Lista 1-2019

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Centro de Ciência e Tecnologia
	
	
	
	LEPROD/CCT
Laboratório de Engenharia 
de Produção
Introdução à Probabilidade e Estatística
Classifique cada uma das variáveis abaixo:
(a) A dosagem (ml) de uma droga para o controle de ratos.
(b) O número de fungos existentes na superfície de uma folha.
(c) Estado de saúde de um funcionário da empresa com relação a quantidade de
anticorpos no sangue (muito baixa, baixa, normal ou alta).
(d) O nível de escolaridade dos funcionários da empresa.
(e) O estilo musical favorito dos alunos de um colégio particular.
(f) A taxa de glicose de um indivíduo após o almoço.
Um órgão de governo do estado esta interessado em determinar padrões sobre o investimento em educação, por habitante, realizado pelas prefeituras. De um levantamento de 10 cidades, foram obtidos os valores (codificados) da tabela abaixo 
	cidade
	A
	B
	C
	D
	E
	F
	G
	H
	I
	J
	Investimento
	30
	10
	12
	26
	9
	18
	11
	9
	20
	27
Calcule o investimento médio, variância, desvio-padrão e o intervalo interquartil.
Construa tabelas de frequência absoluta e relativa, e o gráfico de barras.
Calcule a mediana os três quartis e a moda. Faça um boxplot.
Comente os resultados dos itens (a), (b) e (c).
Receberão um programa especial as cidades com valores de investimento inferiores a média menos o desvio padão? Alguma cidade receberá o programa? Justifique.
Os dados mostrados na Tabela 1, abaixo, correspondem à resistência à compressão (em libras força/polegada quadrada – psi) de 80 amostras de uma nova liga de alumínio-lítio como possível material para a construção de elementos da estrutura de aeronaves. (a) Construa um histograma de frequências relativas para esses dados, considerando o número de intervalos de classe que considere convenientes. Diga por que considerou o número de intervalos de classe escolhido. (b) Calcule a média e desvio padrão correspondentes ao histograma de frequências construído. (c) A partir do histograma de frequências, determine o percentual de amostras que estão abaixo de 120 psi. Explique como obteve esse percentual.
TABELA 1
Resistência à compressão de 80 amostras de uma liga de alumínio-lítio (psi)
	105
	221
	183
	186
	121
	181
	180
	143
	97
	154
	153
	174
	120
	168
	167
	141
	245*
	228
	174
	199
	181
	158
	176
	110
	163
	131
	154
	115
	160
	208
	158
	133
	207
	180
	190
	193
	194
	133
	156
	123
	134
	178
	76**
	167
	184
	135
	229
	146
	218
	157
	101
	171
	165
	172
	158
	169
	199
	151
	142
	163
	145
	171
	148
	158
	160
	175
	149
	87
	160
	237
	150
	135
	196
	201
	200
	176
	150
	170
	118
	149
*: maior valor		**: menor valor	
A vida útil média de certo componente mecânico é de 22 meses. Visando aumentar este valor, o fabricante vem utilizando experimentalmente a matéria-prima de outro fornecedor para fabricar tal componente. Para verificar se esta ação foi ou não suficiente, coletou-se o tempo de vida útil dos componentes testados até o momento (vide tabela) e considerou-se a seguinte regra: a ação teria sido eficiente se a diferença − 22 fosse maior que o valor 2S/ Qual a conclusão?
	Vida útil (meses)
	Frequência
	16 – 20
	18
	20 – 24
	12
	24 – 28
	10
	28 – 32
	8
	32 – 36
	2
	
	
Para preencher uma vaga de camareira de um hotel, duas candidatas são testadas. A tabela a seguir apresenta os minutos gastos por elas na limpeza de sete quartos e respectivos toaletes. Determine:
O tempo médio de cada camareira para cada tarefa;
O tempo médio geral para cada camareira;
O desvio padrão de execução de cada tarefa para cada camareira;
O desvio padrão das duas tarefas, para cada camareira.
Você é o gerente do hotel. Qual das duas camareiras escolheria? Teria risco de errar na escolha? Justifique.
	
	Candidata A ( tempo em min)
	Quarto
	15
	13
	16
	23
	10
	14
	15
	Toalete
	12
	14
	13
	13
	12
	15
	13
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Candidata B (tempo em min.)
	Quarto
	14
	15
	16
	15
	14
	15
	16
	Toalete
	15
	13
	15
	13
	14
	13
	14
	
	
	
	
	
	
	
	
Estudando o consumo diário de leite da marca A nos últimos doze meses, verificou-se que, em certe região, 30% das famílias consomem até um litro, 40% consomem entre um e dois litros, 20% consomem entre dois e três litros e o restante consome entre três e quatro litros. Para a variável em estudo:
Calcule a média, a variância e o coeficiente de variação;
Considera-se aceitável que o consumo diário médio esteja entre 1,6 e 1,75 litros e que o coeficiente de variação seja inferior a 20%. Qual(is) desta(s) medida(s) não satisfaz(em) neste caso?
Um empreiteiro apresentou orçamentos separados para execução da parte elétrica e da parte de encanamento de um edifício. Ele acha que a probabilidade de ganhar a concorrência de cada uma das partes é de ½. Por outro lado, caso ele ganhe a parte de encanamento, a probabilidade de ganhar a parte elétrica é de ¾; caso contrário, essa probabilidade é de 1/3. Qual a probabilidade de ele:
ganhar os dois contatos?
ganhar apenas um?
não ganhar nada?
Uma companhia de seguros vendeu apólices a cinco pessoas, todas da mesma idade e com boa saúde. De acordo com as tábuas atuarias a probabilidade de que uma pessoa daquela idade esteja viva daqui a 30 anos é de 2/3. Calcular a probabilidade de que daqui a 30 anos:
exatamente duas pessoas estejam vivas;
todas as pessoas estejam vivas; e 
pelo menos três pessoas estejam vivas.
Um fabricante afirma que apenas 5% de todas as válvulas que produz têm duração inferior a 20 horas. Uma indústria compra semanalmente um grande lote de válvulas desse fabricante, mas sob a seguinte condição: ela aceita o lote se, em dez válvulas escolhidas ao acaso, no máximo uma tiver duração inferior a 20 horas; caso contrário, o lote todo é rejeitado.
Se o fabricante de fato tem razão, qual a probabilidade de um lote ser rejeitado?
Suponha agora que o fabricante esteja mentindo, isto é, na verdade a proporção de válvulas com duração com duração inferior a 20 horas é de 10%. Qual a probabilidade de um lote ser aceito, segundo o critério acima?
Suponha que 10000 bilhetes sejam vendidos em uma loteria e 5000 em outra, cada uma tendo apenas um ganhador. Um homem tem 100 bilhetes de cada. Qual a probabilidade de que:
Ele ganhe exatamente um prêmio?
Ele ganhe alguma coisa?
Na atual crise aérea nacional, a probabilidade de que um voo regular parta na hora é P(D) = 0,83; a probabilidade de que chegue na hora é P(C) = 0,82; e a probabilidade de que o voo parta na hora e chegue na hora é P(DC) = 0,78. Determine a probabilidade de que:
A probabilidade de que o avião chegue na hora, dado que partiu na hora;
A probabilidade de que o avião chegue na hora, dado que não partiu na hora.
Certo jogo consiste do seguinte: Um jogador lança um par de dados e dependendo da soma das faces destes escolhe uma urna, dentre três, para extrair uma ficha (que pode ser vermelha ou preta). O lance custa R$ 50 e o jogador recebe R$ 150 se a ficha extraída for vermelha (caso a ficha for preta, perde os R$ 50).
Especificações do jogo: O jogo consiste em lançar uma vez um par de dados e dependendo da soma S mostrada pelas faces dos dados escolhe uma urna, segundo a seguinte regra: urna A, se S for 7 ou 11; urna B, se S for 2, 3 ou 12; urna C, se S for 4, 5, 6, 8, 9 ou 10.
Definida, assim, uma das três urnas (A, B ou C) será extraída aleatoriamente uma ficha. A urna A tem 4 fichas vermelhas e 2 pretas, a B tem 2 vermelhas e 8 pretas e a C tem 2 vermelhas e 2 pretas. Lembre que o jogador ganha se a ficha extraída for vermelha.(a) Calcule a esperança de ganho do jogador. (b) Se considerarmos o conceito de jogo justo para o caso em que a esperança de ganho for zero, quanto deveria receber o jogador, desde que aposte R$ 50, para o jogo anterior ser justo.
Em uma determinada loteria o apostador deve acertar o número de gols marcados por cada um dos times participantesde um torneio de 5 jogos. Os resultados considerados para cada time são: 0,1,2,3 ou mais de 3. Considerando que o apostador faça uma única aposta e que não existam favoritos ou trapaças, qual é a probabilidade doa apostador acertar apenas 2 jogos?
Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25%, 35% e 40% do total, respectivamente. Da produção de cada máquina 5%, 6% e 2%, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que é defeituoso. Qual a probabilidade de que o parafuso venha da máquina A; da B; e da C?
O depósito de uma loja de confecções possui 250 blusas brancas, das quais 10 são defeituosas e 300 blusas azuis das quais 115 são defeituosas. Um funcionário tira 1 blusa do depósito. Qual a probabilidade da blusa ser:
Branca ou não defeituosa;
Defeituosa sabendo-se que é azul;
Defeituosa.
Suponha que se tem um total de n objetos, dos quais um grupo de n1 são idênticos entre si, outro grupo de n2 são idênticos entre si, até um k-ésimo grupo de nk objetos idênticos entre si, sendo diferentes entre grupos. Qual o número de permutações destes n objetos, tomados n à vez? (Teste com n=7, n1=3, n2=2 e n3= 2. Rpta:
Tem-se uma mesa circular, com n cadeiras. De quantas formas relativas diferentes podem ser colocados n convidados nessa mesa? (Teste com n=6. Rpta: ).
Um médico desconfia que um paciente tenha tumor no abdômen, pois isto ocorreu em 70% dos casos similares que tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame ultrassom o detectará com probabilidade 0,9. Entretanto, se ele não tiver o tumor, o exame pode, erroneamente, indicar que tem o tumor com probabilidade de 0,05.
Qual a probabilidade do exame dar o resultado correto?
Se o exame detectou um tumor, qual é a probabilidade do paciente tê-lo de fato?
Contabilizando o número de no-show em seus voos, uma companhia aérea concluiu que o número de passageiros que não comparecem para embarque com a seguinte distribuição:
	x
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	P(x)
	0,05
	0,08
	0,13
	0,23
	0,18
	0,13
	0,08
	0,06
	0,06
Qual a probabilidade de pelo menos 3 passageiros não se apresentarem ao voo?
Se aeronave tem 35 lugares e o overbooking da companhia é de quatro assentos, qual a chance de em um dia qualquer, todos os passageiros checados terem assento disponível?
Num determinado processo de fabricação 10% das peças são consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 10 unidades cada uma.
Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas numa caixa?
Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa?
Se a empresa paga uma multa de R$ 10,00 por/caixa em que houver alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de 1000 caixas?
A empresa X presta serviços de inspeção de gás veicular para o DETRAN/RJ. A fim de verificar a precisão das inspeções de X, foi realizada má auditoria. De um lote de 100 veículos vistoriados e aprovados por X, foram selecionados 20 para reinspeção. Se forem encontrados no mínimo 2 veículos irregularmente aprovados, X será descredenciada. Sabendo-se que um lote de 100 carros há 4 irregularmente aprovados, qual a probabilidade de X ser descredenciada?
O serviço de manutenção de computadores por “acesso remoto” afirma que 90% dos micros não apresentam problemas com o sistema operacional “LINUX”.
Qual a probabilidade de que em 20 micros testados, no máximo dois tenham problemas?
Se a probabilidade de defeito for de 0,003, qual a probabilidade de que em 1000 testes seja detectado no máximo 1 micro defeituoso?
Uma grande rede varejista compra certo tipo de equipamento eletrônico de um fabricante. O fabricante indica que a taxa de equipamentos com defeito é de 3%.
O inspetor da rede seleciona 20 itens de um carregamento. Qual a probabilidade de que haja pelo menos um item defeituoso entre esses 20?
Suponha que a rede receba dez carregamentos por mês e o inspetor selecione aleatoriamente 20 equipamentos de cada carregamento. Qual a probabilidade de que haja três carregamentos com pelo menos um item defeito?
Em um estudo sobre a rotatividade da mão-de-obra, X representa ao número de empregos que um funcionário teve no último ano e Y= o salário. Obteve-se a seguinte distribuição:
	x
	y
	1
	2
	3
	4
	800
	0
	0
	0,10
	0,10
	1.200
	0,05
	0,05
	0,10
	0,10
	2.000
	0,05
	0,20
	0,05
	0
	5.000
	0,10
	0,05
	0,05
	0
 São dados: E(x)= 2,5 DP(X) = 1,0 E(Y) = 2.120 DP(Y) = 1.505,2
Calcule P(X=2) e P(X=2/Y=1.200); X e Y são independentes?
Calcule o coeficiente de correlação entre X e Y. Interprete este coeficiente.
Considere a Tabela 10 como o resultado de uma pesquisa realizada em certa cidade em relação ao número de automóveis por família (y) e a renda familiar em milhares de reais (x = 1, até mil reais; x=2, acima de mil e até 3 mil reais; x=3, acima de 3 mil e até 8 mil reais; x=4, acima de 8 mil reais). De acordo com os dados levantados verifique as seguintes afirmações: a) O número de automóveis por família depende da renda familiar. Por quê? (caso verdadeiro verifique o grau de relacionamento linear). (b) A renda familiar média das famílias que possuem 2 automóveis é maior do que R$ 6.000,00.
Tabela 10
	y
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	2
	2
	2
	2
	3
	3
	x
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	2
	1
	1
	2
	2
	2
	2
	3
	3
	3
	3
	4
	4
	4
 O depósito de uma loja de confecções possui 180 calças jeans da marca a das quais 6 são defeituosas e 200 da marca B das quais 9 são defeituosas. Um funcionário da loja vai ao depósito e retira uma calça jeans. Qual a probabilidade de que a calça jeans seja:
Da marca A ou não defeituosa?
Defeituosa sabendo que é da marca B?
Defeituosa?
A probabilidade de um sapato apresentar defeito de fabricação é de 0,03. Para que um par de sapatos seja rejeitado basta que apenas um dos pés seja defeituoso. Em um lote de 40.000 pares, qual o valor esperado e o desvio padrão do número de pares rejeitados? 
Um produtor de sementes vende pacotes com 15 sementes cada um. Os pacotes que apresentam mais de duas sementes sem germinar são indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de 95%.
Qual a probabilidade de um pacote não ser indenizado?
Se o produtor vende 2000 pacotes, qual o número esperado de pacotes que serão indenizados? 
Se um pacote é indenizado, o produtor tem um prejuízo de R$ 24,50, se o pacote não é indenizado, tem um lucro de R$ 50,40. Qual o lucro esperado por pacote?
 A porcentagem de carros com defeito entregue no mercado por certa montadora é historicamente estimada em 6%. A produção da montadora vem de três fábricas distintas, da matriz, A, e das filiais, B e C, nas seguintes proporções: 60%, 30% e 10%, respectivamente. Sabe-se que a proporção de defeitos na matriz é o dobro da filial B e, a da filial B é o quádruplo da filial C. Determinar a porcentagem de defeito de cada fábrica.
Três máquinas, A, B e C, produzem, respectivamente, 40%, 50% e 10% da produção da empresa X. Historicamente as porcentagens de peças defeituosas produzidas em cada máquina são: 5%, 3% e 3%, respectivamente. A empresa X contratou um engenheiro para fazer uma revisão nas máquinas e no processo de produção. Tal engenheiro conseguiu reduzir pela metade a probabilidade de peças defeituosas da empresa e, ainda, igualou as porcentagens de defeitos das máquinas A e B, e a porcentagem de defeitos em C ficou na metade da conseguida para B. Quais são as novas porcentagens de defeitos de cada máquina? 
 Um sinal consiste de uma série de vibrações de magnitude X, tendo valores -1, 0, 1, cada um com probabilidade 1/3. Um ruído numa série de vibrações, de magnitude Y, tendo os valores -2, 0, 2, com probabilidades 1/4, 2/4, 1/4,respectivamente. Combinando-se o sinal com o ruído, obtemos o sinal efetivamente observado, Z = X+Y. Calcule E(Z) e Var(Z), admitindo que sinal e ruído são independentes.