Cálculo Diferencial E integrais 1,2 e 3 (456)

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MAT 0221 - Ca´lculo Diferencial e Integral IV
Turma 46 (Estat´ıstica e Aplicada)
1a Prova - 17 de setembro de 2012
Questa˜o 1: (2,5 pts) Determine se convergem absolutamente, se convergem condicionalmente ou se divergem as se´ries
(a)
∞∑
n=2
(−1)n lnn√
n
, (b)
∞∑
n=2
(−1)n 1
n(lnn)n
.
Questa˜o 2: (3 pts) (a) Mostre que lim
n→∞
∫ 1
0
x3n+3
x3 + 1
dx = 0.
(b) Mostre que lim
n→∞
[∫ 1
0
1
x3 + 1
dx−
(
1− 1
4
+
1
7
− 1
10
+ · · ·+ (−1)
n
3n+ 1
)]
= 0.
(c) Conclua que 1− 1
4
+
1
7
− 1
10
+
1
13
− 1
16
+ · · · =
∫ 1
0
1
x3 + 1
dx.
Questa˜o 3: (2,5 pts) Para que valores de x ∈ R a se´rie
∞∑
n=0
n!
nn
xn converge absolutamente, converge condicionalmente
ou diverge?
Questa˜o 4: (3 pts) (a) Mostre que lim
n→∞
[(
1− 1
2
− 1
4
)
+
(
1
3
− 1
6
− 1
8
)
+ · · ·+
(
1
2n− 1 −
1
4n− 2 −
1
4n
)]
=
ln 2
2
.
(b) Mostre que 1− 1
2
− 1
4
+
1
3
− 1
6
− 1
8
+
1
5
− 1
10
− 1
12
+
1
7
− 1
14
− 1
16
+ · · · = ln 2
2
.
Dica para a Questa˜o 2:
1
1− a = 1 + a+ a
2 + · · ·+ an + a
n+1
1− a, se a 6= 1.
Dica para a Questa˜o 4: lim
n→∞
(
1 +
1
2
+
1
3
+ · · ·+ 1
n
− lnn
)
= γ, sendo γ uma constante satisfazendo
1
2
< γ < 1.
Questa˜o Extra: (a) Mostre que lim
n→∞
∫ 1
0
x4n+4
x4 + 1
dx = 0. (b) Mostre que
∫ 1
0
1
x4 + 1
dx =
∞∑
n=0
(−1)n
4n+ 1
.
1