apol de calculos conceitos

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Questão 1/5 - Cálculo: Conceitos
Leia o seguinte fragmento de texto:
"Todo diagrama é visualmente o resultado de um conjunto operatório simplificado de linhas, traços, manchas etc. O entendimento mais comum (e não problemático) do diagrama é como um dispositivo abstrato: a imposição de uma redução formal. Ou seja, esse recurso gráfico é, na maior parte das vezes, entendido como uma espécie de ‘sistema redutor’ que comprime e torna legível uma certa quantidade de informações".
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: BARKI, J. Diagrama como discurso visual: uma velha técnica para novos desafios. <http://docomomo.org.br/wp-content/uploads/2016/01/092.pdf>. Acesso em 20 set. 2018.  
Com base no fragmento de texto anterior e nos conteúdos do livro-base Descomplicando: um novo olhar sobre a matemática elementar sobre o diagrama de Venn, analise a seguinte situação:
Um professor de português fez uma pesquisa em sala de aula, com um grupo de trinta alunos, sobre quantos haviam lido as obras Dom Casmurro e/ou Memórias Póstumas de Brás Cubas, ambas de Machado de Assis. O resultado da pesquisa foi o seguinte:
19 alunos leram Dom Casmurro;
20 alunos leram Memórias Póstumas de Brás Cubas;
3 alunos não leram nenhum dos dois livros.
Com base no resultado da pesquisa, leia as alternativas que seguem e, na sequência, assinale aquela que apresenta a resposta correta:
	
	A
	15 alunos leram as duas obras.
	
	B
	39 alunos leram as duas obras.
	
	C
	12 alunos leram as duas obras.
	
	D
	Apenas um aluno leu as duas obras.
	
	E
	Nenhum aluno leu as duas obras.
Observe o gráfico a seguir, que corresponde à função y=−3x2+6x+3y=−3x2+6x+3:
Com base no gráfico anterior e nos conteúdos do livro-base Descomplicando: um novo olhar sobre a matemática elementar sobre função quadrática, analise as afirmativas que seguem. Na sequência, assinale  V para as afirmativas verdadeiras e com F as falsas: 
I.( ) As coordenadas do vértice da parábola são (1,6)(1,6).
II.( ) A parábola tem ponto de máximo.
III.( ) O ponto de máximo é dado pelas coordenados (1,6).(1,6).
IV.( ) O ponto (3,2)(3,2)  pertence ao gráfico. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
	
	A
	V - V - V - F
	
	B
	V - F - F - V
	
	C
	V - F - F - F
	
	D
	V - F - V - F
	
	E
	F - V - V - F
Questão 3/5 - Cálculo: Conceitos
Leia o excerto de texto a seguir:
Uma função ff é especificada pelos conjuntos DD e CC, e pelos pares ordenados (x,y)(x,y) onde x∈ D, y∈ C,x∈ D, y∈ C,  e onde a cada xx corresponde um único yy. O conjunto DD é o domínio da função; o conjunto CC é o contradomínio. O subconjunto de CC formado pelos valores de yy que são função de algum xx é denominado imagem da função. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DIAS, Nelson Luís. Pequena Introdução aos Números. Curitiba: Intersaberes, 2014, p. 169.
Seja uma função definida por f(x)=2xf(x)=2x e dados D(f)={0,1,2,3}D(f)={0,1,2,3} e C(f)={−1,0,1,2,4,6,7}C(f)={−1,0,1,2,4,6,7}.
Tendo em vista o excerto de texto anterior e, de acordo com os conteúdos do livro-base Descomplicando: um novo olhar sobre a matemática elementar, analise as alternativas que seguem. Na sequência, assinale a alternativa correta, no que diz respeito à função dada:
	
	A
	O conjunto imagem é 
Im(f)={0,2,4,6}Im(f)={0,2,4,6}  .
	
	B
	O conjunto imagem é
Im(f)={−2,0,2,4,8,12,14}Im(f)={−2,0,2,4,8,12,14} .
	
	C
	O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio, ou seja,
Im(f)=C(f)Im(f)=C(f) .
	
	D
	O conjunto contradomínio é
C(f)={−1,1,7}C(f)={−1,1,7} .
	
	E
	A função dada é uma função polinomial de grau 0
Questão 4/5 - Cálculo: Conceitos
Leia os seguintes dados:
Um terreno retangular tem perímetro de 100m. A largura desse terreno é 5m menor que o comprimento. 
Com base nos dados acima e nos conteúdos do livro-base Descomplicando: um novo olhar sobre a matemática elementar, assinale a alternativa que apresenta, de forma correta, as medidas da largura e do comprimento do terreno:
	
	A
	25m e 75m
	
	B
	45m e 50m
	
	C
	22m e 27m
	
	D
	22,5m e 27,5m
	
	E
	25,5m e 74,5m
resposta
Perímetro = 100m = 2 x (largura + comprimento)
largura = comprimento - 5m
então:
Substituindo os valores dados, temos:
e a largura será:
comprimento - 5 = 27,5 - 5 = 22,5 metros
Questão 5/5 - Cálculo: Conceitos
Atente para o seguinte sistema de equação:
{3x−y=145x+2y=16{3x−y=145x+2y=16
Considerando o sistema dado e os conteúdos do livro-base Descomplicando: um novo olhar sobre a matemática elementar ?sobre equações, determine o conjunto solução para o sistema acima e escolha a alternativa apropriada.
	
	A
	S=−2,−4S=−2,−4
	
	B
	S={4,−2}S={4,−2}
	
	C
	S={3,8}S={3,8}
	
	D
	S={−3,8}S={−3,8}
	
	E
	S={   }
Resposta
Vamos usar o metodo da multilicação:
3X-Y=14   x 2
5X+2Y=16
6x-2y=28
5x+2y=16   simplifica os 2y.
11x=44
x=44/11
x=4
substitui x em uma das equações:
5X+2Y=16
5.4+2y=16
2y=16-20
y=-4/2
y=-2
APOL 2
Questão 1/5 - Cálculo: Conceitos
Leia o fragmento de texto a seguir.
Seja  ff uma função de um conjunto AA em um conjunto BB e seja gg uma função de BB em um conjunto CC; chama-se função composta de gg e ff à função hh de AA em CC definida por
h(x)=g(f(x))h(x)=g(f(x))
para todo xx em AA.
Indicaremos esta aplicação hh por gofgof (lê-se: gg composta ff ou gg círculo ff); portanto
(gof)(x)=g(f(x))(gof)(x)=g(f(x))
para todo xx em AA.
Podemos representar também a composta gofgof pelo diagrama.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: IEZZI, Gelson. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. V. 1. Conjuntos e Funções. 3. ed. São Paulo: Atual.
Considerando as informações do fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Descomplicando: um novo olhar sobre a matemática elementar, dadas as funções f(x)=2x2+3xf(x)=2x2+3x e g(x)=3x+1g(x)=3x+1, analise as igualdades a seguir, assinalando V para as igualdades verdadeiras e F para as igualdades falsas.
  I.(   )    f(g(x))=18x2+21x+5f(g(x))=18x2+21x+5
 II.(   )    f(g(x))=6x2+9x+5f(g(x))=6x2+9x+5
III.(   )    g(f(x))=2x2+3x+1g(f(x))=2x2+3x+1
 IV.(   )    g(f(x))=6x2+9x+1g(f(x))=6x2+9x+1
  V.(   )    f(g(x))=g(f(x))f(g(x))=g(f(x))
A sequência correta é:
	
	A
	F - F - V - V - F
	
	B
	F - F - F - V - V
	
	C
	F - F - F - F - V
	
	D
	V - F - F - V - F
	
	E
	V - V - F - F - F
Questão 2/5 - Cálculo: Conceitos
Atente para a informação seguinte:
O custo total de fabricação de um determinado artigo é dado por meio da função C(x) = 2x3 – x2 + 5x + 120, em que x representa a quantidade produzida. Além do custo total, é possível que seja determinado o custo médio, dividindo-se o custo total pela quantidade de artigos.
Com base no dado acima e nos conteúdos do livro-base Descomplicando: um novo olhar sobre a matemática elementar sobre função, determine o custo médio para produzir 15 unidades deste artigo.
	
	A
	660 reais.
	
	B
	448 reais.
	
	C
	426 reais.
	
	D
	380 reais.
	
	E
	320 reais.
Resolução!!!
C ( x ) = Custo Total
x = Quantidade Produzida
Pegar o 15 e substitua no x da função !
C ( x ) = 2x³ - x² + 5x + 120
C ( 15 ) = 2 • ( 15 )³ - ( 15 )² + 5 • ( 15 ) + 120
C ( 15 ) = 2 • 3375 - 225 + 75 + 120
C ( 15 ) = 6750 - 225 + 75 + 120
C ( 15 ) = 6750 - 150 + 120
C ( 15 ) = 6750 - 30
C ( 15 ) = 6720
Custo total é 6720
Agora pra calcular o custo médio , basta pegar esse 6720 e dividi por 15 ,
= 6720 ÷ 15
= 448
R = O custo médio para produzir 15 unidade desse artigo é de R$ 448,00
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Questão 3/5 - Cálculo: Conceitos
Considere uma cultura de bactérias cuja população (P) num certo instante (t),é de 1000 indivíduos. Considere, também, por um tipo especial de divisão celular, a quantidade de indivíduos dessa cultura dobre a cada hora. 
Com base nas informações acima e nos conteúdos do livro-base Descomplicando: um novo olhar sobre a matemática elementar sobre funções, analise as afirmativas a seguir:
I. ( ) A função que representa esta situação é uma função exponencial.
II.(  ) A representação gráfica da função que representa esta situação é uma reta.
III.(  ) Em cinco horas, o tamanho aproximado da população dessa cultura, supondo que nenhum indivíduo morra nesse intervalo de tempo, é de 32000 indivíduos.
IV.( ) Em três horas, o tamanho aproximado da população dessa cultura, supondo que nenhum indivíduo morra nesse intervalo de tempo, é de 6000 indivíduos.
Agora, marque a sequência correta:
	
	A
	V - F - V - F
	
	B
	V - F - F - F
	
	C
	F - F - F - V
	
	D
	F - F - V - F
	
	E
	V - V - F - F
p(5)=1000×2^5
p(5)=1000×32=32000
IV( F )>>>>>p(t)=1000×2^t
p(3)=1000×2^3
p(3)=1000×8=8000
1. Verdadeiro 2. Falso 3. se a população incial for 1000, verdadeiro 4. não, seria de 8000. 
Questão 4/5 - Cálculo: Conceitos
Leia o excerto de texto a seguir:
"Suponha que  bb e yy sejam números positivos, b≠1b≠1.
O logaritmo de yy na base bb, representado por logbylogby, é definido como o número xx tal que bx=ybx=y ". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: AXLER, Sheldon. Pré-cálculo: uma preparação para o cálculo. Tradução: Maria Cristina Varriale e Naira Maria Balzaretti.  2. ed. Rio de Janeiro:/ LTC, 2016.
Considerando o excerto  de texto anterior e os conteúdos do livro-base Descomplicando: um novo olhar sobre a matemática elementar sobre logaritmos, analise  as expressões que seguem, marcando V para as verdadeiras e F para as falsas:
I.   (    )  log 0,001=3log 0,001=3
II.  (    )  log 3 81=4log 3 81=4
III. (    )  log 5 1125=−3log 5 1125=−3
IV.  (    ) log 2 6√128=76log 2 1286=76
Agora, assinale a alternativa que indica a sequência correta:
	
	A
	V - V - V - V
	
	B
	F - V - V - V
	
	C
	F - F - V - V
	
	D
	F - F - F - V
	
	E
	F - V - V - F
letra E
Explicação passo-a-passo:
Oi também faço na UNINTER e se for a mesma questão que a minha a resposta é a letra E.
Log 0,001 eu fiz na calculadora e é -3, logo essa alternativa é falsa.
log3 81 = x é feito da seguinte forma:
De acordo com o enunciado b^x=Y''
Então Y''=3^x (o 3 é a base do log, e o x é o resultado da conta)
Assim 3^x=81 (o 81 já é dado no log3 81)
Tendo isso precisamos pensar em qual expoente na base 3 resulta em 81, eu só consegui fazer pelo método de tentativa e erro, entao ficou assim:
3^1=3
3^2=9
3^3=27
3^4=81
Ou seja, o x que estamos procurando na equaçao é igual a 4, logo log3 81 = 4 o que faz com que a segunda alternativa seja verdadeira...
Fiz os mesmos calculos nas duas seguintes sendo a alternatico III 
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Questão 5/5 - Cálculo: Conceitos
Certa localidade brasileira apresenta crescimento populacional de acordo com a função f(x)=22+x−13f(x)=22+x−13 mil habitantes, onde x representa o tempo decorrido (dado em anos). 
Fundamentando-se nos dados acima e nos conteúdos do livro-base Descomplicando: um novo olhar sobre a matemática elementar sobre aplicações de funções, resolva a situação proposta a seguir.
Mantendo-se esse ritmo de crescimento populacional, dado pela função acima exposta, sobre a população desta localidade analise as afirmativas a seguir, assinalando V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
I.( ) Dentro de 10 anos a população será de mais de 30 mil habitantes.
II.( ) Para que alcance uma população de mais de 35 mil habitantes serão necessários mais de 16 anos.
III.( ) A população dentro de 4 anos será menor que 50 mil habitantes.
IV.( ) A representação gráfica desta função é uma reta.
 
Agora, marque a sequência correta.
	
	A
	V - V - V - F
	
	B
	F - V - F - V
	
	C
	V - F - V - F
	
	D
	F - V - V - V
	
	E
	V - V - V -V
É simples,pois é só substituir o valor de x ou f(x) de acordo com as afirmações
1) x=10..... f(10)=22+10-1/3....f(10)=25. logo,F
2) f(x)=30mil... 30=22+x-1/3.....x=25. logo,F
e assim vai indo,espero que tenha entendido
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Questão 1/5 - Álgebra Linear
Leia o enunciado abaixo:
Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Se W forma um espaço vetorial em relação às operações de V, dizemos que W é um subespaço vetorial de V. Com base nisso, analise as afirmativas:
I. O subconjunto W={(x1,0); x1∈R}
 é um subespaço vetorial de V=R2.
II. Considere V={f:R→R; f é função}. O subconjunto W={f:R→R;f é contínua} é um subespaço vetorial de V.
III. Seja V=M2(R) o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2. O subconjunto W={A∈V;detA≠0} é subespaço vetorial de V.
Está correto o que se afirma em:
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
	
Questão 2/5 - Álgebra Linear
Considere a matriz A=[aij]2×2 definida por aij={i2+j, se i=ji+j,se i≠j. A matriz inversa de A é
	
	A
	A−1=[2−1−12/3].
	
	
	B
	A−1=[21−12/3].
	
	
	C
	A−1=[2112/3].
	
	
	D
	A−1=[122/31].
	
	
	E
	A−1=[−122/3−1].
	
	
Questão 3/5 - Álgebra Linear
Abaixo estão apresentadas duas etapas do escalonamento da matriz A=⎡⎢⎣1−2110−1042⎤⎥⎦:
⎡⎢⎣1−2110−1042⎤⎥⎦ L2←L2−L1 ⎡⎢⎣1−210x−2042⎤⎥⎦ L3←L3−2L2 ⎡⎢⎣1−210x−200y⎤⎥⎦.
Assinale a alternativa que contém o valor de x e o valor de y:
	
	A
	x = -2 e y = 4.
	
	B
	x = -2 e y = -6.
	
	C
	x = 2 e y = -6.
	
	D
	x = 2 e y = 6.
	
	E
	x = 2 e y = 4.
Questão 4/5 - Álgebra Linear
Seja B = {(1,1,1),(−2,1,1),(0,−1,1)} base do R3.   Verifique se esta base é ortonormal.  Se não for, obtenha, a partir de B, uma base B' que seja ortonormal.
	
	A
	B é base ortonormal.
	
	B
	B´={(1√3,1√3,1√3),(−2√6,1√6,1√6),(0,−1√2,1√2)}
	 
	
	C
	B´={(1√4,2√4,−3√4),(3√20,0,1√20),(1√5,−5√5,−3√5)}
	
	
	D
	B´={(1√5,2√5,−3√5),(3√10,0,1√10),(1√3,−5√3,−3√3)}
	 
	
	E
	B´={(−1√14,−2√14,3√14),(3√10,0,1√10),(1√35,−5√35,−3√35)}
Questão 5/5 - Álgebra Linear
Encontre todos os autovalores e autovetores da transformação linear T:R2→R2, definida por T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y).
	
	A
	v1=(−1,25),λ1=2u2=(2,−1),λ=−2
	
	
	B
	v1=(−1,2),λ1=1u2=(1,1),λ2=3
	
	
	C
	v1=(2,14),λ1=2u2=(−2,−1),λ2=3
	
	
	D
	v1=(5,1),λ1=0u2=(3,−1),λ2=−4
	
	
	E
	v1=(1,1),λ1=1u2=(4,1),λ2=−2
Questão 1/5 - Geometria Analítica
Existem dois tipos de grandezas, a grandeza escalar e a grandeza vetorial. As grandezas vetoriais são representadas por vetores, ou seja, possuem módulo, direção e sentido, isso é apenas uma das diversas importâncias de vetores.
Dessa forma, considerando os vetores   e   , é correto afirmar que:
 
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
	
	
	
GABARITO DE CALCULO DIFERENCIAL
Cálculo Diferencial Integral a Uma Variável
	Data de início: 
	09/07/2019 10:50 
	Prazo máximo entrega:
	- 
	Data de entrega:
	24/07/2019 23:31 
Atenção. Este gabarito é para uso exclusivo do aluno e não deve ser publicado ou compartilhado em redes sociais ou grupo de mensagens.
O seu compartilhamento infringe as políticas do Centro Universitário UNINTER e poderá implicar sanções disciplinares, com possibilidade de desligamento do quadro de alunos do Centro Universitário, bem como responder ações judiciais no âmbito cível e criminal. 
Questão 1/5 - Cálculo Diferencial Integral a Uma Variável
A função f(x)=x3−6x2+11x−6
possui no ponto x=3 uma tangente ao gráfico de f(x) de coeficiente angular m e, também, uma reta normal a essatangente, cujo coeficiente angular é m′=−1m .
O coeficiente angular reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto x=3
 é igual a: 
(Livro-base, página 67).
Nota: 0.0
	
	A
	2
Para a solução do problema, calcula-se a derivada da função f(x)=x3−6x2+11x−6
 no ponto x=3 que corresponde ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f . Notamos que a derivada é f′(x)=ddx(x3−6x2+11x−6)=3x2−12x+11 e entãof′(3)=3⋅32−12⋅3+11=2. Com isso o coeficiente angular da reta tangente é m=2
	.
(Livro-base, página 67).
	
	B
	1.
	
	C
	-1/3.
	
	D
	2/3.
	
	E
	1/2
Questão 2/5 - Cálculo Diferencial Integral a Uma Variável
Leia o enunciado a seguir:
A função f(x)=x33+3x2−7x+9
 possui máximo e mínimo relativos que podem ser obtidos por meio das derivadas de f. 
Fonte: Livro-base, p. 106,107.
De acordo com o enunciado e com os conteúdos do livro-base Elementos de cálculo diferencial e integral, os pontos de mínimo e máximo relativos, respectivamente, são:
Nota: 0.0
	
	A
	2 e -5.
	
	B
	1 e -7.
Devem-se obter os pontos críticos de f
 e verificar se correspondem aos pontos de máximo ou mínimo relativos da função. Observamos que f′(x)=0⟺x2+6x−7=0⟺x=1 ou x=−7, o que garante que -7 e 1 são pontos críticos. Além disso, f′′(x)=2x+6.  Como f′′(1)=2⋅1+6=8>0, segue do Teste da Derivada Segunda que 1 é ponto de mínimo relativo de f. Por outro lado, já que f′′(−7)=2⋅(−7)+6=−8<0, o ponto -7 é máximo relativo de f.
	 
(livro-base, p. 106,107).
	
	C
	3 e 4.
	
	D
	4 e 6.
	
	E
	7 e 9.
Questão 3/5 - Cálculo Diferencial Integral a Uma Variável
Leia o enunciado a seguir:
A função quadrática f(x)=3x2+6x+7
tem intervalos de crescimento e decrescimento por possuir ponto de mínimo.
Fonte: Livro-base, p. 111.
Considerando o enunciado e os conteúdos do livro-base Elementos de cálculo diferencial e integral, os intervalos de crescimento e decrescimento de f, respectivamente, são:
Nota: 0.0
	
	A
	[−2,∞)
e (−∞,−2].
	
	
	B
	[−1,∞)
e (−∞,−1].
Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, é necessário calcular os pontos críticos por meio da derivada e, na sequência, aplicar o Teste da Derivada Primeira. Observe que f′(x)=0⟺6x+6=0⟺x=−1.
 Logo, se x>−1, temos f′(x)>0, o que garante que a função é crescente no intervalo [−1,∞).  Por outro lado, se x<−1, 
então f′(x)<0, donde a função é decrescente em (−∞,−1].
	 (livro-base, p. 111).
	
	C
	[−3,∞)
e (−∞,−3].
	
	
	D
	[−4,∞)
e (−∞,−4].
	
	
	E
	[−5,∞)
e (−∞,−5].
	
Questão 4/5 - Cálculo Diferencial Integral a Uma Variável
Leia o enunciado abaixo:
Em uma pesquisa de modelagem matemática, obteve-se a expressão f(x)=x+2x4−9
que representa o comportamento de uma função em torno do ponto x0=2.
Fonte: Livro-base, p. 49.
Considerando o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, nessa pesquisa, foi determinado o limite da função na vizinhança do ponto x0
 e o seu valor é igual a
(Livro-base, p. 49).
Nota: 20.0
	
	A
	1/7.
	
	B
	1/4.
	
	C
	4/7.
Você acertou!
Para o cálculo do limite, basta substituir x0=2
 na expressão que define f(x). Assim, 
limx→2f(x)=limx→2x+2x4−9=2+224−9=47.
	
(Livro-base, p. 49).
	
	D
	7/4.
	
	E
	4.
Questão 5/5 - Cálculo Diferencial Integral a Uma Variável
Leia o enunciado a seguir:
A função f(x)=(4x3+1)5
 corresponde a uma função polinomial que descreve o comportamento da temperatura de uma peça mecânica em função da posição.
Fonte: Livro-base, p. 82.
Considerando o enunciado e os conteúdos do livro-base Elementos de cálculo diferencial e integral, a derivada da função polinomial f(x)
 é igual a:
Nota: 0.0
	
	A
	40x(4x3+1)4
	.
	
	B
	30x(4x3+1)3
	.
	
	C
	20x(4x3+1)4
	.
	
	D
	60x2(4x3+1)4
.
Se u
é uma função que depende da variável x, então ddx[u(x)m]=m⋅u(x)m−1u′(x). Assim, considerando m=5 e u(x)=4x3+1, temos u′(x)=12x2 e, portanto, 
f′(x)=5⋅(4x3+1)4⋅12x2=60x2(4x3+1)4.
	
(livro-base, p. 82).
	
	E
	50(4x3+1)4.
GABARITO ALGEBRA LINEAR
Álgebra Linear
	Data de início: 
	26/06/2019 22:49 
	Prazo máximo entrega:
	- 
	Data de entrega:
	24/07/2019 23:22 
Atenção. Este gabarito é para uso exclusivo do aluno e não deve ser publicado ou compartilhado em redes sociais ou grupo de mensagens.
O seu compartilhamento infringe as políticas do Centro Universitário UNINTER e poderá implicar sanções disciplinares, com possibilidade de desligamento do quadro de alunos do Centro Universitário, bem como responder ações judiciais no âmbito cível e criminal. 
Questão 1/5 - Álgebra Linear
Leia o enunciado abaixo:
Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Se W forma um espaço vetorial em relação às operações de V, dizemos que W é um subespaço vetorial de V. Com base nisso, analise as afirmativas:
I. O subconjunto W={(x1,0); x1∈R}
 é um subespaço vetorial de V=R2.
II. Considere V={f:R→R; f é função}. O subconjunto W={f:R→R;f é contínua} é um subespaço vetorial de V.
III. Seja V=M2(R) o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2. O subconjunto W={A∈V;detA≠0} é subespaço vetorial de V.
Está correto o que se afirma em:
Nota: 0.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
A afirmativa I é verdadeira. De fato, considere x,y∈W.
 Logo, existem x1,y1∈R tais que x=(x1,0) e y=(y1,0). Para qualquer c∈R, temos cx+y=(cx1+y1,0)∈W, o que mostra que W é um subespaço vetorial de R2. A afirmativa II também é verdadeira, pois se f e g são funções contínuas e c∈R, então a função (cf+g) é contínua. Já a afirmativa III é falsa, pois A=[1001] e B=[−100−1] pertencem a W, mas A+B∉W
	
(livro-base p. 82-87).
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 2/5 - Álgebra Linear
Considere a matriz A=[aij]2×2
 definida por aij={i2+j, se i=ji+j,se i≠j. A matriz inversa de A
é
Nota: 0.0
	
	A
	A−1=[2−1−12/3].
Com a definição dos elementos da matriz A,
temos A=[2336]. Como A−1=1detAAdjA, obtemos A−1=13[6−3−32]=[2−1−12/3]
	(livro-base p. 51-54)
	
	B
	A−1=[21−12/3].
	
	
	C
	A−1=[2112/3].
	
	
	D
	A−1=[122/31].
	
	
	E
	A−1=[−122/3−1].
	
Questão 3/5 - Álgebra Linear
Abaixo estão apresentadas duas etapas do escalonamento da matriz A=⎡⎢⎣1−2110−1042⎤⎥⎦:
⎡⎢⎣1−2110−1042⎤⎥⎦ L2←L2−L1 ⎡⎢⎣1−210x−2042⎤⎥⎦ L3←L3−2L2 ⎡⎢⎣1−210x−200y⎤⎥⎦.
Assinale a alternativa que contém o valor de x e o valor de y:
Nota: 20.0
	
	A
	x = -2 e y = 4.
	
	B
	x = -2 e y = -6.
	
	C
	x = 2 e y = -6.
	
	D
	x = 2 e y = 6.
Você acertou!
Aplicando a operação elementar: L2←L2−L1,
temos x=0−(−2)=2. Por fim, aplicando a operação: L3←L3−2L2, encontramos y=2−2(−2)=6
	
(livro-base p. 56-61).
	
	E
	x = 2 e y = 4.
Questão 4/5 - Álgebra Linear
Seja B = {(1,1,1),(−2,1,1),(0,−1,1)}
base do R3.   Verifique se esta base é ortonormal.  Se não for, obtenha, a partir de B, uma base B' que seja ortonormal.
Nota: 0.0
	
	A
	B é base ortonormal.
	
	B
	B´={(1√3,1√3,1√3),(−2√6,1√6,1√6),(0,−1√2,1√2)}
 
O conjunto é uma base, pois (1,1,1).(−2,1,1)=0,(1,1,1).(0,−1,1)=0 e (−2,1,1).(0,−1,1)=0.
 Porém não são ortonormais (base de vetores unitários).  Ortonormalizando os vetores: u1=v1|v1|=(1,1,1)√12+12+12=1√3.(1,1,1)u2=v2|v2|=(−2,1,1)√(−2)2+12+12=1√6.(−2,1,1)u3=v3|v3|=(0,−1,1)√02+(−1)2+12=1√2.(0,−1,1)
	
(livro-base p. 150-152
	
	C
	B´={(1√4,2√4,−3√4),(3√20,0,1√20),(1√5,−5√5,−3√5)}
	
	
	D
	B´={(1√5,2√5,−3√5),(3√10,0,1√10),(1√3,−5√3,−3√3)}
	 
	
	E
	B´={(−1√14,−2√14,3√14),(3√10,0,1√10),(1√35,−5√35,−3√35)}
	
Questão 5/5 - Álgebra Linear
Encontre todos os autovalores e autovetores da transformação linear T:R2→R2
, definida por T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y).
Nota: 0.0
	
	A
	v1=(−1,25),λ1=2u2=(2,−1),λ=−2
	
	
	B
	v1=(−1,2),λ1=1u2=(1,1),λ2=3
	
	
	C
	v1=(2,14),λ1=2u2=(−2,−1),λ2=3D
	v1=(5,1),λ1=0u2=(3,−1),λ2=−4
	
	
	E
	v1=(1,1),λ1=1u2=(4,1),λ2=−2
A matriz que representa a transformação T é dada por:
[T]=[−34−12]
Determinamos o polininômio característico:
P(λ)=det(A−Iλ)=∣∣∣−3−λ4−12−λ∣∣∣  = λ2+λ−2=0.
Resolvendo a equação, temos λ1=1 e λ2=−2
Para o cálculo dos autovetores, devemos resolver o sistema:
Av=λ.v
para λ1=1
[−34−12].[xy]  = 1.[xy]
temos o sistema linear
{−4x+4y=0−x+y=0
resolvendo o sistema, temos que x=y    v1=(1,1).
Para λ2=−2
[−34−12][xy]=−2.[xy]
temos o sistema linear
{−x+4y=0−x+4y=0
resolvendo o sistema, temos que x=y4   ou y=4x  e v2=(4,1) 
(livro-base p. 161-167).
APOL
Questão 1/5 - Álgebra Linear
Considere as matrizes A=[aij]2×2
 e B=[bij]2×2 definidas por aij={i+j, se i=j0, se i≠j e bij=2i−3j. A matriz A+B
 é
	
	A
	[1 4 
 1 2].
	
	
	B
	[−3 4
1 2].
	
	
	C
	[1−4
1 2].
	
	
	D
	[1−4
−1 2].
	
	
	E
	[141−2].
RESOLUÇÃO
Para a matriz A, temos:
a11 = 1+1 = 2
a12 = 0
a21 = 0
a22 = 2+2 = 4
Para a matriz B, temos:
b11 = 2.1 - 3.1 = -1
b12 = 2.1 - 3.2 = -4
b21 = 2.2 - 3.1 = 1
b22 = 2.2 - 3.2 = -2
Para A+B:
[2+(-1)   0+(-4)]
[0+1   4+(-2)]
=[1    -4 ]
[1   2]
Questão 3/5 - Álgebra Linear
Considere a transformação T:R3→R3
 definida por T(x,y,z)=(x,y,0). Com base nessa transformação, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa:
I. (   )  T é uma transformação linear.
II. (   ) O núcleo de T é N(T)={(0,0,z); z∈R}.
III. (   ) O conjunto imagem de T satisfaz dim(Im(T))=2.
Agora, marque a sequência correta:
	
	A
	V, V, V.
	
	B
	V, F, V.
	
	C
	V, V, F.
	
	D
	V, F, F.
	
	E
	F, V, V.
	
Questão 5/5 - Álgebra Linear
Considere os vetores u=(−4,10,5), v1=(1,1,−2), v2=(2,0,3) e v3=(−1,2,3).
 Assinale a alternativa que descreve o vetor u como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3:
	
	A
	u=v1−2v2+3v3
	.
	
	B
	u=2v1−v2+4v3.
	
	
	C
	u=−2v1+v2+4v3.
	
	
	D
	u=10v1−7v2+4v3.
	
	
	E
	u=2v1−v2−4v3.
	RESOLUÇÃO
Para que u seja combinação linear dos vetores {V¹, V² e V³}, devem existir escalares α, β, γ ∈ ℜ tais que u = αV¹ + βV² + γV³. Então: 
(-4,10,5) = α (1,1-2) + β (2,0,3) + γ (-1,2,3) > 
α+2β-γ = -4
α+2γ = 10 
-2α+3β+3γ = 5 
Resolvendo o sistema linear vamos obter: α = 2, β = -1 e γ = 4. Portanto, u = 2V¹-V²+4V³
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