Prévia do material em texto
ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 1 ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 2 Conjuntos Numéricos A) Conjunto dos Números Naturais (N) Números naturais são aqueles que são utilizados na contagem dos elementos de um conjunto. Temos então: OBS: N* = N – { 0 } ou seja, N* = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} B) Conjunto dos Números Inteiros ( Z) Números Inteiros são todos os números naturais e também os opostos ou simétricos dos naturais. B1) Z+ números inteiros não-negativos. Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Então: Z+ = N B2) Z- números inteiros não-positivos. Z- = { ...,-4, -3, -2, -1, 0 } C) Conjuntos dos Números Racionais (Q) São todos os números que podemos escrever na forma de fração. C1) Dízima Periódica Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá- se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente constituem o período dessa dízima. Dízimas periódicas simples A) 0,444... (período 4) B) 0, 151515... ( período 15) C) 0,123123... ( período 123) São dízimas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula. Dízimas periódicas compostas A) 0,1333... Período 3 Parte não periódica 1 B) 2,15666... Período 6 Parte não periódica 15 São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica. GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA É possível determinar a fração ( número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. Dízima Simples Exemplos: A) 0,555... = 9 5 B) 0,343434... = 99 34 C). 4,252525... = 99 25 4 Dízima Composta Exemplos: A). 0,1252525...= 990 1125 = 990 124 N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} Z = { ..., - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Q ={ / a Z , b Z, b 0} A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período. A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde: n parte não-periódica seguida do período, menos a parte não-periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 3 B). 1,3444... = 90 13134 = 90 121 D). Conjunto dos Números Irracionais (I) São todos os números que não podemos escrever na forma de fração (números não- periódicos) Exemplos: = 3,141592... 2 = 1,4142... 3 = 1,73205... E). Conjunto do Números Reais (R) Denominaremos de Conjunto dos Números Reais ao conjunto formado pela união dos números racionais com os irracionais. Resumo do Conjuntos Numéricos Logo: N Z Q R EXERCÍCIOS 1) PM – 2007 Considere os conjuntos N, dos números naturais, Z*_ , dos números inteiros negativos, Q, dos números racionais. Assinale a única alternativa correta A) O peso de uma pessoa é um elemento de N. B) A diagonal de um quadrado é um elemento de Q. C) A capacidade da lotação de um ônibus é um elemento de Q – N. D) O valor da passagem de um ônibus é um elemento de Q. E) A velocidade média de um ônibus é um elemento de Z*_. 2) FUNRIO – 2008 Sejam A e B subconjuntos dos números naturais dados por e . O número de elementos do conjunto formado pela interseção de A e B é A) 4 B) 6 C) 10 D) 20 E) 25 3) CBMERJ – 2007 – Combatente O inverso do número 3,333... é A) 0,2 B) 0,222... C) 0,25 D) 0,3 E) 0,333... R = Q I ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 4 4) Bombeiros – 2008 – Funrio Dada a dízima x = 0,222..., então o valor numérico da expressão 1 1 1 1 x x x x é representado por A) 103 67 B) 103 65 C) 105 67 D) 104 65 E) 104 67 5) Agente de Trânsito Niterói – 2007 Tem-se que 9 ...242424,0 33 25 A . Se X = A - 3 1 , então o valor de x é igual a: A) 0 B) 3 2 C) 4 1 D) 3 1 E) 3 2 6) PM – 2007 Qual é o valor de ...777,1 é A) 0,555... B) 0,777... C) 0,888... D) 1,111... E) 1,333... 7) 8) 9) CBMERJ – 2008 – motorista 10) GABARITO 1 – D 2 – B 3 – D 4 – A 5 – A 6 – E 7 – C 8 – C 9 – E 10 – D ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 5 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 1) UNIÃO NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE DOIS CONJUNTOS. n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 2) INTERSEÇÃO 3) DIFERENÇA DE CONJUNTOS OBS: COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTORLEI 9.610 DE 19/02/1998 6 EXERCÍCIO RESOLVIDO TJ – MT – 2008 Em uma pesquisa de opinião feita com os freqüentadores de um centro médico, constatou- se que 60% dos entrevistados faziam tratamento alopático, 35% faziam tratamento homeopático, e 15% utilizavam ambos simultaneamente. Pode- se concluir, então, que a porcentagem que indica os entrevistados que não utilizam nenhum desses tratamentos é (A) 40%. (B) 35%. (C) 30%. (D) 25%. (E) 20%. Solução: Fazendo o diagrama e começando sempre pela interseção Letra E Exercícios Propostos 1) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é: a) 20 % b) 40 % c) 60 % d) 75 % e) 140 % 2) Se A e B são conjuntos, A-(A-B) é igual a: a) A b) B c) A-B d) A B e) A B 3) Agente Penitenciário – 2008 - Cespe Com relação às operações com conjuntos, julgue o item abaixo. 50. Considere que os candidatos ao cargo de programador tenham as seguintes especialidades: 27 são especialistas no sistema operacional Linux, 32 são especialistas no sistema operacional Windows e 11 desses candidatos são especialistas nos dois sistemas. Nessa situação, é correto inferir que o número total de candidatos ao cargo de programador é inferior a 50 4) Pref. Pitangui – MG – 2007 Observe o gráfico abaixo Sabendo que foram entrevistados 100 pessoas e que o número de pessoas que lêem somente os jornais B e C é o dobro do número de pessoas que lêem apenas os jornais A e C, o número de entrevistados que lêem somente os jornais A e C é: (A) 20. (B) 2. (C) 30. (D) 10. 5) No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. O número de candidatos que falam as línguas inglesa e francesa é a) 778 c) 120 b) 658 d) 131 ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 7 6) ANALISTA SEBRAE 2008 - Cespe Considere que os livros L, M e N foram indicados como referência bibliográfica para determinado concurso. Uma pesquisa realizada com 200 candidatos que se preparam para esse concurso usando esses livros revelou que: 10 candidatos utilizaram somente o livro L; 20 utilizaram somente o livro N; 90 utilizaram o livro L; 20 utilizaram os livros L e M; 25 utilizaram os livros M e N; 15 utilizaram os três livros. Considerando esses 200 candidatos e os resultados da pesquisa, julgue os itens seguintes. 51. Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e M. 52. Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses livros. 53. Noventa candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses livros. 54. O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi inferior a 105. 7) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados: - 40% dos entrevistados lêem o jornal A. - 55% dos entrevistados lêem o jornal B. - 35% dos entrevistados lêem o jornal C. - 12% dos entrevistados lêem os jornais A e B. - 15% dos entrevistados lêem os jornais A e C. - 19% dos entrevistados lêem os jornais B e C. - 7% dos entrevistados lêem os três jornais. - 135 pessoas entrevistadas não lêem nenhum dos três jornais. Considerando-se esses dados, é CORRETO afirmar que o número total de entrevistados foi a) 1 200. b) 1 500. c) 1 250. d) 1 350. 8) Dos 30 candidatos ao preenchimento de 4 vagas em certa empresa, sabe-se que 18 são do sexo masculino, 13 são fumantes e 7 são mulheres que não fumam. Então a quantidade de homens que não fumam é: A) 8 B) 10 C) 17 D) 18 E) 21 9) Um engenheiro, ao fazer o levantamento do quadro de pessoal de uma fábrica, obteve os seguintes dados: - 28% dos funcionários são mulheres; - 1/6 dos homens são menores de idade; - 85% dos funcionários são maiores de idade. Qual é a porcentagem dos menores de idade que são mulheres? a) 30% b) 28% c) 25% d) 23% e) 20% 10) PM – 2007 – FESP Em uma festa com 100 pessoas, 30 bebem chope e 60 tomam refrigerantes. Qual é o maior número possível de pessoas que não consomem nenhum desses dois tipos de bebidas, isto é, nem chope nem refrigerante? A) 10 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 11) 2012 / INSS – T. DO SEGURO – FCC Em uma turma de 100 alunos, 63 sabem escrever apenas com a mão direita, 5 não sabem escrever, 25% dos restantes sabem escrever tanto com a mão direita quanto com a esquerda, e os demais alunos sabem escrever apenas com a mão esquerda. Dessa turma, a porcentagem de alunos que sabe escrever com apenas uma das duas mãos é de (A) 86%. (B) 87%. (C) 88%. (D) 89%. (E) 90%. 12) 2014 / METRÔ – SP – ANALISTA- FCC Uma pesquisa, com 200 pessoas, investigou como eram utilizadas as três linhas: A, B e C do Metrô de uma cidade. Verificou-se que 92 pessoas utilizam a linha A; 94 pessoas utilizam a linha B e 110 pessoas utilizam a linha C. Utilizam as linhas A e B um total de 38 pessoas, as linhas A e C um total de 42 pessoas e as linhas B e C um total de 60 pessoas; 26 pessoas que não se utilizam dessas linhas. Desta maneira, conclui-se corretamente que o número de entrevistados que utilizam as linhas A e B e C é igual a (A) 50. (B) 26. (C) 56. (D) 10. (E) 18. ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 8 13) 2014 / TRT – 16ªR – ANAL. ADM - FCC Em um encontro de 60 colegas, 20% são homens, e o restante mulheres. Sabe-se que 37,5% das mulheres presentes no encontro têm mais de 50 anos de idade, e que 25% dos homens presentes no encontro têm mais de 50 anos de idade. Apenas com relação às pessoas com 50 anos de idade ou menos, presentes no encontro, os homens correspondem à (A) 25% das mulheres. (B) 30% das mulheres. (C) 20% das mulheres. (D) 35% das mulheres. (E) 15% das mulheres. Gabarito 1) B 2) E 3) ITEM 50 CERTO 4) D 5) C 6) 51-E/ 52-C / 53-C / 54 – E 7) B 8) B 9) E 10) C 11) B 12) E 13) B ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 9 2. Divisão Elementos:Relação fundamental da divisão não-exata Ou Obs: De modo geral, se numa divisão o divisor for d, o maior resto possível é d – 1. 2.1 - Divisores de um número Natural OBS: 1) O zero não é divisor de número algum. 2) Todo número é divisor de si mesmo. 3) O número 1 é divisor de qualquer número natural. 4) O conjunto dos divisores de um número natural diferente de zero é finito. 2.2 - Critérios de Divisibilidade Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 quando é par. Divisibilidade por 3 Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3. Divisibilidade por 4 Quando o numeral formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Divisibilidade por 5 Quando terminar em 0 ou 5. Divisibilidade por 6 Quando é divisível por 2 e por 3. Divisibilidade por 8 Quando o numeral formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Divisibilidade por 9. Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9. Divisibilidade por 10 Quando terminar em 0. Divisibilidade por 11 Quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e dos de ordem par é divisível por 11. Divisibilidade por 12 Quando for divisível por 3 e por 4. Divisibilidade por 15 Quando for divisível por 3 e por 5. Exercícios Resolvidos 1). Numa divisão o divisor é 13, o quociente é 8 e o resto 6. Determine o dividendo. Solução D = d.q + r D = 13.8 +6 D = 110. 2) Numa divisão exata o dividendo é 255 e o quociente é 17. qual é o divisor. Solução Divisão exata: resto = 0 D = d . q 255 = d.17 d = 17 255 = 15 Logo, o divisor é 15. Dividendo = Divisor . Quociente + Resto D = d . q + r Se a divisão de um número natural por outro, não-nulo, for exata, podemos afirmar que o segundo é divisor do primeiro. ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 10 Exercícios 1) Numa divisão o quociente é 30, o divisor é 67, e o resto é o maior possível. Qual é o dividendo? 2) Numa divisão o divisor é o menor número de 3 algarismos significativos, o quociente é 1/3 do divisor e o resto é o maior possível. Calcule o dividendo. 3) Numa divisão o divisor é o menor número de 3 algarismos significativos diferentes, o quociente é 1/3 do divisor e o resto é o maior possível. Calcule o dividendo. 4) A soma de dois números é 107. Dividindo-se o maior pelo menor encontra-se quociente 3 e resto 11. Achar os dois números 5) ( Agente de Transito -2003) Se na divisão de um número por 23 obtivemos o quociente 32 e o resto maior possível, qual foi o número dividido? (A) 759 (B) 736 (C) 713 (D) 758 (E) 756 6) ( Nossa Caixa – 2005) Na divisão de n por d, o quociente é 8 e o resto é igual a 1. Se n – d = 85, então n é igual a: A).107 B) 104 C) 102 D) 98 E). 97 7) A diferença entre dois números naturais é 286. Dividindo-se o maior pelo menor, obtém-se quociente 7 e o resto maior possível. Determine o número menor. A). 41 B) 327 C) 128 D) 72 E) 48 8) (Inspetor - UERJ-1994) Um número é formado por dois algarismos cuja soma dos valores absolutos é igual a 7 . Se invertermos a ordem dos algarismos, o número assim obtido será 27 unidades maior que o primitivo. Determine o produto dos algarismos desse número. a) 0 b) 6 c ) 7 d ) 10 e ) 12 9) Um aluno deveria multiplicar um número natural por 500, mas, por distração , esqueceu- se de colocar o zero final no produto obtido. Dessa forma obteve um resultado 55 350 unidades inferior ao que deveria ter obtido. Qual o número que ele desejava multiplicar por 500 ? a) 123 b ) 321 c) 118 d ) 76 e ) 32 10) Qual deve ser o algarismo b para que o número 53.843b seja divisível por 2 e por 3. 11) Substitua as letras a e b de modo a se obter um número divisível por 5, 9 e 10 em 4a52b. 12) Assinale o inteiro que é divisível por 12. A) 2.148 B) 3.510 C) 4.324 D) 5.558 E) 7.434 13) O Algarismo que se deve intercalar entre os algarismos do número 76 de modo que o numeral obtido seja divisível por 4 e 9 simultaneamente é: A) 1 B) 7 C) 5 D) 6 E) 4 14) Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por: A) 125 1 B) 8 1 C) 8 D) 12,5 E) 80 15) GUARDA MUNICIPAL – NITEROI – 2007 O número N=3217Y216 é divisível por 3. A soma dos possíveis valores do algarismo Y é A) 15 B) 10 C) 12 D) 13 E) 16 ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 11 16) Guarda – vidas – 2007 - Maricá Abaixo temos um número de três algarismos onde desconhecemos o algarismo das unidades, representado por U. 74U Determine o valor do algarismo U de modo que o número seja um múltiplo de 6. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 BAREMA 1 2 3 4 5 6 7 8 2.076 4.217 5.165 24 e 83 D E A D 9 10 11 12 13 14 15 16 A 4 a=7 e b=0 A C E A E ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 12 3 – Decomposição em fatores primos 3.1 – Números Primos e Números Compostos OBS: 1). O número 1 é considerado especial, não é primo nem composto ( tem apenas um divisor). 2) O único número primo par 3) O conjunto dos números primos é um conjunto infinito. 3.2 – Decomposição em Fatores Primos Para se realizar a decomposição em fatores primos, devemos seguir a sequência: 1). Dividimos o número pelo seu menor divisor primo e assim sucessivamente, até se chegar ao quociente unitário. Exemplo: 3.3 – Determinação dos Divisores de um Número Processo Prático: Divisores de 60: 1). Decompomos o número em fatores primos 2). Traçamos um segmento vertical à direita da decomposição obtida e escrevemos o 1, que é divisor de todos os números, no alto, um pouco acima do primeiro fator primo. 3). Multiplicamos cada um dos fatores primos pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator. Portanto, os divisores de 60 é: D(60) = { 1,2, 3,4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} 3.4 – Quantidade de Divisores de Um Número Regra do Expoente: 1). Fatorar o número dado; 2) Adicionar 1 em cada um dos expoentes dos fatores primos obtidos; 3) Multiplicar os resultados. Exemplo: Determine a quantidade de divisores de 90. 90 = 2.3².5 Usando a regra do expoente: (1 + 1).(2 + 1).(1 + 1) = 2.3.2 = 12 divisores Exercício Resolvido O número 2³.5 a tem 12 divisores. Qual o valor de a: Solução Usando a regra do Expoente, temos: (3+1).(a+1) = 12 4 (a+1) = 12 4a + 4 = 12 4 a = 8 a = 4 8 a= 2 Logo, a é igual a 2. Um número natural é primo quando possui somente dois divisores distintos: o número 1 e ele próprio. Um número natural é composto quando possui mais de dois divisores. ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 13 4. Máximo Divisor Comum (M.D.C.) Sejam os números 36 e 60 e os conjuntos D(36), D(60) de seus respectivos divisores. Temos então: D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} D (36) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 18, 36} Observamos facilmente todos os divisores comuns a 60 e 30: D(60) D(36) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12} Observe que 12 é o maior divisor comum, assim: M.D.C.(36,60) = 12 Concluímos, pois que: Processos para o cálculo do mdc de dois ou mais números 1º - Existe um método prático, chamado divisões sucessivas ou algoritmo de Euclides, para calcular o M.D.C.: Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. 2º - Decomposição em fatores primos Temos: 60 = 2² x 3 x 5 e 36 = 2² x 3² Para calcular o MDC Multiplicamos os fatores primos comuns, cada um deles elevado ao seu menor expoente; o produto deles é o maior divisor comum. Logo: M.D.C. (60, 36) = 2² x 3 = 12 OBSERVAÇÃO 4.1. Propriedades do M.D.C. a) Dois números naturais consecutivos são sempre primos entre si, ou seja, o mdc é igual a um. Ex: 7 e 8 mdc = 1 b) O mdc entre dois números em que o maior é múltiplo do menor, é o menor. Ex: 4 e 12 mdc = 4 c) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais números por um certo número (diferente de zero), o mdc entre eles também fica multiplicado ou dividido por esse número. Ex: 4 e 5 mdc = 1; 40 e 50 mdc = 10 5. Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) Sejam os números 6 e 9 e os conjuntos M(6) e M(9) de seus respectivos múltiplos. Temos então: M (9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72,...} M (6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72,...} M(9) M(6) = {18, 36, 54, 72,...} Observe que 18 é o menor múltiplo comum, diferente de zero, dos números 6 e 9 Assim: M.M.C. (9, 6) = 18 Concluímos, pois, que: Dados dois ou mais números naturais diferentes de zero, denomina-se máximo divisor comum (mdc) desses números o maior dos seus divisores comuns. Quando o mdc de dois ou mais números naturais é igual a 1, esses números são primos entre si. Dados dois ou mais números naturais diferentes de zero, denomina-se mínimo múltiplo comum (mmc) desses números o menor de seus múltiplos comuns diferentes de zero. ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 14 Cálculo do MMC de vários números 1º Processo: Decomposição simultânea ( Método Prático) Exemplos: Determine o mmc de 6 e 9. Determine o mmc de 12,18 e 30. 2º Processo: Decomposição em fatores primos Exemplos: Determine o mmc de 12, 20 e 24 12 = 2² x 3¹ 20 = 2² x 5¹ 24 = 2³ x 3¹ Os maiores expoentes dos fatores 2, 3 e 5 são 3, 1 e 1, respectivamente. Logo, o mmc (12, 20,24) é igual a: 2³ x 3¹ x 5¹ = 120 Determine o mmc (12,15,49). 12 = 2² x 3¹ 15 = 3¹ x 5¹ 49 = 7² Os maiores expoentes dos fatores 2, 3, 5 e 7 são 2, 1, 1 e 2, respectivamente. Logo, o mmc (12,15,49) é igual a: 2² x 3¹ x 5¹ x 7² = 2.940. 5.1. Propriedades do M.M.C. a) O mmc entre dois números primos entre si é igual ao produto deles. Ex: 5 e 12 mmc = 60 b) O mmc entre dois ou mais números naturais diferentes de zero, se um deles for múltiplo dos outros, então esse número será o mmc dos números dados. Ex: 5, 10 e 20 mmc = 20 c) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais números por um certo número (diferente de zero), o mmc entre eles também fica multiplicado ou dividido por esse número Exemplo: Seja mmc(12,15) =60 Multiplicando 12 e 15 por 2, temos: Mmc(24,30) = 120, que é o dobro de 60. RELAÇÃO ENTRE O MDC E O MMC DE DOIS NÚMEROS Ou seja: Decompomos simultaneamente os números dados em fatores primos. Determinamos o produto dos fatores primos obtidos. 1). Decompomos os números em fatores primos. 2). Multiplicamos os fatores primos comuns e não- comuns, cada um deles elevado ao seu maior expoente; o produto deles é o menor múltiplo comum. O produto de dois números, diferentes de zero, é igual ao produto do seu maior divisor comum (MDC) pelo seu menor múltiplo comum (MMC). A x B = MDC(A,B) x MMC(A,B) ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 15 Exercícios 1) Correios – 2006-Técnico Operacional O MDC de 100947 e 9282 é: a) 41 b) 19 c) 13 d) 21 e) 23 2) Correios – 2006-Técnico Operacional O MMC entre 486 e 363 é: a) 44104 b) 88209 c) 29403 d) 58806 e) 176418 3) ( CVM – 2005 – Agente Executivo) O analista de uma empresa estabeleceu três tipos ( A, B e C) de checagem de segurança dos computadores. O tipo A será realizado de 4 em 4 dias e o tipo B de 6 em 6 dias. O três tipos terão inicio simultâneo e coincidirão novamente pela primeira vez daí a 120 dias. Assim, a menor freqüência que o tipo C pode ter é: A). 10 dias B) 12 dias C) 24 dias D) 36 dias E) 40 dias 4) Bombeiros – guarda-vidas – 2008- FUNRIO Pedro trabalha numa plataforma da Petrobrás onde ele embarca de 12 em 12 dias. Sua namorada Maria trabalha numa outra plataforma. Entretanto, Maria embarca de 18 em 18 dias. Se Pedro e Maria embarcaram juntos no último dia 17 de março do corrente ano, a próxima data em que este fato ocorrerá novamente será. A) 22 de abril. B) 23 de abril. C) 24 de abril. D) 25 de abril. E) 26 de abril. 5) (TRT MS/2011) - FCC Sabe-se que Vitor eValentina trabalham como Auxiliares de Enfermagem em uma empresa e, sistematicamente, seus respectivos plantões ocorrem a cada 8 dias e a cada 6 dias. Assim sendo, se no último dia de Natal − 25/12/2010 − ambos estiveram de plantão, então, mantido o padrão de regularidade, uma nova coincidência de datas de seus plantões em 2011, com certeza, NÃO ocorrerá em (A) 18 de janeiro. (B) 10 de fevereiro. (C) 31 de março. (D) 24 de abril. (E) 18 de maio. 6) (TRT SC/2010) - FCC Sistematicamente, dois funcionários de uma empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, uma outra provável coincidência de horários das suas horas-extras ocorrerá em (A) 9 de dezembro de 2010. (B) 15 de dezembro de 2010. (C) 14 de janeiro de 2011. (D) 12 de fevereiro de 2011. (E) 12 de março 2011. 7) Guarda Municipal – 2007 Paulo e Sandra colecionam figurinhas. Eles sabem que suas coleções têm o mesmo número de figurinhas e esse número encontra-se entre 200 e 250. Para se certificarem do número exato de figurinhas, resolveram contá-las. Paulo, de dez em dez, e Sandra, de doze em doze. Dessa forma, descobriram que sobravam sempre sete figurinhas. O número de figurinhas em cada coleção é de: A) 200 B) 247 C) 227 D) 217 E) 237 8) ( CEDAE – 2002) Dois guardas-noturnos tocam seus apitos enquanto caminham pelas ruas do bairro X. O guarda Pedro toca seu apito de 15 em 15 minutos. O guarda António toca seu apito de 25 em 25 minutos. Às 22 horas eles apitam juntos. Pode-se dizer que os dois guardas apitarão juntos novamente às: A)22h30min B)23h15min C) 23h30min D)23h45min 9) Bombeiros – motorista – 2008 - FUNRIO Considere o conjunto de todos os números maiores que 1, tais que, quando divididos por 2, por 3, por 4, por 5, por 6, por 7 e por 8, deixam sempre resto igual a 1. A soma dos dois menores números desse conjunto é A) 2222 B) 2322 C) 2422 D) 2522 E) 2622 ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 16 10) ( Correios 2004 Operador de Triagem I) O máximo divisor comum m.d.c. ( 36, 40, 56) e o mínimo múltiplo comum ( 36, 40, 56) é : A) 6; 1440 B) 8; 2240 C) 9; 2640 D) 4; 2520 E) Nda 11) ( Bombeiro – 2000) André, Carlos e Gustavo são três soldados do CBMERJ que moram em Niterói, Petrópolis e Barra Mansa, respectivamente. Carlos visita André a cada 6 meses e Gustavo visita André a cada 4 meses. Coincidentemente hoje, André recebeu a visita dos dois amigos. A próxima vez que André receberá a visita simultânea de Carlos e Gustavo será daqui a : A) 6 meses B) 8 meses C) 9 meses D) 12 meses E) 24 meses 12) O número de fitas de vídeo que Marcela possui está compreendido entre 100 e 150. Grupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre resta uma fita. A soma dos três algarismos do número total de fitas que ela possui é igual a: a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 13) (PM – 2004) O policiamento em torno de um estádio se faz com dois policiais montados a cavalo. Um deles percorre o contorno do estádio em 30 mim e o outro em 40 mim. Depois que começaram a ronda, partindo do mesmo ponto às 8h , e deslocando-se no mesmo sentido, voltarão a se encontrar , pela segunda vez, às: a) 10h b) 11h c) 12h d) 13h 14) – TTN Um hortigrangeiro colheu, ao final de semana , 230 laranjas, 207 caquis e 115 maçãs. Ao armazenar essas frutas , usou caixotes. Esses caixotes têm o mesmo número de frutas de uma mesma espécie e o maior número possível de frutas. Quantos caixotes usou? a) 19 b ) 23 c ) 24 d ) 184 e ) 185 15) Considere dois rolos de barbante, um com 96 m e outro com 150 m de comprimento. Pretende- se cortar todo o barbante dos dois rolos em pedaços de mesmo comprimento. O menor número de pedaços que poderá ser obtido é a) 38 b) 41 c) 43 d) 52 e) 55 16) (PM – 2004) Um soldado precisa guardar 161 balas calibre 38 e 133 balas calibre 45. Ele deseja fazer pacotes, de modo que todas as balas de cada pacote sejam do mesmo calibre e que todos os pacotes contenham o mesmo número de balas. Nestas condições, o menor número possível de pacotes é : a) 52 b) 42 c) 32 d) 22 17) FUNRIO - 2008 A idade da minha tia é um número que deixa resto 1 quando dividido por 13 e deixa resto 4 quando dividido por 7. Se ela ainda não completou 100 anos, a soma dos algarismos da idade da minha tia é: A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 18) Para levar os alunos de certa escola a um museu, pretende-se formar grupos que tenham iguais quantidades de alunos e de modo que em cada grupo todos sejam do mesmo sexo. Se nessa escola estudam 1.350 rapazes e 1.224 garotas e cada grupo deverá ser acompanhado de um único professor, o número mínimo de professores necessários para acompanhar todos os grupos nessa visita é: a) 18 b) 68 c) 75 d) 126 e) 143 19) Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis e 216 borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo número de lápis e o mesmo número de borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o número de CADERNOS que cada família ganhou foi a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 17 20) Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no setor X e 160 no setor Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, sendo esse número o maior possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem misturar os detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados (A) 5 grupos. (B) 8 grupos. (C) 10 grupos. (D) 12 grupos. (E) 13 grupos. 21) BNDES – 2009 A figura abaixo ilustra um bloco de madeira no formato de um paralelepípedo com as medidas, em centímetros, das suas arestas. Esse bloco é dividido em cubos, todos do mesmo tamanho, de modo que a medida das arestas desses cubos seja a maior possível. Sabendo-se que, nos cubos, as arestas têm a mesma medida e que, após a divisão, não há sobra de madeira, a quantidade de cubos obtidos é (A) 18 (B) 24 (C) 30 (D) 48 (E) 60 BAREMA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D D E A B D B B D D D 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 B C C B B B E B A C ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos Andréprofessorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 18 6. Razões Exemplo: Das 200 pessoas entrevistadas, 70 preferem o candidato A. Razão dos entrevistados que preferem o candidato A: 70:200 ou 200 70 = 20 7 De cada 20 entrevistados, 7 preferem o candidato A. Termos de uma Razão Observe a razão: ( lê-se “a está para b” ou “a para b” ) 7. Proporção Elementos de uma Proporção Dados quatro números racionais a, b, c, d, não- nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1° para o 2° for igual à razão do 3º para o 4°. Assim: ( lê-se: “ a está para b assim como c está para d”) Os números a, b, c, d são os termos da proporção, sendo: proporção. da extremos os d , a proporção. da meios os c , b 7.1 Propriedade Fundamental das Proporções De modo geral, temos que: Daí, podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções: Exemplos: 1)- Determine o valor de x na proporção: x 15 8 5 Solução: x 15 8 5 aplicando a propriedade fundamental 5x = 8.15 x = 5 120 x= 24 Logo, o valor de x é 24. 2)- Determine o valor de x na proporção: 5 4 12 3 x x Solução 5 4 12 3 x x aplicando a propriedade fundamental 5( x-3) = 4( 2x+1) 5x – 15 = 8x + 4 - 3x = 19 x (-1) x= 3 19 Logo, o valor de x é 3 19 Denominamos de razão entre dois números a e b ( b 0) o quociente ou a:b. É a igualdade entre duas razões. ou a : b = c : d Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 19 7.2 Quarta Proporcional Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x, tal que: Exemplo: Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6 x 6 12 8 aplicando a propriedade fundamental 8x = 12.6 x = 8 72 x = 9 Logo, a quarta proporcional é 9. 7.3 Proporção Contínua De modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por: 7.4 Terceira proporcional Dados dois números racionais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números um número x tal que: Exemplo: Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10. Solução x 10 10 20 20x = 100 x = 20 100 x = 5 Logo, a terceira proporcional é 5. OBS: Dada uma proporção contínua, o número b é denominado média geométrica ou média proporcional entre a e c. 7.5 PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES Considere a proporção: d c b a Temos as seguintes propriedades: 1ª Propriedade c dc d dc b ba a ba ou 2ª Propriedade c dc d dc b ba a b-a ou 3ª Propriedade d c b a db ca 4ª Propriedade d c b a db ca 5ª Propriedade ² ² ² ² . . d c b a db ca Proporção contínua é toda proporção que apresenta os meios iguais. ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 20 Exercícios 1) BNDES – 2006 ( Cesgranrio) Em uma empresa, a razão do número de empregados homens para o de mulheres é 3/7. Portanto, a porcentagem de homens empregados nessa empresa é: (A) 30% (B) 43% (C) 50% (D) 70% (E) 75% 2) (ENDEMIAS) Num posto médico existem 120 frascos da vacina X e 200 frascos da vacina Y. A razão entre o número de frascos da vacina X e o total de frascos é : a) 2/3 b) 2/5 c) 3 /4 d) 3/8 3) UFRJ -2008 – ASS. ADM- NCE O preparo da sopa de marca Bom Sabor para uma pessoa requer que se dissolva um pacote de pó de sopa em um copo de água, atingindo-se assim uma concentração do pó em água que será denominada C0. Se, em vez de 1 copo, colocarmos 1 copo e meio de água para um pacote de pó, atinge-se uma concentração do pó em água que será denominada C1 . A razão 0 1 C C corresponde a: A) 3 1 B) 3 2 C) 4 3 D) 2 3 E) 3 4 4) Agente de endemias-2008 Uma equipe de trabalho formada por Auxiliares de Controles de Endemias inspecionou 1260 moradias. Encontrou 420 delas com focos de mosquitos. A razão entre o número de residências COM FOCOS e o número de residências SEM FOCOS de mosquito é igual a: A) 2 1 B) 3 1 C) 4 1 D) 5 1 5) (Furnas ) A razão entre as idades de um pai e um filho é 5 / 2 . Se o pai tinha 21 anos quando o filho nasceu, qual a idade do filho? a) 14 b) 16 c) 24 d) 28 e) 35 6) ( Banco do Brasil) Uma empresa possui atualmente 2.100 funcionários . Se a relação entre o número de efetivos e contratados é de 5 para 2 , quantos são os efetivos ? a) 800 b) 1000 c) 1500 d) 1600 e) 1800 7( Banco do Brasil ) Se dois capitais estão entre si na razão de 8 para 3 e o maior deles excede o menor em R$25.000,00 então a soma desses capitais é de: a) R$ 75.000,00 b) R$ 40.000,00 c) R$ 65.000,00 d) R$ 60.000,00 e) R$ 55.000,00 8) (TRT – 2003 – FCC) Uma empresa resolveu aumentar seu quadro de funcionários. Numa 1ª etapa contratou 20 mulheres, ficando o número de funcionários na razão de 4 homens para cada 3 mulheres. Numa segunda etapa foram contratados 10 homens, ficando o número de funcionários na razão de 3 homens para cada 2 mulheres. Inicialmente, o total de funcionários dessa empresa era: A) 90 B) 120 C) 150 D) 180 E) 200 ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 21 9) (TRF – 2006 – FCC) Após vender um imóvel, um senhor dividiu totalmente a quantia que recebeu em pagamento entre sua esposa, seus dois filhos e uma antiga empregada da família. A divisão foi feita do seguinte modo: - a filha e o filho receberam a metade do total na razão de 4 para 3, respectivamente; - sua esposa recebeuo dobro do valor recebido pelo filho; - a empregada recebeu R$ 5. 000,00. Nessas condições, a quantia total recebida pela venda de tal imóvel foi ( em reais): A) 55.000 B) 60.000 C) 65.000 D) 70.000 E) 75.000 10) (Magistério – 2006 – Pref. RIO) A razão entre o número de meninos e meninas matriculados numa escola é 4 3 . Sabendo-se que a escola possui 72 meninos matriculados, o total de alunos da escola é: A) 168 B) 182 C) 204 D) 216 11) (PM – 2001) Em uma distribuição de munição, foram fornecidas 200 balas para dois recrutas na razão 5/3 . Então cada recruta recebeu: a) 120 e 80 b) 125 e 75 c) 130 e 70 d) 140 e 60 e) 150 e 50 12) (TRF – 1989) Uma estrada está representada por 15 cm, num mapa de escala 1 / 20.000. O comprimento real dessa estrada é : a) 3 KM b) 30 Km c) 300 m d) 3.000 cm e) 30.000 dam 13) ( PM – 2005 ) Na planta de um Bairro, feita na escala 1/800, uma praça aparece como um retângulo de dimensões 10 cm e 6 cm. A área real dessa praça é de A) 3840 m² B) 3890 m² C) 3950 m² D) 4020 m² 14) Agente de Endemias - 2008 A escala de um mapa é de 1: 25000. Isto significa que uma distância de 30 cm neste mapa corresponde à seguinte distância real: A) 7,5 km B) 750 km C) 75 km D) 0,75 km 15) Um trem faz o percurso Paris-Berna em 3 horas e 20 mim. A distância entre essas cidades, sabendo que a velocidade do trem é de 252 km/h é: a) 640 km b) 700 km c) 840 km d) 860 km e) 900 km 16) (TRF – 2007 – Auxiliar Judiciário) Godofredo mora a 11 000 metros de seu local de trabalho. Se ele fizer esse percurso a pé, caminhando à velocidade média de 8 km/h, quanto tempo ele levará para ir de casa ao local de trabalho? (A) 1 hora, 15 minutos e 20 segundos (B) 1 hora, 22 minutos e 30 segundos (C) 1 hora, 25 minutos e 20 segundos (D) 1 hora, 32 minutos e 30 segundos (E) 1 hora, 35 minutos e 20 segundos 17) PM - 2007 Minha caminhonete pode carregar 15 sacos de batata ou 20 caixas de cenoura. Se foram colocados 9 sacos de batata, quantas caixas de cenoura ainda posso carregar? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 18) ( TRF – 2007 – Técnico Judiciário) Dos 343 funcionários de uma unidade do Tribunal Regional federal, sabe-se que o número de homens está para o de mulheres assim como 5 está para 2. Assim sendo, nessa unidade, a diferença entre o número de homens e o de mulheres é (A) 245 (B) 147 (C) 125 (D) 109 (E) 98 ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 22 19) (TRF – 2007 – Auxiliar Judiciário) Certo dia, em uma unidade do Tribunal Regional Federal, um auxiliar judiciário observou que o números de pessoas atendidas no período da tarde excedera o das atendidas pela manhã em 30 unidades. Se a razão entre a quantidade de pessoas atendidas no período da manhã e a quantidade de pessoas atendida no período da tarde era 3/5, então é correto afirmar que, nesse dia, foram atendidas (A) 130 pessoas (B) 48 pessoas pela manhã (C) 78 pessoas à tarde (D) 46 pessoas pela manhã (E) 75 pessoa à tarde 20) FUB – 2008 - Cespe Uma empresa tem em seu quadro de pessoal 84 empregados, e a razão entre o número de homens e mulheres é, nessa ordem, igual a 3 4 . A propósito dessa situação, julgue os itens a seguir. 41 O número de mulheres no quadro de pessoal dessa empresa é superior a 38. 42 Ao se somar 3 2 do número de mulheres a 75% do número de homens dessa empresa, obtém-se um número racional não inteiro. BAREMA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D B A A C E B D A 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B A A A C B D B E ) 41-E / 42-E ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 23 8. Divisão Proporcional 8.1 Divisão Em Partes Diretamente Proporcionais Exemplo: Dividir 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 11. Solução Queremos dividir 180 em três parcelas, tais que: 1ª 2x 2ª 5x sendo x a constante de proporcionalidade. 3ª 11x A soma das parcelas é igual a 180, Logo: 2x+5x+11x=180 18x = 180 x= 18 180 x=10 Então: 1ª 2x = 2.10 = 20 2ª 5x = 5.10 = 50 3ª 11x = 11.10 = 110 Sendo 20 + 50 + 110 = 180, concluímos que as parcelas procuradas são: 20, 50 e 110. 8.2 Divisão Em Partes Inversamente Proporcionais Exemplo: Dividir 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6. Queremos dividir 210 em três parcelas, tais que: 1ª 3 x 2ª 5 x 3 6 x A soma das parcelas é igual a 210, Logo: 3 x + 5 x + 6 x = 210 Como o m.m.c.(3,5,6) = 30, temos: 10x + 6x +5x = 6300 21x = 6300 x= 21 6300 x=300 constante de proporcionalidade Portanto: 1ª 3 x = 3 300 =100 2ª 5 x = 5 300 =60 3ª 6 x = 6 300 =50 Sendo 100+60+50 = 210, as parcelas procuradas são: 100, 60 e 50. 8.3 Divisão Proporcional Composta Neste caso, o problema consiste em dividir um número ao mesmo tempo em partes diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. Exemplo: Dividir 386 em partes ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 2, 3, 4 e em partes inversamente proporcionais a 3, 5, 7. Solução 1ª parte diretamente a 2 e inversamente a 3, então: 3 2x 2ª parte diretamente a 3 e inversamente a 5, então: 5 3x Dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados é decompô-lo em parcelas proporcionais a esses números. ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 24 3ª parte diretamente a 4 e inversamente a 7, então: 7 4x A soma das partes é igual ao valor que queremos dividir. 3 2x + 5 3x + 7 4x =386 Fazendo o mmc dos denominadores, obtemos: MMC (3,5,7) = 105 3 2x + 5 3x + 7 4x =386 70x + 63x + 60x = 40.530 193 x = 40.530 x = 193 530.40 = 210 então 210 é a constante de proporcionalidade. 1ª parte 140 3 420 3 210.2 3 2 x 2ª parte 126 5 630 5 210.3 5 3 x 3ª parte 120 7 840 7 210.4 7 4 x Logo, as parcelas procuradassão: 140, 126 e 120. Exercícios 1) Petrobras – 2008 João vai dividir R$24.000,00 com seus primos, em 3 partes diretamente proporcionais a 1, 2 e 3, respectivamente. Sabendo-se que o mais velho é o que receberá o maior valor, a parte deste corresponderá, em reais, a (A) 12.000,00 (B) 10.000,00 (C) 8.000,00 (D) 4.000,00 (E) 3.000,00 2) Agente de Endemias – 2008 N formulários de cadastramento de domicílios foram distribuídos entre três agentes de saúde, em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4. O agente que recebeu o maior número de formulários ficou com 32. O valor de N é igual a: A) 72 B) 81 C) 78 D) 85 3) ( Agente Educador – 2006) Uma prova foi aplicada a 750 alunos em diferentes horários, sempre com o mesmo número de alunos em cada sala. A distribuição destes alunos por 5 salas foi feita em partes diretamente proporcionais ao número de carteiras de cada sala, conforme o quadro abaixo: Salas 1 2 3 4 5 Nº de carteiras 20 25 30 35 40 O número total de alunos que fizeram prova na sala 4 corresponde a: A) 140 B) 175 C) 210 D) 245 4) (Casa da Moeda – 2005) Uma área de 800.000 m² será dividida em partes diretamente proporcionais a 4, 5 e 7, para o plantio de três culturas diferentes. O proprietário decidiu que a maior parte será para o plantio de soja e que nas outras duas, plantará feijão e milho. Se a menor das três partes for destinada ao plantio de milho, a área ocupada pelo feijão, em m², será de: A) 160.000 B) 200.000 C) 250.000 D) 320.000 E) 350.000 5) (POSTURAS) Um certo número de documentos foi distribuídos entre três fiscais, em partes diretamente proporcionais a 6, 8 e 9, respectivamente. O primeiro fiscal recebeu 960 documentos. O número de documentos distribuídos entre os três fiscais corresponde a : a) 2880 b) 2960 c) 3680 d) 3840e) 3940 6) ( Agente de Transito - 2003) Em uma cidade com três bairros (A, B e C), 259 policiais foram distribuídos na razão direta do número de ruas de cada bairro. Sabendo que o bairro A tem 10 ruas, o bairro B 12 ruas e o bairro C 15 ruas, quantos policiais foram destacados para o bairro A? A).70 B) 84 C) 105 D) 100 ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 25 E) 60 7) Auxiliar Adm.- CESPE - 2008 Pedro, João, Paulo e Carlos investiram quantias, que somaram R$ 6.800,00, em um mesmo fundo de aplicações. Sabe-se que as quantias aplicadas por cada um deles são, na ordem apresentada, diretamente proporcionais a 2, 3, 5 e 7, respectivamente. Julgue os itens que se seguem, relacionados a essas informações. 39. Paulo aplicou tanto quanto Pedro e João juntos. 40. Carlos aplicou menos de R$ 2.500,00. 41. Pedro aplicou mais de R$ 900,00. 8) TJ – PA – 2006 – CESPE Alexandre, Jaime e Vítor são empregados de uma empresa e recebem, respectivamente, salários que são diretamente proporcionais aos números 5, 7 e 9. A soma dos salários desses 3 empregados corresponde a R$ 4.200,00. Nessa situação, após efetuar os cálculos, conclui-se corretamente que A) a soma do salário de Alexandre com o de Vítor é igual ao dobro do salário de Jaime. B)Alexandre recebe salário superior a R$ 1.200,00. C) o salário de Jaime é maior que R$ 1.600,00. D) o salário de Vítor é 90% maior do que o de Alexandre. 9).( INFRAERO – 2004) Flora tem uma pequena loja de produtos naturais e duas funcionárias, Joana e Carolina. No mês de julho Flora decidiu dividir um bônus de R$ 160,00 entre as duas funcionárias, de forma que cada uma receberia um valor inversamente proporcional ao número de faltas naquele mês. Carolina faltou 3 vezes e Joana faltou 2. A quantia recebida por Joana, em reais, é igual a: A) 55 B) 64 C) 80 D) 96 E) 108 10) (PETROBRÁS) Dividindo-se R$ 3.800,00 em partes inversamente proporcionais a 1, 3 e 4, a menor parte corresponderá a: a) R$475,00 b) R$ 520,00 c) R$ 600,00 d) R$ 620,00 e) R$ 650,00 11) (TRF – 2007 – Técnico Judiciário) Dois técnicos judiciários deveriam redigir 45 minutas e resolveram dividir esta quantidade em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Se o primeiro que tem 28 anos, redige 25 delas, a idade do segundo, em anos, é (A) 35 (B) 33 (C) 32 (D) 31 (E) 30 12) TRF – 2003 - FCC Dois funcionários receberam a incumbência de catalogar 153 documentos e os dividiram entre si na razão inversa de suas respectivas idades: 32 e 40 anos. O número de documentos catalogados pelo mais jovem foi: A) 87 B) 85 C) 70 D) 68 E) 65 13) Dividindo-se o número 238 em partes inversamente proporcionais a 2, 6 e 7 . Qual será o valor da parte menor ? a) 42 b) 25 c) 34 d) 49 e) 147 14) Dividindo 486 ao mesmo tempo em partes proporcionais a 5; 3 e 4 e inversamente proporcionais a 2; 4 e 5 , qual a menor parte obtida? a)80 b) 70 c) 90 d) 120 e) 150 15) (TTN) ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 26 Uma pessoa deseja repartir 135 balinhas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo tempo proporcionais diretamente a 2/3 e 4/7 e inversamente a 4/9 e 2/21. Quantas balinhas cada criança receberá? a) 27 e 108 b) 35 e 100 c) 40 e 95 d) 25 e 110 e) 30 e 105 16) BOMBEIROS – ACRE – 2006 - Cespe Para comprar um televisor de plasma que custa R$ 6.000,00, Paulo, André, Carlos e Henrique contribuíram, respectivamente, com quantias, em reais, que são diretamente proporcionais a 11, 13, 17 e 19. Com relação a essa cotização, assinale a opção correta. A) A soma das contribuições de Paulo e Henrique é superior à soma das contribuições de André e Carlos. B) Se Paulo contribuiu com p reais e Carlos com c reais, então 3p + 2c = 6.700. C) André contribuiu com menos de R$ 1.250,00. D) Henrique contribuiu com mais de R$ 1.950,00. 17) (TRE – PE – 2004) Um total de 141 documentos devem ser catalogados por três técnicos judiciários. Para cumprir essa tarefa, dividiram os documentos entre si, em partes inversamente proporcionais às respectivas idades: 24, 36 e 42 anos. Nessas condições, o número de documentos que coube ao mais jovem foi A) 78 B) 63 C) 57 D) 42 E) 36 18) FUB – 2008 - Cespe Considerando que as idades de 3 pessoas sejam números diretamente proporcionais aos números 13, 17 e 19 e sabendo que a soma das idades dessas 3 pessoas é igual a 98, julgue os itens subseqüentes. 45 A soma das idades das duas pessoas mais jovens é inferior a 62. 46 A diferença entre a idade do mais velho e a do mais moço é superior a 14. 19) Prominp – 2008 – Cesgranrio Uma fazenda tem 2.400 hectares disponíveis para agricultura. Esta área será dividida em partes diretamente proporcionais a 3 e a 5, de modoque a menor parte será destinada à plantação de milho e a maior, à plantação de soja. A diferença, em hectares, entre as duas áreas será de (A) 600 (B) 800 (C) 900 (D) 1.200 (E) 1.500 BAREMA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A B C C A 39-C/40-E/41-E A D C 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B A C A B B 45-C/ 46-C A ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 27 9. Grandezas Proporcionais 9.1 Grandezas Diretamente Proporcionais Exemplo: Tempo Produção 5 mim 100 Kg 10 mim 200 Kg Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. Temos: 2 1 200 100 10 5 Logo, as grandezas tempo e produção são grandezas diretamente proporcionais. 9.2 Grandezas Inversamente Proporcionais Exemplo: Velocidade Tempo 5 m/s 200 s 20 m/s 50 s Quando quadriplicamos o valor da grandeza velocidade, a grandeza tempo fica reduzida a quarta parte. Velocidade Tempo 4 1 20 5 1 4 50 200 Logo, as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais 10. Regra de Três 10.1 Regra de Três Simples Trabalhamos com apenas duas grandezas. Passos utilizados numa regra de três simples 1ºDevemos agrupar grandezas da mesma espécie em colunas e manter na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2ºIdentificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3ºmontar a proporção e resolver a equação. Exemplo 1: Comprei 6 m de tecido por R$ 15,00. quanto gastaria se tivesse comprado 8 m? Solução Escrevemos as grandezas ( Passo 1) Comprimento (m) Preço (R$) 6 15 8 x Em seguida, colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. ( 2ª coluna ). Como as grandezas comprimento e preço são diretamente proporcionais, colocamos uma outra seta no mesmo sentido na 1ª coluna. Comprimento (m) Preço (R$) 6 15 8 x Armamos a proporção formada pelas razões que construímos: Chamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas. Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual à razão entre os valores correspondentes da 2ª. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª grandeza. ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 28 x 15 8 6 6x = 120 x= 6 120 =20 Logo, o preço procurado é: R$ 20,00. Exemplo 2: Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra. Solução Operários Dias 6 10 20 x Como a grandeza operários é inversamente proporcional a grandeza dias, temos: Colocamos uma seta para baixo na coluna que contém x. Em seguida colocamos uma outra seta no sentido contrário ( grandezas inversas) na 1ª coluna. Operários Dias 6 10 20 x Montamos a proporção, invertendo a razão que possui a seta para o lado contrário da coluna do x. x 10 6 20 Calculamos o valor de x: 20x = 60 x = 20 60 x= 3 dias 10.2 Regra de Três Composta Trabalhamos com três ou mais grandezas relacionadas entre-si. Passos utilizadas numa regra de três composta 1º Passo colocamos na mesma coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem. 2º Passo colocamos inicialmente uma seta para baixo na coluna que contém o x. 3º Passo Devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x . 4º PassoIgualamos a razão que contém o x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Exemplo: Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 mim, em que tempo 7 rotativas, iguais as primeiras, imprimirão 350.000 desses exemplares. Solução Exemplares rotativas tempo (mim) 87.500 5 56 350.000 7 x Comparando cada grandeza coma a coluna x temos: Exemplares rotativas tempo (mim) 87.500 5 56 350.000 7 x Assim: 000.350 500.87 . 5 756 x Daí: 100 3556 x 35 x = 5600 x = 35 5600 x = 160 mim = 2h 40 mim ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 29 1) Petrobras – 2008 Quatro operários levam 2 horas e 20 minutos para fabricar um produto. Se o número de operários for inversamente proporcional ao tempo para fabricação, em quanto tempo 7 operários fabricarão o produto? (A) 50 minutos (B) 1 hora (C) 1 hora e 10 minutos (D) 1 hora e 20 minutos (E) 1 hora e 40 minutos 2) Prominp – 2008 - Cesgranrio Em uma cidade com 45 mil habitantes são produzidas, em média, 30 toneladas de lixo por dia. Qual será, em toneladas, a quantidade média de lixo produzida em uma semana numa cidade com 60 mil habitantes? (A) 40 (B) 80 (C) 150 (D) 240 (E) 280 3) Agente de Endemias - 2008 Oito torneiras com fluxo constante e igual enchem um reservatório em 12 horas. Cinco dessas torneiras encherão o mesmo reservatório em: A) 18h14min B) 19h12min C) 18h16min D) 19h20min 4) BANESTES – 2008 - Conesul Em uma obra, dez operários trabalhando nove horas diárias, são capazes de construir trezentos metros quadrados de parede. Se tivermos vinte operários trabalhando seis horas diárias, quantos metros quadrados eles construirão? a) 700. b) 400. c) 350. d) 600. e) 650. 5) UFRJ 2004 – ASS. ADM) Uma caixa d'água é enchida através de 3 canos de água, com vazão d'água idêntica. Se utilizarmos somente 2 destes canos, a caixa d'água levará 6 dias para encher. Se utilizarmos os 3 canos, essa caixa levará, para encher, o seguinte número de dias: a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 9 6) ( Correios – 2004 – Operador de triagem I ) Corrigindo provas de um exame de vestibular, quatro professores gastaram 75 horas. Em quanto tempo esse trabalho será realizado por 12 professores? A)- 75 h B)- 25 h C)- 225 h D)- 22,5 h E)- 25,5 h 7) Empregam-se 30 operários numa obra; após 15 dias, quando só metade da obra se encontrava pronta , 25 operários foram dispensados. Em quantos dias os demais operários terminarão a obra? a) 60 diasb) 90 dias c) 45 dias d) 80 dias e) 100 dias 8) ( PM – 2005) Com mesma capacidade de trabalho, 12 costureiras fazem certo número de uniformes encomendados pelo exército, em 60 dias. Igualmente capazes, 15 costureiras cumprem essa tarefa em: A) 48 dias B) 52 dias C) 72 dias D) 75 dias 9) Agente de Transito - 2003 ) Três mecânicos, trabalhando oito horas por dia, levaram dez dias para consertar quinze automóveis. Caso trabalhassem apenas quatro horas por dia, quantos mecânicos, com a mesma eficiência, seriam necessários para realizar o mesmo número de consertos em quinze dias? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 10) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia durante 10 dias, o número de peças produzidas seria: a) 1000 b) 2000 c) 4000 d) 5000 e) 8000 ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 30 11) Sabe-se que 4 máquinas, operando em 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidos por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias? a) 6 b) 8 c) 10,5 d) 13,5 e) 15 12) Se 10 operários gastam 12 dias para abrir um canal de 20m de comprimento, 16 operários, para abrir um canal de 24m de comprimento, gastarão: a) 1/3 do mês b) 2/5 do mês c) 1/2 do mês d) 3/10 do mês 13) Trabalhando 8 horas por dia, os 2.500 operários de uma industria automobilística produzem 500 veículos em 30 dias. Quantos dias serão necessários para que 1.200 operários produzam 450 veículos, trabalhando 10 horas por dia ? a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 55 14) (Casa da Moeda – 2001) Uma máquina é capaz de produzir 25 peças a cada 18 minutos. Para produzir 2.500 peças essa máquina levará: A) 30 horas B) 18 horas C) 15 horas D) 3 horas E) 1 h e 40 mim 15) ( Susep – 2006) Um tratorista trabalhando 8 horas por dia gradeia 100 hectares em 10 dias. Nas mesmas condições quantos hectares ele gradeará em 6 dias trabalhando 10 horas por dia? A) 60 B) 75 C) 80 D) 90 E) 100 16) Se 2/3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários, trabalhando 6 horas por dia. o restante da obra será feito, agora com 6 operários, trabalhando 10 horas por dia, em: a) 7 dias b) 6 dias c) 2 dias d) 4 dias e) 3 dias 17) Certo fazendeiro tem ração para alimentar 32 galinhas durante 22 dias. No fim de 4 dias resolve comprar mais 4 galinhas. Quanto tempo durarão as provisões se a ração de cada galinha não for diminuída? a) 13 dias b) 15 dias c) 16 dias d) 20 dias e) 7 dias 18). ( Petrobrás) 6 homens, trabalhando 6 horas por dia, constroem 6 muros em 6 dias. Em quantos dias 12 homens, trabalhando 12 horas por dia, construirão 12 muros? a) 3 b) 6 c) 12 d) 36 e) 48 19) (MPU) Para construir um muro, João levaria 30 dias e Carlos levaria 25 dias. Os dois começaram a trabalhar juntos , mas após 6 dias João deixa o trabalho; dois dias após a saída deste, Carlos também o abandona. Antonio sozinho consegue terminá-lo em 24 dias. Para realizar a construção do muro sozinho, Antonio levaria: a) 48 dias b) 60 dias c) 2 dias e 12 horas d) 75 dias e) 50 dias 20) TRF – Técnico Judiciário – 2007 Em uma gráfica, foram impressos 1 200 panfletos referentes à direção defensiva de veículos oficiais. Esse material foi impresso por três máquinas de igual rendimento, em 2 horas e meia de funcionamento. Para imprimir 5 000 desses panfletos, duas dessas máquinas deveriam funcionar durante 15 horas, (A) 10 minutos e 40 segundos. (B) 24 minutos e 20 segundos. (C) 37 minutos e 30 segundos. (D) 42 minutos e 20 segundos. (E) 58 minutos e 30 segundos. 21) Transpetro – 2006 - CESGRANRIO Se 3 operários, trabalhando 6 horas por dia, constroem um muro em 20 dias, em quantos dias 5 operários, trabalhando 8 horas por dia, construiriam o mesmo muro? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 8 (E) 9 ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR LEI 9.610 DE 19/02/1998 31 22) BNDES O estoque de pó de café em um escritório é suficiente para seus 16 funcionários durante 62 dias. Depois de 12 dias, passam a trabalhar no escritório mais 4 funcionários. Passados mais 15 dias, 10 funcionários são transferidos para outro escritório. Quantos dias mais durará o estoque de pó de café? a) 23 b) 25 c) 30 d) 35 e) 50 23) BNDES – 2008 Uma torneira enche de água um tanque de 500 litros em 2 horas. Em quantos minutos 3 torneiras idênticas à primeira encherão um tanque de 600 litros, sabendo que todas as torneiras despejam água à mesma vazão da primeira e que, juntamente com as torneiras, há uma bomba que retira desse tanque 2,5 litros de água por minuto? (A) 72 (B) 60 (C) 56 (D) 48 (E) 45 24) Um depósito de água leva 360 litros, e tem duas torneiras, uma o enche em 15 horas e outra o esvazia em 20 horas. Abrindo-se as duas torneiras, em quantas horas o depósito ficará cheio? A) 60 h B) 40 h C) 30 h D) 25 h E) 20 h 25) Um alfaiate pode fazer uma roupa em 3 dias, a sua esposa pode fazê-la em 6 dias; trabalhando juntos, em quantos dias farão a roupa? A) 4,5 dias B) 2 dias C) 3 dias D) 1 dia E) 1/2 dia 26) TRF – Téc. Judiciário – 2007 Trabalhando ininterruptamente, dois técnicos judiciários arquivaram um lote de processos em 4 horas. Se, sozinho, um deles realizasse essa tarefa em 9 horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que o outro fosse capaz de realizá-la sozinho se trabalhasse ininterruptamente por um período de (A) 6 horas. (B) 6 horas e 10 minutos. (C) 6 horas e 54 minutos. (D) 7 horas e 12 minutos. (E) 8 horas e meia. 27) Um trabalho pode ser feito em 2 horas por um homem, em 3 horas por uma mulher e em 6 horas por um menino. Em quanto tempo será feito pelas 3 pessoas juntas? A) 1/2 h B) 1 h C) 1h e 1/2 D) 2 h E) 2h e 1/2 28) Dois operários levam 12 horas para fazer um trabalho; o primeiro só levaria 20 horas. Que tempo levará o segundo trabalhando só? A) 6h B) 12 h C) 18 h D) 24 h E) 30 h 29) Incra Doze costureiras, trabalhando 8 horas por dia, em 18 dias tecem 480 mantas. O número de costureiras necessário para que sejam tecidas 600 mantas, trabalhando 6 horas por dia em 12 dias, mantendo o mesmo ritmo de trabalho que as anteriores, é: A) 28 B) 29 C) 30 D) 31 E) 32 ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS ANDRÉ