Aula 10 - RM I - Torção - 2Sem -2015

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2º sem. 2015 - Prof. Rodrigo Borges Santos
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Resistencia dos Materiais I
Torção
	- Deformação por torção de um eixo circular
	- A fórmula da torção
	- Ângulo de torção
	- Transmissão de potência
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS
Faculdade de Engenharia – Engenharia Mecânica
Aula 10
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Resistência dos Materiais I
Torção
Deformação por torção de um eixo circular
Torque é o momento que tende a torcer o membro em torno do seu eixo longitudinal. Seu efeito é de interesse principal no projeto de eixos de acionamento usados em veículos e máquinas.
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A torção faz os círculos permanecerem como círculos e cada reta longitudinal da malha deforma-se em hélice. As seções transversais permanecem planas e as retas radiais permanecem retas durante a deformação.
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Resistência dos Materiais I
Torção
Deformação por torção de um eixo circular
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Destacando da barra um cilindro de raio ρ. Como uma carga de torção é aplicada, um elemento no interior do cilindro deforma em um losango.
A deformação de cisalhamento é igual ao ângulo entre as linhas BA e BA’. Quando γ é pequeno, AA’ é igual a:
ou
e
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Resistência dos Materiais I
Torção
Fórmula da Torção
Quando um torque externo é aplicado a um eixo, cria um torque interno correspondente no interior do eixo. 
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Cada elemento de área dA , localizado em ρ, está sujeito a uma força dF =τdA
O torque produzido por essa força é dT=ρ(τdA). Portanto, para toda a seção temos:
Se o material for linear-elástico, ocorre uma variação linear na deformação por cisalhamento, o que consequentemente leva a uma variação linear na tensão de cisalhamento ao longo de qualquer reta radial na seção transversal.
Soma dos momentos da distribuição de tensões internas é igual ao torque na seção da barra.
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Torção
Fórmula da Torção
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Então, 
A integral
e ela representa o momento polar de inercia (J) da área da seção transversal do eixo. Assim podemos escrever a fórmula da torção, 
Temos, 
Da lei de Hooke, τ=G γ, obtemos 
Multiplicando pelo modulo de elasticidade transversal, G
depende somente da geometria,
T: torque interno resultante que atua na seção transversal;
J: momento de inércia polar;
ρ: medida intermediária entre o centro do eixo e a extremidade do raio;
c: raio externo do eixo.
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Torção
Eixo maciço
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Fórmula da Torção
O momento polar de inércia J pode ser determinado por meio de um elemento de área dA na forma de um anel diferencial, de espessura dρ e circunferência 2πρ, portanto:
Eixo tubular
Sendo ci o raio interno e c0 o raio externo.
Observe que J é uma propriedade geométrica da área circular e é sempre positivo. A unidade para J é o mm4
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Torção
Convenção de sinais
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Fórmula da Torção
Utiliza-se a regra da mão direita, pela qual o torque e o ângulo serão positivos se a direção indicada pelo polegar for no sentido de afastar-se do elemento considerado quando os dedos são fechados para indicar a tendência da rotação.
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Torção
Exemplo 1
O eixo mostrado está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção a-a do eixo.
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Torção
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Solução 1
Torque interno
Pelo diagrama de corpo livre do segmento esquerdo, temos
Propriedade da seção 
O momento polar de inércia para o eixo é
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Solução 1
Tensão de cisalhamento
Visto que o ponto A se encontra
em ρ = c = 75 mm,
Da mesma forma, para o ponto B, em ρ =15 mm, temos
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Ângulo de Torção
Multiplicando pelo modulo de elasticidade transversal, G
Assim, o ângulo de torção Ф de uma extremidade do eixo em relação à outra é dado por,
Ф: ângulo de torção [radianos];
T: torque interno na extremidade do elemento;
J: momento de inércia polar da seção transversal;
G: módulo de elasticidade ao cisalhamento do material.
Vimos que,
Então,
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Ângulo de Torção
Se o eixo estiver sujeito a diversos torques diferentes, ou a área da seção transversal ou ainda o módulo de elasticidade ao cisalhamento mudar de uma região para outra, a equação para calcular o ângulo de torção será aplicada a cada segmento do eixo em que essas quantidades sejam constantes.
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Exemplo 2
Considere o eixo mostrado na figura que está submetido a quatro torques. Determinar o ângulo de torção da extremidade A em relação à extremidade D. 
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Solução 2
Visto que o torque interno muda em B e C, os torques internos para cada segmento são:
TAB = +80 N.m
TBC = -70 N·m 
TCD = -10 N · m. 
Pela regra da mão direita, torques são positivos quando direcionados para longe da extremidade secionada.
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Solução 2
Esses resultados também são mostrados no diagrama de torque para o eixo.
Se substituirmos os outros dados e encontrarmos uma resposta positiva, significa que a extremidade A girará na direção indicada pelos dedos da mão direita.
Assim, o ângulo de torção é dado por, 
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Transmissão de Potência
Eixos e tubos de seções circulares são frequentemente usados para transmitir potência e estão sujeitos a torques que dependem da potência gerada pela máquina e da velocidade angular do eixo. 
Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo. Portanto, se durante um instante dt um torque aplicado T provocar a rotação dθ no eixo, então a potência instantânea será
Visto que a velocidade angular do eixo ω = dθ/dt, podemos expressar a potência como
No SI, potência é dada em Watts 
Quando é dada a frequência de rotação (f) de um eixo em Hz (ciclos/segundos), a potênciatorna-se
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Transmissão de Potência
Projeto de eixo
Se a tensão de cisalhamento admissível, τadm, para o material for conhecida, podemos determinar as dimensões da seção transversal do eixo pela formula da torção.
Se o eixo for maciço
Se o eixo for tubular
Obtém-se um valor único para c.
Pode-se escolheres valor arbitrários para c0 e ci e calcular o raio c.
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Exemplo 3
Um eixo maciço de aço AB mostrado na figura será usado para transmitir 3750 W do motor M ao qual está acoplado. Se o eixo girar ω=175 rpm e o aço tiver uma tensão de cisalhamento admissível τadm=100 Mpa, determine o diâmetro exigido para o eixo com precisão de mm. 
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Solução 3
O torque no eixo é
sendo
Assim,
e
Aplicando,
e
Visto que
selecionar
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Exercícios
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Bibliografia
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Universidade Federal da Grande Dourados - UFGD / Eng. Mecânica
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