2 - Apostila derivadas aluno

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08/09/2014 
1 
Introdução à derivação 
 
Conceitos básicos 
1 
Docente: Diana Vega Marona 
diana.marona@restinga.ifrs.edu.br 
 
Motivação 
• Objetivo: estudar mudança no valor de funções na vizinhança de pontos. 
2 
Ao se dar passos de mesma projeção horizontal, qual caminho levará a uma maior 
mudança na altitude? 
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2 
 Os valores de funções num determinado ponto nos permitem afirmar a posição 
relativa entre esses valores, mas são incapazes de nos dizer como elas se modificam 
na vizinhança desse ponto. 
3 
Variação das funções 
 De modo geral, quando uma grandeza y está expressa em função de uma 
outra x, ou seja, y=f(x), observamos que, para uma dada variação de x, ocorre, em 
correspondência, uma variação de y, desde que y não seja uma função constante. 
4 
 Muitos fenômenos da natureza se acham ligados a variações, 
ou melhor a “taxas de variações”. 
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3 
Exemplos 
•Para construir uma rede de distribuição de água de uma cidade, temos que saber, 
quanto de água consome por dia uma pessoa, isto é, qual é a “taxa” diária do 
consumo de água de uma pessoa. 
 
•O dono de uma fábrica está interessado na “velocidade” com que varia a produção da 
mesma,ou seja, quantos parafusos a fábrica produz por hora. 
 
•Um motorista pode querer saber quantos quilômetros o seu automóvel pode 
percorrer por hora. 
5 
Quem está por trás das mudanças nas vizinhanças? 
6 
 O coeficiente angular da reta tangente à curva pode indicar se há 
crescimento ou decrescimento, além da intensidade da mudança. 
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4 
Lembrando..... 
• Em uma função de 1° grau, a inclinação é definida pelo coeficiente angular m 
 
 
 
 m= taxa de variação da função y por unidade de variação de x 
7 
y2-y1 
x2-x1 
Quem está por trás das mudanças nas vizinhanças? 
O que dizer dos coeficientes angulares das retas tangentes? 
O que dizer do comportamento da função? 
cresce 
cresce mais rápido 
decresce 
decresce mais lento 
8 
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5 
Exemplo 1 
• O custo para se produzir x unidades de um produto é de c(x)=2x+1000 dólares. 
Qual é o significado econômico do coeficiente angular desta reta? 
9 
C(x)=2x+1000 
Custo fixos 
O coeficiente angular 
da reta é 2. Esse 
número representa o 
custo necessário para 
se produzir uma 
unidade adicional. 
Qtd produzida Custo total 
1500 4000 
1501 4002 
1502 4004 
Sempre que x é aumentado de 1 unidade, o custo 
aumenta em 2 unidades. 
Exemplo 2 
 Um complexo de apartamentos tem um tanque para armazenar óleo 
utilizado para aquecimento. Em primeiro de janeiro, encheu-se o tanque e não há 
previsão de entrega de óleo até março. Denote por t o número de dias contados a 
partir de primeiro de janeiro e denote por y o número de galões de óleo no tanque. 
Baseado nos registros atuais do complexo de apartamentos, y e t estão relacionados 
através da função 
y = 30000 - 400 t 
10 
 Qual interpretação pode ser dada para o coeficiente angular desta reta, e para o 
número 30 000 que aparece na lei de formação da função? 
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6 
 Suponha que f seja o espaço percorrido por um automóvel, digamos 200 
km e que x foi o tempo gasto para percorrê-lo, igual a 4 horas. 
Taxa média de variação 
11 
Então a taxa média de variação de f em relação a x será o quociente: 200/4 em km 
por hora, ou seja, igual a 50 km/h. 
 
 
 
Para este caso, a taxa de variação 
recebe o nome de 
“velocidade”. 
Exemplo introdutório: 
Exemplo 2 
 Numa residência, no dia 12 de outubro foram consumidos 800 litros de água e no 
dia 14 de outubro 1.200 litros de água. Durante este intervalo de dois dias, qual foi o consumo 
médio de água diário, isto é, qual foi a taxa média de variação do consumo de água ao dia? 
12 
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7 
Taxa média de variação 
   
x
xfxxf
x
y




 00
13 
 x0 
 
 f(x0) 
 
f(x) 
x 
y = f(x0+x) - f(x0) 
 
 
Expressa a variação 
entre dois pontos 
sofrida pelo valores 
da função, quando 
x passa do x0 para 
x0 +  x. 
 
x0+x 
f(x0+x) 
Exemplo 1 
14 
13 
 
4 
 x=3 
y = f(x0+x) - f(x0) 
y = 13 – 4 =9 
 
1 4 
Calcular a taxa de variação da função f(x)=3x+1 , para x variando de 1 até 4. 
 
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8 
Exemplo 2 
 Uma micro-empresa de reagentes químicos, apresenta um custo fixo de $1970,00 e 
um custo variável de $29,00 por litro produzido. Determine a variação do custo desta empresa, 
em média, ao passar a produção de 9 para 10 litros. 
15 
Exemplo 3 
 Seja , calcule a taxa média de variação desta função no 
intervalo [0,2]. 
16 
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9 
Exemplo 4 
 Quando uma bola é jogada para cima verticalmente no ar, sua posição pode ser 
medida como a distância vertical entre a bola e o solo em lugar de se utilizar algum ponto de 
referência fixo. Considere como direção positiva a que aponta para cima, e seja 
d(t) a altura da bola em pés após t segundos , dada por: 
17 
Observe que o gráfico não mostra a trajetória da bola, ela está subindo e caindo em linha reta. 
a) Qual é a velocidade no decorrer dos 2 primeiros segundos? 
b) Qual é a velocidade no instante 2 segundos? 
c) Qual é a aceleração no decorrer dos 2 primeiros segundos? 
d) Quando a altura da bola é de 117 pés? 
Resolução: 
altura segundos 
a) Qual é a velocidade no decorrer dos 2 primeiros segundos? 
b) Qual é a velocidade no instante 2 segundos? 
Taxa de variação instantânea! 
18 
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10 
Resolução (continuação): 
c) Qual é a aceleração no decorrer dos 2 primeiros segundos? 
d) Quando a altura da bola é de 117 pés? 
Bhask. 
19 
 Um menino, deixa cair de um balão que está à 125m do solo, um saco de 
areia. Desprezando-se a resistência do ar, a distância do solo ao saco de areia é dada 
por , onde t é dado em segundos. 
Com base nisto, responda: 
a)A velocidade do saco de areia entre 1 e 3 segundos. 
b)A velocidade no instante 1 segundo. 
  1255 2  ttd
Tente você!!!! 
20 
Respostas: a) -20m/s b) -10m/s 
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Derivadas 
• Ferramenta matemática utilizada para medir razões entre duas variáveis; 
 
• Relaciona razões entre variáveis com a inclinação do gráfico, ou seja, 
fornece uma medida numérica de inclinação de uma curva em um 
determinado ponto; 
 
21 
Derivadas 
 Quando tomamos o limite da TMV, fazendo , estamos calculando a 
derivada da função f em x0, isto é: 
0x
 
   
x
xfxxf
xf
x 



00
0
0
' lim
22 
Lê-se: derivada primeira da função f em x0. 
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Notações diversas 
23 
Voltando ao exemplo da trajetória da bola: 
24 
Quando uma bola é jogada para cima verticalmente no ar, sua posição pode ser 
medida como a distância vertical entre a bola e o solo em lugar de se utilizar algum 
ponto de referência fixo. Considere como direção positiva a que aponta para cima, e 
seja a altura da bola em pés após t segundos. Com base nisto, 
determine: 
Qual é a velocidade no instante 2 segundos? 
Um dos questionamentos era: 
Tínhamos resolvido fazendo: 
Isto nada mais é do que d’(2)! 
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Exemplos de fixação 
• Calcule a derivada das funções abaixo no ponto indicado: 
 
  ?1
4
'
2


f
xxf  
  ?4
1
'
2


h
xxh
25 
 
  ?3
5
' 

g
xxg
a)b) 
c) 
 
   
x
xfxxf
xf
x 



00
0
0
' lim
Função derivada 
 Quando não especificamos um valor para x0 obtemos uma fórmula para a derivada. 
Exemplo 
Dada a função , determine . 
 
 
  xxxf 52 
26 
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14 
Exemplo 
27 
Exemplo (continuação) 
28 
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15 
Regras básicas 
29 
 A derivada de uma função constante é nula, isto é, se c é um número 
real, então: 
 Se f é uma função derivável e c é um número real, então a função c.f 
também é derivável e 
30 
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16 
Seja n qualquer número real e , então f é derivável e 
31 
 A soma (ou diferença) de duas funções deriváveis f e g também é uma função 
derivável. Além disso, a derivada de f+g (ou f-g) é dada por 
32 
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17 
Regra prática 
 Encontre a derivada das funções abaixo, escrevendo o resultado em sua forma simplificada: 
  75412) 23  xxxxfa
  7
2
35
)
2
 x
x
x
xfb
33 
  22
3
) 5
4
 x
x
xfc
 O produto de duas funções deriváveis f e g também é uma função 
derivável. Além disso, a derivada de f.g é o produto da derivada da primeira 
função com a segunda função, somada ao produto da primeira função com a 
derivada da segunda função, ou seja, 
34 
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18 
Exemplo 
35 
Graficando..... 
36 
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19 
Tente você! 
37 
 O quociente f/g de duas funções deriváveis f e g também é uma função 
derivável para todos os valores de x para os quais g(x) ≠ 0. Além disso, a derivada 
de f/g é igual à diferença do produto do denominador com a derivada do 
numerador e do produto do numerador com a derivada do denominador, tudo 
dividido pelo quadrado do denominador, ou seja, 
38 
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20 
Exemplo 
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Graficando.... 
40 
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21 
Tente você! 
41 
Interpretação geométrica 
tg
x
y
xx
xfxf
xxx






 0
0
0 lim
)()(
lim
0
tgxf )(' 0 42 
 x0 x 
 f(x) 
 
 f(x0) 
 
f(x) 
f(x) função contínua 
x0 elemento do domínio de f 
Reta secante s 
 
Reta tangente t 
 
 Quando x0, a reta s ficará próxima a reta t, que é a tangente a curva no ponto (x0, f(x0)). Logo  
tende a , isto é, 
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 Isto é, conforme o ponto Q se aproxima do ponto P, o coeficiente angular da reta 
secante se aproxima do coeficiente angular da reta tangente. 
Logo, a equação da reta tangente a 
função f(x) no ponto (x0,f(x0)) é dada 
por: 
    000 ' xxxfxfy 
43 
Exemplo 
Determine a equação da reta tangente à curva definida pela função f(x)=x2 /2 no ponto 
de abscissa x = 2. 
 
44 
    000 ' xxxfxfy 
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Exemplo - geométrico 
 No vídeo game da figura ao lado, os 
aviões voam da esquerda para a direita segundo 
a trajetória 
 
e podem disparar suas balas na direção da 
tangente, contra as pessoas que estão ao longo 
do eixo x, em x=1, x=2, x=3, x=4 e x=5. Determine 
se alguém vai ser atingido se o avião disparar um 
projétil quando estiver no ponto (1,2). 
45 
Continuidade x derivabilidade 
• Teorema: Se f é derivável em x=a, então ela é contínua em x=a. 
 
 
 
• Conseqüência: Se f não é contínua em x=a, então ela não é derivável em x=a. 
46 
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24 
Tente você! 
47 
 Verifique, esboçando o gráfico, se a função f dada abaixo é derivável 
para todos os pontos do seu domínio: 
Exemplo 
48 
Exemplo: Dada f(x)=|x|, determine (se existir), f’(0): 
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25 
Derivadas de funções de uma variável 
 Regra da cadeia 
Regra de L’Hopital 
Derivação implícita 
Derivadas de ordens superiores 
 
49 
Docente: Diana Vega Marona 
diana.marona@restinga.ifrs.edu.br 
 
Regra da cadeia 
50 
 Sabemos diferenciar f(x)=senx e g(x)=x2+4, mas como derivar a função 
abaixo? 
 
f ( g(x) ) 
 A regra da cadeia é a técnica utilizada para derivação de funções 
compostas! 
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Regra da cadeia 
 Se y=f(u) é uma função derivável na variável u, e 
u=g(x) é uma função derivável na variável x, então y=f(g(x)) é 
uma função derivável na variável x e sua derivada é dada por: 
51 
ou, equivalentemente, 
f’(x)= 
Exemplo 1 
52 
Calcule a derivada da função 
Considere e 
Logo, 
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Exemplo 2 
53 
Calcule a derivada da função 
Logo, 
Em palavras, “a derivada do de fora vezes a derivada do miolo!!!” 
Exemplo 3 
54 
Calcule a derivada da função 
Primeiro devemos “arrumar” a função: 
Miolo Função de 
fora 
Derivada da de fora Derivada do miolo X 
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28 
Exemplo 4 
55 
Calcule a derivada da função 
Primeiro devemos “arrumar” a função: 
Pela regra do quociente, temos que: 
Logo, 
Tente você!!! 
56 
1 - Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
 
 
2 – Calcule o valor de g’(0), sendo 
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29 
Regra de L’Hopital 
57 
Exemplo 1 
58 
Calcular o valor do limite 
Antes, fazíamos a fatoração...... 
Agora, usando a regra de L’Hopital: 
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30 
Exemplo 2 
59 
Calcular o valor do limite 
 Neste caso, usávamos truques aritméticos e os limites fundamentais. Porém, com 
a regra de L’Hopital, temos: 
Exemplo 3 
60 
Calcular o valor do limite 
 Antes, nosso truque era dividir o numerador e denominador pelo termo de 
maior grau. Agora, temos: 
 
 
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31 
Derivação implícita 
61 
 Dizemos que uma equação da forma y=f(x) define uma função de x, explicitamente. 
Algumas funções, entretanto, são definidas implicitamente por uma relação entre x e y. 
Exemplo 
62 
 Para calcularmos a derivada deste tipo de equação, não precisamos “isolar” o y, 
o que muitas vezes pode se tornar difícil, ou até mesmo impossível. 
 Ao isolarmos o y em função de x, obtemos duas possibilidades: 
122  yx
21 xy 
21 xy 
Não é função! 
São funções! 
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32 
Exemplo 
63 
Calcule a derivada da função y dada pela relação 
Derivando cada termo: 
Regra do produto 
Isolando y’: 
Tente você!! 
64 
1 - Calcule a derivada da função y dada pela relação 
2 - Mostre que o ponto (2, 4) está na curva . Em seguida, 
encontre a equação da reta tangente à esta curva neste ponto. 
 
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33 
Exemplo 
65 
Determine a equação da reta tangente a curva , no ponto (3,4). 
Derivadas de ordens superiores 
66 
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34 
Exemplos 
67 
A função que descreve a 
posição do objeto: 
A velocidade do objeto no instante t, ou velocidade instantânea, é dada por: 
Posição do objeto: 
A aceleração do objeto no instante t, ou aceleração instantânea, é dada por: 
68 
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35 
Exemplo 1 
69 
 Quando uma bola é jogada para cima verticalmente no ar, sua posição 
pode ser medida como a distância vertical entre a bola e o solo em lugar de se 
utilizar algum ponto de referência fixo. Considere como direção positiva a que 
aponta para cima, e seja a altura da bola em pés após t 
segundos. Com base nisto, qual é a aceleração no decorrer dos 2 primeiros 
segundos? 
 
Aceleração constante -32 pés/s². 
Exemplo 2 – regra prática 
70 
Calcule o valor de g’’(1), sendo 
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36 
Regra prática 
71 
Para cada uma das funçõesabaixo, faça o que se pede: 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
Tente você!!! 
72 
1 - Dada a função , calcule . 
2 - O caminho percorrido por uma partícula sobre uma reta é dado por: S = t³ – 6t² + 9t + 4, onde S 
é medido em metros e o tempo em segundos. Determine a velocidade da partícula no momento 
em que a aceleração é nula. R: -3m/s. 
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37 
Derivadas de funções de uma variável 
 Diferenciais 
Máximos e mínimos 
 Problemas de otimização 
 
 
73 
Docente: Diana Vega Marona 
diana.marona@restinga.ifrs.edu.br 
 
DIFERENCIAIS 
Na notação de Leibniz, dada uma função diferenciável y=f(x), temos: 
74 
E se considerarmos dy e dx como variáveis, podemos então escrever 
Chamada de função diferencial!!! 
Exemplo: Dada a função f(x)=10x4, obtenha a função diferencial num certo x. 
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38 
Interpretação geométrica 
75 
 x0 
 
 f(x0) 
 
f(x) 
x=dx 
y 
 
x0+x 
f(x0+x) 
Reta tangente a f no ponto (x0, f(x0)) 
f’(x0) coeficiente angular desta reta 
dy 
Exemplo 1 
76 
Considere a função f(x)=3x²-2x+4, para x0=1 e ∆x=0,02, determine: 
a) Calcular ∆y 
c)Determinar o erro ε=∆y-dy 
b) Calcular o diferencial dy 
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39 
Exemplo 2 
 O lado de um quadrado mede 10cm, com erro possível de aproximadamente 0,1 
cm para mais ou para menos. Estime o erro no cálculo da área. 
 
77 
 
 
Exemplo 3 
78 
Calcular o valor de 
1º) Tomamos a raiz cúbica mais próxima conhecida: 
2º) Considera-se a função 
Logo, onde 
3º) Calcula-se os elementos desconhecidos 
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40 
Exemplo 4 
Estime o valor de sen61°, usando diferenciais. 
79 
Exemplo 5 
 Enche-se um reservatório, cuja forma é de um cone circular reto, de água a uma taxa 
de 0,1m³/s . O vértice está a 15m do topo e o raio do topo é de 10m. Com que velocidade o nível 
da água está subindo no instante em que h=5m . 
 
80 
. . 
1º) O exercício solicita a velocidade do nível da água quando h=5, isto é, a 
derivada da função h(t) com h=5. 
2º) A informação dada no exercício 0,1m³/s se refere a taxa de variação do 
volume do cone, isto é 
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41 
Resolução (continuação) 
81 
3º) Modelando o volume do cone, temos: 
Semelhança de triângulos 
Porém, 
4º) Substituindo h=5: 
Donde vem que 
Tente você!!! 
82 
Use diferenciais para estimar o valor de 
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42 
Tente você!! 
 Quando o preço unitário de certo produto é p reais, o fabricante tem 
interesse em produzir x mil unidades, onde a oferta e o preço estão relacionados pela 
equação . 
 Qual é a taxa de variação da oferta quando o preço unitário é R$ 9,00 e está 
aumentando à taxa de 20 centavos por semana? 
 
83 
. 
Tente você!!! 
Calcule, através de diferenciais, o valor de cos(44°). 
84 
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43 
Lembrando..... 
85 
  01............. axaxaxP
n
n 
na
Coeficiente do termo de maior grau 
n
Grau do polinômio 
0a
Termo independente 
Aplicações gráficas 
 
Graficamente 
86 
Termo independente? 
 Raízes? 
 Grau? 
 I II III IV V 
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44 
Multiplicidades das raízes 
87 
a: raiz de multiplicidade 1 
b: raiz de multiplicidade par = 2, 4, 6, .... 
c: raiz de multiplicidade ímpar = 3, 5, 7, ...... (tangencia) 
 a b c 
88 
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45 
Grau X Gráfico 
 
 
 
P(x) grau ímpar 
 
P(x) grau par 
 
89 
Exemplificando 
90 
15 : termo independente 
 
1: raiz multiplicidade par 
 
3 : raiz de multiplicidade 1 
 
 : negativo 
 
Grau ímpar 
 
 
na
Qual a lei desta função??? 
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46 
Analisando gráficos.... 
Observe o gráfico abaixo e determine os intervalos de crescimento e decrescimento: 
 
91 
Variação das funções 
Seja uma função derivável em (a, b). 
 
• f’(x) > 0 → a função está crescendo 
 
 
 
• f’(x) < 0 → a função está decrescendo 
 
    ],[emcrescenteb)(a,intervaloumem0' baxfxf 
    ],[emedecrescent),(intervaloumem0' baxfbaxf 
92 
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47 
Pontos críticos 
93 
Um ponto c é um ponto crítico ou estacionário da função f se f ’(c) =0. 
Exemplo 
 Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento da função abaixo, bem 
como, seus pontos críticos: 
 
 
94 
22)( 23  xxxxf
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48 
Analisando gráficos..... 
 Observe o gráfico abaixo e localize os pontos que você caracteriza como pontos de 
máximo ou pontos de mínimo relativos (locais) da função. Quais são os máximos e mínimos 
relativos da função? 
 
95 
Classificação de máximos e mínimos 
96 
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49 
Teste da derivada primeira 
 Seja f uma função contínua e derivável em (a,b), exceto possivelmente no 
ponto c (pertencente a este intervalo); 
 
a) Se f’ passa de positiva para negativa em c então f(c) é máximo relativo de f. 
b) Se f’ passa de negativa para positiva em c então f(c) é mínimo relativo de f. 
c) Se f’ não muda de sinal em c então f(c) não é extremo relativo de f. 
97 
Exemplo 
Determine os pontos de máximo e de 
mínimo locais da função 
98 
  xxxf 123 
08/09/2014 
50 
Tente você!!!! 
99 
Calcule os pontos de máximo e de mínimo da função 
244)( 234  xxxxf
Teste da derivada segunda 
100 
Seja f uma função derivável em (a,b) e c um valor deste intervalo, tal que 
 
a) Se então f(c) é mínimo relativo de f. 
 
b) a) Se então f(c) é máximo relativo de f 
 
c) Se então nada podemos concluir. 
 
 
 
0)('' cf
0)(' cf
0)('' cf
0)('' cf
08/09/2014 
51 
Exemplo 
101 
Determine os pontos de máximo e de mínimo locais da função 
53)( 23  xxxf
Concavidade 
O gráfico de uma função derivável f(x) é 
(a) côncavo para cima em um intervalo aberto I, se f’(x) é crescente em I. 
(b) côncavo para baixo em um intervalo aberto I, se f’(x) é decrescente em I. 
102 
08/09/2014 
52 
Ponto de inflexão 
103 
 Um ponto onde o gráfico de uma função possui uma reta tangente e onde 
há mudança de concavidade é um ponto de inflexão. 
(0,0) ponto de inflexão 
Exemplo 
104 
Determine os pontos de inflexão e estude a concavidade da função g(x) = x3 + 3x. 
 
1º) Calculamos as derivadas 1ª e 2ª da função g: 
xxg
xxg
6)(''
33)(' 2


2º) Usamos a definição de concavidade e de inflexão: 
 
Se x<0, então g’’(x)=6x < 0. Logo, g é côncava para baixo em -. 
Se x >0, então g’’(x)=6x > 0. Logo, g é côncava para cima em +. 
Portanto, o ponto x=0 é um ponto de inflexão da função g. 
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53 
Conferindo.... 
105 
Extremos Absolutos 
Seja f uma função de domínio D. Então f(c) é: 
(a) o máximo absoluto de f em D se e somente se 
f (x) ≤ f (c) para qualquer que seja x em D. 
(b) o mínimo absoluto de f em D se e 
somente se f (x) ≤ f (c) para qualquer que seja x em D. 
106 
08/09/2014 
54 
Exemplos 
Função Domínio D Extremos Absolutos em D 
(a) 
2y x ( , ) 
Ausência de máximo absoluto. 
Mínimo absoluto 0 quando x = 0. 
(b) 
2y x
[0, 2]
Máximo absoluto 4 quando x = 2. 
Mínimo absoluto 0 quando x = 0. 
(c) 
2y x
(0, 2]
Máximo absoluto 4 quando x = 2. 
Ausência de mínimo absoluto. 
(d) 
2y x
(0, 2)Ausência de extremos absolutos. 
107 
Teorema do Valor Extremo para Funções Contínuas 
 
 Se f é contínua para todos os pontos do intervalo fechado I, então f assume 
tanto um valor máximo M como um valor mínimo m em I. Ou seja, há números x1 e x2 em 
I tais que f (x1) = m e f (x2) = M e m≤ f(x) ≤ M para qualquer outro valor de x em I. 
108 
08/09/2014 
55 
Situações diversas 
109 
Pontos de máximos e mínimos nos interiores 
Pontos de máximo e mínimo nas 
extremidades 
Situações diversas 
Ponto de máximo interior e ponto de mínimo 
na extremidade 
Ponto de máximo na extremidade e ponto de 
mínimo no interior 
110 
08/09/2014 
56 
Exemplo 
111 
Calcule os pontos de máximo e mínimo absolutos da função 
no intervalo [-1, 2]. 
1º) Calculamos os pontos críticos, isto é, os pontos que satisfazem a equação 
f’(x)=0: 
2º) Calcular a imagem da função nos pontos críticos: 
4º) Identificar os valores extremos: 
3º) Calcular o valor da função nas extremidades do intervalo: 
112 
08/09/2014 
57 
 Exemplo: O preço de um produto foi analisado no decorrer dos meses e constatou-se que pode ser 
aproximado pela função 
 
onde t representa o número do mês a partir de t=0, que marca o início das análises. Com base nisto, 
responda: 
 
a) Para quais intervalos de tempo o preço é crescente? 
b) Qual o preço máximo? E o preço mínimo? 
c) Faça um esboço do gráfico, nos cinco primeiros meses. 
  1096 23  ttttp
113 
Problemas de aplicação e de otimização 
Exemplo 
114 
 Deseja-se construir uma caixa aberta a partir de uma folha de papel Ofício 2 cortando 
arestas de quadrados iguais nos cantos e dobrando os lados para cima (agora com a técnica da 
aba), conforme esquematização abaixo. 
 Determinar a medida de corte que resulte em uma caixa de maior volume. Qual o 
volume da caixa otimizada? 
08/09/2014 
58 
Resolução 
115 
Resolução (continuação) 
116 
Nosso objetivo é calcular o ponto de máximo no intervalo [0, 108]. 
08/09/2014 
59 
Resolução (continuação) 
117 
Tente você!!!! 
 Quadros iguais são cortados de cada canto de uma pedaço retangular de cartolina, 
medindo 8 cm de largura e 15 cm de comprimento. Uma caixa (sem tampa) é construída virando 
os lados para cima. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados 
para que a caixa tenha o volume máximo. 
118 
08/09/2014 
60 
Exemplo 
119 
 Deseja-se construir um recipiente no formato de um cilindro fechado para 
comportar um volume conhecido. Descobrir as dimensões do cilindro (diâmetro e 
altura) correspondente ao recipiente ótimo (menor gasto de material). 
Resolução: 
120 
Relação entre as dimensões do cilindro em função da restrição do volume: 
Área da superfície do cilindro: 
08/09/2014 
61 
Resolução (continuação): 
121 
 Nosso objetivo é calcular o ponto de mínimo da função correspondente à área 
da superfície do cilindro no intervalo [0, ∞). 
 O outro número crítico existente, b = 0, será tratado como extremidade 
do intervalo. 
Resolução (continuação): 
122 
08/09/2014 
62 
Resolução (continuação): 
O exercício ainda solicitava a altura do cilindro para o projeto da superfície mínima: 
123 
Tente você!!!! 
 Um sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto, de altura h e raio r, 
uma semi-esfera de raio r. Deseja-se que a área da superfície seja 5. Determinar r e h para que o 
volume seja máximo. 
124 
Resposta: r=h=1 
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63 
Desafio! 
 Uma lata cilíndrica deve ser construída para conter um volume fixo de 
líquido. O custo do material usado para a tampa e o fundo da lata é de R$0,03 por cm2 
e o custo do material usado para a lateral é de R$0,02 por cm2 . Deduza uma relação 
simples entre o raio e a altura da lata que produz o menor custo de construção. 
 
125