MÉTODO DE CROSS

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CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
 
① EFEITO DO VENTO NAS EDIFICAÇÕES 
 (OBS: SOMENTE DEFORMAÇÃO DEVIDA À FLEXÃO) 
 
 
② EFEITO DO EMPUXO NAS EDIFICAÇÕES 
 (SOMENTE DEFORMAÇÃO DEVIDA À FLEXÃO) 
 
 COEFICIENTE DE RIGIDEZ COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO 
 
engastadonópara,4
apoiadonópara,3
j
L
EI
j
L
EI
kij = 
 
 
EI EI 
EI 
EI EI 
EI 
sendo n o número de barras 
que convergem no nó i 
,
1
∑
=
=γ n
m
im
ij
ij
k
k
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CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
 
③ EFEITO DAS CARGAS PERMANENTES NAS EDIFICAÇÕES 
 (OBS: SOMENTE DEFORMAÇÃO DEVIDA À FLEXÃO) 
 
 
④ EFEITO DA COMBINAÇÃO DAS AÇÕES NAS EDIFICAÇÕES 
 (OBS: SOMENTE DEFORMAÇÃO DEVIDA À FLEXÃO) 
 
 
EI EI 
EI 
EI EI 
EI 
13/agosto/2017 Página 2/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
 
⑤ INFLUÊNCIA DO TIPO DE APOIO NAS EDIFICAÇÕES 
 (OBS: SOMENTE DEFORMAÇÃO DEVIDA À FLEXÃO) 
 
⑥ INFLUÊNCIA DO TIPO DE APOIO NAS EDIFICAÇÕES 
 (OBS: SOMENTE DEFORMAÇÃO DEVIDA À FLEXÃO) 
 
 
SAPATA 
BASE RÍGIDA 
EI 
EI EI 
EI 
EI EI 
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CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
 
⑦ INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ DO PILAR NAS EDIFICAÇÕES 
 (OBS: SOMENTE DEFORMAÇÃO DEVIDA À FLEXÃO) 
 
⑧ INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ DO PILAR NAS EDIFICAÇÕES 
 (OBS: SOMENTE DEFORMAÇÃO DEVIDA À FLEXÃO) 
 
 
 
10 EI 
2 EI 
EI EI 
EI EI 
13/agosto/2017 Página 4/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
 
⑨ INFLUÊNCIA DE PILARES INCLINADOS NAS EDIFICAÇÕES 
 (OBS: SOMENTE DEFORMAÇÃO DEVIDA À FLEXÃO) 
 
 
⑩ INFLUÊNCIA DE PILARES CONVERGENTES NAS EDIFICAÇÕES 
 (OBS: SOMENTE DEFORMAÇÃO DEVIDA À FLEXÃO) 
 
 
EI 
EI EI 
EI 
EI 
EI EI 
EI 
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CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
 
⑪ INFLUÊNCIA DE APOIOS ELÁSTICOS NAS EDIFICAÇÕES 
 (OBS: SOMENTE DEFORMAÇÃO DEVIDA À FLEXÃO) 
 
Dados: Módulo de elasticidade do concreto E=30 GPa 
Seção transversal retangular 20x60 cm2 
Rigidez à flexão EI=108000kN.m2 (todas as barras) 
⑫ INFLUÊNCIA DE APOIOS ELÁSTICOS NAS EDIFICAÇÕES 
 (OBS: SOMENTE DEFORMAÇÃO DEVIDA À FLEXÃO) 
 
Dados: Módulo de elasticidade do concreto E=30 GPa 
Seção transversal retangular 20x60 cm2 
Rigidez à flexão EI=108000kN.m2 (todas as barras) 
 
BLOCO (vínculo elástico) 
 
EI 
EI EI 
EI 
EI EI 
BLOCO (vínculo elástico) 
EI 
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CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
GABARITO 
① 1a) Travamento dos Nós Internos 
 
1b) Coeficientes de Rigidez 
5
3
12
EIk = 
4
4
13
EIk = 
6
4
14
EIk = 
1c) Coeficientes de Distribuição de Momentos 
26,0
6
4
4
4
5
3
5
3
12 =





 ++
=
EIEIEI
EI
γ 45,0
6
4
4
4
5
3
4
4
13 =





 ++
=
EIEIEI
EI
γ 29,0
6
4
4
4
5
3
6
4
14 =





 ++
=
EIEIEI
EI
γ 
 
 
1d) Momentos de Engastamento Perfeito 
 (ação dos nós sobre a barra) 
 
 
1
2 3
4
5m
,EI
4m
,E
I
6m,EI
1
2 3
4
0,2
6
0,29
0,4
5
1
2 3
4
α cos 0,8α=
sen 0,6α=1,2 kN/m
α : ângulo de inclinação de barra em relação
 ao plano perpendicular ao carregamento 
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MÉTODO DE CROSS 
 
 
1e) Momentos de Partida (ação das barras sobre os nós) 
 
 
 
1f) Processo de Cross 
 
 
α
0,96 kN/m
0,7
2 k
N/
m
0,96 kN/m
5m
pl
8
2
= + 3 kNm 
(GRINTER)
0
0,2
6
0,29
0,
45
−3,00
0,00
0,2
6
0,29
0,4
5
−3,00
+0,78 +1,35
+0,87
+0,68
t 0,5=
t 0=
t 0,5=
+0,44
+0,00
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CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
 
 
1g) Momentos nas Extremidades das Barras (ação dos nós sobre as barras) 
 
 
1h) Deacoplamento em Trechos Isostáticos 
 
 
 
0,2
6
0,29
0,4
5
−2,22
+1,35
+0,87
+0,68
+0,44
0,00
+2,22
−1,35
−0,87
−0,68
−0,44
0,00
1,35kNm
0,87kNm
0,68kNm
0,44kNm
2,22kNm
0,96 kN/m
5m
1,96 kN
2,84 kN
4m
6m
0,51 kN
0,51 kN
0,22 kN 0,22 kN
13/agosto/2017 Página 9/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
1i) Diagrama de Momentos Fletores (FTOOL) 
 
1j) Diagrama de Forças Cortantes (FTOOL) 
 
 
 
13/agosto/2017 Página 10/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
② 2a) Travamento dos Nós Internos 
 
2b) Coeficientes de Rigidez 
5
3
12
EIk = 
4
4
13
EIk = 
6
4
14
EIk = 
2c) Coeficientes de Distribuição de Momentos 
26,0
6
4
4
4
5
3
5
3
12 =





 ++
=
EIEIEI
EI
γ 45,0
6
4
4
4
5
3
4
4
13 =





 ++
=
EIEIEI
EI
γ 29,0
6
4
4
4
5
3
6
4
14 =





 ++
=
EIEIEI
EI
γ 
 
2d) Momentos de Engastamento Perfeito 
 (ação dos nós sobre a barra) 
 
1
2 3
4
5m
,EI
4m
,E
I
6m,EI
1
2 3
4
0,2
6
0,29
0,4
5
2 kN/m
5m
pL
 8
2
=+6,25 kNm
(GRINTER)
0
13/agosto/2017 Página 11/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
2e) Momentos de Partida (ação das barras sobre os nós) 
 
 
 
2f) Processo de Cross 
 
 
 
 
2g) Momentos nas extremidades das barras (ação dos nós sobre as barras) 
 
0,2
6
0,29
0,4
5
−6,25
0,2
6
0,29
0,4
5
−6,25
+1,63 +2,81
+1,81
+1,41
t 0,5=
t 0=
t 0,5=
+0,91
+0,00
0,2
6
0,29
0,4
5
−4,62
+2,81
+1,81
+1,41
+0,91
0,00
+4,62
−2,81
−1,81
−1,41
−0,910,00
13/agosto/2017 Página 12/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
2h) Desacoplamento em Trechos Isostáticos 
 
 
2i) Diagrama de Momentos Fletores (FTOOL) 
 
2j) Diagrama de Forças Cortantes (FTOOL) 
 
 
 
 
2,81kNm
1,81kNm
1,41kNm
0,91kNm
4,62kNm
2 kN/m
5m
4,08 kN
5,92 kN
1,06 kN
1,06 kN
0,45 kN 0,45 kN
4m
6m
13/agosto/2017 Página 13/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
③ 3a) Travamento dos Nós Internos 
 
3b) Coeficientes de Rigidez 
5
3
12
EIk = 
4
4
13
EIk = 
6
4
14
EIk = 
3c) Coeficientes de Distribuição de Momentos 
26,0
6
4
4
4
5
3
5
3
12 =





 ++
=
EIEIEI
EI
γ 45,0
6
4
4
4
5
3
4
4
13 =





 ++
=
EIEIEI
EI
γ 29,0
6
4
4
4
5
3
6
4
14 =





 ++
=
EIEIEI
EI
γ 
 
3d) Momentos de Engastamento Perfeito (ação dos nós sobre a barra) 
 
1
2 3
4
5m
,EI
4m
,E
I
6m,EI
1
2 3
4
0,2
6
0,29
0,4
5
1
2 3
4
α
cos 0,6α=
sen 0,8α=
α: ângulo de inclinação da barra em relação
 ao plano perpendicular ao carregamento
10 kN/m
13/agosto/2017 Página 14/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
 
 
 
 
3e) Momentos de Partida (ação das barras sobre os nós) 
 
 
 
3f) Processo de Cross 
 
6 kN/m
8 k
N/
m
6 kN/m
5m
pL
 8
2
=+18,75 kNm
(GRINTER)
0
0,2
6
0,29
0,4
5
−18,75
0,2
6
0,29
0,4
5
−18,75
+4,88 +8,44
+5,44
+4,22
t 0,5=
t 0=
t 0,5=
+2,72
+0,00
13/agosto/2017 Página 15/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
 
 
 
3g) Momentos nas extremidades das barras (ação dos nós sobre as barras) 
 
3h) Desacoplamento em Trechos Isostáticos 
 
 
0,2
6
0,29
0,4
5
−13,87
+8,44
+5,44
+4,22
+2,72
0,00
+13,87
−8,44
−5,44
−4,22
−2,72
0,00
8,44kNm
5,44kNm
4,22kNm
2,72kNm
13,87kNm
6 kN/m
5m
12,23 kN
17,77 kN
3,17 kN
3,17 kN
1,36 kN 1,36 kN
4m
6m
13/agosto/2017 Página 16/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
3i) Diagrama de Momentos Fletores (FTOOL) 
 
3j) Diagrama de Forças Cortantes (FTOOL) 
 
 
 
 
13/agosto/2017 Página 17/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
④ 
 
4i) Diagrama de Momentos Fletores (FTOOL) 
 
4j) Diagrama de Forças Cortantes (FTOOL) 
 
EI EI 
EI 
13/agosto/2017 Página 18/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
 
⑤ 
 
5i) Diagrama de Momentos Fletores (FTOOL) 
 
5j) Diagrama de Forças Cortantes (FTOOL) 
 
 
SAPATA 
EI 
EI EI 
13/agosto/2017 Página 19/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
⑥ 
 
6i) Diagrama de Momentos Fletores (FTOOL) 
 
6j) Diagrama de Forças Cortantes (FTOOL) 
 
BASE RÍGIDA 
EI 
EI EI 
13/agosto/2017 Página 20/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
⑦ 
 
7i) Diagrama de Momentos Fletores (FTOOL) 
 
7j) Diagrama de Forças Cortantes (FTOOL) 
 
2 EI 
EI EI 
13/agosto/2017 Página 21/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
⑧ 
 
8i) Diagrama de Momentos Fletores (FTOOL) 
 
8j) Diagrama de Forças Cortantes (FTOOL) 
 
 
10 EI 
EI EI 
13/agosto/2017 Página 22/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
⑨ 
 
9i) Diagrama de Momentos Fletores (FTOOL) 
 
9j) Diagrama de Forças Cortantes (FTOOL) 
 
EI 
EI EI 
EI 
13/agosto/2017 Página 23/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
⑩ 10a) Travamento dos Nós Internos 
 
10b) Coeficientes de Rigidez 
Nó 1: 
3
4
12
EIk = 
4
4
13
EIk = 
6
4
14
EIk = 
Nó 2: 
3
4
21
EIk = 
5
4
23
EIk = 
10c) Coeficientes de Distribuição de Momentos 
Nó 1: 
45,0
6
4
4
4
3
4
3
4
12 ≈





 ++
=
EIEIEI
EI
γ 33,0
6
4
4
4
3
4
4
4
13 =





 ++
=
EIEIEI
EI
γ 22,0
6
4
4
4
3
4
6
4
14 =





 ++
=
EIEIEI
EI
γ 
Nó 2: 
62,0
5
4
3
4
3
4
21 =





 +
=
EIEI
EI
γ 38,0
5
4
3
4
5
4
23 =





 +
=
EIEI
EI
γ 
 
10d) Momentos de Engastamento Perfeito (ação dos nós sobre a barra) 
 
 
12
3
4
5m,EI
4m
,E
I
6m,EI3m,EI
12
3
4
5m
4m
6m3m
pL
 12
2
=+30,0 kNm
(GRINTER)
10 kN/m 10 kN/m
+7,5 −30
pL
 12
2
=−7,5 kNm
(GRINTER)
13/agosto/2017 Página 24/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
 
10e) Momentos de Partida (ação das barras sobre os nós) 
 
 
 
10f) Processo de Cross 
1ª Iteração: equilíbrio do NÓ 1 
 
2ª Iteração: equilíbrio do NÓ 2 
 
12
3
4
4m
0,45 0,22
0,
33
0,62
0,38
+7,5 −7,5 +30,0 −30,0
12
3
4
5m
4m
6m3m
0,45 0,22
0,
33
0,62
0,38
+7,5 −7,5 +30,0 −30,0
−10,1 −5,0−5,1
t=0,5
−7,4
−3,7
t=0,5
t=0,5 −2,5
12
3
4
0,45 0,22
0,
33
0,62
0,38
+7,5 −7,5 +30,0 −30,0
−10,1 −5,0−5,1
t=0,5
−7,4
−3,7
t=0,5
t=0,5 −2,5
−1,5 −0,7
−0,9
−0,5
t=0,5
13/agosto/2017 Página 25/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
3ª Iteração: reequilíbrio do NÓ 1 
 
 
10g) Momentos nas extremidades das barras (ação dos nós sobre as barras) 
 
 
10h) Desacoplamento emTrechos Isostáticos 
 
 
 
12
3
4
0,45 0,22
0,
33
0,62
0,38
+7,5 −7,5 +30,0 −30,0
−10,1 −5,0−5,1
t=0,5
−7,4
−3,7
t=0,5
t=0,5 −2,5
−1,5 −0,7
−0,9
−0,5
t=0,5
+0,3+0,2
+0,2
+0,1
+0,2 +0,1
12
3
4
0,45 0,22
0,
33
0,62
0,38
+1,1 −18,0 +25,2 −32,4
−7,2
−0,9
3−0,5
−3,6
13/agosto/2017 Página 26/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
10i) Diagrama de Momentos Fletores (FTOOL) 
 
10j) Diagrama de Forças Cortantes (FTOOL) 
 
 
 
13/agosto/2017 Página 27/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
 ⑪ 
 
11i) Diagrama de Momentos Fletores (FTOOL) 
 
11j) Diagrama de Forças Cortantes (FTOOL) 
 
BLOCO (vínculo elástico) 
EI 
EI EI 
13/agosto/2017 Página 28/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
⑫ 
 
12i) Diagrama de Momentos Fletores (FTOOL) 
 
12j) Diagrama de Forças Cortantes (FTOOL) 
 
EI 
EI EI 
EI 
BLOCO (vínculo elástico) 
13/agosto/2017 Página 29/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
DIAGRAMAS DE FORÇAS NORMAIS (kN) 
(OBS: NÃO CONTEMPLADO PELO MÉTODO DE CROSS POIS É CARACTERIZADO UM PROBLEMA 
HIPERESTÁTICO EM QUE SE CONSIDERA A ENERGIA DE DEFORMAÇÃO DEVIDA À FORÇA NORMAL E 
PODE SER RESOLVIDO PELO TEOREMA DE MENABREA-CASTIGLIANO) 
① 
 
② 
 
③ 
 
 
13/agosto/2017 Página 30/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
 
④ 
 
 
⑤ 
 
 
⑥ 
 
 
13/agosto/2017 Página 31/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
 
⑦ 
 
 
⑧ 
 
 
⑨ 
 
13/agosto/2017 Página 32/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
 
⑩ 
 
 
⑪ 
 
 
⑫ 
 
 
 
 
13/agosto/2017 Página 33/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
CONFIGURAÇÃO DEFORMADA E REAÇÕES DE APOIO (kN) 
(OBS: NÃO CONTEMPLADAS PELO MÉTODO DE CROSS) 
① 
 
② 
 
③ 
 
13/agosto/2017 Página 34/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
④ 
 
 
⑤ 
 
 
⑥ 
 
13/agosto/2017 Página 35/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
 
⑦ 
 
⑧ 
 
⑨ 
 
 
 
 
13/agosto/2017 Página 36/37 
 
 
CE2 – Estabilidade das Construções II 
MÉTODO DE CROSS 
 
 
⑩ 
 
 
⑪ 
 
 
⑫ 
 
 
13/agosto/2017 Página 37/37