +00) e assim por diante. Exemplo 1.2.1. A equação diferencial ~ - e3x = O tem como uma solução a função y = e;x. Basta derivar y (calcule!). Exemplo 1.2.2. A função y(x) = ~+ 2':~2é uma solução para a equação diferencial x2y' - x2y2 + xy + 1 = O. Calculando a derivada de y, obtemos: '( ) __ ~ 2x2 + 4yx- 2+22'x -x Substituindo a função y(x) e sua derivada y'(x) na equação diferencial dada, obtemos a identidade. Exemplo 1.2.3. As funções Yl = e2x e Y2 = e3x são soluções para a equação diferencial y" - 5y' + 6y = O. Derivando Yl e Y2, obtemos: y~ = 2e2x e y~ = 3e3x. Calculando a segunda derivada de ambas as funções, segue que: y~ = 4e2x e y~ = 9e3x.""" Substituindo na equação diferencial dada a primeira e a segunda derivadas de Yl, resulta: Analogamente, ao substituirmos as derivadas de primeira e segunda ordem de Y2 na equação diferencial, obtemos a identidade. A seguir apresentamos definições quanto ao tipo de solução obtida. 15 Definição 1.2.2. Quando a solução de uma E.D.O pode ser escrita sob a forma y = f(x), temos o que chamamos de solução explícita. Definição 1.2.3. Dizemos que uma relação G(x, y) = Oé uma solução •... implícita de uma equação diferencial ordinária em um intervalo I, se ela difere em uma ou mais soluções explícitas em l. Exemplo 1.2.4. Consideremos a equação diferencial dy x dx y Para -1 < x < 1, a relação x2 + y2 - 1 = Oé uma solução implícita para a equação dada. Observemos: Aplicando a derivada implícita com respeito a x na relação dada; obte- mos: d 2) d 2) d-(x + -(y - -(1) = O. dx dx dx Portanto, dy 2x + 2y dx = O. Assim: dy x dx y Note! Em geral, uma equação diferencial possui uma infinidade de soluções. Observe, no Exemplo 1.2.3, qualquer função da familia Y.= ce2x e da família y = ke3x, com c e k constantes arbitrárias,é também solução daquela equação diferencial. A soma y = ce2x + ke3x também determina outra família de soluções. (Verifique!) 1.3 Condições Iniciais e Condições de Con- torno Definição 1.3.1. Uma equação diferencial juntamente com condições sobre a função incógnita e suas derivadas (todas dadas para omesmo valor da variável independente) constitui o que chamamos de um pro- blema de valores iniciais. As condições dadas são as condições ini- ciais. Se as condições são dadas para mais de um valor da variável 16 \...c' f) '--C~J 17 y(O) = 1 :::::} clsen(3. O) + c2cos(3. O) = I, O Cl +C2 -2 2CI + 3C2 O y'(O) independente, temos o que chamamos de problema de valores no contorno, e as condições aqui são as condições de contorno. y(O) = -2 :::::}Cl + C2 = ~2 Resolvendo 6 sistema Exemplo 1.3.4. Sabendo que y = Cl sen3x + C2 COS 3x é solução da equação diferencial y" + 9y = O, vamos encontrar as constantes Cl e C2 que satisfazem as condições de contorno y(O) = 1 e y(rr /3) = 3. Observe: Derivando y, segue que y' = 2cle2x + 3c2e3x. Portanto, Exemplo 1.3:1-. O problema y" + 16y = O, y(rr) = 1 e y'(rr) = 2 é um problema de valores iniciais. Observe que as duas condições são dadas no mesmo ponto x = rr. Exemplo 1.3.2. O problema y" + 16 = O, y(O) = 1 e y'(rr) = 1 é um problema de valores de contorno, pois as condições são dadas para valores distintos de x. encontramos CI = -6 e C2 = 4. Logo, y = _6e2x + 4e3x é a solução do problema de valores iniciais dado. Exemplo 1.3.3. Sabendo que y = Cl e2x + C2e3xé solução da equação diferencial y" - 5y' + 6y =O, vamos determinar as constantes Cl e C2 que satisfazem as condições de valores iniciais y(O) = -2 e y'(O) = O. Observe: Uma solução para problemas de valores iniciais ou de valores de . contorno é uma função que satisfaz, simultaneamente, a equação di- ferenciai e as condições dadas. l~,1 '\"1'~:.C' 'f': ,,fi (' 'é~ '() ~.'I f' ~f r-., ~'.:i ~'.) fi........: C', "() ~) C)~,:.- '2i9 '03 \~) (~) ,,-. ~l \/tE:l.'Ç;~ ~ (J ')c" ~~~. 'f) {,;, (.:'"--€1.::' isto é, Além disso, como y' = 3Cl COS3x - 3c2sen3x, temos que: isto é, Logo, y = sen3x - cos 3x é solução do problema de valores de con- tomo. o 18 r '--"(, ,1"'. { "-'- 1.4 Exercícios 1. Classifique quanto ao tipo, a ordem e identifique o grau de cada uma das seguintes equações diferenciais. 19 j ~ (~. (i) ~ + 2xy = 9x (j) Ô2z ô2z - Oôx2 + ôy2 - (a) (COSX)y" + (x3 - 1)y' + 7y = 2 f ..').(l (b) y::; + 2y = 1- 2x4 (c) (9 - X2)6dx - (xy - yX + x2)dy = O (d) Ô2u + (éPU)2 + f!3z ., ~ ôx2 ôy2 ôz3':;' (h) f!z - 3ôZ - 2xy(?Z)2 = Oax ôy ox (e) (x2 + y2)dx - (3xy)dy = O (f) (~n2 + (;t:¥)5 - X2~ = X2-1 (g) y"' + 2xy" + (1 - x)(y'r = x (e) Z = xy~ (f)' !fu + 2~ - 5!fJL + 'Él. + xy = 6d:é dx3 dx2 . dx (9) ~ + ~ +y = O (c) (lnx)y'" + X(y')2 = o (d) (t - 1): - 3x = 6t (a) y" - 4y' + 4y = ex (b) ;t:¥ - ~ = 6 2. Determine a ordem e classifique quanto à linearidade as seguintes equações diferenciais ordinárias. 3. Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada .é solução. :)c .t'? r (7 t) • 2:£:/9 . -...j (r:f)~~. ::( + (] /" / C' ) () (J.2-'-1)2 .-/(a y' = 2x, Y x = 4 (~ dy = 2X(y2 + 9)dx, y(x) = 3tg(3x2) •.•...( { . \, (••..... {: '1:,:; ---.:.. C:: '-C '--( "f.: l: "-'C.: ,-(, •...l.; Cj---(" . --c/ ......co; c --'ç. : \ •• .i' ~.; .j"~ (, '( -( __L ••.•..() (o:..•....• C. -r,-". \.... ç::Q /é-.o/...,VC , !0 ./ ' (c) Y" - Y = o, Y(X) = eX (d) y" + 9y = O, y(x) = sen3x ...., ( .-;:~~ , 0"''''- (f) y" = 9x2 + 2x - 1, Y = x + ~X4 + ~X3 - ~X2 ,l,. ) ~' /...Jc.~ O (g) y(IV) + 4y/ll + 3y = x, y = e-x + ~ e'/~~)O ! 2y4 + x4;(4) Quais, dentre as funções abaixo, são soluções de y' = 3'? (1.,0/ xy (a) y..;= X (b) y = :r8 - x3 (c) y = vix8 - x4 (d) y = (x8 - x4) ~ @Quais, dentre as funções abaixo, são soluções de : = xyh (a) y = x3 (b) y = x5 - x2 (c) y = .~~ (d) y = V; 6. Verifique se a função dada é solução para a equação diferencial indicada. (a) y = et2 - ~, y' - 2ty = t (b) y = e, y' = ~ (c) y = cos 2x, y" - 4y = O (d) y = CI cos(lnx) + c2sen(lnx), .r2y" - xy' + y = O (e) y = cIex + C2e-x + C3e2x + 3, y/ll - 2y" - y' + 2y = 6 .--") r\ ) r•.. ' ,,:.,1" \ 7. Mostre que YI(X) I~ x2 e Y2(X) = x3 são ambas soluções para x2y" - 4xy' + 6y = O. O que podemos concluir a respeito de , /' YI +~; é também solução da equação dada? 8. Supondo que y = c(1 - x2) é uma solução para uma equação diferencial, encontre c que satisfaça a condição inicial: (a) y(O) = 1; (b) y(l) = 2. 9. Sabendo que y( x) = CI senx + C2 cos X + 1 é solução de uma equação diferencial de segunda ordem, encontre c} e C2 que satisfaçam as condições iniciais y(r,) = Oe y'(r,) = O. 20 " \() -f,~ C' "€) .ç~ C'~' c 't \( -£ [- €:~~: 'C""~... '{': (':'"'> & ti) ~j \() :C "-'f; êr,~ ,() ~' (, \ {, ~" ( (' '(i @ (.' tD {; {:ç: f} (2, -t~ g;;. C <..,l. '. t.: .£ C;: " ,l' 'C, ~ @ ~:~X-' 10. Sabendo que y(x) = CIX +C2 +x2 -1 é solução de uma equação diferencial de segunda ord~m, encontre CI e C2 que satisfaçam as condições iniciais y(l) = 1 e y'(O) = 2.' 21 1.4.1 Algumas respostas Questão 1 (a) E.D.O 2a ordem, 1° grau (d) E.D.P 3a ordem, 1° grau (f) E.D.O 2a ordem, 5° grau ü) E.D.P 2aordem, 1° grau Questão 2 (a) Linear, 2a ordem (b) Linear, 2a ordem (c) Não linear, 3a ordem (d) Linear, la ordem (e) Não linear, la ordem (f) Linear, 4a ordem (g) Linear, Sa ordem Questão 4 (d) Questão 5 (c) Questão 6 (a) Sim (b) Não (c) Sim Questão 8 (a) C= 1 (b) ~ Questão 9 y = cosx + 1 22 -..r.~ ('o '---<.. (' ,-ti=''' {'i -.....:- C 'C- \f:.' (:: .-.....; c; i'(,,:; :,J,:: . (:--,.(ô . t:.=-"''t~,-~.\ Ji~.\ -~... ..;..o • .:~" ,(j'-,€1,">1 '{J ~ () C}' '( : ..(:: (. .. '--{: .; 'f .1.5 Referências Bibliográficas ( http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/edo/edo.htm ) ( www.mat.ufmg.br/regi/eqdif/iedo.pdf) ( www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/eq.php) ABUNAHMAN, s.: Equações diferencias. Rio de Janeiro. EDG Edi- tora. 1989. BOYGE,W.E. e DIPRIMA, R.G.: Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. LTGEditora. 1994. BRONSON, R.: Equações diferenciais. São Paulo. Makron Books. 1994. ZILL, D.G.:Equações diferenciais, vol. 1. São Paulo. Pearson Makron Books. 2001. 23 / ~ \ Nessa unidade, apresentarem os definição, exemplos e método de solução para as principais equações diferenciais de primeira ordem e primeiro grau. a saber: Equações Separáveis, Homogêneas, Exatas e Lineares, Resumo <> (} o o ~.'.',,:..> C. ( c> £.:'~ ~,,'':~' e" ei f.;. c,: o @ e () I €) I °I~} (i I (, r .c; c: I r': .., .,. \.:~'J (.;, (D. (:::~r () I (; , (; £:.) r ~:;.J' @r ~ , () (..:~,I .'." (c I', . (. Ic: (D:' f C.I i . " ., () r..d~ ( <'., "'::'::.~ I Sumário da Unidade J---------- UNIDADE 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 2.1 Equações Diferenciais Separáveis 27 2.2 Equações Diferenciais Homogêneas 30 2.3 Equações Diferenciais Exatas 33 2.4 Equações Diferenciais Lineares 38 2.5 Problemas de Valor Inicial 43 2.6 Aplicações de Equações Diferenciais de Primeira Ordem 44 2.6.1 Problemas de Crescimento 44 2.7 Exercícios 47 2.8 Algumas respostas 51 Referências Bibliográficas 53 tar o estudo de equações diferen- ciais de primeira ordem, acesse o sítio Essencial. s--, r"~ (,' ~..c:- C--( '<o ,; ...•.( - ( . ...,.:.; () ....( :"'c. \(, l.S' ~. \!, 6'c '''(c"::. I,C:" f :. ,. ~ ~ L. I,f'~~;~ l. /.~ 'I." " i " .~ . .' Para incremen- 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Uma equação diferencial de primeira .ordem .e primeiro ,grau .tem ,a forma: dy )-d = F(x, y) ou M(x, y)dx + N(x, y dy_ x Nesta unidade, apresentaremos definição, exemplos e método de solução para as principais equações diferenciais de primeira ordem e primeiro grau, a saber: Equações Separáveis, Homogêneas, Exatas e Linea- res. 2.1 Equações Diferenciais Separáveis Conheceremos nesta seção a definição e o método de solução do tipo mais simples de equação diferencial de primeira ordem. Definição 2.1.1. Chamamos de Equação Diferencial Separável (ou de variáveis separáveis) a equação .~(x,y)dx+N(x,y)dy =0, onde 114 e N podem ser funções de apenas uma variável, produto de fatores de uma só variável ou constantes. Exemplo 2.1.1. São equações diferenciais separáveis: 1. ~ = 5x + 2 27 2~~ = 2 cos 3x . 3. x2(y - l)dx + 3dy = O 4. (cos2 y)dx - (x2 - l)dy = O 5 dy 1+ y2 . dx (1+ x2)y 6. (tgy). (secx)dy - (tgx). (secy)dx = O 7 dy = e-2y . dx x2 + 4 8. xe-Ysenxdx - ydy = O Para resolvermos uma equação do tipo separável, a escrevemos na forma M(x)dx + N(y)dy = O (2.1 ) e integramos (2.1), isto é, a solução de uma E.D.O separável é obtida por jMdX+ j Ndy=K, sendo K uma constante. A seguir, vamos encontrar a solução das cinco primeiras equações diferenciais apresentada no Exemplo 2.1.1. Exemplo 2.1.2. 1. Note que a equação ~~= 5x+2 pode ser escrita como(5x + 2)dx - dy = O. Portanto, integrando essa última igualdade, obtemos: J (5x + 2)dx + j dy = K :=;, ~X2 + 2x- y = K. Logo, y = ~X2 + 2x - K é a solução da equação dada. O 2. A equação : = 2 cos 3x pode ser escrita como 2cos3xdx - dy = O. Logo, integrando essa relação, segue: J 2 cos 3xdx - J dy = J( :=;, ~sen3x - y = K. Assim, y = ~sen3x - K é a solução procurada. O 28 c~~".~ f,. -C -C ( .. c.,.•.•..::..•. f: -( {' () '-C c_. C "C,: -{) (...•.• • > "';" ~,.. ; ,,(} .$:!:; () ",,"",,'(, "C, ....C; (: (' -i, (t. ..•..... C ~<: "C, <-",-. (' '(0 c,.::,~:.' C'-~(. \' 1., 3. A E.D.O x2(y - l)dx + 3dy = O pode ser escrita sob a forma 2 3x dx + --dy = O. y-1 Logo, para encontrar a solução, calculamos: J x2d.T + J y: 1dy = K => ~3 +31n Iy - 11= K. Daí, 3K - x3 In Iy - 11 = 3 . Com o objetivo de explicitar a função y, compomos a função exponencial a ambos os'membros da equação acima: ou ainda 3 Y = 1+ Ce-T, onde C = eK, é a solução da equação diferencial dada. O 4. A equação (cos2 y)dx - (x2 - 1 )dy = O pode ser escrita por: dx 2-- - sec xdy = O. x2 -1 Portanto, resolvendo esta equação, obtemos: J J.;2d~1 - J sec2xdy = K A segunda integral da equação acima é imediata J sec2xdy = tgy. A primeira, deve ser calculada usando o métoqo das frações parciais (para mais detalhes, revise esse método de integração em seu livro de cálculo diferencial e integral) .. Assim, temos: 1 1"2 ln Ix - 11 - "2 ln Ix + 11 - tgy = K, o qual usando propriedades da função logaritmo, resulta: ( Ix - 11) ~In -;-._- - tgy = K. Ix + 11 o 29 5 A - dy 1 -+- y2 d .. equaçao -d = ( 2) po e ser escrita como:x l+x y ~_ ydy =0 1+ x2 1+ y2 Assim, J~ -J ydy =J{1+ x2 1+ y2 . Portanto, a solução da equação diferencial dada é 1 ( 'o' -'arctgx - 21n 1+ y~) :=: k. o 2.2 E.=quaçõesDiferenciais HOlllogêneas Iniciaremos esta seção apresentando a definição de função homogênea. Em seguida, definiremos equações diferenciais homogêneas e apre- sentaremos o seu método de solução. Definição 2.2.1. Se uma função f satisfaz f(tx, ty) = f'f(x, y). para algum n E IR, dizemos que f é uma função homogênea de grau n. Exemplo 2.2.1. 1. f(x, y) = 3x2-xy+4y2 é uma função homogênea de grau 2: 2. f (x, y) = yX+y é uma função homogênea de grau ~: f(tx, ty) = Jtx + ty = /t(x + y) = dv'x + y = df(x, y). 3. f (x, y) = 2x - 3y é uma função homogênea de grau 1: fUx, ty) = 2(t:1:)-- 3(ty) = t('2:r + };t) = t.f(x, y). 30 ---(" -c; -f'c....--c: -() ..I. .' C.-(:' ~() ()-('} ~C.:.: ..•.f.::\ () "",...(''. ""(> ...••.(,.' ~.~..•~:~•.•..•... ('I '() ..•.() {:~ 'C, ~t::j (- \..-C: '(5 V \. .. ' ~( . ( '';';'" ( ( ~:_~ Definimos uma equação diferencial homogênea de primeira ordem através de funções homogêneas por: Definição 2.2.2. Chamamos a equação diferencial A1(x,y)dx+ N(x,y)dy = O de homogênea quando as funções M(x, y) e N(x, y) são homogêneas de mesmo grau. Exemplo 2:2 ..2. 1. (x + y)dx + (x - y)dy = Oé uma equação dife- renciaI homogênea. Veja que M(x, y) = x + y e N(x, y) = x - y . são funções homogêneas de grau 1. 2. (x2 + y2)dx + xydy = O é uma equação diferencial homogênea. Observe que M (x. y) = x2 + y2 é uma função homogênea de grau 2, e N(x, y) = xy também é uma função homogênea de grau 2. 3. (2x-y)dx-.(x+3y)dy = O é uma equação diferencial homogênea. Veja que M(x, y) = 2x ..- y e N(x, y) = -x - 3y são funções homogêneas de grau 1. 4. (yXY + x )dx - 2ydy = O é uma equação diferencial homogênea. Temos que M(x, y) = yxy + x e N(x, y) = -2y são funções homogêneas de grau 1. Para resolver este tipo de equação diferencial, fazemos uma substituição algébrica que a transforma em uma equação de' variáveis separáveis. A substituição utilizada é: y = ut e (consequentemente) dy = udt + tdu. Vamos observar nos seguintes exemplos como aplicar este método de solução. 31 j-'-'- Exemplo 2.2.3. 1. Consideremos (x + y )dx + (x - y)dy = O. Então, fazendo as substituições: y = ux e dy = udx + xdu, obtemos: (x + ux)dx + (x - ux)(udx'+ xdu) = ° o qual resulta em Agora, dividindo toda a equação por x e organizando, obtemos: dx 1-u (1+ 2u - u2)dx + x(l - u)du = O=?- + 2 2du = 0,x 1+ u-u ou seja, obtemos uma equação separável nas variáveis x e u. Resolvendo-a, segue que: J dx f" 1 -- u .- + ----du = K.x 1+ 2u - u2 A primeira integral é imediata, a segunda é resolvida pelo método da substituição. Obtemos: 1 lnx + "21n(1 + 2u - u2) = K. Usando propriedade da função logaritmo e voltando para as variáveis da equação homogênea através da substituição u = ;:,a última . expressão implica em: x. (1 +2~ _ (~)i) 1/2 = C, onde C = eK. Esta é a solução da equação homogênea dada. O 2. Consideremos (x2 + y2)dx + xydy = O. Fazendo as substituições y = ux e dy = udx + J:du, 32 J) C" (~] i) ,Jh ""f . ,J. ( •.....•C;~ "'C', -L'. C: ~C; ~\ F:', .~~;.~£~. t::: ~'\C i::' 1."', ~:.~ E" 't~... "--"f. V'. \ -t.;': ~- ( '.. "( . c(> 8:' C' '{;. -t.:: {.,. '-() 'l. C ..' ~- obtemos: (x2 + (uxf)dx + x2u(udx + xdu) = O. Fazendo as distribuições e dividindo toda a equação por x2, segue que: . (1 + 2u2)dx + xudu = O, a qual é uma equação de variáveis separáveis: dx u . -+---du=O. x 1+ 2u2 Assim, integrando esta última expressão, obtemos como solução:. 1 lnx + 41n(1 + 2u2) = K. Usando propriedades de logaritmo e que u = Ji., concluímos quex a solução da equação diferencial homogênea é: ( 2) 1/4 X 1+ 2 (~) = C, sendo C = eK. ~2.3 Equações Diferenciais Exatas Nesta seção, estudaremos as equações diferenciais exatas, sua definição, critério para ser exata, exemplos e método de solução. Definição 2.3.1. Dizemos que a equação M(x, y)dx + N(x, y)dy = O é diferencial exata quando existe uma função U(x, y) tal que dU = NI(x,y)dx + N(x,y)dy. Um exemplo clássico de equação diferencial exata é ydx + xdy = O, Note que U = xy é uma função tal que dU = ydx + xdy. 33 Quando dU = O (portanto, ydx + xdy = O), temos que U = C, C E IR, e assim xy=c é solução da E.D.O. Exata. De modo geral, a solução de uma equação diferencial exata é U(x,y) = c. Em seguida, apresentamos um critério para uma equação diferencial ser exata. Teorema 2.3.2. Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular R {(x,y)1 a < x < b, c < y < d}. Então, a equação M(x, y)dx + N(x, y)dy = O é diferencial exata se, e somente se, ocorrer a relação: ôJ..;1 ôN ôy ôx' Um esboço da demonstração pode ser encontrado em ([?], [1]) . . Exemplo 2.3.1. São exemplos de equações exatas: ôM ôN 1. (x2 - y2)dx - 2xydy = O. Temos: ôy = -2y = ôx' ôM âN 2. x2y3dx + x3y2dy = O. Temos: ôy = 3X2y2 = ôx' . ôAl âN 3. (x3 + y2)dx + (2xy + cosy)dy = O. Temos: -ô = 2y = -ô . y. x ôM ôN 4. (cosxsenx-xy2)dx+y(1-x2)dy = O. Temos - = -2xy = -ô . ôy x () ôM ôN 5. (1 - !+ y) dx + 1 - ; + x dy = O. Temos ôy = 1 = ôx' Para enco,~trarmos a solução de uma equação diferencial exata, supomos que ~~ = M(x, y), de onde podemos encontrar U por integração em relação a x, considerando y como constante: U(x, y) = J M(x, y)dx + g(y), (2.2) 34 Exemplo 2.3.2. Vamos resolver algumas das equações apresentadas no Exemplo 2,3, 1. onde g(y) é a constante de integração. Derivando esta última relação com respeito a y e supondo que ~u =y , N(x, y). obtemos: aU o J 'oy = oy M(x, y)dx + 9 (y) = N(x, y). Daí, isolando g'(y) nesta última equação. segue que: g'(y) = N(x, y) - :y J M(x, y)dx. Vamos denotar P(x, y) = J M(x, y)dx. Daí, integrando a última equação com respeito a y, obtemos: g(y) = J (N(X, y) - ~:)dy, (2.3)' Ao substituirmos (2.3) em (2.2), e lembrando que a solução de uma equação exata é dada por U(x, y) = C, obtemos: ,U(x, y) = P(x, y) + J (N(X, y) - a:;) dy = C, que é o método de determinação de solução de uma equação diferen- ciai exata. o 1. Consideremos (x2 - y2)dx - 2xydy = O. Faremos 'passo-a-passo: (10 Passo) Calcular P(x, y): P(x, y) = J (x2 - y2)dx = ~3 - y2x (20 Passo) Calcular ~~: J " 8P - =2yxoy (JO Passo) Calcular J (N(x,y) - ~) dy: J (N(X, y)dy - ~:) dy = J (-2xy + 2yx)dy = k. Assim, x3 x3 U(x, y) =3- y2x + k = C ::::} 3- y2x + o: = O. onde Q = k - C, é a solução da E.D.O dada. ( , C-.....;. (J v"\~._..) ..c~ -S} C': '~~: 35 2. Consideremos (x3 + y2)dx+ (2xy + cos y)dy = O. Vamos calcular inicialmente P(x, y) = J (x3 t y2)dx = :4 + y2X. Calculando a derivada de P com relação a y, obtemos ~~.= 2xy. Assim, J (N(X, y) - a:;) dy = J(2XY+COSY~2XY)dY = J cosydy = seny. E, portanto, x4 U(x,y) = ~ +y2x+seny = C. o 3~ Consideremos (1 - ~ + y) dx + (1 - ~ + x ) dy = O. Vamos calcular inicialmente P( x, y) = J (1 - ~ + y ) dx = x - 31n X. + xy. Calculando a derivada de P com telação a y, obtemos ~~ = x. Assim, J (N (x, y) - ~:) dy = J (1 - ~ + x - x) dy = y - 31n y E, portanto, após simplificações, obtemos: . ( 1 )3U(x,y)=x+y+xy+ln xy =C. Algumas vezes, podemos transformar uma equação diferencial não- exata em uma equação exata, multiplicando-a por alguma função À(x, y). A esta função .À chamamos Fator Integrante. Exemplo 2.3.3. A equação xdy - ydx = O não é diferencial exata. Mas, observe que multiplicando-a por~, ~, ~, respectivamente,:r y x +y obtemos (a) xdy~ydx = O, que é uma E.D.o. exata; (b) Xdy~ydx = O, a qual é uma equação diferencial exata; 36 37 Similarmente, tomando)., uma função apenas de y, obtemos: o(ÀN) OX ' o(ÀM) --- [)y MO)., _ NO)., = ).,(ON _ OM) . oy ox ox oy in)., =J~ (âM - âN) dx, N ây âx _NOÀ = À (âN _ âM) O,L âx oy , r 1..(8M - 8N )dx).,= e. N oy 8x • J' 1 (8N 8M)dÀ = e M a;:-8jJ Y. e assim, fazendo a composição com a função exponencial, obtemos o fator integrante (que depende apenas de x): Vale ressaltar que esta última equação só faz sentido se a função do segundo membro depender apenas de x. Desse modo, integrando ambos os membros com relação a x, obtemos: (c) x~~~~~ = O, que é do tipo exata. Para simplificar esta equação, devemos escolher)., que seja uma funçao apenas da variável x ou da variável y. Suponhamos que ).,depende apenas de x, donde ~~ = O e, portanto, a qual implica em a qual dividindo ambos os membros por )"N, implica: Observamos, com este ,exemplo, que podem existir várias funçõés~. À(x, y) que transformam uma E.D.O não-exata em uma equação exata. Apresentamos agora um método de determinação (ou escolha) de um fator integrante. Para isso, consideramos que À seja um fator integrante de uma equação não,..exata AI dx + N dy = O, isto é 'f:, -L' C:) ?:' y'," f', ' ç G; tu -r',~~~i £) '-'() ~,',~,'. tl;,} <'~, \:J If~ ~,,; () t' () ~~ C" t'f () to,:--','(> (::[ () ,~~. (! ti' o º()>'; '-.:--" Exemplo 2.3.4. Consideremos a equação (y2 - X )dy\;t- ydx = 0, que não é diferencial exata, pois: 8M 8N - = 1 e - =-18y .8x . Vamos determinar um fator integrante. Escolheremos À dependente de y (pois a função AI é mais simples que N). Então: \ j.l(-I-I)dy -2 -2lny In(y-2) -2/\=e y =ey =e =e =y. Note que quando multiplicamos a equação dada por À = y-2, obtemos (1 - ~) dy + ~dx = 0,y2 Y a qual é diferencial exata, pois 8(ÀM) 8y 1 8(ÀN) y2 âx' 2.4 Equações Diferenciais Lineares Nesta seção, estudaremos os métodos de solução de equações dife- renciais lineares de primeira ordem. Iniciamos relembrando a definição de equação diferencial linear. Definição 2.4.1. Dizemos que uma equação diferencial é linear quando é escrita sob a forma Para efeitos de simplificação, consideraremos a seguinte forma para uma equação diferencial linear (a qual é obtida dividindo ambos os membros da última equação por aI (x)): dy dx + P(x)y = Q(x). Quando Q = O,a equação é denominada linear homogênea ou incom- pleta. Apresentamos a seguir métodos de solução para uma E.D.O. linear 38 De (2.5), (2,6) em (2.4): Qdx - dy = O. (2.4 ) (2.5) (2.6), y = zt, Neste caso, a solução é: y = J Qdx+C. de primeiro grau. O primeiro deles é o que conhecemos por Método de lagrange ou método da substituição. Consideremos a equação linear na forma: dy dx + P(x)y = Q(x). Façamos a substituição (i i) Quando ~~+Py = O, podemos escrevê-Ia como a equação separável dy + Pdx = O. Y Assim, calculando a integral em ambos os membros, obtemos: In y + J Pdx = C=;. y = eC- J Pdx =;. Y = eC . e-.r Pdx. Portanto: sendo z = z(x) e t = t(x), com z a nova função incógnita e t a função a determinar. Derivando y com relação a x, obtemos: dy dt dz- =z-+t-. dx dx dx (i) Quando ~ = Q, essa pode ser escrita como a equação separável dt dz z dx + t dx + P zt = Q, a qual simplificada implica: z (:: + Pt) + t ~~ = Q. Antes de integrarmos esta última relação, devemos estudar os casos particulares da equação linear: ('1 •..••....... (:,: "(~ '.(:;1 (> \:;./r \c' ~,., \ ~ @ ~) ~ '() () '-='€} '.~? ~ (,;',,-, ('" ". '.C, C' C'-.:.;. (\ onde K = eC, é a solução da equação linear homogênea. 39 (2.7) Agora, voltemos à equação z (:~ + Pt) + t~; = Q. Nosso objetivo é encontrar z e tj solução desta última equação. Observemos que se determinarmos um valor para o coeficiente de z, esse valor será levado a (2.7), possibilitando a determinação de z. Impomos que tal coeficiente seja igual a zero, isto e: dt dx + Pt = O. (2.8) Essa é uma equação linear do tipo do segundo caso particular acima citado. Logo, a sua solução é: (2.9) Assim, substituindo (2.8) e (2.9) em (2.7), obtemos: K e- I Pdx dz = Q. dx . aqual pode ser escrita sob a forma de variáveis separáveis como: dz - ~ (ef Pdx) . Qdx = O. A solução desta, após integração e simplificação, é: z = ~ J (ef p~) .Qdx + C. (2.10) Lembrando que y é a solução da equação diferencial linear (ver (2.7)) e que y = zt, por (2.9) e (2.10), concluímos: y = e- I Pdx [J (eI PdX) . Qdx + c] , onde C = K. C, é a solução de (2.7). O segundo método de solução consiste em transformar a equação linear em uma exata, através de fator integrante. Consideremos À = eI Pdx, vamos mostrar que À é um fator integrante para (2.4). Inicialmente, escrevamos a equação linear (2.4) sob a forma (Py - Q)dx + dy = O. 40 '-r'c.; ...,.(' ,J; ( l"- Agora, multiplicando essa última equação por À, obtemos: ef Pd.'"C(Py- Q)dx + ef Pdxdy = O. (2.11) 1. Vamos resolver Exemplo 2.4.1. i: / ,,:"--- 'l! !tY " './ / 1 J .P(x) = -;;::::} P(x)dx = lnx. ef P(x)dx = e1nx = x, e e- f P(x)dx = e-1nx = e1n(x-1) = X-i = 1. x Logo: Dividindo toda a equação por x, para deixá-Ia no formato de (2.4), obtemos: Assim, dy x- +y = 2x. dx Usando a fórmula, temos que a solução da E.D.O. é: 1 Y = - (x2 + C) ,x . 1. Encontrar um fator integrante na forma À(x) = ef Pilx e resolver a. diferencial exata resultante. 2. Usar a fórmula y = e- f Pdx [J (ef Pdx) . Qdx + C] . éJ(ÀAI) _p f Pdx _ éJ(ÀN) éJy - e - éJx ' isto é, a equação (2.11) é diferencial exata. Em resumo, para determinarmos a solução de uma E.D.O linear de primeira ordem ~~+ P(x)y = Q(x), podemos: Portanto, {;~. C, ""(: ,(. le)....."..C. , ~;, ,[ .... ~: C.-.....;> C ~) ~ .() "='C, '(" ( ~. Oi "'( ~ ~.'.' C; ,"("' ;~fD ~'? tr...: \lo . y:, ~.>; \(i tf' ' ~;" C "'( ,f ..•. ~, ou C y = X+-. x f' .~.. @ 'C, 41 2. Encontraremos a solução de dy Y---=x+1. dx x Temos: P(x) = -~ =* J P(x)dx = J -~dx = -lnx.x x Logo, eI P(x)dx = e-1nx = e1n(x-1) = X-I = l. x' e e- I P(x)dx = e-1nx = :T;. Assim, usando a fórmula, temos que a solução da E.D.O. é: y = xlx + In x + C]' ou y = x2 + x In x + C.'];. 3. Encontraremos a solução de dy dx - ytgx = senx. Esta equação resolveremos usando fator integrante. Como P(x) = -tgx, então J P(x)dx = J -tgx = ln(cosx), e, portanto, À = e1n(cosx) = cos x. Assim, ao multiplicar À pela equação linear dada, e após algumas simplificações, segue que cos xdy - (ysenx + senx C08X )dx = O. Agora, usando ométodo de solução para equações exatas, obte- mos: sen2x ycosx + -2- = C, que é a solução da equação linear dada. 42 •...c' c '-"c: 'C •.(:,j C'"'=-' ( ~ .. \ ~., .. l : '..(., £, (; 1;'" '.,(~' \~) C "(,: ti' \( .~ r.: "'.'~ ..:. ...(j .c.:;,.,. c \.. \. 2.5 Problemas de Valor Inicial Dada uma equação diferencial de primeira ordem, dy = F(x, y), o pro"- dx blema de valor inicial (PV.I.) é o problema de resolver a equação dife- renciai sujeita à condição inicial y(xo) = yo, em que xo é um número no intervalo I e Yo é um número real arbitrário. Isto é: Resolva ~~ = F(x, y) sujeito a y(xo) = Yo. (2.12) Um questionamento natural é saber se, dado um p.v.1. (2.12), uma solução existe e, se existir, se tal solução é única. O teorema abaixo nos dá as condições para a existência e unicidade de soluções para o p.v.1. (2.12). Teorema 2.5.1. Seja R uma região retangular no plano xy definida por a :S x :S b, c :S y :S d, que contém o ponto (xo, yo) em seu interior. Se f(x, y) e ~~ são contínuas em R, então existe um intervalo I centrado em xo e uma única solução y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial (2. 12). Exemplo 2.5.1. Consideremos o P.V I: Resolva ddy= y sujeito a y(O) = 2."x . O teorema acima garante a existência de algum intervalo centrado em x = O e uma ún"ica solução y( x) definida em I que satisfaz o P. V I dado, pois: af f(x, y) = y e ay = 1 são ambas contínuas em todo o plano xv. Agora, vamos obter esta solução. Inicialmente, veja que a equação dada é separável: dy - -dx =0. y Integrando-a, obtemos: ln y - x = K =? ln y = K + x =? y = C eX. Usando a condição de valor inicial, segue que: y(x) = Cex =? y(O) = Ceo = 2 =? C = 2. Portanto, a solução geral do P.V I. dado é y = 2eX• o 43 2.6 Aplicações de Equações Diferenciais de Primeira Ordem Nesta seção apresentaremos alguns exemplos de aplicações de equações diferenciais de primeira ordem. O primeiro deles é conhecido como problema de crescimento ou decaimento. 2.6.1 Problemas de Crescimento Seja N(t) uma quantidade sujeita a crescimento ou decaimento. O problema de valor inicial dNdi = kN, N(to) = No surge em muitas teorias das diversas áreas de ciências. A seguir, apresentaremos alguns exemplos deste tipo de pv.l.. Exemplo 2.6.1. Seja N(t) o número de átomos radioativos em uma amostra num instante t. Define-se a atividade de uma amostra radioa- tiva como sendo o número de desintegrações por unidade de tempo. Foi observado, desde o início do estudo da radioatividade (1896), que a atividade é proporcional ao número de átomos radioativos pre- sentes, isto é, dN = ÀN dt ' onde À é chamada constante de desintegração ou de decaimento ra- dioativo. Se No é o número de átomos no instante t = O,o P.V.I. d:: = ÀN, N(O) = No tem solução Exemplo 2.6.2. Seja m(t) a quantidade de massa de uma substância radioativa, temos: dm dt = -Àrn, m(O) = mo. 44 A(t) = Aoe->'t, Sabemos que a solução geral deste problema é m(t) = moe->'t. => À= ln2. 4000 mo -4000>'- =moe 2 Logo, m(t) = moe-1~~t e, assim, Como m4000 = T' temos: e após algumas simplificações, obtemos: 1 m(5000) = mo 4M' 2v2 dAdi = -.\A, A(O) = Ao. Como já sabemos, a solução é 1. Uma quantidade de substância radioativa tem, inicialmente, mo gramas e decompõe-se a uma razão proporcional à quantidade presente. Se a meia-vida da quantidade inicial é 4.000 anos, en- contre a quantidade de substância depois de 5.000 anos. Exemplo 2.6.3. A proporção de carbono 14 (radioativo) em relação ao carbono 12 presente nos seres vivos é constante. Quando um orga- nismo morre, a absorção de carbono 14 cessa e a partir daí o carbono 14 vai se transformando em carbono 12 a uma taxa proporcionar à quantidade presente. Podemos descrever o problema de encontrar a quantidade de carbono 14 em funcão do tempo, A(t), como o problema de valor inicial: A meia-vida é uma medida de estabilidade de uma substância ra- dioativa. A meia-vida é simplesmente o tempo necessário para a metade dos átomos de uma quantidade inicial mo se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Cabe comentar que a desintegração radioativa pode ser usada para descobrir a falsificação de obras de arte. ~() jr~~, ~;; ..~ '€? C;.~. (j 'r' c_,: -l- Y . I' em que Ao é a quantidade 'no instante t = O. ~ ~~ . ti. 45 . J 1. Em um pedaço de madeira é encontrado 5~0 da quantidade origi- naI de ca~bono 14. Sabe-se que a meia-vida do carbono 14 é de 5600anos, isto é, em 5600 anos metade do carbono 14 presente transformou-se em carbono 12. Vamos determinar a idade deste pedaço de madeira. Sabemos que a sôlução geral deste problema é A( t) = Aoe"7Àt. Como A5600 = ~, temos: Ao A. -5600À --"" In 2 ."2 = oe -,- À = 5600' Como A(t) = ~, então: Ao _ A -Àt => 500 = eÀt => ln 500 = Àl,500 - oe e, portanto, In 500 5600 ln 500 t=--=--- À In2 O qual corresponde a aproximadamente 50200 anos. ,,:' .' 46 i,f} Fo,' ,\.... ;.'-..--.r-,". '. '-C (, ~. C ''1:' .. 2.7 Exercícios 1. Resolva as seguintes equações separáveis. 2:::.J!. ')(e) (x e x + y-)dx = xydy (g) ydx = (x + y)dy dy _ xeX dx '- 2x-.l (c) senxdx + cos ydy = O (f) dy = li. in 1!. dx x x (c) 5l1L = ~-3y dx .)x-y (b) dx - ..JC2.. dy - y+2x (a) (2x + 3y)dx + (.r - y)dy = O (j) y' = _ sen3x ycos33x (h) y' = e2x-3y (i) 5l1L = x2y -Idx l+x (d) (t2 + l)dt + (y3 - y)dy = O (e) 1:t2dy - dt = O (b) .T:ydx+ dy = O - (a) xdx - 3y2dy = O (f) • (g) 3. Verifique se as seguintes equações são exatas e determine a solução. 2. Mostre que as seguintes equações diferenciais são homogêneas e determine a solução de cada uma delas. 'J:. J,. f) '~f' ,(o e '"'c:~ '-(;:i, jf~:j ~:-: c: ): \f.J ~). C. ~. \(, -&. c. \:., \C.~ c.'i ~(;i \{:; ~. (/ ,(, ,,",,:,'; ~;.'" ,~: (' (a) 2xydy + (1 + x2)dx = O . (b) y2dt + (2yt + 1)d:; = O (c) (2x - y)d.7: - (.1: -1- 6y)dy = O 47 (d) (2x - l)dx + (3y + 7)dy = o (e) 3x2y2dx + (2x3y) + 4y3dy = O (f) (t2 - x)dt - tdx = O (g) 2xe2tdt + (1 + e2t)dx = O (h) (5y - 2X)Y' = 2y (i) (y3 - y2senx - x')dx + (3xy2 + 2ycosx)dx = O (j) (1 - ~ + y)dx + (1 - ~ + x)dy = O 4. Determine uma função M(x, y) para que a seguinte equação di- ferenciai seja exata: ]Vf(x, y)dx + (2;ry + :r2 - 7)dy = O, 5. Encontre um fator integrante, transforme as seguintes equações diferenciais em exatas e as resolva, (a) ydx + (1 - x)dy = O (b) (x2 + y)dx - xdy = O (c) dx - 2xydy = O (d) ydx + (y2 - x)dy = O (e) xdy - ydx = x2edx 6. Resolva, pelo método de lagrange, as seguintes equações lineares. (a) y' = 2y (b) y' + 3y = O (c) y' - (O, 34)y = O (d) 2y' + 6y = 4 (e) y' + !iY = Ox (f) y' + 3x2y = O (9) ~ .- 3y cc:;: 7x 48 r'""'-~,) C----r,,":l: ;.: '() •..(;:; C~ C ':>.( .fJJ ~) () "c~l '.() L.' ~: f" \f'~ ',() ~ (': \... ..,,: \C' .' .$ f. '1...:." t.::x:\{:, ~' () y. t~:i \1[,"'.=.~7 '&' t,,-, t ,( . \, \. . (h) ~ = y + e-2t (i) * + 2xy = 1 li) dx 3. _ 1 \J dt -(2X - (2 (k) :: + y'= 4 cos 2x (I) xdy + (xy + 2y - xeX)dx = O (m) y~+ ~y = O (n) xdy = (x8enx - y)dx 7, Resolva, usando fator integrante, as seguintes equações linea- res. (a) y' - y = O (b) x2y' + J:Y = 1 (c) !!JL - Jl = X dx x (d) y2dx - (2xy + 3)dy = O 8. Classifique cada uma das seguintes equações e as resolva, (a) 2y - (2x - y)~ = O (b) du = .h-u2dv le,-v2 (c) xy(y + 1) - (y + 2)y' = O (d) ~ + ytge = O (e) (y3 _ X)dy = Y dx (f) ~~+ 2t8 = 2te-t2 (g) (:t3 + y3) + 3xy2 ~ = O (h) (2,'r - 3y)dx + (5x + 7y)dy = O (') dy _ t-e- t 1---dt y+eY 9. Resolva os seguintes problemas de valor inicial. 49 (b) y2dx + (X2 + xy + y2)dy = o; y(O) = 1 (C) y' = (y - 1)2; y(O) = 1 (d) : = 8 - 3x; x(O) = 4 (e) dy = -2xy. y(2) = 5dt 1+x2• (f) (y + 2xy3)dx + (1 + 3X2y2 + x)dy = O; y(l) = -5 (g) (t2 - x)dt - tdx = O; x(l) = 5 (h) y' + ~y = x; y(l) = O (i) : +x = 4 cos2t; x(O) = 1 (j) L;# + Ri = eE; L,R e E constantes; i(O) = ia 50 ___0 c '1) ._{.;:; s~~ e (o......, c; (~:: ''''C~ ,J,(D C1'to ,.{) ()y} \(~:> ~ S Ci '() J', \.~ ...•. 2.8 Algumas respostas Questão 1 (a) .~2 - y3 = C (e) l5y - 3t - t3 = K (g) y = ~e.L2 + C (i) y2 - x2 + 2x - 21n Ix + 11 = K Questão 3 (d) x2 -'.I +h2+ 7y = C (i) (xy'3 + y2 cosx -- ~.r2= C U) x + Y + xy - 31n Ixy I = C questão 5 (a) À = y-2 Questão 6 (m) y = ºx (n) y = - cos x + se;ix + ~, x > O questão 8 '(a) Homogênea (b) Separável (d) Linear (e) Exata (f) Linear (g) Homogênea (h) Homogênea (i) Separável U) Exata e Homogênea Questão 9 (a) y2 = 4x(:r o+- y)2 (b) (.1' + y) ln y + .T = O 51 (c) y = 1 (d) x = ~+ ~e-3t (e) xY + y = -25 (f) xy + X2y3 + y = -135 (g) x = ç + ;1 (h) y = ~(-X-,-2 + x2) (i) x = ie-t + ~sen(2t) + ~cos 2t ti) i(t) = ~ + (ia -~)e-ft 52 (~ -./ . f?' -"C.;i ...,ç:; (: ••........ C "{ .. .•...{ (....,-' C:.' f" '-f: ("':.'-[:., \:~;..? •.•.•1'., ~~~' .~~, ~~'.,. s'; (.-...... , '-(~ ..() , 4'~:,~. {' "(;.: :; '" .j-r ". '<: ; t( ~, ,C~<:: \ '. :~,.; ~,: (;) \) '-f> ~) {. <~:-' f) \/Z.-,;:.~::.-:;' 2.9 Referências Bibliográficas ( www.maLuel.br/matessencial/superior/edo/edo.htm ) ( www.maLufmg.br/regi/eqdif/iedo.pdf ) ABUNAHMAN, s.: Equações Diferencias. Rio de Janeiro. EDC Edi- tora. 1989. BOYCE, W.E. e DIPRIMA, R.C.: Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. LTC Editora. 1994. BRONSON, R.: Equações diferenciais. São Paulo. Makron Books. 1994 . ZILL, D.G.:Equações diferenciais, vol. 1. São Paulo. Pearson Makron. Books. 2001 . 53 '{ i ~. c. . .c' Resumo Nessa unidade, apresentarem os d~finiçáo, classificação e exemplos para as e'quações diferenciais lineares de ordem n. Concentramos o estudo na determ inação de solução das equações homogêneas e não-hom ogêneas,. com' coeficientes constantes. () (~:: {::,. '.' . (' I F ~, , \ Co. ,~ \:.-,. ( .... . . (, \". ' "\ ,:--: '. \:~>. @, () UNIDADE 3. Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior 3.1 Equações diferenciais lineares de ordem n , 57 3.1.1 Equações Diferenciais Homogêneas 62 3.1.2 Equações Diferenciais Não-Homogêneas 67 3.1.3 Exercícios 71 Algumas respostas 72 3.2 Equações Diferenciais Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes 72 3.2.1 Exercícios , '80 3.3. Equações Diferenciais Lineares Não-Homogêneas com Coeficientes Constantes 82 3.3.1 Método dos Coeficientes a Determinar 83 3.3.2 Método da Variação dos Parâmetros 94 3.4 Aplicações de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem 100 3.4.1 Problemas de Mola 100 3.4.2 Problemas de Flutuação 103 3.4.3 Problemas de Circuitos Elétricos (RLC) ó •••• 104 3.5 Exercícios 107 3.5.1 Algumas respostas 109 Referências Bibliográficas 111 \ \. \ \. I "- "- \ "- \. .\.. \. \.. ~ "- "- '- '- '- '- '- , ...••.. " f) ( .',0 'o"" r"'!\'- .... -fi j!~; C': (", 'f,' -1:..... (: i') '-f~ .j;) C <> '-{ " ".," ~; () (>, ,,{) J) {~; (:j ,() ~:) (, '-- ...J' • t, '( .J_ . -J" ,L ~ ~ Para incremen- tar o estudo de equações diferen- ciais de segunda ordem, acesse o sítio somatematica. 3. Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior Nesta unidade, apresentaremos definição, exemplos e métodos 'de solução para as equações diferenciais lineares de ordem n, homogêneas e não-homogêneas, com coeficientes constantes. 3.1 Equações Diferenciais Lineares de Or- demn Nesta seção, lembramos a definição de equação diferencial linear de ordem n, e conheceremos condições de existência de solução para o problema de valor inicial associado. Aprendemos, na unidade anterior, que uma equação diferencial linear de ordem n tem a forma: dyn dyn-l dy2 dy . an(x)-d + an-1(x)-d 1 + ... + a2(x)d 2 + aI (X)-d + ao(x)y = g(x),xn xn- X x (3.1 ) onde g(x) e os coeficientes ai(x) dependem apenas da variável x ou são constantes . Se g(x) = O, dizemos que a equação diferencial é linear homogênea; caso contrário, a chamamos de linear não-homogênea. Dizemos que a equação (3.1) é linear com coeficientes constantes quando os coeficientes aj(x) são constantes para todo i = 0, ... , n; se 57 algum O-i(x) não for constante, a equação é de coeficientes variáveis. Exemplo 3.1.1. Vamos classificar as equações diferenciais lineares abaixo identificando a ordem, se são homogênas ou não, se são de coeficientes variáveis ou constantes. 1. y" - 4y = 12x é uma ED.o. linear de segunda ordem, com coeficientes cons- tantes e não-homogênea. 2. 2xy" + xy' - 3y == x3 é uma E D.o. linear de segunda ordem, com coeficientes variáveis e não-homogênea. 3. 3y/ll + 5y" - y' + 7y = O é uma E.D.o. linear de terceira ordem, com coeficientes cons- tantes e homogênea. 4. y(4) - 16y = O é uma E D.o. linear de quarta ordem, com coeficientes constan- tes e homogênea. é uma E D.o. linear de terceira ordem, com coeficientes variáveis e não-homogênea. Definição 3.1.1. Chamamos o problema Resolva Sujeito; a deproblema de valor inicial para uma equação diferencial linear de ordem n. A s~guir apresentamos condições para existência de única solução para o problema (3.2): 58 , \ \ \ \ '" \ p;" ~'.~~~' (~ 'ts -(;~ A função 1 o 1 -o , 1 o 1_0 y(O) ="2e -"2e = 1 e y (O) = 2e -2e = O. Exemplo 3.1.3. A função y == O é solução do seguinte problema de valores iniciais: Resolva y" + eXy' + (x + l)y = O SUjeita a y(l) = O e y'(l) = O. o Como as funções coeficientes ao = x + 1, aI = eX, a2 = 1 e a função g(x) = O são todas contínuas e a2 =J O, em qualquer intervalo contendo x = O, temos que y == O é a única solução deste PVI. O Antes de apresentar os métodos de obtenção da solução geral de uma equação diferencial linear de ordem n, estudaremos alguns con- ceitos básicos no estudo das equações diferenciais. Exemplo 3.1.2. Consideremos o problema { Resolva y" - y = O Sujeito a y(O) = 1 e y'(O) = O. função dada é a única solução. 1 1 Y = _ex +_e-x 2 2 é uma solução para o PVI. Basta derivar até a segunda ordem e substituir na equação que você obterá a identidade. Além disso, substituindo x = O na função y e na derivada y' = ~ex - ~e-x, veremos que as condições iniciais também são satisfeitas: Teorema 3.1.2. Sejam ao(x), ... , an(x) e g(x) contínuas em um inter- valo I com an =J O para todo x nesse intervalo. Se x = Xo é algum pontodesse intervalo, então existe uma única solução para o pro- blema de valor inicial (3,2) nesse intervalo. Agora, como a equação é diferencial linear, e os coeficientes, bem como g(x), são todos constantes e portanto funções contínuas, a2 =J O em qualquer intervalo contendo x = O, então, pelo teorema acima, a -s) (= 7:; '1-;" \,,f'''.:;' . -.\: .. ,-f:, (>./ '--£'"::0 '~,~'1 '-('i ~,,s . f" "C=::;: ~:! fó '--.'ç. '-./!"':~•.,,(' ,(!.;~. ~. ~ .•.... -..:;,;: (':I \(} ~{',~..,. ~':(, "{ ...., .' -1--'" \,c' Gj (() 'C) ,,-C; (j '--:-:'" l.) ...../1,." ~):) ~ (;) '-..€f:) '() \,(~ i;,' 59 Definição 3.1.3. Um conjunto de funções {YI(X), ...Yn(x)} é linear- mente dependente (L.O.) em um intervalo I se a equação Ci E IR (i = 1, ... ,n), possui solução não-trivial, isto é, possui pelo menos um dos coeficientes CI, ... , Cn diferente de zero. Se todos os coeficientes ai =1= O, i = 1, ...,n, é a única solução daquela equação, então o conjunto {YI(X), ...Yn(x)} é linearmente independente (L. I.). Exemplo 3.1.4. As funções sen2x e 2senxcosx são linearmente de- pendentes. Basta lembrar da identidade trigonométrica sen2x = 2senxcos x e observar que: sen2x - 2senxcosx = O, a qual, por sua vez, nos diz que CI = 1e C2 = -1 é solução da equação CI sen2x + C2 . 2senxcosx = o. o Exemplo 3.1.5. As funções fI (x) = 1- x, h(x) = 1- 2x e h(x) = x são linearmente dependentes .. Para verificar isso, estudemos a solução da equação Primeiramente, observe. que esta equação pode ser escrita como: cuja solução é: e, portanto, fazendo, por exemplo, C2 = 1, obtemos C3 = 2, isto é, temos uma solução não-trivial. Assim, as funções dadas são L.O.. O 60 Teorema 3.1.4: Suponhamos que Yl (x), ... , Yn (x) sejam funções pelo menos n - 1 vezes diferenciáveis. Se o determinante Corolário 3.1.1. Se Yl, Y2, ... , Yn possuem pelos rnenos n -£l~deri\(adqs e são linearmente dependentes em 1, então A seguir enunciamos um resultado que nos dá uma condição sufi- ciente para a independência linear de n funções em um intervalo. O Yl Y2 Yn Y~ Y& ... Y~ Y~ Y~ Y~ (n-l) (n-l) (n-l) Yl Y2 Yn para todo x no intervalo. Chamamos o determinante do teorema acima de Wronskiano (das funções Yl,''', Yn) e o denotamos por W(Yb ... , Yn)' for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo 1, então as' funções Yl (x), ... , Yn (x) serão linearmente independentes nesse inter- valo. O (') ,'.t o ~c' iL> •.•...(~~ (} '-F'''' ~.;" "'C "-{ ..'~. f\() '('"'-': ...., '-f.', (:"-. ~.'. C) '-,C,~ \:'t~if ,--G> ~) r.,.. ,..t. :.'.1,., '-!t':',. ~/ Ç;,') ~..J';;i-r @ \~e.. ~~.' 't!'.., \i;~.;. ~ C •..-"- -.:;;.::. &' (., 'C: {) S .. C . , .. '(:;;:. Exemplo 3.1.6. Usando o Wronskiano, vamos mostrar que as funções senx e cos x são linearmente independentes: senx cos x W(senx, cosx) = cosx -senx Logo, pelo teorema anterior, temos que as funções citadas são L.I. O Exemplo 3.1.7. Usando o Wronskiano, vamos mostrar que as funções eXe e-3x são linearmente independentes: 3 -2x -2x 4 -2x =f-' O=-e -e =-e , 61 pois a função eX =I- Opara todo x E IR. Assim, pelo teorema anterior, temos que as funções citadas são L.I.. Em seguida, aplicaremos os conceitos e resultados básicos apre- sentados nesta presente seção para a determinação da solução geral de equações diferenciais lineares de ordens superiores. 3.1.1 Equações Diferenciais Homogêneas Na presente seção estudaremos as equações lineares homogêneas de grau n. Iniciaremos relembrando a definição deste tipo de equação diferencial linear. Em seguida, veremos alguns conceitos básicos necessários à determinação da solução geral de uma E.D.O. linear homogênea. dyn dyn-l dy2 dy . a.,,(x)-d +an-l(x)-d 1 +...+a2(x)d 2 +al(x)-d +ao(x)y = O. (3.3)xn xn- x X Para efeito de simplificação, no decorrer deste texto consideraremos sempr~ que: os coeficientes ai, i = 0,1,2, ...,n, são contínuos; a função g(x) é contínua; e an =I- O para todo x no intervalo. Teorema 3.1.5 (Princípio da Superposição). Sejam Yl, Y2, ... , Yk soluções para a equação diferencial linear de n-ésima ordem homogênea (3.3) em um intervalo I. Então, a combinação linear (3.4 ) em que os, Ci, i = 1,2, ,k, são constantes arbitrárias, é também uma solução no intervalo I. Prova. Provaremos o caso n = k = 2. Sejam Yl e Y2 soluções para a2(x)y" + alY' + aoy = O. Se definirmos y = CIYl(X) + C2Y2(X), então a2(x)[cIY~ + c2y~1 + aI (x) [CIyi + C2Y&1+ aO(X)[CIYl + c2Y21 = = cda2(x)y~ + al(X)Y~ + ao(x)yIJ + C2[a2(X)Y~ + al(X)Y~ + aOY2]= = CI - O + C2 . O = = 0+0. Segue deste último resultado que, em particular: o 62 ,() c~ '- ('; ~c; ---() --ç: f~l, 'c Corolário 3.1.2. Um múltiplo y(x) = CIYl(X) de uma solução Yl(X) para (3.3) também é uma solução para a equação (3.3). ' O Além disso:- Corolário 3.1.3. Uma equação diferencial linear homogênea sempre possui a solução trivial y = o. O Exemplo 3.1.10. As funções Yl(X) = e2x e Y2(X) = e~X são soluções da equação diferencial Y" - y' - 2y = O. Calculando as derivadas até segunda ordem de Yl e Y2e substituindo na equação diferencial, verificamos a identidade. Pelo Princípio da Superposição, temos que O O y(x) = Cl cos 2x + c2sen2x é também solução da equação diferencial dada. é também solução da equação diferencial dada. Exemplo 3.1.9. AsfunçõesYl(x) = cos2xeY2(x) = sen2xsãosoluções da equação diferencial Y" + 4y = O. Verifique isso fazendo as derivadas até segunda ordem de cada uma das funções e substituindo na equação para obter a identidade. Pelo Princípio da Superposição, temos que Exemplo 3.1.8. As funções Yl (x) = e2xe Y2(x) = e3xsão soluções da equação diferencial Y" - 5y' + 6y = O. Verifique isso fazendo as derivadas de Yl e Y2até a segunda ordem e. substituindo na equação para obter a identidade. Pelo Princípio da Superposição, temos que ,-C,' C- '- t:j C,', ,€:) C- 'r'"\,: " ,--f : C"--() '--C ,,(~) c':"\c.:,r"-- . (~, '(;~ I!'C'\ ''<4) (.J>-.:.~t,; Co, '¥:~:\ ~,.l ~) ,~) () "t:~", ~:.:...y ,() '-~; €) 'tó""1t:..~, ,-t:~' .S) {) 't1 C í.", @ é também solução da equação diferencial dada. O 63 C.. ~'.,. Já sabemos que conhecidas algumas soluções para uma equação diferencial homogênea, qualquer combinação linear também é solução para esta equação diferencial. Porém, desejamos um critério para de- terminar a solução geral. Antes de apresentarmos este critério, vamos conhecer uma condição para a independência linear de soluções de equações diferenciais lineares homogêneas. Teorema 3.1.6. Sejam Yl, ...,Yn, n soluções para a equação diferen- ciallinear homogênea (3.3), em um intervalo l. Então, o conjunto de soluções é linearmente independente em l se, e somente se, para todo x E l. o Definição 3.1.7. Chamamosy}, Yz,"o,'Ynde n soluções linearmente in- dependentes para a equação diferencial linear homogênea de n-ésima ordem (3.3) em um intervalo l de conjunto fundamental de soluções no intervalo. Teorema 3.1.8. Sejam Yl, Y2,"0' Yn n soluções linearmente indepen- dentes para a equação diferencial linear homogênea de n-ésima or- dem (3.3) em um intervalo l. Então, toda solução Y(x) para (3.3) é uma combinação linear das n soluções independentes Yl, Y2,000' Yn,ou seja, podemos encontrar constantes GI,G2, ... , Gn, tais que Prova Provamos para o caso n = 2. Seja Y uma solução e sejam YI, Y2 duas soluções linearmente independentes para em um intervalo l. Suponha que x = t seja um ponto desse intervalo para o qual lil(Yl (t), Y2(t)) =I '0. Suponha também que os valores de Y(t) e Y'(t) sejam dados por Y(t) ~ k1, Y'(t)= k2. 64 '-C! .l", ( : (..:; .:.:.¥ 'O:' J.: ( '--L '".'I ,L' \..~:) C'; 'C' -l C;; 'r.: '() g;l (\ '-",() '-£::':~~ ~ ~".~::; '(I -!) C '-C.''') .~.'' '() ~) (: '-.-t) ",c,' \ ..,J ,0 li t) '€}) ~ c: '-.:.- (.' 'Cc '-L", ',' '-,.' '.. ~. Estudando o sistema de equações obtemos: Logo, podemos determinar 01 e O2 de maneira única, desde que o determinante dos coeficientes satisfaça Yl(t) Y2(t) Y~(t) y~(t) Mas observe que esse determinante é o Wronskiano calculado no ponto x == t e, por hipótese, W i= O. Considerando então a função. observamos que: • G(x) satisfaz a equação diferencial, pois ela é a superposição de duas soluções Yl e Y2. • G(x) satisfaz as condições iniciais • y (x) satisfaz a mesma equação e as mesmas condições iniciais. Como a solução para esse problema linear de valor inicial é única, (Teorema 3.1.2), temos Y(x) = G(x), ou o Teorema 3.1.9. Existe um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencia/linear homogênea de n-ésima ordem (3.3) em um intervalo I. 65 A prova deste resultado provém do Teorema 3.1.2. o Pelo Teorema (3.1.9), temos que qualquer solução para (3.3) é obtida por uma combinação linear de funções em um conjunto fundamental de soluções. Assim, podemos definir a solução geral como segue. Definição 3.1.10. Sejam Yl, Y2,..., Ynn soluções linearmente indepen- dentes para equação diferencial linear homogênea de n-ésima ordem (3.3) em um intervalo l. A solução geral para a equação no intervalo é definida por onde os Ci, i = 1,2, ...,n são constantes arbitrárias. Em seguida, vamos determinar a solução geral das equações di- ferenciais dos Exemplos 3.1.8,e 3.1.10. Exemplo 3.1.11. As funções Yl(X) = e2x e Y2(X) = e3x são soluções da equação diferencial y"- 5y' + 6y = o. Calculando o Wronskiano: #0, obtemos que as funções Yl e Y2são L. I. e, portanto, a solução geral é: o Exemplo 3.1.12. As funções Yl(X) = cos2x e Y2(X) soluções da equação diferencial Y" + 4y = o. Calculando o Wronskiano: sen2x são -2sen2x 2 cos 2x cos2x sen2x = 2 # O, obtemos que as funções Yl e Y2são L. I. e, portanto, a solução geral é: y(x) = Cl COS 2x + c2sen2x. o 66 s":: Co 'c"~ ,E:'::,\j;: ..•. Exemplo 3.1.13. As funções Yl(X) = e2x e Y2(X) = e-X são soluções da equação diferencial Y" - y' - 2y = O. Calculando o Wronskiano: "ti s-' cc"~~;l '-(,, ,() C~\....:. .- {: "-".':~; {".:,.- ,f'; ~} C Y: '-f>J> C 'l: ,C C ~' e-' '() --.\; {, ~ (;J 'i.:) -t} () ~- (:: t,' ,( para todo x E IR. Logo, as funções Yl e Y2 são L.I. e assim a solução geral é: D. 3.1.2 Equações Diferenciais Não-Homogêneas Nesta seção estudaremos alguns conceitos básicos necessários à determinaçi30 da solução geral de E.D.O.'s lineares não-homogêneas de grau n. Começamos relembrando a definição deste tipo de equação diferencial linear. dyn dyn-l dy2 dy an(x)-d + an-1(:c)-d 1 + ... + a2(x)d 2 + a1(x)-d + ao(x)y = g(x),xn xn- X x (3.5) com g(x), ai(x) Junções que dependem apenas de x ou são constan- tes e g(x) -=I o. Teorema 3.1.11. Sejam Yl, Y2, ... , Yn soluções para a equação diferen- ciallinear homogênea de n-ésima ordem (3.3) em um intervalo I e seja YP qualquer solução para a equação não-homogênea (3.5) no mesmo intervalo, então, é também uma solução para a equação não-homogênea no intervalo para quaisquer constantes Cl, C2, ... , Ck' -', Com isso, obtemos para as equações diferenciais lineares não- homogêneas de ordemn um resultado análogo ao Teorema (3.1.8). ( 67 Teorema 3.1.12. Seja YP uma dada solução para a equação dife- renciaI linear não-homogênea de n-ésima ordem (3.5) em um inter- valo f e sejam {yI, Y2, ... , Yn} um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea associada (3.3) no intervalo. Então, para qualquer solução Y(x) de (3.5) em f, podemos encontrar constantes C1; C2; .•• ; Cn, tais que Prova. Provamos o caso n = 2. Suponhamos que' Y e YP sejam ambas soluções para Se definirmos uma função u por u(x) = Y(x) - Yp(x), então a2(x)u" + aI (x)u' + ao(x)u = = a2(x)[Y" - y;J + aI (x)[Y' - Y~]+ ao[Y - YPJ= = a2(x)Y" + aI(x)Y' + ao(x)Y - fa2(X)YY; + al(x)y~ + ao(x)yp] = = g(x) - g(x) = O. Da Definição 3.1.10 e do Teorema 3.1.8, podemos escrever Logo, o Definição 3.1.13. Seja YP uma solução para a equação diferencialli- near não-homogênea de n-ésima ordem (3.5) em um intervalo f e seja a solução geral para a equação homogênea associada, (3.3) no inter- valo. A solução geral para a equação não-homogênea no intervalo é definida por 68 ....f!-." c.:,--.' ( \', .....c> ,-f\ ( o ( '-(> '-'" ,.l . '-c: (.'. G (".''', .'1. ',-C:; (" '\..-.." ( '"()' -J[.) ~} (: "( '-.C~ ~: (, "c' \Í. S: (' \..-, - t::::.- . f. ',;". ~ t.: "() -.€'J !!:: .C: 'C ~ '.' , Exemplo 3.1.14. A função YP(x) = - icos 3x é uma solução particular da equação diferencial y" + 4y = cos 3x. Com efeito, calculando a primeira e a segunda derivadas de YP obte- mos: y~(x) = ~sen3x, e y;(x) = ~'COS3X. Substituindo-as na equação diferencial obtemos: " 9 (1) 9-4Yp + 4yp = 5cos3x +4x -5 cos3x = -5- cos3x = cos3x. Do Exemplo 3. 1. 12, temos que a solução da equação homogênea associada é Logo, a solução geral da equação diferencial é: 1 Y = C1cos2x + C2sen2x - 5 cos3x. o Exem~lo 3.1.15. A função yp(x) = iéx é uma solL/ção particular da equação diferencial y" - y' -,- 2y = éx• Com efeito, as derivadas de primeira e segunda ordem de YP são, respectivamente, as quais, substituídas na equação diferencial dada, resulta na identi- dade: " , 2 9 3x 3 3x 2 (1 3X) 9 - 3 - 2 3x 3x yp - yp - Yp = 4e - .4e - 4e = 4. e = e . Do Exemplo 3. 1. 13, temos que a solução da equação homogênea associada é Logo, a solução geral da equação diferencial é: o 69 Para finalizar esta seção apresentamos um resultado conhecido como princípio de superposição para as equações não-homogêneas. Teorema 3.1.14. Sejam YPll ... , Y~r soluções particulares para a equação diferencial linear de ordem n em um intervalo I, correspondendo à r funções distintas gí(X), i = 1, ... , r. Isto é, suponha que YPi seja uma solução particular para a equação diferencial correspondente an(x)y(n) + ...+ aI (X)y' + aoy = gi(X), i = 1, ... , r. Então: é uma solução particular para Exemplo 3.1.16. Consideremos a equação diferencial " I 2 3x 2 4 2Y - Y - Y = e + sen x + x. Neste caso, consideraremos Sabemos pelo último exemplo que YPl = ~e3x é solução para y" _ y' _ 2y = e3x. Fica como exercício mostrar que YP2 = 25 sen2x + 210 COS 2x e YP3 = - 2x2 + 2x - 3 são soluções particulares de y" - y' - 2y = sen2x e y" - y' - 2y = 4x2• Pelo Teorema da Superposição para equações lineares não-homogêneas, temos que: 1 -3 1 YP = 4e3X + 2Osen2x + 20 cos 2x - 2.:r2 + 2x - 3 (3.6) é uma solução particular para a equação diferencial y." - y' - 2y = e3x + sen2x +4x2. Do Exemplo 3. 1.13, temos que a solução da equação homogênea associada é (3.7) 70 - ,_ - •• _•• _; ,:', ••• : 0'0 • ~'_ ~": •• _'" ••• "."_.:'" (Z:j. '---r-" ~.~". "'{} -Jl) (1 '-'~~t 't"' l _ Portanto, de (3.6) e (3.7), a solução geral da equação diferencial dada é: C 2x C -x . 1 3x -3 2 1 2 2Y = le + 2e + 4e + 2üsen x + 20 cos 2x - x + 2x - 3. o 3.1.3 Exercícios 1. Mostre que y = x2e2x + x - 2 é uma solução para a equação diferencial y" - 4y' + 4y = 2e2x + 4x - 12. 2. Mostre que cos(ln x) é uma solução para a equação diferencial x2y" + xy' + y = o. 3. Mostre que cos x é uma solução para a equação diferencial y(4) + y" =0 4. Determine, se possível, a solução geral das equações lineares dadas. (a)y" + 16y = O, sabendo que Yl = sen4x e Y2 = cos 4x são soluções particulares. (b) y" - 2y' = O, sabendo que Yl = e2x e Y2 = 2 são soluções particulares. (c) y" - 5y' + 4y = O, sabendo que y(x) = eX é uma solução particular. (d) x2y" - 6xy' + 12y = O, sabendo que Yl = x3 e Y2 = x4 são soluções particulares. (e) ylll_y" -y' +y = O,sabendo que Yl = eX, Y2 = e-X e Y3 = xeX . são soluções particulares. 5. Considere a equação diferencial linear Y" = 9x2 + 2x - 1. (a) Mostre que x e 1 são soluções da equação homogênea as- sociada. Escreva a solução geral da homogênea associ- ada. 71 (b) Mostre que uma solução particular da equação dada é YP ~ ~x4 + ~X3 - 4X2 e determine a solução geral. 6. Considere a equação diferencial linear 2x2y" + 5xy' + y = x2 - X. (a) Mostre que Yl = X-I/2 e Y2 = X-I são soluções da equação diferencial homogênea associada. (b) Mostre que YP = (1/15)x2-(1/6)x é uma solução da equação diferencial dada. (c) Escreva a solução geral da equação diferencial linear dada. 3.1.4 Algumas respostas Questão 4 (a) y = C1sen4x +C2 (c) não é possível 3.2 Equações Diferenciais Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes Na última seção conhecemos a definição de equação linear homogênea. Aprendemos que, pelo princípio da superposição, conhecidas n soluções L.I. para a equação de ordem n, a solução geral é dada pela combinação linear destas soluções L.1.. Nesta seção, estudaremos os métodos de determinação destas n soluçõesL.1.. Consideraremos inicialmente o caso n = 2 e depois generalizaremos para n E N qualquer. Então, nosso objeto de estudo neste momento é a equação (3.8) com ai constante para cada i = 0,1,2. Como motivação para determinar a solução geral desse tipo de equação, 72 '-.(' f' ~' @ 'r." \.('., .s: C.' 'te 'J::) f'v (, 'C.,..., ':_~;-'.' -..(:; 1[" ..• \\.;; 0:' C '-F'. '" '" ' V;;;;.' 'º,c..•', \;.. 'Y";t__.' I..i.) S,) C; ~~'.'l"-.'. r....:. '-t,) (: --..-'fi "t~1 ~.""'l~ f',-';" C,: l,' ~- ~. observemos inicialmente a seguinte situação: Considere a equação diferencial y" - y = o. Que funções conhecemos que pode satisfazer a condição de que a segunda derivada seja igual à própria função? Lembremos que a função exponencial eX tem a propriedade de ter todas as derivadas iguais a ela própria. Logo y = eX é uma solução para aquela equação. Mas, analisando um pouco mais as funções exponenciais éx, k E IR, podemos observar que as derivadas são múltiplas em potências de k da função éX, isto é: Então, uma candidata natural à solução da equação de nosso exemplo é éx para algum k E IR. Para que a segunda derivada dê igual à função, devemos terk2 = 1, de onde obtemos k = 1, k = -1. Logo, a segunda solução particular de nosso exemplo é y = e-X. Seguindo este raciocínio, podemos supor que y = éx é uma solução para a equação diferencial homogênea (3.8). Assim, calculando as derivadas de y até segunda ordem, e substituindo em (3.8) obtemos: Como éx =1= Opara todo x E IR, nos resta que (3.9) A equação (3.9) é conhecida por Equação Característica ou Auxiliar da equação diferencial e, temos as seguintes possibilidades quanto às raízes: Caso 1. Raízes reais e distintas. Com a hipótese que a equação característica possui raízes reais e distintas k1 e k2, encontramos duas soluções 73 que são L.1. (deixamos a verificação que estas soluções são L.1. como exercício). Logo, neste caso, a solução da equação ho- mogênea é: Caso 2. Raízes reais iguais. Neste caso, considerando k1 = k2, obtemos somente a solução exponencial Yl = é1X• A outra solução é dada por Y2 = xek1X• A determinação desta solução pode ser encontrada, por exemplo, na referência Boyce e Diprima. Caso 3. Raízes complexas conjugadas. Se k1 e k2 são raízes complexas conjugadas então podemos es- crever k1 = m+ni e k2 =m-ni, em que m, n > °são reais e i é o número imaginário. As funções exponenciais Yl = é1X = e(m+ni)x e Y2 = é2X = e(m-ni)x são soluções L.1. da equação diferen- ciai, mas, na prática, é melhor trabalharmos com funções reais ao invés de exponenciais complexas. Para fazer esta mudança, usamos a Fórmula de Euler: ei(}= cose + isene, em que e é um número real. .Após alguns passos algébricos, obtemos que a solução geral da equação homogênea (3.8) é: A seguir apresentamos alguns exemplos sobre a determinação da solução geral de equações lineares homogêneas de grau 2. Exemplo 3.2.1. Consideremos a equação diferencial y" - 3y' + 2y = O. A equação característica é dada por: k2 - 3k + 2 = 0, 74 '-.('j (~; ~ (-'. ~(~! .~.£:~:. (' ~.' c .•...,.. \; \.f' ( .....:;. C:, '-C -..r. (\ \...;;." () "-'C'; ,*) $) () ..~J ~) (3 ~" (,~::, '-I(."'-..: '-f> (:'-.::;> C 'y. " vv ( '1.... ( ...•...... C .......~~'. ti..) -{;; C-....;; ,." \:' ~.' ~<"("\'" : cujas raízes são k1 = 1 e k2 = 2. Então, como as raízes são reais e distintas, temos que a solução geral da equação difrerencial é: Exemplo 3.2.2. Consideremos agora a equação diferencial y" _ 5y' = O. A equação característica é dada por: e ~5k = O, a qual pode ser ainda escrita como k( k - 5) = O, de onde obtemos'que as raízes são k1 = O e k2 = 5. Portanto, a solução geral da equação diferencial é: isto é, Exemplo 3.2.3. Consideremos agora a equação diferencial y" + 4y' - 2y = O. A equação carâcterística é dada por: k2 + 4k - 2 = O, cujas raízes são k1 = - 2 + V6 e k2 = - 2 - 05. Logo, como k1 e ~2 são raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é: Exemplo 3.2.4. Vamos determinar a solução da equação y" - 4y' + 4y = O. A equação característica associada é: k2 - 4k + 4 = O, 75 cujas raízes são k1 = k2 = 4. Como as raízes da equação carac- terística são reais e iguais, temos que a solução da equação diferen- ciai dada é: Exemplo 3.2.5. Vamos determinar a solução da equação y'f + 2y' + y = o. A equação característica associada é: k2 + 2k + 1 = O, cujas raízes são k1 = k2 = -1. Como as raízes da equação carac- terística são reais e iguais, temos que a solução da equação diferen- ciai dada é: Exemplo 3.2.6. Consideremos agora a equação diferencial y// + 4y = o. A equação característica associada é: k2 + 4 = O, cujas raízes são as conjugadas complexas k1 = 2i e k2 = - 2i. Por- tanto, a solução geral da equação diferencial é: Exemplo 3.2.7. Vamos determinar a solução da equação diferencial //+2' ~ Oy y +:JY = . A equação característica associada é: k2 + 2k + 5 = 0, cujas raízes são as conjugadas complexas k1 = -1 +2ie k2 = -1 - 2i. Portanto, a solução geral da equação diferencial é: 76 Exemplo 3.2.8. Vamos resolver Q seguinte problema de valores inici- ais: Resolva y" + y = O sujeito a y(O) = 1,; y'(O) = 2. A equação característica da equação diferencial associada é k2 + 1= O, cujas soluções são k1 = i e k2 = -i. Logo: é a solução geral da equação diferencial dada. Para determinarmos a solução do problema de valores iniciais precisamos da derivada de y, a qual é: Assim, para encontrarmos as constantes C1 e C2 da solução do P.V.I., resolvemos o sistema: cuja solução é: y(O) y'(O) CIcosO + C2senO -CI senO + C2cosO Logo, y = COSX + 2senx é a solução do P.V. I. No caso geral, para determinarmos a solução de uma equação diferencial linear homogênea de ordem n com coeficientes constantes , (n) (n-I) '" Oany + an-IY + ...+ a2Y + alY + aoy = , devemos resolver a equação polinomial de grau n: (3.10) a qual é conhecida como equação característica ou associada. Assim, como na seção anterior, em que estudamos a equação (3.10) para n = 2. vamos dividir o estudo das raízes em três casos: 77 Caso
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