Cálculo 1 - Limites e Funções

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - UFSC
DISCIPLINA: Cálculo 1
Lista 3
1. Estime o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores da função nos números
dados.
a) lim
x→ 2
x2 − 2x
x2 − x− 2
x = 2, 5; 2, 1; 2, 01; 2, 005; 2, 001; 1, 9; 1, 99; 1, 995; 1, 999.
b) lim
x→ 0
ex − 1− x
x2
x = 1; ±0, 5; ±0, 1; ±0, 05; ±0, 01; ±0, 005; ±0, 001.
2. Use uma tabela de valores para estimar o valor do limite.
a) lim
x→ 0
√
x + 4− 2
x
b) lim
x→1
x6 − 1
x10 − 1
3. Para a função f cujo gráfico é mostrado a seguir, determine o valor de cada quantidade,
se ela existir. Se ela não existir, explique por quê.
a) lim
x→−2−
f(x) b) lim
x→−2+
f(x) c) lim
x→−2
f(x)
d) lim
x→0−
f(x) e) lim
x→0+
f(x) f) lim
x→0
f(x)
g) f(4) h) lim
x→4
f(x)
4. Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de a para quais
lim
x→a
f(x) existe:
f(x) =

2− x se x < −1
x se − 1 ≤ x < 1
(x− 1)2 se x ≥ 1
1
5. Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça todas as condições dadas:
a) lim
x→3+
f(x) = 4, lim
x→3−
f(x) = 2, lim
x→−2
f(x) = 2, f(3) = 3 e f(−2) = 1
b) lim
x→2
f(x) = −∞, lim
x→∞
f(x) = ∞, lim
x→−∞
f(x) = 0, lim
x→0+
f(x) = ∞, lim
x→0−
f(x) = 0
6. Se f(1) = 5, lim
x→1
f(x) deve existir? Se existe, então f(x) deve ser igual a 5? Podemos
concluir alguma coisa sobre lim
x→1
f(x)? Explique.
7. Determine um número δ para o ε dado tal que se 0 < | x−a | < δ então | f(x)−L | < ε.
a) lim
x→−1
(3x− 4) = 7; ε = 0, 02 b) lim
x→−2
(2 + 5x) = 8; ε = 0, 02
8. Um torneiro mecânico é necessário para fabricar um disco de metal circular com área de
1.000 cm2.
a) Qual o raio do disco produzido?
b) Se for permitido ao torneiro uma tolerância de erro de ± 5 cm2 na área do disco, quão
próximo do raio ideal da parte a) o torneiro precisa controlar o raio?
c) Em termos da definição de ε e δ de lim
x→x0
f(x) = L, o que é x? O que é f(x)? O que é
x0? O que é L? Qual o valor de ε dado? Qual o valor correspondente de δ?
9. Prove cada proposição usando a definição ε, δ de limite.
a) lim
x→3
(1− 4x) = 13 b) lim
x→2
x = 2 c) lim
x→3
1 = 1
10. Mostre por meio de um exemplo que lim
x→x0
[f(x) + g(x)] pode existir mesmo que nem
lim
x→x0
f(x) nem lim
x→x0
g(x) existam.
11. Se lim
x→x0
f(x) e lim
x→x0
[f(x)+g(x)] existem, o que se pode afirmar a respeito do lim
x→x0
g(x)?
12. Se lim
x→x0
f(x) = 2 e lim
x→x0
(
f(x)− g(x)
)
= −1, calcule lim
x→x0
(
f(x) · g(x)
)
.
13. Seja f(x) =
{
x2 se x ≤ 2
8− 2x se x > 2
a) Encontre lim
x→2−
f(x) e lim
x→2+
f(x).
b) Existe lim
x→2
f(x)?
c) Esboce o gráfico de f .
2
14. Suponha lim
x→c
f(x) = 5 e lim
x→c
g(x) = −2. Determine:
a) lim
x→c
f(x) g(x) b) lim
x→c
2f(x) g(x)
c) lim
x→c
(f(x) + 3 g(x)) d) lim
x→c
f(x)
f(x)− g(x)
15. Se lim
x→−2
f(x)
x2
= 1, calcule:
a) lim
x→−2
f(x) b) lim
x→−2
f(x)
x
16. Calcule os limites justificando cada passagem pelas Leis dos limites que forem usadas.
a) lim
x→−2
(x3 + 2x− 1) b) lim
x→0
(
5x− 3
2 + 4x2 + x3
)2
c) lim
u→2
√
u2 + 3u + 4
u3 + 1
d) lim
x→−1
x + 1
x2 − 2x− 2
17. Calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique por quê.
a) lim
x→2
x2 − x + 6
x− 2
b) lim
x→−3
x2 + 5x + 6
x2 − x− 12
c) lim
h→0
(4 + h)2 − 16
h
d) lim
x→0
1−
√
x + 1
x
e) lim
t→0
(
1
t
− 1
t2 + t
)
f) lim
x→9
x2 − 81√
x− 3
g) lim
x→−2
|x + 2| h) lim
x→3
|x− 3|
x− 3
i) lim
h→−2
− 3
(h + 2)2
j) lim
x→0−
x + 1
x
1 + x2
k) lim
t→1
t2 + t− 2
t2 − 4t + 3
l) lim
x→−4
3x2 − 17x + 20
4x2 − 25x + 36
m) lim
h→0
(3 + h)−1 − 3−1
h
n) lim
x→−2
x3 − x2 − x + 10
x2 + 3x + 2
o) lim
x→0−
(
1
x
− 1
|x|
)
p) lim
x→0
√
x + 4− 2
x
q) lim
x→10
5 r) lim
x→−4
(x + 3)1.984
3
18. Se x− 1 ≤ f(x) ≤ x2 − 5x + 8 para 2 ≤ x ≤ 4, encontre lim
x→3
f(x).
19. Use o Teorema do Confronto para mostrar que lim
x→0
x2 cos (20 π x) = 0.
20. Encontre o limite.
a) lim
x→∞
√
2x4 − 3x− 5
2 + x2 + 3x4
b) lim
x→∞
2
2x− 5
c) lim
u→∞
4u4 + 5
(u2 − 2)(2u2 − 1)
d) lim
t→−∞
t2 + 2
t3 + t2 − 1
e) lim
t→∞
t2 − 4
t + 1
f) lim
x→∞
√
x2 − 2x + 2
x + 1
g) lim
x→−∞
(
x4 + x5
)
h) lim
y→+∞
2y3 − 4
5y + 3
i) lim
x→∞
(x2 + 1)1/3
x + 1
j) lim
x→∞
√
x2 + 3x + 2− x
4