Integrais Múltiplas

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Integrais Múltiplas 
 
Integrais duplas sobre retângulos 
 
Vamos estender a noção de integral definida para funções de duas, ou mais, 
variáveis. Da mesma maneira que a integral definida para uma variável, nos 
fornece a área sob uma curva, as integrais de funções de duas variáveis 
determinam volumes sob “superfícies“. Além disso, também podemos 
calcular áreas usando a integral dupla. 
Vamos primeiro recordar os fatos que dizem respeito à integral de funções 
de uma variável. Assim, se f(x) está definida em um intervalo [a,b], 
começamos dividindo [a,b] em n subintervalos [ xi-1, xi ] de comprimento 
(b-a)/n e escolher pontos amostrais , x*i , nesses subintervalos. 
Desta forma, formamos a soma de Riemann: 
 
 
 
 
 
conforme figura abaixo: 
 
Se tomarmos o limite da soma acima com , vamos obter a definição 
de integral definida da função f em [a,b]: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso especial onde a soma de Riemann pode ser interpretada 
como a soma das áreas dos retângulos aproximantes da figura acima e 
 
 
 
 representa a área sob a curva y = f(x) de a até b. 
 
Integrais duplas e cálculo de volume 
 
De maneira semelhante à ideia de derivada de função de uma variável, 
considere uma função de duas variáveis definida em um retângulo fechado: 
 
E suponhamos inicialmente que . O gráfico desta função é uma 
superfície de equação . 
Seja V o solido que está entre a região R e a superfície do gráfico de S: 
 
conforme figura abaixo: 
 
 
Nosso objetivo é calcular o volume citado acima. 
Primeiro precisamos dividir o retângulo R em sub-retângulos, da mesma 
forma que fizemos com o intervalo [a,b] para calcular a área sob o gráfico 
de uma função de uma variável. 
Fazemos isso, dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [ xi-1, xi ] de 
comprimento (b - a)/m e dividindo o intervalo [c,d] em n subintervalos 
[ yi-1, yi ] de comprimento (d - c)/n . 
Traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelas 
extremidades dos subintervalos, formamos os sub-retângulos: 
 
 onde cada sub-retângulo tem área , como na figura abaixo: 
 
Se escolhemos um ponto amostral 
 
 em cada sub-retângulo , 
então podemos aproximar a parte de S que está acima de cada por um 
paralelepípedo de base e altura 
 
 , como na figura a seguir: 
 
 
 
 
O volume deste paralelepípedo á a base de vezes a altura 
 
 , 
isto é, 
 
 . 
Se repetirmos este processo para todos os e somarmos os respectivos 
volumes dos paralelepípedos, conseguiremos uma aproximação para o 
volume total do sólido em questão, como segue: 
 
A soma dupla acima significa que para cada sub-retângulo calculamos o 
valor da função no ponto amostral, multiplicamos pela área do sub-
retângulo e adicionamos os resultados, como na figura abaixo: 
 
De acordo com a figura, nossa intuição nos diz que quanto mais 
aumentarmos os valores de m e n, os paralelepípedos ficam mais finos, e 
desta forma, o volume V fica mais preciso. Assim, devemos esperar que : 
 
Diante disto, obtemos a seguinte: 
Definição: A integral dupla de uma função f sobre um retângulo R é: 
 
 se o limite acima existir. 
 
Pode-se provar que o ponto amostral 
 
 na expressão acima, pode 
ser qualquer ponto no retângulo . Se tomarmos o ponto , a 
expressão da soma dupla fica mais simples, como abaixo: 
 
Assim, de acordo com as expressões acima, podemos ver que o volume do 
sólido V pode ser determinado como uma integral dupla: 
Se , então o volume V do sólido que está entre o retângulo R e 
a superfície é: 
 
 
 
 
Exemplo: Estime o volume do sólido que está entre o quadrado [0,2] x 
[0,2] e o paraboloide elíptico .Divida R em 4 quadrados 
iguais e escolha o ponto amostral para ser o quanto superior direito de cada 
quadrado . Faça um esboço do sólido e dos paralelepípedos 
aproximantes. 
Solução: 
Segue abaixo o gráfico da região R e da superfície: 
 
 
 
Aproximando o volume acima pela soma de Riemann para m=n=2, temos: 
 
Conseguiremos melhores aproximações para o volume se aumentarmos o 
número de quadrados na região R. Como consequência, teremos um 
número maior de paralelepípedos, cada vez mais finos. 
A figura abaixo mostra tal situação: 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
Caso a função f apresente tanto valores positivos quanto valores negativos 
em R, o limite apresentado NÃO REPRESENTA o volume entre a região R 
e a superfície acima do plano xy, mas sim a diferença de volumes entre 
elas. Desta forma, podemos então generalizar : 
V = 

R
dAyxf ),(
 
“ Se f possui valores positivos e negativos em R, então um valor positivo 
para a integral dupla de f em R significa que há mais volume acima 
que abaixo de R. Um valor negativo indica o contrário e zero indica 
volumes iguais acima e abaixo de R.” 
 
Propriedades : 
 
I ) 
 
RR
dAyxfcdAyxfc ),(.),(.
. 
 
II ) 
 
RRR
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),()],(),([
. 
 
 
III ) Se 

 é a união de duas regiões não-superpostas 
 1 e  2 
 
 
 1 
 
 2  
 
21 RRR
dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f
. 
IV ) Se f(x,y) 

 0 em toda 

, então 

R
dAyxf ),(
 0 . 
 
 
Calculando as integrais duplas para Região 

 retangular 
 
Adotando como Integrais Parciais as integrais 

b
a
dxyxf ),(
 e 

d
c
dyyxf ),(
 em 
relação a x e y, respectivamente, então integramos a primeira integral com 
y fixo e a segunda com x fixo. Vejamos os exemplos: 
 
 
2
y
2
1
.y
0
1
2
x
ydxxydxxy
2
2
2
2
1
0
1
0
22 





 
 
1 ) 
 
33
1
.
0
1
3
31
0
1
0
22 xx
y
xdyyxdyxy 





 
 
 
O processo utilizado acima é chamado Integração Iterada ( ou repetida ),e 
nós usaremos tal processo para calcular as integrais duplas, daí : 
 
 
 
dydxyxfdxdyyxf
d
c
b
a
d
c
b
a
   





 ),(),( 
 
dxdyyxfdydxyxf
b
a
d
c
b
a
d
c
   





 ),(),(
 
 
 
São as Integrais Iteradas. 
 
 
2 ) 
  























    dx1
2
xy4ydx
1
2
2
y
x8ydxdy)xy81(dydx)xy81(
3
0
2
3
0
23
0
2
1
3
0
2
1
 
 
 
       0
3
)xx6(dx)1x12(dxx41x162dx)x41(4.x42 2
3
0
3
0
3
0
 
 
 = ( 6.3
2
 + 3 ) = 54 + 3 = 57 . 
 
 
3 ) Calcule agora você: 
 
2
1
3
0
)81( dxdyxy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Coincidência ? Veja o teorema abaixo : 
 
Teorema de Fubini: Se f(x,y) for contínua no retângulo 
 

 

 

 

 , então: 
   
b
a
d
c
d
c
b
aR
dydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),(
 
 
 
Aplicação do teorema : 
 
Calcule 

R
dAxy 2
 no retângulo 

 = { ( x,y ) : -3 

 x 

 2, 0 

 y 

 1 } . 
 
Resolução : 
 
6
5
)()()(
1
0
2
3
2
10
2
3
2
2
3
1
0
22 





    

dydxxyydxdxydydxxyxdAy
R
 . 
 
4 ) Use a integral dupla para achar o volume do sólido limitado acima 
pelo plano z = 4 – x – y e abaixo pelo retângulo 

 = [ 0,1 ] X [ 0, 2 ] . 
 
 
Resolução : 
 
 
 
 
 
 
 
 
V = 


















    dyxy
x
xdydxyxdxdyyxdAyx
R
2
0
22
0
1
0
2
0
1
0
0
1
2
4)4()4()4(
 
 
 


















  272
2
2
2.7
0
2
22
7
2
7
2
1
4
222
0
2
0
y
ydyydyy
 V = 5 u.v . 
 
z = 4 – x - y Z 
Y 
X 
1 
2 
(1,2) 
 
Exercícios : 
 
 
1 ) Calcule as integrais iteradas : 
 
 a ) 
  
1
0
2
0
dydx)3x(
 b ) 
 


2
1
4
1
2 dydx)yx6x2(
 c ) 
 

3ln
0
2ln
0
yx dydx)e(
 
 
 
 
2 ) Calcule as integrais duplas na região retangular 

 . 
 
 a ) 

R
dAxy 34
; 

 = { ( x, y ) : -1 

 x 

 1, -2 

 y 

 2 } . 
 
 b ) 
 
R
dAxx 21.
; 

 = { ( x, y ) : 0 

 x 

 1, 2 

 y 

 3 } . 
 
 
 
3 ) O volume sob o plano z = 2x + y e acima do retângulo 

 = { ( x, y ) : 3 

 x 

 5, 1 

 y 

 2 }.