Resumo de Credibilidade

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Resumo para P2
1 Introdução às credibilidades parcial e total
Usa-se X1, ..., Xn para representar o total de perdas/sinistros (ou qualquer
outra coisa relacionada, dependendo do problema) de uma apólice - nos úl-
timos n anos -, com a perda Xi ocorrendo no ano i. Os xi serão chamados
de exposição (ou unidade de exposição) de Xi.
E[Xi] = µ
V [Xi] = σ
2
i = 1, ..., n
X =
1
n
n∑
i=1
Xi
E[X] = µ
V [X] =
σ2
n
Um segurador quer estimar µ, e para isso, usa uma de 3 alternativas:
• Usa um prêmio de manual, M, como estimador de µ.
• Usa X, como estimador de µ (Credibilidade total).
• Usa uma combinação linear de X e M, como estimador de µ (Credibi-
lidade parcial).
2 Credibilidade total
P (|X − µ| ≤ rµ) ≥ p
De acordo com o TCL,
limn−>∞
√
n(X − µ)
σ
∼ N(0, 1)
P (|X − µ| ≤ rµ) = P (|
√
n(X − µ)
σ
| ≤
√
nrµ
σ
) ≥ p
2Φ(
√
nrµ
σ
)− 1 ≥ p
1
√
nrµ
σ
≥ z p+1
2
O que leva à fórmula do padrão para credibilidade total:
n ≥
z2p+1
2
σ2
r2µ2
Pode-se dizer também que essa é a fórmula usada para calcular o número
mínimo de unidades de exposição necessário para credibilidade total.
Numa situação em que há uma variável específica para o número de sinistros
num ano (geralmente definida como Ni) e uma para a severidade da perda
(geralmente definida como Yij), pode-se pedir outras coisas, como:
• Número esperado total de sinistros
nE[Ni] ≥
z2p+1
2
σ2E[Ni]
r2µ2
• Perda total esperada
nE[Xi] ≥
z2p+1
2
σ2E[Xi]
r2µ2
3 Credibilidade parcial
O prêmio de credibilidade é calculado, nesse caso, usando o fator de credibi-
lidade, z.
Pc = zX + (1− z)M
E[Pc] = zE[X] + (1− z)M = zµ+ (1− z)M
V [Pc] = z
2V [X] =
z2σ2
n
P (|Pc − E[Pc]| ≤ rµ) ≥ p
De acordo com o TCL,
limn−>∞
Pc − E[Pc]
V [Pc]
∼ N(0, 1)
P (|Pc−E[Pc]| ≤ rµ) = P (|Pc − E[Pc]
V [Pc]
| ≤ rµ
V [Pc]
) = P (|z
√
n(X − µ)
zσ
| ≤
√
nrµ
zσ
) =
2
= P (|
√
n(X − µ)
σ
| ≤
√
nrµ
zσ
) ≥ p
2Φ(
√
nrµ
zσ
)− 1 ≥ p
√
nrµ
zσ
≥ z p+1
2
O que leva à seguinte fórmula:
z ≤
√
nrµ
z p+1
2
σ
z = min{
√
nrµ
z p+1
2
σ
, 1}
Pode-se também usar o padrão para credibilidade total (e chamá-lo de nT )
da seguinte forma:
z =
√
n
nT
4 Credibilidade de maior precisão
Caso se descubra que o parâmetro µ não é bem estimado por X, é preciso
estimá-lo de forma diferente. O caso mais importante é o em que o parâ-
metro varia, de acordo com certas características de interesse. Para usar a
abordagem de credibilidade de maior precisão, é preciso presumir que:
• Cada segurado é caracterizado por um nível de risco específico, θ.
• O valor de θ varia entre segurados da mesma classe de risco, presunção
que nos permite quantificar as diferenças entre os níveis de risco.
• O nível pode ser visto como uma variável aleatória.
5 Revisão de condicionamento
Para distribuições contínuas:
fX|Y (x|y) = fX,Y (x, y)
fY (y)
fX(x) =
∫ ∞
−∞
fX,Y (x, y)dy =
∫ ∞
−∞
fX|Y (x|y)fY (y)dy
3
E[Xk|Y ] =
∫ ∞
−∞
xkfX|Y (x|y)dx
Para distribuições discretas:
P (X = x|Y = y) = P (X = x, Y = y)
P (Y = y)
P (X = x) =
P (X = x, Y = y)
P (Y = y|X = x)
Propriedade da esperança dupla:
E[X] = E[E[X|Y ]]
Lei da variância total:
V [X] = E[V [X|Y ]] + V [E[X|Y ]]
6 Credibilidade bayesiana
O parâmetro de interesse é tratado como uma variável aleatória, com uma
distribuição a priori. A partir dos dados de perdas observadas, e da distri-
buição do parâmetro, queremos prever os valores de perdas futuras. Para
fazê-lo usa se a densidade preditiva:
fXn+1|x(xn+1|x) =
∫ ∞
−∞
fXn+1|Θ(xn+1|θ)fΘ|x(θ|x)
O prêmio de Bayes nada mais é do que a esperança da preditiva:
pBayes = E[Xn+1|x] = E[E[Xn+1|Θ]|x]
7 Prêmios de Bühlmann e Bühlmann-Straub
O prêmio de de Bühlmann é uma aproximação linear do de Bayes. E é uma
aproximação perfeita em casos em que as distribuições a priori do parâmetro
e a dos dados são conjugadas. Nele, presume-se sempre que as perdas em
diferentes espaços de tempo (Xi) são variáveis independentes e identicamente
distribuídas (i.i.d.). Um problema com isso é que isso não nos permite lidar
com problemas em que a exposição varia. O de Bühlmann-Straub, no en-
tanto, nos permite, com pequenos ajustes às fórmulas.
Prêmio de Bühlmann
pBuhlmann = E[Xn+1|x] = zx+ (1− z)pCol
4
z =
n
n+ I
I =
E[V [X|Θ]]
V [E[X|Θ]]
Equação de falta de enviesamento
E[E[Xn+1|Θ]] = α0 +
n∑
i=1
αiE[Xi]
Equações normais para Bühlmann:
E[Xn+1] = α0 +
n∑
i=1
αiE[Xi]
Cov[Xj, Xn+1] =
n∑
i=1
αiCov[Xi, Xj]
No prêmio de Bühlmann-Straub, as perdas no i-ésimo ano, Xi, passam a
ser uma média dentro do próprio ano, sendo mi o número de unidades de
exposição dentro de cada ano. Dessarte:
Xi =
1
mi
mi∑
j=1
Xij
Com essas mudanças, as perdas Xij não são i.i.d., dependendo, pois, do nú-
mero de unidades de exposição dentro de cada ano, o que não nos permitiria
aplicar a credibilidade de Bühlmann. Mas a utilização da perda média por
ano, Xi, nos confere uma esperança que não depende dos mi. Prêmio de
Bühlmann-Straub
pBuhlmann = E[Xn+1|x] = zx+ (1− z)pCol
z =
m
m+ I
I =
E[V [X|Θ]]
V [E[X|Θ]]
m =
n∑
i=1
mi
X =
1
m
n∑
i=1
miXi
Equação normal para Bühlmann-Straub:
a =
vaj
mj
+
n∑
i=1
αia
5
8 Credibilidade exata
Credibilidade exata ocorre quando os prêmios de Bayes e Bühlmann coin-
cidem. Os exemplos específicos ficarão no outro arquivo, de credibilidade
exata.
9 Fórmulas necessárias
Prêmio Coletivo
pCol = E[X] = E[E[X|Θ]]
Prêmio de Bayes
pBayes = E[Xn+1|x] = E[E[Xn+1|Θ]|x]
Prêmio de Bühlmann
pBuhlmann = E[Xn+1|x] = zx+ (1− z)pCol
z =
n
n+ I
I =
E[V [X|Θ]]
V [E[X|Θ]]
Equação de falta de enviesamento
E[E[Xn+1|Θ]] = α0 +
n∑
i=1
αiE[Xi]
Equações normais para Bühlmann:
E[Xn+1] = α0 +
n∑
i=1
αiE[Xi]
Cov[Xj, Xn+1] =
n∑
i=1
αiCov[Xi, Xj]
Prêmio de Bühlmann-Straub
pBuhlmann = E[Xn+1|x] = zx+ (1− z)pCol
z =
m
m+ I
6
I =
E[V [X|Θ]]
V [E[X|Θ]]
m =
n∑
i=1
mi
X =
1
m
n∑
i=1
miXi
Equação normal para Bühlmann-Straub:
a =
vaj
mj
+
n∑
i=1
αia
7