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Material complementar TL0006 – Fundamentos de Cálculo (2019/2) 
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(não esquecendo... matéria acumulativa!) 
1ª Chamada 2ª Chamada 
(só faltosos) 
11/09 (sala) 21/09 (sábado) 09/09/19 
(integrais indefinidas, definidas e impróprias) 
30/10 (sala) 09/11 (sábado) 14/10/19 
(áreas entre curvas, volumes sólidos revolução, 
comprimento de arco e técnicas de integração I) 
02/12 (sala) 04/12 (sala) 27/11/19 
(técnicas de integração II e coordenas polares) 
09/12 (sala) 11/12 (sala) Tudo visto (será disponibilizada lista) 
 
01). Verifique se y = xex é solução da equação y’’ – 2y’ + y = 0. 
 
02). (Deflexão de vigas adaptado) Da física, podemos encontrar a seguinte equação 
diferencial (um caso bem particular) 
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
= √1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
 
Uma solução desta equação é y = cosh(x). Prove! 
 
03). Resolver as integrais. Dica: usar produtos notáveis... 
a) ∫
𝑑𝑧
𝑧²+6𝑧+9
 
b) ∫
𝑑𝑧
𝑧2+6𝑧+10
 
c) ∫
𝑑𝑧
𝑧²+6𝑧+8
 
04). Resolver as seguintes equações diferenciais separáveis, indicando domínio. Dica: 
deixar cada variável em um membro da igualdade 
𝑎)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 
1 + 𝑦²
1 − 𝑥²
𝑏)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑦
 
05). Verifique se, para quaisquer m e n 
 
∫ 𝑐𝑜𝑠 (
2𝑚𝜋
𝑘
𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (
2𝑛𝜋
𝑘
𝑥) 𝑑𝑥
𝑘
0
= {
0, 𝑚 ≠ 𝑛
𝑘
2
, 𝑚 = 𝑛
∫ 𝑠𝑒𝑛 (
2𝑚𝜋
𝑘
𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (
2𝑛𝜋
𝑘
𝑥) 𝑑𝑥
𝑘
0
= 0, ∀𝑚, 𝑛
 
 
06). Suponha que, em uma célula animal, certa proteína P seja sintetizada a uma taxa 
igual a s, e desnaturada de maneira proporcional à quantidade de P presente em cada 
instante t, isto é, 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑠 − 𝑘𝑃, com k constante e P(t0) = P0. Encontre P(t), supondo s 
constante. 
 
07). Um foguete, disparado verticalmente para cima a partir do repouso no instante t = 
0, tem uma massa inicial de m0 (incluindo o combustível). Supondo que o combustível 
seja consumido a uma taxa constante k, a massa m do foguete, enquanto o combustível 
estiver sendo queimado, será dada por m = m0 – kt. Demonstra-se que 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑐𝑘 − 𝑚𝑔 
onde g é a aceleração da gravidade, c é uma constante e v é a velocidade do foguete. 
Determine v(t). 
 
08). Uma função utilizada para uma população que cresce com limitações é 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑐𝑃 ∙ 𝑙𝑛 (
𝑘
𝑃
) 
onde c é constante de proporcionalidade e k é a capacidade de suporte. O que ocorre 
com P(t) quando t → ∞ ? 
 
09). Dado um circuito elétrico em série RL básico, tem-se: 𝐿 ∙
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+ 𝑅𝐼 = 𝑉(𝑡) onde V(t) é a 
voltagem dependente do tempo t, R é uma resistência constante e L é um indutor com 
indutância constante. Determine I(t) se R = 10 e L = 5, sendo V constante e igual a 20, 
sendo I(0) = 0. O que ocorre com I após um longo período de tempo? 
 
10). Em certa região, às 7 horas da manhã, o nível de ozônio no ar é de 0,25 partes por 
milhão. Ao meio-dia, sabe-se que, depois de t horas, a taxa de variação do ozônio no ar 
será de 
21636
03,024,0
tt
t
−+
−
partes por milhão por hora. 
(a) Expresse o nível de ozônio como função de t. 
(b) Quando ocorre o pico do nível de ozônio? Qual é o nível de ozônio, neste momento? 
 
11). A equação diferencial P’ = (kcost)P, onde k é uma constante positiva, é um modelo 
de população humana P(t). Que tipo de população tal equação descreve? 
 
12). P’ = P(aP – b), onde “a” e “b” são constantes positivas também representa uma 
dinâmica populacional. O que ocorre com a população quando t cresce? 
 
13). Se f(t) estiver definida para t > 0, então é a integral, se convergir: 
𝐿{𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡
∞
0
 
Encontre as transformadas de Laplace para: 
1. eat 
2. sen(t) 
3. cos(t) 
4. tn 
5. f ’(t) 
 
14). A Transformada de Fourier é útil para resolver certas equações diferenciais. A 
transformada do cosseno de Fourier de uma função f(x) é definida por: 
𝐹𝐶[𝑓(𝑥)] = ∫ 𝑓(𝑥) cos(𝑠𝑥) 𝑑𝑥
∞
0
 
Para todo número real “s” para o qual a integral imprópria seja convergente. Ache, para 
a > 0, 
𝐹𝐶[𝑒
−𝑎𝑥] 
 
Questões Bônus para 4ª Avaliação... (até 1,0 ponto) 
EXCLUSIVA PARA 1ª CHAMADA 
(DEVE SER ENTREGUE CANETA AZUL OU PRETA E NESTA FOLHA) 
 
1ª Questão (0,1pt cada item): 
Calcule as integrais: 
a. 
x x dx2 2
3
1−

 

 ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. 
xdx
x3 12 −
 ;
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. 
dx
x x2 4 4− +
; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d. 
x x x dx− 1
3 ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e. 
( ) ;x x dx+ − 1 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f. ∫
𝒆𝒙𝒅𝒙
√𝟏−𝟑𝒆𝒙
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. QUESTÃO (0,4pt) 
O gráfico de uma função g é dado pela parábola abaixo. Faça um esboço do gráfico da 
função antiderivada de g, que passa pelo ponto (0,1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Somos responsáveis por nossa felicidade! 
 
Questões Bônus para 5ª Avaliação... (até 1,0 ponto) 
EXCLUSIVA PARA 1ª CHAMADA 
(DEVE SER ENTREGUE CANETA AZUL OU PRETA E NESTA FOLHA) 
 
1ª Questão 
Verifique se converge (isto é, se resultado é diferente de ∞) 
∫ 𝑒−𝑥²𝑥³𝑑𝑥
∞
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão 
Encontre o comprimento de arco da curva y = cosh(x), desde A(0, 1) até B(𝑙𝑛2,
5
4
). 
NOTA: 
cosh(𝑥) =
1
2
(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥) e Comparco = ∫ √1 + [f ′(x)]²dx
b
a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª Questão 
Encontre o volume do sólido de revolução, gerado quando a região limitada pela curva 
√𝑥 + √𝑦 = 1 
E os eixos coordenados, gira em torno do eixo X. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4ª Questão 
Seja f(x) = ax² + 1, onde “a” é constante positiva. Sabe-se que a área abaixo da curva y = 
f(x), acima do eixo x e limitada lateralmente pelas retas x = 0 e x = 1 é igual a duas 
unidades quadráticas. Qual o valor de “a”? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEUS ama você! 
 
 
 
 
Questões Bônus para 6ª Avaliação... (até 1,0 ponto) 
EXCLUSIVA PARA 1ª CHAMADA 
(DEVE SER ENTREGUE CANETA AZUL OU PRETA E NESTA FOLHA) 
 
1ª. Questão: 
Quando queremos calcular a área da superfície de um sólido de revolução em um 
intervalo [a, b], com f(x) ≥ 0, usamos: 
𝐒 = 𝟐𝛑 ∫ 𝐟(𝐱) ∙ √𝟏 + [𝐟′(𝐱)]²
𝐛
𝐚
𝐝𝐱 
Deduza a área lateral de um CONE CIRCULAR RETO. Como seria procedimento para 
obter a área lateral de um tronco de cone circular reto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão: 
Encontrar a área da região limitada por r = 3cosθ. 
 
Procure visualizar o esboço do gráfico! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Felicidade começa com Fé...