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Lista de Execícios sobre Fatoração – Curso de Cálculo I – Prof. Paulo Ramos 1 
Fatoração 
Consiste em transformar uma expressão dada em um produto irredutível de termos mais simples, geralmente 
monômios ou binômios. 
 
1º CASO: FATOR COMUM 
Ex.: Fatorar a expressão 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 
Solução: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 = 𝑥(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 
Observe o que foi feito: 𝑥 é fator comum e foi colocado em evidência. 
Problema 1. Fatore as seguintes expressões (em vermelho estão as respostas): 
1) 3𝑥 + 3𝑦 3(𝑥 + 𝑦) 
2) 5𝑥² − 10𝑥 5𝑥(𝑥 – 2) 
3) 8𝑎𝑥³ − 4𝑎²𝑥² 4𝑎𝑥²(2𝑥– 𝑎) 
4) 4𝑥 + 4𝑦 4(𝑥 + 𝑦) 
5) 7𝑎– 7𝑏 7(𝑎 − 𝑏) 
6) 5𝑥– 5 5(𝑥 − 1) 
7) 𝑎𝑥– 𝑎𝑦 𝑎(𝑥 − 𝑦) 
8) 𝑦² + 6𝑦 𝑦(𝑦 + 6) 
9) 6𝑥² − 4𝑎 2(3𝑥² − 2𝑎) 
10) 4𝑥⁵ − 7𝑥² 𝑥²(4𝑥³ − 7) 
11) 𝑚⁷ −𝑚³ 𝑚³(𝑚⁴ − 1) 
12) 𝑎³ + 𝑎⁶ 𝑎³(1 + 𝑎³) 
13) 𝑥² + 13𝑥 𝑥(𝑥 + 13) 
14) 5𝑚³ −𝑚² 𝑚²(5𝑚–1) 
15) 𝑥⁵⁰ + 𝑥⁵¹ 𝑥⁵⁰(1 + 𝑥) 
16) 8𝑥⁶ − 12𝑥³ 4𝑥³(2𝑥³ − 3) 
17) 15𝑥³ − 21𝑥² 3𝑥²(5𝑥 − 7) 
18) 14𝑥² + 42𝑥 14𝑥(𝑥 + 3) 
19) 𝑥²𝑦 + 𝑥𝑦² 𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦) 
20) 2𝑎– 2𝑚 + 2𝑛 2(𝑎 − 𝑚 + 𝑛) 
21) 5𝑎 + 20𝑥 + 10 5(𝑎 + 4𝑥 + 2) 
22) 4– 8𝑥– 16𝑦 4(1 − 2𝑥 − 4𝑦) 
23) 55𝑚 + 33𝑛 11(5𝑚 + 3𝑛) 
24) 35𝑎𝑥–42𝑎𝑦 7𝑎(5𝑥 − 6𝑦) 
25) 7𝑎𝑚–7𝑎𝑥 − 7𝑎𝑛 7𝑎(𝑚 − 𝑥 − 𝑛) 
26) 5𝑎²𝑥– 5𝑎²𝑚–10𝑎² 5𝑎²(𝑥–𝑚 − 2) 
27) 2𝑎𝑥 + 2𝑎𝑦– 2𝑎𝑥𝑦 2𝑎(𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦) 
28) 15𝑥⁷ − 3𝑎𝑥⁴ 3𝑥4(5𝑥3 − 𝑎) 
29) 𝑥⁷ + 𝑥⁸ + 𝑥⁹ 𝑥7(1 + 𝑥 + 𝑥2) 
30) 𝑎⁵ + 𝑎³ − 𝑎² 𝑎2(𝑎3 + 𝑎 − 1) 
31) 6𝑥³ − 10𝑥² + 4𝑥⁴ 2𝑥2(3𝑥 − 5 + 2𝑥2) 
32) 6𝑥²𝑦 + 12𝑥𝑦– 9𝑥𝑦𝑧 3𝑥𝑦(2𝑥 + 4 − 3𝑧) 
Lista de Execícios sobre Fatoração – Curso de Cálculo I – Prof. Paulo Ramos 2 
33) 𝑎(𝑥 − 3) + 𝑏(𝑥 − 3) (𝑥 − 3)(𝑎 + 𝑏) 
34) 9(𝑚 + 𝑛) − 𝑎(𝑚 + 𝑛) (𝑚 + 𝑛)(9 − 𝑎) 
2º CASO: AGRUPAMENTO 
Ex.: Fatore a expressão 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 
Solução: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦) 
Observe o que foi feito: inicialmente colocamos 𝑥 em evidência por ser fator comum nos dois primeiros 
termos e fizemos o mesmo com 𝑦 nos dois últimos termos. Em seguida, colocamos em evidência (𝑎 + 𝑏), já 
que ele surge também como um fator comum. 
Ex.: Fatore 𝑥2 + 3𝑥 + 𝑎𝑥 + 3𝑎 
Solução: 𝑥2 + 3𝑥 + 𝑎𝑥 + 3𝑎 = 𝑥(𝑥 + 3) + 𝑎(𝑥 + 3) = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 3) 
Observe o que foi feito: 𝑥 foi colocado em evidência nos dois primeiros termos e 𝑎 nos dois últimos. Ao 
fazermos isso, vemos o aparecimento do termo comum (𝑥 + 3) que também pode ser posto em evidência. 
Problema 2. Fatore cada expressão abaixo: 
1) 6𝑥 + 6𝑦 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 (6 + 𝑎)(𝑥 + 𝑦) 
2) 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 7𝑥 + 7𝑦 (𝑎 + 7)(𝑥 + 𝑦) 
3) 2𝑎 + 2𝑛 + 𝑎𝑥 + 𝑛𝑥 (2 + 𝑥)(𝑎 + 𝑛) 
4) 𝑎𝑥 + 5𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 5𝑏𝑦 (𝑎 + 5𝑏)(𝑥 + 𝑦) 
5) 3𝑎– 3𝑏 + 𝑎𝑥–𝑏𝑥 (𝑎 − 𝑏)(3 + 𝑥) 
6) 7𝑎𝑥– 7𝑎 + 𝑏𝑥– 𝑏 (7𝑎 + 𝑏)(𝑥 − 1) 
7) 2𝑥– 2 + 𝑦𝑥–𝑦 (2 + 𝑦)(𝑥 − 1) 
8) 𝑎𝑥 + 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑏 (𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 1) 
9) 𝑚² +𝑚𝑥 +𝑚𝑏 + 𝑏𝑥 (𝑚 + 𝑏)(𝑚 + 𝑥) 
10) 3𝑎² + 3 + 𝑏𝑎² + 𝑏 (3 + 𝑏)(𝑎2 + 1) 
11) 𝑥³ + 3𝑥² + 2𝑥 + 6 (𝑥2 + 2)(𝑥 + 3) 
12) 𝑥³ + 𝑥² + 𝑥 + 1 (𝑥2 + 1)(𝑥 + 1) 
13) 𝑥³ − 𝑥² + 𝑥– 1 (𝑥2 + 1)(𝑥 − 1) 
14) 𝑥³ + 2𝑥² + 𝑥𝑦 + 2𝑦 (𝑥2 + 𝑦)(𝑥 + 2) 
15) 𝑥² + 2𝑥 + 5𝑥 + 10 (𝑥 + 5)(𝑥 + 2) 
16) 𝑥³ − 5𝑥² + 4𝑥– 20 (𝑥2 + 4)(𝑥 − 5) 
3º CASO: DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS 
Sempre que nos depararmos com uma diferença de quadrados, basta lembrarmos do produto notável: 
𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) 
Ex.: Fatore 𝑥2 − 49 
Solução: 𝑥2 − 49 = (𝑥)2 − (7)2 = (𝑥 + 7)(𝑥 − 7). 
Observe o que foi feito: Observando a expressão dada, constatamos a existência de dois termos, uma ope-
ração de subtração e a existência de dois quadrados, 𝑥2 e 49 (que pode ser escrito como 72). Consequente-
mente, o produto notável aludido pode ser aplicado. 
Ex.: Fatore 9𝑎2 − 4𝑏2 
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Solução: 9𝑎2 − 4𝑏2 = (3𝑎)2 − (2𝑏)2 = (3𝑎 + 2𝑏)(3𝑎 − 2𝑏). 
Observe o que foi feito: Verificamos que 9𝑎2 = (3𝑎)2 e 4𝑏2 = (2𝑏)2, isto é, 9𝑎2 − 4𝑏2 é o mesmo que 
(3𝑎)2 − (2𝑏)2, ou seja, é igual à diferença de dois quadrados, o que justifica a aplicação do produto notável. 
Problema 3. Fatore: 
1) 𝑎² − 5 (𝑎 + √5)(𝑎 − √5) 
2) 𝑥² − 1 (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 
3) 𝑎² − 4 (𝑎 + 2)(𝑎 − 2) 
4) 9 − 𝑥² (3 + 𝑥)(3 − 𝑥) 
5) 𝑥² − 𝑎² (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎) 
6) 1 − 𝑦² (1 + 𝑦)(1 − 𝑦) 
7) 𝑚² − 𝑛² (𝑚 + 𝑛)(𝑚 − 𝑛) 
8) 𝑎² − 64 (𝑎 + 8)(𝑎 − 8) 
9) 4𝑥² − 25 (2𝑥 + 5)(2𝑥 − 5) 
10) 1– 49𝑎² (1 + 7𝑎)(1 − 7𝑎) 
11) 25– 9𝑎² (5 − 3𝑎)(5 + 3𝑎) 
12) 9𝑥² − 1 (3𝑥 + 1)(3𝑥 − 1) 
13) 4𝑎² − 36 (2𝑎 + 6)(2𝑎 − 6) = 2(𝑎 + 3) ⋅ 2(𝑎 − 3) = 4(𝑎 + 3)(𝑎 − 3) 
14) 𝑚² − 16𝑛² (𝑚 + 4𝑛)(𝑚 − 4𝑛) 
15) 36𝑎² − 4 (6𝑎 + 2)(6𝑎 − 2) = 2(3𝑎 + 1) ⋅ 2(3𝑎 − 1) = 4(3𝑎 + 1)(3𝑎 − 1) 
16) 81 − 𝑥² (9 + 𝑥)(9 − 𝑥) 
17) 4𝑥² − 𝑦² (2𝑥 + 𝑦)(2𝑥 − 𝑦) 
18) 16𝑥⁴ − 9 (4𝑥2 + 3) (4𝑥2 − 3)⏟ = (4𝑥2 + 3) (2𝑥 + √3)(2𝑥 − √3)⏟ 
19) 36𝑥² − 4𝑦² (6𝑥 + 2𝑦)(6𝑥 − 2𝑦) = 4(3𝑥 + 𝑦)(3𝑥 − 𝑦) 
20) 16𝑎² − 9𝑥²𝑦² (4𝑎 + 3𝑥𝑦)(4𝑎 − 3𝑥𝑦) 
21) 25𝑥⁴ − 𝑦⁶ (5𝑥2 + 𝑦3)(5𝑥2 − 𝑦3) 
22) 𝑥⁴ − 𝑦⁴ (𝑥2 + 𝑦2) (𝑥2 − 𝑦2)⏟ = (𝑥2 + 𝑦2) (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)⏟ 
23) (𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎 − 𝑏)2 (𝑎 + 𝑏 + 𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏 − 𝑎 + 𝑏) = 2𝑎 ⋅ 2𝑏 = 4𝑎𝑏 
24) (2𝑥 + 1)2 − (𝑥 + 2)2 (2𝑥 + 1 + 𝑥 + 2)(2𝑥 + 1 − 𝑥 − 2) = 3(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 
4º CASO: TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO 
Como já sabemos: 
(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃+ 𝒃𝟐 
(𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃+ 𝒃𝟐 
Vemos que esse tipo de produto notável gera três termos e os termos extremos (𝑎2 e 𝑏2) fornecem raízes qua-
dradas exatas (no caso, 𝑎 e 𝑏). Já os termos centrais correspondem ao dobro do produto dessas raízes (ou seja, 
2𝑎𝑏). 
Ex.: Fatore 𝑥2 − 14𝑥 + 49. 
Solução: 𝑥2 − 14𝑥 + 49 = (𝑥 − 7)2. 
Observe o que foi feito: A expresão dada possui três termos e dois deles correspondem a quadrados per-
feitos. De fato, 𝑥2 = (𝑥)2 e 49 = (7)2. O termo central, por sua vez, é igual ao dobro do produtos das raízes 
encontradas, ou seja, 14𝑥 = 2 ⋅ 𝑥 ⋅ 7. Portanto, podemos escrever 𝑥2 − 14𝑥 + 49 = (𝑥 − 7)2. 
Problema 4. Fatore os seguintes trinômios: 
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1) 𝑥² + 4𝑥 + 4 (𝑥 + 2)² 
2) 𝑥² − 4𝑥 + 4 (𝑥 − 2)² 
3) 𝑎² + 2𝑎 + 1 (𝑎 + 1)² 
4) 𝑎² − 2𝑎 + 1 (𝑎 − 1)² 
5) 𝑥² − 8𝑥 + 16 (𝑥 − 4)² 
6) 𝑎² + 6𝑎 + 9 (𝑎 + 3)² 
7) 𝑎² − 6𝑎 + 9 (𝑎 + 3)² 
8) 1– 6𝑎 + 9𝑎² (1 − 3𝑎)² 
9) 𝑚² − 12𝑚 + 36 (𝑚 − 6)2 
10) 𝑎² + 14𝑎 + 49 (𝑎 + 7)2 
11) 4 + 12𝑥 + 9𝑥² (2 + 3𝑥)2 
12) 9𝑎² − 12𝑎 + 4 (3𝑎 − 2)2 
13) 9𝑥² − 6𝑥𝑦 + 𝑦² (3𝑎 − 𝑦)2 
14) 𝑥² + 20𝑥 + 100 (𝑥 + 10)2 
15) 𝑎² − 12𝑎𝑏 + 36𝑏² (𝑎 − 6𝑏)2 
16) 9 + 24𝑎 + 16𝑎² (3 + 4𝑎)2 
17) 64𝑎² − 80𝑎 + 25 (8𝑎 − 5)2 
18) 𝑎⁴ − 22𝑎² + 121 (𝑎2 + 11)2 
19) 36 + 12𝑥𝑦 + 𝑥²𝑦² (6 + 𝑥𝑦)2 
20) 𝑦⁴ − 2𝑦³ + 1 (𝑦2 − 1)2 
21) 𝑦6 + 2𝑦3 + 1 (𝑦3 + 1)2 
22) 9𝑦6 − 12𝑎2𝑦3 + 4𝑎4 (3𝑦3 − 2𝑎2)2 
23) 3𝑥2 + 6𝑥 + 3 (√3 𝑥 + √3)
2
= 3(𝑥 + 1)2 
5º CASO: TRINÔMIO DE SEGUNDO GRAU QUALQUER 
Um trinômio do segundo grau é algo da forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ e 𝑎 ≠ 0. Esse trinômio pode ser 
fatorado como: 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏)(𝒙 − 𝒙𝟐) 
onde 𝑥1 e 𝑥2 são as raízes da equação de segundo grau correspondente, 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. É interessante 
observar que este método engloba o anterior. Também é importante notar a presença do coeficiente de 𝑥2 mul-
tiplicando toda a expressão fatorada. 
Ex.: Fatore 𝑥2 − 5𝑥 + 6. 
Solução:Logo de início constatamos que 6 = (√6)
2
 e que o termo central não corresponde ao produto das 
raízes (5 ≠ 2 ⋅ √6 ⋅ 𝑥), portanto o método anterior não pode ser usado. Como se trata de um trinômio do 
segundo grau, resolvemos a equação 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 e encontramos as raízes 𝑥1 = 2 e 𝑥2 = 3. Assim, pode-
mos escrever: 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 3). 
Ex.: Fatore 𝑥2 − 4. 
Solução: Evidentemente, esse problema pode ser resolvido pelo método 3. Entretanto, por se tratar de um 
polinômio do segundo grau, pode ser resolvido também pelo método atual. De fato, 𝑥2 − 4 = 0 fornece duas 
raízes, 𝑥1 = 2 e 𝑥2 = −2. Assim, 𝑥
2 − 4 = (𝑥 − 2)(𝑥 − (−2)) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2), como esperávamos. 
Ex.: Fatore 3𝑥2 − 12𝑥 + 3. 
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Solução: Como o coeficiente do termo quadrático é igual a 3, a forma fatorada será 3(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2), sendo 
𝑥1 e 𝑥2 as raízes da equação 3𝑥
2 − 12𝑥 + 3 = 0, cujas raízes são 𝑥1 = 1 e 𝑥2 = 3. Consequentemente, 3𝑥
2 −
12𝑥 + 3 = 3(𝑥 − 1)(𝑥 − 3). 
Problema 5. Fatore: 
1) 𝑥² + 7𝑥 + 10 (𝑥 + 2)(𝑥 + 5) 
2) 𝑥2 − 7𝑥 + 10 (𝑥 − 2)(𝑥 − 5) 
3) 𝑥2 − 3𝑥 − 10 (𝑥 + 2)(𝑥 − 5) 
4) 𝑥2 + 3𝑥 − 10 (𝑥 − 2)(𝑥 + 5) 
5) 𝑥2 − 2𝑥 − 63 (𝑥 + 7)(𝑥 − 9) 
6) 𝑥2 − √3𝑥 𝑥(𝑥 − √3) 
7) 4𝑥2 − 24𝑥 + 32 4(𝑥 − 4)(𝑥 − 2) 
8) −5𝑥2 − 45𝑥 + 50 −5(𝑥 − 1)(𝑥 + 10) 
9) 𝑥2 − 12𝑥 + 36 (𝑥 − 6)(𝑥 − 6) = (𝑥 − 6)2 
10) 𝑥2 + 3𝑥 − 10 (𝑥 − 2)(𝑥 + 5) 
11) 𝑥4 − 22𝑥2 + 121 (𝑥2 − 11⏟ )
2
= [(𝑥 + √11)(𝑥 − √11)⏟ ]
2
= (𝑥 + √11)
2
(𝑥 − √11)
2
 
12) 𝑥4 + 4𝑥2 − 32 (𝑥2 + 8)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) 
13) 𝑥2 + 𝑥 𝑥(𝑥 + 1) (tente resolver pelo método atual) 
14) 𝑥2 − 𝑎2 (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎) (tente resolver pelo método atual) 
15) 𝑒2𝑥 + 11𝑒𝑥 + 30 (𝑒𝑥 + 5)(𝑒𝑥 + 6) (dica: faça uma mudança de variável) 
16) 2𝑒2𝑥 + 34𝑒𝑥 + 144 2(𝑒𝑥 + 8)(𝑒𝑥 + 9) 
17) sen2 𝑥 − 9 sen 𝑥 + 18 (sen 𝑥 − 3)(sen𝑥 − 6) (dica: faça uma mudança de variável) 
18) cos2 𝑥 − 4 (cos𝑥 + 2)(cos𝑥 − 2) 
 
 
Problema 6. Simplifique: 
1) (𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐) (𝑎2 − 𝑎𝑐)⁄ (𝑎 + 𝑏) 𝑎 = (1 + 𝑏 𝑎)⁄⁄ 
2) (𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 2) (𝑥2 − 1)⁄ 𝑥 − 2 
3) (𝑥4 − 2𝑥2 + 1) (𝑥4 − 1)⁄ (𝑥2 − 1) (𝑥2 + 1) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) (𝑥2 + 1)⁄⁄ 
4) (𝑎 + 𝑏)2 − 4𝑎𝑏 (𝑎 − 𝑏)2 
5) √𝑎2 + 2 + 1/𝑎2 (𝑎2 + 1)2 𝑎2 = [(𝑎 + 1) 𝑎⁄ ]2 = (1 + 1 𝑎)⁄⁄
2
 
6) (𝑥2 − 4) (𝑥2 − 6𝑥 + 8)⁄ (𝑥 + 2) (𝑥 − 4)⁄ 
7) (𝑥2 + 8𝑥 + 16) (𝑥2 + 10𝑥 + 16) ⋅ (𝑥2 − 64) (𝑥2 − 4𝑥 − 32)⁄⁄ (𝑥 + 4) (𝑥 + 2)⁄ 
8) (𝑚2 +𝑚) (5𝑚2 + 10𝑚 + 5)⁄ 𝑚 5(𝑚 + 1)⁄