LINHA ELÁSTICA

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CE2 – Estabilidade das Construções II
TEORIA DA EQUAÇÃO LINHA ELÁSTICA 
 
1 TEORIA DA FLEXÃO DE VIGAS (FLEXÃO PURA) 
1.1 Equações de Equilíbrio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                   
A
x 0dA  
                   
A
x 0dAz       (1) 
                
A
x MydA  
 
 
1.2 Equação Constitutiva 
 
                xx E        (2) 
 
   
E=tan
 

material elástico‐linear
E=tan
 

material elasto‐plástico
E=tan



material elasto‐frágil
y
z
x
z
y
xdA
xdA
xy=0
xz=0 x
x
y
z
 yz
zx
xy
y
z x
TENSÕES TANGENCIAIS
(CISALHAMENTO)TENSÕES NORMAIS
y
z x
M M
y
z
x
M
COMPONENTES DO TENSOR DAS TENSÕES 
 
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TEORIA DA EQUAÇÃO LINHA ELÁSTICA 
 
1.3 Equação de Compatibilidade 
 Comprimento das fibras na configuração indeformada 
       ρθL0   
 Comprimento da fibra genérica B’B’ na configuração deformada 
       θy)ρ(Lf   
 Deformação da fibra genérica B’B’: 
       ρ
y
ρθ
ρθθy)ρ(
L
LL
0
0f
x
  
       ρ
cmáx       (3) 
 
Introduzindo‐se (4) em (2): 
 
   
A’
B’
A’
B’
A
B
A
B


x
y
z
y
A
B
y
c
c
SEÇÃO TRANSVERSAL
SEÇÃO LONGITUDINAL
)4(
c
y máx
x  
)5(
c
y máx
x  
 
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e se substituindo (5) em (1), tem‐se: 
  

 
A
máx 0dA
c
y   
                   
A
máx
0dA
c
y        
 
Momento Estático somente é nulo se tomado em relação aos EIXOS CENTROÍDAIS. 
 
 
 
Analogamente para as demais equações tem‐se, respectivamente: 
 
  

 
A
máx 0dAz
c
y   
                
A
máx
0dAzy
c
  
 
Produto de Inércia somente é nulo se o PLANO DE FLEXÃO FOR UM EIXO DE SIMETRIA. 
 
 
 
 
 
 
 
z
y
z z z z
z
y y y y y
z z z z z z
y
y
y
y
y
y
z
y
z z z z
y y y y y
z z z
y
y
y y
 
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  

 
A
máx MdAy
c
y   
                    
A
2
máx
MdAy
c
  
 
Momento de Inércia calculado em relação ao EIXO CENTROIDAL  Z e a seção transversal deve 
ser obrigatoriamente SIMÉTRICA EM RELAÇÃO AO EIXO Y, contido no plano de flexão. 
 
I
Mcmáx      (6) 
ou seja: 
 
 
W
Mmáx       
sendo WI/c o módulo de resistência da seção em relação ao eixo z 
Finalmente, introduzindo‐se (2) em (3): 
ρ
Ecmáx     (7) 
E, em seguida, igualando‐se (6) e (7), chega‐se a: 
    
EI
M
ρ
1       (8) 
que corresponde à relação MOMENTO‐CURVATURA. 
2 TEORIA DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA 
A curvatura de uma curva plana em um ponto P(x,y) pode ser expressa como: 
2/32
2
2
dx
dy1
dx
yd
ρ
1







   (9) 
onde  dy/dx  e  d2y/dx2  são,  respectivamente,  a  primeira  e  a  segunda  derivadas  da  função  y(x) 
representada  por  aquela  curva  (BEER,  2015).  Para  o  CAMPO DOS  PEQUENOS DESLOCAMENTOS,  no 
caso da linha elástica de uma viga, a rotação dy/dx é muito pequena, e seu quadrado é desprezível em 
relação à unidade.  
Assim, pode‐se escrever que:  2
2
dx
yd
ρ
1   
EI
M(x)
dx
(x)d
2
2
    (10) 
sendo (x) a EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA.  
 
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3 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
EXERCÍCIO 3.1 Determine a flecha e a rotação na extremidade livre da viga em balanço, esquematizada 
abaixo. Considere o produto EI constante. 
 
RESOLUÇÃO 
Função momento fletor 
 
Relação Momento‐Curvatura 
PxM(x)
dx
(x)d
EI 2
2
                         (1) 
  1
2
C
2
Px(x)EI
dx
(x)dEI              (2)    
pois 
dx'
(x)d
dx
'
dx'
(x)d
dx
(x)d   dx  
21
3
CxC
6
Px
(x)EI                  (3) 
Condições de contorno 
 
Constantes de integração 
(5) em (2): 
2
2
1
PLC       (6) 
(4) em (3): 
P
L,EI
P
x
M(x) Px
P
L,EI
x=L
   
         (L)=0   (4)              (L)=0   (5)            
 
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3
3
2
PLC    (7) 
Função rotação 
(6) em (2): 
  
EI2
PL
EI2
Px(x)
22
  
Função da linha elástica 
(6) e (7) em (3): 
EI3EI2EI6
Px
(x)
323 PLxPL   
Deslocamentos finais (deflexão e rotação) 
 
EXERCÍCIO 3.2 Determine a flecha e a rotação na extremidade livre da viga em balanço, esquematizada 
abaixo. Considere o produto EI constante. 
 
RESOLUÇÃO 
Função momento fletor 
 
Relação Momento‐Curvatura 
MM(x)
dx
(x)dEI 2
2
                        (1) 
  1CMx(x)EIdx
(x)dEI            (2) 
pois 
dx'
(x)d
dx
'
dx'
(x)d
dx
(x)d   dx  
21
2
CxC
2
Mx(x)EI               (3) 
P
L,EI
 PL3EI
3
 PL2EI
2
L,EI
M
x
M(x) M
M
 
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Condições de contorno 
 
Constantes de integração 
(5) em (2): 
ML1 C      (6) 
(4) em (3): 
2
ML2
2
C   (7) 
Função rotação 
(6) em (2): 
EI
ML
EI
Mx(x)   
Função da linha elástica 
(6) e (7) em (3): 
2EI
ML
EI
ML
EI2
Mx(x)
22
 x  
Deslocamentos finais (deflexão e rotação) 
 
EXERCÍCIO 3.3 Determine a flecha e a rotação na extremidade livre da viga em balanço, esquematizada 
abaixo. Considere o produto EI constante. 
 
   
L,EI
M
x=L
   
         (L)=0   (4)              (L)=0   (5)            
L,EI
ML2EI
2
MLEI
M
p
L,EI
 
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RESOLUÇÃO 
Função momento fletor 
 
Relação Momento‐Curvatura 
2
pxM(x)
dx
(x)dEI
2
2
2
                         (1) 
  1
3
C
6
px(x)EI
dx
(x)dEI                   (2)    
pois 
dx'
(x)d
dx
'
dx'
(x)d
dx
(x)d   dx  
21
4
CxC
24
px(x)EI                      (3) 
Condições de contorno 
 
Constantes de integração 
(5) em (2): 
6
pL3
1 C      (6) 
(4) em (3): 
8
4
2
PLC    (7) 
Função rotação 
(6) em (2): 
  
EI6
pL
EI6
px(x)
33
  
 
x
M(x) px2
2 p
p
L,EIx=L
   
         (L)=0   (4)              (L)=0   (5)            
 
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Função da linha elástica 
(6) e (7) em (3): 
EI8
pL
EI6
xpL
EI24
px(x)
434
  
Deslocamentos finais (deflexão e rotação) 
 
EXERCÍCIO 3.4 Determine a flecha e a rotação na extremidade livre da viga em balanço, esquematizada 
abaixo. Considere o produto EI constante. 
 
RESOLUÇÃO 
Função momento fletor 
 
Relação Momento‐Curvatura 
6L
wxM(x)
dx
(x)dEI
3
2
2
                         (1) 
  1
4
C
L24
wx(x)EI
dx
(x)dEI                  (2)    
pois 
dx'
(x)d
dx
'
dx'
(x)d
dx
(x)d   dx  
21
5
CxC
L120
w(x)EI  x                     (3) 
   
L,EI
 pL8EI
4
 pL6EI
3
p
w
L,EI
x
M(x) wx6L
3
 
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Condições de contorno 
 
Constantes de integração 
(5) em (2): 
24
wLC
3
1       (6) 
(4) em (3): 
30
wLC
4
2    (7) 
Função rotação 
(6) em (2): 
  
EI24
wL
24EIL
wx(x)
34
  
 
Função da linha elástica 
(6) e (7) em (3): 
EI30
wL
EI24
xwL
EIL120
w(x)
435
 x  
 
 
Deslocamentos finais (deflexão e rotação) 
 
 
 
 
   
x=L
   
          (L)=0   (4)              (L)=0   (5)            
w
L,EI
w
L,EI
 wL30EI
4
 wL24EI
3
 
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EXERCÍCIO 3.5 Determine a flecha e as rotações nos apoios da viga simplesmente apoiada, 
esquematizada abaixo. Considere o produto EI constante. 
 
RESOLUÇÃO 
Função momento fletor 
 
Relação Momento‐Curvatura 
2
px
2
pLx
M(x)
dx
(x)d
EI
2
2
2
                         (1) 
  1
32
C
6
px
4
pLx
(x)EI
dx
(x)d
EI            (2)    
21
43
CxC
24
px
12
pLx
(x)EI                   (3) 
Condições de contorno 
 
Constantes de integração 
(4) em (3): 
02 C           (6) 
(5) em (3): 
24
pL3
1
C   (7) 
   
p
L,EI
p
x
pL
2
p
L,EI
x=0
   
         
(0)=0   (4)   
x=L
   
         (L)=0   (5)              
 
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Função rotação 
(7) em (2): 
  
EI24
pL
EI6
px
EI4
pLx(x)
332
  
 
Função da linha elástica 
(6) e (7) em (3): 
EI24
xpL
EI24
px
EI12
pLx
(x)
343
  
Deslocamentos finais (deflexão e rotação) 
 
EXERCÍCIO 3.6 Determine a flecha e as rotações nos apoios da viga simplesmente apoiada, 
esquematizada abaixo. Considere o produto EI constante. 
 
 
RESOLUÇÃO 
Função momento fletor 
 
Relação Momento‐Curvatura 
x
L
MM(x)
dx
(x)dEI 2
2
                       (1) 
  1
2
C
2L
Mx
(x)EI
dx
(x)d
EI             (2)    
21
3
CxC
6L
Mx
(x)EI                  (3) 
 
p
L,EI
  L24EI
3
A
p  B pL24EI
3 pL384EI
45
L,EI
M
x
M
L
 
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Condições de contorno 
 
Constantes de integração 
(4) em (3): 
02 C      (6) 
(5) em (3): 
6
ML
C1    (7) 
Função rotação 
(7) em (2): 
  
6EI
ML
2LEI
Mx
(x)
2
  
Função da linha elástica 
(6) e (7) em (3): 
6EI
MLx
6LEI
Mx
(x)
3
  
A flecha ocorre na posição onde a rotação é nula, ou seja: 
3
L3
x0
6EI
ML
2LEI
Mx máx
2
   
e se substituindo na equação da linha elástica, obtém‐se: 
EI27
ML3 2máx   
Deslocamentos finais (deflexão e rotação) 
 
L,EI
M
x=0
   
         
(0)=0   (4)   
x=L
   
         (L)=0   (5)              
L,EI
M
  6EIA ML   3EIB ML
 ML27EI
2 3x
L
3
máx 3
 
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EXERCÍCIO 3.7 Determine os esforços reativos nos apoios (forças e momentos) e a flecha da viga 
hiperestática bi‐engastada, esquematizada abaixo. Considere o produto EI constante. 
 
RESOLUÇÃO 
Função momento fletor 
 
Relação Momento‐Curvatura 
M
2
xpxVM(x)
dx
(x)dEI
2
2
2
                        (1) 
1
32
CxM
6
p
2
xV(x)EI
dx
(x)dEI  x     (2) 
21
243
CxC
2
xM
24
xp
6
xV(x)EI         (3) 
Condições de contorno 
 
Esforços finais e flecha 
 
 
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EXERCÍCIO 3.8 Determine os esforços reativos nos apoios (forças e momentos) e a flecha da viga 
hiperestática engastada‐apoiada, esquematizada abaixo. Considere o produto EI constante. 
 
RESOLUÇÃO 
Função momento fletor 
 
Relação Momento‐Curvatura 
2
xp
xVM(x)
dx
(x)d
EI
2
2
2                          (1) 
  1
32
C
6
p
2
xV
(x)EI
dx
(x)d
EI  x          (2) 
21
43
CxC
24
xp
6
xV(x)EI                  (3) 
Condições de contorno 
 
Esforços finais 
 
p
L,EI
 
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TEORIA DA EQUAÇÃO LINHA ELÁSTICA 
 
EXERCÍCIO 3.9 Determine os esforços reativos nos apoios (forças e momentos) e a flecha da viga 
hiperestática bi‐engastada, esquematizada abaixo. Considere o produto EI constante. 
 
RESOLUÇÃO 
Função momento fletor 
 
Relação Momento‐Curvatura 
M
L6
xp
xVM(x)
dx
(x)d
EI
3
2
2
                            (1) 
  1
42
CxM
L24
p
2
xV
(x)EI
dx
(x)d
EI  x         (2) 
21
253
CxC
2
xM
120L
xp
6
xV
(x)EI              (3) 
Condições de contorno 
 
Esforços finais 
 
 
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TEORIA DA EQUAÇÃO LINHA ELÁSTICA 
 
EXERCÍCIO 3.10 Determine os esforços reativos nos apoios (forças e momentos) da viga hiperestática bi‐
engastada com deslocamento translacional unitário prescrito no apoio esquerdo, conforme 
esquematizado abaixo. Considere o produto EI constante. 
 
RESOLUÇÃO 
Função momento fletor 
 
Relação Momento‐Curvatura 
MxVM(x)
dx
(x)d
EI 2
2
                          (1) 
1
2
CxM
2
xV(x)EI
dx
(x)d
EI         (2) 
21
23
CxC
2
xM
6
xV
(x)EI           (3) 
Condições de contorno 
 
Esforços finais 
 
 
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EXERCÍCIO  3.11  Determine  a  flecha  e  as  rotações  nos  apoios  da  viga  simplesmente  apoiada, 
esquematizada abaixo. Considere o produto EI constante. 
 
RESOLUÇÃO 
Função momento fletor 
 
Relação Momento‐Curvatura 
L6
xp
xVM(x)
dx
(x)d
EI
3
2
2                           (1) 
1
42
C
L24
p
2
xV
(x)EI
dx
(x)d
EI  x           (2) 
21
53
CxC
120L
xp
6
xV
(x)EI                   (3) 
Condições de contorno 
 
Esforços finais 
 
 
p
L,EI
 
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TEORIA DA EQUAÇÃO LINHA ELÁSTICA 
 
EXERCÍCIO 3.12 Determine os deslocamentos (horizontal, vertical e rotação) no ponto de aplicação da 
carga  da  estrutura  poligonal  em  balanço,  apresentada  abaixo.  Verifique  o  estado  limite  para 
deslocamentos  excessivos  e  a  segurança  ao  escoamento  na  seção  do  engaste.  Dados:  limite  de 
resistência ao escoamento da liga de aço ASTM A‐36 f               E =250 MPa, deslocamento limite na extremidade 
livre LIM=L/125, sendo L o vão do balanço, espessura das chapas dos perfis laminados 10 mm e módulo 
de elasticidade do aço E=205 GPa. 
  
RESOLUÇÃO 
3.12.1   IDEALIZAÇÃO 
 
 
 
Idealização em elementos unifilares (dimensões em mm) 
 
200
400
4,20 m 
300
A A
B
B
CORTE B-B
CORTE A-A
164
236
CG
CG
3,75 m 
200
10 kN
236
164
150
150
ELEMENTO FINITO
UNIDIMENSIONAL
 
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Modelo unifilar (barras) 
3.12.2  REFERENCIAL TEÓRICO 
 
 
Deflexão e rotação para força concentrada 
na extremidade livre da viga em balanço  
 
 
Deflexão e rotação para momento concentrado  
na extremidade livre da viga em balanço  
3,964 m 
3,60m
10 kN
0,236 m 
0,15 m 
3,60m
10 kN
1
1
10 kN
36 kNm.
2
2
3
L
L2.
3,964 m 
2
2
2 EI
LM 
2
2
2
2 2 EI
LM


1
3
1
1 3 EI
LP


1
2
1
1 2 EI
LP


1
1
123 L 
2
2 1L
2L
1L
 
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3.12.3 DETERMINAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS E DAS TENSÕES 
        
                                             
 
Propriedades geométricas dos perfis 
Fórmulas para deflexão e rotação (Figuras 3 e 4): 
 
mm67,4
)(mm162555467(GPa)2053
)(mm3600(kN)10
3 4
33
1
3
1
1 


EI
LP  
rad1094,1
)(mm162555467(GPa)2052
)(mm3600(kN)10
2
3
4
22
1
2
1
1



EI
LP  
mm47,13
)(mm102426667(GPa)2052
)(mm9643mm)(kN36000
2 4
22
2
2
2
2 


EI
LM  
rad108,6
)(mm102426667(GPa)205
(mm)9643mm)(kN36000 3
4
2
2
2


EI
LM  
mm48,243600108,6 323  L  
 
Deflexão horizontal no ponto de aplicação da carga: 
mm47,132HOR    
   
30
0
200
28
0
190/2
236
164200
200
36
200
5
4
33
2
mm667.426.102
12
2802/190
2
12
300200
mm800.6)2802/190(2300200


I
A
4
2
3
2
3
2
mm467.555.162
)5164(10180
12
10180
3640010
12
40010
2
mm800.9390180400200




 

I
I
A
 
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Deflexão vertical no ponto de aplicação da carga: 
mm15,2948,2467,431VERT    
mm29
125
3600
125
L
LIM   
O.VERIFICAÇà ATENDE OK!LIMVERT   
Rotação no ponto de aplicação da carga: 
rad1074,8108,61094,1 33321
    
 
Tensão atuante na seção do engaste: 
MPa2,54(mm)150
)(mm102426667
mm)(N1036
)(mm6800
(N)10000
4
6
2 
 y
I
M
A
N  
Segurança ao escoamento: 
6,4
2,54
250  
 E
s  
 
3.12.4   Esquema da estrutura deformada (Programa FTOOL) 
          
                                         
Configurações indeformada e deformada 
e deslocamentos no ponto de aplicação da carga 
Ux 13,47 mm 
Uy 29,16 mm 
z 8.74x103 rad 
 
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    (a) Forças normais               (b) Forças cortantes              (c) Momentos fletores 
Figura 7 Diagramas de Estado 
PROBLEMA  3.13   Utilizando  o  Princípio  da  Superposição  dos  Efeitos,  válido  para materiais  elásticos 
lineares, determine o perfil  I mais econômico    (Tabela de Bitolas Gerdau‐Açominas) para viga de aço 
laminado, esquematizada abaixo, considerando o deslocamento limite LIM 20 mm e o coeficiente de  
segurança ao escoamento s 2, sendo o limite de resistência ao escoamento f E345 MPa. Despreze o 
peso próprio da viga. 
 
 
RESOLUÇÃO 
VERIFICAÇÃO DE DESLOCAMENTOS EXCESSIVOS 
Unidades:  kN (kilonewton), m (metro), kPa=kN/m2 (kilopascal) 
Conversões: 1 GPa = 106 kPa;  1 m4 = 108 cm4 
 
LIM
243
2EI
ML
8EI
qL
3EI
PL 


   
3LIM
6
2
6
4
6
3
1020
I)10(2052
330
I)10(2058
320
I)10(2053
330 


  
48
36
2
36
4
36
3
m10817.14
)102010(2052
330
)102010(2058
320
)102010(2053
330I  


  
 
     4cm817.14I   
 
VERIFICAÇÃO CRITÉRIO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS 
Unidades:  kN (kilonewton), m (metro), kPa=kN/m2 (kilopascal) 
Conversões: 1 MPa = 103 kPa;  1 m3 = 106 cm3 
30 kNm
20 kN/m
3m
30kN 
E  205 GPa
W           x
ALTURA
(mm)
PERFIL I ABAS LARGAS ( )WIDE
PESO LINEAR
  (kgf/m)
 
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s
f
WW
M E



 
 adm
2
ATUANTE
M
2
qLPL
 
2
10345
30
2
320330
3
adm
2
ATUANTE 



 
 
W
 
36
3
2
m 10217.1
5,110345
30
2
320
330




 
W  
 
    3cm1.217W   
 
 
 
PROBLEMA 3.14   Determine o perfil  I mais econômico   (Tabela de Bitolas Gerdau‐Açominas) para viga 
de  aço  laminado,  esquematizada  abaixo,  considerando  a  rotação  limite LIM 2x103  rad, módulo de 
elasticidade E=205 GPa e tensão admissível  ADM230 MPa. Despreze o peso próprio da viga. 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
VERIFICAÇÃO DE DESLOCAMENTOS EXCESSIVOS 
Unidades:  kN (kilonewton), m (metro), kPa=kN/m2 (kilopascal)Conversões: 1 GPa = 106 kPa;  1 m4 = 108 cm4 
 
3LIM
6
3
6
3
102θ
I)10(20524
3)(310
I)10(205128
)33()1020(3θ 





  
EIXO X‐X   EIXO X‐X
Ix Wx
mm x kg/m cm4 cm³
W 360 x 79,0 22713 1.283,2     
W 410 x 75,0 27616 1.337,3     
W 460 x 68,0 29851 1.300,7     
W 530 x 66,0 34971 1.332,2     
W 610 x 101,0 77003 2.554,0     
BITOLA
20 kN/m
10 kN/m
3m 3m
(A) (B)
 
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44
36
3
36
3
m104299,3
)10210(20524
3)(310
)10210(205128
)33()1020(3
I  





  
    4cm34299I   
 
 
 
PROBLEMA  3.15  Determine  a  flecha  no  topo  do  pilar  devida  à  aplicação  de  múltiplas  cargas 
concentradas distribuídas ao longo da altura, que correspondem à ação do vento  
 
 
 
                                                                 (a)                                                           (b) 
Deslocamento horizontal na extremidade livre do pilar devido 
(a) carga concentrada aplicada no topo (b) rotação da base 
 
EIXO X‐X
Ix
mm x kg/m cm4
W 460 x 82,0 37157
W 530 x 66,0 34971
W 610 x 101,0 77003
BITOLA
EIL
x2
P2
x1
P1
xn
Pn
P
EIL
 PL
 3EI
3
L
L

  PL 
 2EI
2
deflexão rotação

 
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Deslocamento horizontal na extremidade livre do pilar devido 
a uma carga concentrada aplicada em um ponto genérico do pilar 
 
Deslocamento horizontal na extremidade livre do pilar devido 
a cargas múltiplas aplicadas ao longo da altura do pilar 
 
 
4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; DEWOLF, J. T.; MAZUREK, D. F. Mecânica dos Materiais. 7. ed. São  
   Paulo: McGraw‐Hill, 2015. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Prentice Hall Brasil, 2010. 
 
 
EI
L
x
P
 Px 
 2EI
2
1 Px
 3EI
3 2 Px
 2EI
2
(L x)
   Px 
 2EI
 1 2
2
(L x/3)
P
EIL
x2
P2
x1
P1
xn
Pn
  P x
 2EI
i i 
2
(L x /3) i
i=1
n