Exercícios de Limites e Continuidade

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Universidade Federal de São Paulo
2a Lista de Exercícios - Limites e Continuidade
(1) Utilizando o gráfico da função (forma intuitiva), calcule
(a) lim
x→2
x2 − 4
x− 2 ; resp. 4 (b) limx→0
x2 + x
x
; resp. 1 (c) lim
x→2
x2 − 4x+ 4
x− 2 ; resp. 0
(d) lim
x→−1
x2 − 1
x+ 1
; resp. −2 (e) lim
x→0
sinx; resp. 0
(2) Calcular os limites abaixo, usando as propriedades de limites:
(a) lim
x→0
(3− 7x− 5x2); resp. 3 (b) lim
x→−1
[(x+ 4)3.(x+ 2)−1]; resp. 27 (c) lim
x→2
x+ 4
3x− 1 ; resp. 6/5
(d) lim
t→2
t2 + 5t+ 6
t+ 2
; resp. 5 (e) lim
x→4
3
√
2x+ 3; resp. 3
√
11 (f) lim
x→2
x
√
x−√2
3x− 4 ; resp.
√
2
2
(3) Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existir.
(a) lim
x→−3
(x+ 3)(x− 4)
(x+ 3)(x+ 1)
; resp. 7/2 (b) lim
x→2
x2 − 4
x− 2 ; resp. 4 (c) limr→1
r2 − r
2r2 + 5r − 7 ; resp. 1/9
(d) lim
k→4
k2 − 16√
k − 2 ; resp. 32 (e) limh→0
(x+ h)2 − x2
h
; resp. 2x
(f) lim
h→−2
h3 + 8
h+ 2
; resp. 12 (g) lim
x→−1
x3 + 1
x2 − 1 ; resp. −3/2 (h) limx→2
x2 + 3x− 10
3x2 − 5x− 2 ; resp. 1
(4) Esboce o gráfico de h e ache cada limite, se existir: lim
x→1−
h(x), lim
x→1+
h(x) e lim
x→1
h(x)
(a) h(x) =
{
x2 − 1, se x < 1
4− x, se x ≥ 1 (b) h(x) =
{ 3x− 1, se x ≤ 1
3− x, se x > 1 (c) h(x) =
{
x2 + 1, se x < 1
1, se x = 1
x+ 1, se x > 1
(5) Seja g(x) =
{ |x−3|
x−3 , se x 6= 3
0, se x = 3
(a) Esboce o gráfico de g;
(b) Achar, se existirem lim
x→3−
g(x), lim
x→3+
g(x) e lim
x→3
g(x); resp. 1,−1 e @
(6) Prove usando as propriedades operatórias de limites que:
(a) Se m, b e a são números reais, então lim
x→a(mx+ b) = ma+ b
(b) lim
x→ax
n = an;
(c) Se f é uma função polinomial e a ∈ IR, então lim
x→a f(x) = f(a)
(7) Use a definição de limite para provar os casos abaixo.
(a) lim
x→3
5x = 15 (b) lim
x→−3
(2x+ 1) = −5 (c) lim
x→4
(3x− 5) = 7.
(8) Dê um exemplo de um função f definida em a, tal que lim
x→a f(x) existe e limx→a f(x) 6= f(a).
(9) Explique por que lim
x→0
(
1
x
+ x
)
6= lim
x→0
1
x
+ lim
x→0
x.
(10) Determine o limite, se existir.
(a) lim
x→+∞(3x
3 + 4x2 − 1); resp. +∞ (b) lim
x→+∞
(
2− 1
x
+
4
x2
)
; resp. 2 (c) lim
t→+∞
t+ 1
t2 + 1
; resp. 0
(d) lim
t→−∞
t+ 1
t2 + 1
; resp. 0 (e) lim
x→+∞
2x5 − 3x3 + 2
−x2 + 7 ; resp.−∞ (f) limx→−∞
5x3 − x2 + x− 1
x4 + x3 − x+ 1 ; resp.0
(g) lim
x→∞
5x2 − 3x+ 1
2x2 + 4x− 7 ; resp. 5/2 (h) limx→−∞
4− 7x
2 + 3x
; resp. −7/3 (i) lim
x→−∞
2x2 − 3
4x3 + 5x
; resp. 0
(j) lim
x→∞
−x3 + 2x
2x2 − 3 ; resp. −∞ (k) limx→−∞
2− x2
x+ 3
; resp. ∞ (l) lim
x→∞
3
√
8 + x2
x(x+ 1)
; resp. 1
(11) Investigue a continuidade nos pontos indicados:
(a) g(x) =
{
x3−8
x2−4 , se x 6= 2
3, se x = 2
em x = 2; resp. é contínua.
(b) f(x) =
{
x2−4
x+2 , se x 6= −2
0, se x = −2 em x = −2; resp. não é contínua.
(c) h(x) = x
2−3x+7
x2+1
, em x = 2; resp. é contínua.
(d) g(x) =
{ x
|x| , se x 6= 0
−1, se x = 0 em x = 0; resp. não é contínua.
(e) g(x) =
{ x
|x| , se x 6= 0
0, se x = 0 em x = 0; resp. não é contínua.
(12) Seja f(x) =
{
x2, se x ≤ 2
2x, se 2 < x < 4√
x, se x ≥ 4
(a) Calcule f(1), f(2), f(3), f(4) e f(5).
(b) Em que ponto(s) f(x) é descontínua?
(13) Seja f(x) =
{
x+ 2, se x ≤ 1
1
x , se 1 < x ≤ 2√
x, se x > 2
(a) Calcule f(0), f(1), f(2) e f(4); resp. 2, 3, 1/2 e 2
(b) Em que ponto(s) f(x) é descontínua? resp. 1, 2
Nos exercícios (14) e (15), determine o número c que torna f(x) contínua para qualquer valor de x.
(14) Seja f(x) =
{
x2−3x
x−3 , se x 6= 3
c, se x = 3
(15) Seja f(x) =
{
x3−8
x−2 , se x 6= 2
c, se x = 2
(16) Explique por que f não é contínua em a.
(a) f(x) = 3x+2 ; a = −2 (b) f(x) =
{
x2−9
x−3 , se x 6= 3
4, se x = 3
em a = 3 (c) f(x) =
{ 1, se x 6= 3
0, se x = 3 em
a = 3
(17) Mostre que f(x) = x5 + 2x4 − 6x3 + 2x− 3 tem um zero entre 1 e 2.
(18) Verifique o teorema do valor intermediário para f no intervalo indicado [a, b] mostrando que se f(a) ≤
w ≤ f(b), então f(c) = w para algum c em [a, b].
(a) f(x) = x3 + 1; [−1, 2]
(b) f(x) = x2 − x; [1, 3]
(19) Se f(x) = x3 − x2 + x, mostre que existe um número c tal que f(c) = 10.
(20) Dada a função f(x) = x
2−3x+2
x−1 , verifique que lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x). Pegunta-se: f é contínua em 1?
Por quê?
(21) Calcule.
(a) lim
x→0
x
sinx
; resp. 1 (b) lim
x→0
sin 3x
x
; resp. 3 (c) lim
x→0
x2
sinx
; resp. 0 (d) lim
x→0
x sin
1
x
; resp. 0
(e) lim
x→−∞ e
x; resp. 0 (f) lim
x→+∞(0, 13)
x; resp. 0 (g) lim
x→+∞
1− 2x
1− 3x ; resp. 0
(h) lim
x→0+
lnx; resp. −∞ (i) lim
x→+∞ ln
x
x+ 1
; resp. 0 (j) lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)x
; resp. e2
(k) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x+2
; resp. e (l) lim
x→+∞
(
1 +
1
2x
)x
; resp. e
1
2 (m) lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)x+1
; resp. e2
Bom Trabalho!!!
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