Aula_06 - Estatística descritiva

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FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 1 
Prezado aluno, 
 
Esta apostila é a versão estática, em formato .pdf, da disciplina online e contém 
todas as informações necessárias a quem deseja fazer uma leitura mais linear do 
conteúdo. 
Os termos e as expressões destacadas de laranja são definidos ao final da 
apostila em um conjunto organizado de texto denominado NOTAS. Nele, você 
encontrará explicações detalhadas, exemplos, biografias ou comentários a 
respeito de cada item. 
Além disso, há três caixas de destaque ao longo do conteúdo. 
A caixa de atenção é usada para enfatizar questões importantes e implica um 
momento de pausa para reflexão. Trata-se de pequenos trechos evidenciados 
devido a seu valor em relação à temática principal em discussão. 
A galeria de vídeos, por sua vez, aponta as produções audiovisuais que você 
deve assistir no ambiente online – aquelas que o ajudarão a refletir, de forma 
mais específica, sobre determinado conceito ou sobre algum tema abordado na 
disciplina. Se você quiser, poderá usar o QR Code para acessar essas produções 
audiovisuais, diretamente, a partir de seu dispositivo móvel. 
Por fim, na caixa de Aprenda mais, você encontrará indicações de materiais 
complementares – tais como obras renomadas da área de estudo, pesquisas, 
artigos, links etc. – para enriquecer seu conhecimento. 
Aliados ao conteúdo da disciplina, todos esses elementos foram planejados e 
organizados para tornar a aula mais interativa e servem de apoio a seu 
aprendizado! 
Bons estudos! 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 2 
Introdução 
Muitos fenômenos observados na natureza e em problemas para os quais 
buscamos soluções são de natureza probabilística, isto é, possuem 
comportamento com certo grau de aleatoriedade e consequente 
imprevisibilidade. 
Essa constatação conduziu à busca e posterior organização do conhecimento para 
formulação de modelos que tratassem tais fenômenos aleatórios no contexto da 
chamada teoria das probabilidades. 
Esta aula apresenta conceitos fundamentais da teoria das probabilidades e 
também algumas distribuições de probabilidade utilizadas em modelagens para 
solução de problemas. 
 
Objetivo: 
1. Apontar os fundamentos da teoria de probabilidades; 
2. Definir distribuições de probabilidade úteis na modelagem e solução de 
problemas. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 3 
Conteúdo 
Definições de probabilidade 
Você sabe o que significa probabilidade? Vejamos duas importantes definições 
para esse conceito: 
 
Grau de certeza sobre a ocorrência 
A palavra probabilidade, sem ainda considerar aspectos matemáticos, está 
associada ao grau de certeza sobre a ocorrência de um determinado evento de 
interesse. 
Supondo que um evento E pode ocorrer de h maneiras diferentes, em um total 
de n modos possíveis e igualmente prováveis, logo, a probabilidade de ocorrência 
do evento (sucesso) é definida por: 
 
 
 
Considerando a probabilidade de não ocorrência do evento (insucesso), esta pode 
então ser definida por: 
 
 
 
Ou seja, p + q = 1. 
 
Frequência relativa de sua ocorrência 
Uma outra definição de probabilidade de um evento é a frequência relativa de 
sua ocorrência, quando o número de observações é muito grande. 
A probabilidade é, portanto, o limite da frequência relativa, quando o número de 
observações tende ao infinito, ou seja, cresce indefinidamente. 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 4 
Probabilidade condicional e independência de eventos 
Se E1 e E2 são eventos, a probabilidade de E2 ocorrer, depois de E1 ter ocorrido, 
é representada por: 
 
 
 
Logo, definida como probabilidade condicional de E2 ocorrer, dado que E1 
ocorreu. 
Se a ocorrência ou não de E1 não afetar as chances de ocorrência de E2, então: 
 
 
 
Então, dizemos que E1 e E2 são eventos independentes. Caso contrário, são 
eventos dependentes. 
Quando eventos ocorrem em série, ou seja, um ocorre e outro ocorre, podemos 
representar por E1E2 a ocorrência de ambos os eventos E1 e E2 e dizemos que 
é um evento composto. 
 
Cálculo da probabilidade de eventos 
O cálculo da probabilidade de eventos ocorre com a utilização da lei da 
multiplicação. Cada evento contará com uma equação específica. Vejamos: 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 5 
 
Atenção 
 Esse conceito pode ser estendido para n eventos independentes, 
ou seja, a probabilidade de ocorrência em série é o produto das 
probabilidades de ocorrência de cada evento. 
 
 
Eventos mutuamente exclusivos 
Se a ocorrência de um evento exclui a de outros, dizemos que eles são 
mutuamente exclusivos ou excludentes. Logo, se E1 e E2 são eventos 
mutuamente exclusivos: 
 
 
 
Se E1 + E2 representa a ocorrência de “E1 ou de E2 ou de ambos”, então: 
 
 
 
Para eventos mutuamente exclusivos: 
 
 
 
 
Atenção 
 Esse conceito pode ser estendido para n eventos mutuamente 
exclusivos, ou seja, a probabilidade de ocorrência em paralelo é 
a soma das probabilidades de ocorrência de cada evento. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 6 
Distribuições de probabilidades 
A fim de introduzirmos o conceito de distribuição de probabilidades, vamos 
utilizar uma variável X para representar os possíveis valores observados em 
eventos. 
Inicialmente, vamos considerar valores discretos para X, ou seja, um conjunto de 
valores discretos X1, X2,..., Xk com probabilidades de ocorrência p1, p2, ..., pk, 
respectivamente. Nesse caso: 
 
A distribuição de probabilidade é dita discreta. 
 
A função p(X) que assume os valores p1, p2, ..., pk, respectivamente, para X = 
X1, X2, ..., Xk, é denominada função de probabilidade ou de frequência de X. 
 
Como X pode assumir um conjunto finito de valores com respectivas 
probabilidades, ele é denominado uma variável aleatória discreta. 
 
Nos casos em que a variável X pode assumir um conjunto contínuo de valores, o 
mesmo raciocínio, visto anteriormente, pode ser aplicado e X passa a ser uma 
variável aleatória contínua, com correspondente distribuição de probabilidade 
contínua. 
 
O polígono de frequência relativa de uma amostra torna-se, para uma população, 
uma curva contínua semelhante à apresentada a seguir: 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 7 
 
 
A área total limitada pela curva e o eixo X é igual a 1, e a área compreendida 
entre as verticais X = a e X = b dá a probabilidade de X estar entre a e b ou: 
 
 
 
A função p(X) é denominada função de densidade de probabilidade ou 
função de densidade. Ela é aplicada em distribuições de probabilidade contínuas 
para X. 
 
Distribuição de probabilidade 
As distribuições de probabilidade, levantadas a partir das respectivas observações 
experimentais ou por modelos teóricos, são utilizadas em soluções de problemas 
práticos associados a fenômenos aleatórios ou probabilísticos. 
Às vezes, sem transparecer, as distribuições de probabilidade fundamentam e 
estão presentes em problemas associados à Teoria de Filas e Simulação, 
embutidas em softwares que automatizam cálculos de probabilidades. 
Vamos estudar os tipos de distribuição de probabilidade: 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 8 
Distribuição binomial 
Considerando p a probabilidade de um evento acontecer (sucesso) e q=1-p a 
probabilidade que ele não ocorra (insucesso), então a probabilidade do evento 
ocorrer exatamente X vezes, em N tentativas (X sucessos e N-X insucessos),é 
dada por: 
 
 
 
Em que X = 0, 1, 2, ..., Ne o fatorial de N: 
N! = N(N-1)(N-2)...1. (0! = 1) 
Essa distribuição discreta é denominada de distribuição binomial ou de Bernoulli. 
 
Distribuição normal 
A distribuição normal se destaca por ser a distribuição que caracteriza a maioria 
dos eventos probabilísticos observados na natureza. Essa distribuição de 
probabilidade é contínua e também é conhecida como a distribuição de Gauss, 
sendo definida pela equação: 
 
 
 
Distribuição de Poisson 
A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade (X = 0, 1, 
2, 3,...) definida segundo a seguinte regra: 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 9 
 
 
Essa distribuição é muito utilizada para calcular probabilidades de ocorrências de 
defeitos raros em sistemas e componentes. 
 
 
 
 
 
Algumas propriedades da distribuição exponencial são: 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 10 
Atividade proposta 
A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por 
uma certa máquina é 0,502 polegadas e o desvio-padrão é 0,005 polegadas. A 
tolerância máxima para o diâmetro é de 0,496 a 0,508 polegadas. Caso uma 
arruela possua diâmetro fora dessa faixa, elas serão consideradas defeituosas. 
Determine a percentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máxima, 
admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente. 
 
A proporção de arruelas não-defeituosas equivale à área limitada pela curva 
normal reduzida entre z = -1,2 e z = 1,2, ou duas vezes a área entre z = 0 e z 
= 1,2. 
Logo, a área = 2(0,3849)=0,7698 ou 77%. 
Assim, a percentagem de arruelas defeituosas é de 100%-77%=23%. 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 11 
Aprenda Mais 
Para saber mais sobre os assuntos abordados nesta aula, sugerimos a leitura 
dos capítulos 6 e 7 da obra a seguir: 
• SPIEGEL, M. R. Estatística. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 1993. 
 
 
Referências 
NAZARETH, H. Curso Básico de Estatística. São Paulo: Editora Ática, 1995. 
SPIEGEL, M. R. Estatística. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 1993. 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 12 
Exercícios de fixação 
Questão 1 
Determine a probabilidade de aparecer um número ímpar em um único lance de 
um dado. 
a) 0,25 
b) 0,50 
c) 0,75 
d) 0,60 
e) 0,45 
 
Questão 2 
Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 bolas vermelhas, 4 
brancas e 5 azuis. Determine a probabilidade de ela ser vermelha ou branca. 
a) 1/2 
b) 3/4 
c) 5/6 
d) 1/3 
e) 2/3 
 
Questão 3 
Uma urna contém 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se 
simultaneamente 3 bolas. Qual a probabilidade de que nenhuma seja vermelha? 
a) 28/55 
b) 14/55 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 13 
c) 21/55 
d) 32/55 
e) 39/55 
 
Questão 4 
As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando cobram um 
pênalti são 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se cada um cobrar uma única vez, 
qual a probabilidade de que pelo menos um marque um gol? 
a) 49/50 
b) 47/50 
c) 45/50 
d) 43/50 
e) 41/50 
 
Questão 5 
Dois jogadores, A e B, jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B 
ganha 40 e 20 terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. 
Determinar a probabilidade de A ganhar todas as três. 
a) 5/8 
b) 1/2 
c) 3/8 
d) 1/8 
e) 3/4 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 14 
Questão 6 
Se 20% dos parafusos produzidos por uma máquina são defeituosos, determinar 
a probabilidade de, entre 4 parafusos escolhidos ao acaso, nenhum ser 
defeituoso. 
a) 0,5935 
b) 0,1536 
c) 0,4096 
d) 0,3520 
e) 0,2865 
 
Questão 7 
A massa média de 500 estudantes do sexo masculino é de 75,5 kg e o desvio-
padrão é 7,5 kg. Admitindo-se que as massas estão distribuídas normalmente, 
determinar quantos estudantes possuem massa entre 60 e 77,5 kg. 
a) 325 
b) 300 
c) 275 
d) 250 
e) 350 
 
Questão 8 
Se a probabilidade de ocorrer um parafuso defeituoso é de 0,1, determinar, para 
um total de 400 parafusos, a média e o desvio-padrão da distribuição. 
a) 60 e 8 
b) 20 e 4 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 15 
c) 40 e 6 
d) 20 e 5 
e) 40 e 8 
 
Questão 9 
Dez por cento das ferramentas produzidas por certo processo de fabricação são 
defeituosas. Determinar a probabilidade de, em uma amostra de 10 ferramentas 
escolhidas ao acaso, exatamente duas serem defeituosas. 
a) 0,15 
b) 0,16 
c) 0,17 
d) 0,18 
e) 0,19 
 
Questão 10 
Sabe-se que a função densidade de probabilidade de uma função exponencial é 
dada pela seguinte expressão: 
 
A média dessa distribuição é: 
a) 3/4 
b) 2/3 
c) 1/3 
d) 2/5 
e) 1/8 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 16 
Aula 6 
Exercícios de fixação 
Questão 1 - B 
Justificativa: Dos seis casos igualmente possíveis, três (quando o dado apresentar 
1, 3 ou 5) são favoráveis ao evento. Logo: p=3/6=1/2=0,5. 
 
Questão 2 - E 
Justificativa: A probabilidade de ser vermelha ou branca é a probabilidade de não 
ser azul. Primeiro, calculamos a probabilidade de ser azul: 
 
Logo, a probabilidade de não ser azul é: 
 
 
Questão 3 - B 
Justificativa: Como nenhuma bola extraída é vermelha, das 12 iniciais, temos 8 
para serem escolhidas. Uma vez retirada, temos 7 bolas não vermelhas entre as 
11 restantes para retirarmos. Por último, sobraram 6 bolas não vermelhas em 
um total de 10 remanescentes. 
 
 
Questão 4 - A 
Justificativa: 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 17 
 
 
 
Questão 5 - D 
Justificativa: 
 
 
Questão 6 - C 
Justificativa: A distribuição na qual o problema se enquadra é a binomial. A 
probabilidade de ocorrer um parafuso defeituoso é p=0,2 e um não defeituoso é 
de q=1-p=0,8. 
 
 
Questão 7 - B 
Justificativa: 
 
A proporção desejada de estudantes é a área entre z=-2,10 e z=0,30. Para esse 
cálculo, como temos valores negativos e positivos de z, calculamos a área de z=-
2,10 até 0 e somamos com a área entre z=0 até z=0,30, ou seja, 
0,4821+0,1179=0,6000. Então, o número de estudantes é 500x0,6=300. 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 18 
 
Questão 8 - C 
Justificativa: N=400, p=0,1 e q=0,9 
 
 
Questão 9 - E 
Justificativa: N=10, p=0,1 e q=0,9 
 
 
Questão 10 - B 
Justificativa: Comparando a expressão do problema com a definição da função 
densidade de probabilidade exponencial podemos identificar lambda e utilizar o 
conhecimento das propriedades da distribuição para resolver o problema. 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 19 
Beniamin Achilles Bondarczuk é Doutor em Engenharia de Produção pelo 
Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia da 
Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE-UFRJ), Mestre em Engenharia de 
Sistemas e Computação e Graduado em Engenharia Mecânica e de Automóveis 
pelo Instituto Militar de Engenharia (IME). Foi professor do IME e de várias 
Instituições de Ensino Superior (IES) no Rio de Janeiro, em cursos de Graduação 
e Pós-Graduação. Atualmente, é Oficial do Exército e trabalha com pesquisa, 
desenvolvimento e avaliação de produtos de defesa. 
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/3689092970048757.