Deflexão dos raios luminosos pelo campo gravitacional

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Deflexão dos raios luminosos pelo campo gravitacional
De acordo com o conceito relativístico de equivalência entre massa e energia, as partículas de massa nula como o fóton deveriam exibir propriedades como peso e inércia. Assim, um raio luminoso passando perto de um campo gravitacional seria defletido.
Esta previsão pode ser feita mais rigorosamente a partir do Princípio de Equivalência. A figura (a) abaixo mostra, do ponto de vista de um observador em repouso, um feixe de luz que atravessa um compartimento acelerado. O feixe viaja horizontalmente. Os desenhos mostram as posições sucessivas do compartimento após intervalos de tempo iguais. Como a velocidade do compartimento está aumentando, a distância que o compartimento percorre a cada intervalo aumenta com o tempo.
A figura (b) mostra a trajetória do feixe do ponto de vista de um observador dentro do compartimento: é uma parábola.
Segundo o princípio de equivalência, é impossível distinguir um compartimento acelerado de um compartimento que esteja com velocidade nula ou constante na presença de um campo gravitacional. Assim, num campo gravitacional uniforme, a trajetória de feixe de luz sofre os efeitos mencionados nas figuras (a) e (b). Concluímos que, da mesma forma que os objetos com massa, os raios de luz são acelerados por um campo gravitacional. Nas proximidades da Terra, por exemplo, a luz sofre uma aceleração de . O desvio de um feixe de luz que vem de uma distância de 3000km é de aproximadamente , portanto muito pequeno (cf. exercício da lista 11). Para se ter um efeito maior, pode se calcular o desvio da luz de uma estrela remota devido ao campo gravitacional do Sol.
Einstein fez essa conta em 1911, usando só o princípio de equivalência e um espaço euclidiano. Ele não sabia que esta mesma conta tinha sido feita por um astrônomo alemão pouco conhecido, van Soldner, usando a gravitação de Newton e tratanto a luz como um fluxo de balas. Em 1913, Einstein escreveu para o astrônomo americano George Hale, perguntando se o efeito de deflexão podia ser observado, mas como precisava esperar um eclipse para poder observar estrelas perto do Sol (se não o brilho impede a observação), Einstein teve que esperar. De fato, a primeira guerra mundial começou em 1914 e a observação planejada não foi feita, felizmente para Einstein. Por quê? Porque em 1915, Einstein completou sua teoria da relatividade geral e calculou que a deflexão seria o dobro do que ele havia encontrado anteriormente.
Vamos agora esboçar como fazer a conta clássica e depois, a da relatividade geral. Queremos calcular , o ângulo entre a posição real da estrela e sua posição aparente. A posição real é a da estrela e pode ser medida quando o sol está em outra posição longe (em relação a terra + estrela) e a luz da estrela não é defletida. A posição aparente da estrela é aquela que imaginamos quando o sol desvia a luz emitida por essa estrela.
Na mecânica clássica, é possível mostrar que a deflexão de uma partícula de massa , com velocidade inicial e parâmetro de impacto , passando perto de uma massa  é dada por: 
Esse é um espalhamento tipo Rutherford.
Para o Sol obtemos:
Agora, passamos ao caso da relatividade geral. No nosso dia-a-dia, estamos acostumados a usar a geometria euclidiana: o espaço é plano e, em particular, a soma dos ângulos internos de um triângulo é . Também é esse o caso quando usamos relatividade restrita.
Um dos conceitos mais importantes da teoria da relatividade geral é que a matéria distorce o espaço. Reciprocamente, é esta curvatura do espaço que faz a matéria se movimentar sob a ação da gravitação. Em resumo: ``gravitação curva o espaço e o espaço movimenta a matéria''. A figura abaixo mostra exemplos de superfícies em 2 dimensões, que são curvas ou não. (Isto seria mais difícil imaginar em 3 dimensões. No caso da relatividade geral, tratamos da curvatura do espaço-tempo quadridimensional.)
Note que a soma dos ângulos de um triângulo pode ser maior ou menor que  . (Para aprender mais sobre espaço curvos, ver a palestra do prof. Barata do ``Convite à Física'' de 2005).
A figura abaixo representa uma banda de borracha esticada, marcada com linhas de coordenadas. Em (a), não tem matéria, a geometria é euclidiana, a relatividade restrita vale e as partículas não sujeitas a forças se movimentam em linha reta como mostrado pela trajetória com seta. Em (b), uma bola pesada está presente e afeta a geometria, que não é mais euclidiana. A relatividade geral deve ser usada e a trajetória mostra o movimento de uma partícula sobre a qual atua a força gravitacional, não é uma linha reta. A distância mais curta entre dois pontos é uma curva.
Nós vimos que na relatividade restrita, o intervalo de espaço-tempo era independente do referencial e dado por: 
Em coordenadas polares em duas dimensões (já que a deflexão ocorre num plano) isto seria reescrito como (usando , ): 
Einstein mostrou que esta expressão é ligeiramente modificada na presença de uma massa (esférica e estacionária), tornando-se: 
onde 
é o análogo da relatividade restrita e pode ser associado a uma dilatação gravitacional do tempo (no termo em ) e a uma contração gravitacional do espaço (no termo em ). Integrando ao longo da trajetória do raio luminoso () é possível mostrar que: 
ou seja, o dobro do valor clássico, como prometido.
Em 1919, Eddington organizou expedições a dois lugares que ficavam sobre a linha de totalidade de um eclipse solar. Para raios tangentes à superfície do Sol (), os valores experimentais foram os seguintes:
Em Sobral (Brasil): 
Na ilha do Príncipe (África): 
Abaixo temos um mapa mostrando os lugares das observaçoões do eclipse de 1919 e os equipamentos usados em Sobral.
A concordância destas observações (particularmente as de Sobral) fizeram que Einstein repentinamente virasse uma celebridade conhecida mundialmente. A figura abaixo mostra o rosto de Einstein na capa de uma revista de 1919.
Desde então, muitas medidas de  foram feitas durante eclipses do Sol. Com a invenção de telescópios que não são ofuscados pela luz do Sol, tornou-se possível realizar um número ainda maior de testes. De acordo com os dados mais recentes, a diferença entre as deflexões observadas e as previstas pela relatividade geral é menor que 0,1% .