Exercícios de Estatística: Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição Normal

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
GES 101 - Estatística
Prof. Tales Jesus Fernandes
LISTA DE EXERCÍCIOS 5: Variáveis aleatórias contínuas e a distribuição normal
1- Numa certa região, fósseis de pequenos animais são frequentemente encontrados e um arqueólogo
estabeleceu o seguinte modelo de probabilidade para o comprimento, em centímetros, desses fósseis:
f(x) =

1
40
x, 4 ≤ x < 8,
− 1
20
x+ 3
5
, 8 ≤ x < 10,
1
10
, 10 ≤ x ≤ 11,
0, caso contrário.
a) Confirme que a função f(x) é uma função densidade de probabilidade e construa seu gráfico.
b) Encontre o valor esperado para o comprimento dos fósseis da região.
2- O tempo de espera, em horas, entre sucessivos motoristas flagrados por um radar que ultrapassam o
limite de velocidade, é uma variável aleatória contínua com função de distribuição acumulada
F (x) =
{
0, x < 0,
1− e−8x, x ≥ 0.
Determine a probabilidade de o tempo de espera entre sucessivos motoristas ser menor que 12 minu-
tos.
a) usando a função de distribuição acumulada de X;
b) usando a função densidade de probabilidade de X .
3- Medições de sistemas científicos são sempre sujeitas à variação, algumas mais do que outras. Há
muitas estruturas para se medir erros, e os estatísticos passam boa parte do tempo modelando esses erros.
Suponha que o erro de medição X , de certa quantidade física, seja determinado pela função densidade
f(x) =
{
k(3− x2),−1 ≤ x ≤ 1,
0, caso contrário.
a) Calcule o valor de k que torna f(x) uma função densidade válida.
b) Determine a probabilidade de que um erro aleatório na medição seja menor que 1/2.
c) Para essa medição em particular, não é desejável que a magnitude do erro (isto é, |x|) exceda 0,8. Qual
é a probabilidade de que isso ocorra?
4- Em uma tarefa em um laboratório, se o equipamento estiver funcionando, a função densidade do re-
sultado observado X , é:
f(x) =
{
2(1− x), 0 < x < 1,
0, caso contrário.
a) Determine a F (x).
b) Qual é a mediana?
c) Qual é o 75o percentil da distribuição?
d) Calcule P (X ≤ 1/3).
e) Qual é a probabilidade de que X exceda 0,5?
f) Dado que X ≥ 0, 5, qual é a probabilidade de que X seja menor que 0,75?
5- Suponha que a força que age sobre uma coluna que ajuda a suportar um edifício tenha distribuição
normal com média 15,0 kips e desvio padrão 1,25 kips. Qual é a probabilidade de a força:
a) Ser no máximo 18 kips?
b) Estar entre 10 e 12 kips?
c) Diferir de 15,0 kips por no máximo 2 desvios padrão?
6- A dureza Rockwell de um metal é determinada pela pressão de uma ponta rígida na superfície do metal
e, sem seguida, pela medição da profundidade de penetração das pontas. Suponha que a dureza Rockwell
de uma determinada liga tenha distribuição normal, com média de 70 e um desvio-padrão de 4.
a) Se um espécime é aceitável apenas se sua dureza estiver entre 62 e 72, qual é a probabilidade de que
um espécime escolhido aleatoriamente tenha dureza aceitável?
b) Se o intervalo aceitável para a dureza fosse (70 - c, 70 + c), para qual valor de c teríamos 95% de todos
os espécimes com dureza aceitável?
7- Uma enchedora automática de garrafas de vinho está regulada para que o volume médio de líquido
nas garrafas seja 750 cm3 e o desvio padrão seja 7,5 cm3. Pode-se admitir que a distribuição da variável
“volume de líquido” é normal. Qual a probabilidade de uma garrafa selecionada ao acaso conter um
volume de líquido menor do que 740 cm3?
8- Um teste de aptidão para o exercício e certa profissão exige uma sequência de operações a serem
executadas rapidamente, uma após a outra. Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em 80 mi-
nutos no máximo. Admitindo que o tempo para completar o teste seja uma variável aleatória N(90, 400),
pede-se:
a) Qual a porcentagem dos candidatos que tem chance de ser aprovados?
b) Os 5% mais rápidos receberão um certificado especial. Qual o tempo máximo para fazer jus a tal
certificado?
9- Um fabricante de alimentos enlatados sabe, por experiência passada, que o tempo de prateleira de seus
alimentos é uma variável aleatória que tem distribuição normal com média de 600 dias e desvio padrão
de 110 dias.
a) Qual é a probabilidade de um alimento, escolhido ao acaso, durar: i. mais de 750 dias? ii. entre 400 e
800 dias?
b) O comprador recebe uma garantia do fabricante de 320 dias, isto é, o fabricante substituirá todos os
alimentos que estragarem antes de 320 dias. Sabendo-se que são fabricados 20000 enlatados por mês,
quantos enlatados o fabricante terá que substituir mensalmente, devido à garantia dada?
10- Uma máquina de empacotar determinado produto apresenta variações de peso com desvio padrão
de 20g. Assumindo a distribuição normal para o peso dos pacotes, em quanto deve ser regulado o peso
médio do pacote, para que apenas 10% dos pacotes tenham menos de 400g?
11- A distribuição da resistência de resistores de um tipo específico é normal. Sabe-se que 10% de todos
os equipamentos apresentam resistência maior que 10,256 ohms e 5% tem resistência menor que 9,671
ohms. Quais são os valores da média e do desvio padrão da distribuição das resistências?
GABARITO
1- b) 7,45 2- 0,7981 3- a) k = 3/16; b) 99/128; c) 0,164
4- b) 0,2928; c) 0,5 d) 5/9 = 0,55555; e) 1/4 = 0,25; f) 3/4
5- a) 0,9918; b) 0,0082 c) 0,9544 6- a) 0,6687; b) 7,84 7- 0,0918
8- a) 31%; b) 57 min 9- a) i. 0,0869, ii.0,9312; b) 108 10- 425,7g.
11- µ = 10; σ = 0, 2