Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente

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Aula 6
Derivadas Direcionais e o
Vetor Gradiente
MA211 - Cálculo II
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Derivadas Direcionais
Suponha que desejamos calcular a taxa de variação de
z = f (x),x = (x1, x2, . . . , xn), no ponto a = (a1,a2, . . . ,an) na
direção de um vetor unitário u = (u1, . . . ,un).
Lembre-se que um vetor u é unitário se ‖u‖ = 1.
Exemplo 1
Suponha que f (a) é a temperatura no ponto a numa sala com
ar-condicionado mas com a porta aberta. Se movemos na
direção da porta, a temperatura irá aumentar. Porém, se
movemos na direção do ar-condicionado, a temperatura irá
diminuir.
A taxa de variação de z = f (x) em a na direção de u é a
derivada direcional. Note que derivada direcional de depende
tando do ponto a como da direção u na qual afastamos de a.
Definição 2
Derivada Direcional Seja f : D → R uma função de n variáveis,
isto é, D ⊆ Rn. Considere um ponto a no interior de D e u ∈ Rn
um vetor com ‖u‖ = 1. A derivada direcional de f em a na
direção u é
Duf (a) = lim
h→0
f (a+ hu)− f (a)
h
,
se esse limite existir.
Observação
A distância entre a e a+ hu é |h|. Logo, o quociente
f (a+ hu)− f (a)
h
representa a taxa média de variação de f por unidade de
distância sobre o segmento de reta de a à a+ hu.
Derivada Direcional e as Derivadas Parciais
A derivada direcional generaliza as derivadas parciais no
seguinte sentido. A derivada direcional de f em a na direção da
i-ésima componente da base canônica, ou seja,
ei = (0, . . . ,0, 1︸︷︷︸
i-ésima componente
,0, . . . ,0)
é a derivada parcial de f em a com respeito à xi , ou seja,
Dei f (a) =
∂f
∂xi
(a) = fxi (a) = Di f (a).
Derivadas Parciais e a Derivada Direcional
Considere a função g : R→ R dada por
g(h) = f (a+ hu).
Por um lado, note que
g′(0) = lim
h→0
g(h)− g(0)
h
= lim
h→0
f (a+ hu)− f (a)
h
= Duf (a).
Por outro lado, da regra da cadeia concluímos que
g′(h) =
∂f
∂x1
dx1
dh
+
∂f
∂x2
dx2
dh
+ . . .+
∂f
∂xn
dxn
dh
.
Agora, x(h) = a+hu = (a1 +hu1,a2 +hu2, . . . ,an+hun). Logo,
dx1
dh
= u1,
dx2
dh
= u2, . . . ,
dxn
dh
= un.
Portanto, tem-se
g′(0) =
∂f
∂x1
∣∣∣∣
a
u1 +
∂f
∂x2
∣∣∣∣
a
u2 + . . .+
∂f
∂xn
∣∣∣∣
a
un =
n∑
j=1
∂f
∂xj
∣∣∣∣
a
uj .
Teorema 3
Se f é uma função diferenciável em a, então f tem derivada
direcional para qualquer vetor unitário u e
Duf (a) =
n∑
j=1
∂f
∂xj
∣∣∣∣
a
uj
Observação:
Qualquer vetor unitário u ∈ R2 pode ser escrito como
u = (cos θ, sen θ), para algum angulo θ. Nesse caso,
Duf (x , y) = fx(x , y) cos θ + fy (x , y) sen θ.
Teorema 3
Se f é uma função diferenciável, então f tem derivada
direcional para qualquer vetor unitário u e
Duf (x) =
n∑
j=1
∂f
∂xj
uj
Observação:
Qualquer vetor unitário u ∈ R2 pode ser escrito como
u = (cos θ, sen θ), para algum angulo θ. Nesse caso,
Duf (x , y) = fx(x , y) cos θ + fy (x , y) sen θ.
Vetor Gradiente
A derivada direcional de f na direção u pode ser escrita em
termos do seguinte produto escalar
Duf (x) =
n∑
j=1
∂f
∂xj
uj =
(
∂f
∂x1
,
∂f
∂x2
, . . . ,
∂f
∂xn
)
︸ ︷︷ ︸
vetor gradiente
·u.
Definição 4 (Vetor Gradiente)
O gradiente de uma função f , denotado por ∇f ou grad f , é a
função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais,
ou seja,
∇f =
(
∂f
∂x1
,
∂f
∂x2
, . . . ,
∂f
∂xn
)
.
Vetor Gradiente
A derivada direcional de f na direção u pode ser escrita em
termos do seguinte produto escalar
Duf (x) =
n∑
j=1
∂f
∂xj
uj =
(
∂f
∂x1
,
∂f
∂x2
, . . . ,
∂f
∂xn
)
︸ ︷︷ ︸
vetor gradiente
·u = ∇f · u.
Definição 4 (Vetor Gradiente)
O gradiente de uma função f , denotado por ∇f ou grad f , é a
função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais,
ou seja,
∇f =
(
∂f
∂x1
,
∂f
∂x2
, . . . ,
∂f
∂xn
)
.
Interpretação do Vetor Gradiente
Sabemos que o produto escalar de dois vetores a e b satisfaz:
a · b = ‖a‖‖b‖ cos θ,
em que θ é o angulo entre a e b. Assim, podemos escrever
Duf = ∇f · u = ‖∇f‖ ‖u‖︸︷︷︸
=1
cos θ = ‖∇f‖ cos θ.
O valor máximo de cos θ é 1, e isso ocorre quando θ = 0. Logo,
Teorema 5
O valor máximo da derivada direcional Duf de uma função
diferenciável é ‖∇f‖ e ocorre quando u tem a mesma direção e
sentido que ∇f .
Em outras palavras, a maior taxa de variação de f (x) ocorre na
direção e sentido do vetor gradiente.
Em R2...
Considere uma função f de duas variáveis x e y e uma curva
de nível dada pelo conjunto dos pontos
{r(t) = (x(t), y(t)) : f (x(t), y(t)) = k}.
Se P = (x(t0), y(t0)), então pela regra da cadeia, temos que
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
= 0 ⇐⇒ ∇f (x0, y0) · r′(t0) = 0,
em que x0 = x(t0), y0 = y(t0) e r ′(t0) = (x ′(t0), y ′(t0)) é o vetor
tangente a curva de nível em P.
Conclusão:
O vetor gradiente ∇f (x0, y0), além de fornecer a direção e
sentido de maior crescimento, é perpendicular à reta tangente
à curva de nível de f (x , y) = k que passa por P = (x0, y0).
Em R3...
O vetor gradiente ∇F (x0, y0, z0), além de fornecer a direção e
sentido de maior crescimento, é perpendicular ao plano
tangente à superfície de nível de F (x , y , z) = k que passa por
P = (x0, y0, z0).
O plano tangente à superfície F (x , y , z) = k em P = (x0, y0, z0)
é dado por todos os vetores que partem de (x0, y0, z0) e são
ortogonais ao gradiente ∇F (x0, y0, z0), ou seja, a equação do
plano tangente é:
∇f (x0, y0, z0) · (x − x0, y − y0, z − z0) = 0.
A reta normal a superfície F (x , y , z) = k em P = (x0, y0, z0) é
dada pelo gradiente ∇F (x0, y0, z0), ou seja,
(x − x0, y − y0, z − z0) = λ∇f (x0, y0, z0), λ ∈ R.
Alternativamente, suas equações simétricas são
x − x0
Fx(x0, y0, z0)
=
y − y0
Fy (x0, y0, z0)
=
z − z0
Fz(x0, y0, z0)
.
Exemplo 6
Determine a derivada direcional Duf (x , y) se
f (x , y) = x3 − 3xy + 4y2,
e u é o vetor unitário dado pelo ângulo θ = pi/6.
Qual será Duf (1,2)?
Exemplo 6
Determine a derivada direcional Duf (x , y) se
f (x , y) = x3 − 3xy + 4y2,
e u é o vetor unitário dado pelo ângulo θ = pi/6.
Qual será Duf (1,2)?
Resposta:
Duf (x , y) =
1
2
(
3
√
3x2 − 3x + (8− 3
√
3)y)
)
e
Duf (1,2) =
13− 3√3
2
.
Exemplo 7
Determine a derivada direcional da função
f (x , y) = x2y3 − 4y ,
no ponto P = (2,−1) na direção do vetor v = 2i+ 5j.
Exemplo 7
Determine a derivada direcional da função
f (x , y) = x2y3 − 4y ,
no ponto P = (2,−1) na direção do vetor v = 2i+ 5j.
Resposta:
Duf (2,−1) = 32√
29
.
Exemplo 8
Se
f (x , y , z) = x sen yz,
a) determine o gradiente de f ,
b) determine a derivada direcional de f no ponto (1,3,0) na
direção v = i+ 2j− k.
Exemplo 8
Se
f (x , y , z) = x sen yz,
a) determine o gradiente de f ,
b) determine a derivada direcional de f no ponto (1,3,0) na
direção v = i+ 2j− k.
Resposta:
a) O gradiente de f é
∇f (x , y , z) = (sen yz, xz cos yz, xy cos yz).
b) A derivada direcional é
Duf (x , y , z) = 3
(
− 1√
6
)
= −
√
3
2
.
Exemplo 9
Suponha que a temperatura no ponto (x , y , z) do espaço seja
dada por
T (x , y , z) =
80
1 + x2 + 2y2 + 3z2
,
em que T é medida em graus Celsius e x , y e z em metros.
Em que direção no ponto (1,1,−2) a temperatura aumenta
mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?
Exemplo 9
Suponha que a temperatura no ponto (x , y , z) do espaço seja
dada por
T (x , y , z) =
80
1 + x2 + 2y2 + 3z2
,
em que T é medida em graus Celsius e x , y e z em metros.
Em que direção no ponto (1,1,−2) a temperatura aumenta
mais rapidamente? Qual é a taxamáxima de aumento?
Resposta: A temperatura aumenta mais rapidamente na
direção −i− 2j+ 6k e a taxa de aumento é
5
8
√
41 ≈ 4oC/m.
Exemplo 10
Determine as equações do plano tangente e da reta normal no
ponto (−2,1,−3) ao elipsoide
x2
4
+ y2 +
z2
9
= 3.
Exemplo 10
Determine as equações do plano tangente e da reta normal no
ponto (−2,1,−3) ao elipsoide
x2
4
+ y2 +
z2
9
= 3.
Resposta: A equação do plano tangente é
3x − 6y + 2z + 18 = 0.
As equações simétricas da reta normal são
x − 2
−1 =
y − 1
2
=
z + 3
−23
.