Fenômeno Dos Transportes (20)

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FENÔMENOS DE 
TRANSPORTES
PROF.: KAIO DUTRA
AULA 9 – ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA
Grandezas Físicas
◦De forma simples, pode-se definir grandeza
física como uma propriedade observável
que pode ser expressa em termos
quantitativos. Uma grandeza física deve
obedecer a princípios aritméticos comuns
de números.
◦As grandezas físicas podem ser divididas em
dois grupos:
◦ As grandezas básicas formam um conjunto,
normalmente pequeno, em relação ao qual as
demais grandezas são definidas. Estas últimas são
denominadas grandezas derivadas.
Prof.: Kaio Dutra
Grandezas Físicas
◦Na mecânica, por exemplo, definimos normalmente as grandezas
fundamentais como sendo massa(M), comprimento(L) e tempo(T),
pois essas são grandezas mais básicas para nós, que não necessitam
de outras para serem definidas.
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Natureza da Análise Dimensional
◦ A maioria dos fenômenos em mecânica dos fluidos
apresenta dependência complexa de parâmetros
geométricos e do escoamento. Por exemplo, considere a
força de arrasto sobre uma esfera lisa estacionária imersa
em uma corrente uniforme. Que experimentos devem ser
conduzidos para determinar a força de arrasto sobre a
esfera? Para responder esta questão, nós devemos
especificar os parâmetros que acreditamos serem
importantes na determinação da força de arrasto:
◦ tamanho da esfera (D);
◦ velocidade do fluido (V);
◦ viscosidade do fluido (μ);
◦ massa específica do fluido (ρ).
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Natureza da Análise Dimensional
◦Para verificar como o arrasto, F, é afetado pela
velocidade, V, colocaríamos a esfera em um túnel
de vento e mediríamos F para uma faixa de
valores de V. Em seguida, faríamos mais testes
para explorar o efeito de D sobre F, utilizando
esferas com diâmetros diferentes. Já estaríamos
gerando uma grande quantidade de dados: Se
fizermos experimentos em um túnel de vento com
10 velocidades diferentes e 10 tamanhos de
esferas diferentes, teríamos dados de 100 pontos
experimentais.
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Natureza da Análise Dimensional
◦Findo os testes, verificando todos os
parâmetros, teríamos realizado em torno de
10000 testes experimentais. Em seguida, viria
a etapa de tratamento de dados e análise de
resultados.
◦Felizmente, não temos que fazer todo esse
trabalho. Todos os dados para arrasto sobre
uma esfera lisa podem ser expressos como
uma simples relação entre dois parâmetros
adimensionais na forma:
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Natureza da Análise Dimensional
◦A forma da função f ainda deve ser determinada
experimentalmente. Entretanto, em vez de
realizar 10000 experimentos, poderíamos
estabelecer a natureza da função com exatidão a
partir de 10 experimentos apenas.
◦Não teremos que pesquisar fluidos com 10 valores
diferentes de massa específica e viscosidade, nem
haverá necessidade de providenciar 10 esferas
com diâmetros diferentes. Em vez disso, somente
o parâmetro ρVD/μ deve ser variado. Isso pode
ser realizado simplesmente pela variação na
velocidade da esfera, por exemplo.
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Natureza da Análise 
Dimensional
◦Note que o resultado final é
uma curva que pode ser usada
para obter a força de arrasto
sobre uma grande faixa de
combinações esfera/ fluido. Ela
poderia, por exemplo, ser
usada para obter o arrasto
sobre um balão de ar quente
devido a uma corrente de vento
ou sobre uma célula vermelha
de sangue à medida que ela se
move através da aorta
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O Teorema Pi de Buckingham
◦Foi apresentado que a força de arrasto F sobre uma
esfera depende do diâmetro da esfera D, da massa
específica do fluido ρ, da viscosidade μ, e da
velocidade do fluido V, ou seja:
◦ F = F(D, ρ, μ, V)
◦Poderíamos, do mesmo modo, ter escrito:
◦ g(F, D, ρ, μ, V) = 0
◦Onde que g é uma função não especificada,
diferente de f.
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O Teorema Pi de Buckingham
◦O teorema Pi de Buckingham declara que podemos transformar uma
relação entre n parâmetros da forma
◦ g(q1, q2, ..., qn) = 0
◦Em uma relação correspondente entre n – m parâmetros adimensionais
П na forma
◦ G(П1, П2, ..., Пn–m) = 0 ou П1 = G1(П2, ..., Пn–m)
◦Em que m é normalmente o número mínimo, r, de dimensões
independentes (por exemplo, massa, comprimento, tempo) requerido
para definir as dimensões de todos os parâmetros q1, q2, ..., qn.
◦O teorema não prediz a forma funcional de G ou de G1. A relação
funcional entre os parâmetros Π adimensionais independentes deve ser
determinada experimentalmente.
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O Teorema Pi de Buckingham
◦Os seis passos listados a seguir
delineiam um procedimento
recomendado para determinar
os parâmetros Π:
1. Liste todos os parâmetros
dimensionais envolvidos.
2. Selecione um conjunto de
dimensões fundamentais
(primárias).
3. Liste as dimensões de todos
os parâmetros em termos
das dimensões primárias.
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Para o exemplo de um escoamento externo a 
uma esfera:
O Teorema Pi de Buckingham
◦ Os seis passos listados a seguir
delineiam um procedimento
recomendado para determinar os
parâmetros Π:
4. Selecione da lista um conjunto de r
parâmetros dimensionais que
inclua todas as dimensões
primárias.
5. Forme equações dimensionais,
combinando os parâmetros
selecionados no Passo 4 com cada
um dos outros parâmetros
remanescentes, um de cada vez, a
fim de formar grupos
dimensionais.
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Para o exemplo de um escoamento externo a 
uma esfera:
O Teorema Pi de Buckingham
◦Os seis passos listados a seguir
delineiam um procedimento
recomendado para determinar
os parâmetros Π:
5. Forme equações dimensionais,
combinando os parâmetros
selecionados no Passo 4 com
cada um dos outros parâmetros
remanescentes, um de cada vez,
a fim de formar grupos
dimensionais.
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Para o exemplo de um escoamento externo a 
uma esfera:
O Teorema Pi de Buckingham
◦Os seis passos listados a seguir
delineiam um procedimento
recomendado para determinar
os parâmetros Π:
6. Certifique-se de que cada
grupo obtido é adimensional.
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Para o exemplo de um escoamento externo a 
uma esfera:
O Teorema Pi de Buckingham
◦Teorema Pi de Buckingham para queda de pressão no escoamento
em um tubo, sabendo que a queda de pressão depende da massa
específica, velocidade do escoamento, diâmetro da tubulação,
comprimento da tubulação, viscosidade do fluido e rugosidade da
tubulação:
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O Teorema Pi de Buckingham
1. Liste todos os parâmetros
dimensionais envolvidos.
2. Selecione um conjunto de
dimensões fundamentais
(primárias).
3. Liste as dimensões de todos
os parâmetros em termos
das dimensões primárias.
4. Selecione da lista um
conjunto de r parâmetros
dimensionais que inclua
todas as dimensões
primárias.
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O Teorema Pi de Buckingham
5. Forme equações dimensionais,
combinando os parâmetros selecionados
no Passo 4 com cada um dos outros
parâmetros remanescentes, um de cada
vez, a fim de formar grupos
dimensionais.
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O Teorema Pi de Buckingham
5. Forme equações dimensionais,
combinando os parâmetros selecionados
no Passo 4 com cada um dos outros
parâmetros remanescentes, um de cada
vez, a fim de formar grupos
dimensionais.
Prof.: Kaio Dutra
O Teorema Pi de Buckingham
6. Certifique-se de que cada grupo obtido é
adimensional.
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Grupos Adimensionais Importantes na 
Mecânica dos Fluidos
◦ Ao longo dos anos, várias centenas de diferentes grupos adimensionais importantes para a
engenharia foram identificadas. Seguindo a tradição, cada um desses grupos recebeu o
nome de um cientista ou engenheiro.
◦ As forças encontradas nos fluidos em escoamento incluem as de inércia, viscosidade,
pressão, gravidade, tensão superficial e compressibilidade.
◦ Os principais gruposadimensionais da mecânica dos fluidos são:
◦ Número de Reynolds;
◦ Número de Euler;
◦ Número de Froude;
◦ Número de Weber;
◦ Número de Mach.
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Grupos Adimensionais Importantes 
na Mecânica dos Fluidos
◦Número de Reynolds:
◦ Na década de 1880, Osborne Reynolds,
engenheiro britânico que estudou a transição
entre os regimes de escoamentos laminar e
turbulento em um tubo. Ele descobriu que o
parâmetro ρVD/μ é um critério pelo qual o
regime do escoamento pode ser determinado.
◦ O número de Reynolds é a razão entre forças de
inércia e viscosas. Escoamentos com “grande”
número de Reynolds são, em geral, turbulentos.
Aqueles escoamentos em que as forças de
inércia são “pequenas” em comparação com as
forças viscosas são tipicamente escoamentos
laminares.
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Grupos Adimensionais Importantes na 
Mecânica dos Fluidos
◦Número de Euler:
◦ Em testes de modelos aerodinâmicos e outros é
conveniente modificar o segundo parâmetro,
Δp/ρV², inserindo um fator de 1/2 para fazer o
denominador representar a pressão dinâmica.
◦ Esta razão recebeu o nome de Leonhard Euler,
matemático suíço que foi um dos pioneiros nos
trabalhos analíticos em mecânica dos fluidos.
◦ O número de Euler é a razão entre forças de
pressão e de inércia. O número de Euler é
usualmente chamado coeficiente de pressão,
Cp.
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Grupos Adimensionais Importantes na 
Mecânica dos Fluidos
◦Número de Euler:
◦No estudo dos fenômenos de cavitação, a diferença
de pressão, Δp, é tomada como Δp = p − pυ, em que
p é a pressão na corrente líquida e pυ é a pressão de
vapor do líquido na temperatura de teste.
Combinando estes parâmetros com ρ e V, o
parâmetro adimensional resultante é denominado
número ou índice de cavitação.
◦Quanto menor o número de cavitação, maior a
probabilidade de ocorrer cavitação.
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Grupos Adimensionais Importantes na 
Mecânica dos Fluidos
◦Número de Froude:
◦William Froude foi um arquiteto naval britânico.
Juntamente com seu filho, Robert Edmund Froude,
ele descobriu um parâmetro significativo para
escoamentos com efeitos de superfície livre.
◦O número de Froude pode ser interpretado como a
razão entre forças de inércia e de gravidade.
◦O número de Froude tem aplicações nos estudos da
ação das ondas em elementos flutuantes e em
escoamentos em canais e córregos.
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Grupos Adimensionais Importantes na 
Mecânica dos Fluidos
◦Número de Weber:
◦O número de Weber indica a razão entre forças de
inércia e forças de tensão superficial. Possui
aplicação no estudo de lubrificação de mancais.
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Grupos Adimensionais Importantes na 
Mecânica dos Fluidos
◦Número de Mach:
◦Na década de 1870, o físico austríaco Ernst Mach
introduziu o parâmetro V/c, em que V é a
velocidade do escoamento e c é a velocidade local
do som. Análises e experimentos têm mostrado
que o número de Mach é um parâmetro chave que
caracteriza os efeitos de compressibilidade em um
escoamento.
◦Pode ser interpretado como uma razão entre forças
de inércia e forças de compressibilidade.
Escoamentos com M<1 são denominados
subsônicos, com M=1 são sônicos e M>1,
supersônicos.
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Semelhança de Escoamentos e Estudos de 
Modelos
◦Para ser de utilidade, um teste de
modelo deve resultar em dados que
possam, por meio de transposição por
escala, fornecer forças, quantidades de
movimentos e cargas dinâmicas que
existiriam no protótipo em tamanho
real.
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Semelhança de Escoamentos e Estudos de 
Modelos
◦ Para que o modelo seja semelhante ao protótipo é
necessário que:
◦ Semelhança geométrica: requer que ambos tenham a
mesma forma e que todas as dimensões lineares do modelo
sejam relacionadas com as correspondentes dimensões do
protótipo por um fator de escala constante.
◦ Cinematicamente semelhantes: Dois escoamentos são
cinematicamente semelhantes quando as velocidades em
pontos correspondentes têm a mesma direção e sentido e
diferem apenas por um fator de escala constante. Como as
fronteiras sólidas formam as linhas de corrente de contorno
do sólido, escoamentos cinematicamente semelhantes
devem ser também geometricamente semelhantes. A
semelhança cinemática exige que os regimes de
escoamento sejam os mesmos para modelo e protótipo.
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Semelhança de Escoamentos e Estudos de 
Modelos
◦Para que o modelo seja semelhante ao
protótipo é necessário que:
◦ Dinamicamente semelhantes: Quando dois
escoamentos têm distribuições de força tais que tipos
idênticos de forças são paralelos e relacionam-se em
módulo por um fator de escala constante em todos
os pontos correspondentes. Semelhança cinemática
requer semelhança geométrica; a semelhança
cinemática é um requisito necessário, mas não é
suficiente para assegurar a semelhança dinâmica. As
condições de teste devem ser estabelecidas de tal
forma que todas as forças importantes estejam
relacionadas pelo mesmo fator de escala entre os
escoamentos de modelo e de protótipo.
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Semelhança de Escoamentos e Estudos de 
Modelos
◦Assim, considerando escoamentos
de modelo e de protótipo (os
escoamentos são geometricamente
semelhantes), eles também serão
dinamicamente semelhantes se o
valor do parâmetro independente,
ρVD/μ, for repetido entre o modelo
e o protótipo, isto é:
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Semelhança de Escoamentos e Estudos de 
Modelos
◦ Em muitos estudos com modelos, para
conseguir semelhança dinâmica, é preciso
duplicar diversos grupos adimensionais. Em
alguns casos, a semelhança dinâmica completa
entre modelo e protótipo pode não ser
atingida. Pois as igualdades entres os números
adimensionais impõem escalas infactíveis ou
mesmo a impossibilidade de reproduzir o
escoamento.
◦Quando isto acontece, modelos em escala real
são construído utilizando argila, ou mesmo, em
alguns casos, os próprios protótipos são
testados.
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Semelhança
Lei das Bombas
◦A semelhança completa nos testes de desempenho de
bombas exigiria coeficientes de escoamento e número
de Reynolds idênticos. A prática tem mostrado que os
efeitos viscosos são relativamente sem importância,
quando duas máquinas geometricamente semelhantes
operam sob condições “semelhantes” de escoamento:
◦Onde: Q representa a vazão, H a altura de carga, D o
diâmetro do rotor, w a rotação e P a potência da bomba.
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Exemplo 1
◦Um modelo de um navio, construído em
escala de 1:10, é testado em um
escoamento de água a uma velocidade
de 120Km/h, sabendo que o arrasto no
casco do modelo foi medida e é 300N,
calcule em condição de semelhança, a
velocidade e o arrasto no protótipo.
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Exemplo 2
◦Uma bomba centrífuga opera em uma
rotação de 1750rpm, determine a
variação em sua vazão e potência e
potência, caso a rotação do motor seja
modificada para 3600rpm.
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