Cálculo Diferencial E integrais 1,2 e 3 (434)

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IFF - Instituto Federal Fluminense
Campus Macaé
Engenharia de Automação e Controle
Prof.
o
: Marques Fredman Mescolin
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral IV
Lista 6 � Funções Ortogonais
1. (a) Quando um conjunto pode ser chamado de ortogonal? Quando dizemos que dois
conjuntos são ortogonais, a expressão ortogonal é utilizada com o mesmo sentido?
(b) Quando duas funções f1 e f2 são ortogonais? Quando um conjunto de funções é
ortogonal?
2. Mostre que as funções apresentadas são ortogonais no intervalo indicado
(a) f1(x) = x, f2(x) = x
2
; [−2, 2]
(b) f1(x) = x
3
, f2(x) = x
2 + 1; [−1, 1]
(c) f1(x) = e
x
, f2(x) = xe
−x − e−x; [0, 2]
(d) f1(x) = cos x, f2(x) = sin
2 x; [0, pi]
(e) f1(x) = x, f2(x) = cos(2x); [−pi/2, pi/2]
(f) f1(x) = e
x
, f2(x) = sinx; [pi/4, 5pi/4]
3. Mostre que o conjunto de funções apresentadas ó ortogonal no intervalo indicado.
(a) {sinx, sin 3x, sin 5x, · · ·}, [0, pi/2]
(b) {cosx, cos 3x, cos 5x, · · ·}, [0, pi/2]
(c) {sinnx}, n = 1, 2, 3, · · ·, [0, pi]
4. Determine a norma de cada função nos conjuntos do exercício anterior.
5. Pesquise o modo para se construir um conjunto ortogonal, utilizando o Processo de
Gram-Schmidt.
6. Considere o conjunto de funções A = {1, x, x2, x3, · · ·} definido no intervalo [−1, 1].
Aplique o processo de Gram-Schmidt indicado na questão anterior para determinar um
conjunto ortogonal de funções A′ com base no conjunto A dado.
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