L3-2019-1

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Universidade Federal de Goiás
Instituto de Matemática e Estatística
3a Lista de Exercícios de Cálculo I
Questão 1. Prove, usando a definição formal
de limite, que as seguintes funções são contínuas nos
pontos dados
(a) f(x) = 4x− 3 em p = 2;
(b) f(x) =
√
x em p = 4
(c) f(x) = x3 em p = 2
Questão 2. Determine a equação da reta tan-
gente da função no ponto dado
(a) f(x) =
√
x em p = 9;
(b) f(x) = x2 − x em p = 1
(c) f(x) =
1
x
em p = 2
Questão 3. Dê exemplo de uma função defi-
nida em R e que seja contínua em todos os pontos,
exceto em −1, 0, 1.
Questão 4. Dê exemplo de uma função defi-
nida em R e que seja contínua em todos os pontos,
exceto nos inteiros.
Questão 5. Calcule os limites abaixo.
(a) lim
x→1
(4x2 − 7x+ 5)
(b) lim
x→0
x2 + 3x− 1
x2 + 2
(c) lim
x→−3
3
√
x
(d) lim
x→−1
|x− 1|
x− 1
(e) lim
x→10
5
(f) lim
x→−2
x2 + x
x+ 3
(g) lim
x→−3
√
x
(h) lim
x→0
(
√
x+ x)
(i) lim
x→0
x2 + x
x
(j) lim
t→2
t2 − 3t
t3 + 1
(k) lim
x→−2
x2 − 1
x+ 1
(l) lim
x→2
√
2x2 + 3x+ 2
6− 4x
(m) lim
x→−1
√
2x2 + 3x− 4
5x− 4
(n) lim
x→−1
(x3 − 2x2 − 4x+ 3)
(o) lim
x→2
(
3x2 − 2x− 5
−x2 + 3x+ 4
)
(p) lim
x→−1
3x2 − 5x+ 42x+ 1
Questão 6. Calcule os limites abaixo. Caso
seja necessário calcule os limites laterais.
(a) lim
x→2
3x− 4
(x− 2)2
(b) lim
x→0
3x2 − 5x+ 2
x2
(c) lim
x→1
1− 3x
x− 1
(d) lim
x→1
2x+ 1
x− 1
(e) lim
x→o
tgx
x
(f) lim
x→3
1− 2x
x− 3
(g) lim
x→ 5
2
3x+ 2
5− 2x
(h) lim
x→0
3
x2 − x
(i) lim
x→1
2x+ 3
x2 − 1
(j) lim
x→3
x2 − 3x
x2 − 6x+ 9
(k) lim
x→2
x2 − 4
x2 − 4x+ 4
(l) lim
x→1
3x− 5
x2 + 3x− 4
(m) lim
x→−1
2x+ 1
x2 + x
(n) lim
x→3
√
x2 − 9
x− 3
(o) lim
x→pi
sen x
x− pi
(p) lim
t→2
t+ 2
t2 − 4
(q) lim
s→4
√
16− s2
s− 4
(r) lim
x→0
(
1
x
− 1
x2
)
(s) lim
x→2
(
1
x− 2 −
3
x2 − 4
)
(t) lim
x→−1
x− 1
x+ 1
(u) lim
x→ox sen
1
x
Questão 7. Calcule os limites abaixo.
(a) lim
x→+∞
(
8− x3)
(b) lim
x→−∞
(
3x3 − 4)
(c) lim
x→−∞ (1− x
n)
(d) lim
x→−∞
√
x2 − 3x+ 5
(e) lim
x→+∞
5− 4x
2x− 3
(f) lim
x→−∞
5x2 − 4x+ 3
3x+ 2
(g) lim
x→+∞
x2 + 4
8x3 − 1
(h) lim
x→+∞
x2 − 4
x+ 1
(i) lim
x→±∞
√
x2 − 2x+ 2
x+ 1
(j) lim
x→+∞
√
x−√x+ 1√
x+ 2−√x+ 3
(k) lim
x→−∞
3
√
5 +
2
x
(l) lim
x→+∞
x+
√
x+ 3
2x− 1
(m) lim
x→+∞
3√
x
(n) lim
x→±∞
1
x3
1
(o) lim
x→−∞
x+ 3
√
x
x2 + 1
(p) lim
x→+∞
x2 − 3x+ 1
−x4 + 1
(q) lim
x→+∞
√
x+ 1√
x2 + 2
(r) lim
x→+∞
(√
x2 + 3x+ 2− x
)
(s) lim
x→+∞
(√
x+ 4−√x− 2)
Questão 8. Seja f uma função definida em R
tal que para todo x 6= 1, −x2 + 3x ≤ f(x) < x
2 − 1
x− 1 .
Calcule lim
x→1
f(x) e justifique.
Questão 9. Suponha que, para todo x,
|g(x)| ≤ x4. Calcule lim
x→0
g(x)
x
.
Questão 10. Dada a função
f(x) =
x2 − 3x+ 2
x− 1 ,
verifique que lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x). Pergunta-se: f
é contínua em 1? Por quê?
Questão 11. Verifique se a função dada é con-
tínua no ponto especificado.
(a) f(x) =
{
2x se x ≤ 1
1 se x > 1 x0 = 1.
(b) f(x) =
{
x se x ∈ Q
−x se x /∈ Q x0 = 0
(c) f(x) =
{
3
x−2 se x 6= 2
0 se x = 2
x0 = 2.
(d) f(x) =
{
x2 − 3x+ 2 se x > 1
x2 + 4x− 5 se x ≤ 1 x0 = 1.
(e) f(x) =
{
3x+ 2 se x ≥ −2
−2x se x < −2 x0 = −2.
(f) f(x) =
 x
2 − 9
x− 3 se x 6= 3
4 se x = 3
x0 = 3.
(g) f(x) =

3x− 10 se x > 4
2 se x = 4
10− 2x se x < 4
x0 = 4.
(h) f(x) =

2x2 − 3x+ 2 se x > 1
2 se x = 1
2− x2 se x < 1
x0 = 1.
(i) f(x) =
{
2 se x ≤ 0
3 se x > 0 x0 = 0.
(j) f(x) =
 x
3 + 1
x+ 1
se x 6= −1
1 se x = −1
x0 = −1.
Questão 12. Determine a para que a função
dada seja contínua.
(a) f(x) =
 x
2 − 4
x− 2 se x 6= 2
a se x = 2
.
(b) f(x) =
 x
2 − x
x
se x 6= 0
a se x = 0
.
(c) f(x) =

√
x−√3
x− 3 se x 6= 3
a se x = 3
.
(d) f(x) =
 x
3 − 8
x− 2 se x 6= 2
a se x = 2
.
(e) f(x) =

√
x−√5√
x+ 5−√10 se x 6= 5
a se x = 5
.
(f) f(x) =
 x
2 − 5x+ 6
x− 2 se x 6= 2
a se x = 2
.
(g) f(x) =

√
x− 2
x− 4 se x 6= 4
3x+ a se x = 4
.
(h) f(x) =

x− 1
1− x3 se x 6= 1
a se x = 1
.
(i) f(x) =

√
x+ 2−√x
x− 3 se x > 0
3x2 − 4x+ a se x ≤ 0
.
(j) f(x) =

3
√
x+ 1− 1
x
se x 6= 0
a se x = 0
.
Referências:
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. V. 1. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. V. 1. São Paulo: Cengage, 2006.
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