Apostila Física EsPCEx (MaxiEduca) 1

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1) Mecânica: Introdução ao método científico na Física, conceitos básicos de cinemática, movimento 
uniforme, movimento uniformemente variado, movimentos sob a ação da gravidade, movimentos 
circulares, gráficos da cinemática, composição de movimentos e cinemática vetorial, dinâmica, energia, 
trabalho, impulso, potência, rendimento, quantidade de movimento, choques mecânicos, estática de um 
ponto material e de um corpo extenso rígido, hidrostática, princípios de conservação, leis de Kepler e 
gravitação universal .......................................................................................................................... 01 
 
2) Termologia: Conceitos fundamentais de termologia, termometria, calorimetria, mudanças de fase, 
diagramas de fase, propagação do calor, dilatação térmica de sólidos e líquidos, gases ideais e 
termodinâmica .................................................................................................................................. 67 
 
3) Óptica: Princípios da óptica geométrica, reflexão da luz, espelho plano, espelhos esféricos, refração 
luminosa, lentes esféricas, instrumentos ópticos, olho humano e defeitos da visão.............................. 87 
 
4) Ondas: Movimento harmônico simples, conceitos básicos de ondas e pulsos, reflexão, refração, 
difração, interferência, polarização, ondas sonoras e efeito Doppler.................................................... 97 
 
5) Eletricidade: Carga elétrica, princípios da eletrostática, processos de eletrização, força elétrica 
campo elétrico, potencial elétrico, trabalho da força elétrica, energia potencial elétrica, condutores em 
equilíbrio eletrostático, capacidade elétrica, corrente elétrica, potência e energia na corrente elétrica, 
resistores, resistência elétrica, associação de resistores, associação de capacitores, energia 
armazenada nos capacitores, aparelhos de medição elétrica, geradores e receptores elétricos, Leis de 
Kirchhoff, conceitos iniciais do magnetismo, campo magnético, força magnética, indução 
eletromagnética, corrente alternada, transformadores e ondas eletromagnéticas ............................. 111 
 
 
 
 
 
Candidatos ao Concurso Público, 
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relacionadas ao conteúdo desta apostila como forma de auxiliá-los nos estudos para um bom desempenho 
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professor terá até cinco dias úteis para respondê-la. 
Bons estudos! 
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A mecânica é o ramo da física que compreende o estudo e análise do movimento e repouso dos 
corpos, e sua evolução no tempo, seus deslocamentos, sob a ação de forças, e seus efeitos 
subsequentes sobre seu ambiente. A disciplina tem suas raízes em diversas civilizações antigas. 
Durante a Idade Moderna, cientistas tais como Galileu Galilei, Johannes Kepler, e especialmente Isaac 
Newton, lançaram as bases para o que é conhecido como mecânica clássica. 
 
Cinemática: descreve o movimento de um corpo sem se preocupar com suas causas. 
Dinâmica: estuda as causas do movimento. 
Estática: analisa as condições para se manter um corpo equilibrado ou em repouso. 
 
1.1 Movimento em duas e três dimensões: conceitos, deslocamento, velocidade e aceleração 
(escalar e vetorial), queda livre, composição de movimentos, lançamento oblíquo e lançamento 
horizontal. 
 
Conceitos Básicos de Cinemática 
 
Ponto Material ou Partícula: é uma abstração feita para representar qualquer objeto que em virtude 
do fenômeno tem dimensões desprezíveis, ou seja, dimensões tais que não afetam o estudo do 
fenômeno. Por exemplo, no estudo dos movimentos da Terra, dada a distância que separa este corpo 
dos demais, suas dimensões são desprezíveis e ela pode ser considerada um ponto material, porém 
caso algum outro corpo se aproximasse da Terra, seria preciso abandonar esta aproximação e 
considerar o tamanho da Terra e sua estrutura. 
 
Corpo Extenso: quando o fenômeno estudado não puder prescindir das dimensões do objeto, este 
será encarado como um corpo extenso. Corpos que sofrem rotação e possuem momento linear são 
exemplos de corpos extensos. 
 
Móvel: é um ponto que em relação a um referencial, muda de posição com o passar do tempo. 
Exemplo: Um ônibus andando numa rodovia. Você está viajando nele. Em relação ao ônibus, você está 
em repouso, porém, se levarmos em conta um poste na estrada, você está em movimento, ou seja, 
você é um móvel. O próprio poste passa a ser um móvel quando você é o referencial. 
 
Referencial: é o local onde um observador fixa um sistema de referência para, a partir do qual, 
estudar o movimento ou o repouso de objetos. É impossível afirmarmos se um ponto material está em 
movimento ou em repouso sem antes adotarmos outro corpo qualquer como referencial. Dessa forma, 
um ponto material estará em movimento em relação a um dado referencial se sua posição em relação a 
ele for variável. Da mesma forma, se o ponto material permanecer com sua posição inalterada em 
relação a um determinado referencial, então estará em repouso em relação a ele. Tomemos como 
exemplo o caso de um elevador. Se você entrar em um elevador no andar térreo de um edifício e subir 
até o décimo andar, durante o tempo em que o elevador se deslocar você estará em movimento em 
relação ao edifício, e ao mesmo tempo o seu corpo estará em repouso em relação ao elevador, pois 
entre o térreo e décimo andar sua posição será a mesma em relação a ele. 
Perceba que nesse caso citado, a questão estar ou não em movimento depende do referencial 
adotado. Poderíamos utilizar o exemplo de um carro em movimento na estrada. O motorista nesse caso 
1) MECÂNICA: 
 
Introdução ao método científico na Física, conceitos básicos de 
cinemática, movimento uniforme, movimento uniformemente variado, 
movimentos sob a ação da gravidade, movimentos circulares, gráficos da 
cinemática, composição de movimentos e cinemática vetorial, dinâmica, 
energia, trabalho, impulso, potência, rendimento, quantidade de 
movimento, choques mecânicos, estática de um ponto material e de um 
corpo extenso rígido, hidrostática, princípios de conservação, leis de 
Kepler e gravitação universal. 
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está em movimento em relação a uma árvore à beira da estrada, mas continua em repouso em relação 
ao carro, já que acompanha o movimento do veículo. Nesse caso, podemos dizer também que a árvore 
está em movimento em relação ao motorista e em repouso em relação à estrada. Isso nos leva a 
propriedade simétrica: Se A está em movimento em relação a B, então B está em movimento em 
relação a A. E Se A está em repouso em relação a B, então B está em repouso em relação a A. 
Se a distância entre dois corpos for a mesma no decorrer do tempo, você pode dizer que um está 
parado em relação ao outro? A resposta é não. Se na ponta de um barbante for amarrada uma pedra e 
alguém pegar a outra ponta do barbante e passar a girar fazendo um movimento circular com a pedra, 
as posições sucessivas da pedra no espaço irão mudar em relação à outra ponta do barbante, mas a 
distância continuará a mesma. Note então que o conceito de movimento implica em variação de posição 
e não de distância. Um ponto materialestá em movimento em relação a certo referencial se a sua 
posição no decorrer do tempo variar em relação a esse referencial. 
 
 
 
Um ponto material está em repouso em relação a certo referencial se a sua posição não variar no 
decorrer do tempo em relação a esse referencial. 
 
Movimento: quando um objeto se move de um lugar para o outro. Um corpo está em movimento 
quando muda de posição em relação a um referencial ao longo do tempo. 
 
Repouso: quando o corpo ou objeto não se move do lugar, ou seja, ele fica imóvel, ou seja, se, 
durante certo intervalo de tempo, o corpo mantém sua posição constante em relação a um referencial, 
dizemos que ele se encontra em repouso. 
 
Trajetória: é o caminho determinado por uma sucessão de pontos, por onde o móvel passa em 
relação a certo referencial. Os rastros na neve deixados por um esquiador mostram o caminho 
percorrido por ele durante a descida de uma montanha. Se considerarmos o esquiador como sendo um 
ponto material, podemos dizer que a curva traçada na neve unindo suas sucessivas posições em 
relação a um dado referencial, recebe o nome de trajetória. O trilho de um trem é um exemplo claro de 
trajetória. A bola chutada por um jogador de futebol ao bater uma falta pode seguir trajetórias diferentes, 
dependendo da maneira que é chutada, às vezes indo reta no meio do gol, outras vezes sendo 
colocadinha no ângulo através de uma curva. 
Repare que a trajetória de um ponto material também depende de um referencial. Isso quer dizer que 
um ponto material pode traçar uma trajetória reta e outra curva ao mesmo tempo? Sim. Veja o caso de 
uma caixa com ajuda humanitária sendo lançada de um avião (geralmente esse exemplo é dado com 
bombas). Para quem estiver no chão, olhando de longe, a trajetória da caixa será um arco de parábola. 
Já para quem estiver dentro do avião, a trajetória será uma reta, isso porque o avião segue 
acompanhando a caixa. Na verdade, você irá entender isso melhor quando já tiver em mente o conceito 
de inércia, mas por hora, fique tranquilo com o que foi demonstrado até o momento. 
 
 
 
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Localização: para localizarmos um móvel num determinado instante, construímos um sistema de 
referência cartesiana, que pode apresentar uma, duas ou três dimensões. Para darmos a posição de 
um automóvel em trajetória retilínea, basta um único eixo (movimento unidimensional), já que uma 
abcissa x, desse eixo o localizará num certo instante. 
 
 
 
Para identificarmos uma cidade no nosso planeta, precisamos de um sistema cartesiano com dois 
eixos, x e y, determinando a sua latitude e longitude. 
 
 
 
Agora, para identificarmos a posição de um avião em movimento na atmosfera, num determinado 
instante, precisamos de um sistema cartesiano com três eixos, x, y e z, determinando sua latitude, 
longitude e altitude. 
 
 
 
Espaço: é a distância, medida ao longo da trajetória, do ponto onde se encontra o móvel até a 
origem (O), acrescido de um sinal de acordo com a orientação da trajetória. 
 
 
 
Função Horária do Espaço: Durante o movimento de um ponto material, a sua posição varia com o 
decorrer do tempo. A maneira como a posição varia com o tempo é a lei do movimento ou função 
horária. 
 
s = f(t) 
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Na expressão acima, devemos ler: o espaço é função do tempo. As variáveis s e t têm unidades, que 
devem ser indicadas quando se representa a função. Normalmente são utilizadas as unidades do 
Sistema Internacional (SI), ou seja: 
- espaço: metros (m) 
- tempo: segundos (s) 
 
Exemplo 
 
s = 4,0 + 2,0t (SI) 
 
s e t são as variáveis, isto significa que para cada valor de t temos um valor de s. No instante t=0, o 
espaço s é denominado s0 (espaço inicial). Assim: 
 
- para t=0 → s = s0 = 4,0 + 2,0 . (0) 
 
 s0 = 4,0m 
 
- para t=1,0s → s = s1 = 4,0 + 2,0 . (1) 
 
 s1 = 6,0m 
 
Sentido de Tráfego: quando o móvel caminha sentido da orientação da trajetória, seus espaços (s) 
são crescentes no decorrer do tempo. Denominamos este sentido de tráfego de progressivo. 
 
 
 
Quando o móvel retrocede, caminhando contra a orientação da trajetória, seus espaços (s) são 
decrescentes. Este sentido de tráfego é classificado como retrógrado. 
 
 
 
Deslocamento Escalar: a grandeza física que indica, entre dois instantes, a variação de espaço do 
móvel é denominada deslocamento escalar (∆𝑠). 
 
∆𝑠 = 𝑠2 − 𝑠1 
 
 
 
A figura abaixo apresenta os espaços ocupados por um móvel numa trajetória em dois instantes 
diferentes. 
 
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Pela figura anterior, temos que, no instante t1 = 3s, o móvel encontra-se na posição s1 = 4m, e, no 
instante t2 = 6s, sua posição é s2 = 9m. Podemos afirmar que, entre os instantes 3s e 6s, o espaço do 
móvel variou de 5m, ou seja, de 4 para 9m. Essa variação de espaço recebe o nome de deslocamento 
escalar (∆𝑠). Quando o movimento for progressivo, o deslocamento escalar será positivo (∆𝑠 > 0). 
Quando retrógrado, será negativo (∆𝑠 < 0). 
 
Distância Percorrida (d): é a grandeza que nos informa quanto o móvel efetivamente percorreu 
entre dois instantes. Quando o sentido de tráfego do móvel se mantém, seja progressivo ou retrógrado, 
a distância percorrido coincide com o módulo do deslocamento escalar ocorrido. Na figura a seguir, 
considerando-se o movimento como progressivo, a distância percorrida entre os instantes t1 e t2 foi de 
5m. Ou seja: d = |∆𝑠| = |5m| = 5m. 
 
 
 
Caso o sentido de tráfego entre t1 e t2 fosse retrógrado, como ilustra a figura abaixo, o deslocamento 
escalar seria de -5m e a distância percorrida: d = |∆𝑠| = |-5m| = 5m. 
 
 
 
Quando há inversão de sentido no tráfego, a distância total percorrido é calculada somando-se os 
módulos dos deslocamentos parciais (em cada sentido). O trajeto ABC sobre a rampa abaixo 
exemplifica este caso, sendo B o ponto de inversão de tráfego. 
 
 
 
 
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Velocidade Escalar 
 
Velocidade Escalar Média 
 
Sabendo-se o deslocamento de um móvel, de um ponto s0 até um ponto s, por exemplo, podemos 
medir o quão rápido foi este deslocamento, assim a “rapidez” deste deslocamento é definida como 
velocidade escalar média (ou apenas velocidade média). 
 
 
 
𝑉𝑚 =
𝑠−𝑠0
𝑡−𝑡0
=
∆𝑠
∆𝑡
 , como t0 é quase sempre zero temos: 𝑉𝑚 =
∆𝑠
𝑡
. 
 
Sistema de unidades: 𝑉 = [𝑚]
[𝑠]
 
 
No Sistema Internacional (SI), a unidade de velocidade é metro por segundo (m/s). É também muito 
comum o emprego da unidade quilômetro por hora (km/h). Pode-se demonstrar que 1m/s é equivalente 
a 3,6 km/h. Assim temos: 
 
 
 
 
Velocidade Escalar Instantânea 
 
É considerada um limite da velocidade escalar média, quando o intervalo de tempo for zero. A 
velocidade escalar instantânea é totalmente derivada do espaço, em relação ao tempo. Essa 
“derivação” pode ser representada pela equação: 
 
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
 
 
Existem também funções polinomiais, como por exemplo: s = atn + bt + c, e para essas funções 
temos: 
 
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝑛𝑎𝑡𝑛+1 + 𝑏 
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
a) s = 8,0(km) + 3,0t(h) → 𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 3,0𝑘𝑚/ℎ 
 
 
b) s = 3,0 - 2,0t + 1,0t2 (CGS) → 𝑣 = 𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 2,0 + 2,0𝑡 
 
 
c) s = 3,0t3 - 2,0 (SI) → 𝑣 = 𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 9,0𝑡2(𝑆𝐼) 
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É chamado de velocidade escalar inicial (v0), quando a velocidade escalar instantânea no instante t é 
igual a 0. Vejamos um exemplo: 
 
- para t=0: v0 = -2,0 + 2,0 (cm/s) sua v0 = -2,0 cm/s. 
 
A velocidade escalar instantânea possui um sinal que define o sentido do movimento ao longo da 
trajetória. Vejamos os exemplos: 
 
- se V > 0 → o corpo vai no sentido positivo da trajetória 
- se V < 0 → o corpo vai na direção negativa da trajetória. 
 
A velocidade escalar tende a zero, se caso o sentido do movimento estiver em ponto de inversão. 
 
Movimento Uniforme 
 
Quando um móvel se desloca com uma velocidade constante, diz-se que este móvel está em um 
movimento uniforme (MU). Particularmente, no caso em que ele se desloca com uma velocidade 
constante em trajetória reta, tem-se um movimento retilíneo uniforme. Uma observação importante é 
que, ao se deslocar com uma velocidade constante, a velocidade instantânea deste corpo será igual à 
velocidade média, pois não haverá variação na velocidade em nenhum momento do percurso. A 
equação horária do espaço pode ser demonstrada a partir da fórmula de velocidade média. 
 
𝑣 = 𝑣𝑚 =
∆𝑠
∆𝑡
 
 
Isolando os ∆𝑠, teremos: ∆𝑠 = 𝑣. ∆𝑡 
 
Mas sabemos que: ∆𝑠 = 𝑠𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑠𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 
 
Então: 𝑠𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑠𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + 𝑣.∆𝑡 
 
Por exemplo: Um tiro é disparado contra um alvo preso a uma grande parede capaz de refletir o som. 
O eco do disparo é ouvido 2,5 segundos depois do momento do golpe. Considerando a velocidade do 
som 340m/s, qual deve ser a distância entre o atirador e a parede? 
 
∆𝑡 = 2,5s 
vm = 340m/s 
 
Aplicando a equação horária do espaço, teremos: 
 
𝑠𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑠𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + 𝑣.∆𝑡, mas o eco só será ouvido quando o som “ir e voltar” da parede. 
 
Então 
 
𝑠𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 2𝑠 
 
2𝑠 = 0 +
340𝑚
𝑠
. 2,5𝑠 
 
2𝑠 = 850𝑚 
 
𝑠 =
850𝑚
2
= 425𝑚 
 
É importante não confundir o “s” que simboliza o deslocamento do s que significa segundo. 
 
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Por convenção, definimos que, quando um corpo se desloca em um sentido que coincide com a 
orientação da trajetória, ou seja, para frente, então ele terá uma v > 0 e um ∆𝑠 > 0 e este movimento 
será chamado movimento progressivo. Analogamente, quando o sentido do movimento for contrário ao 
sentido de orientação da trajetória, ou seja, para trás, então ele terá uma v < 0 e um ∆𝑠 < 0, e ao 
movimento será dado o nome de movimento retrógrado. 
 
Diagrama s x t 
 
Existem diversas maneiras de se representar o deslocamento em função do tempo. Uma delas é por 
meio de gráficos, chamados diagramas deslocamento versus tempo (s x t). No exemplo a seguir, temos 
um diagrama que mostra um movimento retrógrado: 
 
 
 
Analisando o gráfico, é possível extrair dados que deverão ajudar na resolução dos problemas: 
S 50m 20m -10m 
T 0s 1s 2s 
 
Sabemos então que a posição inicial será a posição s0 = 50m quando o tempo for igual a zero. 
Também sabemos que a posição final s = -10m se dará quando t=2s. A partir daí, fica fácil utilizar a 
equação horária do espaço e encontrar a velocidade do corpo: 
 
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣∆𝑡 
 
-10m = 50m + v (2s – 0s) 
-10m – 50m = (2s) v 
-60m = (2s) v 
 
−60𝑚
2𝑠
= 𝑣 
 
−30m/s = v 
 
A velocidade será numericamente igual à tangente do ângulo formado em relação à reta onde está 
situada, desde que a trajetória seja retilínea uniforme. 
 
 
 
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Diagrama v x t 
 
Em um movimento uniforme, a velocidade se mantém igual no decorrer do tempo. Portanto seu 
gráfico é expresso por uma reta: 
 
 
 
Dado este diagrama, uma forma de determinar o deslocamento do móvel é calcular a área sob a reta 
compreendida no intervalo de tempo considerado. 
 
Velocidade Relativa 
 
É a velocidade de um móvel relativa a outro. Por exemplo: Considere dois trens andando com 
velocidades uniformes e que v1 ≠ v2. A velocidade relativa será dada se considerarmos que um dos 
trens (trem 1) está parado e o outro (trem 2) está se deslocando. Ou seja, seu módulo será dado por v1 - 
v2. Generalizando, podemos dizer que a velocidade relativa é a velocidade de um móvel em relação a 
outro móvel referencial. 
Consideremos duas partículas A e B movendo-se em uma mesma trajetória e com velocidades 
escalares vA e vB, em duas situações distintas: movendo-se no mesmo sentido e em sentidos opostos. 
A velocidade escalar que uma das partículas possui em relação à outra (tomada como referência) é 
chamada de velocidade relativa (vREL) e o seu módulo é calculado como relataremos a seguir. 
 
I. Móveis em Sentidos Opostos 
 
 
vREL = |vA| + |vB| 
 
II. Móveis no Mesmo Sentido 
 
 
vREL = |vA| - |vB| 
 
Ao estabelecermos um movimento relativo entre móveis, um deles é tomado como referência e, 
portanto, permanece parado em relação a si mesmo, enquanto o outro se aproxima ou se afasta dele 
com certa velocidade relativa. Observe isto no esquema abaixo. 
 
 
 
 
 
 
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Movimento Relativo Uniforme 
 
Se dois móveis, ao longo da mesma trajetória, mantiverem constantes suas velocidades escalares, 
logo um em relação ao outro executará um movimento relativo uniforme, aproximando-se ou afastando-
se um do outro com velocidade relativa de módulo constante. Desta forma, podemos estabelecer a 
seguinte expressão para este MU: 
 
𝑣𝑅𝐸𝐿 =
∆𝑠𝑅𝐸𝐿
∆𝑡
(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ≠ 0) 
 
Os processos de encontro ou ultrapassagens de móveis são analisados normalmente através de 
movimento relativo. Suponha, por exemplo, duas partículas trafegando na mesma trajetória com 
velocidades escalares constantes, vA e vB, e separadas inicialmente por uma certa distância D0, como 
indica a figura a seguir. 
 
 
 
Como os movimentos têm sentidos opostos, a velocidade relativa é dada em módulo por: 
 
vREL = |vA| + |vB| 
 
Tomando-se um dos corpos como referência, o outro irá até o encontro percorrer um deslocamento 
relativo de módulo D0. O intervalo de tempo (∆𝑡) gasto até o encontro será calculado assim: 
 
 
 
𝑣𝑅𝐸𝐿 =
∆𝑠𝑅𝐸𝐿
∆𝑡
→ ∆𝑡 =
∆𝑠𝑅𝐸𝐿
𝑣𝑅𝐸𝐿
=
𝐷0
|𝑣𝐴| + |𝑣𝐵|
 
 
Aceleração Escalar 
 
Ao observarmos os eventos que ocorrem no dia a dia notamos que é quase impossível que um 
automóvel se mantenha com uma velocidade constante e mesmo para realizar as tarefas cotidianas 
sempre se muda a velocidade ou constância que se realiza uma atividade. Exemplos: 
 
- Um automóvel freia diante de uma colisão iminente. 
- Apertamos o passo para chegar a tempo ao trabalho. 
 
Em situações deste tipo é necessário medir quão rápido foi esta mudança de velocidade, assim 
representa-se esta mudança por a. 
 
- Um corpo sob uma trajetória orientada: 
 
 
 
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- Este corpo muda sua velocidade ao longo de um determinado tempo (t1), percorrido uma distância 
s. 
 
 
 
- Sua mudança de velocidade ocorre sempre em intervalos de tempo iguais. 
 
 
 
Assim é definida a aceleração do corpo como sendo: 
 
𝑎 =
𝑣 − 𝑣0
𝑡 − 𝑡0
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 =
∆𝑣
∆𝑡
 
 
Considerando-se que intervalos de tempo são sempre positivos temos: 
 
v > v0 → a > 0 → movimento acelerado. 
v < v0 → a < 0 → movimento retardado. 
 
Nota-se que para o (SI) de medidas a unidade de aceleração será dada por 
 
[𝑎] =
𝑚
𝑠
𝑠
, onde [𝑎] = 𝑚
𝑠2
 
 
Aceleração Escalar InstantâneaDe modo análogo à velocidade escalar instantânea, podemos obter a aceleração escalar 
instantânea, partindo da expressão que nos fornece a aceleração escalar média (∆𝑣/∆𝑡), fazendo ∆𝑡 
tender a zero. Com este procedimento, a aceleração escalar média tende para um valor denominado 
de aceleração escalar instantânea: 
 
𝑎 = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
 
 
Em termos práticos, vamos determinar a aceleração instantânea da seguinte forma: 
 
𝑎 ≅ 𝑎𝑚 =
∆𝑣(𝑚𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜)
∆𝑡(𝑚𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜)
 
 
A aceleração escalar instantânea representa a aceleração do móvel num determinado instante (t) e, 
mais precisamente, seu cálculo é feito através do processo de derivação, análogo ao ocorrido com a 
velocidade escalar instantânea. A aceleração escalar instantânea de um móvel é obtida através da 
derivada da função horária de sua velocidade escalar. Simbolicamente, isto é expresso assim: 
 
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𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
(𝑙ê − 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑣 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑡) 
 
Classificação 
 
Sabemos que o velocímetro de um veículo indica o módulo de sua velocidade escalar instantânea. 
Quando as suas indicações são crescentes, está ocorrendo um movimento variado do tipo acelerado. 
Quando o velocímetro indica valores decrescentes, o movimento é classificado como retardado. De 
modo geral, podemos detalhar esses casos assim: 
 
a) O móvel se movimenta com uma velocidade escalar instantânea, cujo módulo aumenta em 
função do tempo. O movimento é denominado acelerado. 
 
 
 
Para que isto ocorra, a aceleração escalar instantânea deve ser no mesmo sentido da velocidade 
escalar instantânea, ou seja, v e a possuem o mesmo sinal. 
 
b) O móvel se movimenta com velocidade escalar instantânea cujo módulo diminui em função do 
tempo. O movimento é denominado retardado. 
 
 
 
Para que isto ocorra, a aceleração escalar instantânea deve ser no sentido oposto ao da velocidade 
escalar instantânea, ou seja, v e a possuem sinais opostos. 
 
c) O móvel se movimenta com velocidade escalar instantânea constante em função do tempo. O 
movimento é denominado uniforme. Para que isto ocorra, a aceleração escalar instantânea deve ser 
nula (a = 0). 
 
Tanto o movimento acelerado quanto o retardado podem apresentar uma aceleração escalar 
instantânea constante. Neste caso, o movimento recebe a denominação de uniformemente acelerado 
ou retardado. 
 
Aceleração Vetorial 
 
Cinemática Vetorial 
 
Na Cinemática Escalar, estudamos a descrição de um movimento em trajetória conhecida, utilizando 
as grandezas escalares. Agora, veremos como obter e correlacionar às grandezas vetoriais descritivas 
de um movimento, mesmo que não sejam conhecidas previamente as trajetórias. 
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Grandezas Escalares – Ficam perfeitamente definidas por seus valores numéricos acompanhados 
das respectivas unidades de medida. Exemplos: massa, temperatura, volume, densidade, comprimento, 
etc. 
Grandezas vetoriais – Exigem, além do valor numérico e da unidade de medida, uma direção e um 
sentido para que fiquem completamente determinadas. Exemplos: deslocamento, velocidade, 
aceleração, força, etc. 
 
Vetores 
 
Para representar as grandezas vetoriais, são utilizados os vetores: entes matemáticos abstratos 
caracterizados por um módulo, por uma direção e por um sentido. Representação de um vetor – 
Graficamente, um vetor é representado por um segmento orientado de reta: 
 
 
 
 
Elementos de um vetor: 
Direção – Dada pela reta suporte (r) do vetor. 
Módulo – Dado pelo comprimento do vetor. 
Sentido – Dado pela orientação do segmento. 
Resultante de vetores (vetor-soma) – Considere um automóvel deslocando-se de A para B e, em 
seguida, para C. O efeito desses dois deslocamentos combinados é levar o carro de A para C. Dizemos, 
então, que o vetor é a soma ou resultante dos vetores e . 
 
 
 
Regra do Polígono – Para determinar a resultante dos vetores e , traçamos, como na figura 
acima, os vetores de modo que a origem de um coincida com a extremidade do outro. O vetor que une 
a origem de com a extremidade de é o resultante . 
 
Regra do Paralelogramo – Os vetores são dispostos de modo que suas origens coincidam. 
Traçando-se um paralelogramo, que tenha e como lados, a resultante será dada pela diagonal que 
parte da origem comum dos dois vetores. 
 
 
 
Componentes ortogonais de um vetor – A componente de um vetor, segundo uma dada direção, é 
a projeção ortogonal (perpendicular) do vetor naquela direção. Decompondo-se um vetor , 
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encontramos suas componentes retangulares, x e y, que conjuntamente podem substituí-lo, ou seja, 
= x + y. 
 
Componentes da aceleração vetorial 
 
Aceleração tangencial (a t) – é o componente da aceleração vetorial na direção do vetor velocidade 
e indica a variação do módulo deste. Possui módulo igual ao da aceleração escalar: 
 
 
 
Módulo de at: O módulo da aceleração tangencial é totalmente igual ao valor absoluto da aceleração. 
 
 
Direção de at: A direção da aceleração tangencial é paralela à velocidade vetorial, isto é, tangente à 
trajetória. 
 
 
Sentido de at: o sentido irá depender do movimento, vejamos: 
 
Se o movimento for acelerado, consequentemente o módulo da sua velocidade irá aumentar e sua 
aceleração tangencial irá ter o mesmo sentido da velocidade vetorial. Vejamos: 
 
 
 
 
Se o movimento for retardado, consequentemente o módulo da velocidade irá diminuir e sua 
aceleração tangencial irá ter o sentido oposto ao da velocidade vetorial. Vejamos: 
 
 
 
Notação de at: é quando a grandeza vetorial é representada matematicamente. Vejamos: 
 
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→ 
Efeito at 
 
Podemos dizer que a aceleração escalar y, tem uma relação direta com a variação da velocidade 
escalar V, do módulo da velocidade vetorial V. 
 
Propriedades: 
- Quando falamos de movimento uniforme, podemos dizer que a velocidade vetorial apresenta um 
módulo constante, e por isso sua aceleração tangencial é sempre nula, independente da sua trajetória. 
- Quando falamos de movimento não uniforme, podemos dizer que a velocidade vetorial apresenta 
um módulo variável, e por isso sua aceleração tangencial não será sempre nula. 
- Sempre que um corpo ou um objeto estiver em repouso, sua aceleração tangencial será nula. 
- No instante em que y = 0, a aceleração tangencial será nula, independente de o móvel estar em 
repouso ou em movimento. 
 
Estudo da aceleração centrípeta 
 
Aceleração centrípeta ou normal (c) – é o componente da aceleração vetorial na direção do raio de 
curvatura (R) e indica a variação da direção do vetor velocidade. Tem sentido apontando para o centro 
da trajetória (por isso, centrípeta) e módulo dado por: 
 
 
 
Sendo que, V é a velocidade escalar e R é o raio de curvatura da trajetória. 
 
Importante: nos movimentos retilíneos, c é nula porque o móvel não muda de direção nesses 
movimentos. 
 
Direção de acp: A direção da aceleração centrípeta é considerada normal em relação à tangente à 
trajetória, ou seja, ela é igual a velocidade vetorial. Vejamos: 
 
 
 
Sentido de acp: O sentido da aceleração centrípeta sempre será voltado para o centro da 
circunferência, osculadora à trajetória, ou seja, direcionado para uma região convexa limitada pela 
curva. 
 
Notação de acp: A função que podemos usar para representarmos a notação da aceleração 
centrípetaé: 
 
 
 
Efeito de acp: Quando falamos de trajetória retilínea, podemos considerar R ⇒ ∞ e acp= 0. Já quando 
falamos que a trajetória é curva, podemos dizer que a velocidade vetorial varia em direção e sua 
aceleração centrípeta nem sempre difere de zero. 
 
 
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Notas: 
 
- Quando falamos de movimentos retilíneos, podemos dizer que a velocidade vetorial apresenta uma 
direção constante, e com isso, sua aceleração centrípeta se torna constantemente nula. 
- Sempre que o móvel estiver em repouso, sua aceleração centrípeta, será nula. 
 
Vetor deslocamento ou deslocamento vetorial entre dois instantes 
 
O deslocamento vetorial pode ser representado por d, esse deslocamento é definido entre dois 
instantes t1 e t2, sendo o vetor P1 e P2, o vetor de origem P1 e extremidade P2. Vejamos: 
 
 
 
Com isso, o deslocamento vetorial é definido como a diferença entre os vetores posição. 
 
Relação entre os módulos do e da variação de espaço (deslocamento escalar) 
 
Pensando em uma trajetória arbitrária L, não retilínea e entre as posições P1 e P2, teremos: 
 
 
Notas: 
 
- Todo deslocamento escalar é dependente da forma da trajetória; 
- Todo deslocamento vetorial é independente da forma da trajetória; 
- Toda variação de espaço ou deslocamento escalar, é medido no percurso da trajetória, e com isso, 
ele irá depender da forma da trajetória; 
- Como o deslocamento vetorial não depende da forma da trajetória, ele irá servir somente para a 
posição inicial de P1 e para a posição final de P2. 
 
Velocidade Vetorial Média (Vm) 
 
A velocidade vetorial média é considerada a razão entre o deslocamento vetorial d e o tempo gasto 
no intervalo de tempo delta t deste deslocamento. 
 
 
 
Quando falamos em módulo de Vm, temos: 
 
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Orientação da Vm 
 
 
 
 
Queda Livre 
 
Quando perto da superfície da terra, ocorre a queda de corpos (pedra, por exemplo) de certas 
alturas, onde a um crescimento de sua velocidade, caracterizando um movimento acelerado. Porém 
quando o mesmo objeto ou corpo é lançado para cima a sua velocidade decresce gradualmente até se 
anular e consequentemente voltar ao seu local de lançamento. Segundo Aristóteles, grande filósofo, 
que viveu aproximadamente 300 anos a.C., acreditava que abandonando corpos leves e pesados de 
uma mesma altura, seus tempos de queda não seriam iguais: os corpos mais pesados alcançariam o 
solo antes dos mais leves. 
Segundo Galileu, considerado como introdutor do método experimental chegou a seguinte 
conclusão: “abandonados de uma mesma altura, um corpo leve e um corpo pesado caem 
simultaneamente, atingindo o chão no mesmo instante”. Após essa afirmação Galileu passou a ser alvo 
de perseguição devido à descrença do povo e também por considerá-lo como revolucionário. O ar 
exerce efeito retardador na queda de qualquer objeto e que este efeito exerce maior influência sobre o 
movimento da Pedra. Porém se retirarmos o ar, observa-se que os dois objetos caem na mesma hora e 
no mesmo instante, conforme a figura representa, confirmando também as afirmações feitas por Galileu. 
Através desse fato concluímos também que as experiências de Galileu, só têm coerência se forem 
feitas para os corpos em queda livre no vácuo, e que o ar é desprezível para materiais mais pesados 
como algodão, pena ou uma folha de papel. 
Denomina-se então queda livre, para os corpos que não tem influência do ar, isto é, materiais 
pesados e lançados no vácuo. Aceleração da Gravidade – Podemos considerar a aceleração da 
gravidade como sendo o mesmo valor para todos os corpos que caem em queda livre, sendo 
representada pela letra g, sendo também considerada como um movimento uniformemente acelerado, 
devido a sua aceleração constante. Para se determinar o valor de g seguiram-se vários estudos 
chegando à conclusão de que o seu valor é de 9,8 m/s², sendo que se o objeto for lançado para baixo a 
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aceleração da gravidade é considerada positiva (+ 9,8 m/s²), e quando o objeto for lançado para cima a 
aceleração da gravidade é negativa (- 9,8 m/s²). 
 
Breve Biografia sobre Galileu Galilei: nascido em Pisa em 1564, o físico e astrônomo, depois de 
uma infância pobre, aos 17 anos foi encaminhado para o estudo da Medicina, devido a mesma 
apresentar fins lucrativos muito alto para a época. Porém não interessando a Galileu, dedicou-se a 
outros tipos de problemas, o qual com o passar do tempo, mostrou-se capaz de resolvê-los com muito 
êxito. Com relação à Medicina, Galileu foi um grande contribuidor, pois inventou um aparelho capaz de 
medir a pulsação de pacientes, sendo essa a última contribuição de Galileu para a Medicina, pois o 
estudo do pêndulo e de outros dispositivos mecânicos alteraram completamente sua orientação 
profissional. Após essas ocorrências Galileu resolveu estudar a Matemática e Ciências. 
Além da Mecânica, Galileu também ajudou muito a Astronomia. Construiu o primeiro telescópio para 
o uso em observações astronômicas. Entre algumas de suas descobertas o autor coloca algumas de 
suma importância para a humanidade conforme segue: 
- percebeu que a superfície da Lua é rugosa e irregular e não lisa e perfeitamente esférica como se 
acreditava; 
- descobriu três satélites girando ao redor de Júpiter, contrariando a ideia aristotélica de que todos os 
astros deviam girar em torno da terra. 
- verificou que o planeta Vênus apresenta fases (como as da Lua) e esta observação levou-o a 
concluir que Vênus gira em torno do Sol, como afirmava o astrônomo Copérnico em sua teoria 
heliocêntrica. 
- lançou o Livro “Diálogos Sobre os Dois Grandes Sistemas do Mundo”, no qual afirmava que a terra, 
assim como os demais planetas, girava em torno do Sol, em 1632. A sua obra foi condenada pela 
Igreja, onde Galileu foi taxado como herético, preso e submetido a julgamento pela Inquisição em 1663. 
Galileu para evitar a morte acabou obrigado a renegar suas ideias através de “confissão”, lida em voz 
alta perante o Santo Conselho da Igreja. 
Ainda assim Galileu foi condenado por heresia e obrigado a permanecer confinado em sua casa, 
impedido de se afastar daquele local, até o fim de sua vida. Galileu mesmo doente ainda teve forças 
para lançar seu último livro, chamado de “Duas Novas Ciências”, com dados de Mecânica e morreu 
completamente cego em 8 de Janeiro de 1642, deixando descobertas de fundamental importância para 
a humanidade. 
 
Lançamento Horizontal e Oblíquo 
 
Movimento Vertical no Vácuo 
 
Podemos destacar dois tipos de movimentos verticais no vácuo: a queda livre e o lançamento na 
vertical. A queda livre é o abandono de um corpo, a partir do repouso, no vácuo desconsiderando-se a 
ação da resistência do ar; o lançamento na vertical diz respeito ao lançamento de um corpo para cima 
ou para baixo, o qual, diferente da queda livre, apresentará velocidade inicial. Os corpos envolvidos nos 
movimentos verticais estão sujeitos à aceleração da gravidade (g), suposta constante, cujo valor é: g = 
9,80665 m/s2. Costuma-se adotar, para a realização de cálculos matemáticos, g = 10 m/s2. Como o 
valor da aceleração é considerado constante, a queda livre e o lançamento vertical são considerados 
movimentos retilíneos uniformemente variados (MRUV). 
 
Análise Matemática do Movimento Vertical 
 
Estudando as características do movimento vertical, podemos dizer que na queda livre o módulo da 
velocidade escalar aumenta no decorrer do movimento. Concluímos assim que o movimento, nesse 
caso, é acelerado. Entretanto, no lançamento para cima, o módulo da velocidade escalardiminui, de 
modo que o classificamos como retardado. 
 
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Uma importante propriedade do lançamento vertical para cima é o fato de a velocidade do móvel ir 
decrescendo com o passar do tempo, tornando-se nula quando ele chega ao ponto mais alto da 
trajetória (altura máxima). Nesse instante, o móvel muda de sentido, passando a cair em movimento 
acelerado. Outras considerações que merecem atenção são os sinais da velocidade escalar e da 
aceleração escalar. Se a orientação da trajetória é para cima, a aceleração escalar é negativa durante 
todo o movimento (g < 0). Portanto, o que determina se o corpo sobe ou desce é o sinal da velocidade 
escalar, que na subida é positivo (v > 0) e na descida negativo (v < 0). Por outro lado, se a orientação 
da trajetória é para baixo, a aceleração é positiva, e o valor da velocidade é negativo na subida (v < 0) e 
positivo na descida (v > 0). 
 
Observação: As definições sobre o movimento vertical são feitas desconsiderando a resistência do 
ar. 
 
Funções Horárias do Movimento Vertical 
 
Como os movimentos verticais são uniformemente variados, as funções horárias que os descrevem 
são iguais às do MUV. Vejamos no esquema abaixo: 
 
 
 
Observação I: Nas fórmulas acima, v representa a velocidade final, vo, a velocidade inicial. O 
mesmo se aplica a S (espaço final) e So (espaço inicial). 
 
Observação II: Vale ressaltar que “a” = “g”, uma vez que se trata da aceleração da gravidade. O 
sinal de g, como foi dito acima, independe de o corpo subir ou descer, estabelecendo relação com a 
orientação da trajetória. Orientação para cima: g é negativo; orientação para baixo: g é positivo. 
 
Lançamento Oblíquo 
 
O lançamento oblíquo é um exemplo típico de composição de dois movimentos. Galileu notou esta 
particularidade do movimento balístico. Esta verificação se traduz no princípio da simultaneidade: “Se 
um corpo apresenta um movimento composto, cada um dos movimentos componentes se realiza como 
se os demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo”. 
 
Composição de Movimentos. 
 
O lançamento oblíquo estuda o movimento de corpos, lançados com velocidade inicial V0 da 
superfície da Terra. Na figura a seguir vemos um exemplo típico de lançamento obliquo realizado por 
um jogador de golfe. 
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 20 
 
 
 
 
 
A trajetória é parabólica, como você pode notar na figura acima. Como a análise deste movimento 
não é fácil, é conveniente aplicarmos o princípio da simultaneidade de Galileu. Veremos que ao 
projetamos o corpo simultaneamente no eixo x e y teremos dois movimentos: 
- Em relação a vertical, a projeção da bola executa um movimento de aceleração constante e de 
módulo igual a g. Trata-se de um M.U.V. (lançamento vertical). 
- Em relação a horizontal, a projeção da bola executa um M. U. 
 
Lançamento Horizontal 
 
O lançamento balístico é um exemplo típico de composição de dois movimentos. Galileu notou esta 
particularidade do movimento balístico. Esta verificação se traduz no princípio da simultaneidade: "Se 
um corpo apresenta um movimento composto, cada um dos movimentos componentes se realiza como 
se os demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo". 
 
Composição de Movimentos 
 
O princípio da simultaneidade poderá ser verificado no Lançamento Horizontal. 
 
 
 
Um observador no solo, (o que corresponde a nossa posição diante da tela) ao notar a queda do 
corpo do helicóptero, verá a trajetória indicada na figura. A trajetória traçada pelo corpo, corresponde a 
um arco de parábola, que poderá ser decomposta em dois movimentos: 
 
 
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- A projeção horizontal (x) do móvel descreve um Movimento Uniforme. 
 
O vetor velocidade no eixo x se mantém constante, sem alterar a direção, sentido e o módulo. 
- A projeção vertical (y) do móvel descreve um movimento uniformemente variado. 
 
O vetor velocidade no eixo y mantém a direção e o sentido porém o módulo aumenta a medida que 
se aproxima do solo. 
 
1.2 Movimentos circulares (uniforme e variado). 
 
Na Mecânica clássica, movimento circular é aquele em que o objeto ou ponto material se desloca 
numa trajetória circular. Uma força centrípeta muda de direção o vetor velocidade, sendo continuamente 
aplicada para o centro do círculo. Esta força é responsável pela chamada aceleração centrípeta, 
orientada para o centro da circunferência-trajetória. Pode haver ainda uma aceleração tangencial, que 
obviamente deve ser compensada por um incremento na intensidade da aceleração centrípeta a fim de 
que não deixe de ser circular a trajetória. O movimento circular classifica-se, de acordo com a ausência 
ou a presença de aceleração tangencial, em movimento circular uniforme (MCU) e movimento circular 
uniformemente variado (MCUV). 
 
Propriedades e Equações 
 
 
 
Movimento da Circunferência 
 
Uma vez que é preciso analisarmos propriedades angulares mais do que as lineares, no movimento 
circular são introduzidas propriedades angulares como o deslocamento angular, a velocidade angular e 
a aceleração angular e centrípeta. No caso do MCU existe ainda o período, que é propriedade também 
utilizada no estudo dos movimentos periódicos. O deslocamento angular (indicado por ) se define de 
modo similar ao deslocamento linear. Porém, ao invés de considerarmos um vetor deslocamento, 
consideramos um ângulo de deslocamento. Há um ângulo de referência, adotado de acordo como 
problema. O deslocamento angular não precisa se limitar a uma medida de circunferência ( ); para 
quantificar as outras propriedades do movimento circular, será preciso muitas vezes um dado sobre o 
deslocamento completo do móvel, independentemente de quantas vezes ele deu voltas em uma 
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 22 
 
circunferência. Se for expresso em radianos, temos a relação , onde R é o raio da 
circunferência e s é o deslocamento linear. 
Pegue-se a velocidade angular (indicada por ), por exemplo, que é a derivada do deslocamento 
angular pelo intervalo de tempo que dura esse deslocamento: 
 
 
 
A unidade é o radiano por segundo. Novamente há uma relação entre propriedades lineares e 
angulares: , onde é a velocidade linear. 
Por fim a aceleração angular (indicada por ), somente no MCUV, é definida como a derivada da 
velocidade angular pelo intervalo tempo em que a velocidade varia: 
 
 
 
A unidade é o radiano por segundo, ou radiano por segundo ao quadrado. A aceleração angular 
guarda relação somente com a aceleração tangencial e não com a aceleração centrípeta: , 
onde é a aceleração tangencial. 
Como fica evidente pelas conversões, esses valores angulares não são mais do que maneiras de se 
expressar as propriedades lineares de forma conveniente ao movimento circular. Uma vez quer a 
direção dos vectores deslocamento, velocidade e aceleração modifica-se a cada instante, é mais fácil 
trabalhar com ângulos. Tal não é o caso da aceleração centrípeta, que não encontra nenhum 
correspondente no movimento linear. 
Surge a necessidade de uma força que produza essa aceleração centrípeta, força que é chamada 
analogamente de força centrípeta, dirigida também ao centro da trajetória. A força centrípeta é aquela 
que mantém o objeto em movimento circular, provocando a constante mudança da direção do vector 
velocidade. 
A aceleração centrípeta é proporcional ao quadrado da velocidade angular e ao raio da trajetória: 
 
f 
 
A função horária de posição para movimentos circulares, e usando propriedades angulares, assumea forma: 
 
, 
 
onde é o deslocamento angular no início do movimento. É possível obter a velocidade angular a 
qualquer instante , no MCUV, a partir da fórmula: 
 
 
 
 
 
Para o MCU define-se período T como o intervalo de tempo gasto para que o móvel complete um 
deslocamento angular em volta de uma circunferência completa ( ). Também define-se frequência 
(indicada por f) como o número de vezes que essa volta é completada em determinado intervalo de 
tempo (geralmente 1 segundo, o que leva a definir a unidade de frequência como ciclos por segundo ou 
hertz). Assim, o período é o inverso da frequência: 
 
 
 
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 23 
 
Por exemplo, um objeto que tenha velocidade angular de 3,14 radianos por segundo tem período 
aproximadamente igual a 2 segundos, e frequência igual a 0,5 hertz. 
 
Transmissão do Movimento Circular 
 
Muitos mecanismos utilizam a transmissão de um cilindro ou anel em movimento circular uniforme 
para outro cilindro ou anel. É o caso típico de engrenagens e correias acopladas as polias. Nessa 
transmissão é mantida sempre a velocidade linear, mas nem sempre a velocidade angular. A velocidade 
do elemento movido em relação ao motor cresce em proporção inversa a seu tamanho. Se os dois 
elementos tiverem o mesmo diâmetro, a velocidade angular será igual; no entanto, se o elemento 
movido for menor que o motor, vai ter velocidade angular maior. Como a velocidade linear é mantida, 
e , então: 
 
 
 
O movimento circular ocorre quando em diversas situações que podem ser tomadas como exemplo: 
- Uma pedra fixada a um barbante e colocada a girar por uma pessoa descreverá um movimento 
circular uniforme. 
- Discos de vinil rodam nas vitrolas a uma frequência de 33 ou 45 rotações por minuto, em MCU. 
- Engrenagens de um relógio de ponteiros devem rodar em MCU com grande precisão, a fim de que 
não se atrase ou adiante o horário mostrado. 
- Uma ventoinha em movimento. 
- Satélites artificiais descrevem uma trajetória aproximadamente circular em volta do nosso planeta. 
- A translação aproximada, para cálculos muito pouco precisos, da Lua em torno do planeta Terra (a 
excentricidade orbital da Lua é de 0,0549). 
- O movimento de corpos quando da rotação da Terra, como por exemplo, um ponto no equador, 
movendo-se ao redor do eixo da Terra aproximadamente a cada 24 horas. 
 
1.3 Princípios Fundamentais da Dinâmica (Leis de Newton) Inércia e sua relação com sistemas 
de referência. 
 
O termo “Dinâmica” significa “forte”. Em física, a dinâmica é um ramo da mecânica que estuda o 
movimento de um corpo e as causas desse movimento. Em experiências diárias podemos observar o 
movimento de um corpo a partir da interação deste com um (ou mais) corpo(s). Como por exemplo, 
quando um jogador de tênis dá uma raquetada numa bola, a raquete interage com ela e modifica o seu 
movimento. Quando soltamos algum objeto a uma certa altura do solo e ele cai, é resultado da 
interação da terra com este objeto. Esta interação é convenientemente descrita por um conceito 
chamado força. Os Princípios de dinâmica foram formulados por Galileu e Newton, porém foi Newton 
que os enunciou da forma que conhecemos hoje. 
 
Forças Concorrentes 
 
Forças concorrentes são aquelas as componentes formam um angulo no ponto de aplicação. 
 
 
 
O vetor soma em forças concorrentes é representado em intensidade, direção e sentido pela 
diagonal do paralelogramo traçado sobre as componentes. A intensidade é graficamente representada 
pelo tamanho da diagonal em uma escala. Vemos na escala dada que: 1N = 1cm 
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 24 
 
Como: 
F1= 2,0N, sua representação é um seguimento de 2,0cm 
F2 = 2,0N, sua representação é um seguimento de 2,0cm 
 
Portanto a resultante ou o vetor soma tem intensidade de 2,8N, pois seu tamanho é de 2,8cm 
 
Quando as forças concorrentes formam um angulo de 90°, a intensidade do vetor soma pode ser 
encontrada aplicando-se o Teorema de Pitágoras, ou seja, pela formula: 
 
R2 = F12 + F22 
 
R = √F12 + F22 
 
 
 
R2 = 32 + 42 
R = √9 + 16 
R = √25 
R = 5N 
 
Sistemas de Forças Concorrentes num Ponto 
 
Se as linhas de ação das todas as forças concorrem no mesmo ponto O, o sistema é equivalente a 
uma única força resultante R que passa por O e coincide com o eixo central. 
 
 
 
Se o vetor , o sistemas está em equilíbrio. Para calcular o momento do sistema em qualquer 
ponto Q diferente de O aplica-se o teorema de Varignon. 
 
 
Equivalência a zero: . 
 
Leis de Newton 
 
Em primeiro lugar, para que se possa entender as famosas leis de Newton, é necessário ter o 
conhecimento do conceito de força. Assim existem alguns exemplos que podem definir tal conceito, 
como a força exercida por uma locomotiva para arrastar os vagões, a força exercida pelos jatos d’água 
para que se acione as turbinas ou a força de atração da terra sobre os corpos situados próximo à sua 
superfície. Porém é necessário também definir o seu módulo, sua direção e o seu sentido, para que a 
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 25 
 
força possa ser bem entendida, sendo que o conceito que melhor a defini é uma grandeza vetorial e 
poderá, portanto ser representada por um vetor. Então podemos concluir que: peso de um corpo é a 
força com que a terra atrai este corpo. 
Podemos definir as forças de atração, como aquela em que se tem a necessidade de contato entre 
os corpos (ação à distância). Para que se possa medir a quantidade de força usada em nossos dias, os 
pesquisadores estabeleceram a medida de 1 quilograma força = 1 kgf, sendo este o peso de um 
quilograma-padrão, ao nível do mar e a 45º de latitude. Um dinamômetro, aparelho com o qual se 
consegue saber a força usada em determinados casos, se monta colocando pesos de 1 kgf, 2 kgf, na 
extremidade de uma mola, onde as balanças usadas em muitas farmácias contém tal método, onde 
podemos afirmar que uma pessoa com aproximadamente 100 Kg, pesa na realidade 100 kgf. 
Outra unidade para se saber a força usada, também muito utilizada, é o newton, onde 1 newton = 1 
N e equivale a 1kgf = 9,8 N. Portanto, conforme a tabela, a força de 1 N equivale, aproximadamente, ao 
peso de um pacote de 100 gramas (0,1 kgf). Segundo Aristóteles, ele afirmava que “um corpo só 
poderia permanecer em movimento se existisse uma força atuando sobre ele. Então, se um corpo 
estivesse em repouso e nenhuma força atuasse sobre ele, este corpo permaneceria em repouso. 
Quando uma força agisse sobre o corpo, ele se poria em movimento, mas, cessando a ação da força, o 
corpo voltaria ao repouso” conforme figura abaixo. A primeira vista tais ideias podem estas certas, 
porém com o passar do tempo descobriu-se que não eram bem assim. 
Segundo Galileu, devido às afirmações de Aristóteles, decidiu analisar certas experiências e 
descobriu que uma esfera quando empurrada, se movimentava, e mesmo cessando a força principal, a 
mesma continuava a se movimentar por certo tempo, gerando assim uma nova conclusão sobre as 
afirmações de Aristóteles. Assim Galileu, verificou que um corpo podia estar em movimento sem a ação 
de uma força que o empurrasse, conforme figura demonstrando tal experiência. Galileu repetiu a 
mesma experiência em uma superfície mais lisa, e chegou a conclusão que o corpo percorria uma 
distância maior após cessar a ação da força, concluindo que o corpo parava, após cessado o empurrão, 
em virtude da ação do atrito entre a superfície e o corpo, cujo efeito sempre seria retardar o seu 
movimento. Segundo a conclusão do próprio Galileu podemos considerar que: se um corpo estiver em 
repouso, é necessária a ação de uma força sobre elepara colocá-lo em movimento. Uma vez iniciado o 
movimento, cessando a ação das forças que atuam sobre o corpo, ele continuará a se mover 
indefinidamente, em linha reta, com velocidade constante. 
Todo corpo que permanece em sue estado de repouso ou de movimento, é considerado segundo 
Galileu como um corpo em estado de Inércia. Isto significa que se um corpo está em inércia, ele ficará 
parado até que sob ele seja exercida uma ação para que ele possa sair de tal estado, onde se a força 
não for exercida o corpo permanecerá parado. Já um corpo em movimento em linha reta, em inércia, 
também deverá ser exercido sob ele uma força para movimentá-lo para os lados, diminuindo ou 
aumentando a sua velocidade. Vários são os estados onde tal conceito de Galileu pode ser apontado, 
como um carro considerado corpo pode se movimentar em linha reta ou como uma pessoa dormindo 
estando em repouso (por inércia), tende a continuar em repouso. 
 
Primeira Lei de Newton 
 
A primeira lei de Newton pode ser considerada como sendo uma síntese das ideias de Galileu, pois 
Newton se baseou em estudos de grandes físicos da Mecânica, relativas principalmente a Inércia; por 
este fato pode-se considerar também a primeira lei de Newton como sendo a lei da Inércia. Conforme 
Newton, a primeira Lei diz que: Na ausência de forças, um corpo em repouso continua em repouso e 
um corpo em movimento move-se em linha reta, com velocidade constante. Para que ocorra um 
equilíbrio de uma partícula é necessário que duas forças ajam em um corpo, sendo que as mesmas 
podem ser substituídas por uma resultante r das duas forças exercidas, determinada em módulo, 
direção e sentido, pela regra principal do paralelogramo. 
Podemos concluir que: quando a resultante das forças que atuam em um corpo for nula, se ele 
estiver em repouso continuará em repouso e, se ele estiver em movimento, estará se deslocando com 
movimento retilíneo uniforme. Para que uma partícula consiga o seu real equilíbrio é necessário que: 
- a partícula esteja em repouso 
- a partícula esteja em movimento retilíneo uniforme. 
 
Segunda Lei de Newton 
 
Para que um corpo esteja em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, é necessário que o 
mesmo encontre-se com a resultante das forças que atuam sobre o corpo, nula, conforme vimos 
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anteriormente. Um corpo, sob a ação de uma força única, adquire uma aceleração, isto é, se F diferente de 
0 temos a (vetor) diferente de 0. Podemos perceber que: 
- duplicando F, o valor de a também duplica. 
- triplicando F, o valor de a também triplica. 
 
Podemos concluir que: 
- a força F que atua em um corpo é diretamente proporcional à aceleração a que ela produz no 
corpo, isto é, F α a. 
- a massa de um corpo é o quociente entre a força que atua no corpo e a aceleração que ela produz 
nele, sendo: 
 
𝑀 =
𝐹
𝐴
 
 
Quanto maior for a massa de um corpo, maior será a sua inércia, isto é, a massa de um corpo é uma 
medida de inércia deste corpo. A resultante do vetor a terá sempre a mesma direção e o mesmo sentido 
do vetor F , quando se aplica uma força sobre um corpo, alterando a sua aceleração. De acordo com 
Newton, a sua Segunda Lei diz o seguinte: A aceleração que um corpo adquire é diretamente 
proporcional à resultante das forças que atuam nele e tem a mesma direção e o mesmo sentido desta 
resultante, sendo uma das leis básicas da Mecânica, utilizada muito na análise dos movimentos que 
observamos próximos à superfície da Terra e também no estudo dos movimentos dos corpos celestes. 
Para a Segunda Lei de Newton, não se costuma usar a medida de força de 1 kgf (quilograma-força); 
sendo utilizado o Sistema Internacional de Unidades (S.I.), o qual é utilizado pelo mundo todo, sendo 
aceito e aprovado conforme decreto lei já visto anteriormente. As unidades podem ser sugeridas, desde 
que tenham-se como padrões as seguintes medidas escolhidas pelo S.I.: 
- A unidade de comprimento: 1 metro (1 m) 
- A unidade de massa: 1 quilograma (1 Kg) 
- A unidade de tempo: 1 segundo (s) 
 
O Sistema MKS, é assim conhecido por ser o Sistema Internacional da Mecânica, de uso exclusivo 
dessa área de atuação, pelos profissionais. Para as unidades derivadas, são obtidas a partir de 
unidades fundamentais, conforme descreve o autor: 
- De área (produto de dois comprimentos) = 1 m X 1 m X 1 m² 
- De volume (produto de três comprimentos) = 1 m X 1 m X 1 m = 1 m³ 
- De velocidade (relação entre comprimento e tempo) = 1m/1s = 1 m/s 
- De aceleração (entre velocidade e tempo) = 1 m/s/1s = 1 m/s² 
 
Podemos definir que: 1 N = 1 g m/s², ou seja, 1 N é a força que, atuando na massa de 1 Kg, imprime 
a esta massa a aceleração de 1 m/s². Para a Segunda Lei de Newton, deve-se usar as seguintes 
unidades: 
R (em N) 
m (em kg) 
a (em m/s²) 
 
Terceira Lei de Newton 
 
Segundo Newton, para que um corpo sofra ação é necessário que a ação provocada para tal 
movimentação, também seja provocada por algum outro tipo de força. Tal definição ocorreu segundo 
estudos no campo da Dinâmica. Além disso, Newton, percebeu também que na interação de dois 
corpos, as forças sempre se apresentam aos pares: para cada ação de um corpo sobre outro existirá 
sempre uma ação contraria e igual deste outro sobre o primeiro. Podemos concluir que: Quando um 
corpo A exerce uma força sobre um corpo B, o corpo B reage sobre A com uma força de mesmo 
módulo, mesma direção e de sentido contrário. 
As forças de ação e reação são enunciadas conforme a terceira lei de Newton, sendo que a ação 
está aplicada em um corpo, e a reação está aplicada no corpo que provocou a ação, isto é, elas estão 
aplicadas em corpos diferentes. As forças de ação e reação não podem se equilibrar segundo Newton, 
porque para isso, seria necessário que elas estivessem aplicadas em um mesmo corpo, o que nunca 
acontece. Podemos considerar o atrito, como sendo a tendência de um corpo não se movimentar em 
contato com a superfície. O corpo em repouso indica que vai continuar em repouso, pois as forças 
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resultantes sobre o corpo é nula. Porém deve existir uma força que atuando no corpo faz com que ele 
permaneça em repouso, sendo que este equilíbrio (corpo em repouso e superfície) é consequência 
direta do atrito, denominada de força de atrito. Podemos então perceber que existe uma diferença muito 
grande entre atrito e força de atrito. 
Podemos definir o atrito como: a força de atrito estático f, que atua sobre um corpo é variável, 
estando sempre a equilibrar as forças que tendem a colocar o corpo em movimento. A força de atrito 
estático cresce até um valor máximo. Este valor é dado em micras, onde a micras é o coeficiente de 
atrito estático entre as superfícies. Toda força que atua sobre um corpo em movimento é denominada 
de força de atrito cinético. Pequena biografia de Isaac Newton: Após a morte de Galileu, em 1642, 
nascia uma na pequena cidade da Inglaterra, Issac Newton, grande físico e matemático que formulou as 
leis básicas da Mecânica. Foi criado por sua avó sendo abandonado quando ainda criança, pela mãe, 
marcando a vida de Newton pelo seu temperamento tímido, introspectivo, intolerante que o caracterizou 
quando adulto. Com a morte de seu padrasto, é solicitado a assumir a fazenda da família, 
demonstrando pouco interesse, tornando-se num verdadeiro fracasso. 
Aos 18 anos, em 1661, Newton é enviado ao Trinity College da Universidade de Cambridge (próximo 
a Londres), para prosseguir seus estudos. Dedicou-se primeiramente ao estudo da Matemática e em 
1664, escrevia seu primeiro trabalho (não publicado) com apenas 21 anos de idade, sob a forma de 
anotações, denominado “Algumas Questões Filosóficas”. Em 1665, com o avanço da peste negra 
(pestebubônica), Newton retornou a sua cidade natal, refugiando-se na tranquila fazenda de sua 
família, onde permaneceu por 18 meses, até que os males da peste fossem afastados, permitindo o seu 
retorno a Cambridge. Alguns trabalhos executados por Newton durante seu refúgio: 
- Desenvolvimento em série da potência de um binômio ensinado atualmente nas escolas com o 
nome de “binômio de Newton”. 
- Criação e desenvolvimento das bases do Cálculo Diferencial e do Cálculo Integral, uma poderosa 
ferramenta para o estudo dos fenômenos físicos, que ele próprio utilizou pela primeira vez. 
- Estudo de alguns fenômenos óticos, que culminaram com a elaboração de uma teoria sobre as 
cores dos corpos. 
- Concepção da 1º e da 2º leis do movimento (1º e 2º leis de Newton), lançando, assim, as bases da 
Mecânica. 
- Desenvolvimento das primeiras ideias relativas à Gravidade Universal. 
 
Em 1667, retornando a Cambridge, dedicou-se a desenvolver as ideias que havia concebido durante 
o tempo que permaneceu afastado da Universidade. Aos 50 anos de idade Newton, abandonava a 
carreira universitária em busca de uma profissão mais rendosa. Em 1699 foi nomeado diretor da Casa 
da Moeda de Londres, recebendo vencimentos bastante elevados, que tornaram um homem rico. Neste 
cargo, desempenhou brilhante missão, conseguindo reestruturar as finanças inglesas, então bastante 
abaladas. Foi membro do Parlamento inglês, em 1705, aos 62 anos de idade, sagrando-se cavaleiro 
pela rainha da Inglaterra, o que lhe dava condição de nobreza e lhe conferia o título de “Sir”, passando a 
ser tratado como Sir Issac Newton. Até 1703 até a sua morte em 1727, Newton permaneceu na 
presidência da Real Academia de Ciências de Londres. Com a modéstia própria de muitos sábios, 
Newton afirmava que ele conseguiu enxergar mais longe do que os outros colegas porque se apoiou em 
“ombros de gigantes”. 
 
1.4 Força peso, força de atrito, força centrípeta, força elástica. 
 
Podemos perceber a existência da força de atrito e entender as suas características através de uma 
experiência muito simples. Tomemos uma caixa bem grande, colocada no solo, contendo madeira. 
Podemos até imaginar que, à menor força aplicada, ela se deslocará. Isso, no entanto, não ocorre. 
Quando a caixa ficar mais leve, à medida que formos retirando a madeira, atingiremos um ponto no qual 
conseguiremos movimentá-la. A dificuldade de mover a caixa é devida ao surgimento da força de atrito 
Fat entre o solo e a caixa. 
 
 
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Várias experiências como essa levam-nos às seguintes propriedades da força de atrito (direção, 
sentido e módulo): 
 
Direção: As forças de atrito resultantes do contato entre os dois corpos sólidos são forças 
tangenciais à superfície de contato. No exemplo acima, a direção da força de atrito é dada pela direção 
horizontal. Por exemplo, ela não aparecerá se você levantar a caixa. 
 
Sentido: A força de atrito tende sempre a se opor ao movimento relativo das superfícies em contato. 
Assim, o sentido da força de atrito é sempre o sentido contrário ao movimento relativo das superfícies 
 
 
 
Módulo: Sobre o módulo da força de atrito cabem aqui alguns esclarecimentos: enquanto a força 
que empurra a caixa for pequena, o valor do módulo da força de atrito é igual à força que empurra a 
caixa. Ela anula o efeito da força aplicada. Uma vez iniciado o movimento, o módulo da força de atrito é 
proporcional à força (de reação) do plano-N. Escrevemos: 
 
 
 
O coeficiente é conhecido como coeficiente de atrito. Como a força de atrito será tanto maior 
quanto maior for , vê-se que ele expressa propriedades das superfícies em contato (da sua 
rugosidade, por exemplo). Em geral, devemos considerar dois coeficientes de atrito: um chamado 
cinemático e outro, estático, . Em geral, , refletindo o fato de que a força de atrito é 
ligeiramente maior quando o corpo está a ponto de se deslocar (atrito estático) do que quando ela está 
em movimento (atrito cinemático). 
O fato de a força de atrito ser proporcional à força de reação normal representa a observação de que 
é mais fácil empurrar uma caixa à medida que a vamos esvaziando. Representa também por que fica 
mais difícil empurrá-la depois que alguém se senta sobre ela (ao aumentar o peso N também aumenta). 
Podemos resumir o comportamento do módulo da força de atrito em função de uma força externa 
aplicada a um corpo, a partir do gráfico ao lado. 
Note-se nesse gráfico que, para uma pequena força aplicada ao corpo, a força de atrito é igual à 
mesma. A força de atrito surge tão somente para impedir o movimento. Ou seja, ela surge para anular a 
força aplicada. No entanto, isso vale até certo ponto. Quando o módulo da força aplicada for maior do 
que 
 
 
 
o corpo se desloca. Esse é o valor máximo atingido pela força de atrito. Quando o corpo se desloca, 
a força de atrito diminui, se mantém constante e o seu valor é 
 
 
 
 
 
 
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Origem da Força de Atrito 
 
A força de atrito se origina, em última análise, de forças interatômicas, ou seja, da força de interação 
entre os átomos. Quando as superfícies estão em contato, criam-se pontos de aderência ou colagem 
(ou ainda solda) entre as superfícies. É o resultado da força atrativa entre os átomos próximos uns dos 
outros. Se as superfícies forem muito rugosas, a força de atrito é grande porque a rugosidade pode 
favorecer o aparecimento de vários pontos de aderência. 
Isso dificulta o deslizamento de uma superfície sobre a outra. Assim, a eliminação das imperfeições 
(polindo as superfícies) diminui o atrito. Mas isto funciona até certo ponto. À medida que a superfície for 
ficando mais e mais lisa o atrito aumenta. Aumenta-se, no polimento, o número de pontos de "solda". 
Aumentamos o número de átomos que interagem entre si. Pneus "carecas" reduzem o atrito e, por isso, 
devem ser substituídos. No entanto, pneus muito lisos (mas bem constituídos) são utilizados nos carros 
de corrida. 
 
Força de Atrito no Cotidiano 
 
A força de atrito é muito comum no nosso mundo físico. É ela que torna possível o movimento da 
grande maioria dos objetos que se movem apoiados sobre o solo. Vamos dar três exemplos: 
 
Movimento dos Animais 
 
Os animais usam as patas ou os pés (o caso do homem) para se movimentar. O que esses membros 
fazem é comprimir o solo e forçá-lo ligeiramente para trás. Ao fazê-lo surge a força de atrito. Como ela é 
do contra (na direção contrária ao movimento), a força de atrito surge nas patas ou pés impulsionando 
os animais ou o homem para frente. 
 
Movimento dos Veículos a motor 
 
As rodas dos veículos, cujo movimento é devido à queima de combustível do motor, são revestidas 
por pneus. A função dos pneus é tirar o máximo proveito possível da força de atrito (com o intuito de 
tirar esse proveito máximo, as equipes de carros de corrida trocam frequentemente os pneus). 
Os pneus, acoplados às rodas, impulsionam a Terra para trás. O surgimento da força de atrito 
impulsiona o veículo para frente. Quando aplicamos o freio vale o mesmo raciocínio anterior e a força 
de atrito atua agora no sentido contrário ao do movimento do veículo como um todo. 
 
Impedindo a Derrapagem 
 
A força de atrito impede a derrapagem nas curvas, isto é, o deslizamento de uma superfície - dos 
pneus - sobre a outra (o asfalto). 
 
Momento linear, conservação do momento linear, impulso e variação do momento linear 
 
O Momento linear (também chamado de quantidade de movimento linear ou momentum linear, a que 
a linguagem popular chama, por vezes, balanço ou “embalo”) é uma das duas grandezasfísicas 
fundamentais necessárias à correta descrição do inter-relacionamento (sempre mútuo) entre dois entes 
ou sistemas físicos. A segunda grandeza é a energia. Os entes ou sistemas em interação trocam 
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energia e momento, mas o fazem de forma que ambas as grandezas sempre obedeçam à respectiva lei 
de conservação. 
Em mecânica clássica o momento linear é definido pelo produto entre massa e velocidade de um 
corpo. É uma grandeza vetorial, com direção e sentido, cujo módulo é o produto da massa pelo módulo 
da velocidade, e cuja direção e sentido são os mesmos da velocidade. A quantidade de movimento total 
de um conjunto de objetos permanece inalterada, a não ser que uma força externa seja exercida sobre 
o sistema. Esta propriedade foi percebida por Newton e publicada na obra Philosophiae Naturalis 
Principia Mathematica, na qual Newton define a quantidade de movimento e demonstra a sua 
conservação. 
Particularmente importante não só em mecânica clássica como em todas as teorias que estuam a 
dinâmica de matéria e energia (relatividade, mecânica quântica, etc.), é a relação existente entre o 
momento e a energia para cada um dos entes físicos. A relação entre energia e momento é expressa 
em todas as teorias dinâmicas, normalmente via uma relação de dispersão para cada ente, e grandezas 
importantes como força e massa têm seus conceitos diretamente relacionados com estas grandezas. 
 
Fórmulas 
 
Na física clássica, a quantidade de movimento linear ( ) é definida pelo produto de massa ( ) e 
velocidade ( ). 
 
 
 
O valor é constante em sistemas nos quais não há forças externas atuando. 
 
Mesmo em uma colisão inelástica - onde a conservação da energia mecânica não é observada - a 
conservação do momento linear permanece válida se sobre o sistema não atuar força externa 
resultante. A unidade da quantidade de movimento linear no SI é o quilograma/metro por segundo 
(kg.m/s). 
 
Sistema Mecânico 
 
Diz-se que um sistema está mecanicamente isolado quando o somatório das forças externas é nulo. 
Consideremos um casal patinando sobre uma pista de gelo, desprezando os efeitos do ar e as forças de 
atrito entre a pista e as botas que eles estão usando. Veja que na vertical, a força peso é equilibrada 
com a normal, ou seja, P = N, tanto no homem quanto na mulher, e neste eixo as forças se cancelam. 
Mesmo que o casal resolva empurrar um ao outro (a terceira lei de Newton garante que o empurrão é 
sempre mútuo), não haverá força externa resultante uma vez que a força externa expressa a interação 
de um ente pertencente ao sistema com outro externo ao sistema: apesar de haver força resultante 
tanto no homem como sobre a mulher, ambos estão dentro do sistema em questão, e estas forças são 
forças internas ao mesmo. Na ausência de forças externas há conservação do momento linear do 
sistema. A conservação do momento linear permite calcular a razão entre a velocidade do homem e a 
velocidade da mulher após o empurrão, conhecidas as suas massas e velocidades iniciais: Como o 
momento total deve ser conservado, a variação da velocidade do homem é 
 
VH = − MM / MHVM, 
 
onde VM é a variação da velocidade da mulher. 
 
A variação da quantidade de movimento é chamada Impulso. 
 
Fórmula: I = ΔP = Pf − Po 
 
I = Impulso, a unidade usada é N.s (Newton vezes segundo) 
 
 
 
 
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Lei da Variação do Momento Linear (ou da Variação da Quantidade de Movimento) 
 
O impulso de uma força constante que atua num corpo durante um intervalo de tempo é igual à 
variação do momento linear desse corpo, nesse intervalo de tempo, 
 
 
 
ou seja, 
 
 
 
Princípio da Conservação do Momento Linear 
 
Quando dois ou mais corpos interagem, o momento linear desse sistema (conjunto dos corpos) 
permanece constante: 
 
�⃑� 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = �⃑� 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 
 
1.5 Colisões: impulso e quantidade de movimento, impulso de uma força, quantidade de 
movimento de um sistema, teorema do impulso, teorema da conservação da quantidade de 
movimento, choque elástico e inelástico. 
 
Colisões entre partículas, elásticas e inelásticas, uni e bidimensionais 
 
Empregamos o termo de colisão para representar a situação na qual duas ou mais partículas 
interagem durante um tempo muito curto. Supomos que as forças impulsivas devidas a colisão são 
muito maiores que qualquer outra força externa presente. 
O momento linear total é conservado nas colisões. No entanto, a energia cinética não se conserva 
devido a que parte da energia cinética se transforma em energia térmica e em energia potencial elástica 
interna quando os corpos se deformam durante a colisão. 
Definimos colisão inelástica como a colisão na qual não se conserva a energia cinética. Quando dois 
objetos que chocam e ficam juntos depois do choque dizemos que a colisão é perfeitamente inelástica. 
Por exemplo, um meteorito que se choca com a Terra. 
Em uma colisão elástica a energia cinética se conserva. Por exemplo, as colisões entre bolas de 
bilhar são aproximadamente elásticas. Em nível atômico as colisões podem ser perfeitamente elásticas. 
 
 
 
A grandeza Q é a diferença entre as energias cinéticas depois e antes da colisão. Q toma o valor 
zero nas colisões perfeitamente elásticas, porém pode ser menor que zero se no choque se perde 
energia cinética como resultado da deformação, ou pode ser maior que zero, se a energia cinética das 
partículas depois da colisão é maior que a inicial, por exemplo, na explosão de uma granada ou na 
desintegração radiativa, parte da energia química ou energia nuclear se converte em energia cinética 
dos produtos. 
 
Coeficiente de Restituição 
 
Foi encontrado experimentalmente que em uma colisão frontal de duas esferas sólidas como as que 
experimentam as bolas de bilhar, as velocidades depois do choque estão relacionadas com as 
velocidades antes do choque, pela expressão 
 
 
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onde e é o coeficiente de restituição e tem um valor entre 0 e 1, relação foi proposta por Newton. O 
valor de um é para um choque perfeitamente elástico e o valor de zero para um choque perfeitamente 
inelástico. 
O coeficiente de restituição é a razão entre a velocidade relativa de afastamento depois do choque, e 
a velocidade relativa de aproximação antes do choque das partículas. 
 
 Colisão Elástica 
 
Para dois corpos A e B em colisão elástica, não há perda de energia cinética (conservação da 
energia) entre os instantes antes e depois do choque. As energias cinéticas são escritas como 
 
 
 
A quantidade de movimento é conservada por ser nulo o somatório das forças externas e para os 
dois corpos A e B os seus momentos lineares antes e depois da colisão são dados por: 
 
 
 
Colocando-se as massas mA e mB em evidência, temos 
 
 
 
podendo ser escrito como 
 
 
 
Reescrevendo a primeira equação após colocarmos as massas em evidência tem-se 
 
 
 
Dividindo-se a segunda equação pela terceira equação encontramos 
 
 
 
em termos das velocidades relativas antes e depois do choque, a quarta equação terá a forma 
 
 
 
Para o cálculo da colisão elástica, empregamos a primeira e a quinta equação em conjunto. A 
relação entre a velocidade relativa dos dois corpos depois do choque e a velocidade relativa dos corpos 
antes do choque é denominada coeficiente de restituição e, mostrado na sexta equação. 
 
 
 
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O coeficiente de restituição “e” assume sempre o valor e =