Apostila de Matemática

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APOSTILA DE 
MATEMÁTICA 
 
PROFESSOR MOACIR BARROS 
 
 
 
 
2023 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
O intuito deste material é oferecer ao aluno um material que norteie o trabalho com as 
ideias matemáticas, levando em consideração as especificidades do curso. 
Espera-se que este contato com os conceitos matemáticos contribua para que se 
estabeleça uma relação significativa entre o aluno e o conhecimento da Matemática, 
pautada pela curiosidade e pela reflexão. 
Ao longo dos assuntos desta obra, pretende-se ainda estabelecer um elo entre a 
Educação Matemática e a formação do sujeito autônomo e consciente do seu papel, 
tendo em vista que paradigmas em Educação apontam para a formação de um aluno 
crítico, capaz de analisar, interpretar e participar ativamente na sociedade ao seu 
redor, estando pronto para transformá-la em seu benefício e de outros. 
Espera-se que tudo isso possa contribuir para a dinâmica dos atos de aprender e de 
ensinar, levando a aprendizagens significativas e prazerosas na área da Matemática. 
Bons estudos! 
 
Professor Moacir Barros* 
 
 
*Moacir Nicolau Barros Júnior 
Licenciado em Matemática – UFMA 
Especialista em Auditoria, Controladoria e Finanças – FAENE 
Professor da rede Estadual (MA) e municipal (São Luís- MA) 
Professor de Estatística e Introdução a Finanças – FAENE 
Professor de Matemática Financeira – Pós-graduação FAENE/POLIS 
Professor de Matemática e Matemática Financeira – Escola de Formação Gerencial 
– SEBRAE (MA) 
 
 
 
3 
 
 
ÍNDICE 
 
1 FRAÇÃO ....................................................................................... 3 
Tipos de frações ............................................................................... 3 
Exercícios ......................................................................................... 6 
2 PORCENTAGEM ........................................................................... 8 
Exercícios .......................................................................................... 9 
3 PROPORCIONALIDADE ENTRE GRANDEZAS ......................... 11 
4 REGRA DE TRÊS ........................................................................... 12 
Exercícios ........................................................................................... 12 
6 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS:CÁLCULOS DE ÁREA E VOLUME ... 13 
CILINDRO ........................................................................................... 14 
Exercícios ............................................................................................ 15 
ESFERA ...............................................................................................17 
Exercícios .............................................................................................18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
1 FRAÇÃO 
As frações são utilizadas para representar partes de algo inteiro. Além disso, elas são 
as representantes dos números racionais. Esses números também podem ser escritos 
na forma de números decimais e porcentagem. 
O que é fração? 
A fração é uma forma de representar algo dividido em partes iguais. Suponha que 
tenhamos uma barra de chocolate com 8 pedaços. 
 
Observe que a barra é dividida em 8 partes iguais. Imagine agora que foi retirada apenas 
uma parte dessa barra. 
 
Podemos utilizar a fração para representar essa parte que foi retirada. Essa 
parte corresponde a um pedaço de oito. Para escrever essa informação 
matematicamente, basta sobrepor dois números, os quais vamos chamar 
de numerador e denominador. 
 
 
Tipos de frações 
a) Frações equivalentes 
Frações equivalentes são frações que representam a mesma quantidade. Se quisermos 
encontrar frações que são equivalentes para uma fração, basta multiplicarmos o 
numerador e denominador pelo mesmo número natural diferente de zero. 
Exemplo: 
Encontrar frações equivalentes para 1⁄3. Vamos multiplicar 1⁄3 por 2, 3, 4 e 5. 
 
Assim, 2⁄6, 3⁄9, 4⁄12, 5⁄15 são frações equivalentes para 1⁄3. 
Para verificar se duas frações são equivalentes basta multiplicar em forma cruzada. 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-racionais.htm
5 
 
Vamos verificar se 1⁄3 é realmente equivalente a 5⁄15. 
 
 
b) Frações Próprias 
São frações quando o numerador é menor que o denominador. 
Exemplo: 1⁄2, 3⁄8, 5⁄8, etc. 
c) Frações Impróprias 
São frações quando o numerador é maior ou igual ao denominador. 
Exemplo: 5⁄3, 7⁄2, 2⁄2, etc. 
d) Frações Aparentes 
São frações onde o numerador é múltiplo do denominador. 
Exemplo: 9⁄3, 6⁄2, 20⁄5, etc. 
Veja que se multiplicarmos o denominador por um número natural encontramos o 
numerador, por exemplo: 9⁄3, o numerador é o denominador multiplicado por 3. 
Frações aparentes são números inteiros representados em fração, isto é, 3 também pode 
ser representado por 9⁄3 ou 6⁄2. 
e) Frações Mistas 
São frações onde parte dela é um número inteiro e a outra parte é uma fração. 
Exemplo: 2
2
3
 é equivalente a 8⁄3. 
 
f) Outras representações de uma fração 
Podemos representar uma fração de duas formas: a forma decimal e a 
forma percentual. Para escrever uma fração em sua forma decimal, basta dividir o 
numerador pelo denominador. Veja os exemplos a seguir. 
Exemplo: 
Escreva a fração um oitavo na forma decimal e percentual. 
Para escrever essa fração em sua forma decimal, vamos dividir o numerador 1 pelo 
denominador 8. 
1 ÷ 8 = 0,125 
https://matematicabasica.net/multiplos-e-divisores/
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/porcentagem.htm
6 
 
Para escrever a fração em sua forma percentual, devemos multiplicar o denominador por 
um número de forma que a resposta da multiplicação seja igual a 100. Como vimos, se 
multiplicarmos o denominador por 100, teremos que multiplicar o numerador também. 
Veja que 8 · 12,5 = 100, logo vamos multiplicar o numerador e o denominador da fração 
1/8 por 12,5. 
 
Uma maneira mais prática, é tomar a forma decimal da fração e multiplicar por 100. 
Então: 0,125 ∙ 100 = 12,5 %. 
Portanto, a fração 1/8 pode ser escrita de outras duas maneiras: 
 
 
Exercícios 
1) Vinte colegas de trabalho resolveram fazer uma aposta e premiar aqueles que 
mais acertassem os resultados dos jogos de um campeonato de futebol. 
Sabendo que cada pessoa contribuiu com 30 reais e que os prêmios seriam 
distribuídos da seguinte forma: 
 1º primeiro colocado: 1/2 do valor arrecadado; 
 2º primeiro colocado: 1/3 do valor arrecadado; 
 3º primeiro colocado: recebe a quantia restante. 
Quanto, respectivamente, cada participante premiado recebeu? 
a) R$ 350; R$ 150; R$ 100 b) R$ 300; R$ 200; R$ 100 
c) R$ 400; R$ 150; R$ 50 d) R$ 250; R$ 200; R$ 150 
 
2) Em uma disputa entre carros de corrida um competidor estava a 2/7 de terminar 
a prova quando sofreu um acidente e precisou abandoná-la. Sabendo que a 
competição foi realizada com 56 voltas no autódromo, em que volta o competidor 
foi retirado da pista? 
3) Um tanque de armazenamento de um líquido qualquer, com formato cilíndrico, 
está preenchido com 3/5 de seu volume que equivalem a 45 m³. Qual é a 
capacidade total de armazenamento desse tanque? 
 
4) “Tanques de aço inox em formato esférico são muito usados no armazenamento 
de líquidos e gases. Um dos principais objetivos de se utilizar aço inoxidável em 
tanques de armazenamento é prevenir a corrosão, seja da própria atmosfera, 
quando o aço está em ambiente aberto, ou a corrosão no contato com o produto 
armazenado.” 
7 
 
De um tanque esférico de capacidade de 80.000 litros completamente cheio de 
água, foram retirados 3/8 de sua capacidade para utilização em limpeza dos pátios 
de uma empresa. Com base nos dados, pode-se afirmar que o volume de água 
restante no reservatório é 
a) 30 m³ b) 40 m³ c) 50 m³ d) 60 m³ e) 70 m³ 
 
5) Maria, ao resolver umaoperação de adição com frações, encontrou como 
resultado a fração 135/71. Pode-se afirmar que Maria encontrou a fração 
a) 1
64
71
 b) 
64
71
 c) 1
71
64
 d) 
71
64
 e) 2
64
71
 
 
6) Pode-se afirmar que a fração 
74
37
 é 
I) uma fração própria; 
II) uma fração imprópria; 
III) uma fração aparente; 
IV) um número inteiro; 
 
a) I b) II c) II e IV d) III e) IV 
 
7) Para uma festa foram encomendados 750 docinhos, sendo 1/3 de beijinhos. 
Quantos beijinhos foram encomendados para a festa? 
 
8) Um duto para transporte de líquidos possui volume em determinada extensão de 
12 m³. Reduzindo o diâmetro do duto para se obter 2/3 do volume anterior, esse 
duto passa a ter um volume de 
a) 8 m³ b) 6 m³ c) 4 m³ d) 2 m³ e) 1 m³ 
 
9) Um tanque cilíndrico com 100% de volume ocupado tem 125 m³ de um 
determinado gás. Quando esse tanque está com 3/5 de seu volume, podemos 
afirmar que o tanque está com 
a) 30% do seu volume total; 
b) 40% do seu volume total; 
c) 60% do seu volume total; 
d) 70% do seu volume total; 
e) 80% do seu volume total. 
 
10) Um tanque esférico tem volume de 30 m³, que corresponde a 4/5 de seu volume 
total. Determine a capacidade total do tanque. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
2 PORCENTAGEM 
Provavelmente você já se deparou com a expressão por cento em seu dia a dia. Essa 
expressão pode estar nas notícias veiculadas em jornais, TV ou internet, em ofertas 
comerciais e nos bate-papos diários com a família ou com os amigos 
 
Outras situações: 
 JÁ ENVIAMOS 80% DOS 1000 VENTILADORES ENCOMENDADOS! Significa que de 
100 ventiladores encomendados, 80 foram enviados. 
 GRANDE LIQUIDAÇÃO DE 40% DESCONTO NO VALOR DE TODOS OS ARTIGOS. 
Isso significa que a cada 100 reais gastos nesta loja, há um desconto de 40 reais. 
Os valores 40%, 50%, 80%, etc., são chamados de taxas percentuais ou taxas 
porcentuais e podem ser escritos na forma de fração com denominador igual a 100, ou 
na forma decimal chamada de taxa unitária. 
 40% = 
40
100
 = 0,40 ou 0,4 
 50% = 
50
100
 = 0,50 ou 0,5 
 80% = 
80
100
 = 0,80 ou 0,8 
A porcentagem é um valor numérico que representa uma taxa percentual de um 
determinado valor dado. 
Serve para calcular descontos ou acréscimos em valores como: preço de um produto ou 
de um serviço prestado. Serve também para representarmos uma quantidade (parte) de 
um determinado valor (inteiro). 
Veja, a seguir, algumas situações de aplicação do conceito de porcentagem. 
1. Em uma classe do 7º ano de uma escola, com 28 alunos, 8 usam óculos. Qual é a 
porcentagem de alunos que usam óculos em relação ao número total de alunos da 
classe? 
solução: montamos uma razão onde o menor valor será o numerador e o maior valor 
será o denominador. 
8
28
= 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 
9 
 
= 0,286 (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 100) = 
𝟐𝟖, 𝟔 % (𝑎𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜, 𝑜 𝑠í𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 %) 
Aproximadamente 28,6% (vinte e oito vírgula seis por cento) dos alunos da classe usam 
óculos. 
2. Uma camiseta custava R$ 40,00 e sofreu um acréscimo de 5%. Qual o novo preço 
dessa camiseta? 
solução: Vamos calcular o valor do acréscimo: 5% de 40,00 =
5
100
 ∙ 40 = 2,00. 
Para calcular o novo preço, adicionamos o valor do acréscimo ao preço inicial da 
camiseta. 
Assim: 40,00 + 2,00 = 42,00. A camiseta passou a custar R$ 42,00. 
OBS: se for um desconto: subtraímos o valor do desconto do preço dado. 
Exercícios 
1) Calcule o valor das porcentagens abaixo: 
a) 25% de 200 
b) 15% de 150 
c) 50% de 1200 
d) 8% de 389 
e) 12% de 275 
2) Um tanque esférico com capacidade de 30.000 litros, estava completamente cheio de 
gasolina. Sabendo-se que 67% desse combustível foi vendido, qual é 
a) a quantidade de combustível que foi vendido? 
b) a quantidade de combustível disponível para venda no tanque? 
3) “Pedido Perfeito: representa o percentual de pedidos entregues nas condições 
negociadas com o cliente, sem avarias e demais ocorrências.” 
Suponha que uma empresa adota como parâmetro para o pedido perfeito um índice de 
98%, ou seja, para cada 100 produtos entregues, 98 estão nas condições negociadas 
com o cliente. Ela envia para um determinado cliente 200 produtos, que chegam em dia 
e na quantidade correta, mais ao verificar os produtos o cliente registrou que 3 produtos 
estavam com avarias devido ao transporte deles. Observando os valores de produtos 
avariados e o total entregue, podemos dizer que o índice nessa entrega foi de 
a) 1,5% b) 15% c) 45, 5% d) 75% e) 98,5 
4) Um comerciante ofereceu um desconto em sua loja de 20% nas compras para o 
pagamento à vista. Mariana gostou de uma calça que custa R$ 135,00. Quanto Mariana 
pagará à vista pela calça? 
10 
 
5) “Entregas Realizadas no Prazo: Deve ser calculado como o percentual de entregas 
realizadas no prazo dividido pelo total de entregas realizadas (por período, como um 
mês, por exemplo).” Uma transportadora em um mês, com 130 entregas de produtos a 
realizar, conseguiu fazer 125 entregas dentro do prazo e apenas 5 fora do prazo. Com 
base nas informações, qual o percentual de entregas realizadas no prazo? 
6) Aline foi comprar uma blusa que custava R$ 32,90, e conseguiu um desconto de 12%. 
Quanto Aline pagou pela blusa? 
7) Nilson decidiu compra um sítio e vai dar como entrada 25% do preço total, que 
corresponde a R$ 28.000,00. Qual é o preço do sítio? 
8) Nádia teve um reajuste salarial de 41%, e seu salário era de R$ 4.089,00. Qual será 
o novo salário de Nádia a depois do reajuste? 
9) “Precisão dos pedidos: mede as devoluções das entregas realizadas. É calculado 
como o total devolvido (em unidades do produto ou em R$) sobre o total enviado 
(também em unidades do produto ou em unidades monetárias).” Uma empresa envia 
para um determinado cliente 200 produtos, que chegam em dia e na quantidade correta, 
mais ao verificar os produtos o cliente registrou que 3 produtos estavam com avarias 
devido ao transporte deles e foram devolvidos. Então o percentual de precisão dos 
pedidos foi de 
a) 1,0% b) 1,5% c) 2,0% d) 2,5% e) 3,0% 
10) Com base no enunciado da 5ª questão, qual é o percentual de entregas realizadas 
fora do prazo? 
11. Noemi esqueceu de pagar em dia a conta de água de sua casa no mês passado no 
valor de R$ 120,00. No entanto, esse mês veio a cobrança de uma multa de R$ 15,00. 
A quantos por cento do valor da conta vencida corresponde a multa? 
12. Um terreno foi destinado à construção de uma grande praça, sendo que uma quadra 
de esportes de 200 m² ocupa 20% da área do terreno. Qual é a área total do terreno? 
13. Da população total de um determinado país, 32% são mulheres. Sabe-se que 50% 
das mulheres ocupam algum cargo político. Em relação à população total, qual a 
porcentagem de mulheres que ocupam algum cargo político? 
14. Sônia teve um aumento de salário de 5% no mês de janeiro e outro aumento 
de 10% no mês seguinte. Como você calcularia a taxa total do aumento que Sônia 
recebeu nesses dois meses? 
15. Em uma liquidação, o preço de uma saia sofreu um desconto de 15%. Como não foi 
vendida, no mês seguinte sofreu mais um desconto de 12%. Qual foi a taxa total de 
desconto? 
16. Robson comprou um automóvel usado por R$ 10 000,00. Alguns meses depois, 
vendeu esse carro para Iuri com 20% de lucro. Depois de algum tempo, Iuri vendeu o 
mesmo carro para Francisco com 20% de prejuízo. O que aconteceu com o preço final 
do automóvel, voltou a R$ 10 000,00? Comente o resultado obtido. 
 
11 
 
3 PROPORCIONALIDADE ENTRE GRANDEZAS 
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra 
também dobra; triplicando uma delas, a outra também triplica, e assim por diante. 
Ou seja, quandouma grandeza aumenta a outra também aumenta ou quando uma 
grandeza diminui a outra também diminui na mesma proporção. 
Exemplos: 
 quantidade e preço: quando aumenta a quantidade, aumenta o preço. Ou quando diminui 
a quantidade, diminui o preço. 
 velocidade e distância: quanto maior a velocidade maior a distância percorrida. 
 Consumo de combustível e quilômetros percorridos por um veículo: quanto maior a 
quilometragem maior será o consumo de combustível. 
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
Uma escola tem 48 livros para distribuir igualmente entre os vencedores de uma gincana 
escolar. Se os vencedores forem dois alunos, cada um deles receberá 24 livros. Se forem 
quatro alunos, cada um receberá 12 livros. E se forem seis alunos, cada um receberá 8 
livros. Vamos colocar esses dados na tabela seguinte: 
Nº de alunos vencedores Nº de livros distribuídos 
 2 24 
 4 12 
 8 6 
Analisando a tabela, você pode notar que: 
• se o número de alunos vencedores duplica, o número de livros distribuídos para cada 
aluno cai para a metade; • se o número de vencedores triplica, o número de livros 
distribuídos para cada aluno cai para a terça parte. 
As duas grandezas aqui envolvidas (o número de alunos vencedores e o número de 
livros que serão distribuídos a cada aluno) são chamadas grandezas inversamente 
proporcionais. 
“Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra 
se reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte, e 
assim por diante.” 
Ou seja, quando uma grandeza aumenta a outra diminui ou vice-versa. 
Exemplos: 
12 
 
• vazão de água e tempo: quanto maior a vazão da água menor será o tempo gasto 
para encher um recipiente. 
• velocidade e tempo: quanto maior a velocidade menor será o tempo gasto para 
percorrer uma mesma distância. 
 
4 REGRA DE TRÊS 
A regra de três simples consiste em observar a variação de duas grandezas dependentes 
e aplicar o conceito de grandezas proporcionais: se são diretamente ou inversamente 
proporcionais. 
A regra de três consiste em montarmos uma proporção entre os elementos dados e 
aplicar a propriedade fundamental: produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
Como resolver uma regra de três simples? 
Para resolver-se situações utilizando a regra de três, é fundamental que exista a 
proporcionalidade, além disso, é de grande importância a identificação da relação entre 
as grandezas. 
Os problemas que envolvem regra de três simples podem ser separados em dois casos, 
quando as grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Ao 
deparar-se com qualquer questão que possa ser resolvida com regra de três, seguimos 
os seguintes passos: 
1º passo – Identificar as grandezas e construção da tabela. 
2º passo – Analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
• Se forem diretamente proporcionais, então colocaremos ao lado das grandezas duas 
setas no mesmo sentido; 
• Se forme inversamente proporcionais, então colocaremos ao lado das grandezas duas 
setas em sentidos contrários. 
3º passo – Montar a proporção obedecendo a posição das setas colocadas no passo 2. 
4º passo – Aplicar a propriedade fundamental das proporções, e, por fim, resolver a 
equação. 
Exercícios 
1. Diagramar é determinar a disposição de textos e imagens em uma página de um livro, 
jornal ou revista, por exemplo. Para diagramar um livro que tem 45 linhas em cada 
página, são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas seriam 
necessárias para diagramar o mesmo livro? 
13 
 
2. Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. 
Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 40 
operários com as mesmas qualificações que os primeiros, em quantos dias a cobertura 
estaria pronta? 
3. Para azulejar uma parede retangular que tem 19,5 m2 de área foram usados 585 
azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para cobrir uma parede que 
tem 15 m2 de área? 
4. Um pequeno avião voando a 450 km/h leva 4 horas para ir da cidade A à cidade B. 
Que tempo gastaria outro avião para percorrer o mesmo trajeto se sua velocidade média 
fosse de 750 km/h? 
5. Com o auxílio de uma corda, que julgava ter 2 metros de comprimento, medi a 
extensão de um fio elétrico e encontrei 80 metros. Descobri, mais tarde, que a corda 
media, na realidade, 2,05 metros. Qual a extensão verdadeira do fio? 
6. Uma lâmpada de 40 watts pode funcionar por 15 horas, a certo custo. Por quanto 
tempo poderá funcionar uma lâmpada de 60 watts, para que o custo permaneça o 
mesmo? 
7. Certa quantidade de óleo foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se 60 
latas cheias de óleo. Se fossem usadas latas de 3 litros cada uma, quantas seriam 
necessárias para colocar a mesma quantidade de óleo? 
8. Para fazer uma geleia, dona Helena usou 3 kg de açúcar e 2,5 kg de frutas. Se ela 
tem 4 kg de frutas, quantos quilogramas de açúcar deverá usar para fazer a mesma 
geleia? 
9. Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B 
em 16 minutos. Se o percurso de volta foi feito em 12 minutos, qual a velocidade média 
na volta? 
10. O ponteiro menor de um relógio percorre um ângulo de 30 graus em 60 minutos. 
Então, para percorrer um ângulo de 42 graus, o ponteiro menor levará? 
11. Com 7 pacotes de pão de forma, Cristina faz 105 sanduíches. Quantos pacotes de 
pão de forma ela vai usar para fazer 150 sanduíches do mesmo tamanho que os 
anteriores? 
 
 
6 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: CILINDROS E ESFERAS 
Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais, possuem largura, comprimento e 
altura, e podem ser classificados entre poliedros e não poliedros (corpos redondos). 
O volume é a medida que corresponde a quantidade de espaço ocupado por um 
determinado objeto. 
 
14 
 
A área de um sólido geométrico pode ser obtida pela soma das áreas de cada uma das 
figuras geométricas que o compõem. 
OBSERVAÇÃO: UMA RELAÇÃO IMPORTANTE – VOLUME E CAPACIDADE 
1m³ = 1000 litros 
1dm³ = 1 litro 
Cilindro 
Considere um cilindro de altura h e raio da base r, conforme a figura a seguir: 
 
A área total do cilindro dada por: 
A = 2πr(r + h) 
O volume do cilindro refere-se ao espaço interno desse sólido geométrico. 
O volume do cilindro pode ser interpretado da seguinte forma, observe que a base dele 
é uma circunferência, assim, se sobrepormos essa circunferência até que cheguemos 
ao topo do cilindro, teremos ocupado todo o volume desse sólido. Portanto, o volume do 
cilindro pode ser expresso como a área da circunferência somada h vezes, isto é, a área 
da circunferência multiplicada por h, que é a altura do cilindro. Veja: 
 
Ex: Determine o volume de um cilindro que possui raio da base medindo 5 cm e altura 
medindo 6 cm. 
Resolução 
Veja que o exercício os forneceu a medida do raio r = 5 cm e altura h = 6 cm. Substituindo 
essas informações nas fórmulas temos: 
 
Ex: (Vunesp) Uma pessoa comprou um litro de leite, e, após beber certa quantidade, 
colocou o restante dele em uma caneca de alumínio na forma de um cilindro circular reto, 
com 10 cm de diâmetro interno, conforme ilustra a figura: 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/conceitos-basicos-circunferencia.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/area-circulo.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/area-circulo.htm
15 
 
 
Sabendo-se que o leite, ao ser colocado na caneca, atingiu a altura de 8 cm, pode-se 
concluir corretamente que a quantidadede leite que a pessoa havia bebido antes de 
colocá-lo na caneca era: 
a) 300 ml 
b) 350 ml 
c) 400 ml 
d) 450 ml 
e) 500 ml 
(Dado: 𝜋 = 3) 
Resolução 
Alternativa c. 
Vamos determinar o volume de leite no recipiente: 
V = 𝜋 · r2 · h 
V = 52 · 8 · 𝜋 
V = 25 · 8 · 𝜋 
V = 200 ·𝜋 → V = 200 ·(3) 
V = 600 cm3 
Sabemos que 600 cm3 → 0,6 dm3 → 0,6 L. Pelo enunciado, inicialmente tínhamos 1L de 
leite, como, após beber certa quantidade dele, sobrou 0,6 L, então sabemos que foram 
bebidos 0,4L de leite, que corresponde a 400ml. (alternativa C) 
 
Exercícios 
1)(UEMG) O diâmetro da base de um cilindro reto tem 10cm. Sabendo que a altura do 
cilindro é 12cm, o seu volume é: 
a) 120 πcm³ b) 1440πcm³ c) 300πcm³ d) 1200πcm³ 
2) Quantos metros cúbicos de terra foram escavados para a construção de um poço que 
tem 10m de diâmetro e 15m de profundidade? 
3) . (UNIFOR) Um combustível líquido ocupa uma altura de 8 m em um reservatório 
cilíndrico. Por motivos técnicos, deseja-se transferir o combustível para outro 
reservatório, também cilíndrico, com raio igual a 2,5 vezes o do primeiro. A altura 
ocupada pelo combustível nesse segundo reservatório, em metros é: 
a) 1,08 b) 1,28 c) 1,75 d) 2,18 e) 2,66 
16 
 
4) (UNIFOR) Pretende-se construir uma caixa d’água, com a forma de um cilindro reto, 
cujo diâmetro da base mede 3 m. Se essa caixa deve comportar no máximo 16740 litros 
d’água, quantos metros ela deverá ter de altura? (Use: π = 3,1). 
a) 2,75 b) 2,40 c) 2,25 d) 1,80 e) 1,75 
5) (UFRN) Um depósito cheio de combustível tem a forma de um cilindro circular reto. O 
combustível deve ser transportado por um único caminhão distribuidor. O tanque 
transportador tem igualmente a forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro da base 
mede 1/5 do diâmetro da base do depósito e cuja altura mede 3/5 da altura do depósito. 
O número mínimo de viagens do caminhão para o esvaziamento completo do depósito 
é: 
a) 41 b) 42 c) 40 d) 43 
6) Qual a massa de mercúrio, em quilogramas, necessária para encher completamente 
um vaso cilíndrico de raio interno 6 cm e altura 18 cm, se a densidade do mercúrio é 13,6 
g/cm³? 
7) Um reservatório em formato cilíndrico possui raio igual a 2 metros e sua altura é de 10 
metros, como mostra a imagem a seguir. Qual é o volume desse reservatório? (considere 
π = 3,14). 
 
 
a) 125,6 m3 b) 115,6 m3 c) 100,6 m3 d) 75,6 m3 
e) 15,6 m3 
8) Um cilindro possui volume igual a 7850 cm3 e seu diâmetro mede 10 centímetros. Qual 
é a medida da altura desse cilindro? (Considere π = 3,14). 
a) 50 cm b) 100 cm c) 120 cm d) 150 cm e) 200 cm 
9) (Enem) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de 
moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 m x 10 cm (conforme ilustram as 
figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma 
cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina.
https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-cilindro.htm
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 Supondo que o custo da vela seja 
diretamente proporcional ao volume da parafina empregado, o custo da vela do tipo I, 
em relação ao custo da vela do tipo II, será: 
a) o triplo. b) o dobro. c) igual. d) a metade. e) a terça parte. 
10) A figura abaixo mostra um reservatório de água na forma de cilindro circular reto, 
com 6 m de altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é suficiente para 
abastecer, por um dia, 900 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água. 
Suponha que, um certo dia, após uma campanha de conscientização do uso da água, 
os moradores das 900 casas abastecidas por esse reservatório tenham feito economia 
de 10% no consumo de água. Nessa situação: 
 
a) a quantidade de água economizada foi de 4,5 m3. 
b) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do dia, foi igual a 60 
cm. 
c) a quantidade de água economizada seria suficiente para abastecer, no máximo, 90 
casas cujo consumo diário fosse de 450 litros. 
d) os moradores dessas casas economizariam mais de R$ 200,00, se o custo de 1 
m3 de água para o consumidor fosse igual a R$ 2,50. 
e) um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base 10% menor que o 
representado, teria água suficiente para abastecer todas as casas. 
 
Esfera 
A esfera é definida como "uma sequência de pontos alinhados em todos os sentidos a 
uma mesma distância de um centro comum". Essa figura também é um sólido 
https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-cilindro.htm
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geométrico, uma vez que, é formada a partir da revolução de uma semicircunferência 
sobre o seu próprio eixo. 
A área total da esfera é dada por 𝐴𝑒𝑠𝑓 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2 
O volume da esfera refere-se ao espaço interno desse sólido geométrico. 
Fórmula do volume da esfera 
𝑉 =
4
3
𝜋 ∙ 𝑟3 
 
Exemplos: 
Um reservatório esférico possui um raio interno de 2m. Quantos litros de gás cabe nesse 
reservatório? Utilize o valor de π = 3,14. 
𝑉 =
4
3
 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟3 
𝑉 = 
4
3
∙ 3,14 ∙ 2³ 
𝑉 = 
4
3
 ∙ 3,14 ∙ 8 
𝑉 = 
100,48
3
 
 V = 33,49 m³ 
 
Exercícios 
1) Determine o volume de uma esfera cuja superfície tem área de 2cm324 . 
2) (UNITAU) Uma esfera está inscrita em um cubo de aresta 4cm. Calcule a área da 
superfície esférica e o volume da esfera. 
3) (UFRGS) Uma panela cilíndrica de 20cm de diâmetro está completamente cheia de 
massa para doce, sem exceder a sua altura, que é 16cm. O número de doces em formato 
de bolinhas de 2cm de raio que se podem obter com toda a massa é: 
a) 300 b) 250 c) 200 d) 150 e) 100 
4) Um frasco de perfume de forma esférica, com raio de 4 cm, contém perfume em 1/4 
de seu volume total. Se uma pessoa utilizar, todos os dias, 2 ml, do perfume, das 
alternativas abaixo, a que indicará o maior período de tempo de duração do perfume 
será: (considere π = 3) 
a) 16 dias b) 32 dias c) 26 dias d) 54 dias e) 43 dias 
19 
 
5) Uma fundição transformou uma esfera maciça de ferro em oito esferas maciças de 
raio 5 cm. Qual é a medida do raio da esfera original? 
6) CEMIG). O volume de uma esfera de raio r é (4/3).π.r³. Se um balão esférico é inflado 
até que o seu raio seja quadruplicado, então o seu volume é aumentado pelo fator: 
a) 1024 
b) 256 
c) 64 
d) 164 
7) AMEOSC). Pretende-se encher uma bexiga até que ela atinja 20 cm de diâmetro. 
Considere que essa bexiga é esférica. Quantos litros de água serão necessários? 
a) 4,2 litros. 
b) 3,8 litros. 
c) 3,1 litros. 
d) 2,5 litros. 
8) Um reservatório esférico possui um raio interno de 2m. Quantos litros de gás cabe 
nesse reservatório? Utilize o valor de π = 3,14. 
9) Um tanque esférico de raio igual a 8 m, está cheio com determinado gás. Qual o 
volume e a capacidade ocupada pelo gás no tanque? 
10) É comum utilizar o formato cilíndrico para confecção de tanques de armazenamento 
de líquidos. Qual a capacidade total armazenada por um tanque cilíndrico de altura igual 
a 15 m e diâmetro 24 m? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referência Bibliográfica 
DANTE, LUIZ ROBERTO. (2008) Tudo é Matemática. 3a ed. 4 vols. São Paulo: Ática. 
 
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ANDRINI, Á. Novo Praticando Matemática. ÁlvaroAndrini, Maria José C. de 
V. Zampirolo. – São Paulo: Editora do Brasil, 2002. 
 
BARROSO, J. M. Matemática. Projeto Araribá: 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries. São Paulo: Moderna, 
2006, 1º ed. BRASIL, MEC. 
 
Giovanni Júnior, José Ruy. A conquista da matemática, 8º ano/ José Ruy Giovanni 
Júnior, Benedicto Castrucci. - Ed. renovada. São Paulo: FTD, 2009 
 
	APOSTILA DE MATEMÁTICA
	PROFESSOR MOACIR BARROS
	2023
	APRESENTAÇÃO
	O intuito deste material é oferecer ao aluno um material que norteie o trabalho com as ideias matemáticas, levando em consideração as especificidades do curso.
	Espera-se que este contato com os conceitos matemáticos contribua para que se estabeleça uma relação significativa entre o aluno e o conhecimento da Matemática, pautada pela curiosidade e pela reflexão.
	Ao longo dos assuntos desta obra, pretende-se ainda estabelecer um elo entre a Educação Matemática e a formação do sujeito autônomo e consciente do seu papel, tendo em vista que paradigmas em Educação apontam para a formação de um aluno crítico, capaz...
	Espera-se que tudo isso possa contribuir para a dinâmica dos atos de aprender e de ensinar, levando a aprendizagens significativas e prazerosas na área da Matemática.
	Bons estudos!
	Professor Moacir Barros*
	*Moacir Nicolau Barros Júnior
	Licenciado em Matemática – UFMA
	Especialista em Auditoria, Controladoria e Finanças – FAENE
	Professor da rede Estadual (MA) e municipal (São Luís- MA)
	Professor de Estatística e Introdução a Finanças – FAENE
	Professor de Matemática Financeira – Pós-graduação FAENE/POLIS
	Professor de Matemática e Matemática Financeira – Escola de Formação Gerencial – SEBRAE (MA)
	ÍNDICE
	1 FRAÇÃO ....................................................................................... 3
	Tipos de frações ............................................................................... 3
	Exercícios ......................................................................................... 6
	2 PORCENTAGEM ........................................................................... 8
	Exercícios .......................................................................................... 9
	3 PROPORCIONALIDADE ENTRE GRANDEZAS ......................... 11
	4 REGRA DE TRÊS ........................................................................... 12
	Exercícios ........................................................................................... 12
	6 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS:CÁLCULOS DE ÁREA E VOLUME ... 13
	CILINDRO ........................................................................................... 14
	Exercícios ............................................................................................ 15
	ESFERA ...............................................................................................17
	Exercícios .............................................................................................18
	1 FRAÇÃO
	O que é fração?
	Frações equivalentes são frações que representam a mesma quantidade. Se quisermos encontrar frações que são equivalentes para uma fração, basta multiplicarmos o numerador e denominador pelo mesmo número natural diferente de zero.
	b) Frações Próprias
	c) Frações Impróprias
	d) Frações Aparentes
	e) Frações Mistas
	f) Outras representações de uma fração
	Exemplo: