Apostila EDO

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PRESIDENTE DA REPÚBLICA
Luiz Inácio Lula da Silva
MINISTRO DA EDUCAÇÃO
Fernando Haddad
GOVERNADOR DO ESTADO DO PIAuí
José Wellington Barroso de Araújo Dias
REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAuí
Luiz de Sousa Santos Júnior
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÃNCIA DO MEC
Carlos Eduardo Bielschow sky
COORDENADOR GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
Celso Costa José da Costa
DIRETOR DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA A DISTÃNCIA DA UFPI
Gildásio Guedes Fernandes
CENTRO DE CIENCIAS DA NATUREZA
Helder Nunes da Cunha
COORDENADORA DO CURSO DE QUíMICA NA MODALIDADE EAD
Rosa Una Gomes Pereira do Nascimento da Silva
COORDENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI
Cleid in alva Maria Barbosa Oliveira
EQUIPE DE APOIO
Franciane de Brito Vieira
DIAGRAMAÇÃO
Samuel Falcão Silva
COORDENADOR DE REVISÃO DE TEXTO
Naziozênio Antonio Larcerda
REVISÃO
qanes Lerros Ferreira Gabriel
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Este texto. é destinado aos estudantes da disciplina
Equações Diferenciais Ordinárias do curso de Química,
modalidade de EaD. Curso que faz parte do programa de
Educação a Distância da Universidade Aberta do Piauí (UAPQ
vinculada ao consórcio formado pela Universidade Federal do
Piauí (UFPI), Universidade Estadual do Piauí (UESPQ, Centro
Federal de Ensino Tecnológico do Piauí (CEFET-PI), com o
apoio do Governo do Estado do Piauí, através da Secretaria de
Educação.
Este livro é composto por 05 unidades, contendo itens e
subitens, conforme descrevemos a seguir. .
Na Unidade 1, apresentamos conceitos básicos a
respeito de equações diferenciais, incluindo classificações.
Na Unidade 2, fazemos um estudo sobre as principais
equações diferenciais de primeira ordem e. primeiro grau,
mostrando vários exemplos.
Na Unidade 3, introduzimos as equações diferehciais de
ordem superior. Concentramos-nos nas equações diferenciais
lineares com coeficientes constantes, apresentamos definições,
tipos e os métodos de solução conhecidos por Método dos
Coeficientes a Determinar e Método da Variação dos
Parâmetros.
No Unidade 4, incluímos as equações diferenciais com
coeficientes variáveis: apresentamos o caso especial das
equações de Cauchy-Euler e, soluções por séries de potência.
No Unidade 5, abordamos os sistemas de equações
diferencias de primeira ordem, apresentando os tipos e métodos
de solução correspondentes.
I sumário ...."';'":' :.",','.(".',', :".'r ;:',:,
UNIDADE 1. Introdução ao Estudo das Equações Diferenciais
Ordinárias
1.1 Definição e Classificações 12
1.1.1 Classificação por tipo ; 12
1.1.2 Classificação pela ordem 13
1.1.3 Classificação pelo grau 13
1.1.4 Classificação quanto à linealidade 14
1.2 Tipos de Solução ; 15
1.3 Condições Iniciais e Condições de Contorno 16
1.4 Exe rc ícios 19
1.4.1 Algumas respostas 22
Referê ncias Bibliog ráfi cas 23
UNIDADE 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem
2.1 Equações Difere nciais Separáveis 27
2.2 Equações Diferenciais Homogêneas 30
2.3 Equações Diferenciais Exatas 33
2.4 Equações Diferenciais Lineares 38
2.5 Problemas de Valor IniciaL 43
2.6 Aplicações de Equações Diferenciais de Primeira Ordem 44
2.6.1 Proble mas de Crescime nto 44
2.7 Exe rc ícios 47
2.8 Alg umas respostas ; 51
Referê ncias Bibliográficas 53
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UNIDADE 3. Equações Diferenciais Lineares de Ordem
Superior
3.1 Equações diferenciais li neares de ordem n 57
3.1.1 Eq uações Diferenciais Homogêneas 62
3.1.2 Eq uações Diferenciais Não-Homogêneas 67
3.1.3 Exercicios 71
Algumas respostas 72
3.2 'Equações Diferenciais Uneares Homogêneas com
Coeficientes Consta ntes 72
3.2.1 Exercícios 80
3.3. Equações Diferenciais Lineares NãO-Homogêneas
com Coeficientes Consta ntes
82
3.3.1 Método dos Coeficientes a Determinar 83
3.3.2 Método da Variação dos Parâmetros ~ .., 94
3.4 Aplicações de Equações Diferenciais Lineares de
Segunda Ordem
100
3.4.1 Problemas de Mola , 100
3.4.2 Proble mas de Flutuação 103
3.4.3 Problemas de Circuitos Elétricos (RLC) 104
3.5 Exe rc ícios 107
3.5.1 Alg umas respostas 109 '
Referências Bibliográficas 111
UNIDADE 4. Equações Diferenciais com Coeficientes
Variáveis
4.1 Equações de Cauchy-E uler 115
4.1.1 Equação de Euler-Cauchy Geral 122
4.1.2 Exercícios 124
Algumas respostas ..: ~ 125
4.2 Resolução de Equações Diferenciais em Séries de
Potência .----....-----.
126
4.2.1 Séries de Potências ~~ 126
4.2.2 Exerc ícios 130
Algumas respostas 137
4.2.3 Método de Frobenius 137
Exerc ícios 143
Algumas respostas : 144
Referê ncias Bibliográficas : 145
UNIDADE 5. Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
5.1 Sistemas de Eq uações Diferenciais Lineares Homogêneos 153
5.1.1 Solução de Sistemas Homogêneos 155
5.1.2 Autovalores Reais e Distintos 157
5.1.3 Autovalores Complexos 159
5.1.4 Autovalores reais e repetidos 161
5.2 Sistemas Lineares Não-Homogêneos com Coeficientes
Consta ntes :.., 164
5.3 Exe rcícios , 172
5.3.1 Alg umas respostas ~ 173
Referê ncias Sibliográficas 175
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C. ,~...
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Resumo
Esta unidade é dedicada à uma introduçâo ao
estudo das equações que envolvem funçóes
incógnitas e suas derivadas, chamada de equações
diferenciais.
Nessa unidade ~ apresenta remos deFinição.
c1assificaçâo e exemplos de equações diferenciais,
noções sobre condições iniciais e condições de
contorno, definiçâo de solução geral, sOlução
particular e solução singular. Por fim, enunciaremos
oteorema de existência e unicidade de solução.
1 s_u_má_ri_o_d_a_u_n_id_a_d_e_. 1
UNIDADE 1. Introdução ao Estudo das Equações
Diferenciais Ordinárias
1.1 Definição e Classificações 12
1.1.1 Classificação por tipo 12
1.1.2 Classificação pela ordem 13
1.1.3 Classificação pelo grau 13
1.1.4 Classificação quanto à linearidade 14
1.2 Tipos de Solução 15
1.3 Condições Iniciais e Condições de Contorno 16
1.4 Exercícios 19
1.4.1 Algumas respostas 22
Referências Bibliográficas :..............................•............ 23
--------------- -------
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C;
1. Introdução ao Estudo das
Equações Diferenciais
Ordinárias
Você já deve saber como resolver problemas do tipo:
Dada uma função y = f (x), encontre a derivada y' = f' (x) = -dd¥...
x
( Nesta disciplina estudaremos equações que envolvemderivadas, como
por exemplo,
..:.\
-[
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C
-./ ciais, acesse o sítio" ."C'
-L: somatematica.
S/$
(
dy
dx = 5x2 - 3xy + 4y2,
e nosso objetivo é conhecer métodos para determinar uma função
y = f(x) que satisfaça a equação dada.
Modelos que envolvem equações diferenciais surgem naturalmente ~{-e. (-lc::-[d)
em diversas áreas das ciências. Por exemplo, a lei de resfriamento dé
Newton determina que a taxa de esfriamento de um corpo é propor-
cionai à diferença entre a temperatura de um corpo e a temperatura do
meio ambiente (isto é, uma equação diferencial de primeira ordem).
Nesta unidade, apresentaremos definição, classificação e exem-
plos de equações diferenciais, noções sobre condições iniciais e
condições de contorno, definição de solução geral, solução particu-
lar e solução singular, Por fim, enunciaremoso teorema de existência
, e unicidade de solução .
Para incremen-
tar o estudo de
introdução às
equações diferen-c:
(:~;.~
_/.
(,
-(>::
11
1.1 Definição e Classificações
Nesta seção, apresentaremos definições básicas sobre as
equações diferenciais. Iniciamos com a definição de Equação Dife-
renciai.
Definição 1.1.1. Chamamos de Equação Diferencial a toda equação
cujas incógnitas são funções e que contém pelo menos uma derivada
ou diferencial destas funções.
Exemplo 1.1.1. São exemplos de equação diferencial:
dy
1. - = 3x-1
dx
2 dy - 5t = 9. dt
3. xdy - ydx = O
d3x dx
4. dt3 - dt + 21" = 3t
5. (X _ y ~~:) 3 = 1+ (~:;) 4
6. (t _ ~~:)3 + (~:~) 2 = O
oZ oz
7.2-+3- =0
ox oy
8. 02u = (OU)2 _30U
ox2 oy oz
1.1.1 Classificação por tipo
As equações diferenciais são classificadas por tipo em:
Ordinárias: quando há apenas uma variável independente. Neste
caso, simbolizamos E.D.O.
Parciais: quando há mais de uma variável independente. Neste caso,
simbolizamos ED.P
12
[
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(
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J.o
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Exemplo 1.1.2 (Exemplos de equações diferenciais).
1. São equaç~ões diferenciais ordinárias as equações 1-4do Exem-
plo 1. 1. 1. Observe: em (1), (3) e (5), a única variável indepen-
dente é x; em (2), (4) e (6), a única variável livre é t.
2. A sétima equação do Exemplo 1.1.1 é uma equação diferencial
parcial. São duas as variáveis independentes: x e y.
3. A oitava equação do Exemplo 1.1. 1 é uma equação diferencial
parcial, cujas variáveis independentes são x, y e z.
1,1.2 Classificação pela ordem
Determinamos a ordem de uma equação diferencial através da ordem
da derivada de mais alta ordem contida na equação.
Exemplo 1.1.3. Vamos classificar quanto à ordem as equações
diferenciais do Exemplo 1. 1. 1.
1. Os exemplos (1) - (3) são equações diferenciais ordinárias de
primeira ordem. Em (7), a equação diferencial éparcial de primeira
ordem.
2. Em (4) e (5), temos equações diferenciais ordinárias de terceira
ordem.
3. Em (6), temos uma equação diferencial de quarta ordem.
4. Em (8), temos uma equação diferencial parcial de segunda or-
dem.
1.1.3 Classificação pelo grau
Determinamos o grau de uma equação diferencial através da maior
potência da derivada de mais alta ordem contida na equação.
13
Exemplo 1.1.4. Vamos classificar quanto ao grau as equações
diferenciais do Exemplo 1. 1. 1.
1. Os exemplos (1) - (4) são equações diferenciais ordinárias de
primeiro grau. Em (7) e (8), temos equações diferenciais parciais
de primeiro grau.
2. Em (5), temos uma equação diferencial de quarto grau.
3. Em (6), temos uma equação diferencial de segundo grau.
1.1.4 Classificação quanto à linearidade
Uma E.D.O. é chamada linear quando satisfaz:
(i) é uma E.D.O de primeiro grau;
(i i) cada coeficiente das derivadas depende somente de x (ou é
constante ).
Isto é, pode ser escrita como:
dyn dyn-l dy2 dy
an(x)-d + an-1(x)-d 1 + ... + a2(x)d 2 + a1(x)-d + ao(x)y = g(x).xn xn- x" X
Exemplo 1.1.5. As quatro primeiras equações diferen.ciais ordinárias
do Exemplo 1. 1. 1 são do tipo linear.
A seguir, apresentamos outros exemplos sobre classificação de
equações diferenciais.
E I 1 1 6 A - 2
d3X d2x 3 dx t ' -xemp o . .. equaçao d 3- -2 + x-+5t = e e uma equaçaot dt dt
diferencial ordinária linear de terceira ordem e primeiro grau.
E I 1 1 7 A - " (d
3y) 2 d5y dy ,xemp o ... equaçao x dx3 - 3dx5 + 5x dx = cosx e uma
equação diferencial ordinária de quinta ordem e primeiro grau.
E I 11 8 A - (~U)4 du , -xemp o . .. equaçao -2 - 3-
d
= 2xsenx e uma equaçao
dx .T
diferencial ordinária de segunda ordem e quarto grau ..
E I" 1 1 9 A - (âu) 3 âu. - d'Ç, . "1xemp o . .. equaçao dx = 3 dy e uma equaçao IlerenCla
parcial de primeira ordem e terceiro grau.
14
1.2 Tipos de Solução
Definição 1.2.1. Chamamos solução de uma equação diferencial, em
um intervalo I, a qualquer fu'}ção definida em I que, quando
substituída na equação dada, a reduz a uma identidade.
Observação 1.2.1. O intervalo I na definição acima, dependendo do
contexto do problema, pode representar um intervalo aberto (a, b), um
intervalo fechado [a, b], um intervalo infinito (O, +00) e assim por diante.
Exemplo 1.2.1. A equação diferencial ~ - e3x = O tem como uma
solução a função y = e;x. Basta derivar y (calcule!).
Exemplo 1.2.2. A função y(x) = ~+ 2':~2é uma solução para a
equação diferencial x2y' - x2y2 + xy + 1 = O.
Calculando a derivada de y, obtemos:
'( ) __ ~ 2x2 + 4yx- 2+22'x -x
Substituindo a função y(x) e sua derivada y'(x) na equação diferencial
dada, obtemos a identidade.
Exemplo 1.2.3. As funções Yl = e2x e Y2 = e3x são soluções para a
equação diferencial y" - 5y' + 6y = O.
Derivando Yl e Y2, obtemos:
y~ = 2e2x e y~ = 3e3x.
Calculando a segunda derivada de ambas as funções, segue que:
y~ = 4e2x e y~ = 9e3x."""
Substituindo na equação diferencial dada a primeira e a segunda derivadas
de Yl, resulta:
Analogamente, ao substituirmos as derivadas de primeira e segunda
ordem de Y2 na equação diferencial, obtemos a identidade.
A seguir apresentamos definições quanto ao tipo de solução obtida.
15
Definição 1.2.2. Quando a solução de uma E.D.O pode ser escrita
sob a forma y = f(x), temos o que chamamos de solução explícita.
Definição 1.2.3. Dizemos que uma relação G(x, y) = Oé uma solução
•...
implícita de uma equação diferencial ordinária em um intervalo I, se
ela difere em uma ou mais soluções explícitas em l.
Exemplo 1.2.4. Consideremos a equação diferencial
dy x
dx y
Para -1 < x < 1, a relação x2 + y2 - 1 = Oé uma solução implícita
para a equação dada. Observemos:
Aplicando a derivada implícita com respeito a x na relação dada; obte-
mos:
d 2) d 2) d-(x + -(y - -(1) = O.
dx dx dx
Portanto,
dy
2x + 2y dx = O.
Assim:
dy x
dx y
Note! Em geral, uma equação diferencial possui uma infinidade
de soluções. Observe, no Exemplo 1.2.3, qualquer função da familia
Y.= ce2x e da família y = ke3x, com c e k constantes arbitrárias,é
também solução daquela equação diferencial. A soma y = ce2x + ke3x
também determina outra família de soluções. (Verifique!)
1.3 Condições Iniciais e Condições de Con-
torno
Definição 1.3.1. Uma equação diferencial juntamente com condições
sobre a função incógnita e suas derivadas (todas dadas para omesmo
valor da variável independente) constitui o que chamamos de um pro-
blema de valores iniciais. As condições dadas são as condições ini-
ciais. Se as condições são dadas para mais de um valor da variável
16
\...c'
f)
'--C~J
17
y(O) = 1 :::::} clsen(3. O) + c2cos(3. O) = I,
O
Cl +C2 -2
2CI + 3C2 O
y'(O)
independente, temos o que chamamos de problema de valores no
contorno, e as condições aqui são as condições de contorno.
y(O) = -2 :::::}Cl + C2 = ~2
Resolvendo 6 sistema
Exemplo 1.3.4. Sabendo que y = Cl sen3x + C2 COS 3x é solução da
equação diferencial y" + 9y = O, vamos encontrar as constantes Cl e
C2 que satisfazem as condições de contorno y(O) = 1 e y(rr /3) = 3.
Observe:
Derivando y, segue que y' = 2cle2x + 3c2e3x. Portanto,
Exemplo 1.3:1-. O problema y" + 16y = O, y(rr) = 1 e y'(rr) = 2 é
um problema de valores iniciais. Observe que as duas condições são
dadas no mesmo ponto x = rr.
Exemplo 1.3.2. O problema y" + 16 = O, y(O) = 1 e y'(rr) = 1 é um
problema de valores de contorno, pois as condições são dadas para
valores distintos de x.
encontramos CI = -6 e C2 = 4. Logo, y = _6e2x + 4e3x é a solução do
problema de valores iniciais dado.
Exemplo 1.3.3. Sabendo que y = Cl e2x + C2e3xé solução da equação
diferencial y" - 5y' + 6y =O, vamos determinar as constantes Cl e C2
que satisfazem as condições de valores iniciais y(O) = -2 e y'(O) = O.
Observe:
Uma solução para problemas de valores iniciais ou de valores de .
contorno é uma função que satisfaz, simultaneamente, a equação di-
ferenciai e as condições dadas.
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isto é,
Além disso, como y' = 3Cl COS3x - 3c2sen3x, temos que:
isto é,
Logo, y = sen3x - cos 3x é solução do problema de valores de con-
tomo. o
18
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"-'- 1.4 Exercícios
1. Classifique quanto ao tipo, a ordem e identifique o grau de cada
uma das seguintes equações diferenciais.
19
j ~ (~.
(i) ~ + 2xy = 9x
(j) Ô2z ô2z - Oôx2 + ôy2 -
(a) (COSX)y" + (x3 - 1)y' + 7y = 2 f ..').(l
(b) y::; + 2y = 1- 2x4
(c) (9 - X2)6dx - (xy - yX + x2)dy = O
(d) Ô2u + (éPU)2 + f!3z ., ~
ôx2 ôy2 ôz3':;'
(h) f!z - 3ôZ - 2xy(?Z)2 = Oax ôy ox
(e) (x2 + y2)dx - (3xy)dy = O
(f) (~n2 + (;t:¥)5 - X2~ = X2-1
(g) y"' + 2xy" + (1 - x)(y'r = x
(e) Z = xy~
(f)' !fu + 2~ - 5!fJL + 'Él. + xy = 6d:é dx3 dx2 . dx
(9) ~ + ~ +y = O
(c) (lnx)y'" + X(y')2 = o
(d) (t - 1): - 3x = 6t
(a) y" - 4y' + 4y = ex
(b) ;t:¥ - ~ = 6
2. Determine a ordem e classifique quanto à linearidade as seguintes
equações diferenciais ordinárias.
3. Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada
.é solução. :)c .t'? r (7 t) • 2:£:/9 . -...j (r:f)~~. ::( +
(] /" / C'
) ()
(J.2-'-1)2 .-/(a y' = 2x, Y x = 4
(~ dy = 2X(y2 + 9)dx, y(x) = 3tg(3x2)
•.•...(
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/é-.o/...,VC
, !0 ./ '
(c) Y" - Y = o, Y(X) = eX
(d) y" + 9y = O, y(x) = sen3x
...., ( .-;:~~
, 0"''''-
(f) y" = 9x2 + 2x - 1, Y = x + ~X4 + ~X3 - ~X2 ,l,. ) ~'
/...Jc.~ O
(g) y(IV) + 4y/ll + 3y = x, y = e-x + ~ e'/~~)O !
2y4 + x4;(4) Quais, dentre as funções abaixo, são soluções de y' = 3'?
(1.,0/ xy
(a) y..;= X (b) y = :r8 - x3
(c) y = vix8 - x4 (d) y = (x8 - x4) ~
@Quais, dentre as funções abaixo, são soluções de : = xyh
(a) y = x3 (b) y = x5 - x2
(c) y = .~~ (d) y = V;
6. Verifique se a função dada é solução para a equação diferencial
indicada.
(a) y = et2 - ~, y' - 2ty = t
(b) y = e, y' = ~
(c) y = cos 2x, y" - 4y = O
(d) y = CI cos(lnx) + c2sen(lnx), .r2y" - xy' + y = O
(e) y = cIex + C2e-x + C3e2x + 3, y/ll - 2y" - y' + 2y = 6
.--") r\ ) r•.. ' ,,:.,1" \
7. Mostre que YI(X) I~ x2 e Y2(X) = x3 são ambas soluções para
x2y" - 4xy' + 6y = O. O que podemos concluir a respeito de
, /'
YI +~; é também solução da equação dada?
8. Supondo que y = c(1 - x2) é uma solução para uma equação
diferencial, encontre c que satisfaça a condição inicial: (a) y(O) =
1; (b) y(l) = 2.
9. Sabendo que y( x) = CI senx + C2 cos X + 1 é solução de uma
equação diferencial de segunda ordem, encontre c} e C2 que
satisfaçam as condições iniciais y(r,) = Oe y'(r,) = O.
20
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~:~X-'
10. Sabendo que y(x) = CIX +C2 +x2 -1 é solução de uma equação
diferencial de segunda ord~m, encontre CI e C2 que satisfaçam
as condições iniciais y(l) = 1 e y'(O) = 2.'
21
1.4.1 Algumas respostas
Questão 1 (a) E.D.O 2a ordem, 1° grau
(d) E.D.P 3a ordem, 1° grau
(f) E.D.O 2a ordem, 5° grau
ü) E.D.P 2aordem, 1° grau
Questão 2 (a) Linear, 2a ordem
(b) Linear, 2a ordem
(c) Não linear, 3a ordem
(d) Linear, la ordem
(e) Não linear, la ordem
(f) Linear, 4a ordem
(g) Linear, Sa ordem
Questão 4 (d)
Questão 5 (c)
Questão 6 (a) Sim
(b) Não
(c) Sim
Questão 8 (a) C= 1
(b) ~
Questão 9 y = cosx + 1
22
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(. ..
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.1.5 Referências Bibliográficas
( http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/edo/edo.htm )
( www.mat.ufmg.br/regi/eqdif/iedo.pdf)
( www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/eq.php)
ABUNAHMAN, s.: Equações diferencias. Rio de Janeiro. EDG Edi-
tora. 1989.
BOYGE,W.E. e DIPRIMA, R.G.: Equações diferenciais elementares
e problemas de valores de contorno. LTGEditora. 1994.
BRONSON, R.: Equações diferenciais. São Paulo. Makron Books.
1994.
ZILL, D.G.:Equações diferenciais, vol. 1. São Paulo. Pearson Makron
Books. 2001.
23
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~
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Nessa unidade, apresentarem os definição,
exemplos e método de solução para as principais
equações diferenciais de primeira ordem e primeiro
grau. a saber: Equações Separáveis, Homogêneas,
Exatas e Lineares,
Resumo
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I Sumário da Unidade J----------
UNIDADE 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem
2.1 Equações Diferenciais Separáveis 27
2.2 Equações Diferenciais Homogêneas 30
2.3 Equações Diferenciais Exatas 33
2.4 Equações Diferenciais Lineares 38
2.5 Problemas de Valor Inicial 43
2.6 Aplicações de Equações Diferenciais de Primeira Ordem 44
2.6.1 Problemas de Crescimento 44
2.7 Exercícios 47
2.8 Algumas respostas 51
Referências Bibliográficas 53
tar o estudo de
equações diferen-
ciais de primeira
ordem, acesse o
sítio Essencial.
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Para incremen-
2. Equações Diferenciais de
Primeira Ordem
Uma equação diferencial de primeira .ordem .e primeiro ,grau .tem ,a
forma:
dy )-d = F(x, y) ou M(x, y)dx + N(x, y dy_
x
Nesta unidade, apresentaremos definição, exemplos e método de solução
para as principais equações diferenciais de primeira ordem e primeiro
grau, a saber: Equações Separáveis, Homogêneas, Exatas e Linea-
res.
2.1 Equações Diferenciais Separáveis
Conheceremos nesta seção a definição e o método de solução do tipo
mais simples de equação diferencial de primeira ordem.
Definição 2.1.1. Chamamos de Equação Diferencial Separável (ou de
variáveis separáveis) a equação
.~(x,y)dx+N(x,y)dy =0,
onde 114 e N podem ser funções de apenas uma variável, produto de
fatores de uma só variável ou constantes.
Exemplo 2.1.1. São equações diferenciais separáveis:
1. ~ = 5x + 2
27
2~~ = 2 cos 3x .
3. x2(y - l)dx + 3dy = O
4. (cos2 y)dx - (x2 - l)dy = O
5 dy 1+ y2
. dx (1+ x2)y
6. (tgy). (secx)dy - (tgx). (secy)dx = O
7 dy = e-2y
. dx x2 + 4
8. xe-Ysenxdx - ydy = O
Para resolvermos uma equação do tipo separável, a escrevemos
na forma
M(x)dx + N(y)dy = O (2.1 )
e integramos (2.1), isto é, a solução de uma E.D.O separável é obtida
por
jMdX+ j Ndy=K,
sendo K uma constante. A seguir, vamos encontrar a solução das
cinco primeiras equações diferenciais apresentada no Exemplo 2.1.1.
Exemplo 2.1.2. 1. Note que a equação ~~= 5x+2 pode ser escrita
como(5x + 2)dx - dy = O.
Portanto, integrando essa última igualdade, obtemos:
J (5x + 2)dx + j dy = K :=;, ~X2 + 2x- y = K.
Logo, y = ~X2 + 2x - K é a solução da equação dada. O
2. A equação : = 2 cos 3x pode ser escrita como
2cos3xdx - dy = O.
Logo, integrando essa relação, segue:
J 2 cos 3xdx - J dy = J( :=;, ~sen3x - y = K.
Assim, y = ~sen3x - K é a solução procurada. O
28
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1.,
3. A E.D.O x2(y - l)dx + 3dy = O pode ser escrita sob a forma
2 3x dx + --dy = O.
y-1
Logo, para encontrar a solução, calculamos:
J x2d.T + J y: 1dy = K => ~3 +31n Iy - 11= K.
Daí,
3K - x3
In Iy - 11 = 3 .
Com o objetivo de explicitar a função y, compomos a função
exponencial a ambos os'membros da equação acima:
ou ainda
3
Y = 1+ Ce-T,
onde C = eK, é a solução da equação diferencial dada. O
4. A equação (cos2 y)dx - (x2 - 1 )dy = O pode ser escrita por:
dx 2-- - sec xdy = O.
x2 -1
Portanto, resolvendo esta equação, obtemos:
J J.;2d~1 - J sec2xdy = K
A segunda integral da equação acima é imediata
J sec2xdy = tgy. A primeira, deve ser calculada usando o métoqo
das frações parciais (para mais detalhes, revise esse método de
integração em seu livro de cálculo diferencial e integral) .. Assim,
temos:
1 1"2 ln Ix - 11 - "2 ln Ix + 11 - tgy = K,
o qual usando propriedades da função logaritmo, resulta:
(
Ix - 11) ~In -;-._- - tgy = K.
Ix + 11
o
29
5 A - dy 1 -+- y2 d .. equaçao -d = ( 2) po e ser escrita como:x l+x y
~_ ydy =0
1+ x2 1+ y2
Assim,
J~ -J ydy =J{1+ x2 1+ y2 .
Portanto, a solução da equação diferencial dada é
1 ( 'o' -'arctgx - 21n 1+ y~) :=: k.
o
2.2 E.=quaçõesDiferenciais HOlllogêneas
Iniciaremos esta seção apresentando a definição de função homogênea.
Em seguida, definiremos equações diferenciais homogêneas e apre-
sentaremos o seu método de solução.
Definição 2.2.1. Se uma função f satisfaz
f(tx, ty) = f'f(x, y).
para algum n E IR, dizemos que f é uma função homogênea de grau
n.
Exemplo 2.2.1. 1. f(x, y) = 3x2-xy+4y2 é uma função homogênea
de grau 2:
2. f (x, y) = yX+y é uma função homogênea de grau ~:
f(tx, ty) = Jtx + ty = /t(x + y) = dv'x + y = df(x, y).
3. f (x, y) = 2x - 3y é uma função homogênea de grau 1:
fUx, ty) = 2(t:1:)-- 3(ty) = t('2:r + };t) = t.f(x, y).
30
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Definimos uma equação diferencial homogênea de primeira ordem
através de funções homogêneas por:
Definição 2.2.2. Chamamos a equação diferencial
A1(x,y)dx+ N(x,y)dy = O
de homogênea quando as funções M(x, y) e N(x, y) são homogêneas
de mesmo grau.
Exemplo 2:2 ..2. 1. (x + y)dx + (x - y)dy = Oé uma equação dife-
renciaI homogênea. Veja que M(x, y) = x + y e N(x, y) = x - y .
são funções homogêneas de grau 1.
2. (x2 + y2)dx + xydy = O é uma equação diferencial homogênea.
Observe que M (x. y) = x2 + y2 é uma função homogênea de
grau 2, e N(x, y) = xy também é uma função homogênea de
grau 2.
3. (2x-y)dx-.(x+3y)dy = O é uma equação diferencial homogênea.
Veja que M(x, y) = 2x ..- y e N(x, y) = -x - 3y são funções
homogêneas de grau 1.
4. (yXY + x )dx - 2ydy = O é uma equação diferencial homogênea.
Temos que M(x, y) = yxy + x e N(x, y) = -2y são funções
homogêneas de grau 1.
Para resolver este tipo de equação diferencial, fazemos uma substituição
algébrica que a transforma em uma equação de' variáveis separáveis.
A substituição utilizada é:
y = ut
e (consequentemente)
dy = udt + tdu.
Vamos observar nos seguintes exemplos como aplicar este método
de solução.
31
j-'-'-
Exemplo 2.2.3. 1. Consideremos (x + y )dx + (x - y)dy = O. Então,
fazendo as substituições:
y = ux e dy = udx + xdu,
obtemos:
(x + ux)dx + (x - ux)(udx'+ xdu) = °
o qual resulta em
Agora, dividindo toda a equação por x e organizando, obtemos:
dx 1-u
(1+ 2u - u2)dx + x(l - u)du = O=?- + 2 2du = 0,x 1+ u-u
ou seja, obtemos uma equação separável nas variáveis x e u.
Resolvendo-a, segue que:
J dx f" 1 -- u .- + ----du = K.x 1+ 2u - u2
A primeira integral é imediata, a segunda é resolvida pelo método
da substituição. Obtemos:
1
lnx + "21n(1 + 2u - u2) = K.
Usando propriedade da função logaritmo e voltando para as variáveis
da equação homogênea através da substituição u = ;:,a última
. expressão implica em:
x. (1 +2~ _ (~)i) 1/2 = C,
onde C = eK. Esta é a solução da equação homogênea dada.
O
2. Consideremos (x2 + y2)dx + xydy = O. Fazendo as substituições
y = ux e dy = udx + J:du,
32
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obtemos:
(x2 + (uxf)dx + x2u(udx + xdu) = O.
Fazendo as distribuições e dividindo toda a equação por x2, segue
que:
. (1 + 2u2)dx + xudu = O,
a qual é uma equação de variáveis separáveis:
dx u .
-+---du=O.
x 1+ 2u2
Assim, integrando esta última expressão, obtemos como solução:.
1
lnx + 41n(1 + 2u2) = K.
Usando propriedades de logaritmo e que u = Ji., concluímos quex
a solução da equação diferencial homogênea é:
(
2) 1/4
X 1+ 2 (~) = C,
sendo C = eK.
~2.3 Equações Diferenciais Exatas
Nesta seção, estudaremos as equações diferenciais exatas, sua definição,
critério para ser exata, exemplos e método de solução.
Definição 2.3.1. Dizemos que a equação M(x, y)dx + N(x, y)dy = O
é diferencial exata quando existe uma função U(x, y) tal que
dU = NI(x,y)dx + N(x,y)dy.
Um exemplo clássico de equação diferencial exata é
ydx + xdy = O,
Note que U = xy é uma função tal que
dU = ydx + xdy.
33
Quando dU = O (portanto, ydx + xdy = O), temos que U = C, C E IR,
e assim
xy=c
é solução da E.D.O. Exata.
De modo geral, a solução de uma equação diferencial exata é
U(x,y) = c.
Em seguida, apresentamos um critério para uma equação diferencial
ser exata.
Teorema 2.3.2. Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas
parciais contínuas em uma região retangular R {(x,y)1
a < x < b, c < y < d}. Então, a equação M(x, y)dx + N(x, y)dy = O é
diferencial exata se, e somente se, ocorrer a relação:
ôJ..;1 ôN
ôy ôx'
Um esboço da demonstração pode ser encontrado em ([?], [1]) .
. Exemplo 2.3.1. São exemplos de equações exatas:
ôM ôN
1. (x2 - y2)dx - 2xydy = O. Temos: ôy = -2y = ôx'
ôM âN
2. x2y3dx + x3y2dy = O. Temos: ôy = 3X2y2 = ôx'
. ôAl âN
3. (x3 + y2)dx + (2xy + cosy)dy = O. Temos: -ô = 2y = -ô .
y. x
ôM ôN
4. (cosxsenx-xy2)dx+y(1-x2)dy = O. Temos - = -2xy = -ô .
ôy x
()
ôM ôN
5. (1 - !+ y) dx + 1 - ; + x dy = O. Temos ôy = 1 = ôx'
Para enco,~trarmos a solução de uma equação diferencial exata,
supomos que ~~ = M(x, y), de onde podemos encontrar U por integração
em relação a x, considerando y como constante:
U(x, y) = J M(x, y)dx + g(y), (2.2)
34
Exemplo 2.3.2. Vamos resolver algumas das equações apresentadas
no Exemplo 2,3, 1.
onde g(y) é a constante de integração.
Derivando esta última relação com respeito a y e supondo que ~u =y ,
N(x, y). obtemos:
aU o J 'oy = oy M(x, y)dx + 9 (y) = N(x, y).
Daí, isolando g'(y) nesta última equação. segue que:
g'(y) = N(x, y) - :y J M(x, y)dx.
Vamos denotar P(x, y) = J M(x, y)dx. Daí, integrando a última equação
com respeito a y, obtemos:
g(y) = J (N(X, y) - ~:)dy, (2.3)'
Ao substituirmos (2.3) em (2.2), e lembrando que a solução de uma
equação exata é dada por U(x, y) = C, obtemos:
,U(x, y) = P(x, y) + J (N(X, y) - a:;) dy = C,
que é o método de determinação de solução de uma equação diferen-
ciai exata.
o
1. Consideremos (x2 - y2)dx - 2xydy = O.
Faremos 'passo-a-passo:
(10 Passo) Calcular P(x, y):
P(x, y) = J (x2 - y2)dx = ~3 - y2x
(20 Passo) Calcular ~~: J "
8P
- =2yxoy
(JO Passo) Calcular J (N(x,y) - ~) dy:
J (N(X, y)dy - ~:) dy = J (-2xy + 2yx)dy = k.
Assim,
x3 x3
U(x, y) =3- y2x + k = C ::::} 3- y2x + o: = O.
onde Q = k - C, é a solução da E.D.O dada.
( ,
C-.....;.
(J
v"\~._..)
..c~
-S}
C':
'~~:
35
2. Consideremos (x3 + y2)dx+ (2xy + cos y)dy = O.
Vamos calcular inicialmente
P(x, y) = J (x3 t y2)dx = :4 + y2X.
Calculando a derivada de P com relação a y, obtemos ~~.= 2xy.
Assim,
J (N(X, y) - a:;) dy = J(2XY+COSY~2XY)dY = J cosydy = seny.
E, portanto,
x4
U(x,y) = ~ +y2x+seny = C.
o
3~ Consideremos (1 - ~ + y) dx + (1 - ~ + x ) dy = O.
Vamos calcular inicialmente
P( x, y) = J (1 - ~ + y ) dx = x - 31n X. + xy.
Calculando a derivada de P com telação a y, obtemos ~~ = x.
Assim,
J (N (x, y) - ~:) dy = J (1 - ~ + x - x) dy = y - 31n y
E, portanto, após simplificações, obtemos:
. ( 1 )3U(x,y)=x+y+xy+ln xy =C.
Algumas vezes, podemos transformar uma equação diferencial não-
exata em uma equação exata, multiplicando-a por alguma função À(x, y).
A esta função .À chamamos Fator Integrante.
Exemplo 2.3.3. A equação xdy - ydx = O não é diferencial exata.
Mas, observe que multiplicando-a por~, ~, ~, respectivamente,:r y x +y
obtemos
(a) xdy~ydx = O, que é uma E.D.o. exata;
(b) Xdy~ydx = O, a qual é uma equação diferencial exata;
36
37
Similarmente, tomando)., uma função apenas de y, obtemos:
o(ÀN)
OX '
o(ÀM)
---
[)y
MO)., _ NO)., = ).,(ON _ OM) .
oy ox ox oy
in)., =J~ (âM - âN) dx,
N ây âx
_NOÀ = À (âN _ âM)
O,L âx oy ,
r 1..(8M - 8N )dx).,= e. N oy 8x •
J' 1 (8N 8M)dÀ = e M a;:-8jJ Y.
e assim, fazendo a composição com a função exponencial, obtemos o
fator integrante (que depende apenas de x):
Vale ressaltar que esta última equação só faz sentido se a função do
segundo membro depender apenas de x. Desse modo, integrando
ambos os membros com relação a x, obtemos:
(c) x~~~~~ = O, que é do tipo exata.
Para simplificar esta equação, devemos escolher)., que seja uma funçao
apenas da variável x ou da variável y. Suponhamos que ).,depende
apenas de x, donde ~~ = O e, portanto,
a qual implica em
a qual dividindo ambos os membros por )"N, implica:
Observamos, com este ,exemplo, que podem existir várias funçõés~.
À(x, y) que transformam uma E.D.O não-exata em uma equação
exata. Apresentamos agora um método de determinação (ou escolha)
de um fator integrante. Para isso, consideramos que À seja um fator
integrante de uma equação não,..exata AI dx + N dy = O, isto é
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-L'
C:)
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y',"
f', '
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Exemplo 2.3.4. Consideremos a equação (y2 - X )dy\;t- ydx = 0, que
não é diferencial exata, pois:
8M 8N
- = 1 e - =-18y .8x .
Vamos determinar um fator integrante. Escolheremos À dependente
de y (pois a função AI é mais simples que N). Então:
\ j.l(-I-I)dy -2 -2lny In(y-2) -2/\=e y =ey =e =e =y.
Note que quando multiplicamos a equação dada por À = y-2, obtemos
(1 - ~) dy + ~dx = 0,y2 Y
a qual é diferencial exata, pois
8(ÀM)
8y
1 8(ÀN)
y2 âx'
2.4 Equações Diferenciais Lineares
Nesta seção, estudaremos os métodos de solução de equações dife-
renciais lineares de primeira ordem. Iniciamos relembrando a definição
de equação diferencial linear.
Definição 2.4.1. Dizemos que uma equação diferencial é linear quando
é escrita sob a forma
Para efeitos de simplificação, consideraremos a seguinte forma
para uma equação diferencial linear (a qual é obtida dividindo ambos
os membros da última equação por aI (x)):
dy
dx + P(x)y = Q(x).
Quando Q = O,a equação é denominada linear homogênea ou incom-
pleta.
Apresentamos a seguir métodos de solução para uma E.D.O. linear
38
De (2.5), (2,6) em (2.4):
Qdx - dy = O.
(2.4 )
(2.5)
(2.6),
y = zt,
Neste caso, a solução é:
y = J Qdx+C.
de primeiro grau. O primeiro deles é o que conhecemos por Método
de lagrange ou método da substituição.
Consideremos a equação linear na forma:
dy
dx + P(x)y = Q(x).
Façamos a substituição
(i i) Quando ~~+Py = O, podemos escrevê-Ia como a equação separável
dy + Pdx = O.
Y
Assim, calculando a integral em ambos os membros, obtemos:
In y + J Pdx = C=;. y = eC- J Pdx =;. Y = eC . e-.r Pdx.
Portanto:
sendo z = z(x) e t = t(x), com z a nova função incógnita e t a função
a determinar. Derivando y com relação a x, obtemos:
dy dt dz- =z-+t-.
dx dx dx
(i) Quando ~ = Q, essa pode ser escrita como a equação separável
dt dz
z dx + t dx + P zt = Q,
a qual simplificada implica:
z (:: + Pt) + t ~~ = Q.
Antes de integrarmos esta última relação, devemos estudar os casos
particulares da equação linear:
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C'
C'-.:.;.
(\
onde K = eC, é a solução da equação linear homogênea.
39
(2.7)
Agora, voltemos à equação
z (:~ + Pt) + t~; = Q.
Nosso objetivo é encontrar z e tj solução desta última equação.
Observemos que se determinarmos um valor para o coeficiente de
z, esse valor será levado a (2.7), possibilitando a determinação de z.
Impomos que tal coeficiente seja igual a zero, isto e:
dt
dx + Pt = O. (2.8)
Essa é uma equação linear do tipo do segundo caso particular acima
citado. Logo, a sua solução é:
(2.9)
Assim, substituindo (2.8) e (2.9) em (2.7), obtemos:
K e- I Pdx dz = Q.
dx .
aqual pode ser escrita sob a forma de variáveis separáveis como:
dz - ~ (ef Pdx) . Qdx = O.
A solução desta, após integração e simplificação, é:
z = ~ J (ef p~) .Qdx + C. (2.10)
Lembrando que y é a solução da equação diferencial linear (ver (2.7))
e que y = zt, por (2.9) e (2.10), concluímos:
y = e- I Pdx [J (eI PdX) . Qdx + c] ,
onde C = K. C, é a solução de (2.7).
O segundo método de solução consiste em transformar a equação
linear em uma exata, através de fator integrante. Consideremos
À = eI Pdx,
vamos mostrar que À é um fator integrante para (2.4). Inicialmente,
escrevamos a equação linear (2.4) sob a forma
(Py - Q)dx + dy = O.
40
'-r'c.;
...,.('
,J;
(
l"-
Agora, multiplicando essa última equação por À, obtemos:
ef Pd.'"C(Py- Q)dx + ef Pdxdy = O. (2.11)
1. Vamos resolver
Exemplo 2.4.1.
i: /
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'l! !tY "
'./
/
1 J .P(x) = -;;::::} P(x)dx = lnx.
ef P(x)dx = e1nx = x,
e e- f P(x)dx = e-1nx = e1n(x-1) = X-i = 1.
x
Logo:
Dividindo toda a equação por x, para deixá-Ia no formato de
(2.4), obtemos:
Assim,
dy
x- +y = 2x.
dx
Usando a fórmula, temos que a solução da E.D.O. é:
1
Y = - (x2 + C) ,x .
1. Encontrar um fator integrante na forma À(x) = ef Pilx e resolver a.
diferencial exata resultante.
2. Usar a fórmula y = e- f Pdx [J (ef Pdx) . Qdx + C] .
éJ(ÀAI) _p f Pdx _ éJ(ÀN)
éJy - e - éJx '
isto é, a equação (2.11) é diferencial exata.
Em resumo, para determinarmos a solução de uma E.D.O linear de
primeira ordem ~~+ P(x)y = Q(x), podemos:
Portanto,
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x
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41
2. Encontraremos a solução de
dy Y---=x+1.
dx x
Temos:
P(x) = -~ =* J P(x)dx = J -~dx = -lnx.x x
Logo,
eI P(x)dx = e-1nx = e1n(x-1) = X-I = l.
x'
e e- I P(x)dx = e-1nx = :T;.
Assim, usando a fórmula, temos que a solução da E.D.O. é:
y = xlx + In x + C]'
ou
y = x2 + x In x + C.'];.
3. Encontraremos a solução de
dy
dx - ytgx = senx.
Esta equação resolveremos usando fator integrante.
Como P(x) = -tgx, então
J P(x)dx = J -tgx = ln(cosx),
e, portanto, À = e1n(cosx) = cos x. Assim, ao multiplicar À pela
equação linear dada, e após algumas simplificações, segue que
cos xdy - (ysenx + senx C08X )dx = O.
Agora, usando ométodo de solução para equações exatas, obte-
mos:
sen2x
ycosx + -2- = C,
que é a solução da equação linear dada.
42
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2.5 Problemas de Valor Inicial
Dada uma equação diferencial de primeira ordem, dy = F(x, y), o pro"-
dx
blema de valor inicial (PV.I.) é o problema de resolver a equação dife-
renciai sujeita à condição inicial y(xo) = yo, em que xo é um número
no intervalo I e Yo é um número real arbitrário. Isto é:
Resolva ~~ = F(x, y) sujeito a y(xo) = Yo. (2.12)
Um questionamento natural é saber se, dado um p.v.1. (2.12), uma
solução existe e, se existir, se tal solução é única. O teorema abaixo
nos dá as condições para a existência e unicidade de soluções para o
p.v.1. (2.12).
Teorema 2.5.1. Seja R uma região retangular no plano xy definida por
a :S x :S b, c :S y :S d, que contém o ponto (xo, yo) em seu interior. Se
f(x, y) e ~~ são contínuas em R, então existe um intervalo I centrado
em xo e uma única solução y(x) definida em I que satisfaz o problema
de valor inicial (2. 12).
Exemplo 2.5.1. Consideremos o P.V I:
Resolva ddy= y sujeito a y(O) = 2."x .
O teorema acima garante a existência de algum intervalo centrado em
x = O e uma ún"ica solução y( x) definida em I que satisfaz o P. V I dado,
pois:
af
f(x, y) = y e ay = 1
são ambas contínuas em todo o plano xv. Agora, vamos obter esta
solução. Inicialmente, veja que a equação dada é separável:
dy
- -dx =0.
y
Integrando-a, obtemos:
ln y - x = K =? ln y = K + x =? y = C eX.
Usando a condição de valor inicial, segue que:
y(x) = Cex =? y(O) = Ceo = 2 =? C = 2.
Portanto, a solução geral do P.V I. dado é y = 2eX• o
43
2.6 Aplicações de Equações Diferenciais de
Primeira Ordem
Nesta seção apresentaremos alguns exemplos de aplicações de equações
diferenciais de primeira ordem. O primeiro deles é conhecido como
problema de crescimento ou decaimento.
2.6.1 Problemas de Crescimento
Seja N(t) uma quantidade sujeita a crescimento ou decaimento. O
problema de valor inicial
dNdi = kN, N(to) = No
surge em muitas teorias das diversas áreas de ciências. A seguir,
apresentaremos alguns exemplos deste tipo de pv.l..
Exemplo 2.6.1. Seja N(t) o número de átomos radioativos em uma
amostra num instante t. Define-se a atividade de uma amostra radioa-
tiva como sendo o número de desintegrações por unidade de tempo.
Foi observado, desde o início do estudo da radioatividade (1896),
que a atividade é proporcional ao número de átomos radioativos pre-
sentes, isto é,
dN = ÀN
dt '
onde À é chamada constante de desintegração ou de decaimento ra-
dioativo. Se No é o número de átomos no instante t = O,o P.V.I.
d:: = ÀN, N(O) = No
tem solução
Exemplo 2.6.2. Seja m(t) a quantidade de massa de uma substância
radioativa, temos:
dm
dt = -Àrn, m(O) = mo.
44
A(t) = Aoe->'t,
Sabemos que a solução geral deste problema é m(t) = moe->'t.
=> À= ln2.
4000
mo -4000>'- =moe
2
Logo, m(t) = moe-1~~t e, assim,
Como m4000 = T' temos:
e após algumas simplificações, obtemos:
1
m(5000) = mo 4M'
2v2
dAdi = -.\A, A(O) = Ao.
Como já sabemos, a solução é
1. Uma quantidade de substância radioativa tem, inicialmente, mo
gramas e decompõe-se a uma razão proporcional à quantidade
presente. Se a meia-vida da quantidade inicial é 4.000 anos, en-
contre a quantidade de substância depois de 5.000 anos.
Exemplo 2.6.3. A proporção de carbono 14 (radioativo) em relação ao
carbono 12 presente nos seres vivos é constante. Quando um orga-
nismo morre, a absorção de carbono 14 cessa e a partir daí o carbono
14 vai se transformando em carbono 12 a uma taxa proporcionar à
quantidade presente. Podemos descrever o problema de encontrar a
quantidade de carbono 14 em funcão do tempo, A(t), como o problema
de valor inicial:
A meia-vida é uma medida de estabilidade de uma substância ra-
dioativa. A meia-vida é simplesmente o tempo necessário para a
metade dos átomos de uma quantidade inicial mo se desintegrar ou
se transmutar em átomos de outro elemento. Cabe comentar que a
desintegração radioativa pode ser usada para descobrir a falsificação
de obras de arte.
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em que Ao é a quantidade 'no instante t = O.
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45
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1. Em um pedaço de madeira é encontrado 5~0 da quantidade origi-
naI de ca~bono 14. Sabe-se que a meia-vida do carbono 14 é de
5600anos, isto é, em 5600 anos metade do carbono 14 presente
transformou-se em carbono 12. Vamos determinar a idade deste
pedaço de madeira.
Sabemos que a sôlução geral deste problema é A( t) = Aoe"7Àt.
Como A5600 = ~, temos:
Ao A. -5600À --"" In 2 ."2 = oe -,- À = 5600'
Como A(t) = ~, então:
Ao _ A -Àt => 500 = eÀt => ln 500 = Àl,500 - oe
e, portanto,
In 500 5600 ln 500
t=--=---
À In2
O qual corresponde a aproximadamente 50200 anos.
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2.7 Exercícios
1. Resolva as seguintes equações separáveis.
2:::.J!. ')(e) (x e x + y-)dx = xydy
(g) ydx = (x + y)dy
dy _ xeX
dx '- 2x-.l
(c) senxdx + cos ydy = O
(f) dy = li. in 1!.
dx x x
(c) 5l1L = ~-3y
dx .)x-y
(b) dx - ..JC2.. dy - y+2x
(a) (2x + 3y)dx + (.r - y)dy = O
(j) y' = _ sen3x
ycos33x
(h) y' = e2x-3y
(i) 5l1L = x2y -Idx l+x
(d) (t2 + l)dt + (y3 - y)dy = O
(e) 1:t2dy - dt = O
(b) .T:ydx+ dy = O
- (a) xdx - 3y2dy = O
(f)
• (g)
3. Verifique se as seguintes equações são exatas e determine a
solução.
2. Mostre que as seguintes equações diferenciais são homogêneas
e determine a solução de cada uma delas.
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(a) 2xydy + (1 + x2)dx = O .
(b) y2dt + (2yt + 1)d:; = O
(c) (2x - y)d.7: - (.1: -1- 6y)dy = O
47
(d) (2x - l)dx + (3y + 7)dy = o
(e) 3x2y2dx + (2x3y) + 4y3dy = O
(f) (t2 - x)dt - tdx = O
(g) 2xe2tdt + (1 + e2t)dx = O
(h) (5y - 2X)Y' = 2y
(i) (y3 - y2senx - x')dx + (3xy2 + 2ycosx)dx = O
(j) (1 - ~ + y)dx + (1 - ~ + x)dy = O
4. Determine uma função M(x, y) para que a seguinte equação di-
ferenciai seja exata:
]Vf(x, y)dx + (2;ry + :r2 - 7)dy = O,
5. Encontre um fator integrante, transforme as seguintes equações
diferenciais em exatas e as resolva,
(a) ydx + (1 - x)dy = O
(b) (x2 + y)dx - xdy = O
(c) dx - 2xydy = O
(d) ydx + (y2 - x)dy = O
(e) xdy - ydx = x2edx
6. Resolva, pelo método de lagrange, as seguintes equações
lineares.
(a) y' = 2y
(b) y' + 3y = O
(c) y' - (O, 34)y = O
(d) 2y' + 6y = 4
(e) y' + !iY = Ox
(f) y' + 3x2y = O
(9) ~ .- 3y cc:;: 7x
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(h) ~ = y + e-2t
(i) * + 2xy = 1
li) dx 3. _ 1
\J dt -(2X - (2
(k) :: + y'= 4 cos 2x
(I) xdy + (xy + 2y - xeX)dx = O
(m) y~+ ~y = O
(n) xdy = (x8enx - y)dx
7, Resolva, usando fator integrante, as seguintes equações linea-
res.
(a) y' - y = O
(b) x2y' + J:Y = 1
(c) !!JL - Jl = X
dx x
(d) y2dx - (2xy + 3)dy = O
8. Classifique cada uma das seguintes equações e as resolva,
(a) 2y - (2x - y)~ = O
(b) du = .h-u2dv le,-v2
(c) xy(y + 1) - (y + 2)y' = O
(d) ~ + ytge = O
(e) (y3 _ X)dy = Y
dx
(f) ~~+ 2t8 = 2te-t2
(g) (:t3 + y3) + 3xy2 ~ = O
(h) (2,'r - 3y)dx + (5x + 7y)dy = O
(') dy _ t-e-
t
1---dt y+eY
9. Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
49
(b) y2dx + (X2 + xy + y2)dy = o; y(O) = 1
(C) y' = (y - 1)2; y(O) = 1
(d) : = 8 - 3x; x(O) = 4
(e) dy = -2xy. y(2) = 5dt 1+x2•
(f) (y + 2xy3)dx + (1 + 3X2y2 + x)dy = O; y(l) = -5
(g) (t2 - x)dt - tdx = O; x(l) = 5
(h) y' + ~y = x; y(l) = O
(i) : +x = 4 cos2t; x(O) = 1
(j) L;# + Ri = eE; L,R e E constantes; i(O) = ia
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2.8 Algumas respostas
Questão 1 (a) .~2 - y3 = C
(e) l5y - 3t - t3 = K
(g) y = ~e.L2 + C
(i) y2 - x2 + 2x - 21n Ix + 11 = K
Questão 3 (d) x2 -'.I +h2+ 7y = C
(i) (xy'3 + y2 cosx -- ~.r2= C
U) x + Y + xy - 31n Ixy I = C
questão 5 (a) À = y-2
Questão 6
(m) y = ºx
(n) y = - cos x + se;ix + ~, x > O
questão 8 '(a) Homogênea
(b) Separável
(d) Linear
(e) Exata
(f) Linear
(g) Homogênea
(h) Homogênea
(i) Separável
U) Exata e Homogênea
Questão 9 (a) y2 = 4x(:r o+- y)2
(b) (.1' + y) ln y + .T = O
51
(c) y = 1
(d) x = ~+ ~e-3t
(e) xY + y = -25
(f) xy + X2y3 + y = -135
(g) x = ç + ;1
(h) y = ~(-X-,-2 + x2)
(i) x = ie-t + ~sen(2t) + ~cos 2t
ti) i(t) = ~ + (ia -~)e-ft
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2.9 Referências Bibliográficas
( www.maLuel.br/matessencial/superior/edo/edo.htm )
( www.maLufmg.br/regi/eqdif/iedo.pdf )
ABUNAHMAN, s.: Equações Diferencias. Rio de Janeiro. EDC Edi-
tora. 1989.
BOYCE, W.E. e DIPRIMA, R.C.: Equações diferenciais elementares
e problemas de valores de contorno. LTC Editora. 1994.
BRONSON, R.: Equações diferenciais. São Paulo. Makron Books.
1994 .
ZILL, D.G.:Equações diferenciais, vol. 1. São Paulo. Pearson Makron.
Books. 2001 .
53
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Resumo
Nessa unidade, apresentarem os d~finiçáo,
classificação e exemplos para as e'quações
diferenciais lineares de ordem n. Concentramos o
estudo na determ inação de solução das equações
homogêneas e não-hom ogêneas,. com' coeficientes
constantes.
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UNIDADE 3. Equações Diferenciais Lineares de Ordem
Superior
3.1 Equações diferenciais lineares de ordem n , 57
3.1.1 Equações Diferenciais Homogêneas 62
3.1.2 Equações Diferenciais Não-Homogêneas 67
3.1.3 Exercícios 71
Algumas respostas 72
3.2 Equações Diferenciais Lineares Homogêneas com
Coeficientes Constantes 72
3.2.1 Exercícios , '80
3.3. Equações Diferenciais Lineares Não-Homogêneas com
Coeficientes Constantes 82
3.3.1 Método dos Coeficientes a Determinar 83
3.3.2 Método da Variação dos Parâmetros 94
3.4 Aplicações de Equações Diferenciais Lineares de
Segunda Ordem 100
3.4.1 Problemas de Mola 100
3.4.2 Problemas de Flutuação 103
3.4.3 Problemas de Circuitos Elétricos (RLC) ó •••• 104
3.5 Exercícios 107
3.5.1 Algumas respostas 109
Referências Bibliográficas 111
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~
Para incremen-
tar o estudo de
equações diferen-
ciais de segunda
ordem, acesse o
sítio somatematica.
3. Equações Diferenciais
Lineares de Ordem Superior
Nesta unidade, apresentaremos definição, exemplos e métodos 'de
solução para as equações diferenciais lineares de ordem n, homogêneas
e não-homogêneas, com coeficientes constantes.
3.1 Equações Diferenciais Lineares de Or-
demn
Nesta seção, lembramos a definição de equação diferencial linear de
ordem n, e conheceremos condições de existência de solução para o
problema de valor inicial associado.
Aprendemos, na unidade anterior, que uma equação diferencial
linear de ordem n tem a forma:
dyn dyn-l dy2 dy .
an(x)-d + an-1(x)-d 1 + ... + a2(x)d 2 + aI (X)-d + ao(x)y = g(x),xn xn- X x
(3.1 )
onde g(x) e os coeficientes ai(x) dependem apenas da variável x ou
são constantes .
Se g(x) = O, dizemos que a equação diferencial é linear homogênea;
caso contrário, a chamamos de linear não-homogênea.
Dizemos que a equação (3.1) é linear com coeficientes constantes
quando os coeficientes aj(x) são constantes para todo i = 0, ... , n; se
57
algum O-i(x) não for constante, a equação é de coeficientes variáveis.
Exemplo 3.1.1. Vamos classificar as equações diferenciais lineares
abaixo identificando a ordem, se são homogênas ou não, se são de
coeficientes variáveis ou constantes.
1. y" - 4y = 12x
é uma ED.o. linear de segunda ordem, com coeficientes cons-
tantes e não-homogênea.
2. 2xy" + xy' - 3y == x3
é uma E D.o. linear de segunda ordem, com coeficientes variáveis
e não-homogênea.
3. 3y/ll + 5y" - y' + 7y = O
é uma E.D.o. linear de terceira ordem, com coeficientes cons-
tantes e homogênea.
4. y(4) - 16y = O
é uma E D.o. linear de quarta ordem, com coeficientes constan-
tes e homogênea.
é uma E D.o. linear de terceira ordem, com coeficientes variáveis
e não-homogênea.
Definição 3.1.1. Chamamos o problema
Resolva
Sujeito; a
deproblema de valor inicial para uma equação diferencial linear de
ordem n.
A s~guir apresentamos condições para existência de única solução
para o problema (3.2):
58
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A função
1 o 1 -o , 1 o 1_0
y(O) ="2e -"2e = 1 e y (O) = 2e -2e = O.
Exemplo 3.1.3. A função y == O é solução do seguinte problema de
valores iniciais:
Resolva y" + eXy' + (x + l)y = O
SUjeita a y(l) = O e y'(l) = O.
o
Como as funções coeficientes ao = x + 1, aI = eX, a2 = 1 e a função
g(x) = O são todas contínuas e a2 =J O, em qualquer intervalo contendo
x = O, temos que y == O é a única solução deste PVI. O
Antes de apresentar os métodos de obtenção da solução geral de
uma equação diferencial linear de ordem n, estudaremos alguns con-
ceitos básicos no estudo das equações diferenciais.
Exemplo 3.1.2. Consideremos o problema
{
Resolva y" - y = O
Sujeito a y(O) = 1 e y'(O) = O.
função dada é a única solução.
1 1
Y = _ex +_e-x
2 2
é uma solução para o PVI.
Basta derivar até a segunda ordem e substituir na equação que você
obterá a identidade. Além disso, substituindo x = O na função y e na
derivada y' = ~ex - ~e-x, veremos que as condições iniciais também
são satisfeitas:
Teorema 3.1.2. Sejam ao(x), ... , an(x) e g(x) contínuas em um inter-
valo I com an =J O para todo x nesse intervalo. Se x = Xo é algum
pontodesse intervalo, então existe uma única solução para o pro-
blema de valor inicial (3,2) nesse intervalo.
Agora, como a equação é diferencial linear, e os coeficientes, bem
como g(x), são todos constantes e portanto funções contínuas, a2 =J O
em qualquer intervalo contendo x = O, então, pelo teorema acima, a
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59
Definição 3.1.3. Um conjunto de funções {YI(X), ...Yn(x)} é linear-
mente dependente (L.O.) em um intervalo I se a equação
Ci E IR (i = 1, ... ,n), possui solução não-trivial, isto é, possui pelo
menos um dos coeficientes CI, ... , Cn diferente de zero.
Se todos os coeficientes ai =1= O, i = 1, ...,n, é a única solução daquela
equação, então o conjunto {YI(X), ...Yn(x)} é linearmente independente
(L. I.).
Exemplo 3.1.4. As funções sen2x e 2senxcosx são linearmente de-
pendentes. Basta lembrar da identidade trigonométrica
sen2x = 2senxcos x e observar que:
sen2x - 2senxcosx = O,
a qual, por sua vez, nos diz que CI = 1e C2 = -1 é solução da equação
CI sen2x + C2 . 2senxcosx = o.
o
Exemplo 3.1.5. As funções fI (x) = 1- x, h(x) = 1- 2x e h(x) = x
são linearmente dependentes ..
Para verificar isso, estudemos a solução da equação
Primeiramente, observe. que esta equação pode ser escrita como:
cuja solução é:
e, portanto, fazendo, por exemplo, C2 = 1, obtemos C3 = 2, isto é,
temos uma solução não-trivial. Assim, as funções dadas são L.O.. O
60
Teorema 3.1.4: Suponhamos que Yl (x), ... , Yn (x) sejam funções pelo
menos n - 1 vezes diferenciáveis. Se o determinante
Corolário 3.1.1. Se Yl, Y2, ... , Yn possuem pelos rnenos n -£l~deri\(adqs
e são linearmente dependentes em 1, então
A seguir enunciamos um resultado que nos dá uma condição sufi-
ciente para a independência linear de n funções em um intervalo.
O
Yl Y2 Yn
Y~ Y& ... Y~
Y~ Y~ Y~
(n-l) (n-l) (n-l)
Yl Y2 Yn
para todo x no intervalo.
Chamamos o determinante do teorema acima de Wronskiano (das
funções Yl,''', Yn) e o denotamos por W(Yb ... , Yn)'
for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo 1, então as'
funções Yl (x), ... , Yn (x) serão linearmente independentes nesse inter-
valo. O
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Exemplo 3.1.6. Usando o Wronskiano, vamos mostrar que as funções
senx e cos x são linearmente independentes:
senx cos x
W(senx, cosx) =
cosx -senx
Logo, pelo teorema anterior, temos que as funções citadas são L.I. O
Exemplo 3.1.7. Usando o Wronskiano, vamos mostrar que as funções
eXe e-3x são linearmente independentes:
3 -2x -2x 4 -2x =f-' O=-e -e =-e ,
61
pois a função eX =I- Opara todo x E IR. Assim, pelo teorema anterior,
temos que as funções citadas são L.I..
Em seguida, aplicaremos os conceitos e resultados básicos apre-
sentados nesta presente seção para a determinação da solução geral
de equações diferenciais lineares de ordens superiores.
3.1.1 Equações Diferenciais Homogêneas
Na presente seção estudaremos as equações lineares homogêneas
de grau n. Iniciaremos relembrando a definição deste tipo de equação
diferencial linear. Em seguida, veremos alguns conceitos básicos
necessários à determinação da solução geral de uma E.D.O. linear
homogênea.
dyn dyn-l dy2 dy .
a.,,(x)-d +an-l(x)-d 1 +...+a2(x)d 2 +al(x)-d +ao(x)y = O. (3.3)xn xn- x X
Para efeito de simplificação, no decorrer deste texto consideraremos
sempr~ que: os coeficientes ai, i = 0,1,2, ...,n, são contínuos; a
função g(x) é contínua; e an =I- O para todo x no intervalo.
Teorema 3.1.5 (Princípio da Superposição). Sejam Yl, Y2, ... , Yk soluções
para a equação diferencial linear de n-ésima ordem homogênea (3.3)
em um intervalo I. Então, a combinação linear
(3.4 )
em que os, Ci, i = 1,2, ,k, são constantes arbitrárias, é também uma
solução no intervalo I.
Prova. Provaremos o caso n = k = 2. Sejam Yl e Y2 soluções para
a2(x)y" + alY' + aoy = O. Se definirmos y = CIYl(X) + C2Y2(X), então
a2(x)[cIY~ + c2y~1 + aI (x) [CIyi + C2Y&1+ aO(X)[CIYl + c2Y21 =
= cda2(x)y~ + al(X)Y~ + ao(x)yIJ + C2[a2(X)Y~ + al(X)Y~ + aOY2]=
= CI - O + C2 . O =
= 0+0.
Segue deste último resultado que, em particular:
o
62
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f~l,
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Corolário 3.1.2. Um múltiplo y(x) = CIYl(X) de uma solução Yl(X)
para (3.3) também é uma solução para a equação (3.3). ' O
Além disso:-
Corolário 3.1.3. Uma equação diferencial linear homogênea sempre
possui a solução trivial y = o. O
Exemplo 3.1.10. As funções Yl(X) = e2x e Y2(X) = e~X são soluções
da equação diferencial Y" - y' - 2y = O.
Calculando as derivadas até segunda ordem de Yl e Y2e substituindo
na equação diferencial, verificamos a identidade.
Pelo Princípio da Superposição, temos que
O
O
y(x) = Cl cos 2x + c2sen2x
é também solução da equação diferencial dada.
é também solução da equação diferencial dada.
Exemplo 3.1.9. AsfunçõesYl(x) = cos2xeY2(x) = sen2xsãosoluções
da equação diferencial Y" + 4y = O.
Verifique isso fazendo as derivadas até segunda ordem de cada uma
das funções e substituindo na equação para obter a identidade.
Pelo Princípio da Superposição, temos que
Exemplo 3.1.8. As funções Yl (x) = e2xe Y2(x) = e3xsão soluções da
equação diferencial Y" - 5y' + 6y = O.
Verifique isso fazendo as derivadas de Yl e Y2até a segunda ordem e.
substituindo na equação para obter a identidade.
Pelo Princípio da Superposição, temos que
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é também solução da equação diferencial dada. O
63
C.. ~'.,.
Já sabemos que conhecidas algumas soluções para uma equação
diferencial homogênea, qualquer combinação linear também é solução
para esta equação diferencial. Porém, desejamos um critério para de-
terminar a solução geral. Antes de apresentarmos este critério, vamos
conhecer uma condição para a independência linear de soluções de
equações diferenciais lineares homogêneas.
Teorema 3.1.6. Sejam Yl, ...,Yn, n soluções para a equação diferen-
ciallinear homogênea (3.3), em um intervalo l. Então, o conjunto de
soluções é linearmente independente em l se, e somente se,
para todo x E l. o
Definição 3.1.7. Chamamosy}, Yz,"o,'Ynde n soluções linearmente in-
dependentes para a equação diferencial linear homogênea de n-ésima
ordem (3.3) em um intervalo l de conjunto fundamental de soluções
no intervalo.
Teorema 3.1.8. Sejam Yl, Y2,"0' Yn n soluções linearmente indepen-
dentes para a equação diferencial linear homogênea de n-ésima or-
dem (3.3) em um intervalo l. Então, toda solução Y(x) para (3.3) é
uma combinação linear das n soluções independentes Yl, Y2,000' Yn,ou
seja, podemos encontrar constantes GI,G2, ... , Gn, tais que
Prova Provamos para o caso n = 2. Seja Y uma solução e sejam
YI, Y2 duas soluções linearmente independentes para
em um intervalo l. Suponha que x = t seja um ponto desse intervalo
para o qual lil(Yl (t), Y2(t)) =I '0. Suponha também que os valores de
Y(t) e Y'(t) sejam dados por
Y(t) ~ k1, Y'(t)= k2.
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Estudando o sistema de equações
obtemos:
Logo, podemos determinar 01 e O2 de maneira única, desde que o
determinante dos coeficientes satisfaça
Yl(t) Y2(t)
Y~(t) y~(t)
Mas observe que esse determinante é o Wronskiano calculado no
ponto x == t e, por hipótese, W i= O. Considerando então a função.
observamos que:
• G(x) satisfaz a equação diferencial, pois ela é a superposição
de duas soluções Yl e Y2.
• G(x) satisfaz as condições iniciais
• y (x) satisfaz a mesma equação e as mesmas condições iniciais.
Como a solução para esse problema linear de valor inicial é única,
(Teorema 3.1.2), temos Y(x) = G(x), ou
o
Teorema 3.1.9. Existe um conjunto fundamental de soluções para a
equação diferencia/linear homogênea de n-ésima ordem (3.3) em um
intervalo I.
65
A prova deste resultado provém do Teorema 3.1.2. o
Pelo Teorema (3.1.9), temos que qualquer solução para (3.3) é obtida
por uma combinação linear de funções em um conjunto fundamental
de soluções. Assim, podemos definir a solução geral como segue.
Definição 3.1.10. Sejam Yl, Y2,..., Ynn soluções linearmente indepen-
dentes para equação diferencial linear homogênea de n-ésima ordem
(3.3) em um intervalo l. A solução geral para a equação no intervalo
é definida por
onde os Ci, i = 1,2, ...,n são constantes arbitrárias.
Em seguida, vamos determinar a solução geral das equações di-
ferenciais dos Exemplos 3.1.8,e 3.1.10.
Exemplo 3.1.11. As funções Yl(X) = e2x e Y2(X) = e3x são soluções
da equação diferencial y"- 5y' + 6y = o.
Calculando o Wronskiano:
#0,
obtemos que as funções Yl e Y2são L. I. e, portanto, a solução geral é:
o
Exemplo 3.1.12. As funções Yl(X) = cos2x e Y2(X)
soluções da equação diferencial Y" + 4y = o.
Calculando o Wronskiano:
sen2x são
-2sen2x 2 cos 2x
cos2x sen2x
= 2 # O,
obtemos que as funções Yl e Y2são L. I. e, portanto, a solução geral é:
y(x) = Cl COS 2x + c2sen2x.
o
66
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Exemplo 3.1.13. As funções Yl(X) = e2x e Y2(X) = e-X são soluções
da equação diferencial Y" - y' - 2y = O.
Calculando o Wronskiano:
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para todo x E IR. Logo, as funções Yl e Y2 são L.I. e assim a solução
geral é:
D.
3.1.2 Equações Diferenciais Não-Homogêneas
Nesta seção estudaremos alguns conceitos básicos necessários à
determinaçi30 da solução geral de E.D.O.'s lineares não-homogêneas
de grau n. Começamos relembrando a definição deste tipo de equação
diferencial linear.
dyn dyn-l dy2 dy
an(x)-d + an-1(:c)-d 1 + ... + a2(x)d 2 + a1(x)-d + ao(x)y = g(x),xn xn- X x
(3.5)
com g(x), ai(x) Junções que dependem apenas de x ou são constan-
tes e g(x) -=I o.
Teorema 3.1.11. Sejam Yl, Y2, ... , Yn soluções para a equação diferen-
ciallinear homogênea de n-ésima ordem (3.3) em um intervalo I e seja
YP qualquer solução para a equação não-homogênea (3.5) no mesmo
intervalo, então,
é também uma solução para a equação não-homogênea no intervalo
para quaisquer constantes Cl, C2, ... , Ck'
-', Com isso, obtemos para as equações diferenciais lineares não-
homogêneas de ordemn um resultado análogo ao Teorema (3.1.8).
(
67
Teorema 3.1.12. Seja YP uma dada solução para a equação dife-
renciaI linear não-homogênea de n-ésima ordem (3.5) em um inter-
valo f e sejam {yI, Y2, ... , Yn} um conjunto fundamental de soluções
para a equação homogênea associada (3.3) no intervalo. Então, para
qualquer solução Y(x) de (3.5) em f, podemos encontrar constantes
C1; C2; .•• ; Cn, tais que
Prova. Provamos o caso n = 2. Suponhamos que' Y e YP sejam
ambas soluções para
Se definirmos uma função u por u(x) = Y(x) - Yp(x), então
a2(x)u" + aI (x)u' + ao(x)u =
= a2(x)[Y" - y;J + aI (x)[Y' - Y~]+ ao[Y - YPJ=
= a2(x)Y" + aI(x)Y' + ao(x)Y - fa2(X)YY; + al(x)y~ + ao(x)yp] =
= g(x) - g(x) = O.
Da Definição 3.1.10 e do Teorema 3.1.8, podemos escrever
Logo,
o
Definição 3.1.13. Seja YP uma solução para a equação diferencialli-
near não-homogênea de n-ésima ordem (3.5) em um intervalo f e
seja
a solução geral para a equação homogênea associada, (3.3) no inter-
valo. A solução geral para a equação não-homogênea no intervalo é
definida por
68
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Exemplo 3.1.14. A função YP(x) = - icos 3x é uma solução particular
da equação diferencial y" + 4y = cos 3x.
Com efeito, calculando a primeira e a segunda derivadas de YP obte-
mos:
y~(x) = ~sen3x, e y;(x) = ~'COS3X.
Substituindo-as na equação diferencial obtemos:
" 9 (1) 9-4Yp + 4yp = 5cos3x +4x -5 cos3x = -5- cos3x = cos3x.
Do Exemplo 3. 1. 12, temos que a solução da equação homogênea
associada é
Logo, a solução geral da equação diferencial é:
1
Y = C1cos2x + C2sen2x - 5 cos3x.
o
Exem~lo 3.1.15. A função yp(x) = iéx é uma solL/ção particular da
equação diferencial y" - y' -,- 2y = éx•
Com efeito, as derivadas de primeira e segunda ordem de YP são,
respectivamente,
as quais, substituídas na equação diferencial dada, resulta na identi-
dade:
" , 2 9 3x 3 3x 2 (1 3X) 9 - 3 - 2 3x 3x
yp - yp - Yp = 4e - .4e - 4e = 4. e = e .
Do Exemplo 3. 1. 13, temos que a solução da equação homogênea
associada é
Logo, a solução geral da equação diferencial é:
o
69
Para finalizar esta seção apresentamos um resultado conhecido
como princípio de superposição para as equações não-homogêneas.
Teorema 3.1.14. Sejam YPll ... , Y~r soluções particulares para a equação
diferencial linear de ordem n em um intervalo I, correspondendo à r
funções distintas gí(X), i = 1, ... , r. Isto é, suponha que YPi seja uma
solução particular para a equação diferencial correspondente
an(x)y(n) + ...+ aI (X)y' + aoy = gi(X),
i = 1, ... , r. Então:
é uma solução particular para
Exemplo 3.1.16. Consideremos a equação diferencial
" I 2 3x 2 4 2Y - Y - Y = e + sen x + x.
Neste caso, consideraremos
Sabemos pelo último exemplo que YPl = ~e3x é solução para y" _ y' _
2y = e3x.
Fica como exercício mostrar que YP2 = 25 sen2x + 210 COS 2x e
YP3 = - 2x2 + 2x - 3 são soluções particulares de y" - y' - 2y = sen2x
e y" - y' - 2y = 4x2•
Pelo Teorema da Superposição para equações lineares não-homogêneas,
temos que:
1 -3 1
YP = 4e3X + 2Osen2x + 20 cos 2x - 2.:r2 + 2x - 3 (3.6)
é uma solução particular para a equação diferencial y." - y' - 2y =
e3x + sen2x +4x2.
Do Exemplo 3. 1.13, temos que a solução da equação homogênea
associada é
(3.7)
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Portanto, de (3.6) e (3.7), a solução geral da equação diferencial dada
é:
C 2x C -x . 1 3x -3 2 1 2 2Y = le + 2e + 4e + 2üsen x + 20 cos 2x - x + 2x - 3.
o
3.1.3 Exercícios
1. Mostre que y = x2e2x + x - 2 é uma solução para a equação
diferencial y" - 4y' + 4y = 2e2x + 4x - 12.
2. Mostre que cos(ln x) é uma solução para a equação diferencial
x2y" + xy' + y = o.
3. Mostre que cos x é uma solução para a equação diferencial y(4) +
y" =0
4. Determine, se possível, a solução geral das equações lineares
dadas.
(a)y" + 16y = O, sabendo que Yl = sen4x e Y2 = cos 4x são
soluções particulares.
(b) y" - 2y' = O, sabendo que Yl = e2x e Y2 = 2 são soluções
particulares.
(c) y" - 5y' + 4y = O, sabendo que y(x) = eX é uma solução
particular.
(d) x2y" - 6xy' + 12y = O, sabendo que Yl = x3 e Y2 = x4 são
soluções particulares.
(e) ylll_y" -y' +y = O,sabendo que Yl = eX, Y2 = e-X e Y3 = xeX .
são soluções particulares.
5. Considere a equação diferencial linear Y" = 9x2 + 2x - 1.
(a) Mostre que x e 1 são soluções da equação homogênea as-
sociada. Escreva a solução geral da homogênea associ-
ada.
71
(b) Mostre que uma solução particular da equação dada é YP ~
~x4 + ~X3 - 4X2 e determine a solução geral.
6. Considere a equação diferencial linear 2x2y" + 5xy' + y = x2 - X.
(a) Mostre que Yl = X-I/2 e Y2 = X-I são soluções da equação
diferencial homogênea associada.
(b) Mostre que YP = (1/15)x2-(1/6)x é uma solução da equação
diferencial dada.
(c) Escreva a solução geral da equação diferencial linear dada.
3.1.4 Algumas respostas
Questão 4
(a) y = C1sen4x +C2
(c) não é possível
3.2 Equações Diferenciais Lineares Homogêneas
com Coeficientes Constantes
Na última seção conhecemos a definição de equação linear homogênea.
Aprendemos que, pelo princípio da superposição, conhecidas n soluções
L.I. para a equação de ordem n, a solução geral é dada pela combinação
linear destas soluções L.1.. Nesta seção, estudaremos os métodos de
determinação destas n soluçõesL.1..
Consideraremos inicialmente o caso n = 2 e depois generalizaremos
para n E N qualquer. Então, nosso objeto de estudo neste momento
é a equação
(3.8)
com ai constante para cada i = 0,1,2.
Como motivação para determinar a solução geral desse tipo de equação,
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observemos inicialmente a seguinte situação:
Considere a equação diferencial
y" - y = o.
Que funções conhecemos que pode satisfazer a condição de que a
segunda derivada seja igual à própria função?
Lembremos que a função exponencial eX tem a propriedade de ter
todas as derivadas iguais a ela própria. Logo y = eX é uma solução
para aquela equação. Mas, analisando um pouco mais as funções
exponenciais éx, k E IR, podemos observar que as derivadas são
múltiplas em potências de k da função éX, isto é:
Então, uma candidata natural à solução da equação de nosso exemplo
é éx para algum k E IR. Para que a segunda derivada dê igual à
função, devemos terk2 = 1, de onde obtemos k = 1, k = -1. Logo, a
segunda solução particular de nosso exemplo é y = e-X.
Seguindo este raciocínio, podemos supor que y = éx é uma solução
para a equação diferencial homogênea (3.8). Assim, calculando as
derivadas de y até segunda ordem, e substituindo em (3.8) obtemos:
Como éx =1= Opara todo x E IR, nos resta que
(3.9)
A equação (3.9) é conhecida por Equação Característica ou Auxiliar
da equação diferencial e, temos as seguintes possibilidades quanto
às raízes:
Caso 1. Raízes reais e distintas.
Com a hipótese que a equação característica possui raízes reais
e distintas k1 e k2, encontramos duas soluções
73
que são L.1. (deixamos a verificação que estas soluções são L.1.
como exercício). Logo, neste caso, a solução da equação ho-
mogênea é:
Caso 2. Raízes reais iguais.
Neste caso, considerando k1 = k2, obtemos somente a solução
exponencial Yl = é1X• A outra solução é dada por Y2 = xek1X• A
determinação desta solução pode ser encontrada, por exemplo,
na referência Boyce e Diprima.
Caso 3. Raízes complexas conjugadas.
Se k1 e k2 são raízes complexas conjugadas então podemos es-
crever k1 = m+ni e k2 =m-ni, em que m, n > °são reais e i é o
número imaginário. As funções exponenciais Yl = é1X = e(m+ni)x
e Y2 = é2X = e(m-ni)x são soluções L.1. da equação diferen-
ciai, mas, na prática, é melhor trabalharmos com funções reais
ao invés de exponenciais complexas. Para fazer esta mudança,
usamos a Fórmula de Euler:
ei(}= cose + isene,
em que e é um número real. .Após alguns passos algébricos,
obtemos que a solução geral da equação homogênea (3.8) é:
A seguir apresentamos alguns exemplos sobre a determinação da
solução geral de equações lineares homogêneas de grau 2.
Exemplo 3.2.1. Consideremos a equação diferencial
y" - 3y' + 2y = O.
A equação característica é dada por:
k2 - 3k + 2 = 0,
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cujas raízes são k1 = 1 e k2 = 2. Então, como as raízes são reais e
distintas, temos que a solução geral da equação difrerencial é:
Exemplo 3.2.2. Consideremos agora a equação diferencial
y" _ 5y' = O.
A equação característica é dada por:
e ~5k = O,
a qual pode ser ainda escrita como k( k - 5) = O, de onde obtemos'que
as raízes são k1 = O e k2 = 5. Portanto, a solução geral da equação
diferencial é:
isto é,
Exemplo 3.2.3. Consideremos agora a equação diferencial
y" + 4y' - 2y = O.
A equação carâcterística é dada por:
k2 + 4k - 2 = O,
cujas raízes são k1 = - 2 + V6 e k2 = - 2 - 05. Logo, como k1 e ~2
são raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Exemplo 3.2.4. Vamos determinar a solução da equação
y" - 4y' + 4y = O.
A equação característica associada é:
k2 - 4k + 4 = O,
75
cujas raízes são k1 = k2 = 4. Como as raízes da equação carac-
terística são reais e iguais, temos que a solução da equação diferen-
ciai dada é:
Exemplo 3.2.5. Vamos determinar a solução da equação
y'f + 2y' + y = o.
A equação característica associada é:
k2 + 2k + 1 = O,
cujas raízes são k1 = k2 = -1. Como as raízes da equação carac-
terística são reais e iguais, temos que a solução da equação diferen-
ciai dada é:
Exemplo 3.2.6. Consideremos agora a equação diferencial
y// + 4y = o.
A equação característica associada é:
k2 + 4 = O,
cujas raízes são as conjugadas complexas k1 = 2i e k2 = - 2i. Por-
tanto, a solução geral da equação diferencial é:
Exemplo 3.2.7. Vamos determinar a solução da equação diferencial
//+2' ~ Oy y +:JY = .
A equação característica associada é:
k2 + 2k + 5 = 0,
cujas raízes são as conjugadas complexas k1 = -1 +2ie k2 = -1 - 2i.
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
76
Exemplo 3.2.8. Vamos resolver Q seguinte problema de valores inici-
ais:
Resolva y" + y = O sujeito a y(O) = 1,; y'(O) = 2.
A equação característica da equação diferencial associada é k2 + 1=
O, cujas soluções são k1 = i e k2 = -i. Logo:
é a solução geral da equação diferencial dada.
Para determinarmos a solução do problema de valores
iniciais precisamos da derivada de y, a qual é:
Assim, para encontrarmos as constantes C1 e C2 da solução do P.V.I.,
resolvemos o sistema:
cuja solução é:
y(O)
y'(O)
CIcosO + C2senO
-CI senO + C2cosO
Logo, y = COSX + 2senx é a solução do P.V. I.
No caso geral, para determinarmos a solução de uma equação
diferencial linear homogênea de ordem n com coeficientes constantes ,
(n) (n-I) '" Oany + an-IY + ...+ a2Y + alY + aoy = ,
devemos resolver a equação polinomial de grau n:
(3.10)
a qual é conhecida como equação característica ou associada.
Assim, como na seção anterior, em que estudamos a equação (3.10)
para n = 2. vamos dividir o estudo das raízes em três casos:
77
Caso1. Quando a equação característica possui todas as raízes reais
e distintas.
Nesse caso, a solução geral para (3.10) é dada por:
~
y = C1ek1X + C2ek2X + ...+Cneknx.
Caso 2. Quando há raízes reais e iguais.
Suponhamos que k1 = k2 = kp e kp+l, ... , kn são todas reais e
distintas.
Nesse caso, a solução geral para a equação (3.10) é dada por:
Caso 3. Quando há raízes complexas conjugadas.
Suponhamos que k1 = m+ni e k2 = m-ni, se as demais raízes
forem reais e distintas, obtemos:
Abaixo apresentamos alguns exemplos de determinação de solução
de equações lineares homogêneas com grau maior que 2.
Exemplo 3.2.9. Seja y'" - 6y" + l1y' - 6y = O.
A equação característica associada é:
k3 - 6k2 + l1k -6 = O,
cujas raízes são k} = 1, k2 = 2, k3 = 3. Logo, a solução geral da
equação diferencial é:
Exemplo 3.2.10. Seja y'" - 5y" = O.
A equação característica associada é:
a qual implica que k2(k - 5) = O, donde temos que as raízes são
k1 = k2 = O e k3 = 5. Logo, a solução geral da equação diferencial é:
78
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isto é:
Exemplo 3.2.11. Seja y'" - 6y" + 2y' + 36y = O.
A equação característica associada é:
k3 - 6k2 + 11k - 6 = O. ,
cujas raízes são k1 = -2, k2 = 4 + iV2, k3 = 4 - iV2. Logo, a solução
geral da equação diferencial é:
Exemplo 3.2.12. Seja y(5) - y(4) - 2y'" + 2y" + y' - y = O.
A equação característica associada é:
cujas raízes são k1 == k2 = k3 = 1,k4 = k5 = -1. Logo, a solução geral
da equação diferencial é:
C x C x C 2 x C -x +C -xy =le + 2xe + 3X e + 4e 5xe.
Exemplo 3.2.13. Consideremos o seguinte problema de valores
iniciais:
Resolva y(4)+2y' +y = O s. a y(O) = 1, y'(O) = O,y"(O) = 2, y/l/(O) = -1.
As raízes da equação característica associada são: k1 = i,k2 = -i,
k3 = i, k4 = -i. Logo, a solução da equação diferencial é:
Calculando as derivadas até terceira ordem de y, obtemos:
y' = (C4 - C1)senx + (C2 + C3)cosx + (C4cosx - C3senx)x
y" = (2C4 - Cdcosx - (C2 + 2C3)senx - (C3cosx + C4senx)x
y/l/ = -(3C4 - Cdsenx - (C2 + 3C:l)cOSX + (C3senx - C1cosx)x
79
"---_. ---------------------------
Assim, usando as condições iniciais, escrevemos o seguinte sistema:
y(O) CI 1
y'(O) = C2 + C3 O
y"(O) = 2C4 - CI 2
y'" (O) -C2 - 3C3 -1
cuja solução é C1 = 1, C2 = -1/2, C3 = 1/2, C4 = 3/2. Logo, a
solução do P. V. I. é:
1 _ 13
Y = cosx - -senx + -XCOSX + -xsenx.
2 2 2
3.2.1 Exercícios
1. Mostre que é1X e é2X, k1 =f k2, são linearmente independentes.
2. Sabendo que as raízes da equação característic"asão k1 = 2 e
k2 = -3, escreva a equação diferencial associada.
3. Sabendo que as raízes da equação característica são k1 = -4,
k2 = -4, determine a equação diferencial associada.
4. Sabendo que as raízes da equação característica são k1 = 2+3i
e k2 = 2 - 3i, determine a equação diferencial associada.
5. Sabendo que as raízes da equação característica são kl 1,
k2 = 1 e k3 = 1, determine a equação diferencial associada.
6. Resolva as seguintes equações diferenciais lineares homogêneas:
(a) y" - y' - 20y = O
(b) y" - 3y' - 4y = O
(c) y" - 8y' + 7y = O
(d) y" - lOy' + 25y = O
(e) y" - 2y' - 8y = O
(f) 5y" - 3y' - 2y = O
(g) 4y" + y' = O
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(h) 3'1' + 55y = O
(i) y" - y' - 6y = O
G) 'I' -.6y' = O
(k) 'I' + 8y' + 16y = O
(I) 12y" - 5y' - 2y = O
(m) y" - 4y' + 5y = o
(n) 3y" + 2y' + y = o
7. Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:
(a) 'I" + y" - 6y' = O
(b) y/ll + 8y' = O
(c) y/ll + y" - 6y' = O
(d) 'I" + 5y" = O
(e) y(4) + 2y" + y = O
(f) y(5) - 16y' = O
(g) y(4) + y/ll + y" = O
(h) y(5) + 5y(4) - 2y/ll - 10y" + y' + 5y = O
8. Resolva os seguintes problemas de valores iniciais:
(a) y" - y = Osujeita a y(O) = 1 e y'(O) = -3
(b) 2y" - 2y' + y = O sujeita a y(O) = -1, y'(O) = O
(c) y/ll + y" - 6y' = O sujeita a y(O) = y'(O) = 1 e y"(O) = 2
Algumas respostas
Questão 1 y" + y' - 6y = O
Questão 3 y" - 4y' + 13y = O
81
(e) y(x) = (C} + C3x) COSX + (C2 + C4x)senx
(9) y(x) = C} + C2x + e -t (C3 cos V;x + C4sen V;x)
Questão 7 (a) y = -eX + 2e-X
(b) y = _ex/2 cos .~+ eX/2 sen~
(c) y = (x - 4) cosx - (4 + 3xfrm-e)senx + 3x + 4
(d) y = .!lex - Qe-x + 1. cos x + 2senx - 3x - :£senx8 8 4 4
3.3 Equações Diferenciais Lineares
Não-Homogêneas com Coeficientes
Constantes
Nesta seção estudaremos as equações lineares não-homogêneas com
coeficientes constantes:
(n) (n-l) If I ( )any + an-lY + ...+ a2Y + alY + aoY = g x .
Nosso objetivo é conhecer métodos de solução para tal equação.
Aqui, apresentaremos o Método dos Coeficientes a Determinar e o
Método da Variação dos Parâmetros, divididos em subseções.
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I
3.3.1 Método dos Coeficientes a Determinar
Estudamos que, pelo princípio da superposição, a solução geral de
uma equação diferencial linear não-homogênea é dada pela soma da
solução da equação homogênea associada com uma solução particu-
lar. Na seção anterior aprendemos a obter a solução de equações ho-
mogêneas com coeficientes constantes. Nosso objetivo é determinar
uma solução particular da equação não-homogênea com coeficientes
constantes.
Esse método é aplicado somente quando a função g(x) é uma cons-
tante, uma função polinomial, uma função exponencial, uma função .
seno ou cosseno, ou somas e produtos dessas funções.1
1 É interessante observar que estas funções têm em especial a propriedade de
que as derivadas de suas somas e produtos são ainda somas e produtos de cons-
tantes, polinômios. exponenciais, senos ou cossenos. Assim, como ao substituirmos
as derivadas de YP na equação diferencial devemos ter a igualdade com a função
g(x), é natural pensar que YP tenha a mesma forma que g(x).
83
Consideraremos inicialmente que nenhuma função da suposta par-
ticular é uma solução para a equação homogênea associada. Temos
os seguintes casos:
Caso 1. g(x) é um polinômio de grau n.
Nesse caso, supomos
onde os Ai! i = 1, ... ,n são constantes a determinar.
Caso 2. g(x) = reo.x é uma função exponencial, onde r e Q são cons-
tantes conhecidas.
Nesse caso, supomos
onde A é uma constante a ser determinada.
Caso 3. g(x) = rIserwx + r2COSQX, onde rI, r2 e O:' são constantes
conhecidas.
Nesse caso, supomos
YP = Aserwx + BCOSQx,
onde A e B são constantes a serem determinadas
Observação 3.3.1. No caso em qúe g(x) é soma (ou produto) dos
casos acima, a solução particular é soma (ou produto) das soluções
particulares de cada caso.
Em seguida, apresentamos alguns exemplos sobre o uso do método
dos coeficientes a determinar.
Exemplo 3.3.1 (Caso 1). Consideremos a equação diferencial
1/ '2 42y-y-y=x.
Primeiramente, vamos encontrar a solução da equação homogênea
associada: As raízes da equação característica são k] = -1 e k2 = 2,
donde
84
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é a solução da homogênea associada.
Agora, como g(x) é um polinômio de grau 2, supomos que uma solução
particular é do tipo:
com A2, AI, Ao constantes a determinar.
Calculando a derivada até segunda ordem de Yp:
Logo,como y~ - y~ - 2y = 4x2, segue que
ou equivalentemente
Pela igualdade de polinômios obtemos o seguinte sistema:
-2A2 4
-2A2 - 2AI O
2A2 - AI :- 2Ao = O
cuja solução é ih = -2, AI = 2 e Ao = -3. Portanto,
YP = -2x2 + 2x - 3.
Assim, a solução geral da equação diferencial dada é
Exemplo 3.3.2 (Caso 1). Vamos determinar a solução geral da equação
diferencial
y" + 4y' - 2y = 2x2 - 3x + 9.
Inicialmente encontramos a solução da equação homogênea associ-
ada, cuja equação característica é:
k2 + 4k - 2 = O.
85
As raizes da equação algébrica são kl = - 2 + V6 e 1..:2= - 2 - V6.
Logo,
é a solução obtida através da equação homogênea associada. Resta-
nos obter uma solução particular e, para isso, vamos usar o Métodos
dos Coeficientes a Determinar. Esse método nos diz que
é uma sol,!ção particular. Vamos encontrar os coeficientes A, i =
0,1,2.
Já sabemos que as derivadas de primeira e segunda ordem de YP são:
E como YP deve satisfazer a equação diferencial dada, obtemos:
Assim, o sistema resultante da igualdade dos polinômios é:
-2A2
8A2 - 2AI
2A2 + 4AI - 2Ao
= 2
-3 .
9
Logo, A2 = -1, AI = -5/2, c = -21 é a solução do sistema e, por-
tanto,
Y= CIe(-2+v'6)x + C2e(-2-v'6)x - x2 - ~x - 21
é a solução da equação diferencial não-homogênea.
Exemplo 3.3.3 (Caso 2). Vamos solucionar a equação diferencial
y" - y' - 2y = 12e3x.
86
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Como vimos no primeiro exemplo desta subseção, a solução obtida
através da equação homogênea associada a essa equação diferencial
é:
C -x C 2xYh = le. + 2e .
Pelo Método dos Coeficientes a Determinar, sabemos que uma solução
particular tem a forma:
Calculando as derivadas de primeira e segunda ordens de YP' obte-
mos:
Assim, substituindo na equação diferencial, obtemos:
" '2 3xYp - Yp - YP = e
e, portanto, sua solução é A = 3. Daí,
Exemplo 3.3.4 (Caso2). Encontraremos a solução geral de
ylII - 3y" +'3y' - Y = e-X.
A equação característica associada é k3 - 3k2 + 3k - 1 = 0, a qual é
equivalente a
e, portanto, 1 é raiz de multiplicidade 3. Assim, a solução da equação
homogênea associada é:
87
Pelo Método dós Coeficientes a Determinar, sabemos que uma solução
particular tem a forma:
4 -xYP =. e .
Calculando as derivadas de primeirà, segunda e terceira ordens de YP'
obtemos:
Assim, substituindo na equação diferencial, obtemos:
lIf 3" 3' -xYp - Yp + Yp - yp = e
e, portanto, sua solução é A = ~1/8. Daí,
Exemplo 3.3.5 (Caso 3). Resolveremos
y" - y' - 2y = 5sen2x.
Sabemos do primeiro exemplo desta subseção que a solução da equação
homogênea associada é
C -x C' 2xYh = Ie + 2e .
Pelo Método dos Coeficientes a Determinar,
YP = Asen2x + B cos 2x
é uma solução particular para a equação diferencial dada. Vamos
encontrar as constantes A e B. Para isso, precisamos das derivadas
de YP até a segunda ordem, a saber:
Y~= 2A cos 2x - 2Bsen2x e Y; = -4Asen2x - 4B cos 2x. (3.11)
88
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Logo, de (3,11) em Y~ - y' - 2y = Ssen2x, temos o seguinte sistema:
-6A+2B = 5
-2A-6B O
A solução desse último é A = ~3'e B = *. Assim, a solução geral da
equação diferencial é:
c -x C 2x 3 1y = Ie + 2e - :1sen2x + :1 cos 2x.
Exemplo 3.3.6. Consideremos a equação diferencial
y" + 3y' + 2y = séx + 7 cos2x.
Primeiramente, temos que as raízes da equação característica são:
kI = -1 e k2 = - 2. Logo, a solução da equação homogênea
associada é
C -x C -2xYh = Ie' + 2e .
Observe que 9(X) = 9I(X) + 92(X), com 9I(X) = se3x e 92(X) = cos2x.
Pelo Método dos Coeficientes a Determinar, associada à função 91,
temos a solução particular
e, associada a função 92 (x) temos
Logo, a solução particular YP é dada por:
Calculando as derivadas até segunda ordem de YP' obtemos:
Substituindo na equação diferencial, temos a identidade:
9A3x - 4BI cos 2x - 4B2sen2x + 3(3A3X - 2BIsen2x + 2B2 cos 2x)+
+2(Ae3x + BI cos 2x + B2sen2x) = séx + 7 cos 2x,
89
a qual resulta no seguintes sistema:
20A 5
-2B1 + 6B2 7
-2B2 - 6B1 O.
A solução desse último é: A = ~, B1 = - 270 e B2
solução particular é
1 7 21
Y = _e3x - - cos 2x + -sen2x.
P 4 20 20
;6. Assim, a
A solução geral da equação diferencial é, portanto,
1 7 21
Y = C e-x +C e-2x + _e3x - - cos 2x + -sen2x.
1 2 4 20 ; 20
Exemplo 3.3.7. Encontraremos a solução geral de
y" - 8y' + 15y = 9xe2x.
A solução da equação homogênea associada é:
Observe que g(x) = 9xe2x pode ser escrita como g(x) = gl(X) . g2(X),
sendo gl(X) = 9x e g2(X) = e2x.
Segundo o método dos coeficientes a determinar, temos que a solução
particular associada a gl é
e a solução particular associada a g2 é
2x
YP2 = ce .
Assim, uma solução particular da equação diferencial é:
Vamos determinar m e n. Para isso, precisamos das deíivadas até
segunda ordem de ypo.
y~ = (m + 2n)e2x + 2mxe2x e y~ = 4(m + n)e2x + 4mxe2x.
90
.".,r'......
Substituindo YP e as derivadas de primeira e de segunda ordens na
identidade y; - 8y~ + 15yp = 9xe23 , após algumas simplificações obte-:-
mos:
(o .. (-4m + 3n)e2x + 3mxe2x = 9xe2x
Temos então o seguinte sistema:
-4m +.3n
3m
o
9,
cuja solução é m = 3 e n =:;: 16. Assim:
A solução da equação diferencial homogênea associada é:
é a solução geral da equação diferencial não-homogênea dada.
y = (O).= ~~, y'(O) = -~.tal que
Resolva y" - 5y' + 6y = 2x2 - 1+ 4ex
Exemplo 3.3.8 (Problema de Valor Inicial). Encontraremos a solução
do seguinte problema de valores iniciais:
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C 2x C 3xYh =. le + 2e .
Observe que g(:.e) = gl(X) + g2(X), onde gl(X) = 2x2 - 1 e g2(X) = 4eX•
Assim, pelo Método dos Coeficientes a Determinar, temos que uma
solução particular é da forma:
Calculando as derivadas de primeira e segunda ordens de YP' obte-
mos:
y~ = 2ax + b+ dex :=:::;. y~ = 2a + dex.
Logo, substituindo na equação diferencial dada, segue que
.......-
91
o sistema resultante é, portanto:
2a - 5b + 6c = -1
-lOa + 6b O
2d 4
. I - , . ] b 5 14 d 2cUJaso uçao e. a = 3' = 9' c = 27 e =.
Assim, a solução geral da equação diferencial é:
2 3x 1 2 5 14 xy = C]e.x + C2e + -x + -x + - + 2e.
3 9 27
Para resolvermos o problema de valor inicial, precisamos da primeira
derivada de y (acima obtido). Logo, derivando y, temos:
Usando as condições iniciais:
y(O) = ;~ ==}
y'(O) = 94 ==}
Logo, o sistema resultante é:
-2
-3
Obtemos como solução do sistema: C] = -3 e C2 = 1. Portanto, a
solução do P \1.1.é:
1 5 14
Y = - x2 + -.r + - + 2ex _ 3e2x + e3x.
3 9 27
o
Em seguida, exemplificamos um caso em que a suposta solução par-
ticular (como apresentada nos casos 1 a 3 acima) é também solução
da equação homogênea associada. Através desse exemplo, veremos
como proceder diante desse fato.
92
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Exemplo 3.3.9. Consideremos a equação diferencial
A equação característica é k2 .,- 1 = O, cujas soluções são k1 = 1 e
k2 = -1. Logo, a solução da equação homogênea associada é:
Pelo Método dos Coeficientes a Determinar, uma sOlução particular
seria, no caso de não coincidir comalguma solução da equação ho-
mogênea associada:
YP = Ae-X•
Y~= Ae-X - Axe-X
No entanto, neste caso, observamos que 'li= e-X é solução da equação
homogênea associada e, portanto, assim o é qualquer múltiplo de e-X.
E agora? Como faremos neste caso?
Não se desespere, quando isso ocorre, o método determina que uma
solução particular será
Vale ressaltar que se esta também fosse uma solução da homogênea
associada, então uma solução particular seria dada por YP = Ax2e-3'
, e assim por diante, até que a solução particular obtida não seja
solução da equação homogênea associada.
Neste exemplo, (3.12) não representa uma solução da equação di-
ferenciaI homogênea associada à nossa equação diferencial. Entãç,
derivando Ypaté a segunda ordem:
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Agora, levando YP e a derivada y;. na equação diferencial, obtemos:
-2Ae-x + Axe-X - Axe-X = 3e-X =:;, -2A = 3,
93
e, portanto, temos o coeficiente A = - ~. Logo, uma solução para a
equação diferencial dada é:
Na próxima seção apresentamos outro método de determinação
de uma solução particular para equações diferenciais não-homogêneas.
3.3.2 Método da Variação dos Parâmetros
Para calcular uma solução particular YP pelo Método da Variação dos
Parâmetros, ou método de Lagrange, consideramos a equação dife-
renciai linear não-homogênea de segunda ordem, onde
isto é:
11 I ( )Y + alY + aoy = 9 x
(3.13)
(3.14 )
e consideremos a solução particular da equação homogênea associ-
ada por:
com C1 e C2 constantes arbitrárias.
Trabalhando com a expressão de y a menos das constantes C1 e C2,
pois estas serão substitu idas por funções de x, chamamos C1 de UI (x)
e C2 de U2(X).
Supomos que uma função particular possa ser escrita sob a forma:
(3.15)
onde para essa expressão ser solução da equação (3.14),
consideraremos as seguintes restrições sobre 'UI e U2 ..
Derivando yp, obtemos:
Agora. supondo que
(3.16)
94
~)
c-'(' segue que
(3.17)
~.. Derivando Y~:
I
. \.....,.., (3.18)
De (3.15),(3.17),(3.18) em (3.14):
Evidenciando UI e U2:
"-1..":>:.:c-
(/
"(
'(
Os coeficientes de UI e U2 são nulos, uma vez que'YI e Y2sãosoluções
da equação característica, ou seja, são soluções da equação ho-
mogênea associada a (3.14). Assim:
Resolvendo o sistema encontraremos u~ e u;. Integrando cada um
deles, encontramos UI e U2. A~sim. uma solução particular para a
equação diferencial (3.14) é dada na forma de (3.15) com as funções
Portanto, as equações (3.16) e (3.19) formam um sistema de condi-
cionamento. O determinante desse sistema será o wronskiano das
funções Yle Y2. que por hipótese é diferente de zero. Daí:
{
U~YI + U~Y2 = O
u~Y~+ u~Y~ = g(x).
UI e U2 encontradas.
Apresentamos alguns exemplos de determinação' de solução de
equações do tipo (3.14) usando o Método da Variação dos Parâmetros.
Particularmente. esses exemplos são de casos que não se incluem
nos tipos de equações diferenciais que possam ser resolvidos pelo
Método dos Coeficientes a Determinar.
(3.19)I I I I ()UIYI + U2Y2 = 9 X .
I,( .
'. '
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\.;'.<\\,~
!.c;
~}
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"F:~
~.
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I
'-..
i
Exemplo 3.3.10. Vamos resolver a equação diferencial
li I eX
Y - 2;lJ + Y = -.x
~=';..
...;.";:,.'" :
~:".,
'"
95
As raízes da equação característica k2 - 2k + 1 = Osão kI = k2 = L
Assim, a solução que provém da equação homogênea associada é:
Logo, pelo Método de Variação dos Parâmetros, uma solução particu-
lar tem a forma
(3.20)
onde UI e U2 são funções de x a serem encontradas.
Como YI = eX, Y2 = xeX e g(x) = eXIx, pelo Método da Variação dos
Parâmetros, o sistema de condicionamento é:
o
x
Resolvendo este conjunto de equações simultaneamente, segue que
, , 1
uI=-l e u2=-. x
Assim,
UI = J u~dx = J -ldx = -x
U2 = J u;dx =!~dx = lnlxl.
Levando esses valores em (3.20), obtemos,
Logo, a solução geral é
ou ainda:
Exemplo 3.3.11. Vamos resolver a equação diferencial:
~Y
dx2 + Y = tgx.
96
(~
.....;
(,
Primeiramente, encontramos a solução obtida através da equação ho-
mogênea associada.
Temos que a equação característica é k2 + 1 = O, cujas raízes são
k1 = -i e k2 = i. Assim:
\.(.
,£-'e)
'''(:;':
Calculando YP pelo Método da Variação dos Parâmetros, temos:
1
= -senx tgx .
senx
ocosx
-senx tgx
J J sen2x J cos2 x-I- senxtgxdx = - --dx = ----dx =cosx cosx
cosx senx
I ( I ')Yp = -11,1 senx + 11,2COS X+ UI COSX + 11,2senx
{
11,~COSX+ 'U;senx O
I + I t-11,1 senx 11,2 COS X gx
tgx cosx
o senx
-senx cosx
I'U2= senx * 'U2= - COS X
'U~= -senxtgx *,'UI= - J senxtgxdx.
Calculando J -senxtgxdx:
Assim:
Resolvendo o sistema pelo Método de Cramer, temos
Logo, o sistema de condicionamento é:
Derivando YP até a segunda ordem:
(
~
C.:::,
L'
~,~
(,
\',"
\.
\Cj
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~'
('
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'l:J
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\•...:::;;.:'
f'o
"(.
\.(~
= J cos xdx - J secxd.r = senx - ln(secx + tgx).
97
t','..
Logo,
UI = senx - ln(sec:rtgx + tgx).
Portanto, a solução particular é:
YP= senxcosx - cosx ln(secx + tgx) - senxcosx,
isto é,
YP= -[ln(secx + tgx)] cosx.
Então, a solução geral da equação diferencial dada é:
Y = CICOSX+ C2senx - [ln(secx + tgX)] COSX.
o Método da Variação dos Parâmetros pode ser generalizado para
equações lineares de ordem n que estejam na forma:
y(n) + an-I (x)y(n-I) + ...+ aI (x)y' + aO(x)y = f(x).
Se y = CIYI + C2Y2 + ...+ CnYn é a solução da equação homogênea
associada à equação acima, então uma solução particular é:
onde os u~, k = 1,2, ...,n são determinados pelas n seguintes equações:
YIU~+ Y2U; + ...+ Ynu~ = O
y'u' + Y~u; + ...+ Y' 'U' = O. 1 I n n
(n-I) '+ (n-I) I (n-I) I f()YI UI Y2 'U2 + ...+ Yn 'Un = X
As primeiras n-l equações do sistema, como em (3.16), são suposições
feitas para simplificar as primeiras n -- 1 derivadas de Y
p
' A última
equação do sistema resulta da substituição da n-ésima derivada de Y
P
e as derivadas de ordem menor substituídas na equação diferencial.
Neste caso, a regra de Cramer nos dá
I Wk
Uk = W' k = L 2, ... , n,
98
-.~.
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(..... ,.'.:rtO,
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(2
v,"'~
~~5
~.:l:
~'
,O
l~j
em que W é o wronskiano de YI, Y2, .. 0' Yn e lVk é o determinante obtido
substituindo a k-ésima coluna do wronskiano pela coluna
o
O
O
f(x)
Exemplo 3.3.12. Vamos encontrar a solução geral da equação
y(3) + y' = sec x.
Observe inicialmente que a equação característica é: k3 + k = O, cujas
raízes são kI = 0, k2 = i e k3 = -i. Portanto, a solução da equação
homogênea associada à equação diferencial dada é:
Além disso, pelo Método da Variação dos Parâmetros, devemos en-
contrar UI, U2 e U3 tais que
seja solução da equação não-homogênea. Resolvendo o sistema de
condicionamento:
[ " , =0UI + U2 cos X + u3sen.r-u~senx + u~ cos x =0
-u~cosx- u~senx = secx
obtemos:
'U~ secx =* 'UI (x) ln I sec x + tgxl
u' -1 =* U2(X) -x2
'11'
_ senx =* '113 (x) lnl cosxl.3 cosx
Portanto,
Yp(x) = ln Isec x + tgxl - x ('os:r + (senx) ln I cosxl.
99
Assim, a solução geral da equação diferencial não-homogênea dada
é:
y = C}+C2 COSX +C3senx + In I sec! + tgxl- x cos x + (senx) In I cosxl.
Note! O Método da Variação dosParâmetros determina uma solução
particular YP' desde que se conheça a solução da equação homogênea
associada. Esse método não limita que a função g(lJ) precise ser al-
guma dos casos possíveis para o uso do método dos coeficientes a
determinar. Observamos ainda que o Método da Variação dos
Parâmetros pode ser usado para resolvet problemas com coeficientes
variáveis, como discutiremos na próxima unidade. Finalizamos essa
unidade apresentando alguns exemplos de aplicações de equações
diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes
que aparecem naturalmente no campo das Ciências.
3.4 Aplicações de Equações Diferenciais
Lineares de Segunda Ordem
Apresentaremos três exemplos clássicos de modelos que envolvem
equações diferenciais: O problema de massa-mola, o problema de
flutuação e o problema de circuitos elétricos.
3.4.1 Problemas de Mola
o sistema de mola exibido na Figura 3.1 consiste em uma massa m
suspensa da extremidade inferior de uma mola que, por sua vez, está
verticalmente suspensa de um suporte
• O sistema está em posição de equilíbrio quando está em re-
pouso (ilustrado à esquerda da Figura 3.1).
• A massa é colocada em movimento (ilustrado à direita da Figura
3.1 ) por um ou mais dos seguintes meios:
100
x
direção positiva
Figura 3.1: Problema de Mola
x=c
- -~----
(ii) sujeijando-a a uma força externa F(t).
(i) Deslocando a massa de sua posição de equilíbrio, imprimindo-
lhe uma velocidade inicial, ou
1. F(t), medida na direção positiva;
Adotaremos, sem perda de generalidade, a direção "para baixo" como
a direção positiva, e tomaremos como origem o centro da massa na
posição de equilíbrio .
Desprezando a massa da mola e admitindo que a resistência do ar,
quando existe, é proporcional à velocidade da massa, temos que no
instante t, há três forças atuando sobre o sistema:
A Lei de Hooke nos diz que: '~ força de uma mola é igual e oposta
às forças aplicadas à mesma e é proporcional à distensão (contração)
1 da mola resultante da força aplicada", ou seja, F = -kl, onde k
é constante de proporcionalidade, geralmente chamada constante da
mola.
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2. uma força restauradora dada segundo a lei de Hooke por Fs =
-ks, k > O; e
101
Xo
3. uma força devido a resistência do ar dada por Fa = -ax, a > O,
onde a é a constante de proporcionalidade.
A força restauradora Fs sempre atua em uma direção que tente fazer
o sistema voltar à sua posição de equilíbrio. Assim:
(i) se a massa está abaixo da posição de equilíbrio, então x é posi-
tivo e - kx é negativo;
(ii) se a massa está acima da posição de equilíbrio, então x é
negativo e -kx é positivo.
Agora observe que, como a> 0, a força Fa, devido a resistência do àr,
atua em direção oposta à velocidade, na tentativa de, assim, retardar
ou amortecer o movimento da massa.
Da segunda lei de Newton segue que
d2x dx
m- = -kx - a- + F(t).dt2 . dt '
ou ainda
d
2
x a dx k F(t) (3.21)
dt2 +m dt + mx = -:;;;:.
Se o sistema parte em t = 0, de uma posição inicial xo, com uma
velocidade inicial vo. temos as condições iniciais
{
x(O)
dx(O) =dt vo.
Observação 3.4.1. A força da gravidade não aparece explicitamente
na equação diferencial (3.21): Isso se deve ao fato de medirmos a
distância em relação à posição de equilíbrio da mola, o que faz com-
pensar a força da gravidade.
Se quisermos explicitar a gravidade, basta medirmos a distância a
partir da extremidade inferior do comprimento natural da mola. Isso
implica que o movimento de uma mola vibrante pode ser represen-
tado por
~x a dx k F(t)
dt2 + m dt + mx = 9 + -:;;;:'
se a origem, x = 0, é o posto terminal da mola não distendida antes
de a massa m ser anexada.
102
-- ---~_. - -------_.,-------------------
3.4.2 Problemas de Flutuação
Ilustramos essa análise na Figura 3.23, onde temos um cilindro de
raio r e altura H em equilíbrio, com h unidades de altura submersa.
Assim, o equilíbrio é obtido quando a força de flutuação do líquido
deslocado é igual à força da gravidade que atua sobre o corpo.
Figura 3.2: Problema de Fluido
Em equllfbno
posiçáo de equilibrio
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-.;.1 . t"O, j. 11..-; I r_\' ••••
' .. 1 ,. I'
'F .' 1_"
~ ~ direção POSItiva -
< -o
Consideremos um corpo de massa m submerso parcial ou totalmente
em um Ifquido. de densidade p. Este corpo sofre a ação de duas
forças: uma força para baixo devido à gravidade e uma força contrária,
a qual é regida pelo Princípio de Arquimedes.
Princípio de Arquimedes: Um corpo mergulhado em um líquido
sofre a ação de uma força de flutuação, dirigida de baixo para cima,
igual ao peso do volume do líquido deslocado.
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• Em equilíbrio, o volume de água deslocada pelo cilindro é 1f'T2h,
que gera uma força de f1utução nr2hp que deve ser igual ao peso
do cilindro mg. Nesse caso, temos:
(3.22)
.•.. -,
• Quando o cilindro é deslocado de sua posição para cima com a
direção -x positiva, não há mais equilíbrio. A força para baixo,
negativa, sobre o cilindro permanece igual a mg, mas a força de
flutuação, positiva, reduz-se a 1fr2[h - x(t)]p. Então, da segunda
103
lei de Newton, segue que
Dessa última equação e de (3.22), obtemos:
Jlx 2m-2= -1rT X(t)pdt
ou ainda:
3.4.3 Problemas de Circuitos Elétricos (RLC)
o circuito elétrico na Figura 3.3 consiste em:
• uma resistência R em ohms,
• um capacitador C em farads,
• um indutor L em henries e
• uma força eletromotriz (fem) E(t) em volts.
. (3.23)
1
l_E]
R
Figura 3.3: Circuitos Elétricos RLC
A corrente que flui através do circuito é medida em amperes e a
carga q no capacitador é medida em coulombs.
.Um importante resultado, conhecido como Lei das tensões de Kirchoff,
nos diz que:
104
~.:;
\,P:
C'--
("
"c:
\.(::',
- C',
~c.
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C
-"'C_-
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-.J,::,.'
~~"
"(/"
..L
Lei de Kirchhoff: A soma algébrica das quedas de tensão em um
circuito elétrico fechado simples é zero.
Sendo E = E(t) a força eletromotriz, I = I(t) a intensidade de cor-
rente elétrica, e q a carga no capacito r, da teoria de Eletricidade,
temos:
• As quedas de tensão através de um resistor são dadas por:
RI.
• As quedas de tensão através de um capacitor são dadas por:
(ljC)q.
• As quedas de tensão através de um indutor são dadas por:
L(dtjdt).
• A queda de tensão através de uma força eletromotriz é:
-E(t).
Assim, pela lei 'das tensões de Kirchhoff, temos
(3,24)
C'
"'()
~
C~.
(
t. .~.,
.,,:,;- -
..-..a
l%,<> ,
'lo
A relação entre q e I é
1= dq dI cf2q
dt Dt dt2'
De (3.25) em (3.24), obtemos:
cf2q Rdq 1 1
dt2 + L dt + LCq = LE(t).
As condições iniciais impostas' a q são
{
q(O) = qo
q'(O) = 1(0) = lo
(3.25)
(3.26)
105
Derivando a equação (3.24) em relação a t e substituindo (3.25), en-
contramos uma equação diferencial para a corrente dada por:
ePf Rdf 1 f_I dE(t)
dt2 + L dt + LO - L~.
Com relação a essa equação diferencial, temos:
• A primeira condição inicial é 1(0) = lo.
(3.27)
• A segunda condição inicial se obtém da equação (3.24), resolvendo-
a em relaçãoa ~~e fazendo t = o:
1'(0) = ~E(O) - R lo __ 1 qo.
L L LO
Pode-se obter uma expressão para a corrente, seja resolvendo direta-
mente a equação (3.27), seja resolvendo a equação (3.26) em relação
à carga e diferenciando então a expressão resultante.
Finalizando essa seção, note que os três modelos apresentados
aqui (cordas vibrantes, corpos em flutuação e circuitos elétricos sim-
pies) são todos regidos por equações diferenciais lineares de segunda
ordem com coeficientes constantes:
ePx dx.
dt2 + aI dt + aox= f(t).
~ Em problemas de cordas vibrantes definidos pela equação (3.21),
temos:
a . k F(t)
aI = -, ao = - e f(t) = -.
m m m
~ Para problemas de flutuação definidos pela equação (3.23), temos:
2 PaI = O, ao = 1rr --- e f(t) == o.
TO,
~ Para problemas de circuitos elétricos, a variável independente x
é substituída, seja por q na equação (3.26), seja por I na equação
(3.27).
106
r,
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>-
"':-7-
5.
tf:
"'=:;0-,
{
...,..;0'
\
3.5 Exercícios
1. Resolva a equações diferenciais dadas pelo Método dos Coefi~
cientes a Determinar
(a) y" - 3y' + 2y = 1
(b) y" - 5y' + 6y = 9
(c) y" - lOy' + 25y = 2x
(d) y" + y' - 6y = 30x - 1
(e) y" - y' + i y = 3+ e ~
(f) y" + 4y = 3sen2x
(9) y" - 9y = 24e3x
(h) y" - 8y' + 7 = 3e2x
(i) y" + 2y' + y = senx + 3 COS2.T
O) y"- 2'y'+ 5y = eX cos 2x
(k) ylll - 2y" - 4y' + 8y = 6xe2x
(I) y'" - 3y" + 3y' - y = x - 4eX
(m) ylll - y" - 4y' + 4y = 5 - eX + e2x
2. Resolva cada equação diferencial pelo Método da Variação dos
Parâmetros.
(a) y" + y = secx
(b) y" + y = cos2 X
(c) y" - 4y = e~
(d) y" + 3y' + 2y = sen eX
(e) ylll - 6y" = x2
3. Usando o Método dos Coeficientes a Determinar, determine a
solução geral da equação diferencial dada:
(a) y'" - 3y' - 2y = eX(1 + x).
107
(b) y" + y = COSX. COS 2x
(c) y" + y' - 6y = senx + xe2x
4. Resolva os seguintes problemas de valores iniciais.
ylll + 4y' = x
y(O) = O, y'(O) = O, y"(O) = 1
y(3) + 4y' = t
(b) y(O) = y'(O) = O
y"(O) = 1
108
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"t. ,
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i, _
.~.
3.5.1 Algumas respostas
Questão 1
(f) y = C} cos 2x + C2sen2x - ~.xcos 2x
(i) y = C}e-X + C2xe-x - ~ cos x + ~;sen2x - i5 COS 2x
ü) y = C} eXcos 2x + c2e sen2x + ~xe'/;sen2x
Questão 2
(a) y = C} cos ~ +C2senx + xsenx
(b) y = C} cosx + C2senx + ~- icos 2x; (-00,00)
Questão 3
(b) yp(X) = - /6 cos 3x + ~senx
(c) yp(x) = - 5~(COSX + 7sen.r) + (~- i)xe5
2X
109
Questão 4
(a) y(x) = 136(1 - cos2x) + ~X2;
(b) y(x) = 136(1- cos2x) + ~2
110
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I
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L
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..2:;.;.
~~;~~
3.6 Referências Bibliográficas
( www.mat.uel.br/matessenciallsuperior/edoledo.htm)
( www.somatematica.com.brlsuperior/equacoesdif/eq2.php)
( www.mat.ufmg.br/regi/eqdif/iedo.pdf)
ABUNAHMAN, s.: Equações Diferencias. Rio de Janeiro. EDC Edi-
tora. 1989.
BOYCE, W.E. e DIPRIMA, RC.: Equações diferenciais elementares
e problemas de valores de contorno. LTC Editora. 1994.
BRONSON, R: Equações diferenciais. São Paulo. Makron Books .
1994.
ZILL, D.G.:Equações diferenciais, vol. 1. São Paulo. Pearson Makron
Books. 2001.
111
'"I.
I ..
1 .
I
Resumo
Esta unidade é dedicada ao estudo das Equações
Diferenciais com Coeficientes Variáveis.
Iniciamos essa unidade apresenlando as equações
de Cauchy-Euler. Em seguida, introduzimos um
método de solução para as equações diferenciais de
segunda ordem, conhecido como Método das Séries
de Potência.
.""':SLJrriârio 'a~'Unidade
I
I .
UNIDADE 4. Equações Diferenciais com Coeficientes
Variáveis
4.1 Equações de Cauchy-Euler 115
4.1.1 Equação de Euler-Cauchy Geral 122
4.1.2 Exercícios 124
Algumas respostas 125
4.2 Resolução de Equações Diferenciais em Séries de Potência
........................ : 126
4.2.1 Séries de Potências 126
4.2.2 Exercícios 130
Algumas respostas 137
4.2.3 Método de Frobenius 137
Exercícios 143
Algumas respostas 144
Referências' Bibliográficas 145
. E-:,.....,,~<r;
(".. ,
"'-..:"
(,
1>:.:
,-(~
(....'-.;.. ,.
C
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~
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(,<::.:
f"..:.(
'{': .
•... '..:..: .
Para incremen-
tar o estudo de
equações diferen-
ciais coeficientes
variáveis, acesse o
sítio IEDO.
4. Equações Diferenciais com
Coeficientes Variáveis
Nesta unidade trataremos das equações diferenciais com coeficientes
variáveis. Iniciaremos apresentando as equações de Euler-Cauchy.
.,
Em seguida, apresentaremos um métodode solução para as equações
diferenciais de segunda ordem, conhecido como Método das Séries
de Potência.
4.1 Equações de Euler-Cauchy
Definição 4.1.1. Chamamos de equação de Euler-Cauchy, ou equação
equidimensionãl, a qualquer equação diferencial da forma
onde an, an-l, ... :ao são constantes.
Esse tipo de equação diferencial é caracterizada por coincidir o grau
de cada coeficiente monomial com a ordem de derivação, isto é:
Estudaremos inicialmente a resolução da equação homogênea de se-
gunda ordem:
2 d2y dy
ax dx2 + bx dx + C!J = o.
115
Observação 4.1.1. O coeficiente de ~~ é zero para x = O. Assim,
para garantirmos que os resultados do Teorema 3. 1.2 possam ser apli-
cados à equação de Euler-Cauchy, devemos encontrar a solução geral
no intervalo (0,00). Soluções no intervalo (-00, O) podem ser obtidas
substituindo t = -x na equação diferencial.
Iniciaremos com a tentativa de uma solução da forma y = xk, em que
k deve ser determinado. Calculando a primeira e a segunda derivadas
de y, obtemos:
Logo, substituindo na equação diferencial:
ax2fl# + bx~ + cy ax2 x k(k - 1)xk-2 + bx X kXk-1 + cxk
- ak(k - l)xk + bkxk + cxk
xk(ak(k - 1) + bk + c).
Assim, y =xkserá uma solução para a equação diferencial quando k
for uma solução para a equação característica:
ak(k-1)+bk+c=0 ou ak2+(b-a)k+c=0. (4.1)
Temos as seguintes possibilidades quanto às raízes: reais e distintas,
reais e iguais, ou complexas conjugadas.
Caso 1. Raizes Reais e Distintas
Sejam k] e k2 as raízes reais de (4.1) com k1 =J k2. Então,
formam um conjunto fundamental de soluções, e a solução geral
é
(4.2)
Caso 2 Raizes Reais e Iguais
Se as raízes de (4.1) são iguais, isto é, k1 = k2, então obte-
mos somente uma solução, a saber, y = Xki. Neste caso, após
116
alguns procedimentos mate'máticos que não discutiremos aqui,
obtemos:
(4.3)
Para equações de ordem superior, se k1 for uma raiz de multipli-
cidade r, pode ser mostrado que
são r soluções linearmente independentes. A solução geral para
a equação diferencial conterá uma combinação linear dessas r
soluções,
Caso 3. Raízes Complexas Conjugadas
Se as raízes de (4.1) são complexas
k1 = p + iq, k2 = P - iq,
em que p e q > Osão reais, então uma solução é
Porém, assim como no caso de equações com coeficientes cons-
tantes, quando as raízes da equação característica são com-
plexas, vamos escrever a solução apenas com funções reais.
Usamos a identidade
a qual, pela fórmula de Euler, é o mesmo que
xiq = cos(q lnx) + isen(q lnx).
Analogamente, temos
_xiq = cos(qlnx) - isen(qlnx).
Somando e substituindoos dois últimos resultados, temos, res-
pectivamente,
xiq + x-iq = 2 cos(q lnx)
117
e
:riq - X-iq = 2isen(qlnx).
Como
é uma solução de ax2y" + bxy' + cy = O para qualquer valor das
constantes C1 e C2• vale que
ou
Yl = 2xP(cos(qlnx))
Y2 = 2ixP(sen(q In x))
são também soluções. Como
W(xPcos(qlnx), xPsen(qlnx)) = qx2p-1 -=I- O,
q > O. no intervalo (O, (0), concluímos que
Yl = xPcos(qlnx) e Y2 = xPsen(qlnx)
constitui um conjunto fundamental de soluções para a equação
diferencial. Portanto. a solução geral é
Y = xP[C1 cos(qlnx) + C2sen(qlnx)).
Exemplo 4.1.1. Resolva:
4x2y" + 4xy' - y = O.
Observe que, neste caso, a = 4, b = 4 e c = -1. Logo, da equação
(4.1), temos que a equação caraccaracterísticaterística é:
4k2 - 1 = O
As raízes dessa equação são k) = ~ e k2 = -;1.
Daí, a solução geral da equação de Euler-Cauchy é:
118
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o
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C,':
Exemplo 4.1.2. Resolva:
Observe que, neste caso, a = 1, b = 3 e c = O. Logo, da equação
(4.1), temos que a equação característica é:
k2 + 2k = O.
As raízes dessa equação são k1 = Oe k2 = - 2.
Daí, a solução geral da equação de Euler-Cauchy é:
Exemplo 4.1.3. Resolva:
Observe que, neste caso, a= 4, b = O e c = 1. Logo, pela a equação
(4.1), temos que a equação característica é:
4e + (-4)k + 1 = O.
As raízes dessa equação são k1 = ~e k2 = ~.
Daí, a solução geral da equação de Euler-Cauchy é:
Exemplo 4.1.4. Resolva:
Observe que, neste caso, a = 1, b = 1 e c = O. Logo, pela a equação
(4.1), temos que a equação característica é:
As raízes dessa equação são k1 =,O.
Daí, a solução geral da equação de Euler-G.auchy é:
o
119
Observação 4.1.2. Uma equação diferencial de Euler-Cauchy pode
ser reduzida a uma equação com coeficientes constantes por meio da
substituição x = é. Ilustraremos esse método no exemplo abaixo.
Exemplo 4.1.5. Vamos solucionar
Vamos resolver esta equação diferencial observando que a mudança
de variável x = et reduz a equação de Euler-Cauchy a uma equação
diferencial com coeficientes constantes. Vamos relacionar as derivadas
com respeito a x, com as derivadas com respeito a t. Assim:
dy dy dx dy
-x=--=-
dx dx dt dt'
d2y d (dY) . ~Y dx dy 2 ~y dy
.dt2 = dt dx x = X dx2 dt + x dx = X dx2 + dt e
3 (J2 ) 3 J2d y _ d 2 a-y dy _ 3 d y . 2 a~y dy
dt3 - dt x dx2 + x dx - X dx3 + 3x dx2 + X dx .
Portanto,
A equação característica dessa equação é:
r3 - 3r + 2 = (r - l)(r - l)(r + 2) = O.
Portanto, uma solução geral da equação diferencial (4.4) é:
Voltando à variável inicial, isto é, desfazendo a mudança da variável
x = é tomando t = lnlx/. obtemos uma solução geral da equação
diferencial dada:
o
120
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C.'
,
( .
I-.;.
Quando nos depararmos com uma equação de Euler-Cauchy não-
homogênea, podemos calcular YP aplicando o método da variação
dos parâmetros estudado na seção anterior. Porém, aqui, teremos
o cuidado de dividir toda a equação diferencial por xn, para deixar-
mos a equação na forma da aplicação do método, isto é, com an = 1
(se houver alguma dúvida, volte à unidade anterior e veja a condição
(3.13)).
Exemplo 4.1.6. Vamos determinar a solução geral da equação:
x3y//l + 3x2y" - 2xy' + 2y = 27x, x > O.'
Vimos no exemplo (4.1.5) que
é uma solução geral da equação diferencial homogênea associada:
Vamos procurar uma solução particular da equação.diferencial lJão-
homogênea usando o método da variação dos parâmetros:
Acrescentaremos as seguintes condições:
U~(X)X-2 + (u~(x) lnx + u~(x))x O
-2u~ (x)x-3 - 2u;(x)(ln x + 1) + u; o.
Portanto,
y~(x) u~(x)x-2 + (u;(x) lnx + u~(x))x - 2Ul(X)X-3 - u2(x)(ln x + 1)+ U3(X)
-2Ul(X)X-3 + u2(x)(lÍlx + 1) + U3(X).
y;(x) -2u~(X)X-3 - u;(x)(lnx + 1) + u~(x) + 6Ul(X)x-4 + U2(X)X-1
6Ul (X)X-4 + U2(X)X-1•
y;'(x) 6u~(X)X_4 + lL,;(X)X-1 - 24u](x)x-S - U2(X)X-2.
Como YP deve ser solução da equação não-homogênea, devemos ter:
121
Dividindo a última equação por x3, vemos que as derivadas dos coefi-
cientes de Ui (x) devem satisfazer
U~(X)X-2+u;(x)xlnx+oTu~(x) = O
-2u~(x)x-3 + u;(x)(ln x + 1) + u~(x) = O
6U~(X)X_4 + u;(x)x-l 27x-2
Resolvendo o sistema, obtemos
U~(x) = 3.1:2
11,; (x) g/x
11,' -3 _ glnx.
3 x x
Integrando cada uma das equações acima, segue que
UI (x) x3
U2(X) 91nx
11,3(X) -31nx - ~(lnx)2
Portanto, uma solução particular da equação diferencial é:
Yp(x) - Ul(X)X-2+u'2(x)xlnx+U3(X)X
x + 9x(lnx)2 - 3x lnx - ~x(lnx)2.
A solução geral é:
o
4.1.1 Equação de Euler-Cauchy Geral
Estudaremos agora a equação de Euler-Cauchy sob a forma:
onde a, ao, aI, 0,2, "0' an e b são constantes. Resolveremos a equação
reduzindo-a a uma equação diferencial linear com coeficientes cons-
tantes através da substituição ax + b = aet o
122
ou ainda,
Faremos a substituição
-lJ.
~y dy dy- - - + 2- - 2y = O
dtZ dt dt '
(4.5)
(4.6)
1 e kz = -2.
kZ + k - 2 = O.
Resolvendo essa quadrática, obtemos as raízes k1
Assim:
dZy dy
dtZ + dt - 2y = O,
a qual, por sua vez, é uma equação linear com coeficientes constantes
cuja equação característica é:
Voltando à variável inicial, observando que ei = x e e-Zi = x-z = ;2'
obtemos que a solução geral da equação diferencial dada é:
Cz
y = C1x+ 2'x
Exemplo 4.1.7. Consideremos a equação:
zdZy . dy
x d Z + 2x-d - 2y = O.x x
Derivando em relação a t, obtemos:
1 dt dt -I
1= e dx =? dx = e ,
dy dy dt _tdy
-=--=e -
dx dt dx dx'
Calculando a segunda derivada:
dZy = e-t á2y dt _ e-t dt dy = e-zt(dZy _ dy). (4.7)
dxz dtZ dx dx dt dtZ dt
De (4.5),(4.6) e (4.7) na equação diferencial dada, segue que
2t_2t(d2y dY)+21-tdy 2-0e e --- ee -- y-
dt2 dt' dt
donde:
f'
I.
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'C
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o
123
4.1.2 Exercícios
1. Encontre a solução geral de:
(a) x2y" - 4xy' + 6y = 2x4 + x2
(b) y" + 25y = 6senx
(c) y/ll - 5y" + 6y' = 8 + 2senx
(d) y" - y = x2ex + 5
(e) y" - 3y' + 2y = 5e3x, Yl (x) = eX
2. Resolva as equações diferenciais dadas:
(a) x2y" - 2y = O
(b) x2y" - y' = O
(c) x2y" + y' + 4y = O
(d) x2y" + 3xy' - 4y = O
(e) x2y" + 5xy' + 4y = O
(f) x2y" - 7xy' +41y = O
(g) 3x2y" + 6xy' + y = O
(h) (1 + X)3~ + 9(1 + X2)~ + 18(1 + x)~ + 6y = ln(l + x)
(i) (2x + 3)2::~+ (2x + 3)~ --!- y = O
ü) x2y" - xy' + y = 2x
(k) x3y'" - 6y = O
(I) x2y" + 9xy' - 20y = O
3. Encontre uma solução geral de:
(a) y" + 3y' + 2y = sen eX
(b) y(4) - 2y/ll + y" = eX+ 1
(c) x2y" + 9xy' - 20y = O
4. Considere a equação diferencial ay" + by' + (71 = éX, onde a, b,
c e k são constantes com a 1= o. A equação característica da
equação homogênea associada é ar2 + br + c = o.
124
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(
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(a) Se k não for raiz da equação característica, mostre que
podemos encontrar uma solução particular da forma Yp( x) =
A k:c d 4 - 1e ,on e J - ak2+bk+c
(b) Se k for uma raiz de multiplicidade um da equação carac-
terística, mostre que podemos encontrar umasolução par-
ticular da forma Yp(x) = Axéx, onde A = 2a~+b . Explique
como sabemos que k :f ;a
(c) S'e k for uma raiz de multiplicidade dois da equação carac-
terística, mostre que podemos encontrar uma solução par-
ticularda forma yp(x) = Ax2ekx, onde A = 2~'
4.1.3 Algumas respostas
Questão 1
(b) y(x) = K1 cos 5x + K2sen5x.+ 1senx
Questão 2
. 1+V3i 1-V3i(I) Y = C1 (2x + 3)-4- + C2(3x + 3)-4-
125
(m) y = X2(C1 cos(31nx) + C2sen(31nx)) + l~ + ?ox
Questão 3
(c) y(x) = x2( C1 cos(31n x) + C2sen(31n x)) + l~ + 130X
4.2 Resolução de Equações Diferenciais em
Séries de Potências
4.2.1 Séries de Potências
Apresentaremos nesta seção algumas definições e fatos básicos
sobre séries de potências. Essa breve revisão se faz necessária ao
desenvolvimento da próxima seção, onde trataremos sobre a
determinação de solução de equações diferenciais por séries de
potência.
Definição 4.2.1 (Definição de uma Série de Potência). Chamamos de
série de potência em x - a a uma série infinita na forma
Observação 4.2.1. Uma série como acima é também conhecida como
uma série de potências centrada em a.
Definição 4.2.2 (Convergência). Para um valor específico de x, dize-
mos que uma. série de potência é uma série de constantes. Se a série
é igual a uma constante real finita para x dado, então dizemos que a
série converge em x. Se a série não converge em x, dizemos que ela
é divergente em x.
126
(4.8)
"-. '.t.
;(
~.
Definição 4.2.3. O intervalo de convergência é o conjunto de todos
os números para os quais a série converge.
Todo intervQlo de convergência tem um raio de convergência R.
Dada uma série de potência 2::=0 Cn(x - a)n, temos as seguintes pos-
sibilidades:
(i) A série converge somente no seu centro a. Nesse caso, R = O.
(ii) A série converge para todo ponto que satisfaz Ix - 0.1 < R, em
que R > O.A série diverge para Ix - 0.1> R.
(iii) A série converge para todo x. Nesse caso, escrevemos R = 00.
A seguir apresentamos alguns fatos sobre convergência de séries de
potência. Para o que segue, observamos o seguinte
Ix - 0.1 < R q. a - R < x - a < R q. a - R < x < a + R.
.' Se uma série de potência converge para Ix-ai < R, emque R > O,ela
pode ou não convergir nos pontos extremos do intervalo
a - R < x < a + R. A seguir, apresentamos uma forma de
determinação do intervalo de convergência.
A convergência de uma série de potências pode ser determinada pelo
seguinte teste, conhecido como Teste da Razão:
Teste da Razão Suponha que Cn i- Opara todo n E N e existe o limite
lim ICn + 11 = L.
n->oo. Cn
Temos:
• Se L < 1, a série é convergente
• se L > 1, a série 'diverge;
• se L = 1, nada podemos concluir.
Por esse teste, podemos notar que o raio de convergência é dado por:
R = lim ICn + 1 \ .
n-oc \ Cn .
127
.' .,
As séries de potência podem ser úteis na representação de uma função
f(x), como vemos abaixo:
00
f(x) =L en(x - at = Co +Cl(X - 0.)2 +C3(X - 0.)3 +...,
n=O
tal que o domínio de f é o intervalo de convergência da série.
Se a série tiver raio de convergência R > O,então a função f será
contínua, diferenciável e integrável no intervalo (a - R, a + R). A
derivada e a integral de f (x) é calculada através do cálculo termo
a termo da série como ilustramos abaixo:
00L nen(x - at-1.
n=l
e
J f(x)dx c+eo(x - a) +Cl_(x_~a_)2+C2(X - 0.)33 +...
00 (x _ a)n+'l
C+I>n---
n=O n + 1
Observação 4.2.2. Embora o raio de convergência dessas duas séries
seja R, o intervalo de convergência pode ser diferente. Isto significa
que podemos não obter a convergência em um ponto extremo na
derivação termo a termo e podemos obter convergência em um ponto
extremo na integração termo a termo.
A seguir apresentamos dois resultados básicos: um sobre funções
identicamente nulas e outro sobre séries absolutamente convergentes.
As provas podem ser encontradas em livros de Cálculo Diferencial e
Integral e de Análise Matemática.
Teorema 4.2.4. Toda série de potênCia converge absolutamente no
seu intervalo de convergência, isto é, se x pertence ao intervalo de
convergência, a série de valores absolutos 2::~=0lenll(x - a)nl con-
verge.
Teorema 4.2.5. Se 2:::'0 cn(x-a)n = 0, R> Opara todo x no intervalo
de convergência, então C-n = O para todo n.
128
A seguir apresentamos a definição de um importante tipo de funçãoo
Definição 4.2.6 (Analiticidade de
o
função). Dizemos que uma função
f é analítica em.. um ponto a quando f pode ser representada por uma
série de potência em (x - a) com R > o.
Podemos realizar as seguintes operações entre séries de potências:
adição, multiplicação e divisão. Os procedimentos para realização
dessas operações são similares à maneira pela qual somamos, multi-
plicamos e dividimos dois polinômios. Assim, se
00 00
f(x) = L Cnxn e g(x) = L bnxn
n=O n=O
forem ambas convergentes para Ixl < R, então
f(x) + g(x)
f(x) . g(x)
00
L(Cn + bn)xn
n=O
eobl + (eobj + clbo)x + (eob2 + clb1 + C2bO)x2+ ...
Exemplo 4.2.1. Vamos determinar os quatros primeiros termos da
série de potência em x para eX cos x.
Primeiramente vamos encontrar as séries de Maclaurin para eX ecos x.
Sabemos que eX possui todas as derivadas iguais à própria função.
Além disso, como eO = 1, temos que a série de Maclaurin é:
x2 x3 x4
eX = 1+ x + - + - + - + ...
2 6 24
Já a função f(x) = cos x é tal que J'(x) = -senx, J"(x) = - cosx,
J"'(x) = senx, f(IV) = cosx, donde as demais derivadas são deter-
minadas segundo essa periodicidade. Assim, a série de Maclaurin é
dada por:
x2 x4
COS X = 1 - - + - ~ ...
2 24
Agora, vamos determinar a série de potência que representa eX cos x
multiplicando termo a termo e agrupando os termos de mesma potência:
e cosx
129
o intervalo de convergência das séries de Maclaurin das funções eX e
cosx é (-00, (0). Consequentemente, o intervalo de convergência da
série de potência para eX cosx é também (-oc, (0). O
4.2.2 Solução em Séries de Potência
(Pontos Ordinários)
Nesta seção, apresentaremos o método de determinação de solução
em torno de pontos ordinários de equações diferenciais lineares de
segunda ordem
que podem ser escritos na forma:
y" + P(x)y' + Q(x)y = o.
Precisamos inicialmente da seguinte definição:
(4.9)
(4.10)
Definição 4.2.7. Dizemos que um ponto Xa é um ponto ordinário ou
não-singular da equação diferencial (4.9) se P(x) e Q(x) são funções
analíticas em Xa. Chamamos de ponto singular da equação aos pon-
tos que não são ordinários.
Exemplo 4.2.2. x = Oé um ponto ordinário da equação diferencial
y" + y = ü.
De fato, observe que P(x) = O e Q(x) = 1 são funções constantes,
logo são sempre analíticos. Portanto, todo ponto x E. IR é ponto or-
dinário, em particular, x = O também o é.
Exemplo 4.2.3. Todoponto x é um ponto ordinário da equação
y" + (cosx)y' + (e:")y = O.
Observemos o caso particular, para ~r= o. Temos que
x2 x4 x x2
cos X = 1 - - + - -- ... e eX = 1+ I" + I + ...
2 24 1. 2.
convergem para todo x E R. o
130
'..f':~
('
~
c
"'c"
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C-.
\~
C'
Exemplo 4.2.4. x = Oé um ponto ordinário da equação diferencial
" senx Oy +--y= .
x
Dividindo toda a equação por 3x2, obtemos:
3x2y" + 5x(x + 2)y' - 4y = O.
P( ) = 5x(x + 2) Q() = _~X 3x2 e x 3x2'
o
(4.11 )
00
y = LCn(x - xot.
n=O
Teorema 4.2.8. Seja x = Xo um ponto ordinário da equação diferen-
ciaI (4.10). Sempre é possível encontrar duas soluções linearmente
independentes na forma de série de potência centrada em xo:
A série converge para a solução no intervalo (xo - R, Xo + R), onde R
é a distância de Xo ao ponto singular mais próximo (real ou complexo).
Em seguida. apresentamos um resultado de existência de soluções
por séries de potência.
Basta observar que a função Q(x) = se;x temsua representação em
série de potência dada por (exercício):
Como os denominadores de ambas as funções se anulam. em x = O,
temos que nenhuma das funções é analítica em x = O. Logo, x = O
não é um ponto ordinário, mas sim um ponto singular.
Exemplo 4.2.5. Vamos verificar se x = Oé ponto ordinário da equação
diferencial:
a qual converge para todos os valores de x.
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~~'):'
.-.9'
t,
"(
r<..
'-.:-
",(
Através do método das séries de potência, encontramos duas
sequências de coeficiente Cn para obtermos duas séries de potência
Yl(X) e Y2(X) distintas e em torno do mesmo ponto ordinário Xo. Para
131
1: .-
,/,0_,
determinarmos estas séries, supomos uma solução na forma de série
de potência
00
y = L cn(:r - xot,
n=O
calculamos os coeficientes e, por fim, a solução geral para a equação
diferencial (4.9) é:
Observação 4.2.3. Para efeito de simplificação na resolução dos exem-
plos a seguir, apresentamos as duas primeiras derivadas de
+00
Y = LcnXn:
n=O
+00
y' L ncnxn-1 ,
n=O
+00
y" = L n(n - 1)cnxn-2.
n=O
Exemplo 4.2.6. Vamos determinar a solução geral da equação
y" - xy' + 2y = o.
(4.12)
Primeiramente, x = O é um ponto ordinário dessa equação. Agora,
vamos usar (4.12) e substitui-Ias na equação diferencial:
+00 +00 +00L n(n - 1)cnxn-2 - x L ~Cnxn-l + 2L cnxn = O.
n=O n=O n=O
Desenvolvendo e combinando os termos com as mesmas potências
de x, obtemos:
(2C2 + 2eo) + (6C3 + Cl)X + (12c4)X2 + (20C5 - C3)X3 + ... +
+[(n + 2)(n + 1)Cn+2 - nCn + 20n1 + =
= O + O . x + O ... x2 + ... + O . xn + ;
a qual implica em
2C2 + 2co = O
6C3 + C1 O
12c4 O
20C5 - C::l O
132
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C:'-.:.:.
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O
O
O
O
6C3 + Cl
12c4 + C2 - ~co
20cs + C3 - ~Cj
Y" + (cosx)y = O.
2 13 1 S 1 i
Yl = Co(l- x ) e Y2= Cl (x - -x - -x - --x _ ... ).
6 120 1680
y" + (cos x) y
o
y Co + CIX - Cox2 - ~CIX3 - 1~OC1XS - 16~OC1X7
rA(l- x2) +Cl(X _lx3 __ 1 XS __ 1_X7 _ ... )c-v 6 120 1680 .
Como devemos ter a última linha identicamente nula, geramos as
equações
mos
e assim por diante. Obtemos então:
111
C2 = -Co, C3 = -6C1, C4 = O, Cs = -120C1, ctl = O, Ci= -1680Cj,'"
Levando estes resultados na expressão de y, obtemos:
Substituindo Y e a segunda derivada de Yna equação diferencial, obte-
C 1 x2 x4 x6 to' tomo cosx = - 2f + 4T - 6T + ..., emos que x = e um pono
ordinário.
Supomos que
Assim,
Exemplo 4.2.7. Através de séries de potência, vamos determinar a
solução da equação diferencial
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Y' ..
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133
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e assim por diante. Como Co e Cl são arbitrárias, encontramos
[1
214] [1315]Yl (x) = Co 1 - "2 x + 12x -... e Y2 (x) = Cl X - ti ~ + 30 x -... .
O
Observação 4.2.4. Quando desejamos obter uma solução na
vizinhança de umponto ordinário xoi O, podemos simplificar a equação
transladando Xo para a origem mediante. a mudança de variável
t = x - Xo. Obtemos assim a solução da nova equação diferencial
resultante pelo método das séries de potência na vizinhança de t = O.
Finalmente, para determinarmos a solução da equação original faze-
mos uma retrossubstituição.
Consideremos agora equações diferenciais de segunda ordem não-
homogêneas:
Se a2 i O, podemos dividir a equação (4.13) por a2, e daí obter
Y" + P(x)y' + Q(x)y = cP(x).
(4.13)
(4.14)
Estudaremos a solução através do método da série de potências na
vizinhança da origem.
Se cP(x) em (4.14) é uma função analítica em x = O, então cPadmite
um desenvolvimento em série de potência na vizinhança desse ponto
e o Método das Séries de Potências pode ser usado para determinar
a solução de (4.13).
Exemplo 4.2.8. Vamos determinar a solução da equação
(x2 + 4)y" + xy = x + 2.
Primeiramente devemos observar se x = O é um ponto ordinário.
Como P(x) = O é constante, o denominador de Q(x) = x2':4 e de
</J(x) = x~:24 não se anulam em x = 0, concluimos que x = O é um
ponto ordinário. Substituindo as derivadas de primeira e segunda or-
dens de y na equação diferencial dada, obtemos:
00 00
(x2 + 4)L n(n - 1)cnxn-2 + xL cnx" = x + 2.
n=2 n=O
134
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Equivalentemente:
(8C2) + (24c3 + co)x + (2C2 + 48c4 + cdx2 + (6C3 + 80cs + C2)X3+
., . + (n(n - 1)Cn + 4(n + 2)(n + 1)Cn+2+ Cn+dxn + ., .=
= 2 + 1 . x + O . x2 + O . x3 + ....
Igualando os coeficientes de potências semelhantes de x, vem.'
Levando estes resultados na expressão de y e organizando a equação,
obtemos:
o
4.2.3 Exercícios
1. Mostre que, para n inteiro positivo, uma solução na vizinhança
de x = O, da equação de legendre
(1 - X2)y" - 2xy' + n(n + 1}y = O
é um polinômio de grau n..
2, Verifique se x = O é um ponto ordinário das equações:
(a) (x + 1)y!' + ~y' + xy = O
(b) x3y" + y = O
(c) y" - 2xy' - 2y = O
(d) 3(x2 + 1)y" + lOxy' = O
(e) y" = .TY
(f) eXy" + (senx )y' + xy = O
3, Verifique se x = 1 é ponto ordinário das equações:
(a) y" + 3y' + 2xy = O
135
(b) y" - xy = o
(c) y" + 5(x - l)y' = X2 - 7x
4. Resolva, através do método das séries de potência em torno do
ponto ordinário x = O,as seguintes equações diferenciais:
(a) y" - xy = O
(b) y" - 2xy' - 2y = O
(c) y" - x2y' - Y = O
(d) y" - (x + 1) y' - Y = O
(e) (x - 1) y" + y' = O
(f) (x2 + 2)y" + 3xy' - y = O
5. Resolva, através do método das séries de potência em torno do
ponto ordinário x = O,as seguintes equações diferenciais:
(a) (1-x2)y"-2xy' +2y = O(denominada equação de Legendre
de ordem 1)
(b) (1-x?y"-2xy' +h = O(denominada equação de Legendre
de ordem ~)
(c) (l-x?y"-xy' +4y = O(denominada equação de Chebichev
de ordem 2)
(d) y" - 2xy' + 2ry = O,r E IR constante (denominada equação
de Hermite)
6. Resolva as seguintes equações não-homogêneas, através do
método das séries de potência em torno do ponto ordinário
x = O.
(a) y" - XVi = e-X
(b) y" - xy = 1
(c) (x2 + 4)y" + y = x
(d) y" - 4xy' - 4y = eX
136
If'~"
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>.(:>
j>
(
.....c Algumas respostas
:._( , Questão 2 (a) Singular; (c) ordinário; (e) ordinário.
Questão 3 (a) àrdinário; (b) singular.
Questão 4
4.2.4 Método de Frobenius
eCo[1 + -3~-2X3+ -6-' 5-~-3-.-2x6+ ... ]
) [
14 1'7 ]Y2(X = Cl X + -x + ,x + ...4.3 7.6.4.3
Questão 6
(c) Y = ((1/24)x3 - (7/1920)x5 + ... )+co (1 - (1/8)x2 + (l/128)x4 + ... )+
Cl (x - (1/24)x3 + (7 /1920)x5. + ... )
J,:c.
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Estudaremos nessa subseção o método das séries de potência em
torno de pontos singulares regulares, conhecido como Método de
Frobenius.
Antes de apresentarmos o método que intitula esta subseção, pre-
cisamos da seguinte definição:
Definição 4.2.9 (Ponto singular). Chamamos de ponto singular regu-
lar da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y" + P(x)y + Q(y) = O a todo ponto Xo que não é ponto ordinário,
mas as funções (x - xo)P(x) e (x - XO)2Q(X) são analíticas em Xo.
Como comentado na subseção anterior para pontos ordinários,
quandoo ponto singular Xa não for zero, podemos fazer a substituição
t = x - Xo transladando Xa para a origem. Assim, para efeito de
simplificação e sem perda de generalidade. consideraremos apenas
pontos singulares em Xa = O.
C.'
137
'C"
Abaixo, apresentamos um resultado sobre a existência de solução das
equações diferenciais y" + P(x)y + Q(y) = Oquando x = Oé um ponto
singular regular da mesma.
Teorema 4.2.10 (Existência de solução: Frobenius). Se x = O é um
ponto singular da equação diferencial
y" + P(x)y + Q(y) = O,
então a equação (4.15) tem ao menos uma solução da forma
+00
Y = LCnxn+>.,
n=O
(4.15)
onde À e Cn (n = O, 1,2,' .. ) são constantes. Essa solução é válida em
um intervalo (O, R), para algum número real R.
o método de Frobenius tem procedimento similar ao método das
séries de potência (seção anterior), isto é:
• Substituimos a série
+00
Y = LCnxn+>.,
n=O
a derivada de primeira ordem de (4.16):
+00
y' = L(n -t À)cnXn+>'-l,
n=O
e a derivada de segunda ordem de (4.16)
+00
y" = L(n + À)(n + À - 1)cnxn+>.-2
n=O
na equação diferencial (4.15).
(4.16)
(4.17)
(4.18)
• Reorganizamos a equação algébrica obtida, agrupando os ter-
mos de potências semelhantes de x.
• Igualando o termo independente a zero e deixando Co arbitrário,
encontramos uma equação quadrática em À, a qual chamamos
de equação indiciai. A natureza das raizes indicará a solução
geral da equação diferencial (4.15) como estudaremos a seguir.
138
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As duas raízes da equação indiciai podem ser reais ou complexas. No
caso de serem complexas, sabemos que elas são pares conjugados
os quais, usando as relações de Euler e a equação Xa::l:ib= xae::l:iblnx,
podem ser combinadas de modo a formar soluções reais; no caso de
serem reais, destacamos os casos abaixo.
Suponhamos que ..\1 e ..\2 sejam raízes reais da equação indiciai e
que ),1 ~ ),2, O Método de Frobenius sempre dá uma solução para a
equação diferencial (4.15) da forma
+00
Y1 =LCnxn+À1 .
n=O
Para determinarmos uma solução geral para (4.15), precisamos de
uma segunda solução Y2(X) linearmente independente de Y1(X). Para
encontrarmos essa segunda solução, devemos conhecer a natureza
das raízes da equação indiciaI.
Caso 1. A diferença À1 - À2 não é um inteiro.
Nesse caso,
+00
Y2(X) = L cnxn+À2.
n=O
Caso 2. A diferença ),1 - À2 é um inteiro positivo.
Nesse ca$O,
+00
Y2(X) = CY1(x)lnx+ Lbnxn+>'2.
n=O
Caso 3. As raízes ),1 e ),2 são iguais.
Nesse caso,
+00
Y2(x)=Y1(x)lnx+ Lbnxn+Àl.
n=O
Exemplo 4.2.9. Consideremos a equação diferencial:
Vamos primeiramente mostrar que x = O é um ponto singular dessa
equação.
139
Dividindo toda a equação por x2, obtemos:
x 1 x 1
P(x) = 2x2 = 2x e Q(x) = x2 = ;;.
Como nenhuma dessas funções é definida em x = O (fogo x = O é um
ponto singular) e, além disso,
1
xP(x) = 2 e x2Q(x) = x
são ambas analíticas em qualquer ponto (a primeira é constante e
a segunda é um polinômio), temos que x = O é um ponto singular
regular. Agora, através do método de Frobenius, vamos resolver a
equação diferencial dada.
Procuremos as soluções na forma (4.16), levando (4.16), (4.17) e
(4.18) na equação diferencial dada:
x2y"(x) +- iy'(x) - xy(x) = O,
a qual implica que
+00 +00 +- À +00
2)n +- À)(n +- À - 1)CnxnH +- L TCnxn+À +- L CnxnH+l = O.
n=O n=O n=O
Arrumando essa equação, obtemos:
(À(À -1) +~)CoXA+~ [(nH)(n + À -1) + n; À - C~-l]xncA ~ o.
Igualando a zero os coeficientes dos termos da expressão acima,
obtemos:
(n +- À)(n +- À - 1)cn - Cn-1
O
o.
(4.19)
As raízes da equação indiciaI são À1 = O e À2 = ~. Logo, À1 - À2 = ~.
Assim, substituindo À1 = O na segunda equação do sistema acima,
após algumas simplificações matemáticas, encontramos
Cn-1 Cn-2 Co
Cn = ---- = ----------- = '" = - _
n(n - 1/2) n(n - 1/2)(n - l)(n - 3/2) n!(1/2)(3/2) ... (k - 1/2)'
Logo, tomando Co = 1, obtemos uma solução dada por
+00 2nxn
Yl (x) = 1 +- '" I ( .L ri: 1 . 3 . 5. 2n- J)
n=l
140
bo
(1/2)[(3/2)(5/2) ... (n - 1/2)j2(n + 1/2)' ..
Substituindo ).2 = ~em (4.19), obtemos:
b = b,,-l
" (n + 1/2)(n - 1/2)
Portanto, a outra solução é:
1 [+00 22"xn ]Y2 (x) = X 2 1+ .f; [1.3.5 ... (2k - 1)j2(2k + 1)
o
Exemplo 4.2.10. Consideremos a equação diferencial
8x2y" + lOxy' + (x - l)y = O.
Vamos primeiramente mostrar que x = O é um ponto singular da
equação diferencial.
Dividindo toda a equação por 8x2, obtemos:
lOx 5 x-I
P(x) = -.- = - e Q(x) = -.
2x2 4x 8x2
Como nenhuma dessas funções é definida em x = O, (/ogo x = O é
um ponto singular) e, além disso,
5 x-I
xP(x) = 4 e x2Q(x) = -S-
são ambas analíticas em qualqu~r ponto (a primeira é constante e a
segunda é um polinômio), temos que x = O é um ponto singular regu-
lar.
Procuremos as soluções na forma (4.16), levando (4.16), (4.17) e
(4.18) na equação diferencial dada:
+00 +00 +00
Sx2 L(n+À)(n+\-I)Cnxn+>'-2+lOx L(n+).)Cnxn+>.-l+(x-l) L CnxnH. = O.
n=O ,,=0 n=O
Organizando a equação e dividindo tudo por x>', obtemos:
(S).2 + 2). -1)co + (8().2 + 18), + 9)Cl + c-o)x + ... +
+ [(S()' + nf + 2(). + n) - l)cn + Cn-l] xn + ... = O.
Igualando a zero os coeficientes dos termos da expressão acima,
obtemos:
8,)..2 + 2,)" - 1 = O
(4(). + n) - 1)(2(). + n) + l)cll + Cn-l = O.
141
A primeira igualdade nos dá a equação indiciaI. A segunda pode ser
ainda escrita como:
-1
cn = (4(,\ + n) - 1)(2(,\ + n) + 1)cn-l. (4.20)
As raízes da equação indiciaI são'\1 = ~e'\2 = -~. Portanto, '\1-'\2 =
~. Assim, levando o valor de '\1 à equação (4.20), obtemos:
-1
cn = 2n(4n+3)cn-1(n 21).
Logo,
Y1(X) = CoX1/4 (1- l~x + 6~6x2 + ... ) .
Agora, substituindo '\2 = -~ em (4.20), aquela equação nos dá a
segunda solução:
_1 ( 1 1 2 )Y2(X) = Cox 2 1- -x + -x + ...2 40 .
A solução geral é dada por: y-C1Yl(X)+C2Y2(X). Deixo como exercício
a substituição nessa última equação das soluções Y1 e Y2 encontradas.
O
142
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4.2.5 Exercícios
1. Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais: .'
(a) 2x2y''r - xy' + (1 - x)y = O
(b) 4x2y" + 4xy - y = O
(c) x(x - 2)y" + y' - 2y = O
(d) 4xy" + ~y' + y = O
(e) y" + ~y' - 2y = O
(f) x2y" - 6xy' = O
(g) xy" + y = O
(h) x2y" + xy' + (x2 - ~)y =:= O (denominada equação de Bessel
de ordem p =3/2)
143
." .
4.2.6 Algumas respostas
Questão 1
(a) YI = Cox(1 + (1/3)x + (1/30)x2 +(1/630)x3 + ... ) e
Y2 = cox~ (1 + x + (1/6)x2 + (1/90)x3 + ... )
I I
(b) Yl(X) = C1X2 + C2X-2
(d) y(x) = C1x7/8 [1 - 125X + 23212So2x2 - 312flS_3!x3 + .. -] +
+C2 [1 - 2x_ - ~_~X2 - 1/:3!X3 + .-.]
(h) () i! [1 (-l)nxn ]
Yl X X2 + n!2n(1+(3/2))(2+(3/2))'--(n+(3/2)) -e
_i! [ (-I)nxn ]
Y2(X) = X 2 1+ n!2n(1 + (-3/2))(2 + (-3/2)). _.(n + (-3/2)) .
144
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l.
4.3 Referências Bibliográficas
( www.interaula.com/matweb/superior/edo/edoeuler.htm )
( www.mat.uel.br/matessencial/superior/edo/edo.htm)
( www.mat.ufmg.br/regi/eqdif/iedo.pdf )
ABUNAHMAN, s.: Equações Diferencias. Rio de Janeiro. EDC Edi-
tora. 1989.
BOYCE, W.E. e DIPRIMA, R.C.: Equações diferenciais elementares e
problemas de valores de contorno. LTC Editora. 1994.
BRONSON, R.: Equações diferenciais. São Paulo. Makron Books.
1994.
ZILL, D.G.:Equações diferenciais, vol. 1. São Paulo. Pearson Makron
Books. 2001.
145
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	00000002
	00000003
	00000004
	00000005
	00000006
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	00000079
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	00000081
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	00000083
	00000084
	00000085
	00000086
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	00000088
	00000089
	00000090
	00000091
	00000092
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