EQUAÇÃO DOS 3 MOMENTOS

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CE2 – Estabilidade das Construções II 
EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS 
Equação Geral dos Três Momentos 
A Analogia da Viga Conjugada, que estabelece importantes relações entre as Equações Diferenciais de 
Equilíbrio e de Compatibilidade da Teoria de Flexão de Vigas, foi observada inicialmente por Christian Otto 
Mohr (1835-1918) e também é conhecida por Analogia de Mohr. A partir do uso da Analogia da Viga 
Conjugada pode-se obter os deslocamentos (deflexões e rotações) de vigas hiperestáticas. 
A Equação dos Três Momentos foi deduzida, por Analogia de Mohr, pelos engenheiros franceses 
Clapeyron (1857) e Bertot (1855) para aplicações em cálculo estrutural em pontes. Equação dos Três 
Momentos é utilizada para a determinação dos momentos fletores solicitantes nos apoios internos das 
vigas contínuas (hiperestática). Sua dedução é baseada nas condições de compatibilidade de rotações nos 
múltiplos apoios de vigas contínuas no regime elástico. A Equação dos Três Momentos é escrita: 
  E
I
L
M
I
L
I
L
M
I
L
M
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i 62
dir
i
esq
i
1
1
1
1
1
1 











 
 
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
 
EXERCÍCIO 1 Utilizando a Equação dos Três Momentos, determinar para a viga contínua de seção 
transversal constante esquematizada na Figura 1: 
a) o momento fletor no Ponto B; 
b) o momento fletor no meio do vão BC; 
c) a força cortante à esquerda do Ponto B; 
d) a reação de apoio no Ponto C. 
 
Figura 1 Viga contínua de quatro tramos 
Resolução: 
1ª Equação dos Três Momentos: 
Para o caso de uma carga concentrada, as rotações são obtidas da Tabela de Deflexões em Vigas. 
 
B A 
C 
D E 
B A 
C 
 
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  6
146
)514(51
0181814214
22
CBA 


















 MMM
 
Como: M A = 0 (momento de extremidade) 
14
855
1864 CB  MM
 (1) 
2ª Equação dos Três Momentos: 
 
   00101018218 DCB  MMM
 
0105618 DCB  MMM
 (2) 
3ª Equação dos Três Momentos: 
 
   008810210 EDC  MMM
 
Como: M E = 0 (momento de extremidade) 
03610 DC  MM
 (3) 
Resolvendo-se o Sistema de Equações Lineares, chega-se a: 
kNm055,1B M
; 
kNm357,0C M
; 
kNm099,0D M
. 
 
 
 
 
 
B C D 
C D E 
Diagrama de Momentos Fletores (kNm) 
 
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Respostas: 
a) 
kNm055,1B M
 
b) 
kNm349,0S M
 
c) 
kNm432,0esqB V
 
d) 
kNm124,0C R
 
 
EXERCÍCIO 2 (S1-17/06/2013 noturno) Determinar o valor da carga uniformemente distribuída p 
que atenda o diagrama de momentos fletores, indicado na Figura 2. Neste caso, qual o máximo 
momento fletor atuante na viga? 
 
 
 Figura 2 Viga contínua de dois tramos 
 
EXERCÍCIO 3 Determinar o diagrama de momentos fletores, indicado na Figura 2. Neste caso, qual 
o máximo momento fletor atuante na viga? 
 
 
10 kN/m
6m 
M 75 kN mLIM .
2EI
10m 
p (kN/m)
EI
Diagrama de Forças Cortantes (kN) 
5m 3m 3m 8m 
 
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PROBLEMAS COMPLEMENTARES 
Problema 1 Determinar os momentos nos apoios internos (hiperestáticos) da viga contínua 
indicada a seguir. Dados: módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal quadrada de 
lado 200 mm. 
 
 
 
Problema 2 Determinar os momentos nos apoios internos (hiperestáticos) da viga contínua 
indicada a seguir. Dados: módulo de elasticidade E=100 GPa para o primeiro tramo, E=200 GPa 
para o segundo tramo e seção transversal quadrada de lado 200 mm. 
 
 
6m 6m 
6m, I 6m, 2I 
 
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Problema 3 Determinar os momentos nos apoios internos (hiperestáticos) da viga contínua 
indicada a seguir. Dados: módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal quadrada de 
lado 200 mm. 
 
 
 
Problema 4 Determinar os momentos nos apoios internos (hiperestáticos) da viga contínua 
indicada a seguir. Dados: módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal quadrada de 
lado 200 mm. 
 
 
 
6m 6m 
6m 6m 6m 
 
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Problema 5 Determinar os momentos nos apoios internos (hiperestáticos) da viga contínua 
indicada a seguir. Dados: módulo de elasticidade E=100 GPa para o primeiro tramo, E=200 GPa 
para o segundo tramo e seção transversal quadrada de lado 200 mm. 
 
 
 
Problema 6 Determinar os momentos nos apoios internos (hiperestáticos) da viga contínua 
indicada a seguir. Dados: módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal quadrada de 
lado 200 mm. 
 
 
 
 
6m, I 6m, I 6m, 2I 
6m, I 8m, I 6m, I 
 
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Problema 7 Determinar os momentos nos apoios internos (hiperestáticos) da viga contínua 
indicada a seguir. Dados: módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal quadrada de 
lado 200 mm. 
 
 
Problema 8 Determinar os momentos nos apoios internos (hiperestáticos) da viga contínua 
indicada a seguir. Dados: módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal quadrada de 
lado 200 mm. 
 
 
 
 
6m, I 8m, I 6m, I 
6m, I 8m, I 
 
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Problema 9 Determinar os momentos nos apoios internos (hiperestáticos) da viga contínua 
indicada a seguir. Dados: módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal quadrada de 
lado 200 mm. 
 
 
 
 
Problema 10 Determinar os momentos nos apoios internos (hiperestáticos) da viga contínua 
indicada a seguir. Dados: módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal quadrada de 
lado 200 mm. 
 
 
 
 
 
 
6m, I 6m, I 
6m, I 6m, I 
 
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Problema 11 Determinar os momentos nos apoios internos (hiperestáticos) da viga contínua 
indicada a seguir. Dados: módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal quadrada de 
lado 200 mm. 
 
 
 
 
 
 
Problema 12 Determinar os momentos nos apoios internos (hiperestáticos) da viga contínua 
indicada a seguir. Dados: módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal quadrada de 
lado 200 mm. 
 
 
 
 
6m, I 6m, I 
6m, I 6m, I