aula 1 - Preferências e Utilidade

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PREFERÊNCIAS E UTILIDADE
Professor: Marcelo Reis
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TEORIA DO CONSUMIDOR
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TEORIA DO CONSUMIDOR
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TEORIA DO CONSUMIDOR
Relações de Preferências
A caracterização axiomática consiste em um método de modelagem em que algumas hipóteses significantes são utilizadas para caracterizar a estrutura e propriedades das preferências.
Sendo assim, os axiomas da escolha do consumidor foram estabelecidos para dar uma expressão matemática aos aspectos fundamentais do comportamento do consumidor.
Relações Binárias
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Axiomas da Escolha Racional
Completitude:
Se A e B são duas situações diferentes, um indivíduo pode sempre especificar exatamente uma destas possibilidades:
A é preferível a B
B é preferível a A
A e B são igualmente atrativas
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Transitividade:
Se A é preferível a B, e B é preferível a C, então A é preferível a C.
Assume que as escolhas individuais são consistentes.
O axioma de transitividade, apesar de intuitivo, é crucial para a teoria do consumidor.
Sem ele, em geral, não é possível dizer qual a cesta preferida pelo consumidor. 
O melhor argumento em defesa da transitividade das preferencias e de ordem normativa
Preferências não-transitivas resultam na possibilidade de um “dutch book”: uma sequência de trocas que levam o consumidor a perder todo o seu dinheiro.
Axiomas da Escolha Racional
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Reflexividade: Toda cesta é tão boa quanto ela mesma. Para qualquer cesta x em X, 
x ≿X .
Continuidade:
Se A é preferível a B, então situações próximas a A também devem ser preferíveis a B.
Axiomas da Escolha Racional
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Axiomas da Escolha Racional
Não Saciedade Local
Estrita Monotonicidade
Convexidade
Convexidade Estrita
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TEORIA DO CONSUMIDOR
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Curvas de indiferença podem se cruzar?
Quantidade de x
Quantidade de y
U1
U2
A
B
C
O indivíduo é indiferente entre A e C.
O indivíduo é indiferente entre B e C.
Transitividade sugere que este indivíduo seja indiferente entre A e B.
Entretanto, B é preferível a A pois B tem mais x e mais y que A.
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Curvas de Indiferença
Uma curva de indiferença mostra um conjunto de cestas entre as quais o indivíduo é indiferente.
Quantidade de x
Quantidade de y
x1
y1
y2
x2
U1
As cestas (x1, y1) e (x2, y2)
geram o mesmo nível de utilidade
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Mapa de Curvas de Indiferença
O quadrante x, y é totalmente preenchível com curvas de indiferença, cada uma correspondendo a um nível de utilidade.
Quantidade de x
Quantitdade de y
U1 < U2 < U3
U1
U2
U3
Aumento de utilidade
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Que propriedades ou axiomas as preferências que geram as curvas de indiferenças acima satisfazem?
Elas são completas, reflexivas e transitivas. Além disso, são monótonas (“mais e melhor”) e estritamente convexas (qualquer combinação convexa entre duas cestas indiferentes e estritamente melhor do que essas duas cestas). 
O axioma de monotonicidade faz com que a curva de indiferença tenha inclinação negativa.
O axioma de convexidade estrita faz com que a curva de indiferença seja convexa em relação a origem.
No caso de preferências bem comportadas, a reta orçamentária e tangente em um único ponto de uma única curva de indiferença.
 Ambos os bens são adquiridos e então dizemos que a solução do problema do consumidor é interior, pois todos os bens são consumidos em quantidades positivas.
Mais ainda, a função de demanda e bem definida, contínua nos preços e na renda, e possui derivadas diferentes de zero nos preços. 
O método de Lagrange pode ser usado para resolver o problema do consumidor e encontrar as demandas por cada bem.
Curvas de Indiferença
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Exemplos de Preferências
Substitutos Perfeitos
Dois bens são substitutos perfeitos se o consumidor está disposto a substituir um bem pelo outro à mesma taxa constante. Sendo assim, o consumidor preocupa-se apenas com a quantidade total do número de bens
U1
U2
U3
Quantidade de y
Quantidade de x
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Exemplos de Preferências
Complementares Perfeitos
São bens que são consumidos conjuntamente em proporções fixas, em que cada bem complementa o outro. Ex: Placa mãe e processador.
“Bads”
É simplesmente um bem que um consumidor não gosta
Quantidade de y
U1
U2
U3
Quantidade de x
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Exemplos de Preferências
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Exemplos de Preferências
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Exemplos de Preferências
x
y
U = U0
U = U1
U = U2
I
II
A
B
C
D
E
F
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Taxa Marginal de Substituição
A inclinação negativa de uma curva de indiferença em um determinado ponto mostra a taxa marginal de substituição (TMS) naquele ponto.
Quantidade de x
Quantidade de y
x1
y1
y2
x2
U1
Alguns autores definem a TMS como o valor absoluto da inclinação da curva de indiferença.
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TMS muda quando x e y mudam.
reflete o desejo individual de trocar y por x.
Quantidade de x
Quantidade de y
x1
y1
y2
x2
U1
Em (x1, y1), a curva de indiferença é mais inclinada.
O indivíduo estaria disposto a abrir mão de uma quantidade 
maior de y para receber uma unidade adicional de x.
Em (x2, y2), a curva de indiferença é
menos inclinada. O indivíduo estaria
disposto a abrir mão de uma
quantidade menor de y para receber
uma unidade adicional de x.
TMS
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Convexidade
Um conjunto de pontos é convexo se quaisquer dois pontos podem ser ligados por uma reta que está inserida nesse conjunto (axioma da convexidade).
Quantidade de x
Quantidade de y
U1
A hipótese de TMS decrescente é
equivalente à hipótese de que todas as
combinações de x e y que são preferíveis
a x* e y* formam um conjunto convexo.
x*
y*
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Convexidade
Se a curva de indiferença é estritamente convexa, então a cesta {(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2} será preferível as cestas (x1,y1) ou (x2,y2).
Quantidade de x
Quantidade de y
U1
x2
y1
y2
x1
Isto implica que cestas balanceadas sejam
preferíveis a cestas não balanceadas.
(x1 + x2)/2
(y1 + y2)/2
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Utilidade
É uma forma de sumarizar uma relação de preferência. Na sua origem, foi adotada a visão da utilidade como sendo uma medida de felicidade.
Dados os axiomas das preferências, é possível ordenar todas as situações, da menos desejável à mais desejável.
Este ranking é chamado de utilidade.
Se A é preferível a B, então a utilidade associada a A é maior que a utilidade associada a B.
U(A) ≻ U(B) 		 U(A) > U(B)
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Nem todo sistema de preferências pode ser representado por uma função de utilidade.Um exemplo clássico é o seguinte:
Preferências lexicógrafas. A preferência lexicógrafa para o caso de dois bens é definida como:
Utilidade
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Utilidade
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Utilidade
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Utilidade
mais é preferível a menos (axioma monotonicidade)
Quantidade de x
Quantidade de y
x*
y*
Preferível a cesta (x*, y*)
?
?
Pior que
a cesta
(x*, y*)
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Utilidade
Rankings de utilidade são ordinais e não cardinais.
O que importa é a ordenação e não o valor específico de utilidade para cada situação.
Deste modo, medidas de utilidade não são únicas.
Também não é possível comparar valores de utilidades entre pessoas.
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Utilidade e a TMS
Suponha que as preferências de um indivíduo por hambúrguer (y) e refrigerante (x) possa ser representada por:
Calcule a TMS.
U = 10
100 = x*y 
y = 100/x
TMS = -dy/dx = 100/x2
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Utilidade e a TMS
TMS = -dy/dx = 100/x2
Note que a medida que o x aumenta, a TMS diminui.
quando x = 5, TMS = 4
quando x = 20, TMS = 0.25
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Derivação matemática da TMS
Suponha que um indivíduo tenha a seguinte função utilidade:
utilidade = U(x,y)
A utilidade marginal de x é dada por:
A diferenciação total de U é:
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Ao longo de qualquer curva de indiferença, a utilidade é constante (dU = 0).
Então:
TMS é igual a razão entre a utilidade marginal de x e a utilidade marginal de y.
Alternativa para calcular a TMS
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Exemplos de Funções Utilidade
Cobb-Douglas:
utilidade = U(x,y) = xy
 onde  e  são constantes positivas.
O tamanho relativo de  e  indica a importância relativa entre os bens.
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Substitutos Perfeitos:
utilidade = U(x,y) = x + y
Quantidade de x
Quantidade de y
U1
U2
U3
As curvas de indiferença serão lineares.
A TMS será constante ao longo de toda
a curva de indiferença.
Exemplos de Funções Utilidade
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Complementos Perfeitos:
utilidade = U(x,y) = min (x, y)
Quantidade de x
Quantidade de y
As curvas de indiferença terão formato 
de “L”. Somente aumentando a 
quantidade dos dois bens é que a 
utilidade aumenta.
Nenhum dos bens estará em excesso somente
se x=y.
U1
U2
U3
Exemplos de Funções Utilidade
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Quanto maior σ maior é o nível de substituição entre os bens
Exemplos de Funções Utilidade
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Exemplos de Funções Utilidade
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Se  = 1 então σ = ∞, portanto o nível de substituição entre os bens é muito elevada
SUBSTITUTOS PERFEITOS
Se  = -∞ então σ=0, portanto o nível de substituição entre os bens é nula
COMPLEMENTARES PERFEITOS
Se  = 0 então σ=1
COBB-DOUGLAS
Exemplos de Funções Utilidade
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Elasticidade Substituição
A elasticidade substituição () mede uma mudança percentual em y/x em relação a uma mudança percentual na TMS sobre uma curva de indiferença.
Dá a ideia do formato (curvatura) de uma indiferença.
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x
y
A TMS e a razão y/x se modificam do ponto A para o ponto B.
A
B
U = U0
TMSA
TMSB
(y/x)A
(y/x)B
 é a razão destas 
mudanças proporcionais.
 mede a 
curvatura de uma curva de indiferênça
Elasticidade Substituição
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Preferências Homotéticas
As preferências são homotéticas se todas as curvas de indiferença são relacionadas por expansões proporcionais ao longo de raios:
 
 onde x e y são cestas de bens.
Se a TMS depende somente da razão do montante dos dois bens, não das quantidades totais, a função utilidade é homotética.
Se as preferências são homotéticas, as curvas de indiferença são muito parecidas.
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Em termos de utilidade, dizemos que uma utilidade é homotética (ou também, é uma utilidade que representa preferências homotéticas) se satisfaz:
Portanto, para qualquer linha reta saindo da origem em direção ao quadrante positivo, todos os pontos de curvas de indiferença distintas que essa linha cruza possuem a mesma TMS, como a figura abaixo ilustra.
Preferências Homotéticas
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x
y
U = U0
U = U1
U = U2
I
II
A
B
C
D
E
F
TMS nos pontos A, B e C são iguais
TMS nos pontos D, E e F são iguais
Em funções homotéticas, a TMS é a mesma em todo ponto de uma linha reta traçada a partir da origem
Preferências Homotéticas
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Substitutos Perfeitos  TMS é igual em todos os pontos. 
Complementos Perfeitos  TMS =  se y/x > /, indefinida se y/x = /, e TMS = 0 se y/x < /.
Para a Cobb-Douglas, a TMS é dada por: 
Preferências Homotéticas
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Algumas funções utilidade não apresentam preferências homotéticas.
utilidade = U(x,y) = x + ln y
Preferências não Homotéticas
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Caso com n-bens
Suponha uma função utilidade com n bens dada por:
utilidade = U(x1, x2,…, xn)
A diferenciação total de U é:
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Podemos encontrar a TMS entre quaisquer dois bens fixando dU = 0.
Caso com n-bens
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Definimos uma superfície de indiferença como sendo o conjunto de pontos em n dimensões que satisfaz a equação:
U(x1,x2,…xn) = k
 onde k é uma utilidade pré determinada.
Caso com n-bens
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Exercícios
PROVA 2007
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Exercícios 
Prova 2007
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