ESTIMAÇÃO

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1
ESTIMAÇÃO
Parâmetros: são as quantidades da população, 
em geral desconhecidas, sobre as quais existe 
interesse. 
Notação: em geral, uso de letras gregas.
Estatística: é qualquer função das observações 
em uma amostra aleatória.
Distribuição amostral: é a distribuição de 
probabilidades de uma estatística.
Estimador: é o valor numérico de uma estatística 
amostral que representa o parâmetro, isto é, é uma 
combinação dos valores correspondentes aos 
elementos da amostra, construída para representar ou 
estimar um parâmetro de interesse na população. 
Notação: em geral utilizam-se letras gregas com acento 
circunflexo.
Estimador Não Viciado ou Não Tendencioso:
é um estimador que não tende a superestimar ou 
subestimar o valor do parâmetro, isto é, seu valor 
esperado coincide com o parâmetro de interesse.
Estimador não tendencioso de variância mínima 
(ENTVM): é o estimador com a menor variância se forem 
considerados todos os estimadores não tendenciosos de 
um parâmetro.
Estimador Consistente: é um estimador que à medida 
que o tamanho da amostra aumenta, seu valor esperado 
converge para o parâmetro de interesse e sua variância 
converge para zero.
Dados dois estimadores e não viciados para um
parâmetro , dizemos que é mais eficiente que
se V( ) < V( ).
Estimativa por Ponto: consiste em uma única estatística 
amostral que é usada para calcular o valor real de um 
parâmetro da população.
1
ˆ 2ˆ

1
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
1
ˆ
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2
Erro padrão de um estimador: é o seu desvio 
padrão. Se o erro padrão envolver parâmetros 
desconhecidos que possam ser estimados, 
então as substituições daqueles valores irão 
produzir o erro padrão estimado.
Erro quadrático médio de um estimador
do parâmetro :
EQM( ) = E( – )2 = V( ) + (tendência)2ˆ ˆ
ˆ
ˆ
Estimativa por Intervalo: é construído a partir da 
distribuição das amostras da estimativa pontual. O 
intervalo construído terá uma determinada confiança 
ou probabilidade de conter o verdadeiro valor do 
parâmetro da população. É comum que se refiram à
semiamplitude do intervalo como erro envolvido na 
estimação ou precisão do estimador. O número 
tabelado usado na construção do intervalo de 
confiança é obtido de uma tabela da distribuição de 
probabilidades da estimativa pontual, levando-se em 
conta a confiança desejada no intervalo e, quando 
pertinente, o tamanho da amostra.
Intervalo de Confiança para a média com 
variância populacional conhecida
População infinita: I.C. =
População finita: I.C. =
Com n = tamanho da amostra
N = tamanho da população





n
zX 









1N
nN
n
zX 
3
Exemplo (MAGALHÃES; LIMA, 2009, p. 247):
Um provedor de acesso à Internet está monitorando a 
duração do tempo das conexões de seus clientes, com o 
objetivo de dimensionar seus equipamentos. São 
desconhecidas a média e a distribuição de probabilidade 
desse tempo, mas o desvio padrão, por analogia a outros 
serviços, é considerado igual a minutos.Uma amostra 
de 500 conexões resultou num valor médio observado de 
25 minutos. O que dizer da verdadeira média, com 
confiança de 92%?
Confiança = 92% → z = 1,7507
500;50;25  nX 
   55,25;45,2455,025
500
507507,125.. 












n
zXCI 
50
Intervalo de Confiança para a média com 
variância populacional desconhecida
População infinita: I.C. =
População finita: I.C. =
Estas fórmulas são válidas se:
X ~ N ou se n ≥ 30






  n
stX n 1








  11 N
nN
n
stX n
Exemplo (MAGALHÃES; LIMA, 2009, p. 301 modificado):
A resistência à ruptura em cabos de aço é
considerada uma variável Normal, com média e 
variância dependendo de outros fatores. Uma 
amostra de 12 cabos produzidos por uma 
empresa são levados a teste para indicar se eles 
podem ser usados na construção de uma ponte. 
Cada cabo para ser usado precisa ter carga 
média de ruptura de no mínimo 2500 kgf.
Os resultados foram: 2518 ; 2492 ; 2450 ; 2535 ; 
2547 ; 2486 ; 2455 ; 2499 ; 2522 ; 2505 ; 2469 ; 
2440 
a) Determine um intervalo com 95% de confiança 
para a resistência média à ruptura.
b) Baseado no intervalo acima você concordaria 
que a carga média de ruptura é superior a 2500 
kgf?
4
a)
[2471,3 ; 2515,1]
b)Não pois há valores menores ou iguais a 2500 no I.C.
201,2
4485,3470,1186
11
67,13053
12
2991861,74603
11
1
74603614;17,2493
12
2991829918
11
2
2
2








 
t
ss
XXX ii
 


 



  89,2117,249312
4485,34201,217,2493.. 1 n
stXCI n
Exemplo (minha autoria):
De um lote contendo 50 sacos de açúcar, amostrou-se 8 sacos. O 
peso médio dos sacos na amostra foi de 990,7 gramas com um 
desvio padrão amostral de 7,0 gramas. Supondo que o peso dos 
sacos de açúcar tem distribuição aproximadamente normal, 
construa um intervalo de confiança com 95% de confiança para o 
peso médio dos sacos de açúcar.
confiança = 95% → t7 = 2,365; n = 8; N = 50
[985,28; 996,12]
 0,7;7,990  sX
 
 













  42,57,99049
42
8
7365,27,990
1
.. 1 N
nN
n
stXCI n
Dimensionamento da amostra para se 
estimar ì, com ó conhecido
População infinita:
População finita:
Aproximar n SEMPRE para cima!!!
2






e
zn 
222
22
)1( 

zNe
Nzn


5
Exemplo (dados MAGALHÃES; LIMA, 2009, p. 247):
Para os dados do provedor de acesso à Internet, se 
este quer que sua estimativa do tempo médio das 
conexões tenha uma margem de no máximo ± 0,5, 
qual deveria ser o tamanho da amostra, utilizando-
se a mesma confiança?
confiança = 92% → z = 1,7507; e = 0,5 ; 
n = 613 conexões
99,61276,24
5,0
507507,1 2
22














x
e
zn 
Dimensionamento da amostra para se estimar ì, 
com ó desconhecido
Se n < 30 : utilizar tentativa e erro
Se n ≥ 30:
População infinita:
População finita:
Estimar s usando amostra piloto ou pesquisa 
semelhante já realizada
2






e
zsn
222
22
)1( szNe
Nszn


Exemplo (dados MAGALHÃES; LIMA, 2009, p. 301):
Para os dados do exemplo de resistência à ruptura, 
se é desejado que a estimativa não se afaste do 
verdadeiro valor da resistência média de ruptura por 
mais de 15 kgf, com confiança de 95%, quantos 
cabos adicionais deverão ser testados?
6
n = 25 ; t24 = 2,064 →
n = 23 ; t22 = 2,074 →
n = 22 ; t21 = 2,080 →
n = 23 logo deve-se adicionar 11 cabos.
1522,14
25
4485,34064,2  xe
1589,14
23
4485,34074,2  xe
1528,15
22
4485,34080,2  xe
Intervalo de Confiança para a proporção
População infinita: I.C. =
População finita: I.C. =





 

n
ppzp )ˆ1(ˆˆ









1
)ˆ1(ˆˆ
N
nN
n
ppzp
Dimensionamento da amostra para se estimar p
População infinita:
População finita:
Estimar p usando amostra piloto, pesquisa semelhante
já realizada ou utilizar 5,0ˆ p
2
2 )ˆ1(ˆ
e
ppzn 
)ˆ1(ˆ)1(
)ˆ1(ˆ
22
2
ppzNe
Nppzn



7
Exemplo (MONTGOMERY; RUNGER, 2009, p. 170):
Uma amostra aleatória de 50 capacetes de corredores de 
motos e de automóveis foi sujeita a um teste de impacto, 
sendo observado algum dano em 18 desses capacetes.
a)Encontre um intervalo de confiança 95% para a proporção 
verdadeira de capacetes desse tipo, que mostraria algum 
dano proveniente desse teste.
b) Usando aestimativa de p obtida a partir da amostra 
preliminar de 50 capacetes, quantos capacetes devem ser 
testados para estarmos 95% confiantes de que o erro na 
estimação do valor verdadeiro de p seja menor do que 
0,02?
c)Quão grande terá de ser a amostra se desejarmos estar no 
mínimo 95% confiantes de que o erro na estimação de p 
seja menor do que 0,02, independente do valor verdadeiro 
de p?
a) n = 50 ; k = 18 →
confiança = 95% → z = 1,96
[0,227 ; 0,493]
b) 
n = 2219 capacetes
c)
n = 2401 capacetes
36,0
50
18ˆ p
 










 
 133,036,0
50
64,036,096,136,0)ˆ1(ˆˆ.. x
n
ppzpCI


 8,2218
02,0
64,036,096,1)ˆ1(ˆ
2
2
2
2 xx
e
ppzn


 2401
02,0
5,05,096,1)ˆ1(ˆ
2
2
2
2 xx
e
ppzn
Intervalo de Confiança para a variância
Sabe-se que: se X ~ N então: 2 12
2
~
)1(


n
sn 

   



 















111 2
1;
2
1
2
2
2
1;
2
2
nn
snsnP







 


2
2/1;)1(
2
2
2/;)1(
2 )1(
;
)1(
..
  nn
snsnCI
8
Exemplo (MONTGOMERY; RUNGER, 2009, p. 167):
O conteúdo de açúcar na calda de 
pêssegos em lata é normalmente 
distribuído. Uma amostra aleatória de 
n = 10 latas resultou com um desvio 
padrão s = 4,8 mg. Encontre um 
intervalo com 95% de confiança para o 
desvio padrão do conteúdo de açúcar 
na calda.
n = 10; s2 = 4,82 = 23,04 (mg)2
= [10,9005 ; 76,8000]
I.C.ó = [3,30 ; 8,76]
700,2;023,19 2 %5,97;9
2
%5,2;9  













 

 700,2
04,239
;
023,19
04,239)1(
;
)1(
.. 2
%5,97;)1(
2
2
%5,2;)1(
2
2
xxsnsnCI
nn 

TESTE DE HIPÓTESE
• Hipótese estatística: é uma afirmação sobre um 
parâmetro ou forma de uma distribuição de valores 
observados.
• Teste de uma hipótese estatística: É um 
procedimento que permite decidir, com base em 
informações experimentais, pela rejeição ou não 
rejeição de uma hipótese estatística.
• Hipótese nula (H0): é a hipótese testada, a qual 
sempre contém um sinal de igualdade com relação 
ao valor do parâmetro especificado. Quando não se 
rejeita a hipótese nula, só é possível concluir que 
não existem, até o momento,evidências suficientes 
para garantir a sua rejeição.
• Valor Crítico: é o valor da estatística a partir do 
qual se rejeita a hipótese a ser testada.
9
• Região Crítica (R.C.) de um teste: são os possíveis 
valores da estimativa que levam a rejeição da 
hipótese nula a ser testada (H0).
• Erro Tipo I: erro que ocorre quando a hipótese nula 
H0 é rejeitada quando de fato é verdadeira, devendo, portanto, não ser rejeitada.
• Nível de Significância : é a probabilidade de se 
cometer o erro tipo I.
• Erro Tipo II: erro que ocorre quando a hipótese nula 
H0 não é rejeitada quando de fato é falsa, devendo, portanto, ser rejeitada.
• : é a probabilidade de se cometer o erro tipo II.
• Poder do teste ou eficácia do teste: = (1 – ), isto 
é, o poder do teste é a probabilidade de se rejeitar a 
hipótese nula quando ela é de fato falsa e deveria ser 
rejeitada.
 Situação 
 real 
 desconhecida 
Decisão 
tomada com 
base em evidências 
experimentais 
 
 
 
H0 verdadeira 
 
 
 
H0 falsa 
 
Não rejeitar H0 
 
Decisão correta 
P(decisão correta) = 1 –  
Erro tipo II 
P(erro tipo II) =  
 
Rejeitar H0 
Erro tipo I 
P(erro tipo I) =  
 = nível de significância 
Decisão correta 
P(decisão correta) = 1 –  
1 –  = poder do teste 
 
Total 
 
 
1,00 
 
1,00 
 
Exemplo (minha autoria):
Em uma amostra de 583 medições encontrou-se um 
valor médio de emissão para uma variável poluente 
igual a 38,21 e um desvio padrão igual a 14,7780. 
Deseja-se testar ao nível de significância de 5% se o 
valor médio da variável medida é superior a 37 (valor 
máximo da variável segundo a legislação vigente).
H0 :   37
H1 :  > 37
Lembre-se que H0 sempre contém a igualdade.
10
Tem-se:
R.C. = { | ≥ 38,007}
















583
7780,14
37
583
7780,14
37)37/(05,0 crcr xXPxXP 
007,38
583
7780,14
376449,1  cr
cr xx
X X
Se na realidade o verdadeiro valor 
médio de emissão for 39, tem-se:
0526,0)62,1(
583
7780,14
39007,38
583
7780,14
39)39/007,38( 















 ZPXPXP 
Tem-se:
R.C. = { | ≥ 38,424}X X














583
7780,14
37)37/(01,0 crcr xZPxXP 
583
7780,14
373263,2  crx
11
Se na realidade o verdadeiro valor 
médio de emissão for 39, tem-se:
1736,0)94,0(
583
7780,14
39424,38
583
7780,14
39)39/424,38( 















 ZPXPXP 
• A única forma de se diminuir  e  ao 
mesmo tempo é aumentando o tamanho 
da amostra.
• Nível Descritivo do teste (valor-P): é a 
probabilidade de se obter uma estatística 
de teste igual ou mais extrema que o 
resultado encontrado, a partir dos dados 
da amostra, dado que a hipótese nula H0, 
é realmente verdadeira.
P = nível descritivo do teste
Se P < á, rejeita-se H0
0,0239 < 0,05 → rejeita-se H0
0,0239 > 0,01 → não se rejeitaH0
0239,09761,00,1)98,1(
583
7780,14
3721,38)37/21,38( 













 ZPZPXPP 
12
DESAFIO AOS DEUSES – a fascinante história do 
risco Peter L. Bernstein (p. 207)
“Sob condições de incerteza, a escolha não é entre rejeitar 
uma hipótese ou aceitá-la, mas entre a rejeição e a não-
rejeição. Você pode decidir que a probabilidade de estar 
errado é tão pequena que você não deveria rejeitar a 
hipótese. Você pode decidir que a probabilidade de estar 
errado é tão grande que você deveria rejeitar a hipótese. 
Mas com qualquer probabilidade diferente de zero de estar 
errado – certeza em vez de incerteza – você não pode 
aceitar uma hipótese.”
“Esta noção poderosa distingue a maior parte da pesquisa 
científica válida da tolice. Para serem válidas, as hipóteses 
devem estar sujeitas à falsificação – ou seja, elas devem 
ser testáveis de modo que a alternativa entre rejeitar e não 
rejeitar seja clara e específica e as probabilidades sejam 
mensuráveis”
Teste de hipótese para média ì, com variância 
conhecida
H0:  = 0
H1:  ≠ 0
R.C. = { Z | Z ≤ – z 1- /2 ou Z ≥ z 1- /2 }
Estatística de teste :
Com: , para população infinita
, para população finita 
1


N
nN
nX

nX
 
X
XZ

0
H0:  ≤ 0
H1:  > 0
R.C. = { Z | Z ≥ z 1- }
H0:  ≥ 0
H1:  < 0
R.C. = { Z | Z ≤ – z 1- }
13
Exemplo (MAGALHÃES; LIMA, 2009, p. 296):
Uma fábrica de automóveis anuncia que seus 
carros consomem, em média, 10 litros de gasolina 
por 100 quilômetros, com desvio padrão de 0,8 
litros. Uma revista desconfia que o consumo é
maior e resolve testar essa afirmação. Para tal, 
analisa 35 automóveis dessa marca, obtendo 
como consumo médio 10,2 litros por quilômetros. 
a)Considerando que o consumo siga o modelo 
Normal, o que a revista pode concluir sobre o 
anúncio da fábrica, ao nível de significância de 
1%?
b)Qual o erro tipo II se a média for 10,6?
a) H0: ì ≤ 10 (o consumo não é maior que 10 
litros)
H1: ì > 10 (o consumo é maior que 10 litros)
; ó = 0,8; n = 35; á = 0,01
R.C. = {Z | Z ≥ 2,3263}. Zobsv = 1,479  R.C. , 
logo ao n.s. de 1% não se rejeita H0 e afirma-
se que o consumo médio de gasolina não é
maior que 10 litrospor 100 quilômetros.
2,10X
479,1
35
8,0
102,100 
X
XZ


b)
R.C. = { | ≥ 10,315}
â = P(não rejeitar H0 | H0 é falsa) = 
P( < 10,315 | ì = 10,6) = =
P(Z < – 2,11) = 0,0174
315,10
35
8,03263,210
35
8,0
103263,2  crcr X
X
X X
X












35
8,0
6,10315,10ZP
14
Teste de hipótese para média ì, com variância 
desconhecida
H0:  = 0
H1:  ≠ 0
R.C. = { T | T ≤ – t n – 1; /2 ou T ≥ t n – 1 ; /2}
Estatística de teste :
Com: , para população infinita
, para população finita 
X
X
T


ˆ
0
n
s
X ˆ
1
ˆ



N
nN
n
s
X
H0:  ≤ 0
H1:  > 0
R.C. = { T | T ≥ t n – 1 ; }
H0:  ≥ 0
H1:  < 0
R.C. = { T | T ≤ – t n – 1 ; }
Exemplo (MAGALHÃES; LIMA, 2009, p. 301 modificado):
A resistência à ruptura em cabos de aço é
considerada uma variável Normal, com média e 
variância dependendo de outros fatores. Uma 
amostra de 12 cabos produzidos por uma 
empresa é levada a teste para indicar se eles 
podem ser usados na construção de uma ponte. 
Cada cabo, para ser usado, precisa ter carga 
média de ruptura no mínimo igual a 2500 kgf.
Os resultados foram:
2518 ; 2492 ; 2450 ; 2535 ; 2547 ; 2486 ; 2455 ; 
2499 ; 2522 ; 2505 ; 2469 ; 2440 
Indique a conclusão que se pode tirar, ao nível de 
significância de 2,5%.
15
; s = 34,4485; n = 12; t 11; 2,5% = 2,201
H0: ì ≥ 2500 (a carga média de ruptura é no mínimo
2500 kgf)
H1: ì < 2500 (a carga média de ruptura não é no
mínimo 2500 kgf)
R.C. = {T | T ≤ – 2,201}
T obsv = – 0,687 R.C., logo ao n.s. de 2,5% não se 
rejeita H0 e afirma-se que a carga média de ruptura é
no mínimo 2500 kgf.
17,2493X
687,0
12
4485,34
250017,2493
ˆ
0 




X
XT


Teste de hipótese para a proporção
H0: p = p0
H1: p ≠ p0
R.C. = { Z | Z ≤ – z 1- /2 ou Z ≥ z 1- /2 }
Estatística de teste :
Com , para população infinita
, para população finita 
p
pp
Z

0ˆ 
n
pp
p
)1( 00 
1
)1( 00



N
nN
n
pp
p
H0: p ≤ p0
H1: p > p0
R.C. = { Z | Z ≥ z 1- }
H0: p ≥ p0
H1: p < p0
R.C. = { Z | Z ≤ – z 1- }
16
Exemplo (minha autoria):
Em um condomínio fechado de casas de veraneio situadas 
no litoral, a praia é exclusiva para os proprietários e seus 
convidados. Nesta praia existem lixos especiais nos quais 
as latas para reciclagem devem ser depositadas. No final de 
um determinado dia, foram recolhidos os lixos para 
reciclagem de certa extensão da praia e contado o número 
de latinhas existentes. Após a contagem, as casas que 
ficam nesta extensão da praia foram arguidas quanto ao 
número de refrigerantes e cervejas em lata consumidas na 
praia, naquele dia. Se foram contadas 308 latas e foram 
declaradas o consumo de 405 latas, você concordaria que 
houve aderência de pelo menos 80% das residências deste 
condomínio ao programa de reciclagem de latas de 
refrigerante e cervejas? Utilize á = 0,05.
n = 405; k = 308→
H0: p ≥ 0,80 (houve aderência de pelo menos 80% das 
residência)
H1: p < 0,80 (não houve aderência de pelo menos 
80% das residências)
R.C. = {Z | Z ≤ –1,6449}
Zobsv = – 1,9876  R.C., logo ao n.s. de 5% rejeita-se H0 e 
afirma-se que não houve aderência de pelo menos 80% das 
residências deste condomínio ao programa de reciclagem de 
latas de refrigerante e cervejas. 
 
7605,0
405
308
obsvp
9876,1
0199,0
0395,0
405
20,080,0
80,07605,0
)1( 00
0 





x
n
pp
pp
Z
Teste de hipótese para a variância
Sabe-se que: 
H0: ó2 = ó20
H1: ó2 ≠ ó20
R.C. = { | ou } 
Estatística de teste :
2 2 2/1;1
2
  n
2
12
2
~
)1(


n
sn 

2
2/;1
2
  n
2
0
2
2 )1(


sn 

17
H0: ó2 ≤ ó20
H1: ó2 > ó20
R.C. = { | }
H0: ó2 ≥ ó20
H1: ó2 < ó20
R.C. = { | }
2
2 2 1;1
2
  n
2
;1
2
  n
Exemplo (MONTGOMERY; RUNGER, 2009, p. 196):
O conteúdo de açúcar na calda de pêssegos 
em lata é normalmente distribuído. 
Teste a hipótese de que a variância ó2 é
igual a 18 (mg)2, se uma amostra aleatória 
de n = 10 latas resultar em um desvio 
padrão amostral s = 4,8 mg. Utilize á = 0,05.
H0: ó2 = 18
H1: ó2 ≠ 18
R.C. = { ÷2 | ÷2 ≤ 2,700 ou ÷2 ≥ 19,023}
= 11,52  R.C., logo ao n.s. de 5% não se 
rejeita H0 e afirma-se que a variância do conteúdo 
de açúcar na calda de pêssegos em lata é igual a 
18 (mg)2.
700,2;023,19 2 %5,97;9
2
%5,2;9  
52,11
18
8,49)1( 2
2
0
2
2 


xsn


2
obsv