Resolução - lista 2 - Distribuição de probabilidades

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ 
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL 
POLO UNIVERSITÁRIO DE IGARAPÉ-MIRI 
PROBABILIDADE ESTATÍSTICA APLICADA 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO LISTA 2 
Distribuições de Probabilidade 
 
 
 
 
 
 
Rayanna Corrêa Cabral 
Professora Tutora 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Igarapé-Miri/PA 
2020 
1ª) Uma clínica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo uma 
distribuição normal com média 130 Kg e desvio padrão 20 Kg. Para efeito de determinar o 
tratamento mais adequado, os 25% pacientes de menor peso são classificados de “magros”, 
enquanto que os 25% de maior peso de “obesos”. Determine os valores que delimitam cada 
uma dessas classificações. R: [116.60; 143.40] 
 
Solução: 
𝑃( 𝑎 ≥ 𝑋 ≥ 𝑏) 
𝑃[ 
( 𝑎 − 130)
20
 ≥ 
(𝑋 − 130)
20
 ≥ 
(𝑏 − 130)
20
] 
𝑃[ 
( 𝑎 − 130)
20
 ≥ 𝑍 ≥ 
(𝑏 − 130)
20
] 
 
𝑂𝑏𝑒𝑠𝑜 ==> 𝑍 ≥ 
(𝑏 − 130)
20
 
1 − 𝜑 [
(𝑏 − 130)
20
 ] = 0,25 
==> 1 − 0,25 = 𝜑 [
(𝑏 − 130)
20
 ] ⇒ 0,75 
 0,7486 𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 ⇒ 0,67 
0,67 = [
(𝑏 − 130)
20
==> 0,67 ∗ 20 = 𝑏 − 130 ==> 𝑏 = 143,4 𝑘𝑔 
𝑂𝑏𝑒𝑠𝑜𝑠 = 143,4 𝑘𝑔 
 
 
𝑀𝑎𝑔𝑟𝑜𝑠 ==> 
( 𝑎 − 130)
20
 ≥ 𝑍 
𝜑[ 
( 𝑎 − 130)
20
] = 0,25 
( 𝑎 − 130)
20
= −0,67 ==> 𝑎 − 130 = −20 ∗ 0,67 ==> 𝑎 = 130 − 20 ∗ 0,67 
= 116,6 𝑘𝑔 
 
 
 
2ª) A duração de um certo componente eletrônico tem média 850 dias e desvio-padrão 45 dias. 
Calcular a probabilidade desse componente durar: a) entre 700 e 1.000 dias R: 0.9992 b) mais 
que 800 dias R: 0.8667 c) menos que 750 dias R: 0.0131 
 
Solução: 
Para essa questão, utilizaremos a Distribuição Normal, cuja fórmula é: 𝑧 = 
𝑥−𝑢
𝜎
 
Do enunciado temos que 𝑢 = 850 𝑒 𝑑 = 45. 
De acordo com os valores da tabela de distribuição normal, temos: 
a) Queremos calcular P(700 < X < 1000). 
𝑃(700 < 𝑋 < 1000) = 𝑃(
700 − 850
45
< 𝑍 <
1000 − 850
45
) 
𝑃(700 < 𝑋 < 1000) = 𝑃(−3,33 < 𝑍 < 3,33) 
Pela análise da tabela 3,33 equivale a 0,4996. 
Padronizando: 0,4996 + 0,5 ≅ 0,9992 
𝑃(700 < 𝑋 < 1000) = 0.9992 
Logo, a probabilidade a probabilidade desse componente durar entre 700 e 1000 dias é de 
100%. 
 
b) Agora, calcularemos P(X > 800): 
𝑃(𝑋 < 800) = 𝑃(𝑍 >
800 − 850
45
) 
𝑃(𝑋 > 800) = 𝑃(𝑍 > −1,11) 
𝑃(𝑋 > 800) = 1 − 𝑃(𝑍 > 1,11) 
𝑃(𝑋 > 800) = 1 − 0,1335 
𝑃(𝑋 > 800) = 0,8665 
A probabilidade a probabilidade desse componente durar mais de 800 dias é de 86,65%. 
 
c) 𝑃(𝑋 < 750) 
𝑃(𝑋 < 750) = 𝑃(𝑍 <
750 − 850
45
) 
𝑃(𝑋 < 750) = 𝑃(𝑍 < −2,22) 
𝑃(𝑋 < 750) = 0,5 − 0,4868 
𝑃(𝑋 < 750) = 0,0135 
A probabilidade a probabilidade desse componente durar menos de 750 dias é de 1,32%. 
4ª) Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou-
se que ele obedecia a uma distribuição normal, de média 48.000 km e desvio-padrão 2.000 km. 
Calcular a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso: a) dure mais que 46.000 km; b) dure 
entre 45.000 e 50.000 km. R: 0,8413; 0,7745 
 
Solução: 
a) Dure mais que 46.000 km 
P(X > 46000): 
𝑃(𝑋 > 46000) = 𝑃(𝑍 >
46000 − 48000
2000
) 
𝑃(𝑋 > 46000) = 𝑃(𝑍 > −1) 
𝑃(𝑋 > 46000) = 1 − 𝑃(𝑍 > −1) 
𝑃(𝑋 > 4600) = −0,5 − 0,3413 = − 0,8413 
 
 
 
 
 
b) Dure entre 45.000 e 50.000 km 
 
 𝑃(45000 < 𝑧 < 50000) = 𝑃( 
45000 −48000
2000
 < 𝑧 < 
50000 − 48000
2000
 ) ⇒ 𝑃(−1,5 < 𝑧 <
 1) 
 
dê uma consultada na tabela de distribuição normal e : 
 
𝑃 = 0,3413 + 0.4332 = 0.7745 
 
5ª) Em uma distribuição normal, 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% inferiores a 
19. Encontre a média e a variância da distribuição. R: 29,03; 73,45 
Solução: 
𝑧 = 
𝑥 − 𝑢
𝜎
⇒ 
-1 0 
0,5 
0,3413 
{
−1,17 = 
19 − 𝑢
𝜎
 
0,58 = 
34 − 𝑢
𝜎
 
 − 1,17𝜎 = 19 − 𝑢 e 0,58𝜎 = 34 − 𝑢. Logo 
𝜎 = 
34−𝑢
0,58
 ; Substituindo, 
− 1,17 ∗
34 − 𝑢
0,58
= 19 − 𝑢 ⇒ − 68,586 + 2,017𝑢 = 19 − 𝑢 
3,017𝑢 = 87,58 ⇒ 𝑢 = 29,03 
0,58𝜎 = 34 − 29,03 ⇒ 𝜎 = 
4,97
0,58
≅ 8,57 
Variância, será portanto. 
𝜎2 = 8,572 ≅ 73,45 
 
 
6ª) Foi feito um estudo sobre a altura dos alunos de uma faculdade, observando-se que ela se 
distribuía normalmente com média de 1,72m e desvio-padrão de 5cm. Qual a porcentagem dos 
alunos com altura: a) entre 1,57m e 1,87m? b) acima de 1,90m? R: 99,74%; 0,02%. 
 
Solução: 
a) Entre 1,57m e 1,87m 
Sabendo-se que 1,72-1,57 =15 e sabendo-se que 1,87-1,72=15 temos que estas medidas 
variam de 3 𝜎. 
Segundo a tabela de distribuição normal, 1 𝜎 corresponde a 68,27%, 2 𝜎 corresponde a 
95,45% e 3 𝜎 corresponde a 99,73%. 
 
b) Acima de 1,90m 
Usando uma tabela estatística, pode-se observar que a probabilidade de se ter um aluno com 
altura maior do que 1,90 metros é menor que 0,02% que corresponde à altura de 1,88 
 
8ª) Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos, D1 e D2, tenham distribuição 
N(42,36) e N(45,9), respectivamente. Se o aparelho é para ser usado por período de 45 horas, 
qual aparelho deve ser preferido? R: D2 
 
 
Solução: 
Para o caso de períodos de 45 horas, temos 
 𝑃(𝐷1 > 45) = 𝑃(𝑍 > 
45 − 42
6
) = 𝑃(𝑍 > 0,44) = 0,3085 
Enquanto 𝑃(𝐷2 > 45) = 𝑃(𝑍 > 
45 − 45
3
) = 𝑃(𝑍 > 0) = 0,5. 
Note que a probabilidade do segundo aparelho durar mais que 45 horas é maior que a 
do primeiro e, portanto, ele é preferível. 
 
9ª) Uma enchedora automática de garrafas de refrigerante esta regulada para que o volume 
médio de liquido em cada garrafa seja de 1.000 cm3 e o desvio padrão de 10cm3. Pode-se admitir 
que a distribuição da variável seja normal. 
(a) Qual a probabilidade de garrafas em que o volume de liquido é menor que 990 cm3? R: 
0,1587 
 (b) Qual a probabilidade de garrafas em que o volume de liquido não se desvia da média em 
mais que dois desvios padrão? R: 0,9544 
 
Solução: 
a) Ser menor que 990 cm3 
𝑃(𝑋 < 900) = 𝑃(𝑍 < 
990 − 1000
10
) = 𝑃(𝑍 < −1) = P(Z < −1) = P(Z > 1) 
1 − 𝑃(≤ 1) = 1 − 0,8413 = 0,159 
Portanto, em 15,9% das garrafas o volume de líquido é menor que 990 cm3 . 
 
b) O volume de liquido não se desvia da média em mais que dois desvios padrão. 
𝜎 = 10 → 2𝜎 = 20 
 µ − 2𝜎 = 1000 − 20 = 980 𝑒 µ + 2𝜎 = 1000 + 20 = 1020. 
 
𝑃(980 < 𝑋 < 1020) 
= 𝑃((980 − 1000)/10 < 𝑍 < (1020 − 1000)/10) 
= 𝑃(−2 < 𝑍 < 2) = 𝑃(𝑍 < 2) − 𝑃(𝑍 < −2) 
= 𝑃(𝑍 < 2) − 𝑃(𝑍 > 2) 
= 𝑃(≤ 2) − [1 − 𝑃(𝑍 ≤ 2)] 
= 2 ∗ 0,9772 − 1 = 0,9544 ≅ 95% 
 Portanto, em aproximadamente 95% das garrafas, o volume de líquido não se desvia da média 
em mais que dois desvios padrões. 
10ª) Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma fábrica é de 0,25 
polegadas e o desvio padrão 0,02 polegadas. Um parafuso é considerado defeituoso se seu 
diâmetro é maior que 0,28 polegadas ou menor que 0,20 polegadas. Suponha distribuição 
normal. (a) Encontre a probabilidade de parafusos defeituosos; R: 0,073 (b) Qual deve ser a 
medida mínima para que tenhamos no máximo 12% de parafusos defeituosos. R: 0,247. 
 
Solução: 
a) Encontre a probabilidade de parafusos defeituosos 
 
(0,22 ≤ 𝑥 ≤ 0,28) 
 
 
 
 𝑧 = 
𝑥−𝑢
𝜎
= 
0,2−0,25
0,02
= −2,5 
0,28 − 0,25
0,02
= 1,5 
Na tabela −2,5 ⟶ 0,4938 e 1,5 ⟶ 0,4332 
 
 
 
 
 
 
0,0062 + 0,6668 = 0,073 𝑜𝑢 73% 
 
b) Medida mínima para que tenhamos no máximo 12% de parafusos defeituosos. 
𝑃(𝑋 < 𝑥) = 0,12 
𝑃 (𝑍 <
𝑥 − 0,25
0,02
) = 0,12 
Na tabela Z = 1,17 
𝑥 − 0,25
0,02
= −1,17 ⇒ −0,0234 = 𝑥 − 0,25 ⇒ 𝑥 = 0,2266 
0,2 0,25 0,28 
-2,5 0 1,5 
0,4938 
0,5 – 0,4938= 
0,0062 
0,4332 
0,5 – 0,4332= 
0,0668 
11º) Estudos meteorológicos indicam que a precipitação pluviométrica mensal em períodos de 
seca numa certa região pode ser considerada como seguindo a distribuição Normal de média 
30mm e variância 16mm2. (a) Qual a probabilidade de que a precipitação pluviométricamensal 
no período da seca esteja entre 24 mm e 38mm? R: 0,9104 (b) Qual seria o valor da precipitação 
pluviométrica de modo que exista apenas 10% de chance de haver uma precipitação inferior a 
esse valor? R: 24,88 (c) Construa um intervalo central em torno da média que contenha 80% 
dos possíveis valores de precipitação pluviométrica. R: [24,88 ; 35,12] 
 
Solução: 
 
a) Probabilidade de que a precipitação pluviométrica mensal no período da seca esteja 
entre 24 mm e 38mm. 
 
Seja X:precipitação pluviométrica mensal, logo, 𝑋 ∼ 𝑁(30; 16). 
 𝑃(24 ≤ 𝑋 ≤ 39) = 𝑃 ( 
24 − 30 
4
≤ 𝑍 ≤ 
38 − 30
4
 ) = 𝑃(−1, 5 ≤ 𝑍 ≤ 2)
= 𝐴(2) − (1 − 𝐴(1, 5)) = (0,5 + 0,4772) − [1 − (0,5 + 0,4332)] 
0,9772 − (1 − 0,9332) = 0, 9772 − 0,0668 = 0,9104 
 
b) O valor da precipitação pluviométrica de modo que exista apenas 10% de chance de 
haver uma precipitação inferior a esse valor. 
Queremos um 𝑥, tal que 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 0, 10. Vejamos 
𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 𝑃(𝑍 ≤ 
𝑥 − 30
4
 ) = 0, 10 
Sabemos que 𝐴(𝑧) = 0, 90 ⇒ 𝑧 = 1, 28. Então, 
𝑥 − 30
4
= −1, 28 ⇒ 𝑥 = 24, 88𝑚𝑚 
 
c) Construa um intervalo central em torno da média que contenha 80% dos possíveis 
valores de precipitação pluviométrica. 
𝑃[𝜇 − 𝑘 < 𝑥 < 𝜇 + 𝑘] = 0.80 ⇒ 
𝑘 = 5,13 ⇒ 𝑃[24.88 < 𝑋 < 35.12] = 0.80 
Logo, IC(80%)= [ 24.88; 35.12] 
 
19ª) Um departamento de conserto de máquinas recebe uma média de cinco chamadas por hora. 
Qual a probabilidade de que, em uma hora selecionada aleatoriamente, sejam recebidas 
exatamente 3 chamadas. R: ∼0,1403 
Seja 𝑋 = { 𝐶ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 } então: 
(𝑋 = 𝑘) =
𝑒−𝜆 ∗ 𝜆 𝑘
𝑘!
 . . . . . 𝑥 = 0,1,2,3,4, . . . . . . . 
𝑃(𝑋 = 3) = 𝑒−5 ∗ 
5³
3!
 
𝑃(𝑋 = 3) = 𝑒−5 ∗ 
125
6
 
𝑃(𝑋 = 3) =
125 
6 ∗ 𝑒⁵
= 0,1404 𝑜𝑢 14,04% 
 
 
20ª) Uma loja atende em média 3 clientes por hora. Calcule a probabilidade de em uma hora 
atender: a) 4 clientes; R: 0,1680 b) 5 clientes. R: 0,1008 
 
Solução 
a) Receber 4 chamadas por hora 
Utilizando a distribuição de Poisson, temos: 
𝑃(𝑋 = 𝑘) =
𝑒−𝜆 ∗ 𝜆 𝑘
𝑘!
 
De acordo com o enunciado 𝜆 = 3 e nesse caso 𝑥 = 𝑘 = 4 
Logo: 
𝑃(4) =
𝑒−3 ∗ 3 4
4!
⇒ 𝑃(4) = 
𝑒−3 ∗ 81
4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1
= 
0,0497870684 ∗ 81
24
 
𝑃(4) ≅ 0,1680 
b) Receber 5 chamadas por hora 
𝑃(5) =
𝑒−3 ∗ 3 5
5!
𝑃(4) = 
𝑒−3 ∗ 243
5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1
= 
0,0497870684 ∗ 243
120
 
 
𝑃(5) ≅ 0,1008 
 
22ª) Na pintura de paredes aparecem defeitos em média na proporção de um defeito por metro 
quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de 2x2m2? R: ∼0,1954 
 
 No caso em que tem uma área de 2 × 2 m2 a média da distribuição será 4, porque em 
um metro quadrado há um defeito logo em 4 m2 haverá 4. Assim: 
No caso n = 3 e µ = 4, então 
𝑃(𝑋 = 𝑘) =
𝑒−𝜆 ∗ 𝜆 𝑘
𝑘!
 
𝑃(𝑋 = 3) =
𝑒−4 ∗ 4 3
3!
⇒
0,0183156 ∗ 64
3 ∗ 2 ∗ 1
 = 0, 1954 
 
26ª) Numa determinada estrada ocorrem em média 2 acidentes para cada 100 km. Qual a 
probabilidade de que: a) em 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes? R: 0.8755 b) em 300 km 
ocorram 5 acidentes? R: 0.1606 
 
Solução: 
a) 3 acidentes em 250km 
 Utilizando uma regra de três simples, temos: 
1 acidente ⟶ 50 𝑘𝑚 
X acidente ⟶ 250 𝑘𝑚 
50𝑋 = 250 ⇒ 𝑋 = 5 = 𝝀 
Pelo menos três significa que 𝑃(𝑋 < 3) = 1 − [𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2)], 
assim, usando a equação de Poisson: 
𝑃(𝑋 = 0) =
𝑒−5 ∗ 5 0
0!
= 0,0067 
𝑃(𝑋 = 1) =
𝑒−5 ∗ 5 1
1!
= 0,0337 
𝑃(𝑋 = 2) =
𝑒−5 ∗ 5 2
2!
= 0,0842 
Logo, 𝑃(𝑋 < 3) = 1 − [0,0067 + 0,0337 + 0,0842] = 1 − 0,1246 ≅ 0,8755 
 
b) 5 acidentes em 300 km 
1 acidente ⟶ 50 𝑘𝑚 
X acidente ⟶ 300 𝑘𝑚 
50𝑋 = 300 ⇒ 𝑋 = 6 = 𝝀 
𝑃(𝑋 = 5) =
𝑒−6 ∗ 5 5
5!
=
0,0024787522 ∗ 3125
120
= 0,01606 
 
33ª) Uma certa doença pode ser curada através de procedimentos cirúrgicos em 80% dos casos. 
Dentre os que têm essa doença, sorteamos 15 pacientes que serão submetidos `a cirurgia. 
Fazendo alguma suposição adicional que julgar necessária, responda: a)Qual é a probabilidade 
de todos serem curados? R: 0.0352 b) Qual é a probabilidade de pelo menos dois não serem 
curados? R: 0,8329 c) Qual é a probabilidade de ao menos 13 ficarem livres da doença? R: 
0,3980. 
 
Solução: 
a) Qual a probabilidade de todos serem curados? 
Suponha que os indivíduos que farão a cirurgia são (ou não) curados independente uns dos 
outros (ou seja, os ensaios são independentes). Sabendo que a probabilidade de cura é constante 
igual a 80% = 0,80. Sendo assim, temos 𝑛 = 15 𝑒 𝑝 = 0,8. Logo, 
 
𝑃(𝑋 = 15) = (
15
15
) 0,815 (1 − 0,8)15−15 
𝑃(𝑋 = 15) = 1 ∗ 0,815 ∗ 1 
𝑃(𝑋 = 15) = 0,815 
𝑃(𝑋 = 15) = 0,0352 
 
Logo, a probabilidade de todos serem curados é 0,035, ou seja 3,5%. 
 
b) Pelo menos dois não serem curados? 
𝑃(𝑋 ≤ 13) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 14) 
𝑃(𝑋 ≤ 13) = 1 − [𝑃(14) + 𝑃(15)] 
𝑃(𝑋 ≤ 13) = 1 − [(
15
14
) 0,814 (1 − 0,8)15−14 + 0,0352] 
𝑃(𝑋 ≤ 13) = 1 − [15 ∗ 0,814 ∗ (1 − 0,8)1 + 0,0352] 
𝑃(𝑋 ≤ 13) = 1 − [15 ∗ 0,814 ∗ 0,2 + 0,0352] 
𝑃(𝑋 ≤ 13) = 1 − [0,1319 + 0,0352] 
𝑃(𝑋 ≤ 13) = 1 − 0,1671 = 0, 8329 
 
 
Assim, a probabilidade de pelo menos 2 não serem curados é 0,8333, ou seja 83,3%. 
 
c) Qual é a probabilidade de ao menos 13 ficarem livres da doença? 
𝑃(𝑋 ≥ 13) = 𝑃(13) + 𝑃(14) + 𝑃(15) 
𝑃(𝑋 ≥ 13) = 𝑃(13) + 𝑃(14) + 𝑃(15) 
𝑃(𝑋 ≥ 13) = 105 ∗ 0,813 ∗ 0,22 + 15 ∗ 0,814 ∗ 0,2 + 0,815 
𝑃(𝑋 ≥ 13) = 0,230897441 + 0,131941395 + 0,035184372 ≅ 0,3980 
 
Assim a probabilidade de ao menos 13 ficarem livres da doença é 0,3980 = 39,8% 
 
 
39ª) Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica 
tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real 
(correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13 
selecionados ao acaso. R: 0.2527 
 
Solução: 
Seja, 20% são alérgicos, então temos que 80% não são alérgicos 
𝑝 = 20/100 ⇒ 
1
5
 
𝑞 = 80/100 ⇒ 
4
5
 
𝑘 = 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 
𝑛 = 13 
 
Assim, 𝑃(𝑋 ≥ 4) = 1 − 𝑃(𝑋 < 4) 
a probabilidade de ser menor que 4: 
𝑃(𝑋 < 4) = 𝑃(𝑂) + 𝑃(1) + 𝑃(2) + 𝑃(3) 
𝑃(0) = 𝐶13,0 ∗ 𝑝
0𝑞13−0 = 1 ∗ 1 ∗ (
4
5
)
13
= 
4
5
13
 
𝑃(1) = 𝐶13,1 ∗ 𝑝
1𝑞13−1 = 13 ∗ (
1
5
)
1
∗ (
4
5
)
12
= 
13
5
∗ (
4
5
)
12
 
𝑃(2) = 𝐶13,2 ∗ 𝑝
2𝑞13−2 =
13!
(13 − 2)! 2!
∗ (
1
5
)
2
∗ (
4
5
)
11
=
13 ∗ 12 ∗ 11!
11! 2
∗ 
1
25
∗ (
4
5
)
11
= 
78
25
∗ (
4
5
)
11
 
𝑃(3) = 𝐶13,3 ∗ 𝑝
3𝑞13−3 =
13!
(13 − 3)! 3!
∗ (
1
5
)
3
∗ (
4
5
)
10
=
13 ∗ 12 ∗ 11 ∗ 10!
10! ∗ 6
∗ 
1
125
∗ (
4
5
)
11
= 
286
125
∗ (
4
5
)
11
 
Assim, 
𝑃(𝑋 ≥ 4) = 1 − 𝑃(𝑋 < 4) 
𝑃(𝑋 < 4) = 𝑃(𝑂) + 𝑃(1) + 𝑃(2) + 𝑃(3) 
𝑃(𝑋 < 4) =
4
5
13
+
13
5
∗ (
4
5
)
12
+
78
25
∗ (
4
5
)
11
+
286
125
∗ (
4
5
)
11
= 0,7473 
𝑃(𝑋 ≥ 4) = 1 − 0,7473 ≅ 0,2527