Matemática Básica

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Apostila de Matemática Básica 
Esta apostila tem por finalidade auxiliar os 
alunos matriculados na disciplina 
“Matemática Básica – Nivelamento” do Curso 
de Licenciatura em Matemática do Campus 
Universitário de Sinop. Nela, estão inseridos 
os principais conceitos matemáticos em nível 
básico, sendo requisitos necessários para a 
compreensão de conteúdos que serão 
abordados em outras disciplinas do curso. 
Nela, as definições matemáticas aparecem 
de forma clara e objetiva, além de apresentar 
exemplos e vários exercícios para a fixação 
dos conceitos. 
 
Profa. Ms. Luciana M. Elias de Assis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
Aula 1 ............................................................ 2 
Exercícios Aula 1 ......................................... 6 
Links videoaulas : Aula 1................................ 9 
Aula 2 ............................................................ 12 
Exercícios Aula 2 ......................................... 15 
Links videoaulas : Aula 2................................ 18 
Aula 3 ............................................................ 19 
Exercícios Aula 3 ......................................... 27 
Links videoaulas : Aula 3................................ 30 
Aula 4 ............................................................ 33 
Exercícios Aula 4 ......................................... 36 
Links videoaulas : Aula 4............................... 36 
Aula 5 ............................................................ 37 
Exercícios Aula 5 ......................................... 41 
Links videoaulas : Aula 5................................ 43 
Aula 6 .................................................... 44 
Exercícios Aula 6 ................................. 46 
Links videoaulas : Aula 6........................ 49 
Aula 7 .................................................... 50 
Exercícios Aula 7 ................................. 52 
Links videoaulas : Aula 7........................ 54 
Aula 8 ..................................................... 55 
Exercícios Aula 8 ................................. 57 
Links videoaulas : Aula 8......................... 60 
Aula 9 .................................................... 61 
Exercícios Aula 9 .................................. 64 
Links videoaulas : Aula 9........................ 66 
Aula 10 .................................................. 68 
Exercícios Aula 10................................... 69 
Links videoaulas : Aula 10....................... 71 
Aula 11 ................................................... 72 
Exercícios Aula 11 ................................ 74 
Links videoaulas : Aula 11...................... 77 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
AULA 1 
 
 
Conjuntos Numéricos 
1. Conjunto dos Números Naturais 
Os números naturais são usados para 
indicar uma contagem, uma ordem ou um 
código. A sequência dos números naturais 
é: 0, 1, 2, 3, ..., e o conjunto que representa 
esta sequência de números é denotado por: 
 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, } 
 
Conjunto dos Números Inteiros 
 Com o passar dos tempos os números 
naturais tornaram-se insuficientes para a 
resolução de todos os problemas 
matemáticos e, na busca de suprir essas 
necessidades, foi criado o conjunto dos 
números inteiros, que é composto pelos 
números naturais (inteiros positivos e o zero) 
e os números inteiros negativos. 
O conjunto dos números naturais é denotado 
por: 
 = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } 
Podemos representar os números inteiros em 
uma reta numérica. Veja: 
 
Módulo, ou valor absoluto de um número 
inteiro 
 Podemos determinar na reta numérica, a 
distância de qualquer ponto em relação à 
origem (representada pelo zero). 
Assim, a distância entre qualquer ponto e a 
origem da reta numérica é chamanda de 
valor absoluto ou módulo de um número 
associado a esse ponto. 
Por exemplo: o valor absoluto do número +4 
é 4 (a distância do ponto 4 à origem é 4). 
Da mesma forma, o módulo de -3 é 3 (a 
distância do ponto -3 à origem é 3) 
Notação de módulo: |-a| = a 
 
Conjunto dos Números Racionais 
 Os números racionais são todos os 
números que podem ser colocados na forma 
de fração, com o numerador e 
denominador , ou seja, o conjunto 
dos números racionais é a união do 
conjunto dos números inteiros com as 
frações positivas e negativas. 
Pode ser representado por: 
 = {x | x = } 
Exemplos: , , 
 
 
Conjunto dos Números Irracionais 
 Os números irracionais são decimais 
infinitas não periódicas, ou seja, são números 
que não podem ser escrito na forma de 
fração. 
Exemplos: Os números abaixo têm uma 
representação decimal não periódica com 
infinitas ordens decimais. 
 = 1,41421356 
 = 1,73205080 
 = 3,14155926 
3 
 
Conjunto dos Números Reais 
 O conjunto dos números reais é a união 
entre o conjunto dos números racionais com 
o conjunto dos números irracionais. 
Pode ser representado por: 
 = = {x | x é racional ou irracional} 
Diagrama geral 
 
De onde temos: 
 e 
 
Resumo das notações utilizadas para os 
conjuntos numéricos 
conjunto dos números naturais: 
 
 
conjunto dos números naturais com exceção 
do zero: 
 
conjunto dos números inteiros: 
 
 
conjunto dos números inteiros não nulos: 
 
 
conjunto dos números inteiros não negativos: 
 
 
 
conjunto dos números inteiros positivos: 
 
 
conjunto dos números inteiros não positivos: 
 
conjunto dos números inteiros negativos: 
 
 
conjunto dos números racionais: 
 
 
conjunto dos números racionais não nulos: 
 
 
conjunto dos números racionais não 
negativos: 
 
 
conjunto dos números racionais positivos: 
 
 
 
conjunto dos números racionais não 
positivos: 
 
 
conjunto dos números racionais negativos: 
 
 
conjunto dos números reais: 
 
 
conjunto dos números reais não nulos: 
 
 
conjunto dos números reais não negativos: 
 
 
 
conjunto dos números reais positivos: 
 
 
 
conjunto dos números reais não positivos: 
 
 
 
conjunto dos números reais negativos: 
 
 
Intervalos reais 
São subconjuntos definidos por 
desigualdades. Para observarmos os 
diferentes tipos de intervalos reais, 
consideramos os números reais a e b, tal que 
a < b. 
4 
 
 Intervalo fechado: 
 ou 
 
 
a b 
 
 Intervalo aberto: 
 ou 
 
 
a b 
 
 Intervalo fechado à esquerda e aberto à 
direita: 
 ou 
 
 
a b 
 
 Intervalo aberto à esquerda e fechado à 
direita: 
 ou 
 
 
a b 
 
 Intervalo ilimitado à esquerda e fechado à 
direita: 
 ou 
 
 
 a 
 
 Intervalo ilimitado à esquerda e aberto à 
direita: 
 ou 
 
 
 a 
 
 Intervalo fechado à esquerda e ilimitado à 
direita: 
 ou 
 
 
a 
 
 Intervalo aberto à esquerda e ilimitado à 
direita: 
 ou 
 
 
a 
 
 
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS 
Estudaremos agora, as quatro operações 
possíveis no conjunto dos números naturais. 
Praticamente, toda a matemática é 
construída a partir dessas operações: adição, 
subtração, multiplicação e divisão. 
 
Adição de Números Naturais 
A primeira operação fundamental na 
matemática é a adição. Onde estaoperação 
esta ligada a ideia de juntar, acrescentar 
algo. 
Exemplo: 
 
Propriedades da Adição 
 Fechamento: A adição no conjunto dos 
números naturais é fechada, pois a soma 
de dois números naturais resulta em um 
número natural. 
a + b = c, onde a, b, c 
Exemplo: 19 + 3 = 22 
 
 Associativa: A adição no conjunto dos 
números naturais é associativa, pois na 
adição de três ou mais parcelas de 
números naturais quaisquer, é possível 
5 
 
associar de quaisquer modos, conforme 
ilustrado a seguir. 
(a + b) + c = a + (b + c) 
 
Exemplo: (2 + 6) + 1= 9 = 2 + (6 +1) 
 
 Elemento Neutro: No conjunto dos 
números naturais, existe o elemento 
neutro que é o zero, pois tomando um 
número natural qualquer e somando com 
o elemento neutro (zero), o resultado 
será o próprio número natural. Assim, 
a + 0 = a 
Exemplo: 5 + 0 = 5 
 
 Comutativa: No conjunto dos números 
naturais, a adição é comutativa, pois a 
ordem das parcelas não altera a soma. 
Assim: 
a + b = b + a 
 
Exemplo: 6 + 10 = 16 = 10 + 6 
 
Subtração de Números Naturais 
A subtração é o ato ou efeito de subtrair 
algo, ou seja, tirar ou diminuir alguma 
coisa. O resultado obtido através dessa 
operação e denominado diferença. 
Exemplo: 
 
Diante da operação de subtração, são 
retiradas algumas propriedades. 
 O conjunto não é fechado em relação à 
operação de subtração, pois 4 – 5 não 
pertence a . 
 O conjunto não possui elemento 
neutro, em relação à operação de 
subtração: 
6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 6 
Logo: 0 – 6 6 – 0 
 A subtração no conjunto não admite a 
propriedade comutativa, pois: 4 – 5 5 - 
4. 
 A subtração no conjunto não aceita a 
propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2 
 10 – (4 -2) 
 
Multiplicação de Números Naturais 
 É a operação que tem por finalidade 
adicionar o primeiro número denominado 
multiplicador ou parcela, tantas vezes 
quantas são as unidades do segundo número 
denominado multiplicador. 
 Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 
quatro vezes: 
 
 O resultado da multiplicação é 
denominado produto e os números dados 
que geram o produto, são chamados fatores. 
Usamos x ou •, para representar a 
multiplicação. 
 
Propriedades da Multiplicação 
 Fechamento: A multiplicação é fechada 
no conjunto dos números naturais , pois 
realizando o produto de dois ou mais 
números naturais, o resultado estará em 
. 
6 
 
 
 Associativa: Na multiplicação, podemos 
associar 3 ou mais fatores de modos 
diferentes. Assim, 
(a b) c = a (b c) 
 
Por exemplo: 
(3 4) 5 = 3 (4 5) = 60 
 
 Elemento Neutro: No conjunto dos 
números naturais existe um elemento 
neutro para a multiplicação que é 1. 
Qualquer que seja o número natural n, 
tem-se que: 1 n = n 1 = n 
 
Por exemplo: 1 7 = 7 1 = 7 
 
 Comutativa: Quando multiplicamos dois 
números naturais quaisquer, a ordem dos 
fatores não altera o produto, Assim, 
a b = b a 
 
Por exemplo: 3 4 = 4 3 = 12 
 
 Distributiva: Multiplicando um número 
natural pela soma de dois números 
naturais, é o mesmo que multiplicar o 
fator, por cada uma das parcelas e a 
seguir adicionar as resultados obtidos. 
Assim, 
a (p + q) = a p + a q 
Por exemplo: 6 (5 + 3) = 6 5 + 6 3 = 48 
 
Divisão de Números Naturais 
 Dados dois números naturais, às vezes 
necessitamos saber quantas vezes o 
segundo está contido no primeiro. O primeiro 
número que é o maior é denominado 
dividendo e o outro número que é menor é o 
divisor. O resultado da divisão é chamado 
quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo 
quociente obteremos o dividendo. 
 
No conjunto dos números naturais, a divisão 
não é fechada, pois nem sempre é possível 
obter um número natural como resultado na 
divisão de outros dois números naturais. 
 
 Por exemplo: 8 3 = 2,66 Logo 2,66 não 
pertence ao conjunto . 
 Relação essencial numa divisão de 
números naturais 
1. Em uma divisão exata de números 
naturais, o divisor deve ser menor que o 
dividendo. 
Por exemplo: 35 : 7 = 5 
 
2. Em uma divisão exata de números 
naturais, o dividendo é produto do divisor 
pelo quociente. 
Por exemplo: 35 = 5 x 7 
 
3. A divisão de um número natural n por 
zero não é possível pois, se 
admitíssemos que o quociente fosse q, 
então poderíamos escrever: 
n 0 = q 
e isso significaria que: n = 0 x q = 0 
o que não é correto! Assim, a divisão de n 
por 0 não tem sentido ou ainda é dita 
impossível. 
 
 
EXERCÍCIOS – Aula 1 
 
 
 
01) Pensei em dois números pares cuja soma 
é 184. Um deles é o dobro do outro mais 
4 unidades. Em que números pensei? 
 
7 
 
02) A diferença entre dois números é 103. 
Quais podem ser esses números? (tente 
encontrar pelo menos 5) 
 
03) Um fazendeiro tem 1394 vacas. Se 
vender 484 delas para seu compadre, 
ambos ficarão com a mesma quantidade 
de vacas. Quantas vacas o compadre 
possui? 
 
04) Responda: Quantas unidades há em 43 
dúzias de bananas? Quantos dias há em 
50 meses? (considere um mês com 30 
dias) 
 
05) Em um trem com 8 vagões de 
passageiros, cada vagão tem 28 
poltronas de dois lugares cada uma. 
Além disso, permite-se que, em cada 
vagão, até 20 pessoas possam viajar em 
pé. Qual é a lotação máxima permitida 
nesse trem? 
 
06) Compare e escreva igualdades aplicando 
a propriedade distributiva da 
multiplicação em relação à adição (ou à 
subtração): 
a) 6.(10 + 5) = 
b) 4.(8 – 7 ) = 
c) 5.(a + 8) = 
d) 3.4 + 3. 7 = 
 
07) Em uma semana, Juca vendeu 65 caixas 
completas de picolés e 8 picolés avulsos. 
Cada caixa completa contém uma dúzia 
de picolés. 
a) Quantos picolés ele vendeu nessa 
semana? 
b) Se sua cota semanal de vendas é de 
80 caixas completas, quantos picolés 
faltam para ele atingi-la? 
 
08) Marcos pensou em um número e, em 
seguida, dividiu-o por 8. A divisão foi 
exata e o quociente foi 15. Em qual 
número ele pensou? 
 
09) Numa divisão, o quociente é 18, o resto é 
7 e o divisor é 45. Calcule o dividendo. 
 
10) Uma loja de produtos de limpeza possui 
em seu estoque 130 caixas de 
detergente. Cada caixa contém duas 
dúzias de frascos. Um cliente fez uma 
encomenda de 1200 frascos. Quantas 
caixas restaram no estoque dessa loja? 
 
11) Célia e Maria colecionam papéis de carta. 
Célia tem o triplo da quantidade de 
papéis de Maria. As duas juntas possuem 
244 papéis de carta. Quanto tem cada 
uma? 
 
12) Três amigos brincavam de adivinhar 
quantas figurinhas havia na coleção de 
Anne. Seus palpites foram 294, 363 e 
356. Um deles errou por 33 figurinhas, 
outro errou por 36 e outro por 29, 
quantas figurinhas Anne tem? 
a) 323 b) 261 c) 352 d) 327 
e) 341 
 
13) A professora Daniela deseja presentear 
os 22 alunos da sua classe com lápis e 
canetas. Ela dispõe de 49 lápis e 32 
canetas. Sabendo que nenhum aluno 
ficou sem receber presentes e que todos 
os presentes foram distribuídos, o que 
podemos afirmar com certeza? 
(a) Algum aluno ficou sem lápis. 
(b) Todos os alunos receberam pelo 
menos duas canetas. 
(c) Algum aluno recebeu mais de três 
itens. 
(d) Nenhum aluno recebeu 10 lápis. 
(e) todos receberam o mesmo número 
de itens. 
 
14) Uma cidade ainda não tem iluminação 
elétrica, portanto, nas casas usam-se 
velas à noite. Na casa da Joana, usa-se 
uma vela por noite, sem queimá-la 
totalmente, e com quatro desses tocos 
de velas, Joana fabrica uma nova vela. 
Durante quantas noites Joana poderá 
iluminarsua casa dispondo de 39 velas? 
 (a) 10 (b) 48 (c) 51 (d) 39 (e) 50 
15) Responda: 
a) Qual é o menor número natural? 
b) Existe o maior número natural? 
c) Quantos números naturais existem? É 
possível responder? 
 
16) Responda: 
a) Existe o menor número inteiro? 
8 
 
b) Quais os números naturais entre -3 e 5? 
c) Quais os números inteiros entre -5 e 5? 
 
17) Pedro pensou em um número inteiro. 
Multiplicou o valor absoluto por 10 e 
obteve 250. Em que número Pedro 
pensou? 
 
18) O antecessor de -100 é: 
a) 99 
b) 101 
c) -99 
 
19) Complete usando ou um número: 
a) -20 ___ ; b) 67 ___ ; c) -22 ___ 
 
20) O que ocorre com os módulos de dois 
números opostos ou simétricos? 
 
21) Responda: 
a) Qual é o valor de –(-35)? 
b) Qual é o oposto do oposto de -86? 
 
22) Qual é o valor destas expressões? 
a) |+27| + |+35| = 
b) |-81| + |-35| = 
c) |-13| - |-15| = 
d) |-21| - |+35| = 
 
23) As letras m e n representam números 
inteiros. Se m = |-49| e n = |+66|, então: 
a) Qual é o valor de m? E o valor de n? 
b) Qual é o valor da expressão m – n? 
 
24) Responda: 
a) Que número está mais distante da 
origem: -900 ou -1000? 
b) Que número está mais próximo da 
origem: -60 ou 200? Qual deles é o 
maior? 
 
25) Calcule: 
a) (+12) + (-8) = 
b) (-25) + (-3) = 
c) (+ 34) – (-56) = 
d) (-320) – (-320) = 
e) (+2) . (-3) = 
f) (-4) . (-3) = 
 
26) As letras a, b, x e y represntam números 
naturais. 
a) Se o produto (x.y) é 30, então qual é o 
valor de 2.(x.y)? 
b) Se a soma (a + b) é 10, então qual é o 
valor de 7.(a + b)? 
c) Se a diferença (x – y) é 50, então qual é 
o valor de 6.(x – y)? 
 
27) O produto de dois números é 40. 
a) Multiplicando-se um dos fatores por 3, 
qual será o novo produto? 
b) Multiplicando-se os dois fatores por 3, 
qual será o novo produto? 
c) Multiplicando-se um dos fatores por 2 e o 
outro por 5, qual será o novo produto? 
28) A soma de dois números é 80. 
Multiplicando-se cada um desses 
números por 6, qual será a nova soma? 
29) Considere que as letras a e b 
representam números naturais e que a + 
b = 45 Responda: 
a) Qual é o valor de (a + b) + 100? 
b) Qual é o valor de (a + b) - 100? 
 
30) Quatro números naturais são 
consecutivos. Um deles é 99. Nessa 
situação podemos afirmar que a soma 
desses números: 
a) Pode ser maior que 400. 
b) É sempre maior que 400 
c) É sempre menor que 400. 
d) Nenhuma das anteriores é verdadeira. 
 
31) Nesta figura, as letras x, y e z 
representam números naturais. Podemos 
afirmar que: 
 
 
 y 402 x 1000 z 
 
a) x, y e z são escritos com 4 algarismos. 
b) y< x < 1000 
c) x < y < z 
d) x + y + 402 = z 
 
32) Luis tem uma coleção de bolinhas de 
gude. Ontem ele ganhou 24 bolinhas 
novas de seu primo e ficou com 150. 
9 
 
Desse modo, podemos afirmar que, antes 
de ganhar esse presente de seu primo, 
Luís tinha: 
a) 124 bolinhas 
b) 125 bolinhas 
c) 174 bolinhas 
 
33) As letras a e b representam números 
naturais e a+b=500. Então, podemos 
afirmar que (a + b) 20 é igual a: 
a) 5000 20; b) 25; c) 2500; d) 250 
 
34) Represente cada conjunto escrevendo 
seus elementos entre chaves. 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
35) Represente geometricamente: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
36) Escreva o intervalo correspondente a 
cada representação geométrica: 
a) 
 
 -3 4 
 
b) 
 
 10 
 
c) 
 
 2 11 
 
d) 
 
 -15 0 
 
e) 
 
 -23 -5 
 
 
 
Gabarito: 
1) 60 e 124 
2) 176 e 73; 183 e 80, etc 
3) 426 vacas 
4) 516; 1500 dias 
5) 608 pessoas 
6) – 
7) 788; 172 
8) 120 
9) 817 
10) 80 caixas 
11) Célia: 183 e Maria:61 
12) 327 
13) c 
14) 48 
15) a) 0; b) não; c) infinitos; não 
16) a) não; b) 0,1,2,3,4,5; c) -5,-4,...,5 
17) -25 ou 25 
18) -99 
19) a) ; b) ; c) 
20) são iguais 
21) a) 35; b) -86; 
22) a) 62; b) 116; c) -2; d) -14 
23) a) 49;66 b) -17 
24) a) -1000 e b) -60;200 
25) a) 4; b) -28; c) 90; d) 0; e) -6; d) 12 
26) a) 60; b) 70; c) 300 
27) a) 120; b) 360; c) 400 
28) 480 
29) a)145; b) 
30) a 
31) b 
32) c 
33) b 
34) –; 35) – 
36)a) [3,4], b) ]- ,10]; c) ]2,11]; d) ]-15, 
0[;e) [-23, -5[; 
 
Links videoaulas: aula 1 
Videoaula 1 – Conjuntos Numéricos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/conjuntos-numericos 
10 
 
 
Videoaula 2 – Conjuntos Numéricos 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/conjuntos-numericos-1 
 
Videoaula 3 – Adição Básica 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicao-basica 
 
Videoaula 4 – Adição nível 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicao-nivel-2-video-1 
Videoaula 5 – Soma nível 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/soma-nivel-2-video-21 
 
Videoaula 6 – Soma nível 3 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/soma-nivel-31 
 
Videoaula 7 – Soma nível 4 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/soma-nivel-41 
 
Videoaula 8 – Somando números negativos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/somando-numeros-negativos 
 
Videoaula 9 – subtração, método alternativo 
mental 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtracao-metodo-alternativo-mental 
 
Videoaula 10 – subtração Básica 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtracao-basica 
 
Videoaula 11 – subtração nível 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtracao-nivel-2 
 
Videoaula 12 – subtração nível 3 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtracao-nivel-31 
 
Videoaula 13 – subtração nível 4 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtracao-nivel-41 
 
Videoaula 14 – Método de multiplicação por 
grades 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/metodo-de-multiplicacao-por-grades1 
 
Videoaula 15 – Multiplicação Básica 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-basica1 
 
Videoaula 16 – Multiplicação nível 2 - 
tabuadas 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-2-tabuadas 
 
Videoaula 17 – Multiplicação nível 3 – 
tabuadas 10, 11 e 12 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-3-tabuadas-do-10-
11-e-121 
 
Videoaula 18 – Multiplicação nível 4 – dois 
dígitos vezes um digito 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-4-dois-digitos-vezes-
um-digito1 
 
Videoaula 19 – Multiplicação nível 5 – dois 
dígitos vezes dois dígitos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-5-dois-digitos-vezes-
dois-digitos1 
 
Videoaula 20 – Multiplicação nível 6 – 
múltiplos dígitos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-6-multiplos-digitos1 
 
Videoaula 21 – Multiplicação nível 7 – mais 
exemplos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-7-mais-exemplos1 
 
Videoaula 22 – multiplicação (porque 
negativo vezes negativo da positivo) 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/por-que-negativo-vezes-negativo-da-
positivo 
 
Videoaula 23 – divisão básica 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisao-basica1 
 
Videoaula 24 – divisão entre números 
racionais 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisao-de-numeros-racionais 
 
 Videoaula 25 – divisão nível 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisao-nivel-21 
 
Videoaula 26– divisão nível 3 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisao-nivel-31 
 
11 
 
Videoaula 27 – divisão nível 4 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisao-nivel-41 
 
Videoaula 28 – divisão parcial de quociente 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisao-parcial-de-quociente 
 
Videoaula 29 – propriedade inversa da 
adição 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-inversa-da-adicao 
 
Videoaula 30 – propriedade inversa da 
multiplicação 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-inversa-da-multiplicacao 
 
Videoaula 31 – propriedade do 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-do-numero-1 
 
Videoaula 32 – propriedade do 1 – segundo 
exemplo 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-do-numero-1-segundo-
exemplo 
 
Videoaula 33 – propriedade associativa da 
adição 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-associativa-da-adicao 
 
Videoaula 34 – propriedade associativa da 
multiplicação 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-associativa-da-
multiplicacao 
 
Videoaula 35 – propriedade comutativa da 
adição 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-comutativa-da-adicao 
 
Videoaula 36 – propriedade comutativa da 
multiplicação 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-comutativa-da-
multiplicacao 
 
Videoaula 37 – a propriedade distributiva 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/a-propriedade-distributiva 
 
Videoaula 38 – propriedade distributiva – 
exemplo 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-distributiva-exemplo-1 
 
Videoaula 39 – propriedade do zero 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-do-zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Aula 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
Para calcular corretamente qualquer 
expressão numérica, é necessário obedecer 
algumas prioridades. Então, devemos ter em 
mente que devemos fazer os cálculos na 
seguinte ordem: 
1. parênteses( ), colchetes [ ] e chaves{ } 
 
2. potência e raiz 
 
3. multiplicação e divisão 
 
4. soma e subtração 
 
Obs.: 
i) Sinais nas operações de multiplicação e 
divisão de números reais: 
x + - 
+ + - 
- - + 
 
ii) Na soma e subtração entre números reais 
prevalece o sinal do maior. 
 
 Exemplos: 
a) 15 + (-4) 3 – 10 = 
=15 – 12 – 10 = 
=-7 
 
b) 5² + – [ 20 : (-4) + 3] = 
=25 + 3 – [(-5) + 3] = 
=25 + 3 – [-2] = 
=25 + 3 + 2 = 
=30 
 
c) 2 + {3 – [1 + (2 – 5 + 4)] + 8} = 
=2 + {3 – [1 + 1] +8} = 
=2 + {3 – 2 + 8} = 
=2 + 9 = 
=11 
 
d) 36 + 2{25 + [18 – (5 – 2)3]} = 
=36 + 2{25 + [18 – (3)3]} = 
=36 +2{25 + [18 – 9]} = 
=36 +2{25 + 9} = 
=36 + 2 34 = 
=36 + 68 = 
=104 
 
e) [(5² - 6 2²)3 + (13 – 7)² : 3] :5 = 
=[(25 – 6 4)3 + 6² : 3] :5 = 
=[(25 – 24)3 + 36 :3] :5 = 
=[1 3 + 12] :5 = 
=[3 + 12] : 5 = 
=15 : 5 = 3 
 
 
Introdução à aritmética dos Números 
 
Números Primos 
Chamamos de número primo qualquer 
número natural n>1 que tenha apenas dois 
divisores diferentes: 1 e ele próprio. 
Os números que têm mais de dois 
divisores são chamados de números 
compostos. 
Exemplos: 
a) 23 é um número primo. Seus únicos 
divisores são: 1 e 23. 
b) 42 é um número composto. Além de ser 
divisível por 1 e 42, é também divisível por 2, 
3, 6, 7, 14 e 21. 
 
Reconhecendo números primos 
Crivo de Eratóstenes 
O Crivo de Eratóstenes foi um dos primeiros 
métodos conhecidos para se encontrar 
números primos, que consiste em organizar 
os números inteiros positivos a partir do 
número 2, em ordem crescente, numa tabela 
composta por números de 2 a n, e remover 
os múltiplos de cada primo determinado. 
13 
 
Logo, aparecerão nessa sequência números 
que não serão múltiplos dos anteriores e, 
portanto, não serão removidos da tabela. 
Estes números serão os números primos 
procurados. 
Inicialmente, colocamos na tabela, uma 
sequência de inteiros positivos numerados de 
2 a 100 conforme segue: 
 
Aplica-se o conceito de número primo para o 
inteiro positivo 2. Sabendo-se que o número 
2 é um número primo, marca-se na tabela 
todos os números que sejam múltiplos de 2; 
 O primeiro número da sequência que 
aparecer sem estar marcado será um 
número primo, que neste caso, é o número 3. 
Em seguida, marca-se todos os números que 
sejam múltiplos de 3; 
 O próximo número que aparecer sem estar 
marcado, que neste caso, é o número 5, será 
o nosso terceiro número primo da sequência 
numérica da tabela. 
Seguindo este raciocínio um número finito de 
vezes, é possível ao final determinar todos os 
números primos p compreendidos entre 2 e 
100 da tabela acima. 
Obs: é possível ainda, criar uma sequência 
de números primos acima de 100 a partir do 
crivo de Eratóstenes. 
Além disso, para saber se um número é 
primo, podemos utilizar o seguinte algoritmo: 
1º) Dado um número natural n, calcule . 
Se a raiz for exata, significa que temos um 
número quadrado perfeito e, portanto 
composto. Se a raiz quadrada não for exata, 
pegue somente a parte inteira do número 
obtido. 
2º) Divida n por todos os naturais maiores do 
que 1 até chegar ao número obtido a partir 
do calculo da raiz quadrada de n. 
3º) Se n não for divisível por nenhum dos 
números da sequência iniciada em 2 e 
terminada no maior número inteiro menor do 
que , dizemos que este número n é primo. 
Caso exista algum divisor nessa sequência, 
então n será composto. 
Por exemplo: Verifique se n=1167 é primo. 
1º) 
2º) Seja 34 o maior natural menor do que 
 
3º) Dividindo 1167 por 2, 3, 4, 5, 6, ...., 34 
temos que 3 é um divisor de 1167. 
Portanto,1167 não é um número primo, pois 
389 x 3 = 1167 
 
Decomposição em fatores primos 
 Um número composto pode ser 
decomposto em fatores primos. sendo 
utilizado o método das divisões sucessivas. 
 Exemplo: 
 
14 
 
 
630 = 2 x x 5 x 7 
Números primos entre si 
 Dois números são denominados primos 
entre si, quando o único divisor comum entre 
os dois é o número 1. 
 Exemplo: Determine os divisores comuns 
de 15 e 16 
D(15) = {1, 3, 5, 15} 
D(16) = {1, 2, 4, 8, 16} 
Portanto o único divisor comum de 15 e 16 é 
1. 
Máximo divisor comum (m.d.c) 
O máximo divisor comum de dois ou mais 
números, na forma fatorada, é o maior divisor 
comum entre eles. 
 Cálculo do m.d.c. 
 Um dos modos de calcular o m.d.c de 
dois ou mais números consiste em utilizar 
a decomposição desses números em 
fatores primos. 
1º) Decompor os números em fatores primos; 
2º) Realizar o produto dos fatores primos 
comuns (os fatores primos comuns são 
considerados com o menor expoente). 
 
Exemplo: 
Acompanhe o calculo do m.d.c entre 84 e 90: 
 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 36 = 
 90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 90 = 
O m.d.c é o produto dos fatores primos 
comuns com menor expoente (neste caso, os 
expoentes são iguais nos dois números, 
então, basta pegar o fator primo de qualquer 
um dos números) . Portanto, m.d.c (84,90) = 
2 x 3 = 6 
O m.d.c de dois ou mais números, quando 
fatorados, é o produto dos fatores comuns a 
eles, cada um elevado ao menor expoente. 
 Calculo dom.d.c pelo processo das 
divisões sucessivas. 
Neste processo efetuamos sucessivas 
divisões utilizando o algoritmo da divisão, até 
chegar a uma divisão exata. O último resto 
não nulo das sucessivas divisões será o 
m.d.c. procurado. 
Exemplo: Calcule m.d.c (48,30) 
1. Dividimos o número maior pelo número 
menor; 
48 30 = 1 (com resto 18) 
2. Realize uma nova divisão entre o divisor 
30 com o resto 18 obtido. 
Repita este processo até que o resto seja 
zero. 
 Assim: 
dividendo = quociente x divisor + resto 
48 = 1 x 30 + 18 
30 = 1 x 18 + 12 
18 = 1 x 12 + 6 
12 = 2 x 6 + 0 
 
3. O último resto não nulo obtido a partir das 
sucessivas divisões feitas acima 
corresponde ao número 6. Portanto, 
m.d.c (48,30) = 6 
 
 
Mínimo múltiplo comum (m.m.c) 
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais 
números naturais é o menor dos múltiplos 
comuns a eles, diferentes de zero. 
Ou ainda: 
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais 
números escritos na forma fatorada, é o 
produto dos fatores comuns e não comuns 
desses números. Os fatores comuns são 
considerados com o maior expoente. 
 
15 
 
 
Cálculo do m.m.c 
Para calcular o m.m.c de dois ou mais 
números podemos usar: 
 Decomposição simultânea em fatores 
primos. 
 
 Exemplo: 
Calcular o m.m.c entre 18,25 e 30. 
 
m.m.c (18,25,30) = = 
 = 450 
 
 Decompondo cada número 
separadamente. 
1º) decompor em fatores primos cada 
número; 
2º) multiplicar os fatores primos comuns e 
não comuns e, entre os fatores comuns, 
escolher aquele que apresenta maior 
expoente. 
Exemplo: 
 
 
18 = 2 x 32 
30 = 2 x 3 x 5 
25 = 52 
 
Então, mmc (18,25,30) = 2 x 32 x 52= 450 
 
 
EXERCÍCIOS – Aula 2 
 
 
01) Três crianças com idades acima de um 
ano estão brincando em um pátio. Sabe-se 
que o produto das idades delas é igual a 105. 
Qual é a idade da mais velha? Justifique sua 
resposta. 
 
02) Dentre os números abaixo, existe um que 
é o resultado da multiplicação do número 
quatro com certo número primo. Qual é este 
número? 
a) 252 b) 84 c) 200 d) 204 e) 124 
 
03) O professor de Matemática disse que 
tinha uma certa quantidade de dinheiro que 
era divisível por 5, por 6 e por 7. É claro que 
essa quantidade pode ser zero. Mas, se ela 
não for nula, qual é o seu menor valor? 
 
04) Em uma mercearia o proprietário deseja 
estocar 72 garrafas de água, 48 de suco e 36 
de mel em caixas com o maior número 
possível de garrafas, sem misturá-las e sem 
que sobre ou falte garrafa. Qual deve ser a 
quantidade de garrafas por caixa? 
 
05) Pense em um número natural e em seu 
dobro. Diga qual é o mmc dos dois e dê um 
exemplo. 
 
06) Indique se é verdadeira (V) ou falsa (F) 
cada uma das seguintes afirmações: 
a) Todos os números pares são múltiplos de 
dois. 
b) Qualquer número é divisor de si próprio. 
c) Todos os múltiplos de três são números 
ímpares. 
d) O número um é múltiplo de todos os 
números naturais. 
e) O conjunto dos múltiplos de sete, é um 
conjunto infinito. 
f) Um é divisor de qualquer número 
g) Qualquer número é múltiplo de si próprio 
 
16 
 
07) Paulo está doente. O médico receitou-lhe 
um comprimido de 6 em 6 horas e uma 
colher de xarope de 4 em 4 horas. Seu pai 
deu-lhe um comprimido e uma colher de 
xarope à zero hora (meia noite). Qual é o 
primeiro horário em que Paulo voltará a 
tomar comprimido e xarope ao mesmo 
tempo? 
 
08) Uma escada tem 30 degraus. Rubinho 
está subindo essa escada de 3 em 3 degraus 
e Felício de 2 em 2 degraus. Responda: 
a) Algum deles vai pisar no 15º degrau? 
b) Algum deles vai pisar no 23º degrau? 
c) Algum deles vai pisar no 18º degrau? 
d) Em quais degraus os dois irão pisar 
juntos? 
 
09) Daniel escreveu a lista, em ordem 
crescente, de todos os números inteiros de 1 
a 100 que são múltiplos de 7 ou tem o 
algarismo 7. Os três primeiro números da 
lista são 7, 14 e 17. Quantos números possui 
essa lista? 
a) 28; b) 29; c) 30; d) 31; e) 32 
 
10) De que forma explícita podemos escrever 
o conjunto de todos os múltiplos de um 
número natural n? 
 
11) Quantos elementos possui e como é 
escrito o conjunto dos múltiplos do elemento 
0? 
 
12) Para obter os divisores de um número 
natural a, basta saber quais os elementos 
que, multiplicados entre si, têm por resultado 
o número a. Com base nessa afirmação, 
obtenha o conjunto de divisores de cada um 
dos números: 13, 18, 25, 32 e 60. 
 
13) Conhecendo um método para identificar 
os números primos, verifique quais dos 
seguintes números são primos: 
a) 49; b) 37; c) 12; d) 11 
 
14) Qual é o menor número primo com dois 
algarismos? 
 
15) Qual é o menor número primo com dois 
algarismos diferentes? 
 
16) Exiba todos os números primos 
existentes entre 10 e 20? 
 
17) Decompondo o número 192 em fatores 
primos encontramos: 
a) três fatores 2 
b) cinco fatores 2 
c) seis fatores 2 
d) dois fatores 3 
e) um fator 3 
 
18) Usando a decomposição em fatores 
primos calcule: 
a) mdc ( 28, 70 ) 
b) mmc ( 49, 15 ) 
c) mmc ( 32, 56 ) 
d) mmc ( 48, 72 ) 
e) mmc ( 28, 70 ) 
f) mmc ( 12, 14, 16 ) 
g) mdc ( 60, 46 ) 
h) mdc ( 64, 80, 52 ) 
 
19) Indique, dentre estas opções, aquela que 
apresenta todas as informações corretas: 
a) 12 é múltiplo de 2,3 e de 9; 
b) 2, 3 e 7 são divisores de 7; 
c) 2,3 e 6 são divisores de 12; 
d) 12 é múltiplo de 24 e 39. 
 
20) Determine apenas o sinal de cada 
produto: 
a) (-5).(+2).(-2).(+3).(-3) 
b) (-1).(+3).(-7).(+2).(+5) 
c) (-27).(+118).(+76).(-17).(+125) 
 
21) Qual é o quociente da divisão de -204 
pelo oposto de -12? 
22) Observe este produto: (+14).(-65) = -910 
a) Qual é o valor do quociente (-910) (-65)? 
b) Qual é o valor do quociente (-910) (+14)? 
 
 
23) Calcule mentalmente e anote o resultado: 
a) (-18) (+6) = 
b) (-35) (-5) = 
c) (+70) (+7) = 
d) (-49) (+7) = 
 
24) Decomponha -60 em um produto de dois 
números inteiros. Apresente no mínimo três 
respostas diferentes. 
 
25) O produto de dois números inteiros é 
900. Um deles é -25, qual é o outro? 
 
26) Calcule o quociente do oposto do oposto 
de -768 por -16. 
 
17 
 
27) A letra n representa um número inteiro. 
Descubra o valor de n nesta igualdade: n + 
(- 25) = - 8 
 
28) O dobro de um número inteiro é igual a 
-150. Descubra que número é esse. 
 
29) Resolva as expressões numéricas: 
 
a) (12 + 37) 5 = 
b) 5 + 2 4 – 9 : 3 = 
c) 507 – (123 : 3) = 
d) [100 + (6² - 23) 7] = 
e) 80 – 5(57 – 18) : (9 + 4)7 = 
f) {[ + (50 : 5) – (- 3)] + 45} = 
g) 91 + 5823 : 647 = 
h) 6(10000 + 100 + 1) – 6(3 7 13 
37) = 
i) [(1 + 2) : 3 + 4] : 5 + 6 = 
j) 25 + {3³ : 9 + [3² 5 – 3(2³ - 5)]} 
k) (-2)³ + (-3)² - 25 = 
l) 24 6 + {[89 – 30 7] (5 + 8) 6}= 
m) [30 (9 – 6)] + [30 : (9 + 6)]= 
n) 5(8 + 15 – 7 + 23 +3) = 
o) {20 + [12 + 3(6 – 2) – 8] 7} = 
p) 3(5 +3) – [(12 + 4²) : 2] = 
 
30) Dividindo 100 por 9, o resto encontrado é 
diferente de zero. De acordo com essas 
informações, responda. 
a) Qual o resto da divisão de 100 por 9? 
b) 100 é múltiplo de 9? 
c) Qual o primeiro múltiplo de 9 antes e 
após 100? 
 
31) Um livro tem 190 páginas. Li 78 e quero 
termina-lo em 4 dias, lendo o mesmo 
número de páginas em cada dia. Quantas 
páginas lerei por dia? 
 
32) Uma quitanda recebeu uma remessa de 
25 caixas de ovos. Cada caixa contém 10 
dúzias. Quantas cartelas, com 30 ovos 
cada uma podem ser formadas com essa 
quantidade? 
 
 
33) Ao final de um dia de trabalho de três 
garçons, um deles contou 24 reais de 
gorjeta, o segundo 57 reais e o terceiro 
recebeu 39 reais. Comoeles sempre 
dividem a gorjeta por igual, quantos reais 
cada um recebeu nesse dia? 
 
34) Resova: 
 
a) 2 + 3 x 5 : 4 – 3 = 
b) 30 . 2 + 5 – (12 : 3) + 5 . 4 = 
c) 4.(5 + 4 . 4) – 2.(8 – 3) . 12 : 4 = 
 
 
35) Coloque V (verdadeiro) ou F (falso). 
a) ( ) 1000 = 7 x 142 + 4. 
b) ( ) 200 é múltiplo de 8. 
c) ( ) 169 = 13 x 13. 
d) ( )12 x 12 = 144. 
 
35) Resolva as expressões numéricas: 
 
a) (125 + 85) · 16 = 
b) 621 − (50 ÷ 5) = 
c) 5 + 3 · 2 − 6 ÷ 2 = 
d) (3 · 3 + 4 · 4 + 5 · 5) − 24 ÷ 3 ÷ 4 = 
e) (10 + 5) · 2 − (5 + 5) ÷ 2 = 
f) (6 · 3 + 2 · 2 + 5 · 0) + 12 ÷ 3 = 
g) 2 · {[20 · (3 + 4) − 5 · (1 + 3)] − 3} = 
h) 1000 − [(2 · 4 − 6) + (2 + 6 · 4)] = 
i) [6+(9÷3)·(2+2+42)·170·(40÷8−3)]÷1−2 = 
j) 24 · 6 + {[89 − 30 · 7] · (5 + 8) · 6} = 
k) 2 · [−3 + (5 − 6)] = 
l) [−(−3) − 5 − (+1)] · [10 ÷ (−5)] = 
m) 60 + 2 · {[4 · (6 + 2) − 10] + 12} = 
n) [(4 + 16 · 2) · 5 − 10] · 100 = 
o) {10 + [5 · (4 + 2 · 5) − 8] · 2} − 100 = 
p) 80 − 5 · (28 − 6 · 4) + 6 − 3 · 4 = 
q) 4 · (10 + 20 + 15 + 30) = 
r) (10 · 6 + 12 · 4 + 5 · 8) − 40 = 
s) [6 · (3 · 4−2 · 5)−4]+3 · (4−2)−(10÷2) = 
t) 67 + {50 · [70 ÷ (27 + 8) + 18 ÷ 2] + 21} = 
u) [30 · (9 − 6)] + [30 ÷ (9 + 6)] = 
v) 58 − [20 − (3 · 4 − 2) ÷ 5] = 
w) 40 + 2 · [20 − (6 + 4 · 7) ÷ 2] = 
 
36) Escreva a expressão numérica associada 
às operações indicadas: 
a) Adicionei 10 com 18 e multipliquei o 
resultado por 2. 
b) Adicionei 10 com 8 e dividi o resultado por 
2. 
c) Subtraí 20 de 50 e multipliquei a diferença 
por 3. 
d) Subtraí 20 de 50 e dividi a diferença por 5. 
 
 
37) Apresente uma expressão numérica que 
resolva o problema a seguir: 
18 
 
O Álbum de figurinhas de Giuliano contém 10 
folhas com espaço para 6 figurinhas, 12 
folhas para 4 figurinhas e 5 folhas para 8 
figurinhas. Se Giuliano já colou 40 figurinhas, 
quantas ainda faltam para completar o 
álbum? 
 
38) Numa divisão, o quociente é 12, o divisor 
vale 15 e o resto, o maior possível. 
a) Qual o resto? 
b) Qual o dividendo? 
39) Carlos dividiu 1000 por 12 e encontrou 
resto diferente de zero. De acordo com essa 
informação, responda. 
a) 1000 é múltiplo de 12? 
b) Qual é o resto da divisão de 1000 por 12? 
c) Qual o primeiro múltiplo de 12 após 1000? 
 
 
 
Links de videoaulas – aula 2: 
Videoaula 01 –introdução a ordem das 
operações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/introducao-a-ordem-das-operacoes 
 
Videoaula 02 –ordem das operações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/ordem-das-operacoes 
 
Videoaula 03 –ordem das operações 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/ordem-das-operacoes-1 
 
Videoaula 04 – exemplo mais complexo 
sobre a ordem das operações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/exemplo-mais-complexo-sobre-ordem-
das-operacoes 
 
 
Videoaula 05 – números primos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/numeros-primos 
 
Videoaula 06 – o Teorema Fundamental da 
Aritmética 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/o-teorema-fundamental-da-aritmetica 
 
Videoaula 07 – reconhecendo números 
primos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/reconhecendo-numeros-primos 
 
Videoaula 08 – encontrando os divisores de 
um número 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/encontrando-os-divisores-de-um-
numero 
 
Videoaula 09 – divisores comuns - exercícios 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisores-comuns-exercicios 
 
Videoaula 10 – máximo divisor comum (mdc) 
www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/
maximo-divisor-comum-mdc 
 
Videoaula 11 – encontrando denominadores 
comuns 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/encontrando-denominadores-comuns 
 
Videoaula 12 – mínimo múltiplo comum 
(mmc) 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/minimo-multiplo-comum1 
 
Videoaula 13 – testes de divisibilidade por 2, 
3, 4, 5,6,9 e 10 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/testes-de-divisibilidade-para-2-3-4-5-6-
9-10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
Aula 3 
 
 
 
Representações Decimais 
Frações Decimais 
São frações em que o denominador é uma 
potência de 10. 
Exemplos: 
Toda fração decimal pode ser escrita na 
forma decimal (escrita numérica com 
vírgula) 
Para uma melhor compreensão vamos ver 
como funciona o nosso sistema de 
numeração. 
O sistema de numeração decimal é 
posicional, isto é, o valor do algarismo 
depende da posição que ele ocupa no 
numeral conforme segue. 
 .... Unidades de Milhar centena 
dezena Unidade .... 
 
Cada posição da esquerda para a direita 
corresponde a um grupo 10 vezes menor que 
o anterior. 
 Por exemplo: Numeral descrito com 
potências positivas de 10: 
 
Se prosseguirmos com o mesmo padrão, 
criando ordens à direita da unidade, teremos: 
 .... Unidades , Décimos Centésimos 
Milésimos .... 
 
Assim: 
 
 Registramos a décima parte da unidade 
como 0,1, que é a forma decimal de . 
 
 
 
 
 A centésima parte da unidade 
corresponde a 0,01: 
 
 
 
 
 A milésima parte da unidade corresponde 
a 0,001: 
 
 
 
 
Assim, se continuarmos uma casa a direita 
da casa das unidades, ela deve representar 
uma quantidade 10 vezes menor, ou seja, 
representar o “décimo”. 
 
Por exemplo: usamos as décimas partes da 
unidade, , que são 
potências negativas de 10, para representar 
as frações. 
 
Exemplo: 
 
Transformando uma fração decimal na 
forma decimal finita 
Coloca-se uma vírgula para 
separar a parte inteira da parte 
fracionária 
20 
 
 
 
A representação decimal de um número 
racional consiste em escrever o numerador e 
separar à direita da vírgula, tantas casas 
quantos são os zeros do denominador. 
Exemplos: 
a) 
b) 
c) 
OBS: Quando a quantidade de algarismos do 
numerador não é suficiente para colocar a 
vírgula, acrescentamos zero à esquerda do 
número. 
Exemplos: 
a) 
b) 
 
Fique atento.... 
A fração pode ser escrita na forma mais 
simples, como: , onde 1 representa 
a parte inteira e 27 representa a parte 
decimal. 
 
Esta notação subentende que a fração 
pode se decomposta na seguinte forma: 
 
 
Transformando um número na forma 
decimal finita em uma fração decimal 
 
Para obter um número racional a partir de 
sua representação decimal basta escrever 
uma fração em que: 
• O numerador é o número decimal sem a 
vírgula. 
• O denominador é o número 1 seguido de 
tantos zeros quantos forem os algarismos do 
número decimal depois da vírgula. 
Exemplos: 
a) 
b) 
c) 
OBS: O número de casas depois da vírgula é 
igual ao número de zeros do denominador. 
 
Propriedades: 
Zeros após o último algarismo 
significativo: Um número decimal não se 
altera quando se acrescenta ou se retira um 
ou mais zeros à direita do último algarismo 
não nulo de sua parte decimal. 
Exemplos: 
a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000 
 
b) 1,002 = 1,0020 = 1,00200 
Multiplicação por uma potência de 10: 
Para multiplicar um número decimal por 10, 
por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula 
para a direita uma, duas, ou três casas 
decimais. 
Exemplos: 
a) 7,4 x 10 = 74 
 
b) 7,4 x 100 = 740 
 
c) 7,4 x 1000 = 7400 
 
Divisão por uma potência de 10: Para 
dividir um número decimal por 10, 100, 1000, 
21 
 
 
etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda 
uma, duas, três, ....casas decimais. 
Exemplos: 
a) 247,5 10 = 24,75 
 
b) 247,5 100 = 2,475 
 
c) 247,5 1000 = 0,2475 
 
Leitura dos números com representação 
decimal 
 
Exemplos: 
0,6 = seis décimos 
0,37 = trinta e sete centésimos 
0,189 = cento e oitenta e nove milésimos 
3,7 = três inteiros e sete décimos 
13,45 = treze inteiros e quarenta e cinco 
centésimos 
130,824 = cento e trinta inteiros e oitocentos 
e vinte e quatro milésimos 
 
Comparação entre números na forma 
decimal 
Para compararmos dois números escritos na 
forma decimal, primeiro comparamos as 
partes inteiras. O maior número será aquele 
que tiver a maior parte inteira. 
Exemplo: 2,12 >1,98 
Se as partes inteiras forem iguais, 
comparamos as ordens dos décimos. Se 
estas forem iguais, comparamos as ordens 
dos centésimos e assim por diante, até 
encontrarmos a ordem que seja ocupada por 
algarismos diferentes. O maior número será 
aquele que tiver o algarismo dessa ordem 
com maior valor. 
 
Exemplo: 1,34 <1,39 pois 
 
 
u d c 
1, 3 4 
1, 3 9 
 
 iguais iguais 9>4 
Obs: Para compararmos números racionais 
ou racionais na forma decimal que são 
negativos, basta compararmos os valores 
absolutos dos números. 
 
Valor absoluto ou módulo de um número é 
a distância do ponto que o representa até a 
origem. 
Exemplo: Determine o módulo de - 3. 
O módulo de -3 é 3, pois -3 está a 3 unidades 
de distância do ponto de abscissa zero. 
 
Notação: |-3| = 3 
Exemplo: Determine qual número é menor: 
 ? 
Como os números são negativos, 
comparamos os módulos. O número que 
possui maior módulo é o menor deles. 
Observe que: e . 
Assim, e e 
 > . Logo, . 
22 
 
Operações com números na forma 
decimal 
 
Adição de números na forma decimal 
Para adicionar números na forma decimal 
basta realizar os seguintes passos: 
 
- iguale o número de casas decimais dos 
números a serem somados, acrescentando 
zeros. Dessa forma, as vírgulas ficarão 
alinhadas; 
 
- depois some milésimos, centésimos, 
décimos, unidades e coloque todas as 
vírgulas alinhadas. 
 
 
Exemplos: 
 
a) 0,3 + 0,81= 1,11 
 
 0,30 
 + 0,81 
 --------- 
 1,11 
 
b) 1,42 + 2,03 = 3,45 
 
 1,42 
 + 2,03 
 -------- 
 3,45 
 
c) 7,4 + 1,23 + 3,122= 11,752 
 
 7,400 
 + 1,230 
 3,122 
 ---------- 
 11,752 
 
Subtração de números na forma decimal 
A subtração de números na forma decimal é 
efetuada de maneira análoga a adição. 
 
Exemplos: 
 
a) 4,4 - 1,21=3,19 
 
 4,40 
 - 1,21 
 -------- 
 3,19 
 
b) 9,1 - 4,323=4,777 
 9,100 
 - 4,323 
 -------- 
 4,777 
 
Multiplicação de números na forma 
decimal 
Para compreender como a multiplicação 
entre números na forma decimal, vejamos 
um exemplo: 
Uma torneira despeja 13,4 litros de água por 
minuto em um tanque. Mantendo a mesma 
vazão, quantos litros de água essa torneira 
despejará em 17 minutos? 
Solução: Podemos resolver este problema de 
duas maneiras diferentes: 
1ª maneira: transformando os decimais em 
frações 
 
 
 
2ª maneira: multiplicando 13,4 por 10, 
calculando 17x134 e dividindo o resultado 
por 10. 
 
 
Em 17 minutos, a torneira despejará 227,8 
litros de água. 
 
23 
 
Exemplo: 4,21 x 2,1= 8,841 
 
Divisão de números na forma decimal 
Na divisão de números a forma decimal, o 
dividendo e o divisor devem ter o mesmo 
número de casas decimais. Devemos igualá-
las antes de começar a divisão. 
 
Por exemplo: Faça a divisão de 42,5 por 5. 
 
Para realizar a divisão entre esses números, 
temos 2 opções: 
 
1ª) transformar os números que estão na 
forma decimal em uma fração. 
 
 
 
 
 
Feito isso, basta dividir 425 por cinquenta. 
 
2ª) Utilizar o algoritmo da divisão. 
 
Neste caso, como 42,5 tem uma casa 
decimal e o divisor não tem nenhuma, 
igualamos as casas decimais escrevendo o 
divisor 5 como 5,0. 
 
Exemplos: 
 
a) 7,2 3,51 = 
 
 
Observe que o número de casas decimais é 
o mesmo, pois 7,2=7,20. Para efetuar a 
divisão, basta eliminar as vírgulas de ambos 
os números e e dividi-los normalmente. 
 
b) 11,7 2,34 
 
 
 
O número de casas decimais é o mesmo, 
pois 11,7=11,70. Para efetuar a divisão, 
basta eliminar as vírgulas de ambos os 
números e dividi-los normalmente. 
 
c) 23 7 = 
 
 
Observe que após dividir 23 por 7, o resto 
desta divisão é 2. Assim, como 2 é menor do 
que 7, temos que adicionar um zero em 2 e, 
dessa forma, acrescentamos uma vírgula no 
quociente. Além disso, a divisão não é 
exata, ou seja, o número 3,2 é um número 
que representa um quociente aproximado por 
falta, até o décimo. Podemos continuar a 
divisão obtendo mais casas decimais para o 
número 3,2. 
 
 
 
Frações 
Fração pode ser entendida como sendo um 
número que exprime uma ou mais partes 
iguais em que foi dividida uma unidade ou 
um inteiro. 
24 
 
 
Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza 
inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, 
cada parte representará uma fração (um 
quarto) da pizza. 
 
Então, uma fração significa dividir algo em 
partes iguais. Assim: indica , sendo a 
e b números naturais, e . O número a 
representa o numerador e o número b 
representa o denominador. 
Exemplo: 
Considerando fração 
Temos que a unidade foi dividida em quatro 
partes. Conforme a figura: 
1/4 1/4 
1/4 1/4 
 
A parte sombreada indica uma parte da 
figura, que representa 
Leitura de frações 
 Metade (um meio) 
 Quatro quintos 
 Três sétimos 
 Dois doze avos 
 
 
Frações equivalentes 
Duas ou mais frações que representam a 
mesma quantidade de uma grandeza são 
chamadas frações equivalentes. 
 
Exemplo: 
Luiz e Otávio ganharam barras de chocolate 
do mesmo tamanho. Luiz dividiu seu 
chocolate em 6 partes iguais e comeu 4 
delas. Otávio preferiu dividir o seu em três 
partes iguais e comeu 2 partes. Quem comeu 
mais chocolates? 
Solução: 
 Observamos que os dois comeram 
quantidades iguais: 
Otávio comeu do chocolate e Luiz comeu 
do chocolate conforme ilustrado a seguir: 
 
As frações e representam a mesma parte 
da unidade e, por isso, são frações 
equivalentes. 
Indicamos assim: = 
Como reconhecer frações equivalentes? 
 
Para saber se e , por exemplo, são 
equivalentes, precedemos da seguinte 
maneira: 
1º Multiplicamos o numerador da primeira 
fração pelo denominador da segunda fração: 
 
25 
 
2º Multiplicamos o denominador da primeira 
fração pelo numerador da segunda fração: 
 
3º Comparamos os resultados obtidos. Se 
obtermos dois produtos iguais, as frações 
são equivalentes: 
9 x 8 = 72 = 12 x 6 
Portanto concluímos que: = 
OBS: 
- Duas frações que possuem a mesma forma 
irredutível são equivalentes. 
- Quando multiplicamos ou dividimos os 
termos de uma fração por um mesmo 
número natural, diferente de zero, obtemos 
uma fração equivalente à fração inicial. 
Simplificação de frações 
Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la 
em uma forma mais simples, para que a 
mesma se torne mais fácil de ser 
manipulada. 
 A simplificação pode ser feita através dos 
processos de divisão sucessiva ou pela 
fatoração. 
1) A divisão sucessiva corresponde a dividir 
o numerador e o denominador pelo 
mesmo número. 
Exemplo: 
 
2) A fatoração corresponde em obter o 
máximo divisor comum entre o 
numerador eo denominador e dividir 
ambos por esse valor. 
Exemplo: Simplifique . 
Como m.d.c. (36,60) = 12, então: 
 
Tipos de Frações 
Fração propria: é aquela em que o 
numerador é menor que o denominador. 
Ex.: (1 2 ) 
Fração impropria: é aquela em que o 
numerador é maior ou igual que o 
denominador. 
Exemplo: 
a) ( 9 5 ) 
 
b) ( 2 = 2 ) 
 
Propriedades das Frações 
Uma fração não se altera, quando se 
multiplica seus dois termos pelo mesmo 
número, sendo ele diferente de zero, ou 
mesmo, fazendo a divisão dessa fração pelo 
mesmo divisor comum. 
 Exemplos: 
a) 
 
b) 
 
Uma fração é alterada quando é adicionado 
ou subtraido um valor igual tanto do 
numerador quanto do denominador. 
 Exemplos: 
a) 
 
b) 
 
Operações fundamentais com frações 
Adição: Há dois casos possiveis: 
1º) Frações com denominadores iguais. 
26 
 
 
Neste caso, somamos os numeradores e 
conservamos o valor do denominador. 
 Exemplos: 
a) 
 
b) 
2º) Frações com denominadores diferentes. 
Neste caso, reduzimos as frações ao mesmo 
denominador comum e, em seguida 
procedemos como no caso anterior. 
Para reduzir duas ou mais frações ao mesmo 
denominador comum, procedemos do 
seguinte modo: 
-Calculamos o mmc dos denominadores. 
Esse mmc será o menor denominador 
comum. 
-Dividimos o denominador comum pelo 
denominador de cada fração e multiplicamos 
o resultado pelo numerador dessa fração. 
Exemplo: Reduza as frações , ao 
mesmo denominador comum. 
Como mmc(3,5,6)=30 então: 
 
 
 
Logo temos que: = 
Exemplo: Usando a redução ao mesmo 
denominador comum, calcule: 
a) = 
Como mmc (4,2) = 4, então, 
 
 
Subtração: Procede-se de maneira análoga 
à adição. 
Por exemplo: 
1º) Frações com denominadores iguais. 
Exemplo: 
 
2º) Frações com denominadores diferentes. 
Exemplo: 
 
Como mmc (2,6) = 6, então: 
 
Multiplicação: O produto de duas ou mais 
frações resulta em uma fração cujo 
numerador é a multiplicação dos 
numeradores das frações a serem 
multiplicadas e o denominador é a 
multiplicação dos denominadores das frações 
a serem multiplicadas. 
Exemplos: 
a) 
 
b) 
 
Inverso Multiplicativo: 
Toda fração (número racional) diferente de 
zero possui um inverso multiplicativo. 
Exemplo: é o inverso de , pois: 
 
Para que um número seja o inverso 
multiplicativo de outro número, o produto 
entre eles deverá ser igual a 1. 
27 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Aula 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Divisão: Para que haja a divisão entre 
frações, multiplicamos a primeira fração pelo 
inverso da segunda fração. 
Exemplo: 
a) 
 
As frações e a reta numérica 
As frações podem ser representadas 
geometricamente na reta numerada. 
Sejamos um exemplo: Obtenha a 
representação geométrica das frações 
. 
Quando os números estão na forma 
fracionária, dividimos o segmento de reta que 
representa a unidade de referência em partes 
iguais, conforme o denominador da fração: 
 Dividimos a unidade em 2 partes iguais 
 
 
Dividimos a unidade em 3 partes iguais 
 
 
 
Dividimos a unidade em 6 partes iguais 
 
 
Representando esses três números em uma 
mesma reta numerada, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
01) Escreva por extenso, os seguintes 
números decimais: 
a) 4, 4 
b) 0, 25 
c) 3, 456 
d) 2, 034 
e) 15, 200 
f) 25, 63 
g) 65, 354 
h) 78, 1234 
i) 321, 225 
j) 154, 890 
k) 759, 1233 
l) 564, 2000 
m) 410, 6 
n) 11, 312 
o) 0, 005 
02) Efetue as adições e subtrações: 
a) 12, 48 + 19 = 
b) 12, 5 + 0, 07 = 
c) 12, 8 + 3, 27 = 
d) 31, 3 + 29, 7 = 
e) 107, 03 + 32, 7 = 
f) 83, 92 + 16, 08 = 
g) 275, 04 + 129, 3 = 
h) 94, 28 + 36, 571 = 
i) 189, 76 + 183, 24 = 
j) 13, 273 + 2, 48 = 
k) 85, 3 − 23, 1 = 
l) 97, 42 − 31, 3 = 
28 
 
m) 250, 03 − 117, 4 = 
n) 431, 2 − 148, 13 = 
o) 400 − 23, 72 = 
p) 1050, 37 − 673, 89 = 
q) 3 − 1, 07 = 
r) 98 − 39, 73 = 
s) 43, 87 − 17 = 
t) 193 − 15, 03 = 
 
03) Efetue as multiplicações e divisões: 
a) 200 × 0, 3 = 
b) 130 × 1, 27 = 
c) 93, 4 × 5 = 
d) 208, 06 × 3, 15 = 
e) 0, 3 × 0, 7 = 
f) 112, 21 × 3, 12 = 
g) 12, 1 × 4, 3 = 
h) 243, 5 × 2, 53 = 
i) 357 × 0, 5 = 
j) 793 × 0, 07 = 
k) 3 ÷ 2 = 
l) 21 ÷ 2 = 
m) 7 ÷ 50 = 
n) 9, 6 ÷ 3, 2 = 
o) 4064 ÷ 3, 2 = 
p) 1, 5 ÷ 2 = 
q) 4, 8 ÷ 30 = 
r) 1, 776 ÷ 4, 8 = 
s) 7, 502 ÷ 12, 4 = 
t) 0, 906 ÷ 3 = 
u) 50, 20 ÷ 5 = 
v) 21, 73 ÷ 1, 06 = 
w) 35, 28 ÷ 9, 8 = 
 
04) Efetue as expressões: 
a) 18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) = 
b) 18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) · 2 = 
c) 5 · [18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) · 2] = 
d) 5 · [18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) · 2] − 12, 33 = 
e) 3 − (0, 7 + 0, 4) · 2 = 
f) 1, 5 · 2 − (2 − 0, 5 · 2) = 
g) 1 − (0, 7 + 0, 3 · 0, 7) = 
 
05) Efetue: 
a) 36, 9 x 721 = 
b) 36, 9 x 7, 21 = 
c) 0, 369 x 7, 21 = 
d) 3, 69 x 7, 21 = 
e) 3, 69 x 0, 721 = 
f) 0, 369 x 0, 721 = 
g) 1, 2 0, 08 = 
h) 3, 2 x 0, 25 = 
i) 0, 15 x 0, 12 = 
j) 123, 45679 x 0, 9 = 
 
06) Se um número racional está na forma 
fracionária e um outro está na forma decimal, 
é possível compará-los, escrevendo, por 
exemplo, a fração na forma decimal. Pode-
se, também, escrever o número decimal na 
forma fracionária e efetuar a comparação 
com o número que está na forma fracionária. 
Qual é o maior número: 0,815 ou ? 
 
07) Compare os números a seguir, colocando 
<, > ou = 
a) 
b) 
c) 
 
08) Represente as frações na forma decimal: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
09) Converta os números que estão forma 
decimal para a forma de fração irredutível: 
a) 0,4 
b) 1,2 
c) 0,065 
d) 3,75 
e) 0,125 
f) 0,025 
 
10) Paulo Pintou de uma figura que 
representa um inteiro. Represente na forma 
decimal a parte não pintada. 
 
11) Identifique os decimais equivalentes a 
1,2: 
a) 102; b) 1,20; c) 1,200; d) 1,0020 
 
12) Coloque uma vírgula no número 25314 
de modo a obter: 
a) um número menor que 3 
b) um número maior que 100 
c) um número maior que 2500 e menor que 
2600. 
 
29 
 
13) Pensei em um número, adicionei 0,73 e 
obtive 1,27. Em que número pensei? 
 
14) Um reservatório de água tem um 
vazamento e perde 0,15 litro por hora. 
Supondo que o vazamento continue no 
mesmo ritmo e que o reservatório continue 
recebendo água, responda: 
a) quantos litros esse reservatório perderá 
em 27 horas? 
b) quantos litros esse reservatório perderá 
em uma semana? 
 
15) Simplifique as frações: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
16) Calcule: 
a) = 
b) = 
c) = 
d) = 
e) = 
f) = 
g) = 
h) = 
i) = 
17) Em julho de 1969, os astronautas 
americanos Armstrong e Aldrin foram os 
primeiros homens a pisar na Lua, lá 
permanecendo cerca de 21 horas. Mais 
tarde, o segundo grupo que pisou na Lua 
permaneceu cerca de uma vez e meia o 
tempo dos primeiros. Quantas horas o 
segundo grupo permaneceu na Lua? 
 
18) Responda: 
a) Quantos dias correspondem a da 
semana? 
b) Quantos dias correspondem a do mês? 
c) Quantas horas correspondem a do dia? 
d) Quantos minutos correspondem a de 
hora? 
e) Quantos anos correspondem a de 
século? 
 
19) Qual é o quociente? 
a) 28,5 0,15 
b) 0,625 
c) 10,24 3,2 
d) 3,408 0,04 
e) 1,743 24,9 
 (resolva este exercício utilizando a divisão 
pelo método da chave e também resolva-o 
convertendo os decimais em fração para 
fazer divisão entre frações) 
 
20) Cálcule o quociente aproximado com 
uma casa decimal após a vírgula. 
a) 38 
b) 138 
c) 267 45 
 
21) A parede de uma cozinha tem 5,7 m de 
comprimento. Ela será revestidacom 
azulejos de 0,15 m por 0,15 m. quantos 
azulejos inteiros poderão ser colocados em 
casa fila? 
 
22) Nesta igualdade n 0,07 = 2, a letra n 
representa um número racional. Qual é o 
valor de n? 
 
23) Determine qual número é menor: 
 
 
 
23) Transforme as frações mistas a seguir 
em frações impróprias: 
a) 
b) 
30 
 
c) 
24) Converta cada fração decimal em 
número decimal. 
a) 
3
10 = 
b) 5
100
 = 
c) 7
1000
 = 
d) 56
10
 = 
e) 43
1000
 = 
f) 1234
10
 = 
g) 51005
100
 = 
h) 57803
100
 = 
25) Coloque os números racionais em ordem 
crescente: 
 
____<____<____<_____<____<____ 
 
Links videoaulas – aula 3 
Videoaula 1 – valor posicional 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/valor-posicional-1 
 
Videoaula 2 – valor posicional 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/valor-posicional-2 
 
Videoaula 3 – valor posicional 3 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/valor-posicional-3 
 
Videoaula 4 – aproximando números inteiros 
1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/aproximando-numeros-inteiros-1 
 
Videoaula 5 – aproximando números inteiros 
2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/aproximando-numeros-inteiros-2 
 
Videoaula 6 – aproximando números inteiros 
3 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/aproximando-numeros-inteiros-3 
 
Videoaula 7 – aproximando valores decimais 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/aproximando-valores-decimais 
 
Videoaula 8 – comparando decimais 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/comparando-decimais 
 
Videoaula 9 – pontos em uma reta numérica 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/pontos-em-uma-reta-numerica 
 
Videoaula 10 – posição dos valores decimais 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/posicao-dos-valores-decimais 
 
Videoaula 11 – posição dos valores decimais 
2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/posicao-dos-valores-decimais-2 
 
Videoaula 12 – convertendo decimais para 
frações 1 – exemplo 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/convertendo-decimais-para-fracoes-1-
exemplo-1 
 
Videoaula 13 – convertendo decimais para 
frações 1 – exemplo 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/convertendo-decimais-para-fracoes-1-
exemplo-2 
 
Videoaula 14 – convertendo decimais para 
frações 1 – exemplo 3 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/convertendo-decimais-para-fracoes-1-
exemplo-3 
 
Videoaula 15 – convertendo decimais para 
frações 2 – exemplo 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/convertendo-decimais-para-fracoes-2-
exemplo-1 
 
31 
 
Videoaula 16 – convertendo decimais para 
frações 2 – exemplo 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/convertendo-decimais-para-fracoes-2-
exemplo-2 
 
Videoaula 17 – convertendo frações em 
decimais 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/convertendo-fracoes-em-decimais 
 
Videoaula 18 – convertendo frações para 
decimais (exemplo 1) 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/convertendo-fracoes-para-decimais-
exemplo-1 
 
Videoaula 19 – convertendo frações para 
decimais (exemplo 2) 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/convertendo-fracoes-para-decimais-
exemplo-2 
 
Videoaula 20 – decimais e frações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/decimais-e-fracoes 
 
Videoaula 21 – decimais na reta numérica 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/decimais-na-reta-numerica 
 
Videoaula 22 – ordenando expressões 
numéricas 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/ordenando-expressoes-numericas1 
 
Videoaula 23 – dividindo decimais 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/dividindo-decimais 
Videoaula 24 – dividindo decimais 2.1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/dividindo-numeros-decimais-21 
 
Videoaula 25 – multiplicando decimais 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-8-multiplicando-
decimais1 
 
Videoaula 26 – multiplicando decimais por 
potências de 10 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicando-numeros-decimais-por-
potencias-de-10 
 
Videoaula 27 – somando números reais - 
aplicação 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/somando-numeros-reais-aplicacao 
 
Videoaula 28– subtraindo problemas com 
decimais 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtraindo-problemas-com-decimais 
 
Videoaula 29 – frações próprias e impróprias 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/fracoes-proprias-e-improprias 
 
Videoaula 30 –frações equivalentes 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/fracoes-equivalentes 
 
Videoaula 31 – exemplo de frações 
equivalentes 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/exemplo-de-fracoes-equivalentes 
 
Videoaula 32 – numerador e denominador de 
uma fração 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/numerador-e-denominador-de-uma-
fracao 
Videoaula 33 – adição de números racionais 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicao-de-numeros-racionais 
 
Videoaula 34 – alterar um numero misto para 
uma fração impropria 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/alterar-um-numero-misto-para-uma-
fracao-impropria 
 
 
 
 
Videoaula 35 – adicionando e subtraindo 
números mistos -exemplo 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicionando-e-subtraindo-numeros-
mistos-05-exemplo-1 
Videoaula 36 – adicionando e subtraindo 
números mistos – exemplo 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicionando-e-subtraindo-numeros-
mistos-05-exemplo-2 
 
Videoaula 37 – adicionando e subtraindo 
números mistos 1 – exemplo 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicionando-e-subtraindo-numeros-
mistos-1-exemplo-1 
 
32 
 
Videoaula 38 – adicionando e subtraindo 
números mistos 1 – exemplo 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicionando-e-subtraindo-numeros-
mistos-1-exemplo-2 
 
Videoaula 39 – comparando frações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/comparando-fracoes 
 
Videoaula 40 – comparando frações 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/comparando-fracoes-2 
 
Videoaula 41 – comparando frações 
impróprias e números mistos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/comparando-fracoes-improprias-e-
numeros-mistos 
 
Videoaula 42 – convertendo números mistos 
em frações impróprias 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/convertendo-numeros-mistos-em-
fracoes-improprias 
 
 
Videoaula 43 –transformando uma fração 
imprópria para um número misto 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/transformando-uma-fracao-impropria-
para-um-numero-misto 
 
Videoaula 44 – dividindo frações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/dividindo-fracoes 
 
Videoaula 45 – dividindo números mistos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/dividindo-numeros-mistos 
 
Videoaula 46 – dividindo números mistos e 
frações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/dividindo-numeros-mistos-e-fracoes 
 
Videoaula 47 – exemplo de divisão de 
frações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/exemplo-de-divisao-de-fracoes 
 
Videoaula 48 – problema prático de divisão 
de frações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/problema-pratico-de-divisao-de-fracoes 
 
Videoaula 49 – problema prático de 
multiplicação de frações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/problema-pratico-de-multiplicacao-de-
fracoes 
 
Videoaula 50 – somando números mistos 
com denominadoresdiferentes 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/somando-numeros-mistos-com-
denominadores-diferentes 
 
Videoaula 51 – somando e subtraindo 
frações com denominadores diferentes 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/somando-fracoes-com-denominadores-
diferentes 
 
Videoaula 52 – somando frações com sinais 
diferentes 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/somando-fracoes-com-sinais-diferentes 
 
Videoaula 53 – problema de expoentes 
envolvendo quocientes 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-do-expoente-envolvendo-
quocientes 
Videoaula 54 – subtraindo frações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtraindo-fracoes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Aula 4 
 
 
 
 
 
 
Dízimas Periódicas 
Veremos agora, que todo número racional 
pode ser representado por uma fração 
decimal finita ou por uma fração decimal 
infinita periódica. 
Para obter a forma decimal de uma fração, 
temos 3 possibilidades: 
1. Representação ou forma decimal finita de 
uma fração; 
2. Representação decimal infinita de uma 
fração – DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES 
3. Representação decimal infinita de uma 
fração ordinária – DÍZIMA PERIÓDICA 
COMPOSTA 
 
1. Representação ou forma decimal finita 
de uma fração. 
 Uma fração ordinária e irredutível 
(número racional), terá uma representação 
decimal finita, quando seu denominador 
contiver apenas os fatores primos 2, 5 ou 2 e 
5. Neste caso, o número de casas decimais, 
será dado pelo maior expoente dos fatores 2 
ou 5. 
Exemplo: 
a) Represente a fração na forma decimal. 
A fração se converterá em uma fração cujo 
denominador é formado por uma potência de 
10, pois 25 = 52. Sua forma decimal terá 2 
casas decimais já que o expoente do fator 5 
é 2. Para tanto, basta multiplicar o numerador 
e o denominador por 22. 
 
b) Represente a fração na forma decimal. 
 
c) Represente a fração na forma decimal. 
 
 
4) Represente a fração na forma decimal. 
A fração se converterá em uma fração 
cujo denominador é formado por uma 
potência de 10, pois 125 = 53. Sua 
representação decimal terá 3 casas decimais 
já que o expoente do fator 5 é 3, ou seja, 
 
 
Caso Geral 
 
, onde, a, b, m, n e são inteiros. 
 
Exercício: Obtenha a representação decimal 
da fração ordinária . 
 
2. Representação decimal infinita de uma 
fração – DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES 
Uma fração ordinária e irredutível se 
transformará numa dízima periódica 
simples quando seu denominador 
apresentar apenas fatores primos diferentes 
de 2 e 5 ou de 2 ou de 5, ou seja, sua forma 
decimal será infinita possuindo um grupo de 
algarismos que se repetem indefinidamente. 
Exemplos: 
34 
 
 
 
a) , converteu-se em um dízima 
periódica simples, já que 11 é o único fator 
primo do denominador e é diferente de 2 e 5. 
Uma notação conveniente e usual para 
indicar uma dízima periódica consiste usar 
uma barra sobre a parte que se repete. Por 
exemplo: . 
 
b) Represente a fração na forma decimal. 
 
Inicialmente, vamos dividir 1 por 3. 
 
Observe que o processo de divisão não 
termina. Sempre teremos um resto diferente 
de zero, ou seja, resto 1 e sempre menor que 
o divisor 3. 
 
Observe que: 
 
( é a fração geratriz dessa dízima). 
Veja a seguir! 
Determinando a fração geratriz da dízima 
periódica simples 
 A geratriz de uma dízima periódica simples é 
a fração cujo numerador é o período (parte 
que se repete) e cujo denominador é formado 
por tantos “noves” quantos forem os 
algarismos do período. Se a dízima possuir 
parte inteira, ela deve ser incluída na frente 
dessa fração, formando um número misto. 
 
Voltando ao exemplo dado: 0,333..., vamos 
justificar porque a geratriz é . 
Seja a equação dada por: 
 x = 0,333... (1) 
Multiplicando a equação (1) por 10 obtemos 
a equação: 
10x = 3,333.... (2) 
Subtraindo a equação (2) da equação (1) 
obtemos: 
 10x = 3,333.... 
- x = 0,333.... 
-------------------------- 
 9x = 3,000... 
Assim, 
 
Resumindo.... 
Coloca-se o período no numerador da fração 
e, para cada algarismo dele, coloca-se um 
algarismo 9 no denominador. 
Exemplo: 0,4444... 
Período 4 e (1 algarismo) 
0,444... = 
 
Exemplo: 0,313131... 
Período é 31 e possui 2 algarismos. 
Então: 0,3131....= 
 
 
3. Representação decimal infinita de uma 
fração ordinária – DÍZIMA PERIÓDICA 
COMPOSTA 
Uma fração ordinária e irredutível se 
transformará em uma dízima periódica 
35 
 
 
 
composta quando seu denominador, além 
dos outros fatores primos 2, 5 ou 2 e 5, 
possuir outros fatores primos quaisquer. 
Exemplo: 
a) é uma dízima periódica 
composta, pois além dos fatores 2 e 5, tem o 
fator 3. 
 
Determinando a fração geratriz da dízima 
composta 
A geratriz de uma dízima periódica composta 
é a fração cujo numerador é o anteperíodo, 
acrescido do período e diminuído do 
anteperíodo e cujo denominador, é formado 
por tantos “noves” quanto forem os 
algarismos do período, acrescido de tantos 
“zeros” quantos forem os algarismos do ante-
período. 
Se a dizima possuir parte inteira, ela deve ser 
incluída à frente dessa fração formando um 
número misto. 
Exemplos: 
a) Calcule a fração geratriz de 0,03666..... 
Observe que o anteperíodo dessa dízima é 
03 (possui 2 algarismos) e o período é 6 
(possui 1 algarismo). 
 
 
b) Calcule a fração geratriz de 2,14272727.... 
 
Observe que 2,14 é a representação decimal 
finita do número racional procurado. Agora, o 
número 0,002727... é a representação 
decimal periódica infinita, cujo período é 27, 
ou seja, possui 2 casas decimais. Assim, 
 . 
Portanto, 
 
 
Resumindo... 
 
Para cada algarismo do período se coloca 
um algarismo 9 no denominador. Mas, para 
cada algarismo do antiperíodo se coloca um 
algarismo zero, também no denominador.No 
caso do numerador, faz-se a seguinte conta: 
(parte inteira com antiperíodo e período) – 
(parte inteira com antiperíodo). 
Exemplo: 0,27777.... 
 
 
 
Fique atento.... 
Todo número real ou é racional, ou é 
irracional. 
Quando um número real é um número 
racional, sua representação decimal ou 
forma decimal pode ser finita ou infinita 
periódica. 
36 
 
EXERCÍCIOS – Aula 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando um número real não é um número 
racional, será neste caso um número 
irracional e sua forma decimal será infinita 
e não periódica. Por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01) Determine a fração geratriz de cada número 
 decimal abaixo. 
 
a) 0,525252 ... = 
b) 0,666 ... = 
c) 0,32444 ... = 
d) 5,241241241 ... = 
e) 0,48121121121 ... = 
f) 34,212121 ... = 
g) 5,131131131 ... = 
h) 0,643777 ... = 
 
02) Assinale as sentenças com v 
(verdadeiras) ou f (falsas): 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
04) Classifique os numerais abaixo em 
racionais ou irracionais: 
a) 0,2222222.... ______________ 
b) 12,5 _____________________ 
c) 2,3434...__________________ 
d) 0,54789 ... ________________ 
e) 2,4458___________________ 
f) 0,444444... _______________ 
g) ______________________ 
h) ____________________ 
 
 
05) Obtenha as frações geratrizes das 
dízimas a seguir: 
 
a) 0,777... = 
b)0,444... = 
c) 0,1818... = 
d) 2,333 ... = 
e) = 
f) = 
g) = 
06) O resultado da expressão 0,555... + + 
3,777... é igual a: 
a) 4; b) 20/3; c) 56/9; d) 69 
 
07) Calcule a dízima periódica e diga se ela é 
simples ou composta: 
a) 5/9 
b) 7/3 
c) 1029/180 
d) 1/36 
e) 5/11 
f) 1/3 
08) O número 0,1357911 ... foi obtido 
colocando-se sucessivamente a sequência 
de números ímpares positivos, a partir do 1. 
Esse número é um racional ou um irracional? 
Por quê? 
09) Entre as afirmações a seguir, qual é a 
verdadeira? 
a) toda dízima periódica é um número 
irracional. 
b) todo número inteiro é natural. 
c) todo número racional é real. 
37 
 
d) todo número real é irracional. 
 
Links de videoaulas – aula 4 
 
Não possui videoaulas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
 
 
 
 
POTENCIAÇÃO 
Potência de expoentes naturais 
Definição: Dado certo número real, e um 
número natural n, chama-se potência de grau 
n do número e denota-se por o produto 
de n fatores iguais a . 
 
Exemplos: 
24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 ( dois a quarta 
potência) 
63 = 6 x 6 x 6 = 216 ( seis ao cubo) 
 
Alguns casos particulares: 
1. Expoente igual a 1: qualquer número com 
expoente igual a 1, tem como resultado o 
número base. 
Exemplos: 
(2)1 = 2 
(3/5)1 = 3/5 
(100)1 = 100 
 
2. Expoente igual a 0: a potência de 
qualquer número real não nulo a com 
expoente 0, tem como resultado o 
número 1. 
Exemplos: 
(8)0 = 1; (1/3)0 = 1; (30)0 = 1 
De um modo geral, tomando o número real 
 temos que pois: 
 
 
 
Propriedades da potenciação 
 Produto de potência de mesma base: 
Na operação de multiplicação entre 
potências de mesma base, o produto é 
igual à potência que se obtém 
conservando-se a base e somando-se os 
expoentes. 
 
 
 
Exemplos: 
a) 
 
3x3x3 3x3 
 
 3 vezes 2 vezes 
 5 vezes 
 
b) 15 x 17 = 15 + 7 = 112 = 1 
 
c) 5 x 52 = 51 + 2 = 5 
 
 
 Divisão de potencia de mesma base: 
Na operação de divisão de potências de 
mesma base, o quociente é igual a 
potencia que se obtém conservando-se a 
base e subtraindo-se os expoentes. 
 
 
 
 
Aula 5 
39 
 
 Exemplos: 
a) 55 52 = 55 – 2 = 53 , pois: 
 
 
 
 
 
b) 1010 104 = 1010 – 4 = 106 
 
c) 34 3 = 34 – 1 = 33 
 
 Potência de Potência: Podemos elevar 
uma potência a outra potência. Para 
efetuar este cálculo conserva-se a base e 
multiplicam-se os expoentes. 
 
 
 Exemplos: 
a) (34)2 = 38, pois 34 34 = 34 + 4 = 
 32 x 4 
 
b) (62)5 = 610, pois 62 62 62 62 62 = 
=62 + 2 + 2 + 2 + 2 = 65 x 2 
 
c) (23)3 = 29, pois 23 23 23 = 23 x 3 
 
 
 Potência de um produto: Para se 
efetuar a operação de potência de um 
produto, basta elevar cada fator a esta 
potência. 
 
 
Exemplos: 
a) (2 5)7 = 27 57 
 
b) (42 53 75)4 = 48 512 720 
 
c) ( 3 = 
 
 
 Potência de Fração: Para calcular a 
potência de uma fração, eleva-se o 
numerador e o denominador da fração a 
essa potência. 
 
 = , b 0 
 
 Exemplos: 
a) = 
 
b) = ; y 0 
 
c) ; y 0 
 
 
 Potência com expoente negativo 
 Toda e qualquer potência que tenha 
expoente negativo é equivalente a uma 
fração a qual o numerador é 1 e o 
denominador é a mesma potência com 
expoente positivo. 
 
 Exemplos: 
a) = = 
 
b) = = 
 
c) = = 
Observação: as propriedades aplicadas 
aos expoentes naturais, também são 
validas para os expoentes negativos. 
 
 Potência de 10: Todas as potências de 
10 têm a função de simplificar e 
40 
 
padronizar o registro de números e ainda, 
facilitar o cálculo de várias expressões. 
Para isso utilizaremos as seguintes 
técnicas: 
 
1. Se o expoente for positivo na potência 
 ( n 0), escreve-se à direita do 1 
tantos zeros quantas forem as unidades 
do expoente. 
 
Exemplos: 
a) 104 = 10000 
b) 107 = 10000000 
c) 108 = 100000000 
 
2. Se o expoente for negativo na potência 
 ( n 0), escreve-se à esquerda do 1 
tantos zeros quantas forem as unidades 
do expoente, colocando uma vírgula 
depois do primeiro zero. 
 
Exemplos: 
a) 10-4 = 0,0001 
Observe que: 
 
b) = 0,00001 
c) = 0,0000000001 
 
3. Decompondo números em potências de 
10: Existem dois casos de decomposição 
de números em potência de 10. 
 
 Se o número for maior que 1. 
 Exemplos: 
a) 100 = 1 x 100 = 1 x 
b) 5000 = 5 x 1000 = 5 x 
c) 20000 =2 x 10000 = 2 x 
 
 Se o número for menor que 1. 
 Exemplos: 
a) 0,002 = 2 x 0,001 = 2 x 
b) 0,0006 = 6 x 0,0001 = 6 x 
c) 0,00003 = 3 x 0,00001 = 3 x 
 
Potência de números relativos: 
Caso o expoente seja par o resultado dará 
sempre positivo. 
 Exemplo: 
a) = 4 
b) = 4 
Caso o expoente seja ímpar, o resultado 
trará sempre o sinal da base da potência. 
Exemplos: 
a) = 27 
b) = 
Obs: , pois = e 
 = . A diferença é que na primeira 
potência apenas o número 2 esta elevado ao 
quadrado, enquanto que na segunda, o sinal 
e o número 2 estão elevados ao quadrado, 
tornando o resultado positivo. 
 
RADICIAÇÃO 
 A radiciação é a operação inversa a 
potenciação. De um modo geral podemos 
escrevê-la: 
 
 
Onde para temos que: 
O número é chamado radicando, 
O número é chamado índice do radical, 
41 
 
O número b é a raiz, 
 é o radical. 
 
Exemplos: 
 = 2 pois = 16 
 = 2 pois = 8 
 
Expoentes fracionários 
*, 
 
Exemplos: 
 
 
 
Propriedade de radiciação 
, pois 
, pois 
, pois 
 
Exemplos: 
a) 
b) = 1 
c) 
 
Propriedades de operações para 
radiciação 
; 
; 
; 
; 
; 
 
Exemplos: 
a) 
b) 
c) 
d) 
Fatoração na radiciação 
 Fatorar um número é achar uma 
multiplicação de números que resulte ao 
número a ser fatorado. 
Agora aplicaremos este conceito para a 
radiciação. 
Tomando : 
Temos que = 
 
Portanto: = 
Racionalização na radiciação 
Consiste em eliminar radicais do 
denominador em uma fração. 
 Denominador igual a : neste caso o 
fator de racionalização é . Para 
eliminar este fator do denominador de 
uma fração, basta multiplicar o 
 
42 
 
numerador e o denominador da fração 
por este fator. 
 
 
Exemplo: 
a) 
 
b) 
 
 
 
 Quando o denominador de uma fração é 
do tipo: , 
, para eliminar 
os radicais do denominador basta 
multiplicar o numerador e o denominador 
da fração pelo conjugado do 
denominador. 
Exemplos: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
01) Calcule as potências: 
 
a) 
b) 15 = 
c) 03 = 
d) 34 = 
e) (-3)4 = 
f) (-2)3 = 
g) h) 45 42 = 
i) 23 . 53 = 
j) 122.62 = 
k) (-2)2.(-3)2.(4)2 = 
l) (23.5.33)2 = 
m) 55 55 = 
n) 
o) = 
p) = 
q) 
r) 20-1 = 
s) (32.4-2)1 = 
t) 53 57 = 
u) 203-1 . 2-1 = 
v) 0-19 = 
 
01) Represente e efetue quando necessário, 
os números a seguir, utilizando potências 
de 10. 
a) 200 = 
b) 5.300.000.000= 
c) 10.000 = 
d) 0,01 = 
e) 0,002 = 
f) 0,00000032 = 
g) (20.000 x 35.000) / 100 = 
 
02) Verdadeiro ou falso: 
a) 1,345 = 1345 x 10-3 
b) 2 x 10-4 = 0,002 
c) 23 x 10-2 = 0,23 
d) 33 . 35 = 98 
e) 73 75 = 7-5 . 73 
f) 5-3 . 53 = 1 
g) (10000.315000000.150-2)/30000.10000 
= 7/15 
 
03) Efetue: 
a) 
b) 
c) 
Exercícios - Aula 5 
43 
 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
04) Racionalize o denominador das frações a 
seguir: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
 
05) Expresse os números a seguir na forma 
de radical: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
06) Simplifique os radicais: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
07) Calcule o valor das expressões: 
a) = 
b) 
c) 
 
08) A letra a representa o produto: 
 
a) Qual é o valor de a? 
b) Qual é o dobro de a? 
c) Qual é o valor do quadrado de a? 
d) Qual é o valor da quarta parte de a? 
 
09) Claudio calculou o cubo de e o dividiu 
por . Que resultado obteve? 
 
10) Calcule a raiz quadrada da soma do 
quadrado de e o quíntuplo de . 
 
11) Qual é o valor de ? 
 
12) Calcule o valor das expressões: 
a) 
b) 
44 
 
c) O valor de é igual ao valor 
de ? 
 
 
13) Calcule as potências: 
a) (0,1)2 
b) (2,3)3 
c) (18,95)0 
 
14) Calcule o valor de (0,5)2 e (0,5)3. Qual 
deles é maior? 
 
15) Calcule: 
a) O quadrado de 6,2 
b) O quadrado de 3,1 
c) A soma do quadrado de 6,2 com o 
quadrado de 3,1 
 
16) Carlos calculou o cubo de 2,8 e o dividiu 
por 1,6. Que resultado ele obteve? 
 
17) Qual é o valor da expressão: (4,3)2 – 
2.1,8 ? 
 
18) Calcule: 
a) ; b) 
 
19) Obtenha os resultados destas 
expressões numéricas: 
a) 
b) 
c) 
 
20) Determine o valor das expressões a 
seguir: 
a) 
b) 
c) 
 
21) Qual é o valor de (-5)-3 ? 
 
22) Como escrever usando fatores primos 
e expoente inteiro negativo? 
 
23) Mário obteve estas notas nas provas de 
Matemática de certo bimestre: 6,5; 7,0; 
5,0; 8,5; 6,0. Calcule a média aritmética 
dessas notas. 
24) Transforme em uma potência de 
base 5. 
 
25) O quociente entre dois números é 14. 
Qual é o valor do quociente de seus 
quadrados? 
 
26) Transforme as expressões a seguir em 
um produto de potências: 
a) 
b) (a3b2c)-3 
 
27) Transforme cada potência em um produto 
de potências de bases iguais: 
a) 10n-2 
b) 8-n+6 
28) Analise cada uma das igualdades e 
indique as que estão corretas. Reescreva 
as incorretas, de modo que sejam 
verdadeiras: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
29) Escreva com todos os dígitos, o resultado 
de 3,42 . 10-4 . 
 
30) Um número em notação científica é o 
produto de um número escrito entre 1 e 
10 (incluindo e excluindo 10) por uma 
potência de base 10. Sabendo disso, 
escreva os números a seguir usando 
notação científica: 
a) 7500000000 
b) 0,0000192 
 
31) Escreva com todos os algarismos, os 
números cujas notações cinetíficas são: 
a) 1,06 . 108; b) 5,024 . 10-6 
 
32) é um número: 
a) Real; b) racional; c) inteiro; d) natural 
 
33) Simplificando a expressão 
, obtém-se um 
número: 
a) Compreendido entre -2 e 0 
b) Compreendido entre -1 e 2 
c) Compreendido entre 2 3 
d) Maior do que 3. 
 
45 
 
 
Links videoaulas – aula 5 
 
Videoaula 01 – entendendo os expoentes 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/entendendo-os-expoentes1 
 
Videoaula 02 – entendendo os expoentes 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/entendendo-os-expoentes-2 
 
Videoaula 03 – expoente nível 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/expoentes-nivel-1 
 
Videoaula 04 – expoentes positivos e 
negativos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/expoentes-positivos-e-negativos 
 
Videoaula 05 – entendendo a raiz quadrada 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/entendendo-a-raiz-quadrada 
 
Videoaula 06 – regras de potência parte 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/regras-de-potencia-parte-1 
 
Videoaula 07 – regras de potência parte 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/regras-de-potencia-parte-2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
AULA 6 
 
 
Expressões Algébricas 
 
São expressões matemáticas que envolvem 
números, letras e as operações indicadas 
entre eles. As letras são as variáveis de uma 
expressão algébrica e podem representar 
qualquer número real. 
 
 
Exemplos: 
 
a) 10ax + 4b 
b) ax2 + bx + c 
c) 7a 
 
 
Valor numérico de uma expressão 
algébrica 
 
É o resultado que obtemos quando 
atribuímos às letras dessa expressão valores 
numéricos e efetuamos as operações nela 
indicadas. 
 
Exemplo: A expressão 20t representa a 
quantidade de parafusos produzidos em t 
horas. Determine quanto parafusos são 
produzidos em 4 horas. 
 
Substituindo t por 4 na expressão 20t 
obtemos a quantidade de parafusos 
produzidos em 4 horas. Assim, 20t=20.4=80 
parafusos. 
 
 
Monômio 
 
São expressões algébricas que representam 
um produto de números reais por uma parte 
literal formada por letras e seus expoentes, 
que devem ser números naturais. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
Forma reduzida e monômios semelhantes 
 
Podemos escrever o monômio 6.a.(-3).x2 em 
uma forma reduzida sendo dada por 
-18ax2. 
 
Além disso, dois ou mais monômios são 
chamados semelhantes quando têm partes 
literais iguais. 
 
Exemplo: 2a2b e -5a2b são monômios 
semelhantes. 
 
 
Operações entre monômios 
 
 
Adição e Subtração entre monômios 
 
A soma ou a diferença de dois monômios 
semelhantes é um monômio com: 
 Coeficiente igual à soma algébrica dos 
coeficientes; 
 Parte literal igual à desses monômios. 
 
 
Exemplos: 
a) 3x2y3 + 5 x2y3 = (3 + 5) x2y3 = 8 x2y3 
 
b) 39x5y4 − 25 x5y4 = (39 − 25)x5y4=14x5y4 
 
 
Multiplicação e Divisão entre monômios 
 
Multiplicação entre monômios 
 
A multiplicação entre dois ou mais monômios 
é um monômio com: 
 Coeficiente igual ao produto dos 
coeficientes desses monômios; 
 Parte literal igual ao produto das partes 
literais desses monômios. 
 
Exemplo: 
 
(2ax2).(5a3xy) = (-2.5).a.a3.x2.x.y= 
 = -10.a1+3.x2+1.y = 
 = -10a4x3y 
 
 
Divisão entre monômios 
 
A divisão ou quociente entre dois monômios 
com divisor diferente de zero, tem: 
 Coeficiente igual ao quociente entre os 
coeficientes desses monômios; 
47 
 
 Parte literal igual ao quociente entre as 
partes literais desses monômios. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
Potência de um monômio 
 
A potência de um monômio é um monômio 
com: 
 Coeficiente igual à potência do 
coeficiente desse monômio; 
 Parte literal igual à potência da parte 
literal desse monômio. 
 
Exemplo: 
 
 
Simplificação de expressões algébricas 
 
Podemos simplificar as expressões 
algébricas que envolvem operações 
procedendo da mesma forma que em 
expressões numéricas. Efetuamos primeiro 
às potências, em seguida calculamos os 
produtos e o quocientes e, finalmente, as 
somas algébricas, reduzindo os termos 
semelhantes. 
 
Exemplo: Simplifique a expressão algébrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Binômios Trinômios e Polinômios 
 
Binômio: é uma soma algébrica de dois 
monômios. Exemplo: ax + b 
 
Trinômio: é uma soma algébrica de três 
monômios. Exemplo: ax2 + bx + c 
 
Polinômio: é umasoma algébrica de 
monômios. 
 
Obs: Monômios também podem ser 
chamados de polinômios. 
 
Grau de um polinômio (não nulo) com uma 
variável é o maior expoente da variável que 
tem coeficiente diferente de zero. 
 
Exemplo:O grau do polinômio 6t2 + 20t -3 é 2, 
pois é o maior expoente de t com coeficiente 
diferente de zero. 
 
Operações entre polinômios 
 
Adição e subtração de polinômios 
 
Para somar ou subtrair polinômios, 
colocamos termo semelhante abaixo de 
termo semelhante e efetuamos a adição ou 
subtração. Veja os exemplos a seguir: 
 
a) (a + 4ab) + (9a - 6ab - 6) = 
 =10ª – 2ab – 6 
 
 a + 4ab 
 + 9a – 6ab – 6 
 ---------------------- 
 10a – 2ab – 6 
 
b) (8x3 + 6x2 – 7) – (7x2 – 5) = 
 = 8x3 - x2 – 2 
 
Para calcular a diferença, eliminamos os 
parênteses trocando os sinais de 7x2 – 5. Em 
seguida, efetuamos a adição entre os 
polinômios. 
 
 8x3+ 6x2 – 7 
 + - 7x2 + 5 é o oposto 7x2 – 5. 
 ---------------------- 
 8x3 - x2 – 2 
 
Multiplicação e divisão de polinômios 
 
Calculamos o produto de dois polinômios 
multiplicando cada termo de um deles por 
todos os termos do outro e reduzindo os 
termos semelhantes. 
 
Exemplo: Determine o produto: 
 
48 
 
 
 
 
 
 
Dividimos um polinômio por um monômio, 
não nulo, dividindo cada termo desse 
polinômio por esse monômio. 
 
Exemplo: Faça a divisão de 36x6 – 12x5 por 
6x2. 
 
(36x6 – 12x5) 6x2 = 
 
 
 
 
Dividimos um polinômio por outro 
polinômio, não nulo, de maneira semelhante 
ao utilizado para os números. 
 
Em geral, em uma divisão de polinômios 
podemos escrever uma relação entre 
multiplicação e divisão: quociente x divisor + 
resto = dividendo. 
 
Por exemplo: Na divisão de (6x3 – 5x2 – 17x 
– 1) por (x-2): 
 
 
Temos: 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Para calcular o quociente e o resto da divisão 
entre x4+ 4x3 + 4x2 + 9 por x2 + x – 1, 
escrevemos os polinômios na forma 
completa e na ordem decrescente dos 
expoentes dos monômios. 
 
Inicialmente, dividimos o termo de maior grau 
do dividendo pelo termo de maior grau do 
divisor. 
 
Em seguida, calculamos x2 . (x2 + x – 1) e 
subtraímos o resultado do dividendo. ... ou 
adicionamos o oposto a ele. 
 
Faremos este processo, até que o resto da 
divisão resulte em um polinômio cujo grau é 
menor do que o grau do divisor. Assim: 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Aula 6 
 
 
 
01) Escreva cada frase a seguir usando 
uma expressão algébrica: 
a) A soma do quadrado de um número x 
com um número y. 
b) O quociente entre o quadrado de um 
número a e o quadrado de um 
número b, diferente de zero, nessa 
ordem. 
c) O quadrado da diferença entre um 
número x e um número y, nessa 
ordem. 
 
02) Determine o valor numérico da 
expressão a2 + 2ª + 3 para a = - 5 
 
03) Qual é o valor numérico da expressão 
algébrica: para y = 4? 
 
04) Determine o valor de x para o qual 
não existe o valor numérico destas 
expressões algébricas: 
49 
 
a) ; b) ; c) 
05) Para quais valores de x o valor 
numérico da expressão 
não é um número real? 
a) x = 0; b) x = 4; c) x = 6,4 d) x = 10 
 
Determine o valor numérico dessa 
expressão algébrica quando ele for um 
número real. 
 
06) Os monômios e são 
semelhantes? Justifique sua resposta. 
 
07) Quando um monômio é nulo? 
 
08) Calcule a soma e a diferença, na 
ordem dada, entre estes monômios: 
 
a) -5x2 e -7x2 
b) –ay3 e 10ay3 
c) e 
d) e 
e) e 
 
09) Qual é o monômio que na forma 
reduzida corresponde a: 
? 
 
10) Calcule estas somas algébricas: 
 
a) 
 
b) 
 
11) Qual é o monômio que multiplicado 
por 20x3y tem como produto -18x4y2? 
 
12) Calcule os produtos: 
 
a) 
b) 
c) 
 
13) Efetue as operações e simplifique as 
expressões algébricas: 
 
a) (3y2) - y2 + 3y2 
b) 
c) 
 
14) Qual é o quadrado de – 11ª2b3? 
 
15) Calcule as potências: 
a) (-3x2y3)3 
b) (0,2y2z)5 
c) 
d) 0,3ay4)2 
e) 1,2ª4b2)2 
f) 
 
16) Simplifique as expressões algébricas: 
a) 
b) 
c) 
 
17) Qual é o resultado de 
? 
 
18) Considere a expressão algébrica 
(5y+4y)2 - (5y – 4y)2 e responda: 
a) Ela é um monômio? Qual? 
b) Qual é o valor numérico da expressão 
para y = -3? 
 
19) O valor numérico da expressão a3 – 
3a2 . x2 . y2 , em que a = 10, x = 3 e y 
= 1, é igual a: _____ 
 
20) Um polinômio que possui monômios 
semelhantes pode ser escrito na 
forma reduzida, ou seja, com um 
número menor de termos. Em posse 
dessa informação, determine a forma 
reduzida dos polinômios: 
 
a) 
b) 
50 
 
 
21) Qual é o valor numérico do polinômio 
y4 – y2 + 1 para y = -1/2 
 
22) Qual é o valor numérico do polinômio 
 para y = - 4 
 
23) Calcule o valor de y para o qual o 
valor numérico do polinômio 5y – 7 é 
13. 
 
24) Para qual valor de a o valor numérico 
do binômio é igual a zero? 
 
25) Quais são os valores de m e n para 
que o polinômio (m – 2)y3 + (2n – 1)y2 
seja nulo? 
 
26) Obtenha a soma de (-25ª + 7ab) com 
(-4ab + 16a) 
 
27) Calcule (32a – 40b – 18c) – (27a – 
18c – 27b) 
 
28) Calcule A – B, sendo A = -3m2 + 20m 
+ 14 e B = 14 + 31m – 10m2 
 
29) Calcule a soma de com 
 
 
30) Que polinômio adicionado a 8a3 + 
14a2 – 9 resulta em –a3 + a2 – 2ª + 6 ? 
 
31) A soma de dois polinômios é igual a 
. Um deles é 
. Qual é o outro 
polinômio? 
 
32) Considere os polinômios A = x2 – 
2xy+ 4y2 e B = -2x2 + 2xy + 4y2. 
 
a) Qual é o resultado de (A – B)? 
b) Qual é o valor numérico de (A – 
B) para x = 1 e y = ¼ ? 
c) Que expressão algébrica se 
obtém para –(A - B)? 
d) Relacione o valor numérico de 
–(A – B) para x = 1 e y = ¼ com o 
valor de (A – B) obtido no item b. 
 
33) Que monômio deve ser adicionado a 
7a4 – 4a2 – 12a + 19 para se obter um 
trinômio do 2º grau? 
 
34) Qual é o produto do monômio -13ab2 
pelo polinômio (-2ª + 5b – 3a2b – 6)? 
 
35) Considere P = e Q = 
 
a) Qual é o produto de P por Q? 
b) Qual é o valor numérico de P.q 
para m = - 2 e n = 0? 
 
36) Calcule o produto dos seguintes 
polinômios: 
a) (x + 3).(x + 3) 
b) (5a + 1).(5a + 2) 
c) (y + 4).(y2 + 3y) 
d) (12x + 30).(x/6 + 1/3) 
e) (x + 1/3).(9x + 15) 
f) (x + 2).(x2 – 2x + 4) 
g) (12x2 + 6x – 3).(2x – 1) 
h) (7y2 + 2y + 2).(10y2 + 4y – 4) 
 
37) Sabendo que P = 9a2 – 3ª, M = 3ª + 1 
e R = 9a2 + 1, responda: 
a) Qual é o polinômio P.M.R ? 
b) Qual é o polinômio ? 
 
38) Dados os polinômios A = x – 1, B = x2 
+ x e C = x, determine os polinômios: 
a) A.B 
b) B.C 
c) A.a ou A2 
d) A.B – B.C + A.C 
 
39) Calcule o produto dos polinômios e 
reduza os termos semelhantes: 
a) a.(2a + b + 2) + b.(- a – b+ 12) – 
12.(a + b- 1) 
b) (3x - 2).(2x + 3) – 6x.(x + 1) 
 
40) Se A = x.(3x – 1) e B = (x + 5).(3x – 2) 
determine os polinômios: 
a) A – B 
b) – 13.(A – B) 
 
41) Que polinômio é o resultado da 
divisão de 36x2 – 12x5 por 6x2? 
51 
 
 
42) O produto de um polinômio pelo 
monômio é . 
Qual é esse polinômio? 
 
43) Determine o quociente da divisão de 
81a5 – 21a2 por 3a2 . 
 
44) Calcule o quociente e o resto de (24x2 
– 28x – 10) (-3x + 2) 
45) Qual o quociente e qual o resto da 
divisão de 22x3 – 6x4 – 12 + 35x por –
x + 4? 
 
46) Considere os polinômios A = 63x3 – 
62x2 + 51x – 20 e B = - 9x + 5. 
Responda: 
 
a) Qual é o quociente da divisão do 
polinômio A pelo polinômio B? 
b) Qual é o valor numérico desse 
quociente para x = -2? 
c) O polinômio A é divisível pelo 
polinômio B? Por quê? 
 
47) A divisão de um polinômioP por (-3x 
+ 1) é exata e tem quociente igual a (-
9x2 – 3x + 4). Determine o polinômio 
P. 
 
48) O polinômio A é divisível pelo 
polinômio B = -6x – 2, e o quociente 
da divisão de A por B é (x2 – 3x + 1). 
Qual é o polinômio A? 
 
49) Calcule o quociente e o resto de 
 
 
50) Calcule: 
 
a) 
b) 
c) 
 
 
Links videoaulas: aula 6 
 
Videoaula 1 – o que é uma variável? 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/o-que-e-uma-variavel 
 
Videoaula 2 – propriedades exponenciais – 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-exponenciais-2 
 
Videoaula 3 – propriedades exponenciais – 3 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-exponenciais-3 
 
Videoaula 4 – propriedades exponenciais – 4 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-exponenciais-4 
 
Videoaula 5 – propriedades exponenciais – 5 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-exponenciais-5 
 
Videoaula 6 – propriedades exponenciais – 5 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-exponenciais-6 
 
Videoaula 7 – propriedades exponenciais – 5 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-exponenciais-7 
 
Videoaula 8 – fatoração por agrupamento e 
fatorar completamente 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/fatoracao-por-agrupamento-e-fatorar-
completamente 
 
Videoaula 9 – somando e subtraindo 
polinômios 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/somando-e-subtraindo-polinomios-1 
 
Videoaula 10 – somando e subtraindo 
polinômios 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/somando-e-subtraindo-polinomios-2 
 
Videoaula 11 – somando e subtraindo 
polinômios 3 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/somando-e-subtraindo-polinomios-3 
 
Videoaula 12 – adicionando e subtraindo o 
mesmo valor de ambos os lados 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicionando-e-subtraindo-o-mesmo-
valor-de-ambos-os-lados 
 
Videoaula 13 – dividindo monômios 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/dividindo-monomios 
 
Videoaula 14 – multiplicando e dividindo 
monômios 1 
52 
 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicando-e-dividindo-monomios-1 
 
Videoaula 15 – multiplicando e dividindo 
monômios 3 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicando-e-dividindo-monomios-3 
 
Videoaula 16 – multiplicando monômios por 
polinômios 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicando-monomios-por-polinomios 
53 
 
Aula 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Produtos Notáveis 
 
Alguns produtos, resultados da multiplicação 
de binômio por binômio, são chamados de 
produtos notáveis, por suas frequentes 
aplicações nos cálculos algébricos. 
 
Vejamos alguns deles: 
 
Quadrado da soma de dois termos 
 
O quadrado da soma de dois termos é igual 
ao quadrado do primeiro termo, mais duas 
vezes o produto do primeiro termo pelo 
segundo e mais o quadrado do segundo 
termo. 
 
As letras a e b representam termos que 
podem ser usados para expressar as 
medidas dos lados de um quadrado. 
 
O polinômio que representa essa área pode 
ser determinado usando-se áreas de 
quadrados e retângulos. Veja a figura a 
seguir: 
 
 
 
 
 
 
Podemos também, desenvolver (a+b)2 
efetuando o produto de (a+b).(a+b) usando a 
propriedade distributiva da multiplicação em 
relação à soma algébrica: 
 
(a+b).(a+b)= a(a+b) + b(a+b) = 
 = a2 + ab + ba + b2 = 
 = a2 + 2ab + b2 
 
 
Obs: a2 + 2ab + b2 também é chamado de 
trinômio quadrado perfeito, porque é igual 
ao quadrado de a+b. 
Exemplo: Calcule 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
-Um trinômio de 2º grau é quadrado perfeito 
quando dois dos seus termos são quadrados 
perfeitos. 
 
Por exemplo: O trinômio x2 + 5x + 6 não é um 
trinômio quadrado perfeito porque não tem 
dois termos que sejam quadrados perfeitos. 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
- Para fatorar um trinômio qualquer ax2 + bx 
+ c na forma (x + m).(x + n) basta existirem 
dois números cuja soma é b e cujo produto é 
c. 
 
Exemplo: O trinômio x2 + 5x + 6 não é um 
trinômio quadrado perfeito, entretanto 
podemos fatorá-lo na forma (x + m)(x + n). 
 
Para este exemplo, temos que: 
 
3 + 2 = 5 
3.2 = 6 
Onde 5 = b e 6 = c. 
 
Observe a figura geométrica: 
 
 
 
 
 
 
Completando esta figura com retângulos 
obtemos: 
54 
 
 
 
 
 
 
Assim, a área do retângulo maior é dada por: 
 
x2 + 3x + 2x + 3.2 = x2 + 5x + 6 
 
 
Ou, podemos também escrever: 
 
 
 
Que é a forma fatorada do trinômio dado. 
Assim, x2 + 5x + 6 = (x + 3).(x + 2) 
 
Exemplo: Deterrmine a forma fatorada do 
trinômio x2 – 7x + 12. 
 
A forma fatorada deste trinômio é dada por 
 
(x + m).(x + n), onde: 
m + n = - 7 e m.n 12 
 
Para encontrar os valores de m e n, vamos 
elaborar uma tabela onde listamos dois 
números cujo produto seja 12 e cuja soma 
seja -7: 
 
m n m.n m + n 
-1 -12 12 -13 
1 12 12 13 
-2 -6 12 -8 
2 6 12 8 
-3 -4 12 -7 
3 4 12 7 
 
Logo, dentre os valores listados na tabela, 
temos que m = -3 e n = -4 ou m = -4 e n = -3. 
 
Portanto, x2 – 7x + 12 = (x - 3).(x - 4) 
 
Quadrado da diferença de dois termos 
 
O quadrado da diferença de dois termos é 
igual ao quadrado do primeiro termo, menos 
duas vezes o produto do primeiro termo pelo 
segundo e mais o quadrado do segundo 
termo. 
 
 
Algebricamente: 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
(2x – 5)2 = (2x)2 – 2.(2x).(5) + (5)2 = 
 = 4x2 – 20x + 25 
 
 
Produto da soma pela diferença de dois 
termos 
 
O produto da soma de dois termos pela 
diferença desses mesmos termos é igual ao 
quadrado do primeiro termo menos o 
quadrado do segundo. 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
Exemplo: 
 
(x + 2).(x - 2) = x(x – 2) + 2(x - 2) = 
 = x2 – 2x + 2x – 4 = 
 = (x)2 - (2)2 = x2 – 4 
 
 
 
Diferença de dois quadrados 
 
 
55 
 
 
 
 
 a2 – b2 = (a + b).(a - b) 
 
 
Exemplo: 
 
 x2 – 4 = (x + 2).(x - 2) 
 
 
Cubo da soma de dois termos 
 
 
O cubo da soma de dois termos é igual ao 
cubo do primeiro termo, mais três vezes o 
produto do quadrado do primeiro termo pelo 
segundo, mais três vezes o produto do 
primeiro termo pelo quadrado do segundo e 
mais o cubo do segundo termo. 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
(2x + 3)3 = 
 = (2x)3 + 3. (2x)2.(3) + 3.(2x).(3)2 + (3)3= 
 = 8x3 + 36x2 + 54x + 27 
 
 
Cubo da diferença de dois termos 
 
O cubo da diferença de dois termos é igual 
ao cubo do primeiro termo, menos três vezes 
o produto do quadrado do primeiro termo 
pelo segundo, mais três vezes o produto do 
primeiro termo pelo quadrado do segundo e 
menos o cubo do segundo termo. 
 
(a – b)3 = 
 = (a – b).(a – b)2 = 
 = (a – b).(a2 – 2ab + b2) = 
 = a3 – 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 – b3 = 
 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 
 
Exemplo: 
(3x – 1)3 = 
 = (3x)3 – 3.(3x)2.(1) + 3.(3x).(1)2 – (1)3 
 = 27x3 + 27x2 + 9x + 1. 
 
 
Diferença de dois cubos 
 
 
 a3 – b3 = (a - b).(a2 + ab + b2) 
 
 
 
Exemplo: 
 
x3 - 27 = (x – 3).(x2 + x.3 + 32) 
 
 
Soma de dois cubos 
 
 
 
 a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2) 
 
 
 
Exemplo: 
 
x3 + 8 = (x + 2).(x2 - x.2 + 22) 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Aula 7 
 
 
 
 
01) Analise cada uma das igualdades e 
indique as que estão corretas. 
Reescreva as incorretas, de modo eu 
sejam verdadeiras: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
56 
 
f) 
 
02) Que polinômio obtemos quando 
efetuamos as potênciase os produtos 
e reduzimos os termos semelhantes 
da expressão (2 + a)2 – 2a.(2 – 2a) ? 
 
03) Represente o polinômio (x – 3)2 – 3.(3 
– 2x) na forma reduzida. 
 
04) Desenvolva os produtos notáveis e 
obtenha a forma reduzida de (2n + 9)2 
– (2n – 1)2 
 
05) Qual monômio deve ser adicionado 
ao binômio 4a2 + 4ab2 para obter (2a 
+ b2)2 ? 
 
06) Que monômio deve ser adicionado ao 
binômio (a4 – a3) para obter (a2 - a)2 ? 
 
07) Que monômio deve ser subtraído do 
binômio x4 + 9y2 para obter (x2 – 3y)2 
? 
 
08) Que monômio deve ser subtraído do 
trinômio x2 – 2xy + 4y2 para que ele 
seja o quadrado de (x – 2y)? 
 
09) Se a.b = 96 e a2 + b2 = 208, 
responda: 
 
a) Quais são os valores de a e b? 
b) Qual é o quadrado da soma 
desses números? 
 
10) Sabendo que m2 + n2 = 52 e m.n = 
24, responda: 
a) Que expressão algébrica 
corresponde a (m – n)2 ? 
b) Qual é o valor dessa expressão? 
 
11) Dados A = 3x – 1 e B = 3x + 1, 
calcule: 
a) A2 – B2 b) (A – B)2 
 
12) Calcule o produto de 
 
 
13) Represente esta expressão em uma 
forma reduzida. (am2 – m3)2 – (a2m4 + 
m6) + am2.(1 + m3)2 
 
14) Que expressão se deve adicionar a 
(a2 + b4) para se obter o quadrado de 
(a – b2) ? 
 
15) Se A = 2m2 – m e B = m2 – 5m, qual 
é o resultado da diferença A2 – B2? 
 
16) Qual o quociente de (2a + y2).(2ª – y2) 
por 4a2 – y4 , para 4a2 y4 ? 
 
17) Calcule o valor de m2 – n2, sendo: m + 
n = 22 e m – n = -2 
 
18) A soma de dois números a e b é igual 
a-9 e a diferença entre esses 
números é 15. Qual o valor de a2 – b2 
? 
 
19) Observe esta expressão: [3 + (x-y)] . 
[3 – (x-y)]. Desenvolvendo o produto, 
que polinômio se obtém? 
 
20) O produto de dois binômios é x2 – 6x 
– 27, dos quais um é igual a x +3. 
Determine o outro. 
 
21) Efetue as operações indicadas na 
expressão (a + c)3 – a.(a + c)2 – c.(a – 
c)2 representando-a na forma 
reduzida. 
 
22) Se P = x3 – 3x2 – 2 e Q = 3x + 1, a 
expressão P + Q é igual a (x – 2)3 ou 
igual a (x – 1)3 ? 
 
23) Efetue as operações utilizando os 
produtos notáveis: 
 
a) [(a + b)+ c].[(a+ b) - c] 
b) (x - y + z).(x – y – z) 
 
 
24) Efetue os produtos notáveis e reduza 
os termos semelhantes da expressão: 
 
 
25) Qual é a forma reduzida da expressão 
algébrica (x + 3y)2 + (3x – y)2 ? 
 
57 
 
26) Simplifique a expressão (x – 2y)3 – (x3 
+ y3) e calcule seu valor numérico 
para x = 1 e y = -1. 
 
27) Observe este binômio: 54ma2 – 9. 
 
a) Quais são os fatores comuns a 
esses termos? 
b) Escreva uma forma fatorada 
desse binômio. 
 
28) Considere o polinômio 12x4y2 – 48x3y2 
+ 60x2y5 
a) Quais são os fatores comuns das 
partes numéricas desses termos? 
b) Quais são os fatores comuns das 
partes literais desses termos? 
c) Escreva uma forma fatorada 
desse polinômio. 
 
29) Qual é o produto que se obtém 
fatorando a expressão ? 
 
30) Fatorando o binômio 81 – y2 , que 
produto se obtém? 
 
31) Observe o binômio: 16m4 – a2 
 
a) Escreva uma forma fatorada 
desse binômio. 
b) Qual é o valor numérico desse 
binômio para 4m2 + a = 40 e 4m2 
– a = 8 ? 
 
32) Fatore os polinômios: 
a) 25x2 – a2 
b) X2y4 – 64 
c) -121a2 + b4 
d) 
 
 
33) Observe o trinômio: 36m4n2 + 12m2n + 
1. 
a) Que termos desse trinômio são 
quadrados perfeitos? 
b) O polinômio 36m4n2 + 12m2n + 1 é 
um trinômio quadrado perfeito? 
c) Escreva uma forma fatorada 
desse trinômio. 
 
34) O polinômio 4a2 + 81 + 9a2 é um 
trinômio quadrado perfeito? 
 
35) Escreva a forma fatorada de 25m6 + 
10m3 +1. 
 
36) Fatore os polinômios: 
 
a) y2 – 8y + 16 
b) x2y2 + 10xy + 25 
 
 
37) Considere o trinômio: x2 + 13x + 42 
a) Verifique se esse trinômio é 
quadrado perfeito 
b) Existem dois números cujo 
produto é o termo independente 
de x e cuja soma é o coeficiente 
de x. Quais são esses números? 
c) Indique uma forma fatorada desse 
trinômio. 
 
38) Determine os monômios que 
podemos acrescentar aos binômios 
para obtermos trinômios quadrados 
perfeitos: 
a) 9x2 + 49 
b) 81x2 + 16 
c) 49y4 + 1 
d) y4 + (2/3)y2 
 
39) O produto de dois binômios é x2 – 2x 
– 24. Quais são esses binômios? 
 
40) Qual é a forma fatorada para o 
polinômio (a + b)2 – 49 ? 
 
 
 
 
 
 
Links videoaulas – aula 7 
 
Não possui. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
Aula 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de 1º Grau com uma variável 
 
 
Vamos aprender a escrever uma equação 
que traduza as informações de um problema, 
trabalhar com letras como se elas fossem 
números e obter soluções da equação. 
 
Forma geral de uma equação de 1º grau e 
dada por: ax + b = 0, onde a e b são números 
reais e a 0. 
 
 
 
Por exemplo: 
 
 
 = 
 
 
 
O valor de x pode ser determinado usando os 
princípios da igualdade: 
 
- aditivo da igualdade: podemos adicionar ou 
subtrair um mesmo número aos dois 
membros de uma igualdade; 
 
- multiplicativo da igualdade: podemos 
multiplicar os dois membros de uma 
igualdade pelo mesmo número e também, 
dividi-los por um mesmo número (diferente 
de zero). 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
Quando uma equação se transforma em uma 
sentença verdadeira para um valor atribuído, 
esse valor é chamado solução ou raiz dessa 
equação. 
 
Exemplo: 
18 é a solução ou raiz da equação 
, pois, 
 
 
 
Equações Equivalentes 
 
Duas equações são equivalentes quando têm 
exatamente as mesmas raízes. 
 
Exemplo: e 
são equivalentes pois as duas têm a mesma 
solução que é - 3. 
 
 
Equações Fracionárias 
 
É toda equação que apresenta frações 
algébricas em cujo denominador aparecem 
as variáveis. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
Equações Literais 
 
São equações que apresentam outras letras 
além daquela que representa a variáveis. 
 
Exemplo: 
Resolva a equação 2ax = 10 na variável x. 
 
 
Inequações do 1º grau com uma variável 
 
59 
 
Definimos por inequação do 1º grau toda 
equação do 1º grau que é expressa por uma 
desigualdade entre expressões algébricas 
que envolvem operações com números e 
números representados por letras. 
 
De um modo geral: 
 
 
 
 
 
Onde a e b são números reais e e a 0 
 
Exemplo: 
 
2x + 2 < 3 é uma inequação de 1º grau com 
uma variável. 
 
 
Solução de Inequações de 1º grau com 
uma variável 
 
Resolver uma inequação de 1º grau com 
uma variável significa determinar suas 
soluções. 
 
 
Para obtermos a solução de uma inequação, 
levaremos em conta os princípios das 
desigualdades: 
 
- Princípio aditivo das desigualdades: 
Quando adicionamos (ou subtraímos) um 
mesmo numero aos dois membros de uma 
desigualdade verdadeira, obtemos outra 
desigualdade, também verdadeira. 
 
- Princípio Multiplicativo das 
desigualdades: 
 
Quando multiplicamos (ou dividimos) os 
dois membros de uma desigualdade 
verdadeira por um mesmo número positivo, 
obtemos outra desigualdade, também 
verdadeira e de mesmo sentido. 
 
Quando multiplicamos (ou dividimos) os 
dois membros de uma desigualdade 
verdadeira por um mesmo número negativo, 
invertemos o sentido da desigualdade e 
obtemos outra desigualdade, também 
verdadeira. 
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Determine as soluções da inequação: 
 
 
Para resolvê-la, adicionamos 4 a cada 
membro, subtraímos x de cada membro e 
dividimos cada membro por 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os valores possíveispara x são todos os 
números reais maiores que-2. 
 
Equações de 1º grau com duas variáveis 
 
 
Uma equação de 1º grau com duas variáveis 
é do tipo ax + by = c onde a, b e c são 
números reais com a e b não nulos. 
 
Exemplo: x + y = 2 é uma equação de 1º 
grau com duas variáveis. Algumas soluções 
inteiras são os pares ordenados: (-2,4); (-
1,3); (0,2); (2,0); (5,-3);(6,-4). Podemos 
representar essas soluções por pontos no 
plano cartesiano através de uma reta. 
 
         









x
y
 
 
Observação: Chamamos de par ordenado 
dois números a e b, considerados em certa 
ordem e indicados entre parênteses. Se a 
60 
 
EXERCÍCIOS – Aula 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ordem é primeiro o número a e depois o 
número b, indicamos o par ordenado por 
(a,b). Se a ordem é primeiro b e depois a, 
indicamos por (b,a). 
 
 
Sistemas de equações de 1º grau com 
duas variáveis 
 
Estudaremos três métodos diferentes para 
resolução de sistemas de equações com 
duas variáveis. 
 
1) Método da Substituição 
 
Neste método, isolamos uma das variáveis 
em uma das equações. 
 
Exemplo: 
 
 
Escolhendo, por exemplo, a 1ª equação, 
vamos isolar a variável y: 
 
 
Agora, basta substituir o valor encontrado 
para y na 2ª equação e determinar x: 
 
 
 
Finalmente, basta substituir x por 45 no valor 
encontrado para y a partir da 1ª equação: 
 
 
 
2) Método da Adição 
 
 
Podemos resolver um sistema adicionando, 
membro a membro, as duas equações. 
 
Exemplo: 
 
 
Como - 4y e 4y são termos opostos, 
 -4y+4y=0. Então adicionamos membro a 
membro as duas equações e cancelamos -4y 
com 4y: 
 
2x – 4y = -25 
5x + 4y = 4 
------------------ 
7x + 0y = -21 
 
Então, 7x = -21, ou seja, x = -3 
 
Substituindo x por -3 em uma das equações 
desse sistema, calculamos o valor para y: 
5(-3) + 4y = 4 y = 19/4 ou y = 4,75 
 
3) Método da Comparação 
 
Este método, consiste em isolar a mesma 
variável nas duas equações e comparar os 
resultados, obtendo-se desta forma uma 
equação do 1º grau. 
 
Exemplo: 
 
 
 
Vamos escolher uma das variáveis (y por 
exemplo) e isolá-la nas duas equações: 
 
 
 
Agora vamos igualar as duas equações e 
determinar o valor de x: 
 
 
 
Substituindo o valor encontrado para x em 
qualquer uma das duas equações, 
encontramos o valor de y: 
 
 
 
 
 
 
 
01) Leia este problema: “A terça parte da 
idade de Zeca diminuída de 4 anos é 9”. 
a) Equacione o problema 
b) Qual é a idade de Zeca? 
 
02) Resolva as equações: 
a) 16 + 8y = 3y + 81 
b) 5x = 12x + 49 
c) 20 – 8x = -19 – 21x 
d) 4x – 31 = 34x – 13 
e) 15 – 9x = 5x + 64 
f) -18 + 2x + 6 = 7x – 12 – 8x 
 
03) Represente o problema a seguir, 
utilizando uma equação e resolva-o. 
Em um determinado dia, a temperatura 
no Ártico chegou a -48º C. Essa 
61 
 
temperatura ocrrespondeu a ¾ da 
temperatura média da Groenlândia. Qual 
foi a temperatura média da Groenlândia 
nesse dia? 
 
04) Zeca é o cestinha do time de basquete de 
sua escola. Nos jogos da Primavera do 
ano passado, seu time foi campeão. O 
quádruplo do número de pontos que ele 
fez, na final, diminuído de 29 pontos, 
resultou em 127 pontos. Quantos pontos 
ele fez nesse jogo? 
 
05) Determine a raiz das equações de 1º 
grau com uma incógnita a seguir: 
 
a) 6x – 17 = 13(x – 1) – 4 
b) 12(t – 3) + 1 = 6(t + 1) – 5 
c) 6(-3n + 5) - 4(2n + 2) = -3(6 + 8n) 
 
06) Determine a raiz da equação 
 
 
07) A casa de José fica em um terreno 
retangular com 84 metros de perímetro. 
O comprimento desse terreno é o triplo 
da largura. Quais são as medidas dos 
lados do terreno onde está a casa de 
José? 
 
08) Em uma corrida, a velocidade média 
alcançada por uma avestruz excede a de 
um cavalo em 2 quilômetros por hora. A 
diferença entre o triplo da velocidade 
média do avestruz e o dobro da do cavalo 
é de 76 quilômetros por hora. Qual é a 
velocidade média que cada um deles 
consegue atingir? 
 
09) Determine as raízes das equações a 
seguir: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
10) Destas equações, duas são equivalentes. 
Quais são elas? 
a) 
b) 
c) 
 
11) A raiz da equação está 
situada entre dois números inteiros. 
Quais são eles? 
 
12) Pensei em três números consecutivos, 
cuja soma é – 72. Em que números 
pensei? 
 
13) Uma urna contém ao todo 108 bolas, 
entre azuis, vermelhas e amarelas. O 
número de bolas azuis é o dobro do de 
vermelhas, e o número de bolas 
amarelas é o triplo do de azuis. Quantas 
bolas de cada cor existem na urna? 
 
14) Observe a equação: 
 
a) Que valor de y é a raiz dessa 
equação? 
b) Se, nessa sentença, y representasse 
um número inteiro negativo, então a 
raiz encontrada poderia ser aceita 
como resposta? 
 
15) Qual é o número que, adicionado à sua 
sétima parte, é igual a 19? 
 
16) Considere a expressão 2n em que n 
representa um inteiro positivo para 
responder: 
a) As expressões 2n e 2n+2 representam 
números pares ou ímpares? 
b) para n = 11, as expressões 2n e 2n + 2 
representam números pares 
consecutivos? 
 
17) Uma empresa tem três sócias. Uma delas 
recebeu a metade do lucro anual, a outra 
recebeu um terço desse lucro anual mais 
R$ 24.000,00, e a terceira sócia recebeu 
R$ 76.000,00. Qual foi o lucro da 
empresa? 
 
18) De seu saldo bancário, Gabriela retirou a 
metade do que tinha, depois um terço do 
restante e ainda ficou R$ 200,00. Qual 
era o salário inicial de Gabriela? 
 
19) Em um certo restaurante, as pessoas 
pagam uma quantia fixa de R$ 3,00 mais 
R$ 20,00 por um quilograma de comida 
consumida em cada prato. Quantos 
quilogramas de comida consumiu um 
cliente que gastou R$ 18,20? 
62 
 
 
20) Um comerciante pagou R$ 930,00 por 
uma encomenda de 30 camisetas. 
Algumas delas custaram R$ 40,00 e 
outras, R$ 25,00. Quantas camisetas de 
cada preço havia nessa coleção? 
 
21) Arlete foi ao açougue e comprou 3 kg de 
contrafilé e ½ kg de patinho. Deu R$ 
70,00 e recebeu R$ 4,60 de troco. 
Sabendo que o quilo de contrafilé custa 
R$ 3,60 a mais do que o quilo de patinho, 
qual foi o preço de 1 kg de patinho? 
 
22) Mariana tem 7 anos de idade e sua tia 41 
anos. Daqui a quantos anos a idade de 
Mariana será um terço da idade de sua 
tia? 
 
23) Determine a solução de cada uma das 
equações fracionárias: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
24) Determine a soluço da equação 
. 
 
25) Nas equações a seguir, a incógnita é y. 
Qual é a solução de cada uma? 
 
a) 
b) 
 
 
26) Escreva três números que são soluções 
da inequação 9x – 4 < 5, considerando o 
conjunto dos números racionais positivos 
como um conjunto de números que 
podem ser atribuídos a x. 
 
27) Qual é o maior número inteiro que é 
solução da inequação: 
 
28) Resolva as inequações: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
29) A diferença entre dois números é 20. Um 
deles é 2/7 do outro. Que números são 
esses? 
30) A soma de dois números racionais é 70 e 
a diferença dividida pelo número menor 
dá quociente 8. Determine esses 
números. 
 
31) A razão entre dois números inteiros é de 
12 para 7 e a diferença entre eles é 25. 
Que números são esses? 
 
32) Determine o par ordenado (a,b) que é 
solução de cada um dos sistemas de 
equações a seguir: 
 
 
a) 
 
b) 
 
33) Escolha um dos métodos explorados e 
resolva os sistemas abaixo: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
34) A soma dos números da casa em que 
mora Mônica e de onde ora sua mãe é 
132. Esses números são escritos com os 
mesmos algarismos, porém em posições 
trocadas, ea diferença entre esses 
algarismos é 2. Qual é o número da casa 
de cada uma delas? 
 
35) Um número é escrito com dois 
algarismos. O quociente do algarismo 
das dezenas pelo das unidades é 3. 
Invertendo a ordem dos algarismos, 
obtemos um novo número, que tem 36 
63 
 
unidades a menos que o primeiro. Que 
número é esse? 
 
36) Paulo e Mariana gastaram R$ 48,00 
tomando lanche juntos. Tirando-se R$ 
6,00 do que cada um pagou, o restante 
da quantia paga por Paulo é o dobro do 
que restou da despesa de Mariana. 
Quanto gastou cada um deles? 
 
Gabarito dos exercícios – aula 8 
 
 
7) comp. 31,5 m e larg. 10,5 m 
8) cavalo: 70 quilômetros por hora e aveztruz 
72 quilômetros por hora. 
9) a) y=3; b) z = -3; c) x = -17; d) t=-3/5 
10) a e b 
11) 1 e 2 
12) -25, -24, -23 
13) 12 vermelhas, 24 azuis e 72 amarelas 
14) a) 2; b) não 
15) 133/8 
16) a) números pares; b) sim 
17) R$ 600.000,00 
18) R$ 600,00 
19) 0,76 kg 
20) 12 camisetas de R$ 40,00 e 18 
camisetas de R$ 25,00 
21) R$ 15,60 
22) 10 anos 
23) a) 3/10; b) 4; c) ¾; d) -28/93 
24) não existe solução. 
25) a) 3m/7; b) 
26) 0,25; ½; 0 (existem outras respostas) 
27) 11 
28) a) ; b) ; c) 
 
29) 8; 28 
30) 7; 63 
31) 60; 35 
32) a) (-22/3; 56/9) b) (2/5; -3/4) 
33) a) (3/2; -1/2) b) (-5,4) c) (1/2; -4/15) 
34) 57; 75 
35) 62 
36) Paulo gastou R$ 30,00 e Mariana R$ 
18,00 
 
 
 
 
 
Links de videoaulas – aula 8 
 
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64 
 
 
 
 
 
Razão e proporção 
 
Razão: A razão entre grandezas de mesma 
natureza é a razão entre os números que 
expressam as medidas dessas grandezas, 
na mesma unidade. 
 
Exemplo: João é o cestinha da equipe de 
basquete de sua escola. Em um jogo, de 16 
arremessos, João acertou 12. E Pedro, seu 
colega de equipe, acertou 12 dos 24 
arremessos que fez. Qual deles teve um 
aproveitamento melhor nesse jogo? 
 
Para resolvermos este problema, devemos 
relacionar o número total de acertos com o 
total de arremessos de cada um: 
 
João: (João teve 
3 acertos para cada 4 arremessos) 
 
Pedro: (Pedro 
teve 1 acerto para cada 2 arremessos) 
 
Como 0,75 > 0,50, concluímos que João 
teve um aproveitamento melhor que Pedro. 
 
 
Observação: Se a e b são dois números 
racionais, e b é diferente de zero, dizemos 
que a b ou é a razão entre a e b, nessa 
ordem. Lemos: “razão de a para b” ou “a está 
para b”. 
 
Razões especiais 
 
Velocidade Média 
 
A velocidade média de um objeto é a razão 
entre a distância percorrida pelo Objeto e o 
tempo gasto para percorrê-la. 
 
 
 
Exemplo: João percorreu 4200 km de avião 
durante 6 horas. Qual é a velocidade média 
desenvolvida pelo avião durante esse 
percurso? 
 
 
 
Densidade de um material 
 
A razão entre a massa de um material e o 
volume ocupado por ela nos dá a ideia de 
densidade desse material. 
 
 
 
 
 
Exemplo: Uma placa de chumbo com volume 
de 0,001 dm3 tem massa de 11,3 g. Qual é a 
densidade do chumbo? 
 
 
 
 
 
 
Densidade demográfica 
 
O conceito de densidade demográfica é 
muito utilizado em Geografia. 
A densidade demográfica de uma região é 
a razão entre o número de habitantes e a 
área dessa região. 
 
 
 
 
Exemplo: Em 2010, a população brasileira 
era de aproximadamente 191 milhões de 
habitantes, distribuídos em uma área de 
8547403 km2, ou seja, cerca de 8500000 
km2. Qual era o número de habitantes por 
quilômetro quadrado nesse ano? 
 
Para resolver este problema, basta dividir o 
número de habitantes, em 2010, pela área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 9 
65 
 
Proporção: A proporção é uma igualdade 
entre duas razões. 
 
Uma proporção envolve quatro termos: a, b, 
c e d. Nessa ordem, temos: 
 
 ( b e d são diferentes de zero) 
 
Lê-se: “a está para b, assim como c está 
para d”. 
 
Propriedade fundamental: 
 
Em uma proporção, o produto dos extremos 
é igual ao produto dos meios. 
 
 
Proporcionalidade entre grandezas 
 
Muitas vezes, a variação de uma grandeza 
provoca a variação de outra, em uma razão 
direta ou inversa. Dizemos então que essas 
grandezas são proporcionais e que essa 
variação pode se dar em uma 
proporcionalidade direta ou em uma 
proporcionalidade inversa. 
 
 
Grandezas diretamente proporcionais 
 
Duas grandezas são diretamente 
proporcionais quando as razões entre os 
valores de uma delas e os valores 
correspondentes da outra são iguais. 
 
Exemplo: 
Em uma papelaria, cobram-se 20 centavos 
por página xerocada. Assim: 
 
Quantidade 
páginas 
1 2 3 4 5 
Preço total 
(R$) 
0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 
 
A razão entre a quantidade de páginas 
xerocadas e o preço é sempre a mesma: 
 
 
O preço total é, então, diretamente 
proporcional à quantidade de páginas 
xerocadas. 
 
 
Grandezas inversamente proporcionais 
 
Duas grandezas são inversamente 
proporcionais quando os produtos dos 
valores de uma delas pelos valores 
correspondentes da outra são iguais. 
 
Em outras palavras,duas grandezas são 
inversamente proporcionais quando uma 
varia sempre na razão inversa da outra. 
Assim, ao dobrar o valor de uma, o valor de 
outra se reduz pela metade; ao dividir por 3 o 
valor de uma, o valor de outra é multiplicado 
por 3; e assim por diante. 
 
 
Exempo: Renato comprou 240 figurinhas da 
Copa do Mundo de futebol para dividir entre 
alguns de seus sobrinhos. O número de 
figurinhas que cada sobrinho receberá 
depende de quantos sobrinhos Renato vai 
considerar. Veja a tabela: 
 
n
o
 sobrinhos 2 3 4 5 
n
o
 figurinhas por sobrinho 120 80 60 48 
 
A razão entre o número de sobrinhos e o 
inverso do número de figurinhas que cada 
um recebeu é sempre a mesma: 
 
 
 
Logo, o número de sobrinhos é inversamente 
proporcional ao número de figurinhas que 
cada um recebeu. 
 
Regra de três Simples 
 
Podemos resolver problemas que envolvem 
proporcionalidade entre duas grandezas com 
uma regra prática, que chamamos regra de 
três simples. 
 
Passos utilizados numa regra de três 
simples 
 
1) Construir uma tabela, agrupando as 
grandezas da mesma espécie em 
colunas e mantendo na mesma linha 
as grandezas de espécies diferentes 
em correspondência. 
2) Identificar se as grandezas são 
diretamente ou inversamente 
proporcionais. 
3) Montar a proporção e resolver a 
equação. 
66 
 
Variantes da Regra de três simples 
 
1) Regra de três simples direta: 
Nesta modalidade de regra de três, são 
envolvidas duas grandezas diretamente 
proporcionais, ou seja, quando a variação de 
uma delas corresponde à mesma variação da 
outra grandeza dada, no problema a ser 
resolvido. 
 
A montagem da solução deste tipo de 
problema é feita na mesma ordem de todas 
as grandezas. 
 
Exemplo: 
Em um dia de sol, Janete e Paulo mediram 
suas sombras. Janete tem 165 cm de altura e 
Paulo, 180 cm. Sabendo que, em 
determinado horário, o comprimento da 
sombra de Paulo era 60 cm, qual era o 
comprimento da sompra de Janete? 
(Considere que o comprimento da sombra, 
em determinado instante, é proporcional à 
altura da pessoa). 
 
Altura da pessoa (cm) Comprimento da 
sombra (cm) 
Janete = 165 cm x 
Paulo = 180 cm 60 cm 
 
Como as grandezas são diretamente 
proporcionais, podemos montar a seguinte 
proporção: 
 
Aplicando a propriedade fundamental das 
proporções e resolvendo a equação: 
 
 
Portanto, nesse horário, a sombra de Janete 
tinha 55 cm de comprimento. 
 
 
2) Regra de três simples inversa: 
Nesta modalidade de regra de três são 
envolvidas duas grandezas inversamente 
proporcionais, ou seja,quando existe a 
variação de uma das grandezas a outra 
varia, porém de forma contrária, mais na 
mesma proporção. 
 
A montagem da solução deste tipo de 
problema é feita invertendo as ordens das 
grandezas. 
 
Exemplo: 
Uma torneira enche um barril em 20 minutos, 
com uma vazão de 15 l/min. Se a vazão 
fosse 5 l/min, quantos minutos seriam 
necessários para encher o barril? 
 
vazão (l/min) Tempo (min) 
15 20 
5 x 
 
Nesse caso, se dobrarmos a vazão, o tempo 
para encher o barril ficará reduzido à metade, 
e assim por diante. Então, as grandezas são 
inversamente proporcionais e, por isso, 
montamos a seguinte proporção: 
 
 
 
Portanto, se a vazão fosse 5 l/min, seriam 
necessários 60 minutos para encher o barril. 
 
 
 
Regra de três composta 
 
A regra de três composta é utilizada em 
problemas com mais de duas grandezas, 
direta ou inversamente proporcionais. 
 
Exemplo: 
Trabalhando 5 dias, duas artesãs 
produzem 60 pares de brincos. Quantos 
pares de brincos três artesãs, 
trabalhando no mesmo ritmo que as 
outras, produzirão em 2 dias? 
 
Vamos organizar os dados: 
 
n
o
 de dias n
o
 de artesãs n
o
 de pares de 
brincos 
5 2 60 
2 3 x 
 
 
Vamos comparar a grandeza número de 
pares de brincos (na qual está o termo 
desconhecido) com as outras duas 
grandezas: 
 O número de dias é diretamente 
proporcional ao número de pares de 
brincos; 
67 
 
 O número de artesãs também é 
diretamente proporcional ao número 
de pares de brincos. 
Para resolver o problema, usaremos o 
fato de que, se uma grandeza é 
proporcional a outras grandezas, então é 
proporcional ao produto delas. 
Assim: 
 
 
 
 
 
Aplicando a propriedade fundamental das 
proporções: 
 
 
 
Portanto, 3 artesãs produzirão 36 pares de 
brincos em 2 dias. 
 
 
Exemplo: 
Em um prédio, 6 pintores pintam uma área 
de 300 m2 em 2 horas. Quantos pintores, 
trabalhando no mesmo ritmo que os outros, 
são necessários para pintar uma área de 400 
m2 em 1 hora? 
 
 
n
o
 de pintores Área (m
2
) Tempo (h) 
6 300 2 
x 400 1 
 
Comparando a grandeza número de pintores 
(na qual está o termo desconhecido) com as 
outras duas: 
 O número de pintores é diretamente 
proporcional à área pintada; 
 O número de pintores é inversamente 
proporcional ao tempo gasto. 
 
Então, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
Aplicando a propriedade fundamental das 
proporções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01) Marcos e Renato se destacaram em um 
campeonato de futebol interclasses da 
escola. De 50 chutes a gol, Marcos 
acertou 20 e, de 60 chutes a gol, Renato 
acertou 40. Qual deles teve o melhor 
aproveitamento nesse campeonato? Por 
quê? 
 
02) Em um jogo de vôlei, de cada 12 saques 
que Rita deu, ela acertou 8. 
 
a) Qual é a razão entre o número de 
acertos e o número de saques? 
b) Se ela tivesse dado apenas 3 saques 
com o mesmo aproveitamento, 
quantos deles teria acertado? 
 
03) Em uma empresa, 12 pessoas concorrem 
a uma vaga de secretário. A razão entre 
o número de candidatos e o total de 
vagas e 3/2. Quantas vagas estão sendo 
oferecidas? 
 
04) Em 2010, Brasília, a capital brasileira, 
que ocupa uma área aproximada de 5800 
km2, tinha cerca de 2563000 habitantes. 
Qual era a densidade demográfica de 
Brasília, naquele ano? 
 
05) Em 2010, a população de Belém, capital 
do Pará, era de aproximadamente 
1400000 habitantes, e sua área era de 
1065 km2. Já João Pessoa, capital da 
Paraíba, tinha 724000 habitantes, 
aproximadamente, em uma área de 210 
km2. Qual era a densidade demográfica 
Exercícios - Aula 9 
68 
 
de Belém em 2010? E a de João 
Pessoa? 
 
06) A distância entre Campo Grande e 
Dourados é de 224 km, 
aproximadamente. Qual a velocidade 
média desenvolvida por: 
a) Uma moto que fez esse percurso em 
4 horas? 
b) Um automóvel que fez esse percurso 
em 5 horas? 
c) Uma bicicleta que fez esse percurso 
em 12 horas e 30 minutos? 
 
07) A letra x representa um número racional. 
Os números 12, 15, 4 e x formam uma 
proporção, nessa ordem. Qual é o valor 
de x? 
 
08) Na prova de Matemática, uma professora 
propôs questões envolvendo o cálculo do 
termo desconhecido das proporções: 
; ; . Determine x, a 
e n. 
 
09) Nos jogos escolares do ano passado, a 
razão entre o número de moças e o de 
rapazes que participaram foi 2/3. O 
número de rapazes foi 168. Quantas 
pessoas participaram desses jogos? 
 
10) Os números 3, 5 e x são diretamente 
proporcionais aos números 15, y e 45, 
nessa ordem. Quais são os valores de x 
e y? 
 
11) São necessários 2 minutos para encher 
um balde usando determinada torneira. 
Se usássemos 2 torneiras com a mesma 
vazão, demoraria 1 minuto. Quanto 
tempo levaria para encher o balde se 
usássemos 4 torneiras? 
 
12) Lúcia desenhou um retângulo de 
comprimento 15 cm e largura 3 cm. 
Bruno desenhou outro retângulo de 
mesma área e comprimento 9 cm. Qual é 
a largura do retângulo desenhado por 
Bruno? 
 
13) Três pintores cobraram R$ 5200,00 pela 
pintura de uma casa e combinaram que 
receberiam o valor em partes diretamente 
proporcionais ao número de dias 
trabalhados. O primeiro trabalhou 15 
dias, o segundo, 12 dias e o terceiro, 25 
dias. Quanto recebeu cada um? 
 
14) Em um passeio ciclístico, Fernando 
percorreu 36 km em 3 horas. Mantendo a 
mesma velocidade média, ele percorreu 6 
km em meia hora. 
a) Que tipo de proporcionalidade existe 
entre o espaço percorrido e o tempo? 
b) Qual é o fator de proporcionalidade? 
 
15) Uma universidade comunicou que, para o 
vestibular do curso de História, o número 
de candidatos por vaga era igual a 16. Se 
a universidade ofereceu 300 vagas, 
quantos candidatos havia? 
 
16) Uma indústria fornece refeições aos 
empregados. Um balanço revelou que 
100 funcionários, alimentados durante 10 
dias, custam à empresa R$ 1600,00. 
Quanto custam as refeições para 150 
funcionários durante esse mesmo 
período? 
 
17) Três mangueiras iguais, juntas, têm 
vazão de 12 litros de água por minuto. 
Qual será a vazão por minuto de 7 
dessas mangueiras juntas? 
 
18) Elisa trabalha como tradutora de livros e 
recebe um valor fixo por página 
traduzida. Para traduzir um livro de 127 
páginas, ela recebeu R$ 1789,00. Nesta 
semana, ela recebeu uma proposta para 
traduzir um livro de 587 páginas. Quanto 
ela deverá receber por essa tradução? 
 
19) Márcia queria ampliar uma fotografia. Na 
loja de revelação de fotos, a funcionária 
anotou as medidas da fotografia, 2 cm de 
altura e 3 cm de comprimento, e 
perguntou qual deveria ser o tamanho da 
foto ampliada. Márcia respondeu apenas 
que a foto deveria ter 15 cm de altura. 
Qual será o comprimento da foto 
ampliada se as proporções forem 
mantidas? 
 
20) Em uma hora, 4 torneiras despejam 1000 
litros de água num reservatório. 
 
a) Se fossem 9 torneiras, com a mesma 
vazão, quantos litros de água seriam 
despejados por hora? 
69 
 
b) Se a capacidade do reservatório é de 
18000 litros e ele está completamente 
vazio, quanto tempo será necessário 
para enchê-lo com as 9 torneiras? 
 
21) Meire é proprietária de uma fábrica de 
calças. Atualmente, a fábrica produz 78 
calças por dia, utilizando 260 metros de 
tecido. Para o próximo mês, Meire deverá 
aumentar sua produção, passando a 
fabricar 99 calças por dia. Considerando 
que os modelos das calças serão os 
mesmos, quanto de tecido será usado a 
mais por dia para essa nova produção? 
 
22) Pedro vai viajar para o Rio de Janeiro. 
Com velocidade média de 60 km/h, 
levará 3 horas para percorrer o trajeto. 
Quanto tempo ele gastaria se a 
velocidade média fosse de 90 km/h? 
 
23) Na indústria de bicicletas Aro Azul,4 
máquinas produzem 48 guidões de 
bicicletas em 6 dias. Quantos guidões de 
bicicletas serão produzidos em 9 dias por 
10 máquinas? 
 
24) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 
160 m3 de terra. Quantos caminhões 
serão necessários para descarregar 125 
m3 de terra em 5 horas? 
 
25) Lúcia viajou de automóvel durante 6 dias, 
dirigindo 6 horas por dia, com velocidade 
média de 80 km/h. Determine quantos 
dias duraria a viagem de Lúcia se ela 
dirigisse durante 8 horas por dia à 
velocidade média de 90 km/h? 
 
26) Uma empresa gasta R$ 6500,00 no café 
da manhã de 180 funcionários durante 30 
dias. Quanto a empresa gastaria para 
oferecer o mesmo café da manhã para 
300 funcionários durante 90 dias? 
 
27) Um navio de passageiros precisa de 
180000 litros de água potável para 
atender 1500 pessoas durante um 
cruzeiro de 15 dias. Quantos litros de 
água potável deverão ser armazenados 
para atender 1800 pessoas durante uma 
viagem de 9 dias? 
 
28) Quatro trabalhadores colhem, em média, 
200 caixas de laranjas em 5 dias, 
trabalhando em um certo ritmo. Quantas 
caixas de laranjas iguais a essas serão 
colhidas em 3 dias, por 6 trabalhadores, 
no mesmo ritmo de colheita? 
 
29) Uma viagem entre duas cidades foi feita 
de carro, em 4 dias, a uma velocidade 
média de 75 quilômetros por hora, 
viajando-se 9 horas por dia. Viajando a 
90 quilômetros por hora, durante 5 horas 
por dia, em quantos dias iríamos de uma 
cidade à outra? 
 
30) Claudia tem em uma confecção 36 
funcionárias que produzem em média 
5400 camisetas por dia, trabalhando 6 
horas. O verão trouxe novidades e muitas 
encomendas, e a fábrica passou a ter 96 
funcionárias, produzindo 21600 
camisetas por dia. Quantas horas por dia 
elas passaram a trabalhar? 
 
 
 
Gabarito – exercícios – aula 9 
 
01) Renato, porque 2/3 > 2/5 
02) a) 8/12 ou 2/3; b/ 2 saques 
03) 8 vagas 
04) 441,9 hab/km2 
05) 1314,55 hab/km2; 3447,62 hab/km2 
06) a) 56km/h; b) 44,8km/h c) 17,92km/h 
07) 5 
08) 98; 14; 9/2 
09) 280 pessoas 
10) X=9 e y=25 
11) 30 segundos ou 0,5 minutos 
12) 5 cm 
13) 1º: R$ 1500,00; 2º: R$ 1200,00; 3º: 
R$ 2500,00 
14) Proporcionalidade direta; 12 ou 1/12 
15) 4800 candidatos 
16) R$ 2400,00 
17) 28 litros de água por minuto 
18) Aproximadamente R$ 8268,84 
19) 22,5 cm 
20) a) 2250 litros; b) 8 horas 
21) 70 metros 
22) 2 horas 
23) 180 guidões 
24) 25 caminhões 
25) 4 dias 
26) R$ 32500,00 
27) 129600 litros 
28) 180 caixas 
29) 6 dias 
30) 9 horas por dia 
70 
 
 
 
Links videoaulas – aula 9 
 
 Videoaula 1 – introdução a razões 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/introducao-a-razoes-nova-versao-hd 
 
Videoaula 2 –razão e proporção 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/razao-e-proporcao 
 
Videoaula 3 –razões como frações na 
expressão mais simples 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/razoes-como-fracoes-na-expressao-
mais-simples 
 
Videoaula 4 –problemas avançados de razão 
e proporção 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/problemas-avancados-de-razao 
 
Videoaula 5 –problemas sobre proporção 
com álgebra básica 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/problema-sobre-proporcao-com-
algebra-basica 
 
Videoaula 6 –encontrando uma variável em 
uma proporção 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/encontre-uma-variavel-em-uma-
proporcao 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
 
 
 
 
 
 
PORCENTAGEM 
 Porcentagem é uma forma usada para 
indicar uma fração de denominador 100 ou 
qualquer representação equivalente a ela. 
Exemplos: 
 50% é o mesmo que ou ou 0,50 ou 
0,5 (metade) 
 75% é o mesmo que ou ou 0,75 
 9% é o mesmo que ou 0,09 
 é o mesmo que ou ou 15% 
 é o mesmo que 0,40 ou ou 40% 
 8 pessoas em um grupo de 10 
correspondem a ou ou 80% do 
grupo. 
 
Representamos porcentagem pelo símbolo 
%, que se lê “por cento”. 
 
 Exemplos: 
1) O rio São Francisco é o maior rio 
totalmente brasileiro. Ele tem uma extensão 
de 2900 km e banha cinco estados: Minas 
Gerais, Bahia, Pernambuco, Alagoas e 
Sergipe. Aproximadamente 26% de sua 
extensão atravessa as regiões mais áridas 
desses estados. Quantos quilômetros do rio 
São Francisco banham as regiões mais 
áridas desses estados? 
Solução: 
Extensão total do rio São Francisco: 2900 km 
e corresponde a 100%. 
26% dessa extensão banha a parte mais 
árida dos estados. 
Assim, 
26% de 2900 = 
Dessa forma, 754 km do rio São Francisco 
banham as terras mais áridas dos estados de 
Minas Gerais, Bahia, Pernambuco, Alagoas e 
Sergipe. 
 
2) Na escola de Maria há uma quadra de 
esportes. A quadra, com área de 140 m2, 
corresponde a 28% da área do terreno da 
escola. Qual é a área do terreno da escola de 
Maria? 
1ª solução: Podemos resolver este problema 
utilizando a regra de três simples. Vejamos: 
 140 m2 ------------------ 28% 
x m2 ----------------- 100% 
A área e a porcentagem são diretamente 
proporcionais. Assim, obtemos a proporção 
 
 
2ª Solução: Podemos resolver este 
problema usando uma equação do 1º grau 
com uma incógnita x que representa a área 
do terreno: 
28% = da área do terreno 
corresponde a 140 m2. 
Assim, 0,28.x = 140 x = 500 m2 
 
3ª Solução: Podemos resolver este 
problema usando proporcionalidade: 
28% da área corresponde a 140 m2 
1% da área corresponde a 
100% da área corresponde a 
 
Aula 10 
72 
 
3) A produção de café de uma certa fazenda, 
em determinado ano, foi de 800 sacas. No 
ano seguinte, as condições climáticas foram 
mais favoráveis, e a produção subiu para 
1300 sacas de café. 
De quantos por cento foi o aumento da 
produção nesse ano em relação à do ano 
anterior? 
Solução: 
Resolveremos este problema calculando a 
razão do aumento da produção em relação à 
produção do ano anterior: 
Assim, 1300 – 800 = 500 sacas de aumento 
na produção. 
Logo, podemos obter a seguinte proporção: 
 
 
Portanto, o aumento da produção desse ano 
em relação à do ano anterior foi de 62,5%. 
Ou ainda: 
2ª Solução: 
x% de 800 sacas = 1300 sacas 
 
Assim, como 100% + 62,5% = 162,5%, 
concluímos que houve um aumento na 
produção de 62,5%. 
73 
 
 
 
 
 
01) Nos 7os anos da escola de Maria, 69 de 
cada 100 alunos são meninas. Qual o 
percentual de meninas que estudam nos 
7ºs anos dessa escola? 
 
02) Complete: 
a) 25% de 840 pessoas são: 
b) 50% de R$ 12.400,00 são: 
c) 6% de 350 m2 são: 
d) 7,5% de R$ 1.280,00 são: 
 
03) Complete a tabela abaixo: 
 
Fração 
decimal 
 0,5 0,06 
Usado 
% 
 18% 85,4% 
 
04) A classe de Celso tem 45 alunos e 27 
deles foram promovidos em Matemática. 
Qual é o percentual de aprovação dessa 
classe em Matemática? 
 
05) Uma frota de ônibus foi acrescida de 44 
veículos. Como essa frota tinha 352 
ônibus, que percentual da frota antiga 
representa esse acréscimo? 
 
06) Célia comprou um objeto em uma 
liquidação, ganhando 10% de desconto 
sobre seu valor. Se ela pagou R$ 540,00, 
qual era o preço inicial desse objeto? 
 
07) João ganhava R$ 2.400,00. Teve um 
aumento e passou a ganhar R$ 2.604,00. 
Quantos por cento de aumento ele teve? 
 
08) Um criador de gado bovino começou sua 
criação com 212 cabeças de boi. Após 
um ano, sua boiada havia 
aumentado100%. 
a) Quantas cabeças de boi haviae sua 
criação no final desse período? 
b) Quantas cabeças de boi haveria com 
um aumento de 300%? 
c) Quantas cabeças de boi haveria com 
um aumento de 500%? 
 
09) Em uma farmácia, aposentados recebem 
descontos de 15% sobre o preço de cada 
remédio. Renato, Marta e Isabel são 
aposentados. 
a) Renato pagou R$ 51,00 por um 
remédio. Qual era o preço inicial 
desse remédio? 
b) Marta comprou remédios que 
custavam, sem desconto, R$ 23,80 e 
R$ 18,20. Que quantia ela obteve de 
desconto? Quanto ela gastou? 
c) Isabel comprou vários remédios, 
obtendo descontos de R$ 19,50. 
Calcule o preço dos remédios sem o 
desconto de 15%. 
10) Um Patinete anunciado em um jornal 
custava R$ 275,00 em uma liquidação. 
Três meses depois, seu preço sofreu um 
aumento de 18%. Quanto o patinete 
passou a custar? 
11) Uma mercadoria que custava R$236,00 
teve um aumento de 20%. Qual o novo 
preço dessa mercadoria? 
 
12) Nos restaurantes é comum acrescentar à 
conta 10% do total de gastos, como taxa 
de serviço ou gorjeta. A conta de Renato 
ficou em R$ 56,00, sem a taxa de 
serviço. Quanto ele vai pagar se incluir a 
taxa de serviço? 
 
13) Em uma classe, haviam 40 estudantes. 
Certo dia, faltaram 25% dos rapazes, 
diminuindo para 36 o número de 
estudantes presentes. 
a) Quantos rapazes estavam na classe 
naquele dia? 
b) Qual era o número de moças 
presentes naquele dia? 
c) Quantos por cento dessa turma era 
do sexo masculino? 
 
14) Para a eleição de diretoria do grêmio de 
uma escola, candidataram-se 10% dos 
900 alunos. Foram eleitos 10% dos 
candidatos. 
a) Quantos alunos eram candidatos? 
b) Quantos alunos foram eleitos? 
c) Quantos por cento dos alunos da 
escola representavam os eleitos? 
 
15) Represente: 
a) 65% em forma de fração irredutível; 
b) 4% na forma decimal; 
c) em forma de porcentagem; 
d) em forma de porcentagem; 
e) 40% de 30% numa única 
porcentagem. 
Exercícios - Aula 10 
74 
 
 
16) Calcule a responda: 
a) Qual é o valor de 60% de 95? 
b) Quanto por cento de 70 é igual a 56? 
c) 6 são 15% de que número? 
d) Quanto valem 3,5% de R$ 650,00? 
e) R$ 75,20 correspondem a 20% de 
que quantia? 
f) Em relação a um total de R$ 300,00, 
a quantia de R$ 171,00 corresponde 
a quanto por cento? 
g) 0,5% de R$ 85,00 dá um valor maior 
ou menor do que 1% de R$ 170,00? 
17) Helena fez uma pesquisa com 100 alunos 
da escola onde estuda sobre a 
preferência por matéria do currículo. Veja 
os resultados na tabela: 
 
Preferência dos alunos 
Ciências 8 
Educação Artística 7 
Educação Física 23 
Geografia 14 
História 11 
Língua Inglesa 5 
Língua Portuguesa 17 
Matemática 15 
 
a) Qual é a razão entre o número de 
alunos que preferem Educação Física 
e o número total de alunos que 
participaram da pesquisa? 
b) Qual é a porcentagem dos alunos que 
preferem Matemática? 
 
18) Calcule: 
a) R$ 112,00 mais 14% de R$ 112,00; 
b) R$ 208,50 mais 4% de R$ 208,50; 
c) R$ 58,30 mais 26% de R$ 58,30; 
d) R$ 47,80 mais 32,5% de R$ 47,80. 
 
19) Ao reduzir R$ 99,00 em 1% qual será o 
valor obtido? 
 
20) Os 78% do total de figurinhas de Mariana 
correspondem a 156 figurinhas. Qual é a 
quantidade total de figurinhas que 
Mariana tem? 
 
21) De 210 candidatos que participaram de 
um concurso, 70 foram aprovados. Qual 
foi, aproximadamente, a porcentagem 
dos reprovados? 
 
22) Paulo foi jantar com sua família em um 
restaurante. A conta, incuindo os 10% de 
gorjeta da garçonete, foi de R$ 165,00. 
Qual seria o valor da conta sem a 
gorjeta? 
 
23) Em uma pesquisa com 1200 
telespectadores, foi questionado quantas 
famílias assistiram às competições das 
últimas olimpíadas. Concluiu-se que 65% 
dos telespectadores não assistiram a 
mais de 50% das competições. Quantos 
telespectadores entrevistados assistiram 
a mais de 50% das competições 
olímpicas? 
24) Márcia revendeu uma casa por R$ 
113.000,00, obtendo lucro de 15% sobre 
o preço de compra. Quanto Márcia havia 
pago pela casa? 
 
25) Um empresário investiu R$ 8.400,00 em 
um projeto. Depois de um ano, seu lucro 
foi de R$ 1.680,00. Qual foi a 
porcentagem do lucro em relação ao 
investimento? 
 
26) Um grupo de alunos comprou um 
presente que custava R$ 240,00 para a 
professora. Como pagaram à vista, 
obtiveram um desconto de 22%. Quanto 
eles pagaram pelo presente? 
 
Gabarito: 
01) 69% 
02) a) 210 pessoas; b) R$ 6.200,00; c) 21 
m2; d) R$ 96,00 
03) 2%; 18/100; 50%; 0,854; 6% 
04) 60% 
05) 12,5% 
06) R$ 600,00 
07) 8,5% 
08) a) 424; b) 848; c) 1272 
09) a) R$ 60,00; b) R$ desconto de 6,30 
e gasto de R$ 35,70; c) R$ 130,00 
10) R$ 324,50 
11) R$ 238,20 
12) R$ 61,60 
13) a) 12; b) 24; c) 40% 
14) a) 90; b) 9; c) 1% 
15) a) 13/20; b) 0,04; c) 64%; d) 70%; 
e) 180%; f) 12% 
16) a) 57; b) 80%; c) 40; d) R$ 22,75; 
e) R$ 376,00; f) 57%; g) menor 
17) a) 23/100; b) 15% 
18) a) R$ 127,68; b) R$ 216,84; c) R$ 
73,46; d) R$ 63,34 
19) R$ 98,01 
20) 200 
75 
 
21) 66,66% 
22) R$ 150,00 
23) 420 telespectadores 
24) Aproximadamente R$ 98.260,87 
25) 20% 
26) R$ 187,20 
 
Links videoaulas – aula 10 
Videoaula 1 –descrevendo o significado de 
porcentagem 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/descrevendo-o-significado-de-
porcentagem 
Videoaula 2 –descrevendo o significado de 
porcentagem 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/descrevendo-o-significado-de-
porcentagem-2 
 
Videoaula 3 –identificando porcentagens 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/identificando-porcentagens 
 
Videoaula 4 –solucionando problemas de 
porcentagem 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/solucionando-problemas-de-
porcentagem 
 
Videoaula 5 –solucionando problemas de 
porcentagem 2 
 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/solucionando-problemas-de-
porcentagem-2 
 
Videoaula 6 –solucionando problemas de 
porcentagem 3 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/solucionando-problemas-de-
porcentagem-3 
 
Videoaula 7 –porcentagem e decimal 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/porcentagem-e-decimal1 
 
Videoaula 8 –problemas de porcentagem 
 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/problemas-de-porcentagem 
 
Videoaula 44 –outro problema de 
porcentagem 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/outro-problema-de-porcentagem 
 
Videoaula 45 –representando um número na 
forma decimal, porcentagem e fração 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/representando-um-numero-em-forma-
de-decimal-porcentagem-e-fracao 
 
Videoaula 46 – crescimento percentual 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/crescimento-percentual 
 
 
 
 
 
76 
 
 
 
 
 
 
Grandezas e Unidades de Medidas 
 
A unidade é um nome particular que 
relacionamos às medidas de uma grandeza. 
 
Existem dois tipos de grandezas físicas: 
 
- vetorial: nesta grandeza, além do valor 
numérico, é necessária uma representação 
espacial que determina direção e sentido. 
Exemplo: aceleração, velocidade e força. 
 
Escalar: esta grandeza necessita somente de 
um valor numérico e uma unidade para 
determinar uma grandeza física. 
 
Exemplo: massa, comprimento e tempo. 
 
Nas grandezas e suas unidades, as medidas 
são expressas pelo Sistema Internacional de 
Unidade (SI). As principais são: 
- comprimento (metro: m) 
- massa (quilograma: kg) 
- tempo (segundo: s) 
 
 
Conversão de unidades 
 
As unidades podem ser convertidas de 
acordo com sua respectiva grandeza. 
 
 
 
Convertendo unidade de comprimento 
 
Quadro geral de unidades de comprimento 
Múltiplos Unidade 
Padrão 
Submúltiploskm hm dam m dm cm mm 
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m 
 
Significado das siglas: 
km quilômetro 
hm hectômetro 
dam decâmetro 
m metro 
dm decímetro 
cm centímetro 
mm milímetro 
 
 
Para realizar a conversão dessas unidades, 
segue-se uma regra bem simples, que 
envolve multiplicação ou divisão por 
dezenas. 
 
 X10 X10 X10 X10 X10 
 
km hm dam m dm cm mm 
 
 10 10 10 10 10 
 
Exemplos: 
 
a) 12 m = 12000 mm 
b) 10 mm = 0,001 dam 
c) 5,3 m = 0,0053 km 
d) 9 mm = 0,009 m 
e) 10 mm =0,01 m 
 
 
Convertendo unidade de massa 
 
Quadro geral de unidades de massa 
Múltiplos Unidade 
Padrão 
Submúltiplos 
kg hg dag g dg cg mg 
1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g 
 
 
Significado das siglas: 
kg quilograma 
hg hectograma 
dag decagrama 
g grama 
dg decigrama 
cg centigrama 
mg miligrama 
 
 
Para realizar a conversão dessas unidades, a 
regra é a mesma realizada na grandeza de 
comprimento, envolvendo multiplicação ou 
divisão por dezenas. 
 
 X10 X10 X10 X10 X10 
 
kg hg dag g dg cg mg 
 
 10 10 10 10 10 
 
 
Aula 11 
77 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
a) 21 kg = 21000 g 
b) 8 kg = 80 hg 
c) 3 mg = 0,003 g 
d) 10 mg = 0,01 g 
e) 12 g =0,012 kg 
 
 
Convertendo unidade de tempo 
 
Para realizar a conversão dessas unidades, 
segue-se uma regra bem simples, que 
envolve operações de multiplicação ou 
divisão. 
 
Assim, para transformar um segundo em um 
minuto, divide-se o valor por sessenta, 
basicamente, pode-se afirmar que um minuto 
equivale á sessenta segundos. 
 
De forma semelhante, para transformar uma 
hora em um minuto, multiplica-se o valor em 
horas por sessenta. Desse modo, tem-se que 
uma hora equivale á sessenta minutos. 
 
 
Exemplos: 
a) 660 s = 11 min 
b) 720 s = 0,2 h 
c) 3 h = 180 min 
 
Convertendo unidade de área de 
superfície 
 
quadro geral de unidades de área 
múltiplos Und 
padrão 
submúltiplos 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
1.000.0
00m2 
10.00
0m2 
100
m2 
1m2 0,01 
m2 
0,00
01 
m2 
0,00000
1 m2 
 
 
Significado das siglas: 
km2 quilômetro quadrado 
hm2 hectômetro quadrado 
dam2 decâmetro quadrado 
m2 metro quadrado 
dm2 decímetro quadrado 
cm2 centímetro quadrado 
mm2 milímetro quadrado 
 
 
Para realizar a conversão dessas unidades, 
segue-se uma regra bem simples, que 
envolve multiplicação ou divisão por 
centenas. 
 
 
X100 X100 X100 X100 X100 
 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 
 100 100 100 100 100 
 
 
Fique atento! 
 
Metro quadrado (m2) significa a medida da 
área da superfície de um quadrado com um 
metro de lado. 
 
 
Exemplos: 
 
a) 300 dm2 = 3 m2 
b) 6 dam2 = 600 m2 
c) 23 km2 = 23.000.000 m2 
d) 83,2 cm2 = 8.320 mm2 
e) 1,95 km2 = 1.950.000 m2 
 
 
Convertendo unidade de volume 
 
Como acontece com as demais grandezas, 
existem múltiplos e submúltiplos do metro 
cúbico para medir volumes. Veremos aqui, 
apenas as unidades mais utilizadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
78 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Significado das siglas: 
 
km3 quilômetro cúbico 
hm3 hectômetro cúbico 
dam3 decâmetro cúbico 
m3 metro cúbico 
dm3 decímetro cúbico 
cm3 centímetro cúbico 
mm3 milímetro cúbico 
Para realizar a conversão dessas unidades, 
segue-se uma regra bem simples, que 
envolve multiplicação ou divisão por 
milhares. 
 
 X1000 X1000 X1000 X1000 X1000 
 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 
 1000 1000 1000 1000 1000 
 
 
Fique atento! 
 
Metro cúbico (m3) significa a medida do 
espaço ocupado por um cubo com um metro 
de aresta. 
 
 
Exemplos: 
 
a) 1000 dm3 = 1 m3 
b) 6000 cm3 = 6 dm3 
c) 478 m3 = 578.000 dm3 
d) 7000 mm3 = 0,007 dm3 
e) 0,5 m3 = 500.000 cm3 
 
 
Convertendo unidades de capacidades 
 
Os líquidos e os gases em geral tomam a 
forma do recipiente que os contém. Quando 
o recipiente está cheio de um líquido ou gás, 
o volume contido no recipiente é a sua 
capacidade. 
 
Assim, 
 
1 L = 1 dm3 
 
 
 
 
Como 1m3 = 1000 dm3 e 1 dm3 = 1L, então: 
 
 
1m3 = 1000 L 
 
 
Notação: 
L = litro e mL = mililitro 
 
Para medir pequenos volumes, utilizamos 
submúltiplos do litro, e o mililitro é o mais 
comum. 
 
 
 
1mL = L = 0,001 L e 1 L = 1000 mL 
 
 
Exemplos: 
 
a) 3,68 L = (3,68 x 1000) mL = 3680 L 
 
a) 12,5 mL = (12,5 1000) L = 0,0125 L 
 
 
 
 
 
 
 
01) Angela dividiu um pedaço de fita de 
50 mm em dois pedaços iguais. 
Quantos centímetros mede cada 
pedaço? 
 
02) Faça as conversões: 
 
a) 1000 m = _____km 
b) 10 m = _____dam 
c) 1000 mm = 1 _____ 
d) 100 cm = 1 ____ 
 
03) O passo de André mede 65 cm. Ele 
anotou 16 passos ao medir o 
comprimento de um corredor. Qual é 
o comprimento desse corredor em 
metros? 
 
04) Faça as conversões: 
 
Exercícios - Aula 11 
79 
 
a) 5,2 cm = _____ mm 
b) 0,9 cm = _______m 
c) ____km = 3000m 
d) 1,80 m = _____cm 
e) 2,3 km = _____m 
f) _____ m = 300 mm 
 
 
05) Um caminhoneiro saiu de Recife com 
destino a Belo Horizonte. Depois de 
percorrer 1543,6 km, ele pediu 
informação em um posto de 
combustível e soube que ainda 
faltavam 595,4 km para chegar a seu 
destino. Qual é a distância de Recife 
a Belo horizonte? 
 
06) Patrícia comprou 5,50 m d tecido para 
fazer um conjunto de calça e casaco. 
Para a calça são necessários 2,50 m 
de tecido e para o casaco 2,30 m. 
Com esse tecido ela ainda poderá 
fazer uma blusa que precisa de 80 cm 
de tecido? Por quê? 
 
07) Para revestir um sofá, coloca-se uma 
manta de algodão com 8mm de 
espessura, uma manta acrílica com 
16 mm de espessura e uma camada 
de espuma com 3cm de espessura. 
Qual é a espessura total do 
revestimento? Apresente a resposta 
em centímetros. 
 
08) Um terreno retangular de 82 m por 
4300 cm será cercado com três voltas 
de arame. 
 
a) Quantos metros de arame serão 
necessários? 
b) Se cada rolo de arame tem 25 m, 
quantos rolos serão necessários? 
 
09) Alice quer comprar renda para 
enfeitar a borda de uma toalha 
retangular. Essa toalha tem 3 m de 
largura, e seu comprimento é o dobro 
da largura. 
a) Para não faltar material, Alice vai 
comprar 2 m a mais de renda. 
Quantos metros de renda ela terá 
de comprar? 
b) Se um metro de renda custa R$ 
6,60, quanto Alice gastará? 
 
10) Laura escolheu três frangos em um 
supermercado, que foram colocados 
em uma balança, um após o outro se 
retirar o anterior. Colocado o primeiro 
frango, a balança registrou 3 kg. 
Colocado o segundo, ela registrou 5 
kg. Colocado o último, a balança 
marcou 9 kg. 
a) Quanto pesa o segundo frango? 
b) Quanto pesa o último frango? 
 
 
11) Em uma agência de transporte há 3 
caixas que devem ser enviadas para 
uma cidade. Elas têm 28,5 kg, 30,4 kg 
e 27,25 kg. Uma quarta caixa é 
acrescentada e o total agora é 100 
kg. Calcule a massa da quarta caixa. 
 
12) Os cães de um canil consumiram em 
um dia 35% de ração de um saco que 
continha 25 kg. Quantos quilogramas 
restaram? 
 
13) Toninho tem um caminhão que pode 
transportar, no máximo, 2,5 t. Dentre 
estas cargas, quais ele poderá 
transportar no caminhão? 
 
a) 250 kg; b) 2500 kg; c) 2501 kg; 
 
d) 2,5 kg; e) 250 000 kg 
 
14) Qual é o número mínimo de viagens 
necessárias para transportar 39 
caixas de 38 kg cada uma? Após 
todas as viagens com carga máxima, 
quantas caixas serão levadas ao 
terceiro andar na última viagem?15) A carga máxima que uma 
caminhonete pode transportar é uma 
tonelada. 
 
a) Qual é o número máximo de 
caixas de 120 kg cada uma que 
podem ser transportadas por essa 
caminhonete? 
b) Ao transportar 20 caixas de 52 kg 
cada uma, quanto será a carga 
excedente? 
c) Sem exceder a carga máxima, 
essa caminhonete consegue 
transportar, em uma única 
viagem, uma máquina que pesa 
348 kg, 9 sacos de arroz de 60 kg 
80 
 
cada um e duas caixas de 45 kg 
cada uma? Justifique sua 
resposta. 
 
 
16) Odete foi ao açougue e pediu ¼ kg de 
músculo. 
a) Quantos gramas de músculo ela 
comprou? 
b) Se tivesse pedido ¾ kg, quantos 
gramas de músculo teria levado? 
 
17) A quantos gramas de café 
correspondem 10 pacotes de 1/8 kg? 
 
18) Maria tem cinquenta e seis 
quilogramas e meio. Ao ir à escola, 
ela carrega uma mochila de três 
quilogramas e quatrocentos gramas, 
que contém, além de estojo e 
cadernos, um livro de trezentos e 
quarenta e cinco gramas. Represente 
as medidas citadas, usando números 
e a unidade kg. 
 
19) Um pão é feito com 300 g de farinha 
de trigo. Quantos pães desse tipo 
podem ser feitos com 12,9 kg de 
farinha? 
 
20) Transforme: 
 
a) 3,5 g em mg 
b) 5 kg em g 
c) 1,2 g em kg 
d) 80 mg em g 
e) 100 g em mg 
f) 0,018 kg em g 
 
21) Transforme em metro quadrado: 
a) 3 km2 
b) 50 cm2 
c) 0,03 km2 
d) 13 568 cm2 
 
22) Luiza tem um tecido com 1 m2 . 
a) Quantos lenços quadrados de 900 
cm2 ela poderá fazer com esse 
tecido? 
b) Sobrará algum pedaço? 
c) Se sim, de quantos cm2? 
 
23) João tem um sítio com 2 km2 de área. 
Nesse sítio ele reservou 18 000 m2 
para fazer um pomar. Qual é a área 
restante? Escreva a respostas em 
km2 e em m2. 
24) A área de um ladrilho é 400 cm2. Qual 
é a área desse ladrilho em mm2? 
 
25) Faça a conversão: 
 
a) 5 m2 = ____ dam2 
b) 3,21 km2 = ____ m2 
c) 1,82 m2 = _____ cm2 
d) 584 m2 = ___ km2 
 
26) Uma caixa tem a forma de um cubo 
de 40 cm de aresta. Qual é o volume 
dessa caixa? 
 
27) Faça a conversão: 
 
a) 1000 dm3 = ____ m3 
b) 1000 cm3 = ___ dm3 
c) 1 m3 = ___ cm3 
d) 1000 cm3 = ___ m3 
e) 0,001 cm3 = ____ m3 
 
28) Um carro percorre 9 km com 1 L de 
gasolina. Supondo que esse consumo 
de gasolina seja sempre o mesmo, 
responda:Quantos litros o carro 
consumirá para percorrer 180 km? 
 
29) Transforme em mL: 
 
a) 3,5 L 
b) 0,19 L 
c) 0,072 L 
 
30) Se a capacidade de um frasco é de 
2,25 L, qual é a sua capacidade em 
mL? 
 
31) Um frasco de detergente pode conter 
600 mL. Quantos frascos serão 
necessários para acondicionar 1200 L 
de detergente? 
 
32) Transforme em litros: 
 
a) 37 m3 
b) 6 m3 
c) 7,5 m3 
d) 0,086 m3 
e) 0,2 m3 
f) 0,005 m3 
 
81 
 
33) Uma torneira despeja 250 mL de água 
por minuto em um vasilhame. Quanto 
tempo ela levará para despejar 4 L de 
água? 
34) Transforme em m3: 
a) 1200 L 
b) 68,4 L 
c) 195800 mL 
 
35) Durante um treino para a corrida de 
São Silvestre, Paulo percorreu 48 km 
e Renato 60000m, em um mesmo 
intervalo de tempo. Qual é a razão 
entre as distâncias percorridas por 
Paulo e Renato nesse tempo? 
36) Um vasilhame tem capacidade de 
15,6 L de um líquido, e outro de 1300 
mL. Qual é a razão entre a 
capacidade do primeiro vasilhame e a 
do segundo? 
 
 
Gabarito aula 11: 
 
1) 2,5 m 
2) a) 1 km; b) 1 dam; c) 1m; d) 1m 
3) 10,40 m 
4) a) 52 mm; b) 0,009 m; c) 3 km; d) 
180 cm; e) 2300 m; f) 0,3m 
5) 2139 km 
6) Não, pois irá sobrar 70 cm de tecido e 
70 cm < 80 cm 
7) 5,4 cm 
8) a) 75m; b) 30 rolos 
9) a) 20m; b) R$ 132,00 
10) a) 21 kg; b) 4 kg 
11) 13,85 kg 
12) 16,25 kg 
13) a, b e d 
14) 4 viagens, 6 caixas 
15) a) 8 caixas; b) 40 kg; c) sim, a carga 
toda pesa 978 kg, o que não excede 1 
tonelada 
16) a) 250 g; b) 750 g 
17) 1250 g 
18) 56,5 kg; 3,400 kg; 0,345 kg 
19) 43 pães 
20) a) 3500 mg; b) 5000 g; c) 0,0012 kg 
d) 0,08 g; e) 100000 mg; f) 18 g 
21) a) 3000000 m2; b) 0,0050 m2; c) 
30000 m2; d) 1,3568 m2 
22) a) 11 lenços; b) sim; c) 100 cm2 
23) 1,982 km2 e 1982000 m2 
24) 40000mm2 
25) a) 0,05; b) 3210000; c) 18200; d) 
0,000584 
26) 64000 cm3 
27) a) 1; b) 1; c) 1000000; d) 0,001; e) 
0,000001 
28) 20 L 
29) a) 3500 mL; b) 190 mL; c) 72 mL 
30) 2250 mL 
31) 2000 frascos 
32) a) 37000 L; b) 6000 L; c) 7500 L; d) 
86 L; e) 200 L; f) 5 L 
33) 16 minutos 
34) a) 1,2 m3; b) 0,0684 m3; c) 0,1958 m3 
35) 48/60 ou 4/5 
36) 12 
 
Links videoaulas – aula 11 
 
Não possui. 
 
 
Bibliografia 
 
 
- MORI, Iracema;ONAGA, Dulce Satiko. 
Mtemática: Idéias e Desafios. 6º, 7º, 8º e 9º 
ano. 17ª Edição. Ed. Saraiva, 2012. 
 
- Site: http://www.prof-edigleyalexandre.com 
/2012/09/visualizando-propriedades-algebric 
as.html Acesso em 25.08.2013