Limites e Continuidade em Matemática

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Ciências e Tecnologia (ECT)
Bacharelado em Ciências e Tecnologia (BCT)
ECT1101 - Fundamentos de Matemática - 2010.1
LIMITES E CONTINUIDADE
Lista de Exerćıcios
1. Para a função f (x) ilustrada abaixo, encontre
os seguintes limites ou explique por que eles
não existem:
a) lim
x→1
f (x)
b) limx→2 f (x)
c) limx→3 f (x)
2. Quais das seguintes afirmações sobre a função
y = f (x) ilustrada a seguir são verdadeiras e
quais são falsas?
a) lim
x→0
f (x) existe.
b) lim
x→0
f (x) = 0
c) lim
x→0
f (x) = 1
d) lim
x→1
f (x) = 1
e) lim
x→1
f (x) = 0
3. Calcule a taxa média de variação da função
f (x) = 3x− 2
no intervalo [2, P ] com P = 3. Conforme faze-
mos P se aproximar de 2 a taxa de variação
média atinge um valor-limite. Determine este
valor-limite.
4. Calcule a taxa média de variação da função
f (x) = x3 + 1
no intervalo [−1, P ] com P = 0. Conforme
fazemos P se aproximar de −1 a taxa de
variação média atinge um valor-limite. Deter-
mine este valor-limite.
5. Limites que representam taxa de variação in-
stantânea
lim
h→0
f (x+ h)− f (x)
h
aparecem frequentemente no cálculo. Deter-
mine este limites para as seguintes casos:
(a) f (x) = x2, no ponto x = −2.
(b) f (x) = 3x− 4, no ponto x = 2.
(c) f (x) = 1/x, no ponto x = 3.
(d) f (x) =
√
x+ 1, no ponto x = 0.
6. Usando as propriedades de limites determine o
valor dos seguintes limites:
a) lim
x→7
(2x+ 5)
b) lim
t→6
8 (t− 5) (t− 7)
1
c) lim
y→−5
y2
5− y
d) lim
h→0
3√
3h+ 1 + 1
e) lim
x→5
x− 5
x2 − 25
f) lim
t→1
t2 + t− 2
t2 − 1
g) lim
y→1
5y3 + 8y2
3y4 − 16y2
h) lim
x→−2
−2x− 4
x3 + 2x2
i) lim
y→0
5y3 + 8y2
3y4 − 16y2
j) lim
v→2
v3 − 8
v4 − 16
k) lim
x→4
4x− x2
2−√
x
l) lim
x→1
x− 1√
x+ 3− 2
m) lim
x→−2
x+ 2√
x2 + 5− 3
7. Se
√
5− 2x2 ≤ f (x) ≤
√
5 + 2x2 para −1 ≤
x ≤ 1, determine lim
x→0
f (x) (Sugestão: use o
teorema do confronto).
8. Seja a função
h (x) =



x2, x < 2
3, x = 2
2, x > 2
Mostre que
a) lim
x→2
h (x) ̸= 4
b) lim
x→2
h (x) ̸= 3
c) lim
x→2
h (x) ̸= 2
9. Usando as propriedades de limites laterais de-
termine o valor dos seguintes limites:
a) lim
x→−0,5−
√
x+ 2
x+ 1
b) lim
x→1−
(
1
x+ 1
)(
x+ 6
x
)(
3− x
7
)
c) lim
h→0+
√
h2 + 4h+ 5−
√
5
h
d) lim
h→0−
√
6−
√
5h2 + 11h+ 6
h
e) lim
t→−2−
(x+ 3)
|x+ 2|
x+ 2
f) lim
t→−2+
(x+ 3)
|x+ 2|
x+ 2
g) lim
t→1+
√
2x (x− 1)
|x− 1|
h) lim
t→1−
√
2x (x− 1)
|x− 1|
10. Represente graficamente a função
f (x) =



√
1− x2, 0 ≤ x < 1
1, 1 ≤ x < 2
2, x = 2
e depois responda as seguintes questões:
(a) Quais são o domı́nio e a imagem de f?
(b) Em quais pontos c, existe limx→c f (x)?
(c) Em quais pontos existe apenas o limite à
esquerda?
(d) Em quais pontos existe apenas o limite à
direita?
11. Represente graficamente a função
f (x) =



x, − 1 ≤ x < 0 ou 0 < x ≤ 1
1, x = 0
0, x < −1 ou x > 1
e depois responda as seguintes questões:
(a) Quais são o domı́nio e a imagem de f?
(b) Em quais pontos c, existe limx→c f (x)?
(c) Em quais pontos existe apenas o limite à
esquerda?
(d) Em quais pontos existe apenas o limite à
direita?
12. Calcule o valor dos seguintes limites envol-
vendo infinitos:
a) lim
x→∞
π − 2
x2
b) lim
x→∞
3− (2/x)
4 +
(√
2/x2
)
c) lim
r→∞
r + sen r
2r + 7− 5 sen r
d) lim
x→−∞
excos
(
1
x
)
e) lim
x→∞
3x2 + e−x
sen (1/x)− 2x2
f) lim
x→−∞
9x4 + x
2x4 + 5x2 − x+ 6
g) lim
x→∞
10x5 + x4 + 31
x6
h) lim
x→∞
2 +
√
x
2−√
x
i) lim
x→∞
2x5/3 − x1/3 + 7
x8/5 + 3x+
√
x
13. Determine os seguintes limites:
a) lim
x→0+
1
3x
b) lim
x→7
4
(x− 7)
2
c) lim
x→0−
−1
x2 (x+ 1)
d) lim
x→0−
2
x1/5
e) lim
r→(π/2)−
tg x
f) lim
x→0−
(1 + cosec x)
14. Determine
lim
1
x2 − 4
quando
(a) x → 2+ (b) x → 2−
(c) x → −2+ (d) x → −2−
15. Determine
lim
(
x2
2
− 1
x
)
quando
(a) x → 0+ (b) x → 0−
(c) x → 3
√
2 (d) x → −1
16. Determine
lim
(
x2 − 3x+ 2
x3 − 2x2
)
quando
(a) x → 0+ (b) x → 2+
(c) x → 2− (d) x → 2
17. Usando os limites fundamentais
lim
x→0
sen x
x
= 1 e lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= e
calcule:
a) lim
x→0
sen 3x
4x
b) lim
x→0
tg 2x
x
c) lim
x→0−
x+ xcos x
sen x cos x
d) lim
x→0
sen x
sen 2x
e) lim
x→0
sen (sen x)
senx
f) lim
x→0
sen 3x cotg 5x
x2
g) lim
n→∞
(
1 +
2
n
)n
h) lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n+3
i) lim
n→∞
(
1 +
3
n
)n+2
j) lim
n→∞
(
n+ 7
n+ 4
)n
18. Determine os seguintes limites:
a) lim
x→+∞
(x+ 1)3
x3 + 1
b) lim
x→−∞
x2 − 6x+ 8
3x+ 1
c) lim
x→−∞
10000x+ 8
3x2 + 4x+ 1
d) lim
x→∞
√
x
√
x+
√
x+
√
x
e) lim
x→−∞
2x2 − 3x− 4√
x4 + 1
f) lim
x→−∞
ex
e−x
g) lim
x→2
x2 − 4
x2 − 3x+ 2
h) lim
x→−1
x2 − 1
x2 + 3x+ 2
i) lim
h→0
(x+ h)3 − x3
h
j) lim
x→1
1
x− 1
− 3
1− x2
k) lim
x→7
2−
√
x− 3
x2 − 49
l) lim
x→7
3−
√
5 + x
1−
√
5− x
m) lim
x→3
√
x2 − 2x+ 6−
√
x2 + 2x− 6
x2 − 4x+ 3
n) lim
x→+∞
(
√
x2 − 5x+ 6− x
)
o) lim
x→+∞
x ·
(
√
x2 + 1− x
)
p) lim
x→3
senx
x
q) lim
x→0
sen5x
sen2x
r) lim
x→+∞
sen3x
5x
s) lim
x→+∞
x · sen
(π
x
)
t) lim
x→π
4
senx− cosx
1− tgx
u) lim
x→0
1−√
cosx
x2
v) lim
x→0
tg2x
sen3x
w) lim
x→0
(
sen2x
x
)1+x2
x) lim
x→−∞
(
x+ 3
2x+ 5
)x2
y) lim
x→+∞
(
1
x2
)
2x
x+1
z) lim
x→0
(1 + senx)
1
x
19. Determine os seguintes limites:
a) lim
x→+∞
(
x− 1
x+ 3
)x+2
b) lim
x→0
(cosx)
1
x
c) lim
x→0
(cosx)
1
x
2
d) lim
x→−∞
(
ln(1 + ex)
x
)
e) lim
x→0−
∣
∣senx
∣
∣
x
f) lim
x→0+
∣
∣senx
∣
∣
x
g) lim
x→−2−
x
x+ 2
h) lim
x→−2+
x
x+ 2
i) lim
x→−1+
∣
∣x+ 1
∣
∣
x+ 1
j) lim
x→−1−
∣
∣x+ 1
∣
∣
x+ 1
k) lim
x→0+
1
1 + e
1
x
l) lim
x→0−
1
1 + e
1
x
m) lim
x→+∞
x · [ln(x+ 1)− ln(x)]
20. Esboce o gráfico da função
f (x) =











x2 − 1, −1 ≤ x < 0
2x, 0 < x < 1
1, x = 1
−2x+ 4, 1 < x < 2
0, 2 < x < 3
e responda as seguintes perguntas:
(a) Existe f (−1)? Existe limx→−1+ f (x)?
Existe f (−1) = limx→−1+ f (x)?
(b) f é cont́ınua em x = −1?
(c) Existe f (1)? Existe limx→1 f (x)? Existe
f (1) = limx→1 f (x)?
(d) f é cont́ınua em x = 1?
(e) f é definida em x = 2? f é cont́ınua em
x = 2?
(f) Para quais valores de x, f é cont́ınua?
(g) Qual valor deve ser atribúıdo a f (2) para
tornar a função estendida cont́ınua em
x = 2?
(h) Para qual valor f (1) deve ser mudado
para remover a descontinuidade?
21. Em quais intervalos as funções abaixo são
cont́ınuas?
a) f(x) =
1
x− 2
− 3x
b) f(x) =
x+ 4
x2 − 3x− 10
c) f(x) =
∣
∣x− 1
∣
∣+ senx
d) f(x) =
2 + x
cosx
e) f(x) =
√
2x+ 3
f) f(x) =
x · tgx
x2 + 1
22. Defina h (2) de maneira que estenda
h (t) =
t2 + 3t− 10
t− 2
para torná-la cont́ınua em t = 2.
23. Para qual valor de a temos que
f (x) =
{
x2 − 1, x < 3
2ax, x ≥ 3
é cont́ınua em qualquer x?
Gabarito
1. a) Não existe.
c) Existe.
2. a) Verdadeiro.
c) Falso.
e) Falso.
3. Taxa média: 3; taxa instantânea 3.
5. a) −4.
c) −1
9 .
6. a) 19.
c) 5/2.
e) 1/10.
g) −1.
i) −1/2.
k) 16.
m) −3/2.
7.
√
5.
8. a) Demonstração utilizando limites laterais.
c) Demonstração utilizando limites laterais.
9. a)
√
3.
c) 2√
5
.
e) 1.
f) −1.
10. a) D = [0, 2] e Im = [0, 1] ∪{2}.
b) ]0, 1[ ∪ ]1, 2[.
c) x = 2.
d) x = 0.
12. a) π.
c) 1/2.
e) −3/2
g) 0.
i) ∞.
13. a) ∞.
c) −∞.
e) ∞.
14. a) ∞.
b) −∞.
c) −∞.
d) ∞.
16. a) −∞.
b) 1
4 .
c) 1
4 .
d) 1
4 .
17. a) 3
4 .
c) 2.
e) 1.
g) e2.
i) e3.
18. a) 1.
c) 0.
e) 2.
g) 4
3 .
i) 3x2.
k) − 1
14 .
m) − 1
3 .
o) 1
2 .
q) 5
2 .
s) π.
u) 1
2 .
w) 2.
y) 0.
z) e.
19. a) e−4.
b) 1
c) e−1
e) −1.
g) ∞.
i) 1.
k) 0.
m) 1.
20. a) Sim; Sim; Sim.
b) Sim.
c) Sim; Sim; Não.
d) Não.
e) Não; Não.
f) [−1, 0[ ∪ ]0, 1[ ∪ ]1, 2[ ∪ ]2, 3[.
g) f (2) = 0.
h) f (1) = 2.
21. a) Qualquer x exceto x = 2.
c) S = {x ∈ R} .
e) S =
{
x ∈ R|x ≥ −3
2
}
.
23. a = 4
3 .