Bases Matemáticas Para Engenharia (103)

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Limites de Funções
Bases Matemáticas
BIS 0003
2o quadrimestre de 2016
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 1 /
57
Visão Geral
1 Limites Finitos
Limite para x → ±∞
2 Limites infinitos
Limite no ponto
Limite para x → ±∞
3 Continuidade
Definição e exemplos
Resultados importantes
4 Cálculo de Limites
Uso de continuidade para cálculo de limites
Funções Compostas
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Teorema do Confronto
Infinitésimos e Infinitos
Propriedades Algébricas de Limites
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 2 /
57
Visão Geral
1 Limites Finitos
Limite para x → ±∞
2 Limites infinitos
Limite no ponto
Limite para x → ±∞
3 Continuidade
Definição e exemplos
Resultados importantes
4 Cálculo de Limites
Uso de continuidade para cálculo de limites
Funções Compostas
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Teorema do Confronto
Infinitésimos e Infinitos
Propriedades Algébricas de Limites
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 2 /
57
Visão Geral
1 Limites Finitos
Limite para x → ±∞
2 Limites infinitos
Limite no ponto
Limite para x → ±∞
3 Continuidade
Definição e exemplos
Resultados importantes
4 Cálculo de Limites
Uso de continuidade para cálculo de limites
Funções Compostas
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Teorema do Confronto
Infinitésimos e Infinitos
Propriedades Algébricas de Limites
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 2 /
57
Visão Geral
1 Limites Finitos
Limite para x → ±∞
2 Limites infinitos
Limite no ponto
Limite para x → ±∞
3 Continuidade
Definição e exemplos
Resultados importantes
4 Cálculo de Limites
Uso de continuidade para cálculo de limites
Funções Compostas
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Teorema do Confronto
Infinitésimos e Infinitos
Propriedades Algébricas de Limites
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 2 /
57
Limites Finitos
Limites Finitos
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 3 /
57
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Assíntotas horizontais
Suponha que
lim
x→±∞ f (x) = L
Dizemos então que a reta y = L é uma assíntota horizontal de f (x).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 4 /
57
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Assíntotas horizontais
Suponha que
lim
x→±∞ f (x) = L
Dizemos então que a reta y = L é uma assíntota horizontal de f (x).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 4 /
57
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
A partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞
1
x = 0
2 lim
x→−∞ 2
x = 0
3 lim
x→+∞ 2
−x = 0
4 lim
x→+∞ arctan x =
pi
2
5 lim
x→−∞ arctan x = −
pi
2
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 5 /
57
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
A partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞
1
x = 0
2 lim
x→−∞ 2
x = 0
3 lim
x→+∞ 2
−x = 0
4 lim
x→+∞ arctan x =
pi
2
5 lim
x→−∞ arctan x = −
pi
2
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 5 /
57
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
A partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞
1
x = 0
2 lim
x→−∞ 2
x = 0
3 lim
x→+∞ 2
−x = 0
4 lim
x→+∞ arctan x =
pi
2
5 lim
x→−∞ arctan x = −
pi
2
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 5 /
57
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
A partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞
1
x = 0
2 lim
x→−∞ 2
x = 0
3 lim
x→+∞ 2
−x = 0
4 lim
x→+∞ arctan x =
pi
2
5 lim
x→−∞ arctan x = −
pi
2
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 5 /
57
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
A partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞
1
x = 0
2 lim
x→−∞ 2
x = 0
3 lim
x→+∞ 2
−x = 0
4 lim
x→+∞ arctan x =
pi
2
5 lim
x→−∞ arctan x = −
pi
2
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 5 /
57
Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Exemplos
A partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞
1
x = 0
2 lim
x→−∞ 2
x = 0
3 lim
x→+∞ 2
−x = 0
4 lim
x→+∞ arctan x =
pi
2
5 lim
x→−∞ arctan x = −
pi
2
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 5 /
57
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Assíntotas verticais
Suponha que
lim
x→a f (x) = ±∞
Dizemos então que a reta x = a é uma assíntota vertical de f (x).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 6 /
57
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Assíntotas verticais
Suponha que
lim
x→a f (x) = ±∞
Dizemos então que a reta x = a é uma assíntota vertical de f (x).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 6 /
57
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a±
Assíntotas verticais
Suponha que
lim
x→a±
f (x) = ±∞
Dizemos então que a reta x = a é uma assíntota vertical de f (x).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 7 /
57
Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a±
Assíntotas verticais
Suponha que
lim
x→a±
f (x) = ±∞
Dizemos então que a reta x = a é uma assíntota vertical de f (x).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 7 /
57
Limites infinitos Limite no ponto
Limites laterais
Exemplos
1 lim
x→0+
1
x = +∞
2 lim
x→0−
1
x = −∞
3 lim
x→0+
log2 x = −∞
4 lim
x→0+
log1/2 x = +∞
5 lim
x→pi2−
tan x = +∞
6 lim
x→pi2 +
tan x = −∞
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 8 /
57
Limites infinitos Limite no ponto
Limites laterais
Exemplos
1 lim
x→0+
1
x = +∞
2 lim
x→0−
1
x = −∞
3 lim
x→0+
log2 x = −∞
4 lim
x→0+
log1/2 x = +∞
5 lim
x→pi2−
tan x = +∞
6 lim
x→pi2 +
tan x = −∞
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 8 /
57
Limites infinitos Limite no ponto
Limites laterais
Exemplos
1 lim
x→0+
1
x = +∞
2 lim
x→0−
1
x = −∞
3 lim
x→0+
log2 x = −∞
4 lim
x→0+
log1/2 x = +∞
5 lim
x→pi2−
tan x = +∞
6 lim
x→pi2 +
tan x = −∞
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 8 /
57
Limites infinitos Limite no ponto
Limites laterais
Exemplos
1 lim
x→0+
1
x = +∞
2 lim
x→0−
1
x = −∞
3 lim
x→0+
log2 x = −∞
4 lim
x→0+
log1/2 x = +∞
5 lim
x→pi2−
tan x = +∞
6 lim
x→pi2 +
tan x = −∞
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 8 /
57
Limites infinitos Limite no ponto
Limites laterais
Exemplos
1 lim
x→0+
1
x = +∞
2 lim
x→0−
1
x = −∞
3 lim
x→0+
log2 x = −∞
4 lim
x→0+
log1/2 x = +∞
5 lim
x→pi2−
tan x = +∞
6 lim
x→pi2 +
tan x = −∞
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 8 /
57
Limites infinitos Limite no ponto
Limites laterais
Exemplos
1 lim
x→0+
1
x = +∞
2 lim
x→0−
1
x = −∞
3 lim
x→0+
log2 x =−∞
4 lim
x→0+
log1/2 x = +∞
5 lim
x→pi2−
tan x = +∞
6 lim
x→pi2 +
tan x = −∞
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 8 /
57
Limites infinitos Limite no ponto
Limites laterais
Exemplos
1 lim
x→0+
1
x = +∞
2 lim
x→0−
1
x = −∞
3 lim
x→0+
log2 x = −∞
4 lim
x→0+
log1/2 x = +∞
5 lim
x→pi2−
tan x = +∞
6 lim
x→pi2 +
tan x = −∞
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 8 /
57
Limites infinitos Limite no ponto
Limite bilateral e limites laterais
Proposição
As afirmações abaixo são equivalentes:
lim
x→a f (x) = +∞
e
lim
x→a−
f (x) = +∞ = lim
x→a+
f (x)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 9 /
57
Limites infinitos Limite no ponto
Limite bilateral e limites laterais
Proposição
As afirmações abaixo são equivalentes:
lim
x→a f (x) = +∞
e
lim
x→a−
f (x) = +∞ = lim
x→a+
f (x)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 9 /
57
Limites infinitos Limite no ponto
Limite bilateral e limites laterais
Proposição
As afirmações abaixo são equivalentes:
lim
x→a f (x) = −∞
e
lim
x→a−
f (x) = −∞ = lim
x→a+
f (x)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 10 /
57
Limites infinitos Limite no ponto
Limite bilateral e limites laterais
Proposição
As afirmações abaixo são equivalentes:
lim
x→a f (x) = −∞
e
lim
x→a−
f (x) = −∞ = lim
x→a+
f (x)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 10 /
57
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
A partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞ x
2 = +∞
2 lim
x→+∞ x
3 = +∞
3 lim
x→−∞ x
3 = −∞
4 lim
x→+∞ x
n = +∞
5 lim
x→−∞ x
n = +∞, se n é par
6 lim
x→−∞ x
n = −∞, se n é ímpar
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 11 /
57
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
A partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞ x
2 = +∞
2 lim
x→+∞ x
3 = +∞
3 lim
x→−∞ x
3 = −∞
4 lim
x→+∞ x
n = +∞
5 lim
x→−∞ x
n = +∞, se n é par
6 lim
x→−∞ x
n = −∞, se n é ímpar
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 11 /
57
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
A partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞ x
2 = +∞
2 lim
x→+∞ x
3 = +∞
3 lim
x→−∞ x
3 = −∞
4 lim
x→+∞ x
n = +∞
5 lim
x→−∞ x
n = +∞, se n é par
6 lim
x→−∞ x
n = −∞, se n é ímpar
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 11 /
57
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
A partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞ x
2 = +∞
2 lim
x→+∞ x
3 = +∞
3 lim
x→−∞ x
3 = −∞
4 lim
x→+∞ x
n = +∞
5 lim
x→−∞ x
n = +∞, se n é par
6 lim
x→−∞ x
n = −∞, se n é ímpar
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 11 /
57
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
A partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞ x
2 = +∞
2 lim
x→+∞ x
3 = +∞
3 lim
x→−∞ x
3 = −∞
4 lim
x→+∞ x
n = +∞
5 lim
x→−∞ x
n = +∞, se n é par
6 lim
x→−∞ x
n = −∞, se n é ímpar
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 11 /
57
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
A partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞ x
2 = +∞
2 lim
x→+∞ x
3 = +∞
3 lim
x→−∞ x
3 = −∞
4 lim
x→+∞ x
n = +∞
5 lim
x→−∞ x
n = +∞, se n é par
6 lim
x→−∞ x
n = −∞, se n é ímpar
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 11 /
57
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
A partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 lim
x→±∞ x
2 = +∞
2 lim
x→+∞ x
3 = +∞
3 lim
x→−∞ x
3 = −∞
4 lim
x→+∞ x
n = +∞
5 lim
x→−∞ x
n = +∞, se n é par
6 lim
x→−∞ x
n = −∞, se n é ímpar
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 11 /
57
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
Ainda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 lim
x→+∞ 2
x = +∞
2 lim
x→−∞ 2
−x = +∞
3 lim
x→+∞ log2 x = +∞
4 lim
x→+∞ log1/2 x = −∞
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 12 /
57
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
Ainda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 lim
x→+∞ 2
x = +∞
2 lim
x→−∞ 2
−x = +∞
3 lim
x→+∞ log2 x = +∞
4 lim
x→+∞ log1/2 x = −∞
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 12 /
57
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
Ainda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 lim
x→+∞ 2
x = +∞
2 lim
x→−∞ 2
−x = +∞
3 lim
x→+∞ log2 x = +∞
4 lim
x→+∞ log1/2 x = −∞
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 12 /
57
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
Ainda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 lim
x→+∞ 2
x = +∞
2 lim
x→−∞ 2
−x = +∞
3 lim
x→+∞ log2 x = +∞
4 lim
x→+∞ log1/2 x = −∞
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 12 /
57
Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
Exemplos
Ainda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 lim
x→+∞ 2
x = +∞
2 lim
x→−∞ 2
−x = +∞
3 lim
x→+∞ log2 x = +∞
4 lim
x→+∞ log1/2 x = −∞
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 12 /
57
Continuidade
Continuidade
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 13 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Motivação
Dependência contínua dos dados iniciais:
"Pequenas" variações de x em torno de a, acarretam "pequenas"
variações de f (x) em torno de f (a).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 14 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Motivação
Dependência contínua dos dados iniciais:
"Pequenas" variações de x em torno de a, acarretam "pequenas"
variações de f (x) em torno de f (a).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 14 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Motivação
Dependência contínua dos dados iniciais:
"Pequenas" variações de x em torno de a, acarretam "pequenas"
variações de f (x) em torno de f (a).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 14 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Motivação
Dependência contínua dos dados iniciais:
"Pequenas" variações de x em torno de a, acarretam "pequenas"
variações de f (x) em torno de f (a).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 14 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Definição
Dada uma função f (x), tome a ∈ Dom f . A função f é contínua em a se
lim
x→a f (x) = f (a)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções2o quadrimestre de 2016 15 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Definição
Dada uma função f (x), tome a ∈ Dom f . A função f é contínua em a se
lim
x→a f (x) = f (a)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 15 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Definição
Dada uma função f (x), tome a ∈ Dom f . A função f é contínua em a se
lim
x→a f (x) = f (a)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 15 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Definição
Assim, f é contínua em a se
∀ � > 0 ∃ δ > 0 |
|x − a| < δ ⇒ |f (x)− f (a)| < �
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 16 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Definição
Assim, f é contínua em a se
∀ � > 0 ∃ δ > 0 |
|x − a| < δ ⇒ |f (x)− f (a)| < �
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 16 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Definição
Uma função é contínua se é contínua em cada ponto de seu domínio.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 17 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Exemplos
1 f (x) = ax + b é contínua [Exercício]
2 f (x) = cos x é contínua [demonstração a seguir]
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 18 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Exemplos
1 f (x) = ax + b é contínua [Exercício]
2 f (x) = cos x é contínua [demonstração a seguir]
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 18 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Exemplos
1 f (x) = ax + b é contínua [Exercício]
2 f (x) = cos x é contínua [demonstração a seguir]
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 18 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Exemplo: cos x é contínua
| cos x − cos a| = | − 2 sen x + a
2
sen
x − a
2
| = 2| sen x + a
2
|| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ 1, ∀ u ∈ R⇒ | cos x − cos a| ≤ 2| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)
| cos x − cos a| ≤ 2 |x − a|
2
= |x − a|
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 19 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Exemplo: cos x é contínua
| cos x − cos a| = | − 2 sen x + a
2
sen
x − a
2
| = 2| sen x + a
2
|| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ 1, ∀ u ∈ R⇒ | cos x − cos a| ≤ 2| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)
| cos x − cos a| ≤ 2 |x − a|
2
= |x − a|
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 19 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Exemplo: cos x é contínua
| cos x − cos a| = | − 2 sen x + a
2
sen
x − a
2
| = 2| sen x + a
2
|| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ 1, ∀ u ∈ R⇒ | cos x − cos a| ≤ 2| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)
| cos x − cos a| ≤ 2 |x − a|
2
= |x − a|
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 19 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Exemplo: cos x é contínua
| cos x − cos a| = | − 2 sen x + a
2
sen
x − a
2
| = 2| sen x + a
2
|| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ 1, ∀ u ∈ R⇒ | cos x − cos a| ≤ 2| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)
| cos x − cos a| ≤ 2 |x − a|
2
= |x − a|
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 19 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Exemplo: cos x é contínua
| cos x − cos a| = | − 2 sen x + a
2
sen
x − a
2
| = 2| sen x + a
2
|| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ 1, ∀ u ∈ R⇒ | cos x − cos a| ≤ 2| sen x − a
2
|
| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)
| cos x − cos a| ≤ 2 |x − a|
2
= |x − a|
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 19 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Continuidade
Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)
1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)
2 funções racionais
3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais
4 funções exponenciais e logarítmicas
5 funções trigonométricas e suas inversas
6 funções modulares
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 20 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Continuidade
Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)
1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)
2 funções racionais
3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais
4 funções exponenciais e logarítmicas
5 funções trigonométricas e suas inversas
6 funções modulares
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 20 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Continuidade
Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)
1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)
2 funções racionais
3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais
4 funções exponenciais e logarítmicas
5 funções trigonométricas e suas inversas
6 funções modulares
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 20 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Continuidade
Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)
1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)
2 funções racionais
3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais
4 funções exponenciais e logarítmicas
5 funções trigonométricas e suas inversas
6 funções modulares
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 20 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Continuidade
Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)
1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)
2 funções racionais
3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais
4 funções exponenciais e logarítmicas
5 funções trigonométricas e suas inversas
6 funções modulares
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 20 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Continuidade
Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)
1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)
2 funções racionais
3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais
4 funções exponenciais e logarítmicas
5 funções trigonométricas e suas inversas
6 funções modulares
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 20 /
57
Continuidade Definição e exemplos
Continuidade
Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)
1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)
2 funções racionais
3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais
4 funções exponenciais e logarítmicas
5 funções trigonométricas e suas inversas
6 funções modulares
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 20 /
57
Continuidade Resultados importantes
Resultados Importantes
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 21 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição
Suponha f (x) contínua e f (a) > 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).
Informalmente:
Se f é contínua e positiva em um ponto de seu domínio, f ainda é positiva
em uma vizinhança desse ponto.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 22 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição
Suponha f (x) contínua e f (a) > 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).
Informalmente:
Se f é contínuae positiva em um ponto de seu domínio, f ainda é positiva
em uma vizinhança desse ponto.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 22 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição
Suponha f (x) contínua e f (a) > 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).
Informalmente:
Se f é contínua e positiva em um ponto de seu domínio, f ainda é positiva
em uma vizinhança desse ponto.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 22 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição
Suponha f (x) contínua e f (a) > 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).
Informalmente:
Se f é contínua e positiva em um ponto de seu domínio, f ainda é positiva
em uma vizinhança desse ponto.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 22 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição
Suponha f (x) contínua e f (a) < 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).
Informalmente:
Se f é contínua e negativa em um ponto de seu domínio, f ainda é
negativa em uma vizinhança desse ponto.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 23 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição
Suponha f (x) contínua e f (a) < 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).
Informalmente:
Se f é contínua e negativa em um ponto de seu domínio, f ainda é
negativa em uma vizinhança desse ponto.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 23 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição
Suponha f (x) contínua e f (a) < 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).
Informalmente:
Se f é contínua e negativa em um ponto de seu domínio, f ainda é
negativa em uma vizinhança desse ponto.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 23 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição
Suponha f (x) contínua e f (a) < 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).
Informalmente:
Se f é contínua e negativa em um ponto de seu domínio, f ainda é
negativa em uma vizinhança desse ponto.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 23 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição - caso geral
Suponha lim
x→a f (x) > 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Informalmente:
Se lim
x→a f (x) é positivo, f (x) é positiva em uma vizinhança de a (excluído o
próprio a).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 24 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição - caso geral
Suponha lim
x→a f (x) > 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Informalmente:
Se lim
x→a f (x) é positivo, f (x) é positiva em uma vizinhança de a (excluído o
próprio a).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 24 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição - caso geral
Suponha lim
x→a f (x) > 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Informalmente:
Se lim
x→a f (x) é positivo, f (x) é positiva em uma vizinhança de a (excluído o
próprio a).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 24 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição - caso geral
Suponha lim
x→a f (x) > 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Informalmente:
Se lim
x→a f (x) é positivo, f (x) é positiva em uma vizinhança de a (excluído o
próprio a).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 24 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição - caso geral
Suponha lim
x→a f (x) < 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Informalmente:
Se lim
x→a f (x) é negativo, f (x) é negativa em uma vizinhança de a (excluído
o próprio a).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 25 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição - caso geral
Suponha lim
x→a f (x) < 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Informalmente:
Se lim
x→a f (x) é negativo, f (x) é negativa em uma vizinhança de a (excluído
o próprio a).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 25 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição - caso geral
Suponha lim
x→a f (x) < 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Informalmente:
Se lim
x→a f (x) é negativo, f (x) é negativa em uma vizinhança de a (excluído
o próprio a).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 25 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição - caso geral
Suponha lim
x→a f (x) < 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Informalmente:
Se lim
x→a f (x) é negativo, f (x) é negativa em uma vizinhança de a (excluído
o próprio a).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 25 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Exemplo de uso da preservação do sinal
Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo,
para x suficientemente próximo de 4:
||x − 2| − 3|
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 26 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Exemplo de uso da preservação do sinal
Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo,
para x suficientemente próximo de 4:
||x − 2| − 3|
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 26 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Exemplo de uso da preservação do sinal
Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo,
para x suficientemente próximo de 0:∣∣∣∣12 − sen2 xx2
∣∣∣∣+ cos2 xx2
assumindo que
lim
x→0
sen2 x
x2
= 1
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 27 /
57
Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Exemplo de uso da preservação do sinal
Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo,
para x suficientemente próximo de 0:∣∣∣∣12 − sen2 xx2
∣∣∣∣+ cos2 xx2
assumindo que
lim
x→0
sen2 x
x2
= 1
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 27 /
57
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI)
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).
Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:
Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .
Informalmente:
Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atinge
todos os valores entre u e v .
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 28 /
57
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI)
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).
Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:
Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u,v ] ⊂ Im f .
Informalmente:
Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atinge
todos os valores entre u e v .
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 28 /
57
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI)
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).
Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:
Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .
Informalmente:
Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atinge
todos os valores entre u e v .
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 28 /
57
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI)
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).
Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:
Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .
Informalmente:
Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atinge
todos os valores entre u e v .
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 28 /
57
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI)
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).
Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:
Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .
Informalmente:
Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atinge
todos os valores entre u e v .
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 28 /
57
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI)
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).
Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:
Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .
Informalmente:
Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atinge
todos os valores entre u e v .
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 28 /
57
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI) - caso particular
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f . Se f (a).f (b) < 0, então existe
c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 29 /
57
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI) - caso particular
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f . Se f (a).f (b) < 0, então existe
c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 29 /
57
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI) - caso particular
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f . Se f (a).f (b) < 0, então existe
c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 29 /
57
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI) - caso particular
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f . Se f (a).f (b) < 0, então existe
c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 29 /
57
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Exemplo de aplicação do TVI
Mostre que o polinômio p(x) = x4+3x3+1 possui ao menos uma raiz real.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 30 /
57
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Exemplo de aplicação do TVI
Todo polinômio de grau ímpar possui ao menos uma raiz real.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 31 /
57
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Exemplo de aplicação do TVI
Mostre que a equação cos x = x possui pelo menos uma solução no
intervalo [0, pi]
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 32 /
57
Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Exemplo de aplicação do TVI
Mostre que a equação 3x = x2 + 4 possui pelo menos uma solução no
intervalo [0, 2]
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 33 /
57
Continuidade Resultados importantes
Continuidade da Inversa
Proposição
Seja f : [a, b]→ [c , d ] contínua e estritamente crescente (decrescente).
Então f é inversível, f −1 : [c , d ]→ [a, b] é contínua e estritamente
crescente (decrescente).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 34 /
57
Continuidade Resultados importantes
Continuidade da Inversa
Proposição
Seja f : [a, b]→ [c , d ] contínua e estritamente crescente (decrescente).
Então f é inversível, f −1 : [c , d ]→ [a, b] é contínua e estritamente
crescente (decrescente).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 34 /
57
Continuidade Resultados importantes
Continuidade da Inversa
Proposição
Seja f : [a, b]→ [c , d ] contínua e estritamente crescente (decrescente).
Então f é inversível, f −1 : [c , d ]→ [a, b] é contínua e estritamente
crescente (decrescente).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 34 /
57
Cálculo de Limites
Cálculo de Limites
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 35 /
57
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
A expressão
lim
x→a f (x) = f (a)
pode ser usada para verificar se a função f é contínua em a,
ou, caso já saibamos que f é contínua em a, para calcular
lim
x→a f (x).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 36 /
57
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
A expressão
lim
x→a f (x) = f (a)
pode ser usada para verificar se a função f é contínua em a,
ou, caso já saibamos que f é contínua em a, para calcular
lim
x→a f (x).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 36 /
57
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
A expressão
lim
x→a f (x) = f (a)
pode ser usada para verificar se a função f é contínua em a,
ou, caso já saibamos que f é contínua em a, para calcular
lim
x→a f (x).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 36 /
57
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
Exemplos:
1 lim
x→3
(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20
2 lim
x→pi sen x = senpi = 0
3 lim
x→pi cos x = cospi = −1
4 lim
x→3
2x = 23 = 8
5 lim
x→ 12
log2 x = log2
1
2 = −1
6 lim
x→ 12
arccos x = arccos 12 =
pi
3
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 37 /
57
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
Exemplos:
1 lim
x→3
(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20
2 lim
x→pi sen x = senpi = 0
3 lim
x→pi cos x = cospi = −1
4 lim
x→3
2x = 23 = 8
5 lim
x→ 12
log2 x = log2
1
2 = −1
6 lim
x→ 12
arccos x = arccos 12 =
pi
3
Bases Matemáticas (BIS 0003)Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 37 /
57
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
Exemplos:
1 lim
x→3
(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20
2 lim
x→pi sen x = senpi = 0
3 lim
x→pi cos x = cospi = −1
4 lim
x→3
2x = 23 = 8
5 lim
x→ 12
log2 x = log2
1
2 = −1
6 lim
x→ 12
arccos x = arccos 12 =
pi
3
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 37 /
57
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
Exemplos:
1 lim
x→3
(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20
2 lim
x→pi sen x = senpi = 0
3 lim
x→pi cos x = cospi = −1
4 lim
x→3
2x = 23 = 8
5 lim
x→ 12
log2 x = log2
1
2 = −1
6 lim
x→ 12
arccos x = arccos 12 =
pi
3
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 37 /
57
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
Exemplos:
1 lim
x→3
(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20
2 lim
x→pi sen x = senpi = 0
3 lim
x→pi cos x = cospi = −1
4 lim
x→3
2x = 23 = 8
5 lim
x→ 12
log2 x = log2
1
2 = −1
6 lim
x→ 12
arccos x = arccos 12 =
pi
3
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 37 /
57
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
Exemplos:
1 lim
x→3
(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20
2 lim
x→pi sen x = senpi = 0
3 lim
x→pi cos x = cospi = −1
4 lim
x→3
2x = 23 = 8
5 lim
x→ 12
log2 x = log2
1
2 = −1
6 lim
x→ 12
arccos x = arccos 12 =
pi
3
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 37 /
57
Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
Exemplos:
1 lim
x→3
(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20
2 lim
x→pi sen x = senpi = 0
3 lim
x→pi cos x = cospi = −1
4 lim
x→3
2x = 23 = 8
5 lim
x→ 12
log2 x = log2
1
2 = −1
6 lim
x→ 12
arccos x = arccos 12 =
pi
3
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 37 /
57
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Ideia intuitiva
Calcular
lim
x→pi6
9sen x
Sabemos que
lim
x→pi6
sen x =
1
2
e também que
lim
x→ 12
9x = 3.
Podemos concluir que
lim
x→pi6
9sen x = 3?
Sim!!!
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 38 /
57
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Ideia intuitiva
Calcular
lim
x→pi6
9sen x
Sabemos que
lim
x→pi6
sen x =
1
2
e também que
lim
x→ 12
9x = 3.
Podemos concluir que
lim
x→pi6
9sen x = 3?
Sim!!!
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 38 /
57
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Ideia intuitiva
Calcular
lim
x→pi6
9sen x
Sabemos que
lim
x→pi6
sen x =
1
2
e também que
lim
x→ 12
9x = 3.
Podemos concluir que
lim
x→pi6
9sen x = 3?
Sim!!!
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 38 /
57
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Ideia intuitiva
Calcular
lim
x→pi6
9sen x
Sabemos que
lim
x→pi6
sen x =
1
2
e também que
lim
x→ 12
9x = 3.
Podemos concluir que
lim
x→pi6
9sen x = 3?
Sim!!!
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 38 /
57
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Ideia intuitiva
Calcular
lim
x→pi6
9sen x
Sabemos que
lim
x→pi6
sen x =
1
2
e também que
lim
x→ 12
9x = 3.
Podemos concluir que
lim
x→pi6
9sen x = 3?
Sim!!!
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 38 /
57
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Ideia intuitiva
Calcular
lim
x→pi6
9sen x
Sabemos que
lim
x→pi6
sen x =
1
2
e também que
lim
x→ 12
9x = 3.
Podemos concluir que
lim
x→pi6
9sen x = 3?
Sim!!!
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 38 /
57
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Ideia intuitiva
Calcular
lim
x→pi6
9sen x
Sabemos que
lim
x→pi6
sen x =
1
2
e também que
lim
x→ 12
9x = 3.
Podemos concluir que
lim
x→pi6
9sen x = 3?
Sim!!!
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 38 /
57
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Proposição
Suponha que:
1 lim
x→a f (x) = b
2 g(x) é contínua em b
Então
lim
x→a(g ◦ f )(x) = g(b).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 39 /
57
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Proposição
Suponha que:
1 lim
x→a f (x) = b
2 g(x) é contínua em b
Então
lim
x→a(g ◦ f )(x) = g(b).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 39 /
57
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Exemplos
1 lim
x→2
cos(pix) = lim
x→2pi
cos x = 1
2 lim
x→3
ln(x2 − 2x − 2) = lim
x→1
ln x = 0
3 lim
x→4
√
5x − 4 = lim
x→16
√
x = 4
4 lim
x→4
arctan
√
5x−4
x = limx→1
arctan x = pi4
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 40 /
57
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Exemplos
1 lim
x→2
cos(pix) = lim
x→2pi
cos x = 1
2 lim
x→3
ln(x2 − 2x − 2) = lim
x→1
ln x = 0
3 lim
x→4
√
5x − 4 = lim
x→16
√
x = 4
4 lim
x→4
arctan
√
5x−4
x = limx→1
arctan x = pi4
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 40 /
57
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Exemplos
1 lim
x→2
cos(pix) = lim
x→2pi
cos x = 1
2 lim
x→3
ln(x2 − 2x − 2) = lim
x→1
ln x = 0
3 lim
x→4
√
5x − 4 = lim
x→16
√
x = 4
4 lim
x→4
arctan
√
5x−4
x = limx→1
arctan x = pi4
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 40 /
57
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Exemplos
1 lim
x→2
cos(pix) = lim
x→2pi
cos x = 1
2 lim
x→3
ln(x2 − 2x − 2) = lim
x→1
ln x = 0
3 lim
x→4
√
5x − 4 = lim
x→16
√
x = 4
4 lim
x→4
arctan
√
5x−4
x = limx→1
arctan x = pi4
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 40 /
57
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Exemplos
1 lim
x→2
cos(pix) = lim
x→2pi
cos x = 1
2 lim
x→3
ln(x2 − 2x − 2) = lim
x→1
ln x = 0
3 lim
x→4
√
5x − 4 = lim
x→16
√
x = 4
4 lim
x→4
arctan
√
5x−4
x = limx→1
arctan x = pi4
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 40 /
57
Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Corolário (Importante)
Se f e g são funções contínuas, então g ◦ f é contínua.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 41 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Notação
No que se segue, usaremos
lim
x→?
para denotar um dos tipos abaixo de limites:
lim
x→a, limx→a+
, lim
x→a−
, lim
x→+∞, limx→−∞ .
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 42 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Notação
No que se segue, usaremos
lim
x→?
para denotar um dos tiposabaixo de limites:
lim
x→a, limx→a+
, lim
x→a−
, lim
x→+∞, limx→−∞ .
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 42 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Notação
No que se segue, usaremos
lim
x→?
para denotar um dos tipos abaixo de limites:
lim
x→a, limx→a+
, lim
x→a−
, lim
x→+∞, limx→−∞ .
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 42 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Limites de funções e operações algébricas
Sejam dadas duas funções f (x) e g(x) tais que
lim
x→? f (x) = F e limx→? g(x) = G .
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 43 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Limites de funções e operações algébricas
Sejam dadas duas funções f (x) e g(x) tais que
lim
x→? f (x) = F e limx→? g(x) = G .
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 43 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades:
1 lim
x→? (f (x) + g(x)) = F + G
2 lim
x→? (f (x)− g(x)) = F − G
3 lim
x→? c f (x) = c F , onde c ∈ R
4 lim
x→? f (x) g(x) = F G
5 Se G 6= 0, lim
x→?
f (x)
g(x) =
F
G
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 44 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades:
1 lim
x→? (f (x) + g(x)) = F + G
2 lim
x→? (f (x)− g(x)) = F − G
3 lim
x→? c f (x) = c F , onde c ∈ R
4 lim
x→? f (x) g(x) = F G
5 Se G 6= 0, lim
x→?
f (x)
g(x) =
F
G
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 44 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades:
1 lim
x→? (f (x) + g(x)) = F + G
2 lim
x→? (f (x)− g(x)) = F − G
3 lim
x→? c f (x) = c F , onde c ∈ R
4 lim
x→? f (x) g(x) = F G
5 Se G 6= 0, lim
x→?
f (x)
g(x) =
F
G
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 44 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades:
1 lim
x→? (f (x) + g(x)) = F + G
2 lim
x→? (f (x)− g(x)) = F − G
3 lim
x→? c f (x) = c F , onde c ∈ R
4 lim
x→? f (x) g(x) = F G
5 Se G 6= 0, lim
x→?
f (x)
g(x) =
F
G
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 44 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades:
1 lim
x→? (f (x) + g(x)) = F + G
2 lim
x→? (f (x)− g(x)) = F − G
3 lim
x→? c f (x) = c F , onde c ∈ R
4 lim
x→? f (x) g(x) = F G
5 Se G 6= 0, lim
x→?
f (x)
g(x) =
F
G
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 44 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades:
1 lim
x→? (f (x) + g(x)) = F + G
2 lim
x→? (f (x)− g(x)) = F − G
3 lim
x→? c f (x) = c F , onde c ∈ R
4 lim
x→? f (x) g(x) = F G
5 Se G 6= 0, lim
x→?
f (x)
g(x) =
F
G
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 44 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos
1 lim
x→2
(
2x3 + cos(pix)log4 x
)
2 lim
x→1−
(
2 arcsen x + |x−2|x+1 pi
)
3 lim
x→+∞ (2
−x + arctan x)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 45 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos
1 lim
x→2
(
2x3 + cos(pix)log4 x
)
2 lim
x→1−
(
2 arcsen x + |x−2|x+1 pi
)
3 lim
x→+∞ (2
−x + arctan x)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 45 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos
1 lim
x→2
(
2x3 + cos(pix)log4 x
)
2 lim
x→1−
(
2 arcsen x + |x−2|x+1 pi
)
3 lim
x→+∞ (2
−x + arctan x)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 45 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos
1 lim
x→2
(
2x3 + cos(pix)log4 x
)
2 lim
x→1−
(
2 arcsen x + |x−2|x+1 pi
)
3 lim
x→+∞ (2
−x + arctan x)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 45 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Corolário (Importante)
Se f (x) e g(x) são contínuas,
então também são contínuas (em seus domínios):
f (x) + g(x)
f (x)− g(x)
cf (x)
f (x)g(x)
f (x)
g(x)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 46 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Corolário (Importante)
Se f (x) e g(x) são contínuas,
então também são contínuas (em seus domínios):
f (x) + g(x)
f (x)− g(x)
cf (x)
f (x)g(x)
f (x)
g(x)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 46 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Corolário (Importante)
Se f (x) e g(x) são contínuas,
então também são contínuas (em seus domínios):
f (x) + g(x)
f (x)− g(x)
cf (x)
f (x)g(x)
f (x)
g(x)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 46 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Corolário (Importante)
Se f (x) e g(x) são contínuas,
então também são contínuas (em seus domínios):
f (x) + g(x)
f (x)− g(x)
cf (x)
f (x)g(x)
f (x)
g(x)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 46 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Corolário (Importante)
Se f (x) e g(x) são contínuas,
então também são contínuas (em seus domínios):
f (x) + g(x)
f (x)− g(x)
cf (x)
f (x)g(x)
f (x)
g(x)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 46 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Corolário (Importante)
Se f (x) e g(x) são contínuas,
então também são contínuas (em seus domínios):
f (x) + g(x)
f (x)− g(x)
cf (x)
f (x)g(x)
f (x)
g(x)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 46 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Corolário (Importante)
Se f (x) e g(x) são contínuas,
então também são contínuas (em seus domínios):
f (x) + g(x)
f (x)− g(x)
cf (x)
f (x)g(x)
f (x)
g(x)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 46 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Observação
Quanto ao limite
lim
x→?
f (x)
g(x)
Denotando
lim
x→? f (x) = F e limx→? g(x) = G .
1 Caso G = 0 e F = 0: Indeterminação
2 Caso G = 0 e F 6= 0: não há indeterminação (mais adiante).
Bases Matemáticas(BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 47 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Observação
Quanto ao limite
lim
x→?
f (x)
g(x)
Denotando
lim
x→? f (x) = F e limx→? g(x) = G .
1 Caso G = 0 e F = 0: Indeterminação
2 Caso G = 0 e F 6= 0: não há indeterminação (mais adiante).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 47 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Observação
Quanto ao limite
lim
x→?
f (x)
g(x)
Denotando
lim
x→? f (x) = F e limx→? g(x) = G .
1 Caso G = 0 e F = 0: Indeterminação
2 Caso G = 0 e F 6= 0: não há indeterminação (mais adiante).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 47 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Observação
Quanto ao limite
lim
x→?
f (x)
g(x)
Denotando
lim
x→? f (x) = F e limx→? g(x) = G .
1 Caso G = 0 e F = 0: Indeterminação
2 Caso G = 0 e F 6= 0: não há indeterminação (mais adiante).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 47 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Observação
Quanto ao limite
lim
x→?
f (x)
g(x)
Denotando
lim
x→? f (x) = F e limx→? g(x) = G .
1 Caso G = 0 e F = 0: Indeterminação
2 Caso G = 0 e F 6= 0: não há indeterminação (mais adiante).
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 47 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 lim
x→3
x2−9
x−3
2 lim
x→a
x2−a2
x−a (derivada de x
2 em a)
3 lim
x→2
√
x−√2
x−2
4 lim
x→a
√
x−√a
x−a (derivada de
√
x em a)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 48 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 lim
x→3
x2−9
x−3
2 lim
x→a
x2−a2
x−a (derivada de x
2 em a)
3 lim
x→2
√
x−√2
x−2
4 lim
x→a
√
x−√a
x−a (derivada de
√
x em a)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 48 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 lim
x→3
x2−9
x−3
2 lim
x→a
x2−a2
x−a (derivada de x
2 em a)
3 lim
x→2
√
x−√2
x−2
4 lim
x→a
√
x−√a
x−a (derivada de
√
x em a)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 48 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 lim
x→3
x2−9
x−3
2 lim
x→a
x2−a2
x−a (derivada de x
2 em a)
3 lim
x→2
√
x−√2
x−2
4 lim
x→a
√
x−√a
x−a (derivada de
√
x em a)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 48 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 lim
x→3
x2−9
x−3
2 lim
x→a
x2−a2
x−a (derivada de x
2 em a)
3 lim
x→2
√
x−√2
x−2
4 lim
x→a
√
x−√a
x−a (derivada de
√
x em a)
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 48 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 lim
x→2
3√x− 3√2
x−2 (derivada de
3
√
x em x = 2)
2 lim
x→1
√
x−1√
2x+3−√5
3 lim
x→2
x3−x2−x−2
x2−4
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 49 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 lim
x→2
3√x− 3√2
x−2 (derivada de
3
√
x em x = 2)
2 lim
x→1
√
x−1√
2x+3−√5
3 lim
x→2
x3−x2−x−2
x2−4
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 49 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 lim
x→2
3√x− 3√2
x−2 (derivada de
3
√
x em x = 2)
2 lim
x→1
√
x−1√
2x+3−√5
3 lim
x→2
x3−x2−x−2
x2−4
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 49 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 lim
x→2
3√x− 3√2
x−2 (derivada de
3
√
x em x = 2)
2 lim
x→1
√
x−1√
2x+3−√5
3 lim
x→2
x3−x2−x−2
x2−4
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 49 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - mudança de variável (função composta)
1 lim
x→1
(3−x)4−16
x3−1 , tomando u = x
3 − 3
2 lim
x→−1
3√x+2−1
x+1 , tomando u =
3
√
x + 2
3 lim
x→pi
cos2 x+3 cos x+2
cos x+1
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 50 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - mudança de variável (função composta)
1 lim
x→1
(3−x)4−16
x3−1 , tomando u = x
3 − 3
2 lim
x→−1
3√x+2−1
x+1 , tomando u =
3
√
x + 2
3 lim
x→pi
cos2 x+3 cos x+2
cos x+1
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 50 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - mudança de variável (função composta)
1 lim
x→1
(3−x)4−16
x3−1 , tomando u = x
3 − 3
2 lim
x→−1
3√x+2−1
x+1 , tomando u =
3
√
x + 2
3 lim
x→pi
cos2 x+3 cos x+2
cos x+1
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 50 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - mudança de variável (função composta)
1 lim
x→1
(3−x)4−16
x3−1 , tomando u = x
3 − 3
2 lim
x→−1
3√x+2−1
x+1 , tomando u =
3
√
x + 2
3 lim
x→pi
cos2 x+3 cos x+2
cos x+1
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 50 /
57
Cálculo de Limites Teorema do Confronto
Teorema do Confronto
Teorema
Se
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)
e
lim
x→? f (x) = L = limx→? h(x)
então
lim
x→? g(x) = L.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 51 /
57
Cálculo de Limites Teorema do Confronto
Teorema do Confronto
Teorema
Se
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)
e
lim
x→? f (x) = L = limx→? h(x)
então
lim
x→? g(x) = L.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 51 /
57
Cálculo de Limites Teorema do Confronto
Teorema do Confronto
Teorema
Se
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)
e
lim
x→? f (x) = L = limx→? h(x)
então
lim
x→? g(x) = L.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 51 /
57
Cálculo de Limites Infinitésimos e Infinitos
Infinitésimos e Infinitos
lim
x→? f (x) limx→?
1
f (x)
0+ +∞
0− −∞
+∞ 0+
−∞ 0−
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 52 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites
Limites finitos e infinitos
Soma e Diferença
lim
x→? f (x)limx→? g(x) limx→? (f (x) + g(x))
F ±∞ ±∞
lim
x→? f (x) limx→? g(x) limx→? (f (x)− g(x)) limx→? (g(x)− f (x))
F ±∞ ∓∞ ±∞
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 53 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites
Limites finitos e infinitos
Produto e Quociente
lim
x→? f (x) limx→? g(x) limx→? f (x).g(x) limx→?
f (x)
g(x)
F > 0 ±∞ ±∞ 0±
F < 0 ±∞ ∓∞ 0∓
0 ±∞ Ind. 0
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 54 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites
Limites Infinitos
Soma e Diferença
lim
x→? f (x) limx→? g(x) limx→? (f (x) + g(x)) limx→? (f (x)− g(x))
±∞ ±∞ ±∞ Ind.
±∞ ∓∞ Ind. ±∞
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 55 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites
Limites Infinitos
Produto e Quociente
lim
x→? f (x) limx→? g(x) limx→? f (x).g(x) limx→?
f (x)
g(x)
±∞ ±∞ +∞ Ind.
±∞ ∓∞ −∞ Ind.
Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 56 /
57
Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites
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Bases Matemáticas (BIS 0003) Limites de Funções
2o quadrimestre de 2016 57 /
57
	Limites Finitos
	Limite para x 
	Limites infinitos
	Limite no ponto
	Limite para x 
	Continuidade
	Definição e exemplos
	Resultados importantes
	Cálculo de Limites
	Uso de continuidade para cálculo de limites
	Funções Compostas
	Propriedades Algébricas de Limites Finitos
	Teorema do Confronto
	Infinitésimos e Infinitos
	Propriedades Algébricas de Limites