Trabalho Estabilidade II - Viga Hiperistatis de Grau 3

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METODOS DE CALCULOS PARA UMA VIGA HIPERISTATICA DE GRAU TRÊS 
 
1.0 INTRODUÇÃO 
Esse trabalho foi realizado na disciplina de Estabilidade II, cujo seu objetivo é 
demonstrar de todas as maneiras, a resolução de uma viga hiperestática de grau três. Essa viga 
em si, possui cargas pontuais e distribuídas e carga momento. O método utilizado para a 
resolução do trabalho foi o método das forças. 
Uma estrutura é considerada hiperestática, quando o número máximo de equações de 
equilíbrio da estática, é menor do que a variáveis impostas, necessárias para a caracterização 
do equilíbrio de uma estrutura. 
O grau de indeterminação estática de uma estrutura é definido devido ao número de 
incógnitas estáticas, reações de apoio, necessárias para conhecer o equilíbrio de tal estrutura. 
Existem três métodos utilizados para resolver o problema de estruturas hiperestáticas, são 
eles: 
a) Método das Forças 
b) Método dos Deslocamentos 
c) Método dos Elementos Finitos 
O método utilizado no trabalho, como mencionado anteriormente foi o método das 
forças, estudado inicialmente por H. Muller-Breslau em 1886 e por A. Clebsch em 1862 diz 
que o fundamento do método é determinar um conjunto de reações ou esforços seccionados 
superabundantes ao equilíbrio estático de estruturas hiperestáticas, permitindo que as demais 
reações ou esforços sejam calculados com as equações da estática. Uma viga é considerada 
hiperestática estruturalmente quando o número de incógnitas é maior que o número de 
reações, sendo assim ela possui vínculos excedentes. Ao romper a quantidade de vínculos tal 
que transformasse a estrutura dada inicialmente hiperestática numa isostática sem nenhuma 
alteração no ponto de vista estático formando-se assim o sistema principal a qual para 
preservar a sua o seu grau de compatibilidade estática introduzimos esforços (X1, X2, X3... Xn) 
existentes nos vínculos rompidos (Sussekind 1947). Após selecionar o sistema principal e os 
esforços positivos nas redundantes estáticas escolhidas, agora consiste em escrever equações 
de compatibilidade de deslocamentos nas direções dos esforços (Soriano 2006). Com as 
equações de compatibilidade de deslocamentos já definidas, usando o princípio da 
superposição de efeitos, na qual separamos os efeitos do carregamento externo e o de cada um 
dos hiperestáticos na qual adotamos valores unitários e esses valores devem ser multiplicados 
pelos fatores X1, X2, X3 ... Xn fazendo com que os deslocamentos sejam nulos. Segundo 
Sussekind podemos afirmar qual a resolução de uma estrutura n vezes hiperestática recairá na 
resolução de um sistema n x n em que cada equação exprimirá a condição de ser nulo o 
deslocamento na direção da cada hiperestático. O método também é denominado método da 
compatibilidade (West 1989) 
No método das Forças é necessário considerar os três grupos de condições básicas da 
análise estrutural: condições de equilíbrio, condições de compatibilidade (continuidade 
interna e compatibilidade com os vínculos externos) e condições impostas pelas leis 
constitutivas dos materiais que compõem a estrutura. 
O método resolve o problema considerando os grupos de condições a serem atendidas 
pelo modelo estrutural na seguinte ordem: 
a) Condições de equilíbrio; 
b) Condições sobre o comportamento dos materiais (leis constitutivas); 
c) Condições de compatibilidade. 
A metodologia utilizada pelo Método das Forças para analisar uma estrutura 
hiperestática é somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio, 
mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original, para na 
superposição restabelecer as condições de compatibilidade. 
Cada solução básica não satisfaz isoladamente todas as condições de compatibilidade 
da estrutura original, as quais ficam restabelecidas quando se superpõem todos os casos 
básicos. 
A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral, uma 
estrutura isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original pela eliminação de vínculos. 
Essa estrutura isostática é chamada Sistema Principal (SP). As forças ou os momentos 
associados aos vínculos liberados são as incógnitas do problema e são denominados 
hiperestáticos. 
 
 
 
 
 
 
2.0 DESENVOLVIMENTO 
2.1 VIGA ISOSTATICA 
2.1.2 Equação de equilibro 
São três as equações do equilíbrio global da estrutura no plano: 
a) ∑Fx = 0 → somatório de forças na direção horizontal igual a zero; 
b) ∑Fy = 0 → somatório de forças na direção vertical igual a zero; 
c) ∑Mo = 0 → somatório de momentos em relação a um ponto qualquer igual a zero. 
Como a estrutura é hiperestática, não é possível determinar os valores das reações de 
apoio da estrutura utilizando apenas as três equações de equilíbrio que são disponíveis. O 
número de incógnitas excedentes ao número de equações de equilíbrio é definido como: 
g → grau de hiperestaticidade. 
Viga utilizada:
 
“Imagem 01” 
Conforme mencionado, a solução do problema hiperestático pelo Método das Forças é 
feita pela superposição de soluções básicas isostáticas. Para isso cria-se uma estrutura 
isostática auxiliar, chamada Sistema Principal (SP), que é obtida da estrutura original 
hiperestática pela eliminação de vínculos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.3 Sistema principal (SP) 
 
“Imagem 02” 
Observam-se na figura que foram eliminados três vínculos externos da estrutura 
original: a imposição de rotação X1 do engaste da esquerda e X2 do engaste da direita, e a 
imposição de deslocamento horizontal X3 no engaste da direita. 
O número de vínculos que devem ser eliminados para transformar a estrutura 
hiperestática original em uma estrutura isostática é igual ao grau de hiperestaticidade, g. A 
escolha do SP é arbitraria: qualquer estrutura isostática escolhida é válida, desde que seja 
estável estaticamente. 
Os esforços associados aos vínculos eliminados são as reações de apoio MA, MD e 
VD, que estão indicadas na figura. Esses esforços são chamados de hiperestáticos e são as 
incógnitas da solução pelo Método das Forças. Utiliza-se a nomenclatura Xi para indicar os 
hiperestáticos, sendo i o seu índice, que varia de 1 a g. No exemplo, tem-se: 
a) X1 = MA→ reação momento associada ao vínculo de apoio A 
b) X2 = MB→ reação momento associada ao vínculo de apoio D 
c) X3 = VD → reação horizontal associada ao vínculo de apoio D 
Os hiperestáticos do exemplo são mostrados na figura com sentidos que foram 
convencionados como positivos: momento positivo no sentido anti-horário e força horizontal 
positiva com sentido de baixo para a cima. A solução do problema pelo Método das Forças 
recai em encontrar os valores que X1, X2 e X3 devem ter para, juntamente com o 
carregamento aplicado, recompor os vínculos de apoio eliminados. Isto é, procuram-se os 
valores dos hiperestáticos que fazem com que as condições de compatibilidade violadas na 
criação do SP, θA=0, θB=0 e ∆𝐷
𝑉=0, sejam restabelecidas. 
A determinação de X1, X2 e X3 é feita através da superposição de casos básicos, 
utilizando o SP como estrutura para as soluções básicas. O número de casos básicos é sempre 
igual ao grau de hiperestaticidade mais um (g + 1). 
Para a viga hiperestática proposta vamos adotar valores para a simplificação dos 
cálculos propostos sendo eles: 
a) Q1 = 5kN/m, carga retangular distribuída; 
b) Q2 = 10kN/m, carga triangular distribuída; 
c) Pb = 20kN, carga pontual; 
d) Mc = 15kNm, carma momento aplicado em um ponto; 
e) L1/2 = 1,00m; 
f) L2 = 2,00m; 
g) X1 = 1kNm, carga momento quando utilizado o método das forças; 
h) X2 = 1kNm, carga momento quando utilizado o método das forças; 
i) X3 = 1kN, cargapontual quando utilizado o método das forças. 
Sendo a seguinte expressão para a viga antes da aplicação do método das forças: 
 
“Imagem 03” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.4 Cálculo dos diagramas de momento fletor 
2.1.4.1 Cálculo do “E0” 
O E0 corresponde à estrutura trabalhada, porém sem incluir os apoios retirados, como 
por exemplo, sem o as forças X1, X2 e X3. Abaixo a imagem demonstra a viga EO e o seu 
respectivo diagrama de momento fletor: 
 
“Imagem 04” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.4.2 Cálculo do “E1” 
O E1 corresponde à estrutura trabalhada, porém incluindo nela apenas a força X1, 
desconsiderando as demais. Abaixo a imagem demonstra a viga E1 e o seus respectivos 
diagramas de momento fletor: 
 
“Imagem 05” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.4.3 Cálculo do “E2” 
O E2 corresponde à estrutura trabalhada, porém incluindo nela apenas a força X2, 
desconsiderando as demais. Abaixo a imagem demonstra a viga EO e o seu respectivo 
diagrama de momento fletor: 
 
“Imagem 06” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.4.4 Cálculo do “E3” 
O E3 corresponde à estrutura trabalhada, porém incluindo nela apenas a força X3, 
desconsiderando as demais. Abaixo a imagem demonstra a viga EO e o seu respectivo 
diagrama de momento fletor: 
 
“Imagem 07” 
 
2.2 COMBINAÇÕES 
Após ter encontrado os diagramas de E0, E1, E2 e E3, deve-se realizar combinações 
entre elas, podendo ser resolvida por um sistema ou matriz no caso da viga ser hiperestática 
de grau três. Quando for classificada como grau dois, essas combinações serão resolvidas 
através de um sistema. Para realizar essas combinações, existem dois métodos utilizados: 
 
I) Tabela de Kurt Beyer: Esse método corresponde a utilização de uma tabela, que 
contém inúmeros figuras geométricas, como quadrado, triangulo, trapézio e entre 
outros. Para utilizar esse método, basta apenas fazer as devidas combinações de 
acordo com os diagramas de momento. 
 
 
“Imagem 08” 
II) Integração: Esse método, não é necessário a utilização de tabelas, é preciso apenas 
encontrar as equações de momento de um determinado trecho, e fazer integração. 
Como por exemplo, combinar a equação de momento do trecho AB, de E0 com 
E1, resultando em δ10. 
�̅�𝛿𝑖 = ∫ (
𝑚. �̅�
𝐸𝐼
𝑙
0
) 𝑑𝑥 
 
2.3 TERMOS DE CARGA 
A rotação δ10 e o deslocamento horizontal δ20, nas direções dos vínculos eliminados 
para a criação do SP, são chamados de termos de carga. Um termo de carga é definido 
formalmente como: 
δ i0 →termo de carga: deslocamento ou rotação na direção do vínculo eliminado 
associado ao hiperestático Xi quando atua a solicitação externa isoladamente no SP (com 
hiperestáticos com valores nulos). 
Fazendo as devidas combinações encontramos os seguintes Termos de Carga: 
a) δ10 = Corresponde à combinação entre E0-E1 
b) δ20 = Corresponde à combinação entre E0-E2 
c) δ30 = Corresponde à combinação entre E0-E3 
 
2.4 COEFICIENTES DE FLEXIBILIDADE 
Considera-se um valor unitário para X1, sendo o efeito de X1 = 1 multiplicado pelo 
valor final que X1 deverá ter. A rotação δ11 e o deslocamento horizontal δ21 provocados por 
X1 = 1, nas direções dos vínculos eliminados para a criação do SP, são chamados de 
coeficientes de flexibilidade. Formalmente, um coeficiente de flexibilidade é definido como: 
δ ij → coeficiente de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção do vínculo 
eliminado associado ao hiperestático Xi devido a um valor unitário do hiperestático Xj 
atuando isoladamente no SP 
Fazendo as devidas combinações encontramos os seguintes Coeficientes de Flexibilidades: 
a) δ11 = Corresponde à combinação entre E1-E1; 
b) δ12 = Corresponde à combinação entre E1-E2; 
c) δ13 = Corresponde à combinação entre E1-E3; 
d) δ21 = Corresponde à combinação entre E2-E1; 
e) δ22 = Corresponde à combinação entre E2-E2; 
f) δ23 = Corresponde à combinação entre E2-E3; 
g) δ31 = Corresponde à combinação entre E3-E1; 
h) δ32 = Corresponde à combinação entre E3-E2; 
i) δ33 = Corresponde à combinação entre E3-E3. 
 
2.5 RESTABELECIMENTOS DAS CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE 
A partir dos resultados obtidos nos casos mostrados, pode-se utilizar superposição de 
efeitos para restabelecer as condições de compatibilidade violadas na criação do SP. 
a) Superposição das rotações em A: 
δ10 + δ11. X1 + δ12. X2 + δ13. X3 = 0 
b) Superposição das rotações em D: 
δ20 + δ21. X1 + δ22. X2 + δ23. X3 = 0 
c) Superposição dos deslocamentos horizontais em D: 
δ30 + δ31. X1 + δ32. X2 + δ33. X3 = 0 
 
 
2.6 RESOLVENDO PO SISTEMAS LINEAR 
 
δ10 + δ11. X1 + δ12. X2 + δ13. X3 = 0 
Sistema δ20 + δ21. X1 + δ22. X2 + δ23. X3 = 0 
δ30 + δ31. X1 + δ32. X2 + δ33. X3 = 0 
Após a resolução desse sistema, serão encontrados os valores para X1, X2 e X3. 
Consequentemente tornará possível o cálculo das reações de apoio da viga e os devidos 
diagramas, que no início era de grau de estaticidade três, e após esse processo se tornou uma 
viga isostática. Abaixo temos a imagem que demonstra as reações de apoio encontradas da 
viga, X1, X2 e X3 e o respectivo diagrama de momento fletor final da viga estudada. 
 
“Imagem 09” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.0 CONCLUSÃO 
Através da realização desse trabalho, podemos concluir que existem duas maneiras 
mais usuais de resolver problemas envolvendo vigas hiperestáticas, sendo o método da 
integração e a utilização da tabela de Kurt-Beyer, que no caso foi o método utilizado pelo 
grupo na realização do trabalho. A resolução dos cálculos da viga trabalhada foi realizada 
através do programa Excel. Consequentemente um conhecimento mais amplo sobre a 
ferramenta foi adquirida pelos integrantes. Portanto a resolução do projeto contribuiu tanto 
para o grupo entender melhor sobre vigas hiperestáticas de grau três, quanto para elevar o 
conhecimento dos membros na área computacional.