ROTEIROS IFBA FIS 1reduzido

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ROTEIROS DE ATIVIDADE 
EXPERIMENTAL DE 
FÍSICA 
Mecânica 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ebenézer Silva Cavalcanti 
Prof. Erick Santana dos Santos 
Prof. Roberto dos S. Menezes Jr. 
 
3ª Edição 
 
 
Salvador, 2015 
 
 
1 
 
APRESENTAÇÃO ................................................................................................................................ 6 
ORIENTAÇÕES PARA ATIVIDADES DE LABORATÓRIO ................................................................... 6 
1.1 Prefácio ............................................................................................................................... 6 
1.2 Considerações aos estudantes ........................................................................................... 7 
INTRODUÇÃO – MEDIÇÕES 1 ............................................................................................................ 9 
MEDIÇÕES E SUAS IMPLICAÇÕES – INTRODUÇÃO À TEORIA DOS ERROS (PROPAGAÇÃO) ......... 9 
1.1 Objetivos ............................................................................................................................. 9 
1.2 Preâmbulo........................................................................................................................... 9 
1.3 Definições básicas ............................................................................................................... 9 
EXPERIMENTO 2 .............................................................................................................................. 19 
ERROS E INCERTEZAS .................................................................................................................. 19 
2.1 Objetivos ........................................................................................................................... 19 
2.2 Material............................................................................................................................. 19 
2.3 Descrição Experimental .................................................................................................... 19 
2.4 Atividades e Questões ...................................................................................................... 20 
EXPERIMENTO 3 .............................................................................................................................. 22 
INSTRUMENTOS DE MEDIÇÃO – RÉGUA, PAQUÍMETRO, MICRÔMETRO, CRONÔMETRO E 
BALANÇA ........................................................................................................................................... 22 
3.1 Objetivos ........................................................................................................................... 22 
3.2 Material............................................................................................................................. 22 
3.3 Teoria do Experimento ..................................................................................................... 22 
3.4 Descrição Experimental .................................................................................................... 23 
EXPERIMENTO 4 .............................................................................................................................. 29 
DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DE pipipipi (PI) ................................................................................. 29 
2 
 
4.1 Objetivos ........................................................................................................................... 29 
4.2 Material............................................................................................................................. 29 
4.3 Teoria do Experimento ..................................................................................................... 29 
4.4 Atividades e Questões ...................................................................................................... 30 
EXPERIMENTO 5 .............................................................................................................................. 31 
FUNÇÕES E GRÁFICOS – ANÁLISE GRÁFICA E LINEARIZAÇÃO. ................................................... 31 
5.1 Objetivos ........................................................................................................................... 31 
5.2 Material............................................................................................................................. 31 
5.3 Introdução ........................................................................................................................ 31 
5.4 Teoria do Experimento e Aplicações ................................................................................ 35 
5.5 Atividades e Questões ...................................................................................................... 59 
EXPERIMENTO 6 .............................................................................................................................. 62 
CINEMÁTICA DE TRANSLAÇÃO - LANÇAMENTO HORIZONTAL ................................................... 62 
6.1 Objetivos ........................................................................................................................... 62 
6.2 Material............................................................................................................................. 62 
6.3 Introdução ........................................................................................................................ 62 
6.4 Teoria do Experimento ..................................................................................................... 63 
6.5 Descrição Experimental .................................................................................................... 66 
6.6 Atividades e Questões ...................................................................................................... 67 
EXPERIMENTO 7 .............................................................................................................................. 72 
FORÇA ELÁSTICA ......................................................................................................................... 72 
7.1 Objetivos ........................................................................................................................... 72 
7.2 Material............................................................................................................................. 72 
3 
 
7.3 Teoria do Experimento ..................................................................................................... 72 
7.4 Descrição Experimental .................................................................................................... 73 
7.5 Atividades e Questões ...................................................................................................... 76 
EXPERIMENTO 8 .............................................................................................................................. 77 
FORÇA DE ATRITO EM PLANO HORIZONTAL E INCLINADO ........................................................ 77 
8.1 Objetivos ........................................................................................................................... 77 
8.2 Material............................................................................................................................. 77 
8.3 Descrição ........................................................................................................................... 77 
8.4 Teoria do Experimento ..................................................................................................... 77 
8.5 Procedimento Experimental e Atividades ........................................................................80 
PARTE I: Força de atrito estático ( aeF
r
) ................................................................................... 80 
PARTE II: Coeficiente de atrito estático e a área da superfície de contato ............................ 81 
PARTE III: Coeficiente de atrito estático e a força normal de reação ..................................... 82 
PARTE IV: Relação entre a força de atrito estático e a natureza das superfícies em contato 83 
PARTE V: Força de atrito cinético ( acF
r
) ................................................................................. 84 
PARTE VI: Força de atrito estática ( aeF
r
)num plano inclinado a partir do ângulo crítico 
(eminência do movimento) ........................................................................................................... 84 
EXPERIMENTO 9 .............................................................................................................................. 86 
EQUILIBRANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS COPLANARES E CONCORRENTES ......................... 86 
9.1 Objetivos ........................................................................................................................... 86 
9.2 Material............................................................................................................................. 86 
9.3 Descrição ........................................................................................................................... 86 
9.4 Teoria do Experimento ..................................................................................................... 86 
4 
 
9.5 Atividades e Questões ...................................................................................................... 88 
EXPERIMENTO 10 ............................................................................................................................ 91 
TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE E VARIAÇÃO DA ENERGIA EM UM PLANO INCLINADO
 ........................................................................................................................................................... 91 
10.1 Objetivos ......................................................................................................................... 91 
10.2 Material .......................................................................................................................... 91 
10.3 Introdução ...................................................................................................................... 91 
10.4 Descrição Experimental .................................................................................................. 94 
10.4.3 Questões................................................................................................................ 96 
EXPERIMENTO 11 ............................................................................................................................ 98 
DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DE EXPRESSÕES ANALÍTICAS DE MOMENTO DE INÉRCIA ..... 98 
11.1 Objetivos ......................................................................................................................... 98 
11.2 Material .......................................................................................................................... 98 
11.3 Introdução ...................................................................................................................... 98 
11.4 Descrição Experimental ................................................................................................ 100 
11.5 Atividades e Questões .................................................................................................. 103 
EXPERIMENTO 12 .......................................................................................................................... 104 
DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DA ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL ATRAVÉS DO PÊNDULO 
SIMPLES ........................................................................................................................................... 104 
12.1 Objetivos ....................................................................................................................... 104 
12.2 Material ........................................................................................................................ 104 
12.3 Teoria do Experimento ................................................................................................. 104 
12.4 Procedimento Experimental ......................................................................................... 106 
12.5. Atividade suplementar ................................................................................................ 108 
5 
 
EXPERIMENTO 13 .......................................................................................................................... 109 
COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO, ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE E DISSIPAÇÃO DE ENERGIA 
(opcional) ........................................................................................................................................ 109 
13.1 Objetivos ....................................................................................................................... 109 
13.2 Material ........................................................................................................................ 109 
13.3 Teoria e Descrição do experimento .............................................................................. 109 
13.4 Atividades e Questões .................................................................................................. 110 
EXPERIMENTO 14 .......................................................................................................................... 112 
OUVINDO A QUEDA LIVRE (ADAPTADO DO MATERIAL DO PROF. C. E. AGUIAR -UFRJ) - 
(opcional) ........................................................................................................................................ 112 
14.1 Objetivos ....................................................................................................................... 112 
14.2 Material ........................................................................................................................ 112 
14.3 Descrição ....................................................................................................................... 112 
14.4 Teoria e procedimento experimental ........................................................................... 112 
14.5 Atividades e Questões .................................................................................................. 113 
APÊNDICE A ................................................................................................................................... 115 
CONSTANTES E RELAÇÕES DE CONVERSÃO ............................................................................. 115 
1. Constantes Físicas ....................................................................................................... 115 
2. Relações de conversão de grandezas Físicas .............................................................. 115 
APÊNDICE B ................................................................................................................................... 116 
MODELO RELATÓRIO ................................................................................................................ 116 
Referências
 ......................................................................................................................................................... 118 
 
6 
 
APRESENTAÇÃO 
 
ORIENTAÇÕES PARA ATIVIDADES DE LABORATÓRIO 
 
1.1 Prefácio 
Caros colegas professores e estudantes, 
Este textoé o resultado de um projeto de reestruturação dos laboratórios didáticos de 
Física, iniciado em 2014, e, portanto, das atividades experimentais das matérias de Física 
ministradas no ensino superior do IFBA – Campus Salvador. Nos últimos anos sentiu-se uma 
necessidade de uma uniformização dos procedimentos experimentais realizados nessas 
disciplinas devido, principalmente, ao aumento da demanda de estudantes e à chegada de 
novos professores na instituição. Por uniformização, o professor deve entender que esse texto 
consiste em um guia mínimo dessas atividades experimentais e um texto de referência para os 
estudantes, não tendo, dessa forma, a pretensão de ser limitativo e nem de esgotar o tema 
relacionado à atividade experimental. Assim, o professor deve se sentir motivado a abordar 
outros aspectos relacionados aos experimentos ou mesmo modificar o roteiro conforme lhe 
convenha e os estudantes devem ser estimulados a pesquisarem em outras referências a fim de 
complementarem o conteúdo teórico necessário à compreensão dos fenômenos físicos 
estudados. 
O roteiro está dividido em seções que são abertas pelo número do experimento (p. ex. 
“Experimento 1”) seguido pelo título da experiência (p. ex. “Lei do Inverso do Quadrado da 
Distância”). A ordem foi estabelecida conforme aquela que é tradicionalmente abordada na 
matéria teórica relacionada, mas pode ser modificada conforme necessidade e conveniência 
do professor. Seguido ao título temos as subseções. Na subseção “Objetivos” nós 
apresentamos um resumo do experimento em questão e a(s) finalidade(s) principal(is) do 
mesmo. Essa subseção é seguida pela lista de “Materiais” necessários à execução do 
experimento e pela “Teoria do Experimento”, onde é abordada uma breve fundamentação 
teórica da física necessária à compreensão do experimento em questão. Na “Descrição 
Experimental” nós apresentamos os aspectos particulares do experimento tais como grandezas 
a serem medidas, metodologia de medição, determinação dos valores estudados, etc. A essa 
seção segue-se as “Atividades” a serem realizadas pelos estudantes no laboratório e fora dele e 
que devem apresentadas no relatório. Esse roteiro consta ainda com apêndices que contêm 
7 
 
uma tabela de algumas constantes físicas importantes e fatores de conversão de unidades entre 
diferentes sistemas (Apêndice A) e uma instrução de como elaborar um relatório (Apêndice 
B). 
Esperamos que esse roteiro seja de grande valia aos professores e estudantes e nos 
dispomos a críticas, correções e sugestões a fim de melhorá-lo para posteriores edições. 
Desejamos a todos bom trabalho e estudo. 
 
Salvador, novembro de 2015 
 
Os autores 
1.2 Considerações aos estudantes 
 
 A disciplina física ministrada nas diversas modalidades de ensino oferecidas no 
IFBA é dividida em duas componentes: as aulas teóricas e as aulas experimentais. Em 
geral, nas aulas experimentais a turma é dividida em grupos. A frequência das aulas de 
laboratório dependerá da dinâmica do calendário escolar e das componentes 
curriculares de cada curso. 
 A assiduidade e a pontualidade nas aulas experimentais e teóricas são 
essenciais para o bom andamento e aproveitamento da aula. Para um bom desempenho 
é necessário dedicação, é também de fundamental importância que durante as aulas 
haja respeito e confiança entre os colegas e aluno-professor. 
 As aulas práticas acontecerão nos laboratórios de física. Para o uso dos 
laboratórios faz-se necessário algumas recomendações, são elas: 
 
• A tolerância máxima para o estudante entrar no laboratório é de quinze minutos após 
o início do primeiro horário de aula. 
• Estar com tênis e calça comprida. 
• Não escrever nas bancadas e nem nas paredes. Cada equipe receberá uma folha de 
dados, onde servirá para qualquer tipo de anotação durante a prática experimental. 
• Leia atenciosamente as orientações do roteiro, pois este o direcionará para a prática 
experimental do dia. 
• Para um bom desenvolvimento experimental é necessário prestar atenção às 
orientações do professor. 
• Ao chegar no laboratório, observe a bancada seguindo as orientações dadas, se os 
materiais existentes estão de acordo com os pedidos no roteiro e se estes estão 
funcionando corretamente. Caso não estejam avise imediatamente ao professor. 
8 
 
• Durante a prática experimental, faz-se necessário ter cuidados com os materiais 
utilizados, pois os mesmos não são descartáveis, fazendo parte do acervo da 
instituição de ensino, onde servirá para o uso em outra unidade ou para o ano 
posterior. 
• Ao final da experiência organizar o material na bancada. 
• Certificar-se com o professor o prazo de entrega do relatório experimental, caso seja 
exigido, seguindo as normas (veja modelo de roteiro para elaboração de um relatório 
experimental a seguir). 
 
Observações: 
 
� Acrescentar no relatório todas as informações que possam servir para ajudar na 
compreensão do trabalho experimental. 
 
� O relatório não deve, em nenhuma hipótese, ser a cópia do roteiro. 
 
� Salientamos que o relatório será feito na primeira pessoa do plural, com letra legível 
quando não for possível a digitação. 
 
� A ausência da folha de dados assinada pelo professor no apêndice do relatório implicará a 
não correção do mesmo. 
 
� Quando for solicitado gráfico, representá-lo em papel milimetrado. 
 
� Qualquer outro esclarecimento, procure o professor. 
 
 
 
Bom Trabalho! 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
INTRODUÇÃO – MEDIÇÕES 1 
 
MEDIÇÕES E SUAS IMPLICAÇÕES – INTRODUÇÃO À TEORIA DOS ERROS 
(PROPAGAÇÃO) 
 
1.1 Objetivos 
Introduzir conceitos referentes as medições e métodos introdutórios de estatísticas 
para tratamento das medidas. 
1.2 Preâmbulo 
As determinações experimentais envolvem medições que resultam em valores 
(medidas) e estas medidas estão sempre sujeitas a alguma incerteza, assim, é preciso fazer 
alguma estimativa dessas incertezas antes que os resultados possam ser interpretados ou 
utilizados. Deste modo, quando medimos uma grandeza certo número de vezes, os valores 
obtidos provavelmente não serão idênticos devido aos erros experimentais. 
Surgem, então, as questões: qual o número que se deve adotar como o valor mais 
representativo (provável) da grandeza medida? Com que grau de confiança pode-se afirmar 
que o número adotado representa este valor? 
Assim, para analisar os resultados de uma experiência torna-se necessário, portanto, 
fixarem-se critérios para escolher o valor representativo e seu domínio de flutuação, e 
estabelecer o nível de confiança a tal domínio. 
Tais questões são objetos de estudos da teoria dos erros. Logo, de posse de uma série 
de medidas de uma grandeza, faz-se uso da teoria de erros, com propósito de responder às 
questões, como: 
 
1. Qual o valor mais representativo da grandeza? 
2. Que medida de dispersão usar para definir um intervalo de variação para a medida? 
3. Como se associar uma chance de reprodutibilidade (nível de confiança) a um dado 
intervalo? 
4. Como propagar os erros associados às grandezas medidas a outras grandezas 
calculadas a partir delas, através de expressões matemáticas? 
1.3 Definições básicas 
 
As grandezas podem ser medidas de forma direta ou indireta, tendo, em cada caso, um 
modo diferente de tratar seus valores e os erros a eles associados. 
 
As medições diretas são aquelas obtidas por simples comparação utilizando-se 
instrumentos de medida já calibrados para tal fim. Neste tipo de medição devemos distinguir 
doiscasos: (i) quando a medição é feita através de uma única determinação onde o valor 
numérico ou é lido numa escala (régua, paquímetro, cronômetro, balança, etc.) ou é fornecido 
diretamente como no caso de massas aferidas. Assim o desvio estará apenas associado ao do 
10 
 
instrumento de medição (incertezas tipo B), (ii) quando a medida é resultado de uma série de 
medições onde o valor numérico é dado estatisticamente pelo Valor Mais provável (definido 
posteriormente – incertezas tipo A). 
As medições indiretas são todas aquelas relacionadas com as medidas diretas por meio 
de definições, leis e suas consequências. Neste tipo de medições o valor numérico (medida) 
assim como a dimensão e a unidade correspondentes, são encontradas através de expressões 
matemáticas que as ligam as medidas diretas envolvidas. Exemplo é a determinação do 
volume de um cilindro a partir da medição da altura e do diâmetro de suas dimensões. 
Como dito anteriormente, as medições experimentais são ordinariamente 
acompanhadas de alguma incerteza. Esta incerteza limita o objetivo de se conhecer o valor 
verdadeiro da grandeza. Têm-se, assim, os erros, os quais podem ser classificados nos 
seguintes tipos: 
Erros grosseiros são aqueles cometidos devido à falta de atenção ou de prática do 
operador. Deste tipo são os erros cometidos em operações matemáticas, enganos na leitura ou 
escrita de dados, ou engano na leitura duma escala. A possibilidade de ocorrência desses erros 
pode ser bastante reduzida pela atenção do operador e pela repetição das medidas e dos 
cálculos. 
Erros sistemáticos são aqueles decorrentes de causas constantes e se caracterizam por 
ocorrerem sempre com os mesmos valores e sinal. São deste tipo os erros devidos a aparelhos 
descalibrados, a métodos falhos, ao uso de equações incompletas, a condições ambientais 
inadequadas aos instrumentos de medida e a hábitos errados do operador. O modo de 
eliminarem-se esses erros, ou reduzi-los a um mínimo, é trabalhar com instrumentos 
calibrados os instrumentos devem estar "zerados" e, quando for o caso, com a calibração 
corrigida para as condições ambientais — com métodos corretos e equações adequadas. No 
caso de se ter medidas afetadas por um erro sistemático e se conheça seu valor e sinal, é 
possível eliminá-lo, já que ele entra com valor e sinal iguais em todas as medidas. 
Erros acidentais são aqueles devidos a causas fortuitas. Também chamados de erros 
aleatórios ou estatísticos, eles resultam do somatório de pequenos erros independentes e 
incontroláveis afetando o observador, o instrumento de medida, o objeto a ser medido e as 
condições ambientais. São causas desses erros, por exemplo, a variação do "milímetro" ao 
longo duma reta milimetrada; a flutuação dos instrumentos de medida ligados na rede elétrica; 
a estimativa que o observador faz na leitura de dados, as pequenas variações da grandeza 
medida quando comparadas à sensibilidade do arranjo experimental (no caso de a variação da 
grandeza ser bem maior que a sensibilidade do arranjo experimental, a diferença entre as 
medidas deve ser atribuída à própria variação da grandeza). Sendo esses erros originados por 
um grande número de causas, todas elas provocando variações, para mais e para menos, de 
intensidade dentro da sensibilidade do arranjo experimental, eles obedecem a leis matemáticas 
bem definidas e podem ser tratados pela teoria estatística. 
 
1.3.1 Valor mais representativo de uma grandeza 
 
Considere que num laboratório de Física, o professor distribuiu uma régua graduada 
em milímetros para um grupo de cinco estudantes e pediu que cada um efetuasse uma medida 
da largura de uma mesa. Os resultados das medidas foram anotados na tabela 1.1, a seguir: 
 
11 
 
Tabela 1.1. Medidas da Largura de uma mesa do laboratório de Física. 
 
Nº de medições Valor obtido (cm) 
1 50,56 
2 50,58 
3 50,56 
4 50,57 
5 50,58 
 
À primeira vista pode parecer estranho que cinco pessoas, com o mesmo instrumento 
(mesma grandeza física), tenham obtido diferentes medidas de um mesmo objeto. Vários 
fatores podem ser responsabilizados pelas diferenças, como por exemplo: o cuidado na 
leitura, a posição de cada estudante em relação à régua e a própria régua (instrumento de 
medida). 
No exemplo analisado, os alunos trabalharam com uma régua graduada em 
milímetros, ou seja, eles usaram uma régua que não apresentava subdivisões inferiores a 1 
mm = 0,1 cm. Neste contexto, analisando apenas a primeira medida do quadro acima (50,56 
cm), pode-se afirmar que existe uma certeza apenas em relação aos três primeiros algarismos 
(5, 0 e 5), que são chamados de algarismos corretos, pois foram obtidos através da contagem 
direta e inequívoca das divisões apresentadas na régua. Por outro lado, tendo em vista a 
limitação da régua, o algarismo 6 representa uma fração de milímetros adicionados a 50,5 cm 
que não é fornecida pelo instrumento de medida, mas é fruto de uma avaliação feita pelo 
experimentador. Este último algarismo, obtido por uma avaliação, é chamado de primeiro 
algarismo – duvidoso ou incerto tendo em vista que é neste algarismo que podemos cometer 
erros na efetuação da medida. Assim, o resultado de uma medida deve ser expresso com todos 
os algarismos corretos e o primeiro duvidoso sendo todos eles (corretos e o primeiro 
duvidoso) chamados de algarismos significativos da medida. 
Considerando as ideias expostas acerca dos algarismos significativos de uma medida, 
podemos levantar a questão: se os cinco estudantes obtiverem diferentes medidas para uma 
mesma grandeza, como fazer para considerar a melhor medida? Qual o erro resultante deste 
processo e qual o método estatístico para minimizá-lo? Estes são os pontos que trabalharemos 
nos parágrafos seguintes. 
Consideremos agora a primeira questão posta: se são feitas n medidas de uma 
grandeza, X1, X2, …, Xn, todas igualmente confiáveis, isto é, observadas nas mesmas 
condições, mas nem todas com o mesmo valor devido aos erros acidentais, qual o valor que 
melhor representa a grandeza? Podemos resolver esta questão utilizando o método dos 
mínimos quadrados, proposto por Legendre, em 1806, como segue. 
Seja xi o resíduo da medida Xi, definido como: xi = Xi – X, i = 1, 2, ..., n, onde X é um 
valor qualquer. 
O método dos mínimos quadrados diz que o valor X mais representativo das medidas 
Xi é um valor X tal que reduz a soma dos quadrados dos resíduos a um mínimo. Esta soma é 
dada por, 
U(X) ≡ ∑ x�	� = ∑ (X� − X)	� , i = 1, 2, ..., n, onde, por conveniência, fizemos o 
somatório dos quadrados dos resíduos igual a U( X ). 
12 
 
A representação gráfica de U(X) versus X é uma parábola com a concavidade voltada 
para cima. As coordenadas U0(x=0) e X� de seu vértice dão, respectivamente, o valor mínimo 
de U(X) e, de acordo com o método dos mínimos quadrados, o valor mais representativo das 
medidas Xi. 
Desenvolvendo o quadrado de U(X), vem: U(X) = ∑ X�	� − 2. X ∑ X�� + nX	. 
O valor de X� que faz U(X) um ponto de mínimo é obtido pela condição ���� = 0. Então: 
��
�� = −2 ∑ X�� + 2nX� = 0 → X� =
∑ ���
� i = 1, 2, ..., n. Sendo X� a média aritmética dos n 
valores de Xi (ou, valor mais provável da medida). 
No exemplo das medições da largura da mesa, X� será dada por: 
 X� = ��,�����,�����,�����,�����,��� = 50,57cm 
O conceito de desvio é introduzido justamente porque na maioria das medições é 
quase impossível se conhecer o valor verdadeiro de uma grandeza, e assim, portanto, não é 
possível expressar o erro cometido numa única medida, e sim a partir de um conjunto de 
medidas. Definimos desvio como sendo a diferença entre um valor obtido na medida de uma 
grandeza e o seu valor médio, ou seja: 
ΔX� = X� − X� → i = 1,2, . . . , n ∈ ℤ∗ 
Onde os índices Xi significam os vários valores das medidas, e a letra grega (Δ=delta) 
simboliza o desvio da medidaem relação ao valor médio X� . Nas medidas efetuadas 
apresentadas na Tabela 1, o desvio de cada medida é expresso por: 
ΔX) = 50,56 − 50,57 = −0,01cmΔX	 = 50,58 − 50,57 = +0,01cmΔX, = 50,56 − 50,57 = −0,01cmΔX- = 50,57 − 50,57 = +0,00cmΔX� = 50,58 − 50,57 = +0,01cm
 
Destes resultados pode-se perceber que há desvios NEGATIVOS e desvios 
POSITIVOS. Um desvio negativo significa que o erro foi por falta, isto é, ficou abaixo do 
valor médio; e, quando o desvio é positivo significa que o erro foi por excesso, isto é, ficou 
acima do valor médio. Nem sempre é interessante saber se o erro foi para mais ou menos, 
entretanto, é significativo saber o quanto se errou na execução medida, ou seja, o valor 
absoluto do desvio. Assim, define-se o Desvio Absoluto de uma medida como sendo o 
módulo do seu desvio, ou seja: 
ΔX� =∣ X� − X� ∣→ i = 1,2, . . . , n ∈ ℤ∗ 
Então, pode-se observar que o desvio absoluto só assume valores positivos e, portanto, 
apresenta o quanto foi cometido de erro nas medições. 
Para apresentar o desvio do conjunto de medidas é mais conveniente estabelecer um 
valor médio dos desvios. Este valor é chamado de DESVIO ABSOLUTO MÉDIO, e é 
expresso pela média aritmética dos valores dos desvios absolutos, isto é: 
∆X012345 = ∑ 6���� ∆X012345 = �,�)��,�)��,�)��,����,�)� = 0,008 ≈ 0,01cm 
Para estabelecer o desvio relativo médio basta dividir o desvio absoluto médio pelo 
valor mais provável da medida, ou seja: 
∆X08951: =
∑ ;<�� =
�� ∆X08951: == �,�)��,�� ≈ 0,0001977 
Observe que o desvio relativo é um número ADIMENSIONAL, isto é, não possui 
unidade Física. 
13 
 
Avaliar a precisão (incerteza) de uma medida por meio deste valor não é intuitivo, 
portanto, é usual estabelecer estes valores em termos percentuais. Daí definirmos o DESVIO 
RELATIVO PERCENTUAL como sendo o desvio relativo multiplicado por cem (100), o 
qual será dado em porcentagem, isto é: 
∆X0895% == ΔX�X� ∗ 100 
Assim, o desvio relativo percentual médio efetuado pelos alunos é de: 
∆X0895% = 0,0150,57 ≈ 0,0001977 ∗ 100 ≈ 0,02% 
 
1.3.2 Desvio Avaliado do instrumento (Incerteza do tipo B) 
 
Os instrumentos de medida, mesmo calibrados, introduzem alterações nos valores das 
grandezas. Essas alterações são chamadas de “desvios avaliados”. Geralmente o fabricante 
informa o erro inerente do instrumento de medida. Quando isso não acontece, devemos supor 
como sendo a metade da menor divisão da escala utilizada. No caso da régua milimetrada, a 
menor divisão é 1 mm (0,1 cm), portanto, o erro avaliado de uma régua milimetrada utilizada 
no laboratório de Física é de 0,5 mm (0,05 cm). 
 
1.3.3 Exatidão e Precisão 
 
Exatidão é uma medida de quão próximo o valor experimental está do valor 
verdadeiro. A exatidão tem a ver com os erros sistemáticos e uma medida é dita ser tão mais 
exata quanto menores forem estes erros. A exatidão de uma medida X' pode ser avaliada pela 
discrepância relativa, onde X" é o valor verdadeiro da grandeza (alguns poucos casos em que 
ele é conhecido) ou um valor recomendado. A exatidão é tanto maior quanto menor for a 
discrepância relativa. 
Precisão é uma medida de quão concentradas estão as medidas experimentais em torno 
do valor mais provável. A precisão tem a ver com os erros aleatórios e uma medida é dita ser 
tão mais precisa quanto menor forem estes erros. A precisão duma medida pode ser avaliada 
através do desvio relativo, sendo tanto maior a precisão quanto menor for este desvio. 
Uma distinção entre exatidão e precisão está ilustrada na Figura 1.1 (A e B), onde são 
mostrados alvos com marcas de balas de dois rifles fixados rigidamente e mirando o centro de 
cada alvo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura.1.1: Representação do conceito de Precisão (A) e Exatidão (B). 
 
14 
 
Em ambos os casos, o centro de fogo (valor mais provável) está sistematicamente 
deslocado do centro do alvo (valor verdadeiro), menos em (B) do que em (A). Diz-se, então, 
que a exatidão em: (B) é maior do que em (A). Já a dispersão dos tiros (valores individuais 
distribuídos aleatoriamente) é menor em (A) do que em (B). Diz-se, então, que a precisão é 
maior em (A) do que em (B). 
 
1.3.4 Propagação de Erros 
 
Como tratar as medidas indiretas, ou seja, aquelas calculadas através de expressões 
matemáticas envolvendo grandezas medidas diretamente?! 
Considere que a grandeza R seja calculada a partir das grandezas medidas X e Y 
através duma expressão matemática R = (X, Y). Logo, R tem um erro como resultado dos 
erros das grandezas medidas X e Y. Deste modo, a relação entre o erro de R e os de X e Y é 
determinado pelo cálculo diferencial. 
O valor mais provável das grandezas indiretas é expresso por: R = (X� , Y� ), onde X� e Y� 
são os valores médios das grandezas medidas diretamente. Quando os erros são 
independentes, os coeficientes de correlação entre as grandezas X e Y são nulos, assim, para 
duas grandezas X e Y temos a incerteza combinada: S8 = C(DED�)	S�	 + (DEDF)	SF	 , onde as 
derivadas são tomadas nos pontos X = X� e Y = Y� . 
Vamos ver algumas expressões para funções que aparecem com mais frequência em 
trabalhos de laboratório. 
Seja R = A. XH. YI, onde p e q são valores reais conhecidos e A é uma constante ou 
número. As derivadas parciais de R nos pontos X� e Y� , são: 
DE
D� = A. p. KLMN). OLP e DEDF = A. q. KLM. OLPN) 
Substituindo em Sr, temos: S8 = R(A. p. KLMN). OLP)	S�	 + (A. q. KLM. OLPN))	SF	 
Dividindo pelo valor mais provável, R = A. KLM. OLP temos 
 S8 = R� Cp	(S<�� )	 + q	(STF� )	 
Assim, quanto maior for o valor absoluto do expoente da grandeza mais 
potencialmente ela contribuirá para o desvio de R. 
Nos casos particulares de produto ou quociente simples, onde p= ± 1 e q = ± 1, temos: 
R = A. X. Y → R = A. (�F), então: S8 = R� C(S<�� )	 + (STF� )	 
Nos casos particulares de soma ou subtração, onde: R = b. X ± c. Y 
DE
D� = b → DEDF = ±c e S8 = Rb	(S�)	 + c	(SF)	 
Se b=1 e c=1, temos: S8 = R(S�)	 + (SF)	 
 
1.3.5 Regressão Linear 
 
Algumas vezes estamos interessados não apenas se existem associação entre duas 
variáveis quantitativas x e y, mas nós temos também uma hipótese a respeito de uma provável 
relação de causa e efeito entre variáveis. Desejamos saber se y “depende” de x. Neste caso, y 
15 
 
é chamado de variável dependente ou variável resposta e x é chamado de variável 
independente ou explanatória que, na linguagem epidemiológica, é denominada “fator de 
risco”. Na forma de regressão mais comumente utilizada, a regressão linear, temos a hipótese 
de que o valor de y depende do valor de x e expressamos matematicamente esta relação por 
meio de uma equação, assumindo que a associação entre x e y é linear, ou seja, descrita 
adequadamente por uma reta. 
Quando temos uma variável resposta y e uma variável explanatória x a regressão é dita 
simples. 
Quando temos uma variável resposta y e mais de uma variável explanatória, x1, x2, 
x3... a regressão é chamada múltipla. 
A regressão é usada basicamente com duas finalidades: de previsão (prever o valor de 
y a partir do valor de x) e estimar o quanto x influencia ou modifica y. 
Vejamos o exemplo a seguir. No diagrama de dispersão (figura 1.2) vemos que, na 
medida em que aumenta a porcentagem de crianças imunizadas contra DPT (difteria, 
coqueluche e tétano), em amostra de 20 países do mundo em 1992, diminui a taxa de 
mortalidade infantil de crianças menores de 5 anos. Esta relação pode ser descrita 
razoavelmente por uma reta. Temos a hipótese que a percentagem de imunização contra DPT 
pode influenciar a taxa de mortalidade infantil, mas desejamos medir esta associação, que 
pode ser descrita com a expressão: Y = b + a x, onde: 
b = coeficiente linear (também chamado intercepto, é o valor que y assume quando x 
for zero). 
a = coeficiente angular (é a inclinação da reta, medeo aumento ou redução em y para 
cada aumento de uma unidade em x). 
 
Tabela 1.2. Porcentagem de crianças imunizadas contra DPT e taxa de mortalidade de menores 
de 5 anos para 20 países, 1992. 
 
País Porcentagem 
Imunizada contra DPT 
Taxa de Mortalidade 
por 1000 nascidos vivos 
Bolívia 77 118 
Brasil 69 65 
Camboja 32 184 
Canadá 85 8 
China 94 43 
República Tcheca 99 12 
Egito 89 55 
Etiópia 13 208 
Finlândia 95 7 
França 95 9 
Grécia 54 9 
Índia 89 124 
Itália 95 10 
Japão 87 6 
16 
 
México 91 33 
Polônia 98 16 
Federação Russa 73 32 
Senegal 47 145 
Turquia 76 87 
Reino Unido 90 9 
 
O Gráfico apresentado na figura 1.2, apresenta a Mortalidade de menores de 5 anos 
versus a porcentagem imunizada contra DPT, 1992. Os dados foram lançados numa planilha 
eletrônica e solicitamos que o mesmo traçasse a linha de tendência linear, assim foi possível 
verificar que: 
O intercepto (b – coeficiente linear) deu o valor 224 e o coeficiente de regressão (a – 
coeficiente angular) produziu –2,14. A equação então ficou: 
 
Y= b + a.x 
Y= 224 + (-2,14) x 
 
A regressão é usada para previsão. Supondo que um determinado país tenha 
porcentagem de imunização contra DPT de 80% qual seria a sua mortalidade infantil 
esperada? 
Resposta: seria 52,8; conforme cálculo realizado a seguir. Y= 224 – 2,14.(80) 
Y= 52,8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2: Gráfico da Mortalidade versus Imunização em DPT, mostrando a linha de 
tendência (regressão linear). 
 
Outras perguntas que são respondidas pela regressão: 
 
1) O quanto a variação de x influencia na variação de y? 
17 
 
Respondemos a esta pergunta usando o coeficiente ‘a’. Para cada variação de uma 
unidade em x (porcentagem de imunização por DPT) a taxa de mortalidade infantil em 
menores de cinco anos cai 2,14. 
 
2) Qual o percentual de variação de y explicado pela variação de x? 
Esta resposta é dada pelo coeficiente de determinação. Neste exemplo, 63% da 
variação de y é explicado pela variação de x. 
 
Agora que nós já vimos resumidamente por que se usa uma regressão e demos uma 
olhada em um exemplo, vamos ver como se faz os cálculos. 
O método mais usado para estimar os parâmetros ‘a’ e ‘b’ é o método dos mínimos 
quadrados (proposto por Legendre em 1806). Este método garante que a reta obtida é aquela 
para a qual se tem as menores distâncias (ao quadrado) entre os valores observados de y e a 
própria reta. Deste modo, o coeficiente angular é estimado pela equação: 
 a = ∑ (X�NX̄)=�Z[ .(\�N\̄)∑ (X�NX̄)]=�Z[ (1.1) 
 
E o intercepto (coeficiente linear) é estimado pela fórmula: b = ȳ − a. x̄ 
 
Pressupostos para uso da regressão linear: 
 
1) A variável y deve ter distribuição normal ou aproximadamente normal. Se a 
distribuição não for normal pode-se realizar uma transformação. 
2) A variação de x deve ser a mesma para cada valor de y (homocedasticidade). Se não 
houver homocedasticidade é necessário transformar os dados. 
3) Os pontos no diagrama de dispersão devem apresentar tendência linear. Se a relação 
for expressa por uma curva pode-se transformar os dados para tentar linearizar a associação 
ou então usa-se outra forma de regressão não linear. 
4) Os valores de y foram obtidos ao acaso da população e são independentes uns dos 
outros. 
5) A variável x foi medida “sem erro” (mínimo). 
 
1.3.6 Mínimos Quadrados 
 
Teorema: Se certo número de medidas é realizado de uma mesma quantidade física e se estas 
medidas estão sujeitas a erros aleatórios apenas, então a teoria dos mínimos quadrados 
estabelece que o valor mais provável da quantidade medida seja aquele que faz a soma dos 
quadrados dos erros um mínimo. 
Este teorema pode ser aplicado ao caso particular em que se pretende ajustar uma linha 
reta a um conjunto de pares experimentais. 
Suponha que são realizadas várias medidas das grandezas x e y, obtendo-se um 
conjunto de pontos x1y1, x2y2, x3y3, ..., xnyn, sendo y uma variável aleatória relacionada a x 
pela equação de uma reta. 
y = b + a. x 
A equação acima representa o valor esperado (ou valor mais provável) para a variável 
18 
 
y. As estimativas de mínimos quadrados das constantes a e b são então aqueles valores de a e 
b que tornam mínima a expressão. 
 
∑ _	`a) = ∑ (b` − b)	a`c) → ∑ (b` − (d. _` + e))	a`c) (1.2) 
A expressão acima representa a soma dos quadrados das discrepâncias (ou diferenças) 
entre o valor observado yi e o valor esperado para y = a. x + b, deste modo, os melhores 
valores para as constantes a e b podem então ser encontrados diferenciando-se a equação 
anterior em relação a “a” e “b”, respectivamente, e igualando-se os resultados a zero 
(condição de mínimo). 
f ∑ gh]i[
fj =
∑ f(khN(j.gh�l))]ihZ[
fj = −2 ∑ [_`. b` − d. _	` − e. _`]a`c) = 0 (1.3) 
 
f ∑ gh]i[
fl =
∑ f(khN(j.gh�l))]ihZ[
fl = −2 ∑ [b` − d. _` − e]a`c) = 0 (1.4) 
 
∑ _` . b`a`c) = e ∑ _`a`c) + d ∑ _	`a`c) (1.5) 
 
∑ b`a`c) = d ∑ _`a`c) + e (1.6) 
 
Resolvendo o sistema e evidenciando a e b, obtemos: 
 
d = ∑gh∑khNa∑(gh.kh)(∑gh)]Na∑gh] (1.7) 
 
e = ∑(gh.kh)∑ghN∑gh]∑kh(∑gh)]Na∑gh] (1.8) 
 
Estes conceitos deverão ser utilizados no decorrer dos trabalhos desenvolvidos nos 
laboratórios de Física a fim de fundamentar as análises dos resultados obtidos, portanto, 
sempre que precisar, releia e procure executar os exemplos propostos para que ocorra melhor 
compreensão dos mesmos. 
 
Bom trabalho! 
 
 
 
 
19 
 
EXPERIMENTO 2 
 
ERROS E INCERTEZAS 
 
2.1 Objetivos 
O presente experimento tem por objetivos demonstrar as duas fontes de erro presentes 
em um experimento, a saber: sistemática e aleatória, bem como estimar a incerteza de uma 
massa com uso de uma balança. 
2.2 Material 
• Massa conhecida; 
• Massa desconhecida; 
• Balança digital; 
• Papel mm. 
2.3 Descrição Experimental 
O erro de medição pode ser decomposto em duas parcelas: erro sistemático e erro 
aleatório. O erro sistemático corresponde ao valor médio do erro de medição. O erro aleatório 
é a parcela imprevisível do erro de medição, responsável pelas variações encontradas em 
medições repetidas. É possível estimar o erro sistemático de um sistema de medição pela 
relação: 
op = qrLLL − st (2.1) 
Onde op é o erro sistemático, qrLLL é a média de um número infinito de indicações e st é 
o valor verdadeiro do mensurando. Como não é possível um número de repetições infinitas, 
adota-se a tendência, uv, como estimativa do erro sistemático: 
uv = q̅ − sxy (2.2) 
Onde q ̅ é a média de um número finito de medições e sxy é o valor verdadeiro 
convencional. Podemos definir também a correção C, que pode ser calculada por: 
z = −uv = sxy − q ̅ (2.3) 
E deve ser somada à indicação q ̅que irá realizar um tipo de compensação ao erro 
sistemático, ou seja, irá obter uma indicação corrigida q{ que é o valor da medida. 
Os erros aleatórios por sua vez são visualizados por cada medida individual q`, e são 
expressos pela relação: 
od` = q` − q ̅ (2.4) 
Com od` sendo o erro aleatório da i=ésima medida e q ̅o valor médio das medidas 
finitas. 
20 
 
2.4 Atividades e Questões 
2.4.1. Meça a massa conhecida de ______ g, na balança 12 vezes, admitindo que esse 
é o valor verdadeiro convencional (sxy), e preencha a tabela 2.1, a seguir. 
Tabela 2.1. Dados experimentais. 
Indicação q` od` z qy 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
Média(q)̅ 
 
2.4.2. Em um papel milimetrado, faça um gráfico de od` para cada medida i, e 
verifique a distribuição dos erros aleatórios. A que ela seassemelha? Justifique. 
_____________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
2.4.3. Preencha a tabela 2.2 a seguir, mostrando quantas vezes a medida q` se repetiu, 
ou seja, identifique a frequência |` da medida q` . 
 
21 
 
Tabela 2.2. Frequência da Medida. 
Ordem q` |` 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4.4. Faça com um papel milimetrado um gráfico de barras de q` × |` e compare a 
uma distribuição Gaussiana. O resultado é o esperado? Justifique. 
_____________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
2.4.5. De posse dos dados levantados nos itens anteriores, repita o procedimento para a 
massa desconhecida e apresente o resultado considerando a incerteza expandida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
EXPERIMENTO 3 
 
INSTRUMENTOS DE MEDIÇÃO – RÉGUA, PAQUÍMETRO, MICRÔMETRO, 
CRONÔMETRO E BALANÇA 
 
3.1 Objetivos 
Operar com algarismos significativos, definir o limite do erro instrumental para 
instrumentos de medição, definir o desvio avaliado para medidas feitas com vários 
instrumentos e realizar medidas físicas. 
3.2 Material 
• Balança de pratos iguais ou de triplo travessão. 
• Balança digital. 
• Paquímetro. 
• Micrômetro. 
• Réguas milimetrada. Centimetrada e decimetrada 
• Conjunto de massas. 
• Objetos para medição: blocos, cilindros, esferas, folha de papel etc. 
3.3 Teoria do Experimento 
 
3.3.1 – Sensibilidade de um instrumento 
A sensibilidade de um instrumento corresponde à menor divisão de sua escala e para 
alguns tipos de instrumentos ela é fornecida pelo fabricante. Numa régua milimetrada a 
sensibilidade é 1 mm; num micrômetro 0,01 mm. 
3.3.2 – Limite do erro instrumental (l.e.i) 
O limite do erro instrumental (l.e.i.) de um instrumento de medição com escala de 
leitura contínua (réguas, micrômetro, medidores com ponteiro) é definido como a menor 
fração da menor divisão da escala que pode ser estimada visualmente. Um olho humano 
normal é capaz de distinguir dois pontos distantes de 0,1 mm numa distância de 25 cm 
(distância normal de leitura). Então, para instrumentos com a largura das divisões menores da 
escala da ordem de 1 mm pode-se tomar com segurança o l.e.i como ± 0,2 unidades dessas 
divisões. Por exemplo, pode-se tomar o l.e.i duma régua milimetrada de boa qualidade como 
± 0,2 mm. Todavia, a depender da qualidade da escala e da regularidade das divisões, este 
valor pode chegar a ± 0,5 mm (réguas de plástico) e mesmo a ±1 mm (trenas e escalas de 
pedreiro); para um micrômetro, cuja menor divisão da escala é 0,01 mm, o l.e.i é ± 0,002 mm; 
para um amperímetro com menor divisão da escala de 0,1 mA, o l.e.i pode ser ± 0,02 mA a ± 
0,05 mA a depender da qualidade da escala, se esta é espelhada, se a leitura é feita com lupa, 
etc. (para essa estimativa admite-se que o amperímetro tenha capacidade suficiente para 
responder a variações da ordem de 0,02 mA ou 0,05 mA, o que não decorre da menor divisão 
23 
 
da escala, mas da capacidade de resposta do instrumento, a qual é fornecida pelo fabricante. 
Se a sensibilidade do amperímetro for, por exemplo, 0,1 mA, o correto é tomar-se o l.e.i como 
± 0,1 mA). Para larguras maiores, o operador deve estabelecer um l.e.i, com apenas um 
algarismo significativo tal que lhe dê segurança que o valor da medida jaz no intervalo por 
este definido. 
Nos instrumentos com escala de leitura descontínua (escala com vernier, cronômetros 
mecânicos), o l.e.i é estabelecido pelo fabricante e normalmente corresponde à menor medida 
possível de ser feita no instrumento. Assim, em instrumentos dotados de vernier, o l.e.i é a 
própria natureza do instrumento. Para um cronômetro mecânico que marca em intervalos de 
0,1 s toma-se o l.e.i igual a este valor. Em medidores digitais o l.e.i é geralmente, a metade do 
último dígito mostrado no visor. 
3.3.3 – Desvio avaliado 
Quando se vai realizar uma medida, a primeira providência do operador é definir o 
desvio avaliado (∆a) associado à medida a ser feita, para assim conhecer a posição do 
algarismo duvidoso. Por exemplo, se o desvio avaliado para medidas feitas com uma régua 
milimetrada for de ± 0,5 mm os valores deverão conter a casa dos décimos de milímetro, 
sendo, então, dos tipos 30,5 mm, 46,58 cm, 4,00 cm; se para medidas com uma balança o 
desvio avaliado é ± 0,1 g, os valores serão do tipo 4,5 g, 23,8 g, 200,0 g. A definição do 
desvio avaliado deve levar em conta o l.e.i do instrumento de medida utilizado, o objeto a ser 
medido, o processo de medida e, em alguns casos, as condições ambientais. Seu valor é nunca 
menor do que o do l.e.i do instrumento de medida, podendo ser igual a este se as condições de 
medida forem favoráveis. Por exemplo, se a medida a ser feita é a da largura de um objeto que 
tem arestas bem definidas e a régua pode encostar-se ao objeto, pode-se tomar o desvio 
avaliado igual ao l.e.i da régua. Entretanto, se o objeto possuir contornos abaulados, o correto 
é tomar-se o desvio avaliado maior que o l.e.i. Igualmente, se a corrente elétrica que está 
sendo medida oscila, deve-se avaliar a amplitude de oscilação para definir o desvio avaliado, 
o qual será maior que o l.e.i. O desvio avaliado deve ser usado como desvio da medida, nos 
casos de se fazer poucas medidas (até três), quando as medidas repetidas têm o mesmo valor, 
ou quando o desvio padrão calculado para uma série de medidas for menor que ele. 
3.4 Descrição Experimental 
Neste experimento vamos nos familiarizar com alguns instrumentos utilizados para 
fazer medições de comprimento, massa, tempo e, fazer algumas medições a fim de levantar o 
valor mais provável das medições, desvios e erros dos instrumentos. 
 
 3.4.1 Régua: decimetrada, centimetrada e milimetrada 
A régua milimetrada de aço, plástico ou madeira, é geralmente utilizada para medir 
comprimentos não muito pequenos e quando a precisão desejada para a medida não é muito 
alta. Neste tipo de régua o l.e.i fica entre ± 0,2 mm para réguas de boa qualidade e ± 0,5 mm 
para réguas mais ordinárias. É conveniente usar diferentes trechos da régua na repetição das 
medidas de modo a reduzir os efeitos de diferenças na marcação da escala e tornar, assim, as 
medidas mais independentes. No caso de escalas de pedreiro e trenas de pano, o l.e.i pode 
chegar a ± 1 mm ou mais. 
24 
 
a) Dispõe-se de réguas com três tipos de sensibilidade: decimetrada (D), centimetrada 
(C) e milimetrada (M).Defina o l.e.i para cada uma delas. 
b) Será fornecido um objeto para ser medido com as réguas. Para cada régua, na 
ordem D, C e M, defina o desvio avaliado, faça três medidas do objeto utilizando diferentes 
trechos da régua, calcule seu valor médio e o desvio relativo. 
c) Verifique qual a régua que apresentou a medida do objeto com melhor precisão e 
explique os critérios utilizados em sua avaliação. 
d) Discuta a relação entre a sensibilidade das réguas e o número de algarismos 
significativos das medidas. O que você sugere para melhorar a precisão da medida do objeto? 
Justifique suas respostas. 
 
3.4.2 Paquímetro 
O paquímetro é um instrumento de leitura descontínua para medidas de pequenos 
comprimentos. É caracterizado por possuir uma escala especial, conhecida como nônio ou 
vernier, que se move ao longo da escala principal e que permite a leitura precisa de frações da 
menor divisão desta escala. O paquímetro mostrado na Figura 3.1 é um tipo familiar de escala 
milimetrada. Ele possui duas bases, sendo uma fixa e solidária com a escala principal e outra 
móvel onde se encontra o vernier. Quando o paquímetro está fechado, o zero do vernier 
coincide com o zero da escala. Quando se desloca o cursor, a distância entre as bases – o 
comprimento a ser medido – é a indicada pelo zero do vernier na escala principal. As bases 
possuem encostos onde se apoia o objeto a ser medido (medidas externas). Comumente os 
paquímetros – como o mostrado na figura – possuem também duas orelhas, uma fixa e outra 
móvel, para medir diâmetros internos e uma haste para medir profundidade de cavidades. 
 
 
Figura 3.1: Modelo de paquímetro e seus elementos descritivos. 
O nônio ou vernier (Pierre Vernier, 1580-1637) é um dispositivo que permite uma 
leitura precisa da parte fracional da menor divisão duma escala. Ele consiste de uma escala 
móvel que desliza paralelamente à escala do instrumento (escala principal). Seu comprimento 
corresponde a um número ‘n’ de divisões da escala principal e é dividido em ‘m’ partes 
iguais. Define-se por natureza do nônio (N), a diferença entre a k-ésima divisão da escala 
principal imediatamente posterior à primeira divisão do nônio e esta, isto é: N = k. a − b, 
onde ‘a’ é a amplitude da menor divisão da escala principal e ‘b’ é a amplitude da menor 
25 
 
divisão da escala do nônio. Neste caso a.n = b.m, então podemos escrever: N = a(km −
n)/m. 
 
Figura 3.2: Escala mostrando divisões do Vernier de paquímetros. 
 
A Figura 3.2(A) mostra um nônio (escala inferior) onde k = 1, a = 1 mm, n = 9 e m = 
10, neste caso sua natureza é N = 0,1 mm, onde N = a(km – n)/m. A Figura 3.2(B) mostra um 
nônio onde k = 2, a = 1 mm, n = 39 e m = 20, neste caso sua natureza é N = 0,05 mm, onde N 
= a(km – n)/m. 
Na Figura 3.3 o vernier da figura foi movido para a direita e seu "0" caiu entre as 
marcas de 67 e 68 mm da escala principal. Note que a divisão 7 do vernier foi a que melhor 
coincidiu com uma marca da escala principal (a marca 74 mm). 
Figura 3.3: Escala mostrando divisões do Vernier de paquímetros. 
Há, então, uma diferença de 0,1 mm entre a divisão 6 do vernier e a marca 73 mm; de 
0,2 mm entre a divisão 5 e a marca 72 mm e assim sucessivamente, até a diferença de 0,7 mm 
entre o zero do vernier e a marca 67 mm. A posição do zero indica, portanto, 67,7 mm. No 
vernier da Figura 3.4 o zero do vernier da figura está entre as marcas de 143 e 144 mm da 
escala principal e a marca 5,5 do vernier é a que melhor coincide com uma marca da escala 
principal (a 154). A posição do zero indica, portanto, 143,55 mm (se fosse a divisão 6 a 
coincidir, a leitura seria 143,60 mm). 
 
 
 
 
26 
 
Figura 3.4: Escala mostrando divisões do Vernier de paquímetros. 
Existem diferentes tipos de vernier adaptados a diferentes instrumentos. Há o vernier 
linear, como os das Figuras 3.3 e 3.4, adaptado a escalas lineares para leitura de 
comprimentos como nos paquímetros e há o vernier circular, adaptado a escalas circulares 
para leitura de ângulos como nos goniômetros. O paquímetro é um instrumento de leitura 
descontínua e o intervalo de medida é dado pela natureza do vernier. Assim, para um 
paquímetro de natureza de 0,05 mm as leituras são do tipo 13,00 mm, 13,05 mm, 13,10 mm, 
etc. O l.e.i para o paquímetro é igual à natureza do vernier. Por exemplo, para um paquímetro 
de natureza de 0,05 mm o l.e.i é ± 0,05 mm. 
 
Tarefa 1: Medidas com o Paquímetro – Procedimento 
 
a) Inicialmente, examine seu paquímetro, identifique sua natureza e defina seu l.e.i. 
b) Na leitura da medida note que a marca da escala principal anterior ao zero do vernier 
indica o número inteiro de milímetros da medida e a marca do vernier que melhor 
coincidir com uma marca da escala indica a fração dos milímetros. 
c) Antes de efetuar medições, limpe as superfícies dos encostos e as faces da peça. O 
contato dos encostos com a peça deve ser suave. Exagero na pressão no impulsor pode 
danificar a peça e resultar medidas falsas. 
d) Concluídas as medidas, feche o paquímetro e guarde-o na capa plástica. 
 
3.4.3 Micrômetro 
O micrômetro, figura 3.5, é um instrumento de alta sensibilidade constituído 
basicamente de um parafuso micrométrico capaz de mover-se num corpo cilíndrico ao longo 
do próprio eixo. O passo do parafuso é 0,5 mm, o que significa que, em cada volta completo, 
o parafuso avança ou recua de 0,5 mm em extensão. 
 
 
 
 
Figura 3.5: Modelo de micrômetro e seus elementos descritivos. 
 
27 
 
Para medir as voltas completas do parafuso há uma escala fixa no corpo cilíndrico (S) 
e paralela ao eixo do parafuso e dividida a cada 0,5 mm com os traços da divisão alternando-
se acima e abaixo da linha central. Solidário ao parafuso há um tambor circular (T) dividido 
em 50 partes e, como a cada volta o parafuso avança 0,5 mm, a cada divisão do tambor o 
parafuso avança 0,01 mm. O micrômetro permite estimar milésimos de milímetro (micros) e o 
algarismo duvidoso é lido entre as divisões do tambor. Leituras com micrômetro são, 
portanto, do tipo 4,352 mm; 12,400 mm; 5,4328 cm. O l.e.i para o micrômetro é ± 0,002 mm. 
O micrômetro deve ser manuseado com delicadeza. O objeto a ser medido deve ser fixado 
entre suas mandíbulas A e R usando-se apenas o parafuso de fricção ou catraca (H) existente 
na extremidade do tambor. Quando o micrômetro está fechado o zero do tambor num 
instrumento calibrado deve coincidir com o zero da escala fixa. 
 
Tarefa 2: Medidas com o Micrômetro – Procedimento 
 
a) Limpe as superfícies das mandíbulas e da peça a ser medida. Feche, então, o 
micrômetro girando suavemente o tambor – para girar o tambor utilize apenas a 
catraca, pois ela está devidamente regulada para dar a pressão devida – e verifique se 
ele está calibrado. Caso não esteja, cada medida deverá ser subtraída algebricamente 
do valor lido. 
b) Dê uma rotação completa no tambor e identifique o passo do parafuso micrométrico e 
a sensibilidade do micrômetro. Então, verifique a sensibilidade do instrumento e 
defina o l.e.i. 
c) Coloque a peça entre as mandíbulas e gire o tambor utilizando apenas a catraca (H) até 
que as mandíbulas se encostem à peça. 
d) Os inteiros de milímetros da medida são indicados pela última marca superior que 
aparece na escala do corpo cilíndrico. Caso a última marca a aparecer seja a inferior, o 
valor indicado pela última marca superior deve ser somado de 0,500 mm (veja Figura 
3.6, no centro). 
e) A leitura da fração de milímetros é feita no tambor estimando-se o algarismo 
correspondente a milésimos de milímetro (micro). Observe os exemplos mostrados na 
Figura 3.6. 
f) Concluídas as medidas, feche o micrômetro suavemente e guarde-o no estojo. 
 
Figura 3.6: Escala mostrando divisões do Vernier de micrômetros. 
 
 
 
28 
 
3.4.4 Balança de Triplo travessãoA balança de triplo travessão, figura 3.7, é muito usada quando se deseja fazer 
pesagens rápidas de massas relativamente grandes. A carga máxima das balanças deste tipo, 
usadas comumente em laboratórios, é de 1.100 g sem o auxílio de contrapesos e de 2.110 g 
quando se penduram os contrapesos C na extremidade do travessão E. 
 
Figura 3.7: Modelo de balança de triplo travessão e seus elementos descritivos. 
 
A sensibilidade da balança depende da carga: ela é de 0,1 g para cargas leves e vai até 
0,5 g para cargas de 2.000 g. O l.e.i para este tipo de balança é ± 0,2 g. A pesagem faz-se com 
o auxílio da tara central P (100 g, 200 g, ..., 500 g), da tara Q (10 g, 20 g, 100 g) e do ajuste 
contínuo R que corre numa escala de 0 a 10 g com divisões de 0,1 g. 
Para medições mais precisas também podemos utilizar balanças analíticas com 
diferentes l.e.i. A qualidade do instrumento está associada ao seu valor e finalidade. Para fins 
de medições genéricas também fazemos uso de balanças de pratos, cujo desvio avaliado estará 
associado ao valor da menor massa utilizada para o equilíbrio dos pratos. A figura 3.8 mostra 
exemplo de duas balanças: digital e de pratos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.8: Modelo de balança digital e de pratos. 
 
 
 
 
29 
 
EXPERIMENTO 4 
 
DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DE pipipipi (PI) 
 
4.1 Objetivos 
• Empregar todo o conhecimento acerca da teoria de erros numa atividade experimental. 
Determinar o valor de π (pi). 
4.2 Material 
• Esferas ou cilindros de diâmetros diferentes. 
• Cordão ou barbante. 
• Régua milimetrada. 
• Paquímetro. 
• Micrômetro. 
• Papel milimetrado. 
4.3 Teoria do Experimento 
Os números reais são divididos em racionais e irracionais. Os racionais podem ser 
expressos pela razão entre dois números inteiros, como 1/3 = 0,3333333... Já os irracionais 
não há como escrevê-los pela razão de dois números inteiro. São exemplos o pi = 
3,141592655358979..., o neperiano e = 2,7182818284590452... etc. e não há como predizer 
qual o próximo algarismo apenas observando os anteriores, ao contrário do número 
0,333333333333... "curiosamente" nos três números exemplificados o próximo algarismo é 3. 
O valor de pi pertence aos números irracionais. Contudo, para a maioria dos cálculos simples é 
comum aproximar pi por 3,14. Uma boa parte das calculadoras científicas de 8 dígitos 
aproxima pi por 3,1415926. Para cálculos mais precisos pode-se utilizar pi ≅ 
3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058 com 52 casas decimais. 
Para cálculos ainda mais precisos pode-se obter aproximações de pi através de algoritmos 
computacionais. 
Um engenheiro japonês e um estudante americano de ciências da computação 
calcularam, usando um computador com doze núcleos físicos, cinco trilhões de dígitos, o 
equivalente a 6 Terabytes de dados. Por mera curiosidade aqui fica o número pi até a 
tricentésima casa decimal: pi ≅ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 
37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 
32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 
05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 
27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273. (Disponível: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Pi . Último acesso 11/11/2013). 
O valor do número π pode ser determinado experimentalmente a partir das medidas 
experimentais da circunferência (C) e do diâmetro (d) de um cilindro, em que C = πd. 
30 
 
4.4 Atividades e Questões 
 
4.4.1. Determinar a incerteza dos instrumentos a serem utilizados neste experimento: 
paquímetro e/ou micrômetro para a medida do diâmetro e régua para a medida da 
circunferência; 
4.4.2. Determinar experimentalmente o diâmetro e a circunferência de 2 cilindros ou esferas 
(sendo estes compostos por diâmetros diferentes). Monte uma tabela com todos os 
valores; 
4.4.3. Realizar uma média de 5 medidas experimentais para todos os 2 corpos de prova. 
Façam estas medidas ao longo de todo o corpo cilíndrico/esférico. 
4.4.4. Obter o valor médio destas medidas e seu respectivo desvio médio e padrão (em 
relação ao valor médio). Apresente estes valores tomando o devido cuidado no 
arredondamento das casas decimais, incertezas tipo A. 
4.4.5. Obtenha a incerteza padrão para os 2 corpos de prova a partir da incerteza tipo A e do 
tipo B. 
4.4.6. Obtenha a equação analítica para a propagação de incertezas da circunferência e do 
diâmetro para o valor de π; propague os valores encontrados e obtenha todos os 
valores médios do valor de π. 
4.4.7. Faça um gráfico da circunferência por diâmetro, para visualizar o comportamento 
entre essas grandezas. Inclua neste gráfico todas as incertezas padrões obtidas (barra 
de erros). Para tal, faça um gráfico apresentável, com grandezas bem explicitadas, 
unidades, linhas e pontos experimentais visíveis, digno de um trabalho científico. 
4.4.8. Calcule o coeficiente angular e o linear e suas respectivas incertezas deste conjunto 
de dados empregando o cálculo de regressão (mínimos quadrados). Explicite todos os 
cálculos e não se esqueça de transferir a incerteza. 
4.4.9. Compare as novas incertezas (após a transferência) com as incertezas calculadas no 
item 3.4.5) sem esta transferência. 
4.4.10. Faça um ajuste linear utilizando uma planilha eletrônica, Calc, Excel, Origin, 
MatLab ou outro qualquer acessível e obtenha os coeficientes angulares e lineares 
com os seus respectivos desvios. (Compare com os valores obtidos por você no item 
3.4.7). 
4.4.11. Compare com os valores de π obtidos por vocês, com os obtidos pelos demais 
colegas e apresente um gráfico de distribuição (gráfico de barras verticais) dos 
valores de π encontrados. 
 
 
 
 
 
31 
 
EXPERIMENTO 5 
 
FUNÇÕES E GRÁFICOS – ANÁLISE GRÁFICA E LINEARIZAÇÃO. 
 
5.1 Objetivos 
• Construir gráficos lineares, logarítmicos e semilogarítmicos. 
• Obter equações empíricas utilizando métodos gráficos. 
• Comprovar leis físicas utilizando métodos gráficos. 
5.2 Material 
• Papel milimetrado. 
• Papel mono-log. 
• Papel di-log. 
• Régua milimetrada. 
5.3 Introdução 
Com a análise gráfica busca-se um modo rápido e conveniente de visualizar e 
interpretar relações existentes entre dados experimentais de grandezas relacionadas. De um 
gráfico, portanto, espera-se que ele possa ser fácil e rapidamente interpretado e que forneça o 
maior número possível de informações. 
 
5.3.1 Interpolações e extrapolações 
A interpolação consiste em obterem-se informações sobre pontos intermediários às 
medidas realizadas. Trata-se de um processo relativamente seguro e a precisão das medidas 
interpoladas é equivalente a daquelas obtidas nas medidas. 
Com a extrapolação procura-se obter informações sobre pontos fora do trecho das 
medidas realizadas. Este processo envolve algum risco, já que ele implica assumirem-se como 
as grandezas se comportam fora do trecho medido. A precisão da medida extrapolada pode, 
também, ser mais precária, devido à incerteza na extensão da curva sem haver pontos de 
referência do lado a ser extrapolado. 
 
5.3.2 Determinação gráfica dos parâmetros da função linear 
O gráfico de uma função linear é uma reta. Logo, quando os dados experimentais de 
duas grandezas x e y são locados num papel linear e o gráfico resultante é uma reta, o 
fenômeno estudado é regido por uma lei cuja expressão analítica é: 
 Y = a. x + b (5.1) 
32 
 
Onde o parâmetro ‘a’ representa o coeficiente angular da reta e o parâmetro ‘b’ o 
coeficiente linear, definido como o ponto de interseção da reta com o eixo da ordenada em x = 
0. 
Resolvendo a equação para os pontos (x1, y1) e (x2, y2), obtém-se para o coeficiente 
angular ‘a’, onde os pares (x1, y1)e (x2, y2) são pontos tomados no gráfico. 
y = \]N\[X]NX[ (5.2) 
O coeficiente angular não deve ser confundido com a tangente trigonométrica do 
ângulo formado no gráfico pela reta com o eixo das abscissas. A tangente trigonométrica é um 
número puro por ser uma relação entre dois comprimentos e não possui sentido físico, desde 
que o ângulo muda quando se modificam as escalas. Já o coeficiente angular, como definido 
pela equação (5.2), independe das escalas adotadas e pode representar uma grandeza 
dimensional se as variáveis x e y representarem grandezas diferentes. Por exemplo, num 
gráfico de espaço contra o tempo, o coeficiente angular tem a dimensão de velocidade. 
O parâmetro ‘b’ é a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo x = 0 e pode 
ser lido diretamente no gráfico. No caso de a reta não interceptar o eixo x = 0 nos limites do 
gráfico, ‘b’ pode ser calculado através da equação (5.1) usando-se um par de pontos tirado do 
gráfico e o valor de ‘a’ obtido pela equação (5.2). Na figura 5.1(a) a reta 1 tem ‘a’ negativo e 
o valor de ‘b’ pode ser lido diretamente; a reta 2 tem ‘a’ positivo e o valor de ‘b’ tem que ser 
calculado, pois a interseção cai fora dos limites do gráfico. Tendo-se as coordenadas xi, yi 
duma reta, os parâmetros ‘a’ e ‘b’ podem ser calculados de modo mais preciso, inclusive com 
seus desvios padrões, utilizando-se o método de ajuste pelos mínimos quadrados. Esse 
método exige uma calculadora e deve ser usado sempre que possível, inclusive para fornecer 
os dados para se traçar a melhor reta ajustada aos pontos experimentais. 
 
5.3.3 Linearização de Curvas 
Um modo conveniente de se obter os parâmetros de funções não lineares é através da 
linearização de curvas. A razão de procurar-se transformar gráficos não lineares em lineares é 
que a reta permite maior facilidade em seu traçado e maior precisão na determinação de seus 
parâmetros. Os tipos das funções que mais comumente expressam as leis físicas são os de 
potência e os exponenciais. Os gráficos de algumas dessas funções estão ilustrados na figura 
5.1. Para esses tipos de função, dois métodos são comumente usados para linearização: o da 
anamorfose (substituição de variáveis) e o logarítmico. Há, ainda, o método das diferenças 
tabulares que se aplica a funções mais complexas. (Sobre este método veja MEINERS, Harry F., 
et alli. Laboratory Physics. John Wiley, 1972). 
 
 
33 
 
 
Figura 5.1: Gráfico para diferentes tipos de funções. (a) linear, (b) potência, (c) potência, (d) potência 
e (e) exponencial. 
 
5.3.3.1 Linearização pelo método da Anamorfose 
O método de linearização por anamorfose é utilizado quando se conhece a priori o tipo 
da função que relaciona as grandezas envolvidas, ou quando se pode especular sobre esse 
tipo. Ele consiste em se fazer uma mudança de variável de modo a transformar uma função 
não linear numa função linear. Por exemplo, se duas grandezas z e t são relacionadas por uma 
função do tipo z = α.tn, pode-se dizer que z varia diretamente com tn. Se n é conhecido e se se 
faz tn ≡ u, o gráfico de z contra u resultará numa linha reta de equação z = α.u, cujo 
coeficiente angular α (o parâmetro da função z = α.tn) é dado por: 
 α = ƒ]Nƒ[„]N„[ (5.3) 
Numa outra situação, admita que há razões para supor-se que duas grandezas T e m 
obedeçam a uma relação funcional do tipo T = k√m . A partir desta hipótese, tenta-se a 
linearização fazendo-se o gráfico de T versus √m. Se o resultado é uma reta, isto significa que 
a hipótese é correta e, então, a constante k pode ser determinada através da equação (5.3). 
 
 
5.3.3.2 Linearização pelo método do logaritmo 
Este método aplica-se a funções de potência e exponenciais e consiste em tomar-se o 
logaritmo de ambos os membros da função que se deseja linearizar e construir-se o gráfico da 
expressão resultante. 
34 
 
 
a) Função de potência 
Sejam duas grandezas x e y que se relacionam por uma função de potência do tipo y = 
k xn (5.4) 
Se se aplica o logaritmo decimal a ambos os membros desta equação, o resultado é a 
expressão: 
log y = log k + n.log x (5.5) 
Portanto, o gráfico de log y versus log x resultará numa reta, de equação idêntica à 
equação (4.1) (ao se mudar y por log y e x por log x), cujo coeficiente angular n é dado por 
n = 54‡ \]N54‡ \[54‡ X]N54‡ X[ (5.6) 
Onde as coordenadas dos pontos (log x1, log y1) e (log x2, log y2) são lidas diretamente 
no gráfico. O coeficiente linear da reta é log k e o valor de k, pela própria definição de 
logaritmo, é dado por k = 10log k. Cabe, aqui, uma consideração sobre o valor de n obtido pela 
equação (5.6). Na maioria das equações que expressam fenômenos físicos os expoentes são, 
ou frações simples, ou números inteiros, tais como 2, 1/2, -2, -3/4, 1, etc. Então, o valor 
calculado de n deve ser aproximado, dentro do erro experimental, para inteiro ou relação entre 
inteiros. Por exemplo, 0,493 ≈ 1/2; - 0,991 ≈ - 1; 1,49 ≈ 3/2; - 2,01 ≈ -2; 0,334 ≈ 1/3; - 
1,486 ≈ - 3/2. 
 
b) Gráfico logaritmo em papel logaritmo (log – log) 
O gráfico de uma função logarítmica do tipo da equação (5.5) é comumente construído 
em papel log-log. No papel log-log as escalas são logarítmicas decimais ao invés de linear e o 
papel pode conter uma ou mais décadas em cada eixo. Como cada década corresponde a uma 
ordem de grandeza, a escolha do papel é feita em função das faixas de variação das variáveis. 
Um tipo comum desse papel é o log-log (2x3 décadas); ele permite variações de duas ordens 
de grandeza no eixo das ordenadas e três no eixo das abscissas. O gráfico logarítmico da 
equação (5.5) neste tipo de papel é feito locando-se y versus x. Para se calcular o coeficiente 
angular n, lê-se no gráfico as coordenadas (x1, y1) e (x2, y2) de um par de pontos, em seguida 
obtém-se os logaritmos dessas coordenadas (log x1, log y1, log x2 e log y2) para serem 
utilizados na equação (5.6). O valor de k é a ordenada da interseção da reta com o eixo x = 1 e 
pode ser lido diretamente no gráfico. No caso de a interseção não se dar nos limites do papel 
de gráfico, pode-se obter k pela equação (5.4) usando-se um par de valores tirado do gráfico e 
o valor calculado de ‘n’ sem arredondamento. 
 
5.3.4 Análise de um experimento 
Para investigar uma nova lei física dois métodos são comumente utilizados: o método 
teórico e o método empírico. No método teórico, o pesquisador parte de leis e equações bem 
estabelecidas, ou de certas hipóteses razoáveis e, num procedimento passo a passo, combina 
essas leis e obtém novas relações. Noutras palavras, novas leis são derivadas de leis 
estabelecidas por um processo de razão lógica. No método empírico, as conclusões são 
35 
 
baseadas inteiramente em resultados experimentais. Nesse método, todos os fatores exceto 
dois são mantidos constantes; destes, um deles é variado arbitrariamente e a variação 
resultante no outro é medida. A análise gráfica desses resultados permite obter uma relação 
matemática precisa mostrando como um desses fatores depende do outro. Essa relação 
matemática é denominada de equação empírica. A investigação experimental algumas vezes 
precede ao desenvolvimento teórico. E para que uma nova lei seja aceita como parte da 
ciência ela precisa ser testada experimentalmente e suas conclusões têm que ser mostradas 
consistentes com os resultados experimentais. Na investigação duma lei física temos, 
portanto, dois casos a considerar. No primeiro, deseja-se comprovar a validade duma lei física 
estabelecida teoricamente. No segundo, deseja-se estabelecer uma equação empírica 
relacionando duas grandezas. 
 
5.3.5 Sistema de coordenadas cartesianas 
Considere uma grandeza física dependente ‘u’ que varia como função de uma 
grandeza independente ‘z’. Matematicamente, isto pode ser representado pela função: u= 
f(z). Se for conhecida de forma explícita a função u = f(z), pode-se representá-la graficamente 
em um sistema de coordenadas cartesianas, que consiste de duas retas perpendiculares: o eixo 
x (eixo das abscissas), onde deve ser representada a variável independente (z), e o eixo y (eixo 
das ordenadas), onde deve ser representada a variável dependente (u). A cada par ordenado 
(xi, yi) = (zi, ui) corresponde um ponto Pi de abscissa xi = zi e ordenada yi = ui. O conjunto dos 
vários pontos Pi é denominado de curva da função u = f(z). Convém salientar que os valores 
representados nos eixos podem ter sinal negativo ou positivo, arbitrado conforme a 
conveniência, ou seja, conforme a função que se queira representar. Geralmente usa-se apenas 
o quadrante em que os valores das variáveis são positivos. Como mostra a figura 5.2. 
Figura 5.2: Gráficos mostrando a marcação dos pontos num sistema de eixos cartesianos. 
5.4 Teoria do Experimento e Aplicações 
5.4.1 Construção de gráficos em papel milimetrado 
A observação de um fenômeno físico qualquer é feita, geralmente, através do 
tabelamento de valores medidos. Através do exemplo abaixo, vejamos como se constrói o 
gráfico a partir deste tabelamento, usando o papel milimetrado. 
Exemplo 1: Em um experimento de dilatação volumétrica mediu-se o volume (V) de 
uma esfera para várias temperaturas (T), obtendo-se uma tabela de valores de V e de T, cujos 
dados foram anotados na tabela abaixo. 
36 
 
 
 
Tabela 5.1. Volume em função da temperatura de uma esfera. 
 
V (10-9 m3) 64,1 80,7 97,8 114,9 138,0 162,5 195,0 223,3 260,0 
T (Co) 60,00 65,00 70,00 75,00 80,00 85,00 90,00 95,00 100,00 
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
Cada par de valores (Ti, Vi), onde i é o índice que indica a ordem da medida (i = 1, 2, 
3, ..., 9), deve ser representado por um ponto em um gráfico cartesiano do tipo y versus x 
(veja figura 5.2), ou V versus T, pois o volume da esfera é dependente da temperatura. Nota-
se na própria tabela, que à medida que a temperatura aumenta, o volume da esfera dilata-se, 
como consequência. Para construir o gráfico, a partir da tabela acima, devemos obedecer às 
instruções a seguir. 
 
a) Seleção do tipo de papel (no exemplo dado, vamos usar papel mm) 
Mais adiante você aprenderá como escolher o tipo de papel que deverá usar para fazer 
um gráfico, dependendo do tipo de função associada ao comportamento físico observado. Por 
enquanto, estudemos como fazê-lo em uma folha de papel milimetrado. Em princípio, 
qualquer função de uma variável pode ser traçada graficamente neste tipo de papel. Não há 
restrições! 
 
b) Definição dos eixos 
No eixo das abcissas (eixo horizontal) deve ser registrada a variável independente 
(eixo dos x) associada à grandeza física que, ao variar, assume valores que não dependem dos 
valores da outra grandeza física. 
No eixo das ordenadas (eixo vertical) deve ser registrada a variável dependente (eixo 
dos y) associada à grandeza física que, para variar, depende de como varia a outra grandeza 
física. Em outras palavras, registra-se a causa: variável x no eixo horizontal e o efeito: 
variável y, ou função y(x), no eixo vertical. 
Por exemplo, quando um experimentador mede a distância (d) que um corpo móvel 
percorre em um certo intervalo de tempo (t), verifica que essa distância varia de acordo com o 
tempo medido, e não o contrário: “o tempo varia de acordo com a distância”, o que é um 
absurdo! Assim, o gráfico y versus x deve ser de d versus t, e nunca de t versus d, pois d = 
d(t). 
Para o caso que estamos considerando (Exemplo 1), o gráfico cartesiano do tipo y 
versus x deve ser, então, V versus T, pois o volume da esfera é dependente da temperatura. 
Veja a figura 5.3 abaixo. 
 
 
 
 
 
37 
 
 
Figura 5.3: Gráficos mostrando a marcação dos pontos conforme variáveis dependentes e 
independentes. 
c) Registro dos eixos 
Na parte inferior do eixo das abcissas, à direita, e preferencialmente fora da região 
quadriculada do papel milimetrado, deve ser registrada a variável independente, com sua 
unidade entre parênteses. 
Na parte superior do eixo das ordenadas, à esquerda, e preferencialmente fora da 
região quadriculada do papel milimetrado, deve ser registrada a variável dependente, com sua 
unidade entre parênteses. 
Note que a unidade de uma grandeza física inclui uma eventual potência de 10, que 
pode ter expoente positivo ou negativo. No caso que estamos considerando (Exemplo 1), 
observe que a medida do volume está expressa na unidade: 10-9 m3 e, portanto, deve ser 
registrada no gráfico, conforme mostrado na figura 5.4 a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.4: Gráficos V versus T com valores em potência de 10 e unidades. 
 
d) Marcação dos pontos experimentais 
• É fundamental que os pontos experimentais sejam bem marcados no gráfico e 
identificados por um sinal que não deixe dúvidas sobre sua localização. Veja os 
exemplos na figura 5.5 abaixo. 
 
 
Figura 5.5: Modelos de marcação de pontos em gráficos experimentais. 
• Depois de marcado o ponto experimental não faça nenhuma marcação adicional, tal 
como fazer tracejados desde o ponto até os eixos. Identifique apenas os pontos 
experimentais! 
 
e) Determinação das escalas e posição do papel (retrato ou paisagem) 
Geralmente, uma folha de papel milimetrado tem 280 mm no eixo vertical, e 180 mm 
no eixo horizontal, então, podemos usá-la nesta posição (“retrato”) ou em outra posição, 
invertendo os eixos (“paisagem”). Deve ser escolhida uma destas duas possibilidades: 
“retrato” ou “paisagem”, de modo a aperfeiçoar a construção do gráfico visando ocupar a 
folha do papel o melhor possível. Entretanto, “ocupar o melhor possível à folha” não significa 
que se deve usar a escala que preenche todo o papel. Na prática, deve-se escolher uma escala 
que facilite a leitura dos pontos experimentais, ou qualquer outro ponto representado no 
38 
 
gráfico. Vamos estimar, a seguir, as várias possibilidades de escala para representar as 
variáveis V e T, e adotar aquelas que melhor ocupam o papel em uma das duas posições 
possíveis. De maneira simples, a escala pode ser expressa pela razão entre a variação da 
grandeza pela dimensão do papel ou vice-versa. 
 
Variável Dependente: Exemplo 1: Volume (V) 
A grandeza física varia entre os valores 64,1 e 260,0 x 10-9 m3. Momentaneamente 
ignoremos a unidade (inclusive a potência) para facilitar. 
 
1a possibilidade: considerando o papel na posição “retrato” – Eixo Vertical (280 mm) 
(i) Começando do zero: Se começarmos o gráfico a partir do zero, o intervalo de 
variação para o volume é de (260,0 – 0,0) = 260,0 unidades de volume. A escala direta do 
eixo V é 
 1,0 unidade de volume corresponde a 1 mm do papel, 
e a maior medida do volume (260,0) corresponde a 260 mm do papel. (Cabe bem no papel!). 
Note que, se usarmos qualquer escala diferente desta, ou o gráfico não caberá no papel, ou 
não o ocupará bem. 
(ii) Não começando do zero: Se não começarmos o gráfico a partir do valor zero, o 
intervalo de variação para o volume é de (260,0 – 64,1) = 195,9 unidades de volume. Se 
iniciarmos a partir do valor 60,0 (por exemplo), e fizermos o seguinte cálculo: (260,0 – 60,0) 
= 200,0 unidades de volume, teremos: 
280 mm correspondem a 200,0 unidades de volume 
1 mm corresponde a 200,0 unidades de volume/280 mm, logo nossa escala do 
eixo V seria: 
200,0 unidades de volume/280 mm = 0,714 unid./mm 
 
Note que para cada unidade de volume teremos 1,40 mm (1/0,714). Complicado!! 
Para facilitar, tanto para quem faz o gráfico, quanto para quem vai lê-lo, adota-se a 
escala mais próxima desta que seja bem clara para todo mundo. Mesmo que isso signifique 
não ocupar todo o papel milimetrado. 
Deve-se adotar uma “escala limpa e fácil de ser lida” de modo aque não seja 
necessário fazer cálculos para achar a localização dos pontos no gráfico. Aliás, se você 
precisar fazer muitos cálculos, algo está inadequado. 
Adotando o primeiro valor igual a 60,0 unidades de volume, por tentativa e erro, 
achamos a escala: 
1ª tentativa: 
1,0 unidade de volume/1 mm – o maior valor (260,0) é considerado (260,0 - 60,0) = 200,0 
unidades de volume, o que corresponde a 200 mm no papel (sobra bastante papel!). 
2ª tentativa: 
1,0 unidade de volume/2 mm – o maior valor (260,0) é considerado (260,0 - 60,0) = 200,0 
unidades de volume, o que corresponde a 400 mm no papel (não cabe no papel!). 
Conclusão, considerando o papel na posição “retrato”, o melhor é começar do zero, e adotar 
no eixo vertical a escala 
39 
 
1,0 unidade de volume: 1 mm do papel. 
2a possibilidade: considerando o papel na posição “paisagem” – Eixo Vertical (180 mm) 
(i) Começando do zero: Se começarmos o gráfico a partir do zero, o intervalo de 
variação para o volume é de (260,0 - 0,0) = 260,0 unidades de volume. 
A escala direta é 1,0 unidade de volume: 1 mm do papel, e a maior medida do volume 
(260,0) corresponde a 260 mm do papel. (portanto, fora do papel!) 
Então, calcula-se 
180 mm correspondem a 260,0 unidades de volume 
1 mm corresponde a 260,0 unidades de volume/180 mm 
260,0 unidades de volume/180 mm = 1,4444 unidades de volume /mm 
 
A escala mais próxima seria 1,5 unidades de volume/mm. Mas, esta escala é 
submúltiplo de 3, e como todo submúltiplo ou múltiplo de 3, leva sempre a uma dízima 
periódica. Portanto, fuja de escalas do tipo: 0,375; 0,75; 1,5; 3; 6; 9; 12; etc. A escala mais 
fácil e mais próxima é 2,0 unidades de volume/mm. Note que a maior medida do volume 
(260,0) estará representada em 130 mm (portanto, sobra bastante papel!). 
Qualquer escala acima dessa faz com que os pontos saiam papel! 
 
(ii) Não começando do zero: Se não começarmos o gráfico a partir do zero, o intervalo 
de variação para o volume é de (260,0 - 64,1) = 195,9 unidades de volume. Iniciamos a partir 
do valor 60,0 (por exemplo), e fazemos o seguinte cálculo: (260,0 - 60,0) = 200,0 unidades de 
volume 
180 mm correspondem a 200,0 unidades de volume 
1 mm corresponde a 200,0 unidades de volume/180 mm 
200,0 unidades de volume/180 mm = 1,11 unid./mm 
Note que para cada unidade de volume teremos 0,901 (1/1,11) mm. Complicado!! 
REPETINDO! Para facilitar, tanto para quem faz o gráfico, quanto para quem vai lê-lo, 
adota-se a escala mais próxima desta que seja bem clara para todo mundo. Mesmo que isso 
signifique não usar todo o papel milimetrado. 
Deve-se usar uma “escala limpa e fácil de ser lida” de modo a que não seja necessário fazer 
cálculos para achar a localização dos pontos no gráfico. Aliás, se você precisar fazer muitos 
cálculos, algo está inadequado. 
Adotando o primeiro valor igual a 60,0 unidades de volume, por tentativa e erro, achamos a 
escala: 
1ª tentativa: 
1,0 unidade de volume/1 mm – o maior valor (260,0) é considerado (260,0 - 60,0) = 200,0 
unidades de volume, o que corresponde a 200 mm no papel (portanto, não cabe no papel!). 
2ª tentativa: 
2,0 unidade de volumes/1 mm – o maior valor (260,0) é considerado (260,0 - 60,0) = 200,0 
unidades de volume, o que corresponde a 100 mm no papel (portanto, sobra bastante papel!). 
Conclusão, considerando o papel na posição “paisagem” pode-se começar do zero, adotando-
se a escala 2,0 unidade de volumes: 1 mm do papel, ou não começar do zero (sendo o 
primeiro valor: 60,0 unidades de volume) adotando-se a escala 
40 
 
2,0 unidades de volume: 1 mm do papel. 
Em ambas as escolhas sobram bastante papel. 
 
Agora, vamos estimar a escala para representar a outra grandeza física, sabendo que: 
A escala usada em um eixo é totalmente independente da escala usada no outro. Isto 
significa que, para representar graficamente as medidas de temperatura, podemos adotar uma 
escala diferente daquela que determinamos para apresentar as medidas do volume no gráfico. 
Variável Dependente: Exemplo 1; Temperatura (T) 
A grandeza física varia entre os valores 60,00 oC e 100,0 oC. Momentaneamente 
ignoremos a unidade, para facilitar. 
 
1a possibilidade: considerando o papel na posição “paisagem” - Eixo Horizontal (280 mm) 
(i) Começando do zero: Se começarmos o gráfico a partir do zero, o intervalo de 
variação para a temperatura é de (100,00 - 0,00) = 100,00 unidades de temperatura. A escala 
direta é 1,00 unidade de temperatura: 1 mm do papel, e a maior medida da temperatura 
(100,00) corresponde a 100 mm no papel (logo, sobra muito papel). 
A escala mais próxima, a seguir, é 1,00 unidade de temperatura/2 mm. A maior medida da 
temperatura estará representada em 200 mm (ainda sobra bastante papel!). 
Qualquer escala diferente dessas faz com que os pontos, ou saiam papel, ou não o ocupem 
bem. 
(ii) Não começando do zero: Se não começarmos o gráfico a partir do zero, o intervalo 
de variação para a temperatura é de (100,00 - 60,00) = 40,00 unidades de temperatura. 
Iniciamos a partir do valor 60,0 (por exemplo), e fazemos o seguinte cálculo 
280 mm correspondem a 40,00 unidades de temperatura 
1 mm corresponde a 40,00 unidades de temperatura/280 mm 
40,00 unidades de temperatura/280 mm = 0,143 unid./mm 
Note que para cada unidade de temperatura teremos 6,99 (1/0,143) mm. Complicado!! 
Para facilitar, tanto para quem faz o gráfico, quanto para quem vai lê-lo, adota-se a escala 
mais próxima desta que seja bem clara para todo mundo. Mesmo que isso signifique não usar 
todo o papel milimetrado. 
Deve-se usar uma “escala limpa e fácil de ser lida” de modo a que não seja necessário fazer 
cálculos para achar a localização dos pontos no gráfico. Aliás, se você precisar fazer muitos 
cálculos, algo está inadequado. 
Adotando o primeiro valor igual a 60,00 unidades de temperatura, por tentativa e erro, 
achamos a escala: 
1ª tentativa: 
1,00 unidade de temperatura/1 mm – o maior valor (100,00) é considerado (100,00 – 60,00) = 
40,00 unidades de temperatura, o que corresponde a 40 mm no papel (assim, sobra muito 
papel!). 
2ª tentativa: 
1 unidade de temperatura/2 mm – o maior valor (100,00) é considerado (100,00 - 60,00) = 
40,00 unidades de temperatura, o que corresponde a 80 mm no papel (assim, sobra muito 
papel!). 
41 
 
3ª tentativa: 
1 unidade de temperatura/5 mm – o maior valor (100,00) é considerado (100,00 – 60,00) = 
40,00 unidades de temperatura, o que corresponde a 200 mm no papel (assim, sobra muito 
papel!). 
Conclusão, considerando o papel na posição “paisagem” pode-se começar do zero, adotando-
se a escala 1,00 unidade de temperatura: 2 mm do papel ou não começar do zero (sendo o 
primeiro valor: 60,00 unidades de temperatura) adotando-se a escala 
1,00 unidade de temperatura: 5 mm do papel. 
Em ambas as escolhas sobram bastante papel. 
 
2a possibilidade: considerando o papel na posição “retrato” – Eixo Horizontal (180 mm) 
(i) Começando do zero: Se começarmos o gráfico a partir do zero, o intervalo de 
variação para a temperatura é de (100,00 – 0,00) = 100,00 unidades de temperatura. 
A escala direta é 1,00 unidade de temperatura: 1 mm do papel, e a maior medida da 
temperatura (100,0) corresponde a 100 mm do papel. (portanto, sobra muito papel!) 
A próxima tentativa é 1,0 unidade de temperatura: 2 mm do papel, e a maior medida da 
temperatura (100,0) corresponde a 200 mm do papel. (logo, fora do papel!) 
(ii) Não começando do zero: Se não começarmos o gráfico a partir do zero, o intervalo 
de variação para a temperatura é de (100,00 – 60,00) = 40,00 unidades de temperatura. 
Iniciamos a partir do valor 60,0 (por exemplo), e fazemos o seguinte cálculo 
180 mm correspondem a 40,00 unidades de temperatura 
1 mm corresponde a 40,00 unidades de temperatura/180 mm 
40,00 unidades de temperatura/180 mm = 0,222 unid./mm 
Noteque para cada unidade de temperatura teremos 4,50 (1/0,222) mm. Complicado!! 
Para facilitar, tanto para quem faz o gráfico, quanto para quem vai lê-lo, adota-se a escala 
mais próxima desta que seja bem clara para todo mundo. Mesmo que isso signifique não usar 
todo o papel milimetrado. 
Adotando o primeiro valor igual a 60,0 unidades de temperatura, por tentativa e erro, achamos 
a escala: 
1ª tentativa: 
1,00 unidade de temperatura/1 mm – o maior valor (100,00) é considerado (100,00 – 60,00) = 
40,00 unidades de temperatura, o que corresponde a 40 mm no papel (sobra muito papel!). 
2ª tentativa: 
1,00 unidade de temperatura/4 mm – o maior valor (100,00) é considerado (100,00 - 60,00) = 
40,00 unidades de temperatura, o que corresponde a 160 mm no papel (ocupa bem o papel!). 
Conclusão, considerando o papel na posição “retrato”, pode-se começar do zero, adotando-se 
a escala 1,00 unidade de temperatura: 1 mm do papel ou não começar do zero (sendo o 
primeiro valor: 60,00 unidades de temperatura) adotando-se a escala 1,00 unidade de 
temperatura: 4 mm do papel. A última escolha ocupa melhor o papel e, portanto, é a melhor. 
Considerações finais: Da análise acima verificamos que a melhor maneira de ocupar o papel 
milimetrado, adotando escalas limpas e claras para representar as medidas no gráfico, é a 
seguinte: 
42 
 
 
Posição do papel: “RETRATO” 
Eixo vertical – Volume V – escala 1,0 unidade de volume: 1 mm do papel, começando do 
zero, isto é, 0 unidades de volume. 
Eixo horizontal – Temperatura T – escala 1,0 unidade de temperatura: 4 mm do papel, sendo 
o primeiro valor: 60,00 unidades de temperatura. 
 
f) Indicação de valores nos eixos 
• Tanto no eixo vertical, quanto no horizontal, devem ser indicados valores 
referenciais adequados à escala. Esses valores devem ser preferencialmente 
múltiplos de 2, 5, 10, 20, 50, 100, etc. Nunca use múltiplos ou submúltiplos de 
números primos ou fracionários, tais como 3, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ou 2,5; 3,3; 7,5; 
8,25; 12,5; 16,21; etc. 
• Jamais indique nos eixos os valores dos pontos experimentais. 
• Os valores indicados nos eixos devem ter a mesma quantidade de algarismos 
significativos das medidas, por exemplo, no caso do volume, os valores indicados 
serão: 50,0; 100,0; 150,0; etc. 
 
g) Traçado da curva 
• O traçado da curva deve ser suave e contínuo, ajustando-se o melhor possível aos 
pontos experimentais. 
• Nunca una os pontos experimentais por linhas retas, pois isto significa que a relação 
entre as grandezas físicas é descontínua, o que dificilmente será verdadeiro. 
• Seguindo as instruções acima, veja a figura 5.6 que mostra como deve ficar o 
gráfico. Observe que o valor inicial para a temperatura, no eixo horizontal, foi 
levemente deslocado para a direita, a fim de facilitar a visualização dos pontos. 
Caso contrário, o primeiro ponto ficaria sobre o eixo vertical das ordenadas, o que 
não é recomendável! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.6: Exemplo mostrando gráfico de Volume versus Temperatura com detalhes dos pontos e 
componentes. 
 
44 
 
 
5.4.2 Construção de gráfico linear em papel milimetrado 
Vamos aprender, através de um novo exemplo, como obter informações a partir de um 
gráfico em papel milimetrado, quando a curva traçada for uma reta. 
Exemplo 2: Observou-se o movimento de um bloco que desce deslizando um plano 
inclinado. Obteve-se um conjunto de medidas da velocidade e do tempo, que foram anotados 
na tabela abaixo. 
Tabela 5.2. Velocidade de deslizamento de um bloco em função do tempo. 
 
v (10-3 m/s) 105,0 150,0 240,0 290,0 340,0 430,0 500,0 
t (10-2 s) 1,00 2,50 6,00 8,00 10,00 13,50 16,00 
 
Cada par de valores (ti, vi) deve ser representado por um ponto em um gráfico 
cartesiano do tipo y versus x, ou, no exemplo, v versus t, pois a velocidade do bloco é função 
do tempo. 
Seguindo as instruções dadas anteriormente, você poderá traçar um gráfico como o 
que está representado na figura 5.7, adiante. Note que a curva traçada é uma reta. 
Sabemos da geometria analítica, que a equação da reta na sua forma reduzida é dada 
por: y(x) = a x + b, onde ‘a’ é o coeficiente angular e ‘b’ é o coeficiente linear da reta. A partir 
do gráfico podemos determinar esses coeficientes e associá-los a grandezas físicas que não 
estão evidentes. Em outras palavras, podemos extrair informações do gráfico. 
Daqui para a frente adotaremos como regra: sempre que obtivermos uma reta em um 
gráfico devemos fazer o cálculo desses coeficientes. 
 
Cálculo do coeficiente angular 
Pode-se mostrar que o coeficiente angular é dado pelo quociente: 
 a = ∆\∆X = ˆ\]N\[X]NX[‰, onde (x1, y1) e (x2, y2) são dois pontos quaisquer, pertencentes à 
reta. 
Observando a reta traçada no gráfico, encontramos os dois pontos não experimentais: 
 
P2 = (x2 , y2) = (t2 , v2) = (14,50 x 10-2 s ; 460,0 x 10-3 m/s) 
P1 = (x1 , y1) = (t1 , v1) = (5,00 x 10-2 s ; 210,0 x 10-3 m/s) 
 
Os quais são indicados na reta com uma notação diferente daquela usada para indicar 
os pontos experimentais. Isto porque para o cálculo dos coeficientes não podem ser usados 
pontos experimentais! Então, 
a= ∆y∆x = Š
y2-y1
x2-x1Π=
∆v
∆t = Š
v2-v1
t2-t1 Π=
(460,0-210,0)x 10-3
(14,50-5,00)x 10-2 =2,6315789 m/s2≅2,63 m/s2 
Concluímos que o coeficiente angular da reta é igual a 2,63 m/s2, e corresponde à 
grandeza física conhecida como aceleração. 
 
 
45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.7: Exemplo mostrando gráfico linear da velocidade em função do tempo de um MRUV. 
 
Cálculo do coeficiente linear 
Para fazer esse cálculo há duas maneiras: 
1a – Escolhe-se um ponto não experimental qualquer da reta: P3 = (x3,y3) = (t3,v3), o 
qual é indicado na reta com uma notação diferente daquela usada para indicar os pontos 
46 
 
experimentais. Isto porque para o cálculo dos coeficientes não podem ser usados pontos 
experimentais! Substitui-se o valor desse ponto na equação reduzida da reta, pois o 
coeficiente angular já é conhecido. 
Observando novamente a reta traçada no gráfico, encontramos um terceiro ponto não 
experimental: 
P3 = (x3, y3) = (t3, v3) = (3,50 x 10-2 s, 170,0 x 10-3 m/s) 
Então, y(x) = a x + b, ou b = y(x) – a x, ou b = y3 – ax3 = v3 – at3 
b = (170,0 x 10-3 m/s) – (2,63 m/s2).(3,50 x 10-2 s) = 0,07795 m/s = 78,0 x 10-3 m/s. 
2a – Quando for possível prolongar a reta (extrapolação) até cortar o eixo dos y (em x 
= 0), basta ler o valor da reta em y (x = 0), pois este é o coeficiente linear. 
y(x) = a x + b, ou y (x = 0) = a.0 + b, ou y(x = 0) = b 
Observando a reta traçada, encontramos o ponto em que corta o eixo dos y (em x = 0), 
ou o eixo dos v (em t = 0), isto é, b = v (t = 0) = 79,0 x 10-3 m/s. 
Finalmente, obtivemos o coeficiente linear de duas maneiras: 
79,0 x 10-3 m/s (lido) e 78,0 x 10-3 m/s (calculado) 
Observe que há uma pequena diferença entre os valores. Isto ocorre como resultado do 
arredondamento que é feito nos cálculos. Mas, não se preocupe, ambos os resultados obtidos 
são aceitos, porque estão dentro de uma margem de incerteza muito pequena. 
Concluímos que o coeficiente linear da reta pode ter qualquer um dos dois valores 
acima e corresponde à grandeza física conhecida como velocidade inicial, isto é, v (t = 0) = 
vo. Em resumo, em um gráfico linear de v versus t, o coeficiente angular corresponde à 
aceleração, e o coeficiente linear corresponde à velocidade inicial. Para o caso exemplificado, 
y(x) = a x + b = v(t) = αt+ vo, onde a = α = 2,63 m/s2 e b = vo = 79,0 x 10-3 m/s ou, 
finalmente, 
v(t) = (2,63 m/s2).t + (79,0 x 10-3 m/s) sendo t em s. 
5.4.3 Linearização 
Agora que aprendemos a trabalhar com gráfico linear, vamos desenvolver um método 
que permite transformar o gráfico de uma curva qualquer em um gráfico linear, pois sabemos 
calcular os coeficientes da reta e associá-los a grandezas físicas. Estas técnicas são chamadas 
de linearização (anamorfose ou logaritmica) e consiste basicamente em “desentortar” e 
“retificar” o gráfico de uma curva que não é reta. Vejamos como se aplica essa técnica através 
do exemplo a seguir. 
Exemplo 3: Considere que foram realizadas medidas do movimento retilíneo de um 
móvel que se desloca ao longo de uma estrada. Obteve-se um conjunto de valores de sua 
posição e do tempo, que foram anotados na tabela 5.3, a seguir. 
Tabela 5.3. Posição de um móvel em função do tempo. 
X (m) 58,0 84,0 105,0 150,0 188,0 240,0 
t (s) 5,25 7,00 8,00 10,00 11,50 13,00 
 
Cada par de valores (ti, xi) deve ser representado por um ponto em um gráfico 
cartesiano o tipo y versus x, ou, no exemplo, x versus t, pois a posição do móvel é função do 
tempo. Seguindo as instruções para a construção de gráficos em papel milimetrado, 
47 
 
apresentadas anteriormente, você poderá traçar um gráfico como o que está representado na 
figura 5.8. Note que a curva traçada não é uma reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.8: Exemplo mostrando gráfico da posição em função do tempo de um MRUV. 
A curva obtida nesse gráfico é uma parábola, e obedece a uma equação geral do tipo: 
y(x) = a2x² + a1x + a0, onde os coeficientes são constantes, e no caso, a1 = 0. Portanto, a curva 
representada no gráfico pode ser representada pela equação: x(t) = ε t2 + γ, onde os 
coeficientes ε e γ são constantes. 
A questão é: como determinar graficamente as constantes ε e γ? 
48 
 
Resposta: Usando uma técnica da linearização. 
Vejamos, então, através do Exemplo 3, quais são os procedimentos que devem ser 
obedecidos para linearizar o gráfico por anamorfose. 
 
Primeiro passo: Comparação com a equação reduzida da reta 
 
Comparar a função associada à curva (x(t) = ε t2 + γ) traçada com a equação reduzida da reta: 
y'(x') = a' x' + b'. 
Observe que se adota um índice “linha” para identificar os termos da reta, a fim de evitar 
confusão na eventualidade da outra equação ter notação similar. Obtemos, 
x(t) = y'(x'); ε = a'; t² = x'; γ = b' 
Sabemos que o gráfico “y'(x') versus x'” é uma reta. Por analogia, o gráfico em que a curva 
aparece linearizada (reta) é dado por “x(t) versus t²”. 
x(t) versus t ⇒ gráfico não linear 
y'(x') versus x' ⇒ x(t) versus t² ⇒ gráfico linear 
 
Segundo passo: Cálculo de nova tabela 
A partir dos dados experimentais tabelados, calcula-se uma nova tabela. No exemplo 
3, mantêm-se os valores de x e calculam-se os novos valores para t2. Respeite os algarismos 
significativos, e não se esqueça das unidades. 
 
Tabela 5.4. Posição de um móvel em função do tempo ao quadrado. 
 
X (m) 58,0 84,0 105,0 150,0 188,0 240,0 
t (s) 5,25 7,00 8,00 10,00 11,50 13,00 
t2 (s2) 27,6 49,0 64,0 100,0 132,2 169,0 
 
Terceiro passo: Construção do gráfico linear 
A partir dos dados da nova tabela faz-se o novo gráfico: x versus t2. Seguindo as 
instruções já descritas anteriormente para a construção de gráficos em papel milimetrado, 
você poderá traçar um gráfico como o que está representado na figura 4.9, a seguir. 
 
Quarto passo: Cálculo do coeficiente angular da reta 
Observando a reta traçada no gráfico, encontramos os dois pontos não experimentais: 
P2 = (x'2, y'2) = (t22, x2) = (165,0 s2; 230,0 m) 
P1 = (x'1, v'1) = (t12, x1) = (85,0 s2; 130,0 m) e 
 
d” = ∆b
”
∆_” =
(b	” − b)” )
(_	” − _)” ) = • =
∆_
∆–	 =
(_	 − _))
(–		 − –)	) =
(230,0 − 130,0)
(165,0 − 85,0) = 1,25 —/˜	 
Concluímos que o coeficiente angular da reta é igual a 1,25 m/s2, e tem a mesma 
unidade da grandeza física aceleração. Portanto, o valor da constante é: ε = a' = 1,25 m/s2. 
 
 
49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.9: Exemplo mostrando gráfico da posição em função do quadrado do tempo de um MRUV. 
 
Quinto passo: Cálculo do coeficiente linear da reta 
Observando novamente a reta traçada no gráfico, encontramos um terceiro ponto não 
experimental: 
P3 = (x'3, y'3) = (t32, x3) = (125,0 s2; 180,0 m) 
b' = y'3 – a' x'3 = γ = x3 – ε .t32 
b' = γ = (180,0 m) – (1,25 m/s2).(125,0 s2) = 23,7500 m = 23,8 m (calculado) 
50 
 
Ou, observando a reta traçada, encontramos o ponto em que corta o eixo dos y' (em x' 
= 0), ou o eixo dos x (em t2 = 0), isto é, b' = x (t2 = 0) = 24,0 m (lido). 
Concluímos que o coeficiente linear da reta pode ter qualquer um dos dois valores 
acima, e corresponde à grandeza física posição inicial, isto é, x (t2 = 0) = x0. Portanto, o valor 
da constante é: γ = b' = 23,8 m (calculado) ou γ = b' = 24,0 m (lido). 
 Em resumo, em um gráfico linear de x versus t2, o coeficiente angular corresponde à 
aceleração, e o coeficiente linear corresponde à posição inicial. Para o caso do exemplo 3, x(t) 
= ε t2 + γ = (1,25 m/s2) t2 + (24,0 m) sendo t em s. 
Para determinar o valor da aceleração α, basta lembrar que, para esse tipo de movimento: 
x(t) = x0 + v0 t + (1/2) α t2. No caso, v0 = 0, e (1/2) α = ε, logo, α = 2ε = 2,50 m/s2. 
 
5.4.4 Linearização em Papel com escala Logarítmica 
Até aqui aprendemos como: 
� Construir um gráfico qualquer em papel milimetrado; 
� Trabalhar com um gráfico linear, e calcular os coeficientes da reta; 
� Transformar o gráfico de uma curva que não é reta em um gráfico linear (linearização); 
� Calcular, a partir do gráfico linear, as constantes relacionadas com a curva não linear. 
Em princípio, todas as curvas resultantes de medidas experimentais podem ser 
representadas geometricamente em uma folha de papel milimetrado. A técnica da linearização 
permite-nos calcular, a partir de um gráfico linearizado, as constantes que estão relacionadas 
com o comportamento das grandezas físicas medidas. Veja os exemplos na tabela 5.5, a 
seguir. 
Tabela 5.5. Exemplos de equações que podem representar fenômenos Físicos. 
 
Equação do fenômeno Físico 
(C e D são constantes) 
Gráfico não linear Gráfico linearizado 
(C = a’ e D = b’) 
Y(x) = C x2 + D Y versus x Y versus x2 
Y(x) = C x1/2 + D Y versus x Y versus x1/2 
Y(x) = C x-1 + D Y versus x Y versus x-1 
Y(x) = C x3 + D Y versus x Y versus x3 
Y(x) = C cos (x) + D Y versus x Y versus cos (x) 
Y(x) = C ln x + D Y versus x Y versus ln x 
Y(x) = C log x + D Y versus x Y versus log x 
Y(x) = C ex + D Y versus x Y versus ex 
Y(x) = C xn + D , ∀ n Y versus x Y versus xn 
 
Entretanto, existem duas funções especiais que tem uma variação muito grande, e que 
aparecem frequentemente na Física, são as funções logarítmicas. Para essas funções foi criado 
um tipo de papel que, em vez da escala linear milimetrada, tem uma escala logarítmica. Nesse 
tipo de papel, essas funções resultam diretamente em um gráfico linearizado, o que facilita a 
determinação das constantes desconhecidas. 
 
5.4.5 Construção de gráficos lineares em papel Mono-Log (Log versus mm) 
Vamos aprender a técnica de utilização do papel mono-log para determinar as 
constantes desconhecidas através do seguinte exemplo. 
51 
 
Exemplo 4: Mediu-se a diferença de potencial nos terminais de um capacitor em processo de 
carga, como função do tempo, e os dados experimentais foram tabelados abaixo. 
 
Tabela 5.6. Carga num capacitor em função do tempo. 
V(µVolt)3,6 8,0 14,0 31,0 80,0 180,0 270,0 
t (ms) 5,00 15,00 20,00 30,00 41,50 50,00 55,00 
 
Sabendo que a equação que rege o fenômeno é do tipo: V(t) = A eBt, onde A e B são 
constantes, que devemos fazer para determiná-las a partir do gráfico? 
O gráfico V versus t em papel milimetrado, como você pode verificar fazendo-o, 
fornece uma curva não linear. Portanto, devemos aplicar a técnica da linearização. Antes, 
porém, para podermos comparar a equação acima com a equação reduzida da reta, é 
necessário aplicar a função inversa da exponencial, que é o logaritmo natural ou neperiano, 
como segue: 
ln[s(–)] = ln[š›œ] = ln[š] + ln[›œ] = ln[š] + ž. –. ln[›] = ln[š] + ž. – 
Comparando com a equação reduzida da reta: y'(x') = a' x' + b', temos 
ln [V(t)] = y'(x'); B = a'; t = x' e ln [A] = b' 
Sabemos que o gráfico “y'(x') versus x'” é uma reta, então, por analogia, o gráfico em que a 
curva aparece linearizada (reta) é dado por “ln [V(t)] versus t”. 
V(t) versus t ⇒ gráfico não linear 
y'(x') versus x' ⇒ ln [V(t)] versus t ⇒ gráfico linear 
Você pode verificar que esse gráfico é linearizado no papel milimetrado, construindo-o de 
acordo com os procedimentos descritos anteriormente. Inclusive, você pode calcular as 
constantes A e B. Seguem algumas expressões que você vai desenvolver. 
d” = ∆b
”
∆_” =
(b	” − b)” )
(_	” − _)” ) = ž =
∆(Ÿ s)
∆– =
(Ÿ s)	 − (Ÿ s))
(–	 − –)) 
b’ = y’3 – a’.x’3 = ln [A] = (ln V)3 – B. t3, logo, A = eb’ 
 
É evidente que essa linearização é trabalhosa, pois é preciso calcular uma nova tabela 
para, a partir dela, construir o gráfico que fornece uma reta. Para evitar todo este trabalho 
existe o papel mono-log, que consiste de um papel quadriculado, onde o eixo das abcissas tem 
uma escala linear, geralmente dividida em 120 unidades, e o eixo das ordenadas tem uma 
escala logarítmica de base 10, dividida em décadas (cada década multiplica por 10 os valores 
da década anterior). A figura 5.10 mostra um modelo de papel mono-log. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.10: Exemplo mostrando papel mono-log (Log x mm) com 3 décadas. 
 
Cada década do papel mono-log pode variar entre os múltiplos ou submúltiplos de 1 a 
10. Entre o início de uma década e o de outra subsequente, há uma diferença de um fator de 
dez. Isto significa que, se a primeira linha da primeira década vale 1 (1x100), a primeira linha 
da segunda década vale 10 (1x101), e a primeira linha da terceira década vale 100 (1x102). 
Isto significa também que, se a última linha da primeira década vale 10 (1x101), a última linha 
53 
 
da segunda década vale 100 (1x102), e a última linha da terceira década vale 1000 (1x103). Na 
figura 5.10, estão representadas três décadas. Sendo logarítmica a escala do eixo das 
ordenadas, nesse eixo estão representados diretamente, não os valores, mas sim os logaritmos 
desses valores. Não existe o valor zero no eixo logarítmico, uma vez que a função logaritmo 
não está definida para este ponto. A escala pode ser iniciada de um valor unitário qualquer em 
potência de dez, NUNCA DE ZERO. Pode iniciar em 1x10-4; 0,001; 0,01; 0,1; 1; 10; 100; 
1000; 1x104; ... 
No Exemplo 4, que estamos considerando, optamos pela utilização do papel mono-log, 
de modo que não é mais necessário calcular todos os logaritmos dos valores tabelados, como 
seria feito se fosse utilizado o papel milimetrado. Basta que se indique os pontos tabelados 
diretamente no gráfico V(t) versus t em papel mono-log, conforme é mostrado na figura 5.11. 
O gráfico assim obtido no papel mono-log, será equivalente ao gráfico ln (V) versus t obtido 
no papel milimetrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.11: Gráfico da tensão (µV) versus tempo (ms) construído em papel mono-log. 
54 
 
 
Vejamos, então, como determinar as constantes A e B neste exemplo. O coeficiente 
angular da reta é dado por: 
d” = ∆b
”
∆_” =
(b	” − b)” )
(_	” − _)” ) = ž =
∆(Ÿ s)
∆– 
Se for no papel milimetrado (gráfico ln (V) versus t), temos ž = ∆(¡ax)∆ = (¡ax)]N(¡ax)[(]N[) 
 Porém, no papel mono-log a escala do eixo das ordenadas já é logarítmica, então 
ž = ∆(¡ax)∆ = (¡ax])N(¡ax[)(]N[) . Note bem a diferença e anote! 
 Quando se adota o papel milimetrado, um ponto da reta corresponde a (x'i, y'i) = [t1, (ln 
V)1], e quando se adota o papel mono-log, ponto da reta corresponde a (x'i, y'i) = [t1, ln (V1)]. 
Assim, escolhem-se dois pontos quaisquer da reta traçada em papel mono-log, indicando-os 
no gráfico (não podem ser pontos experimentais!): 
P2 = (x'2, y'2) = (t2, ln (V2)) = (45,00 x 10-3 s; ln (110,00 x 10-6 Volt)) 
P1 = (x'1, y'1) = (t1, ln (V1)) = (25,00 x 10-3 s; ln (20,00 x 10-6 Volt)) 
 Observe que os pontos foram lidos diretamente no gráfico. Logo, 
ž = (Ÿ s	) − (Ÿ s))(–	 − –)) =
Ÿ  ˆs	s)‰
(–	 − –)) =
Ÿ  Š110,0. 10N�20,0. 10N� Œ
(45,0 − 25,0). 10N, =
1,70474809
20,0. 10N, = 85,2374046	˜
N)
≅ 85,24	˜N) 
 A constante “A”, por sua vez, pode ser lida diretamente no gráfico, pois: 
V(t) = A eBt, então, V (t = 0) = A eB.0 = A.1 = A. 
 Seu valor corresponde ao ponto onde a reta corta o eixo vertical em t = 0, ou seja, “A” 
é o valor de V para t = 0, V (t = 0) = A. No caso (exemplo 4), 
A = 2,35 μVolt = 2,35 x 10-6 Volt (valor lido) 
 Quando não for possível determinar a constante "A" lendo diretamente no gráfico, 
deve-se escolher um ponto não experimental qualquer pertencente à reta, indicando-o no 
gráfico. Por exemplo, 
P3 = (t3, V3) = (33,00 x 10-3 s; 40,00 x 10-6 Volt) 
 E, uma vez determinada a constante “B”, pode-se calcular “A” diretamente da equação, 
isto é, 
š = s(–,)›œ¢ =
s,
›œ¢ =
40,0. 10N�
exp	m85,24 ∗ 33,0. 10N,n 
40,0. 10N�
16,658490 
 2,401178. 10N�	s¤Ÿ– 
 
A = 2,401178 x 10-6 Volt ≅ 2,40 μVolt (calculado) 
Os valores obtidos para as constantes "A" e "B", a partir do gráfico (V versus t) em 
papel mono-log, devem concordar com aqueles obtidos através de gráfico (ln (V) versus t) em 
papel milimetrado. Registre também, que o resultado, tanto da função logarítmica, quanto da 
função exponencial, é adimensional. Preste atenção a este fato, porque as unidades das 
constantes dependem disto. A unidade da constante dentro da exponencial (B no exemplo) é 
sempre a inversa da unidade de x', pois o argumento da função exponencial deve ser 
adimensional. Em resumo, quando a equação de um fenômeno físico for do tipo: y(x) = A.eBx, 
55 
 
o gráfico y(x) versus x em papel mono-log será uma reta, e as constantes"A" e "B" serão 
dadas por: 
ž 
 ∆(5�k)∆ 
 5�
(k])N5�(k[)
(g]Ng[) 
¡aˆ¥]¥[‰
(g]Ng[) e š 
x(¢)
¦§¨¢ (calculado), 
ou lido no gráfico A = y (x = 0) (lido). 
 
5.4.6 Construção de gráfico linear em papel Di-Log (Log versus Log) 
 Muitos fenômenos físicos são descritos por equações matemáticas do tipo: y(x) = k.xn, 
onde k e n são constantes. Para linearizar esta equação, existem duas possibilidades: 
 1a – Se n for conhecido, faz-se a comparação com a equação reduzida da reta e tem-se 
xn = x' e y(x) = y'(x'). O gráfico “y'(x') versus x'” (na verdade, “y(x) versus xn”) feito em papel 
milimetrado fornece uma reta. E então, basta calcular a constante k usando os procedimentos 
já conhecidos. No entanto, em geral, o valor de n é desconhecido; 
 2a – Se n for desconhecido, usa-se o papel di-log para facilitar. Vamos aprender a 
técnica de utilização do papel di-log para determinar constantes desconhecidas através do 
seguinte exemplo. 
Exemplo 5: Em um experimento realizado com uma lâmpada, mediu-se a corrente em função 
da tensão aplicada ao filamento incandescente, e foramobtidos os dados experimentais 
tabelados abaixo. 
Tabela 5.7. Tensão aplicada numa lâmpada em função da corrente elétrica. 
 
V(Volt) 0,600 2,500 4,000 11,500 26,000 49,000 
I (mA) 22,0 60,0 91,0 180,0 330,0 520,0 
 
 Sabendo que a equação que rege o fenômeno é do tipo: I(V) = C.Vw, onde C e w são 
constantes, o que devemos fazer para determiná-las a partir do gráfico? 
 O gráfico I versus V em papel milimetrado, como você pode verificar fazendo-o, 
fornece uma curva não linear. Portanto, devemos aplicar a técnica da linearização. Antes, 
porém, para podermos comparar a equação acima com a equação reduzida da reta, é 
necessário aplicar a função inversa da função de potência, que é o logaritmo (na base 10), 
como segue: 
logmq(s)n 
 logmz. s«] = log[z] + log[s«] = log[z] + ¬. log [s] 
Comparando com a equação reduzida da reta: y’(x’) = a’x’ + b’, temos: 
Log [I(V)] = y’(x’); w = a’; log [V] = x’ e log [C] = b’ 
Sabemos que o gráfico “y'(x') versus x'” é uma reta, então, por analogia, o gráfico em 
que a curva aparece linearizada (reta) é dado por “log [I(V)] versus log[V]”. 
I(V) versus V ⇒ gráfico não linear 
y'(x') versus x' ⇒ log [I(V)] versus log [V] ⇒ gráfico linear 
Você pode verificar que esse gráfico é linearizado no papel milimetrado, construindo-o 
de acordo com os passos descritos anteriormente. Inclusive, você pode calcular as constantes 
w e C. Seguem algumas expressões que você vai desenvolver. 
d” = ∆b
”
∆_” =
(b	” − b)” )
(_	” − _)” ) = ¬ =
∆(log q)
∆(log s) =
(Ÿ¤­q)	 − (Ÿ¤­q))
(Ÿ¤­s)	 − (Ÿ¤­s)) 
b’ = y’3 – a’. x’3 = log [C] = (log I)3 – w.(log V)3 , logo C = 10b’ 
56 
 
 
É evidente que essa linearização é trabalhosa, pois é preciso calcular uma nova tabela 
para, a partir dela, construir o gráfico que fornece uma reta. Para evitar todo este trabalho 
existe o papel di-log, que consiste de um papel quadriculado, onde ambos os eixos, o eixo das 
abcissas e o eixo das ordenadas, têm uma escala logarítmica de base 10, dividida em décadas 
(cada década multiplica por 10 os valores da década anterior). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.12: Modelo de papel Di-Log. 
 
57 
 
 Cada década do papel di-log pode variar entre os múltiplos ou submúltiplos de 1 a 10. 
Entre o início de uma década e o de outra subsequente, há uma diferença de um fator de dez. 
Isto significa que, se a primeira linha da primeira década vale 1 (1x100), a primeira linha da 
segunda década vale 10 (1x101), e a primeira linha da terceira década vale 100 (1x102). Isto 
significa também que, se a última linha da primeira década vale 10 (1x101), a última linha da 
segunda década vale 100 (1x102), e a última linha da terceira década vale 1000 (1x103). Na 
figura 11, a seguir, estão representadas modelo de um papel Di-Log com três num eixo 
(abcissas) e duas décadas no outro eixo (ordenadas). Em geral o papel di-log tem duas 
décadas no eixo das ordenadas e três décadas no eixo das abcissas (modo paisagem). 
 Sendo logarítmica a escala dos eixos, estão representados diretamente, não os valores, 
mas sim os logaritmos desses valores. Não existe o valor zero no eixo logarítmico, uma vez 
que a função logaritmo não é definida para este ponto. A escala pode ser iniciada de um valor 
qualquer em potência de dez, NUNCA DE ZERO. Pode iniciar em 1x10-4; 0,001; 0,01; 0,1; 1; 
10; 100; 1000; 1x104; ... 
 No Exemplo 5, que estamos considerando, optamos pela utilização do papel di-log, 
assim, não é mais necessário calcular todos os logaritmos dos valores tabelados, como seria 
feito se fosse utilizado o papel milimetrado. Basta que sejam indicados os pontos tabelados 
diretamente no gráfico I (V) versus V em papel di-log, conforme é mostrado na figura 5.13, a 
seguir. 
 O gráfico assim obtido no papel di-log, será equivalente ao gráfico log [I] versus log 
[V] obtido no papel milimetrado. Vejamos, então, como determinar as constantes C e w neste 
exemplo. 
O coeficiente angular da reta é dado por: 
 
d” = ∆b
”
∆_” =
(b	” − b)” )
(_	” − _)” ) = ¬ =
∆(log q)
∆(log s) 
 
Se for feito no papel milimetrado (gráfico de log [I] versus log [V], temos 
¬ = ∆(log q)∆(log s) =
(Ÿ¤­q)	 − (Ÿ¤­q))
(Ÿ¤­s)	 − (Ÿ¤­s)) 
 
Porém, no papel Di-log as escalas dos eixos são logarítmicas, então, 
 
¬ = ∆(¡®¯ °)∆(¡®¯ x) = ¡®¯ (°])N¡®¯ (°[)¡®¯ (x])N¡®¯ (x[) . Note bem a diferença e anote! 
 Quando se adota o papel milimetrado, um ponto da reta corresponde a (x'i, y'i) = [(log 
V)i, (log I)i], e quando se adota o papel di-log, um ponto da reta corresponde a (x'i, y'i) = [log 
(Vi), log (Ii)]. 
Em papel milimetrado ⇒ (x'i, y'i) = [(log V)i, (log I)i] 
Em papel di-log ⇒ (x'i, y'i) = [log (Vi), log (Ii)]. 
 Assim, escolhem-se dois pontos quaisquer da reta traçada em papel di-log, indicando-
os no gráfico (não podem ser pontos experimentais!): 
P2 = (x'2, y'2) = (log (V2), log (I2)) = (log (20,000 Volt); log (280,0 x 10-3 A)) 
P1 = (x'1, y'1) = (log (V1), log (I1)) = (log (1,000 Volt); log (30,0 x 10-3 A)) 
58 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.13: Gráfico da corrente elétrica versus tensão em um papel Di-Log. 
 
Observe que os pontos foram lidos diretamente no gráfico. Logo, 
59 
 
¬ = ∆(log q)∆(log s) =
Ÿ¤­ ˆq	q)‰
Ÿ¤­ ˆs	s)‰
=
Ÿ¤­ Š280,0. 10N,30,0. 10N, Œ
Ÿ¤­ ˆ20,01,0 ‰
= 0,970036781,3010300 = 0,74559140 ≅ 0,746 
 Observe que o resultado da função logarítmica é adimensional, portanto, w é um 
número puro. Como era de se esperar, pois w é um expoente. 
A constante C, por sua vez, pode ser lida diretamente no gráfico, pois: 
I(V) = C Vw, então, I (V = 1) = C.1w = C.1 = C 
 Seu valor corresponde ao ponto onde a reta corta a linha vertical que passa em V = 1, 
ou seja, C é o valor de I para V = 1, I (V = 1) = C. No caso (exemplo 5), 
C = 30,0V–0,746 (lido) [mAV] 
 Coincidentemente, este é o ponto P1, o qual escolhemos para calcular o coeficiente 
angular. Quando não for possível determinar a constante C lendo diretamente no gráfico, 
deve-se escolher um ponto não experimental qualquer pertencente à reta, indicando-o no 
gráfico. 
P3 = (V3, I3) = (5,000 Volt; 100,0 x 10-3 A) 
E, uma vez determinada a constante w, pode-se calcular C diretamente da equação, 
isto é, 
z = q,s,« =
100,0—š
[5,000 ¶¤Ÿ–]�,�-� = 30,1001304 ≅ 30,1—š. s¤Ÿ–N�,�-� 
 
C = 30,1V-0,746 (calculado) [mAV] 
 Os valores obtidos para as constantes C e w, a partir do gráfico [I versus V] em papel 
di-log, devem concordar com aqueles obtidos através de gráfico [log (I) versus log (V)] em 
papel milimetrado. 
 Em resumo, quando a equação de um fenômeno físico for do tipo: y(x) = k.xn, o 
gráfico y(x) versus x em papel di-log será uma reta, e as constantes k e n serão dadas por: 
  = ∆(54‡ k)∆(54‡ g) = 54‡( k])N54‡( k[)54‡( g])N54‡( g[) , e | =
k¢
(g¢)i (calculado), 
ou lido no gráfico k = y (x = 1) (lido) 
 
É interessante, ainda, chamar sua atenção para a unidade [análise dimensional], no 
caso desse tipo de função, veja: 
y(x) = kxn, então, [y] = [k].[x]n e, portanto, a unidade de k é dada por: [k] = [y].[x]-n 
5.5 Atividades e Questões 
 
Faça os exercícios a seguir obedecendo às regras para a construção de gráficos. Respeite 
as operações com algarismos significativos e os critérios de arredondamento. Apresente os 
resultados com a unidade adequada. Estes gráficos devem ser feitos utilizando os papeis e 
formatos adequados (mm, mono-log ou di-log). Não deverão ser utilizados softwares de 
planilha eletrônica e/ou estatística. 
60 
 
 
5.5.1 Num experimento sobre MRUV, um grupo de alunos obteve os seguintes dados: 
x (m) 8,0 61,0 200,0 317,0 402,0 
t (s) 2,0 8,015,0 18,0 20,0 
 
(a) Faça o gráfico “x(t) versus t” em papel milimetrado. Observe o tipo de curva obtida (é 
linear?). 
(b) Faça a curva “x(t) versus t2” para linearizá-lo. 
(c) Determine os coeficientes angular e linear da reta obtida. 
(d) Escreva a equação para x(t), ajustada aos coeficientes calculados. 
 
5.5.2 Os dados abaixo tabelados estão relacionados por uma equação do tipo: y(x) = a.xn 
Y (L) 3,21 5,31 8,23 15,00 26,10 53,80 
x (h) 1,69 4,93 10,97 28,47 88,83 288,00 
 
(a) Faça um gráfico “y(x) versus x” em papel milimetrado. Observe o tipo de curva obtida 
(é linear?). 
(b) Para linearizá-la, faça o gráfico “log(y) versus log(x)” em papel milimetrado. 
(c) Determine os coeficientes angular e linear da reta obtida. 
(d) Faça o gráfico “y(x) versus x” em papel di-log. 
(e) Determine os coeficientes angular e linear da reta obtida. 
(f) Compare os resultados obtidos para as constantes ‘a’ e ‘n’, nos dois tipos de papéis. 
 
5.5.3 Os dados tabelados estão relacionados por uma equação do tipo: y(x) = a.ebx. 
 
Y (mC) 2410 826 419 348 104 22 
x (s) 1,37 3,39 4,57 4,71 7,02 9,48 
 
(a) Trace um gráfico “y(x) versus x” em papel milimetrado. Observe o tipo de curva 
obtida (é linear?). 
(b) Para linearizá-la, faça o gráfico “ln(y) versus x” em papel milimetrado. 
(c) Determine os coeficientes angular e linear da reta obtida. 
(d) Faça o gráfico “y(x) versus x” em papel mono-log. 
(e) Determine os coeficientes angular e linear da reta obtida. 
(f) Compare os resultados obtidos para as constantes a e b, nos dois tipos de papéis. 
61 
 
 
 
5.5.4 Um dos métodos para medir a constante elástica de uma mola é o Método Dinâmico, 
que consiste em colocar massas diferentes na extremidade de uma mola e fazê-la oscilar, 
medindo, para cada massa diferente, o período de oscilação. A equação que relaciona as duas 
variáveis (período T e massa m) é T = 2π(m/k)1/2, onde k é a constante elástica. Os valores 
tabelados abaixo foram obtidos experimentalmente, 
 
T (s) 0,703 1,062 1,251 1,472 1,640 
m (kg) 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 
 
(a) Trace um gráfico T(m) versus m em papel milimetrado. Observe o tipo de curva 
obtida (é linear?). 
(b) Determine, a partir de um gráfico linear em papel milimetrado a constante elástica da 
mola (k). 
(c) Faça uma análise dimensional e escreva a unidade da constante k. 
 
5.5.5 Em um experimento em que o vapor de água tem a sua pressão medida para várias 
temperaturas, foram obtidos os seguintes resultados: 
 
P 
(mmHg) 
2,149 4,579 14,532 50,218 149,381 355,239 
T (K) 263,2 273,1 293,2 313,1 333,1 353,2 
 
Sabe-se que P(T) = P0e-λ/RT, onde R = 8,314 J/mol.K. Escolhendo o papel adequado, faça 
um gráfico: 
(a) P(T) versus T em papel milimetrado. Observe o tipo de curva obtida (é linear?). 
(b) Em que a curva seja linear, e a partir dele, calcule P0 e λ, com suas respectivas 
unidades. 
 
5.5.6 Em um experimento para determinar a taxa por unidade de tempo e por unidade de área, 
com que a energia de uma onda eletromagnética flui, foram colhidos os dados: 
 
S (W/m2) 18,00 35,00 65,00 110,00 150,00 
E (V/m) 80,0 120,0 160,0 200,0 240,0 
 
Sabendo-se que S(E) = A.EB, escolha o papel adequado para a linearização. 
(a) Trace um gráfico S(E) versus E em papel milimetrado. Observe o tipo de curva obtida 
(é linear?). 
(b) Determine, a partir do gráfico linear as constantes A e B, com suas respectivas 
unidades. 
62 
 
EXPERIMENTO 6 
 
CINEMÁTICA DE TRANSLAÇÃO - LANÇAMENTO HORIZONTAL 
 
6.1 Objetivos 
• Reconhecer no lançamento horizontal de um projétil, a combinação de dois 
movimentos retilíneos. 
• Identificar corretamente a grandeza alcance adquirida num lançamento horizontal de 
um projétil a partir de uma rampa. 
• Medir corretamente o alcance com o seu respectivo desvio. 
• Relacionar a altura da posição de largada do projétil com o alcance adquirido. 
• Determinar a partir das equações de movimento o tempo de queda do projétil. 
• Calcular a velocidade de lançamento do projétil. 
• Determinar a velocidade resultante em trechos do movimento. 
6.2 Material 
• 01 rampa principal, sustentação regulável para apoio da esfera alvo e suporte com 
espera; 
• 01 conjunto de sustentação com escala linear milimetrada, haste e sapatas niveladoras 
amortecedoras; 
• 01 fio de prumo com engate rápido; 
• 01 esfera metálica de lançamento; 
• 02 folhas de papel carbono; 
• 02 folhas de papel ofício ou milimetrado; 
• 01 régua milimetrada; 
• 01 cronômetro; 
• Fita adesiva; 
• Nível. 
6.3 Introdução 
 
 Quando tratamos, no ensino médio, de lançamentos (horizontal ou oblíquo) um 
experimento simples, em princípio, que pode ser feito é o de uma esfera sendo abandonada 
em uma calha circular (Figura 6.1). O uso da esfera neste caso se justifica devido à anulação 
do efeito da força de atrito sobre a velocidade de translação do corpo lançado (o sistema é 
conservativo se não há deslizamento). 
 No caso de um bloco, por exemplo, para sabermos a velocidade de lançamento 
teríamos que saber quanta energia foi dissipada pelo sistema devido ao trabalho da força de 
atrito, ou seja, neste caso, a energia potencial do corpo no topo da calha não seria igual à sua 
energia cinética na base da mesma. Nem é preciso chamar a atenção para o fato de que o 
63 
 
cálculo dessa energia dissipada pode ser demasiadamente complicado 1 , mudando 
completamente o foco do experimento que é, simplesmente, a análise da trajetória (e, 
consequentemente do alcance) dos referidos lançamentos. Uma alternativa, portanto, é o uso 
de um corpo esférico ou de um disco o que reduz bastante o efeito da força de atrito sobre o 
corpo. Porém, nesse caso, um novo fator deve ser levado em conta: o momento de inércia. 
Entretanto, trataremos desta grandeza em um momento posterior com mais detalhes. 
6.4 Teoria do Experimento 
 
 Um corpo pode ser lançado em várias direções, entretanto, é possível reduzi-los 
analiticamente em três tipos: o lançamento de corpos na horizontal, na vertical e oblíquo. 
Analisaremos neste experimento o lançamento horizontal que é a composição do movimento 
retilíneo uniforme e da queda livre. A seguir faremos uma discussão sobre o lançamento 
horizontal, mas antes apresentaremos uma revisão dos movimentos que o compõem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.1: Formas de lançamento de um projétil. 
 
 O lançamento horizontal mais simples que existe é aquele onde o corpo é lançado para 
a esquerda ou para a direita com uma velocidade inicial diferente de zero, de um nível de 
referência h = 0. Neste caso o corpo desenvolve um movimento retilíneo uniforme, ou seja, na 
ausência de forças, o corpo se desloca em linha reta com velocidade constante igual a 
velocidade de lançamento v0. 
 
 
 
 
Figura 6.2: Lançamento horizontal de um projétil. 
 O lançamento horizontal, objeto de nosso estudo, ocorre quando um corpo é lançado 
com velocidade inicial ¶·�, para direita ou para esquerda de uma altura h em relação ao solo, 
como mostra a figura 6.3. Este movimento descreve uma trajetória parabólica, resultante da 
composição de dois movimentos: O movimento retilíneo uniforme na horizontal e a queda 
livre na vertical. 
 
1 Por exemplo, precisaríamos conhecer o coeficiente de atrito entre o corpo e a calha bem como o comprimento exato da 
calha para podermos calcular o trabalho da força de atrito. Além disso, como esta força depende da normal, e essa varia com 
a curvatura da calha, a determinação desse trabalho torna-se, portanto, impossível no ensino médio. 
h 
64 
 
h
ov
r
 
 
Figura 6.3: Movimento em uma trajetória parabólica. 
 
 Para entender a composição desses dois movimentos, imagine uma moeda sendo 
lançada horizontalmente paraa direita de uma altura h e outra moeda sendo abandonada em 
queda livre ao mesmo tempo, conforme a figura 6.4. 
 
h
0=
o
v
r 0≠ov
r
 
 
Figura 6.4: Composição do movimento em uma trajetória parabólica. 
 
 O movimento da moeda lançada horizontalmente para a direita é uma composição de 
dois movimentos: um uniforme na horizontal, com velocidade inicial ¶·� e um uniformemente 
variado vertical, idêntico ao movimento da moeda em queda livre. O fato de as moedas 
chegarem simultaneamente (ao mesmo tempo) ao chão está de acordo com o Princípio de 
Galileu: o tempo gasto no movimento resultante é igual ao tempo gasto em cada um dos 
movimentos componentes. 
A fim de estudar os movimentos componentes de um lançamento horizontal 
separadamente, adota-se a posição de lançamento para a origem de um sistema de 
coordenadas. Utilizando essa origem traçam-se os eixos Ox e Oy orientados conforme o 
esquema da figura 6.5. 
 
65 
 
h
ov
r
X
Y
xv
r
yv
r
xv
r
yv
r
v
r
v
r
O
O Ax
O
B
 
 
Figura 6.5: Decomposição do vetor velocidade v¸·. 
 
 Na horizontal nada se opõe ao movimento da moeda na direção Ox, por isso pode-se 
afirmar que na direção horizontal a moeda realiza um movimento uniforme de velocidade 
constante oox vv = . 
 Portanto, no instante t a coordenada x vale: 
 
tvx ox= (6.1) 
Ou apenas: 
tvx o= (6.2) 
 
 Na direção vertical, ou seja, ao longo de yO , a moeda realiza um movimento de queda 
livre (o corpo é abandonado) com aceleração de módulo ga += . A equação horária do 
movimento em yO . 
 
gtvv oyy += (6.3) 
2
2
1
. gttvy oy += (6.4) 
 
 Já que 0=oyv e 0=oys , condições iniciais do movimento na direção vertical. Em um 
instante t qualquer, a coordenada y e a velocidade na vertical serão dadas por: 
 
2
2
1 gty = (6.5) 
 gtvy = (6.6) 
 
 No plano de referência (OXY) que foi mostrado na figura 6.5, a distância AO é 
denominada alcance (A) que é definido como a distância máxima atingida pelo corpo na 
66 
 
horizontal e expressa pela coordenada x. A distância OB é a altura (h), dada pela coordenada 
y. Logo, tem-se que: 
2
2
1 gth = (6.7) 
tvx o= (6.8) 
 Substituindo na equação (6.6) um tempo t, qualquer, pelo tempo de queda ( qt ) que é 
definido como o tempo que o corpo atinge o solo e usando o Princípio da simultaneidade de 
Galileu, tem-se: 
g
h
tgth qq
2
2
1 2
=⇒= (6.9) 
 
 Substituindo o valor de qt na equação (6.8), encontra-se o alcance do movimento, 
g
h
vA o
2
= (6.10) 
 
 Ao analisar as velocidades do lançamento horizontal observa-se que a velocidade vr 
da moeda, no instante t, será dada pela soma vetorial das componentes xv
r
 e yv
r
 
yx vvv
rrr
+= (6.11) 
 
 Sendo que xv
r
 e yv
r
 são perpendiculares entre si e o módulo será calculado por: 
222
yx vvv += (6.12) 
 
 O vetor velocidade em um instante t, é tangente a trajetória, como é possível observar 
na figura 6.5 e suas componentes xv
r
e yv
r
 têm módulos: 
 
ox vv = 
gtvy = 
 
 Substituindo os valores de xv e yv na equação (6.12), o valor do módulo da 
velocidade v , em qualquer instante será dado por: 
 
2222
.tgvv o += (6.13) 
6.5 Descrição Experimental 
 
6.5.1 Procedimento 
 
 Nivele horizontalmente a base da rampa, que deve estar paralela à bancada (use o 
nível). Para garantir, no momento de lançamento horizontal da esfera, a ausência da 
componente vertical da velocidade. 
 Execute a montagem conforme a figura 6.6 (Fixando a rampa na haste). 
 Com uma tira de fita adesiva, emende as duas folhas de papel carbono. 
67 
 
 Faça o mesmo com as duas folhas de papel ofício. 
 Uma as folhas de papel ofício com as de papel carbono, sendo que o lado carbonado 
deve estar voltado para a face do papel ofício, pois, desejamos marcar os pontos de impacto 
do corpo lançado. 
 Antes de fixar as folhas na mesa ou piso do laboratório, faça um teste de lançamento a 
fim de verificar a posição de impacto do objeto. Assim você garantirá que o objeto cairá sobre 
as folhas de papel. 
 Fixe com a fita adesiva as folhas na superfície de impacto levando em consideração o 
ponto de referência alinhado pelo prumo. 
 Utilizando o prumo, marque no papel (ou superfície) a posição que fica verticalmente 
abaixo da saída da rampa (esta será a posição inicial xo , veja figura 6.6). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.6: Decomposição do vetor velocidade v¸·. 
 
6.6 Atividades e Questões 
 
PARTE 1: Determinação do alcance num lançamento horizontal. 
 
6.6.1 Solte a esfera de aço do ponto de desnível 50,0 mm existente na escala da rampa. Ela 
irá percorrer a canaleta e fará um voo até colidir com o papel carbonado. 
Obs.: Cuide para que a esfera “pique” somente uma vez sobre o papel. 
Levante com cuidado o papel carbono (Cuidado para não perder a referência!), olhe 
atentamente a superfície do papel e descreva o que você observou no ponto de impacto. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
Assinale esta marca com o número 1 para não a confundir com outras que ainda serão 
produzidas. 
68 
 
 
6.6.2 Meça a distância existente entre a marca ox e a marca indicada pelo no 1 e anote o 
valor. 
___________________________________________________________________________ 
 
6.6.3 Tente reproduzir 5 lançamentos iguais, abandonando a esfera da mesma posição de 
largada (ponto de desnível 50,0 mm). Anote os valores e calcule a média. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
6.6.4 São coincidentes as marcas deixadas por esses lançamentos? Justifique a sua 
resposta. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
Observação: Caso algum lançamento caia muito distante dos demais, despreze-o e refaça 
o lançamento. 
 
6.6.5 Com o compasso, desenhe o menor círculo que contenha (em seu interior) a 
totalidade das marcas produzidas pelos 5 lançamentos. 
A medida do raio deste círculo ( cR ) fornece a “imprecisão máxima da medida do alcance” 
ou “desvio da medida do alcance”, representando a incerteza da medida neste experimento. 
Anote aqui o valor de Rc: ________________________________ 
 
6.6.6 Determine o desvio da medida do alcance neste experimento. Calcule o desvio das 5 
medições e compare com o raio do círculo feito no item 6.6.5. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
O valor médio do alcance ( A ) é dado pela distância entre a marca ox (feita abaixo do 
prumo) e a marca cx (centro do círculo traçado). 
coxxA = =___________________.Compare com o calculado no item 6.6.3. São iguais? 
Justifique. ________________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
 
A partir de agora, você irá registrar todas as medidas de alcance com o desvio obtido pela 
medida do raio do círculo. )( DAA ±= =_________________ 
6.6.7 Escolhas quatro posições de largada diferentes, ao longo de toda a rampa, 
denominando-as de A, B, C e D, faça 5 lançamentos de cada posição e anote os valores a fim 
de obter as médias. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________ 
 
69 
 
6.6.8 Complete a Tabela 1 com o desnível da altura vertical (h) existente na escala da 
rampa para cada posição de largada escolhido e anote o valor médio obtido 5 alcances. 
Tabela 1 
Posição Altura h (mm) Alcance x (mm) 
A 
B 
C 
D 
 
6.6.9 Analisando os dados da Tabela 1 você diria que a altura num lançamento horizontal 
influi no alcance? Justifique a sua resposta. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
6.6.10 Determine uma possível relação entre o alcance e a altura do lançamento (desnível 
entre a posição de largada da rampa e a posição de saída). 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
PARTE 2: Determinação da velocidade final de um projétil, através do alcance, num 
lançamento horizontal. 
 
6.6.11 Troque a folha de papel oficio, e utilize o prumo para marcar no papel a posição ox 
que fica verticalmente abaixo da extremidade da rampa. 
 
6.6.12 Realize 5 lançamentos, a partir do ponto de largada localizado a 60 mm de desnível 
em relação à saída da rampa. Para cada lançamento, um componente da equipe, ficará 
responsável por anotar o tempo de queda da esfera e anotar na tabela 2. 
 
Tabela 2 
Lançamentos Tempo de queda (s) 
1 
2 
3 
4 
5 
 
Calcule o tempo de queda médio: _______________=t 
Trace no anteparo de papel o círculo cujo raio r representa o “desvio da medida do 
alcance”, assinalando o seu centro com a letra cx . 
A partir do ponto ox , trace o vetor deslocamento horizontal ox cx e determine o seu 
módulo. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
70 
 
Determine o alcance médio, como foi realizado na parte 1. 
co xxA = =_______________ 
 
6.6.13 Determine a altura “h” percorrida pelo móvel (desnível entre o ponto de saída da 
rampa e o plano da folha de papel). 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
A partir dos dados experimentais e análise do movimento trace o gráfico, em papel 
milimetrado, da equação da trajetória (Y versus X) descrita pelo móvel durante o voo. 
 
6.6.14 Identifique que tipo de movimento horizontal que o móvel executou, a partir do 
instante em que ele abandonou a rampa. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
6.6.15 Trace sobre a curva da trajetória, a orientação do vetor velocidade do móvel nos 
seguintes pontos: 
 
Ao abandonar a rampa; 
No ponto intermediário do voo; 
No ponto de impacto com o solo. 
 
6.6.16 Represente sobre a curva da trajetória, as componentes ortogonais da velocidade (
xv e yv ) respectivamente nos três pontos do item anterior. 
 
6.6.17 Identifique o tipo de movimento vertical que o móvel executou. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
6.6.18 Determine o valor de oyv no instante em que a esfera abandonou a rampa. 
oyv = _________________ 
6.6.19 Considerando este movimento como ideal, calcule o intervalo de tempo que o 
móvel ficou no ar, desde o instante em que abandonou a rampa até o momento de seu impacto 
com o papel aplique as equações do movimento de queda livre, ou seja, calcule o tempo de 
queda através da altura “h”. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
6.6.20 Compare os resultados do tempo de queda obtido pelo cronômetro com o calculado 
através da equação de queda livre. Discuta os resultados. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
71 
 
 
6.6.21 Utilize o tempo de queda calculado para determinar o módulo yv da componente 
vertical da velocidade, no instante em que o móvel tocou a folha de papel. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
Observe que no mesmo intervalo de tempo em que o corpo cai, ele percorre, na direção 
horizontal, uma distância conhecida como alcance médio. 
 
6.6.22 Com o alcance e o tempo de queda conhecidos, determine o módulo xv da 
componente horizontal da velocidade no instante em que o móvel toca a folha de papel. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
6.6.23 Determine o módulo da velocidade total ov no ponto inicial do voo. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
6.6.24 Calcule o módulo da velocidade total v no ponto de impacto com o solo. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
EXPERIMENTO 7 
 
FORÇA ELÁSTICA 
 
7.1 Objetivos 
 
Verificar experimentalmente a Lei de Hooke (Elasticidade dos materiais sólidos). 
7.2 Material 
• Um tripé grande em forma de A 
• Uma barra grande 
• Uma barra pequena 
• Uma presilha universal 
• Um conjunto de massas aferidas 
• Uma mola ou duas de materiais diferentes 
• Uma régua milimetrada 
• Papel milimetrado 
7.3 Teoria do Experimento 
 
No cotidiano, há situações em que certos materiais (sólidos) são submetidos a 
deformações. Quando um automóvel passa num buraco, as molas e amortecedores que fazem 
parte de sua suspensão são comprimidos, amortecendo o choque,evitando assim, danos ao 
veículo. Há alguns anos foram criados tênis com um tipo de material amortecedor nos 
calcanhares a fim de reduzir os impactos dos mesmos com o solo; existem motores que 
utilizam correias tencionadas (esticadas) para transmitirem sua potência. É possível enumerar 
com facilidade uma série de situações onde certos materiais (sólidos) estão submetidos a uma 
distensão ou compressão, mas sem danificar. 
De modo mais geral, o modelo para análise dos líquidos deve-se a Isaac Newton (1642-
1727), equação 7.1: 
 
¹ 
 º. v»v → v»v = vv ˆ∆¼¼½‰ [Fluido Newtoniano]; (7.1) 
 
e o modelo para sólidos deve-se a Robert Hooke (1635-1703), equação 7.2: 
 
¹ = ¾. • → • = ∆¼¼½ [Sólido Hookeano]. (7.2) 
Na equação 7.1, a constante de proporcionalidade “µ” é denominada de viscosidade 
dinâmica, cuja unidade é [Pa.s] ou [kg/s/m]. Na equação 7.2, “G” é a constante de Lamé 
(Gabriel Léon Jean Baptiste Lamé, matemático francês [1795 - 1870]), cuja unidade é [Pa]. 
Estes dois modelos expressam uma importante diferença existente entre um fluido e um sólido. 
Entretanto, há fluidos e sólidos que têm comportamento não linear de tensão versus 
deformação. 
Robert Hooke, cientista inglês do século XVII constatou que havia uma relação de 
proporcionalidade entre a tensão (σ), tração ou compressão, à qual era submetido certo 
73 
 
material sólido, e sua deformação ε = ΔL/L0. De modo mais simplificado e, considerando a 
distensão em apenas uma direção, |À·| ∝ |_·|. Para que esta proporção se transforme numa 
equação, Hooke propôs um coeficiente de proporcionalidade batizado de constante elástica k 
(módulo de elasticidade ou módulo de Young), que mudava com o tipo de material, a 
temperatura e a geometria do corpo. Assim, 
 
|À|¸¸ ¸¸ ·¸ 
 |. |_|¸¸¸¸ ·¸ , onde _ =  − Â� (7.3) 
 
Todo material sólido, quando comprimido ou distendido, deforma-se. Deste modo, 
imaginemos, por exemplo, uma mola de aço com comprimento natural oL (comprimento da 
mola sem que ela esteja nem comprimida nem distendida), com uma de suas extremidades 
presa e a outra sendo puxada, ver figura 7.1. Se soltar a mola, ela volta ao seu comprimento 
natural oL , o que indicaria a presença de uma força restauradora. O mesmo aconteceria se 
comprimir à mola, ou seja, quando a soltar, ela tenderia a retornar à posição de origem. 
 
L
L0
M
 
 
Figura 7.1: Conjunto massa-mola 
 
Cada material sólido tem um limite de deformação no qual ele retorna a sua posição de 
origem e que é chamado de limite elástico. Ultrapassando este limite o material entra na fase 
plástica, onde a deformação não é mais reversível; ultrapassando o limite plástico, o material 
se rompe. Portanto deve-se ter cuidado e atenção no experimento para não danificar os 
materiais. 
7.4 Descrição Experimental 
 Observe a figura 7.2 e monte a estrutura a fim de fixar as molas (materiais elásticos) na 
posição vertical sobre a bancada. Para molas com comprimento maiores que 50% do 
comprimento da barra maior, posicione o sistema próximo a borda da bancada para que seja 
possível pendurar as massas sem que estas encostem na superfície da bancada. 
 
Considere que 100,0 g = 100,0 gf ≅ 1,0 N (Isto porque estamos adotando g ≅ 10,0 m/s2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.2: Estrutura para fixação do conjunto massa-mola. 
74 
 
 7.4.1 Procedimento 
 
7.4.1.1 Prenda a barra maior ao tripé; em seguida, prenda a presilha à barra maior e a barra 
menor à presilha formando um T; depois, prenda uma das extremidades da mola à barra 
menor, prenda uma massa de 50,0 g na outra extremidade (a fim de diminuir prováveis 
compressões) e meça com régua o comprimento natural da mola oL (mínimo de 5 medições). 
Escolha um ponto de referência para efetuar as medições. 
 
Tabela 7.1. Medidas do comprimento Inicial das molas. 
 
Medidas Comprimento inicial Lo1 
(mm) 
Comprimento inicial Lo2 
(mm) 
Comprimento inicial Lo3 
(mm) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
Média 
Desvio 
 
7.4.1.2 Em seguida, faça um diagrama representativo das forças que atuam sobre a massa 
suspensa na mola (ver figura 7.2). Para estabelecer uma relação de proporcionalidade entre a 
força aplicada à mola e a deformação (L) que ela sofre, vamos sistematizar o experimento 
usando incrementos de massas aferidas de 50,0 g. 
Agora, além da massa pré-fixada acrescente mais uma massa de 50,0 g na extremidade da 
mola e siga os procedimentos seguintes. Qual o valor da força, em N? ____________ 
 
7.4.1.3 A deformação x da mola para esta 1ª medição é _______________ . Considere que 
oLLx −= . 
 
7.4.1.4 Em seguida, aumente a massa variando de 50,0 em 50,0 g, até limite máximo de 500,0 
g e anote os comprimentos L. Por fim, calcule suas deformações x preenchendo as colunas da 
tabela a seguir: 
 
Tabela 7.2. Medidas do comprimento e deformação da mola 1. 
 
Medidas Massa (kg) F=Peso (N) L1 (m) L2 (m) Lm(m) x (m) = Lm – L0 k (N/m) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
Média - - - - - - 
Desvio - - - - - - 
 
7.4.1.5 Trace, em papel milimetrado, o gráfico da Força versus o deslocamento. Observe o 
aprendizado obtido nos experimentos anteriores. 
 
75 
 
7.4.1.6 Determine o valor da constante de proporcionalidade médio e seu desvio. 
 
7.4.1.7 Através da análise dos gráficos, escreva a expressão matemática entre F, x e k 
(constante de proporcionalidade): _________________________________________ 
 
Esta é a chamada Lei de Hooke para o material experimentado. Refaça as medições para uma 
segunda e terceira mola de material distinto e obtenha os resultados anteriores. 
 
Tabela 7.3. Medidas do comprimento e deformação da mola 2. 
 
Medidas Massa (kg) F=Peso (N) L1 (m) L2 (m) Lm(m) x (m) = Lm – L0 k (N/m) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
Média - - - - - - 
Desvio - - - - - - 
 
Tabela 7.4. Medidas do comprimento e deformação da mola 3. 
 
Medidas Massa (kg) F=Peso (N) L1 (m) L2 (m) Lm(m) x (m) = Lm – L0 k (N/m) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
Média - - - - - - 
Desvio - - - - - - 
 
7.4.1.8 Determine graficamente o valor das constantes elásticas k (pontos não experimentais e 
sim da reta gerada pelo método dos mínimos quadrados). 
 
Obs.: Ao analisar o gráfico desconsidere os três primeiros pontos. Por quê? 
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
76 
 
7.5 Atividades e Questões 
 
7.5.1 O que representa a constante elástica k no gráfico? 
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________ 
 
7.5.2 De que depende a constante elástica k dos materiais? 
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________ 
 
7.5.3 Cite exemplos ainda não citados neste experimento onde a lei de Hooke está envolvida. 
____________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________ 
 
7.5.4 Quais as dificuldades encontradas na determinação da constante elástica? Por quê? 
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________ 
 
7.5.5 Como você poderia construir uma balança de fácil construção e baixo custo? O que 
poderíamos afirmar sobre essa precisão? 
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
77 
 
EXPERIMENTO 8 
 
FORÇA DE ATRITO EM PLANO HORIZONTAL E INCLINADO
 
8.1 Objetivos 
Determinar as forças de atrito estático, a força normal de reação e a força de atrito 
cinético bem como os coeficientes de atrito estático e cinético de um corpo em relação a uma 
superfície horizontal e inclinada. 
8.2 Material 
• Dinamômetros 
• Blocos de madeira com gancho 
• Blocos de madeira emborrachado com gancho 
• Régua milimetrada 
• Plano Inclinado com transferidor 
8.3 Descrição 
Toda vez que se puxa um corpo sobre uma superfície, aparece uma força contrária 
àquela exercida. Digamos que o corpo esteja inicialmente em repouso. A resultante das duas 
forças será nula se elas tiverem o mesmo módulo e o corpo permanecer em repouso. Se a 
força exercida é ligeiramente maior que a força contrária o corpo entra em movimento. Estas 
forças que se opõem ao movimento do corpo ou mesmo à sua tendência de entrar em 
movimento são denominadas forças de atrito. 
8.4 Teoria do Experimento 
A força de atrito é uma força dissipativa, isto é, ela absorve energia do movimento e 
aquece as superfícies de contato. Verifica-se experimentalmente que a sua intensidade 
depende das superfícies em contato e do módulo da força normal á superfície que atua sobre o 
corpo. 
 
8.4.1 Força de atrito no plano horizontal 
 
Um corpo apoiado sobre uma superfície horizontal fica sujeito à ação da força-peso (
P
r ) direcionado verticalmente para baixo e uma força contrária verticalmente para cima que é 
a reação da superfície ao corpo que chamamos de força normal ( N
r
). Ver a figura 8.1. 
P
r
N
r
 
Figura 8.1. Bloco apoiado sobre uma superfície horizontal. 
 
78 
 
Um corpo ao ser puxado por uma força F
r (horizontal) pode permanecer em repouso 
ou em movimento, a depender da intensidade desta força. Nos dois casos atuará no sentido 
contrário ao movimento ou à tendência do mesmo, uma força chamada força de atrito ( atF
r
). 
 
 
Figura 8.2. Bloco apoiado sobre uma superfície horizontal sob ação de forças. 
 
Se o corpo permanecer parado, a força de atrito é chamada estática ( ateF
r
). O valor da 
força aplicada ao corpo poderá ser aumentado até um valor máximo sem que o mesmo entre 
em movimento. Até este valor, a força de atrito que está atuando no corpo é estática e o corpo 
ficará na iminência de entrar em movimento. Após este valor máximo para a força aplicada, o 
corpo entrará em movimento e a força de atrito é chamada de cinética ( atcF
r
). A força de atrito 
cinética é menor que a força de atrito estática, então, esta começa de zero atinge um valor 
máximo e depois diminui de valor. Seu valor independe da força aplicada ao corpo, da área 
das superfícies em contato e da velocidade do corpo em relação à superfície. A força de atrito, 
portanto, só depende da força normal ( N
r
), que no caso em questão é o peso do corpo ( Pr ), e 
da natureza das superfícies em contato. 
Matematicamente, existe uma expressão para se determinar a intensidade da força de 
atrito que é proporcional à força normal. 
 
NFat ∝ (8.1) 
 
Numa expressão matemática o símbolo de proporcionalidade (α) pode ser substituído 
por uma igualdade multiplicada por uma constante. 
 
μ [mi] (8.2) 
 
Substituindo (8.2) em (8.1) temos: 
NFat ⋅= µ (8.3) 
 
Onde µ (mi) expressa o coeficiente de atrito, ou seja, o grau de rugosidade existente 
(natureza das superfícies em contato). 
N
Fat
=µ (8.4) 
Para um par de forças de atrito e peso existe um valor constante para o valor do 
coeficiente de atrito e, esse coeficiente de atrito também poderá ser estático (corpo em 
repouso) ou cinético (corpo em movimento). 
A depender da situação esses coeficientes de atrito têm valores muito próximos que 
podem ser considerados iguais ( µµµ == ce ) 
 
8.4.2 Força de atrito em um plano inclinado - Ângulo crítico 
 
Quando um corpo de massa ‘m’ desce um plano inclinado sem atrito ele se move com 
movimento uniforme variado. Num corpo em queda livre a aceleração é proporcional à 
componente do peso ( xP
r
) é a componente do peso a que nos referimos acima). 
atF
r
F
r
79 
 
P
r
xP
r
yP
r
N
r
x
y
 
 
Figura 8.3: Bloco sobre uma superfície inclinada sob ação de forças. 
 
A origem é colocada no ponto em que se encontra o bloco, aqui considerado uma 
partícula. A seguir tratamos de relações matemáticas entre xP
s
, yP
r
 e o ângulo θ. Da figura 8.3, 
temos: 
P
F
sen xr
r
=θ 
P
Pxr
r
=θcos 
 
θsenPPx ⋅=
rr
 (8.5) θcos⋅= PP y
rr
 (8.6) 
 
Como xP
s
 e yP
r
 são perpendiculares entre si, o Teorema de Pitágoras nos fornece: 
 
22
yx PPP += (8.7) 
 
A força normal N
r
 é a força de reação do plano sobre o corpo, que é sempre 
perpendicular á superfície em que o corpo estiver apoiado. No caso que estamos estudando, 
de acordo com a primeira Lei de Newton, a força normal deve ter módulo igual a yP
r
: 
yPN
rr
= (8.8) 
 
Ainda nas equações 8.5 e 8.6, fazendo mgP =
r
, obtemos: 
θsengmPx ..= 
θcos..gmPy = (por extensão, θcos..gmN = ) 
 
Na figura 8.3 podemos identificar as forças que atuam sobre um corpo apoiado em um 
plano inclinado sem polimento. 
Observamos que xP
r
e atF
r
 são forças de mesma direção e sentidos opostos. Quando o 
corpo desce o plano acelerado, xP
r
 é maior que atF
r
. Se xP
r
= atF
r
, o corpo estará em equilíbrio 
dinâmico. 
Já nos é familiar que, a partir de resultados experimentais, foi possível estabelecer a 
seguinte relação para determinação do módulo da força de atrito. 
 
NFat ⋅= µ (8.9) 
80 
 
Se no exemplo da figura 8.3, o bloco está na iminência de movimento (o que 
corresponde ao repouso com valor máximo da forçade atrito estático) ou em MRU, devemos 
ter: 
atx FP
rr
= 
Desse modo: 
θ
θµ
cosmg
mgsen
P
P
N
F
y
xat
=== r
r
r
r
 
Ou seja: 
αθ
θ
θµ tgsen ==
cos
 (8.10) 
 
Relembramos que a equação (8.10) vale tanto para o bloco na iminência de 
movimento quanto para o MRU. Nos dois casos, segundo a Lei da Inércia, a força resultante 
sobre o corpo deve ser nula. Portanto, 
atx FP
rr
= . 
A diferença é que, para o bloco na iminência de movimento, estaremos calculando o 
coeficiente de atrito estático ( eµ ) enquanto que para o bloco em MRU, calcularemos o 
coeficiente de atrito cinético ( cµ ). 
Obs.: Para efeito de nossa experiência consideraremos eµ = cµ . 
8.5 Procedimento Experimental e Atividades 
PARTE I: Força de atrito estático ( aeF
r
) 
 
8.5.1 Verificar se o dinamômetro disponível dispõe de ajuste. Caso positivo, ajustar a escala 
do dinamômetro (coloque-o na vertical!) para fazer medidas na horizontal. 
 
Obs.: Observe que o dinamômetro pode estar graduado em Newton (N), grama-força (gf) ou 
Libras (lbs). Caso esteja em gf transforme os valores medidos para Newton (N). Considere que 
100,0 g = 100,0 gf ≅ 1,0 N (Isto porque estamos adotando g ≅ 10,0 m/s2). 
 
8.5.2 Medir o peso dos blocos de madeira com o dinamômetro e uma balança para medir a 
massa e faça a transformação conveniente. (Verifique a capacidade do instrumento para não 
danificá-lo!). Anote aqui o valor médio do peso: P =_________N 
 
8.5.3 Limpe as superfícies do bloco e da mesa. Prenda o dinamômetro ao bloco de madeira e 
com a superfície maior de madeira voltada para baixo, conforme a figura 7.4. 
 
 
 
Figura 8.4: Imagem do bloco na superfície horizontal mais larga sob ação do dinamômetro. 
 
8.5.4 Manter o dinamômetro paralelo à superfície da mesa, puxá-lo vagarosamente até o bloco 
sair do repouso ou ficar na eminência do movimento. Faça a leitura da força aplicada sobre o 
81 
 
bloco de madeira. Repita o procedimento pelo menos 5 vezes e determine o valor médio com 
seu respectivo desvio. 
 
 
 
 
 
8.5.5 O bloco de madeira se movimentou ao aplicar uma força média de _____ (N ou gf)? 
 
8.5.6 Qual é a força de atrito estática média? _____ (N ou gf) 
 
8.5.7 Quando se diminui gradualmente a força aplicada, nota-se que o bloco permanece em 
repouso. Para cada valor de força aplicada, menor do que a máxima, quanto vale a força de 
atrito? 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
8.5.8 Qual é o valor da força normal de reação? N = _________ N 
 
8.5.9 Quanto vale o coeficiente de atrito estático. eµ = _________ 
PARTE II: Coeficiente de atrito estático e a área da superfície de contato 
 
8.5.10 Prender o dinamômetro ao bloco de madeira e com a superfície menor de madeira 
voltada para baixo conforme a figura 8.5. 
 
 
 
Figura 8.5: Imagem do bloco na superfície horizontal mais estreita sob ação do dinamômetro. 
 
 
8.5.11 Manter o dinamômetro paralelo à superfície da mesa, puxá-lo vagarosamente até o 
bloco sair do repouso ou ficar na eminência do movimento. Faça a leitura da força aplicada 
sobre o bloco de madeira. Repita o procedimento pelo menos 5 vezes e determine o valor 
médio com seu respectivo desvio. 
 
 
 
 
8.5.12 O bloco de madeira se movimentou ao aplicar uma força média de___ (N ou gf)? 
 
8.5.13 Qual é a força de atrito estática média? ____ (N ou gf) 
 
8.5.14 Para cada valor de força aplicada, menor do que a máxima, quanto vale a força de 
atrito? Preencha os campos na tabela. 
 
 
Valor máximo da Força (N ou gf) 
Medidas 1 2 3 4 5 Média desvio 
Valor máximo da Força (N ou gf) 
Medidas 1 2 3 4 5 Média desvio 
82 
 
8.5.15 Quando se diminui a área da superfície de contato, o que ocorre com a força de atrito 
estático? 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
8.5.16 Qual é o valor da força normal de reação? N = _________ N 
 
8.5.17 Quanto vale o coeficiente de atrito estático. eµ = _________ 
 
8.5.18 Ao considerar a tolerância de incerteza admitida (5%) pode-se afirmar que os valores 
dos coeficientes das Partes I e II são iguais ou diferentes? Justifique. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
PARTE III: Coeficiente de atrito estático e a força normal de reação 
 
8.5.19 Usar o valor da força de atrito estático encontrado na experiência da Parte I para 
comparar com a encontrada nesta parte. 
 
8.5.20 Colocar outro bloco de madeira sobre o primeiro, conforme figura 8.6, a seguir. Não 
precisa ser igual, entretanto, é necessário pesá-lo e anotar os valores: ____ (N ou gf). 
(Verifique a capacidade do dinamômetro para não danificá-lo!). 
 
 
 
Figura 8.6: Imagem de dois blocos na superfície horizontal sob ação do dinamômetro. 
 
8.5.21 Manter o dinamômetro paralelo à superfície da mesa, puxá-lo vagarosamente até o 
bloco sair do repouso ou ficar na eminência do movimento. Faça a leitura da força aplicada 
sobre o bloco de madeira. Repita o procedimento pelo menos 5 vezes e determine o valor 
médio com seu respectivo desvio. 
 
 
 
 
8.5.22 Anotar o valor da força de atrito estático média. aeF =________ N (ou gf) 
 
8.5.23 O que ocorre com a força de atrito estático ao aumentar a força normal de reação? 
___________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________ 
 
8.5.24 Qual a relação entre a força de atrito estático e a força normal de reação (quadrática, 
inversa, ...)? Por quê? 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
8.5.25 Caso não tenha medido o peso dos blocos, faça-o. Meça o peso dos blocos de madeira 
com o dinamômetro e uma balança para medir a massa e faça a transformação conveniente. 
Valor máximo da Força (N ou gf) 
Medidas 1 2 3 4 5 Média desvio 
83 
 
(Verifique a capacidade do instrumento para não danificá-lo!). Anote aqui o valor médio dos 
pesos: 1P =_______ N (ou gf), 2P =_________ N (ou gf) 
 
8.5.26 Qual é o valor da força normal de reação? N =_________N 
 
8.5.27 Calcular o coeficiente de atrito estático. eµ =_________ 
PARTE IV: Relação entre a força de atrito estático e a natureza das superfícies 
em contato 
 
8.5.28 Usar o valor da força de atrito estático encontrado na experiência da Parte I para 
comparar com a encontrada nesta parte. Aqui vamos repetir os passos da parte I, modificando 
a superfície de contato. No lugar da face de madeira teremos a face de borracha. 
 
Obs: Não esqueça que é necessário medir o peso dos blocos utilizados, caso sejam diferentes. 
P = ________ N (ou gf) 
 
8.5.29 Limpe as superfícies do bloco e da mesa. Prenda o dinamômetro ao bloco de madeira e 
com a superfície maior de borracha voltada para baixo, conforme a figura 8.7. Atenção! 
Verifique se o dinamômetro disponível suporta o peso do bloco. 
 
 
 
Figura 8.7: Imagem do bloco na superfície horizontal mais larga sob ação do dinamômetro. 
 
 
8.5.30 Manter o dinamômetro paralelo à superfície da mesa, puxá-lo vagarosamente até o 
bloco sair do repouso ou ficar na eminência do movimento. Faça a leitura da força aplicada 
sobre o bloco. Repita o procedimento pelo menos 5 vezes e determine o valor médio com seu 
respectivo desvio.8.5.31 O bloco com a face de borracha voltada para baixo se movimentou ao aplicar uma 
força média de _____ N (ou gf)? 
 
8.5.32 Qual é a força de atrito estática média? ______ N (ou gf) 
 
8.5.33 Qual é o valor da força normal de reação? N = _________ N 
 
8.5.34 Quanto vale o coeficiente de atrito estático para a borracha. eµ = ______ 
 
8.5.35 O coeficiente de atrito estático depende da natureza da superfície de contato? Por 
quê?________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________ 
 
Valor máximo da Força (N ou gf) 
Medidas 1 2 3 4 5 Média desvio 
84 
 
PARTE V: Força de atrito cinético ( acF
r
) 
 
8.5.36 Prenda o dinamômetro ao bloco com a face de madeira voltada para baixo no seu lado 
mais largo. Conforme mostra a figura 8.8. 
 
 
 
 
 
 
Figura 8.8: Imagem do bloco na superfície horizontal mais larga sob ação do dinamômetro. 
 
 
8.5.37 Manter o dinamômetro paralelo à superfície da mesa, puxá-lo vagarosamente até o 
bloco sair do repouso e atingir uma velocidade constante. Fazer a leitura da força aplicada 
que mantém o bloco de madeira em MRU (movimento retilíneo uniforme). Para tal, tente 
mantê-lo em movimento uniforme por aproximadamente uns 50,0 cm. Repita o procedimento 
pelo menos 5 vezes e determine o valor médio com seu respectivo desvio. 
 
 
 
 
8.5.38 Escreva aqui o valor da força de atrito cinética média? ______ N (ou gf) 
 
8.5.39 Qual é o valor da força normal de reação? N = _________ N 
 
8.5.40 Quanto vale o coeficiente de atrito cinético. cµ = _________ 
 
8.5.41 Ao comparar o coeficiente de atrito estático (item 8.5.9) com o coeficiente de atrito 
cinético, da face de madeira, o que pode-se concluir? 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
PARTE VI: Força de atrito estática ( aeF
r
)num plano inclinado a partir do 
ângulo crítico (eminência do movimento) 
 
8.5.42 Medir o peso dos blocos de madeira com o dinamômetro ou utilize uma balança para 
medir a massa e faça a transformação conveniente. (Verifique a capacidade do instrumento 
para não danificá-lo!). P =_________ N (ou gf) 
 
8.5.43 Limpe as superfícies de contato entre o bloco e a mesa. Deixar a rampa na horizontal e 
coloque um bloco de madeira sobre a placa (rampa) com a superfície maior de madeira 
voltada para baixo. Depois repita o procedimento para a face de borracha. 
 
8.5.44 Movimentar, girando lentamente a rampa do plano inclinado e observar a medida do 
ângulo no momento em que o bloco de madeira fica na iminência de entrar em movimento. 
Este será o ângulo crítico que possibilitará determinar o coeficiente de atrito estático, 
conforme apresentado na teoria do experimento. 
Valor da Força em MRU (N ou gf) 
Medidas 1 2 3 4 5 Média desvio 
85 
 
Observe a figura 8.9, a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8.9: Imagem do bloco na superfície inclinada mais larga sob ação do dinamômetro. 
 
8.5.45 Anotar a medida do ângulo crítico (iminência do movimento). Repetir o procedimento 
pelo menos 5 vezes e encontrar um ângulo médio, desvio. 
 
 
 
 
=mmtgα ____________ =emµ _____________ 
 
 
 
 
=mBtgα ____________ =eBµ _____________ 
 
8.5.46 Ao comparar a tangente do ângulo crítico com o coeficiente de atrito da experiência da 
Parte I, considerando a tolerância de erro admitida (5%), pode-se afirmar que os valores são 
iguais ou diferentes? Justifique. 
 =me1µ ____________ Qual percentual de erro? ___________ 
 
 =Be1µ ____________ Qual percentual de erro? ___________ 
 
R: _________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo para face de Madeira (º) 
Medidas 1 2 3 4 5 Média desvio 
Ângulo para face de Borracha (º) 
Medidas 1 2 3 4 5 Média desvio 
86 
 
EXPERIMENTO 9 
 
EQUILIBRANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS COPLANARES E 
CONCORRENTES
 
 
9.1 Objetivos 
• Determinar experimentalmente a equilibrante de um sistema de forças coplanares e 
concorrentes. 
9.2 Material 
• Três tripés 
• Três hastes de comprimentos maiores que 0,50 m 
• Três presilhas universais 
• Um transferidor 
• Um peso de 100,0 gf 
• Um peso de 200,0 gf 
• Cordão 
• Uma régua milimetrada de tamanho maior ou igual a 60,00 cm 
• Dois dinamômetros de fundo de escala maiores ou iguais a 500,0 gf 
9.3 Descrição 
Nesse experimento busca-se comprovar que a tensão atuante num sistema de forças 
em equilíbrio, obtidas através do diagrama de forças, pode ser mensurada através de 
dinamômetros. Posteriormente, comparam-se os valores das tensões calculadas com os 
valores fornecidos pela leitura dos dinamômetros, e por fim, estabelecer as incertezas do tipo 
A. 
9.4 Teoria do Experimento 
 
Vimos que a 1ª Lei de Newton – Princípio da Inércia – nos apresenta a tendência dos 
corpos de permanecerem em seu estado natural: repouso (equilíbrio estático) ou movimento 
retilíneo uniforme (equilíbrio dinâmico). Estes estados somente sofrerão mudanças quando 
atuarem no sistema forças externas com resultante não nula. 
 
A resultante das forças que atuam sobre o corpo promove o movimento de translação 
do mesmo, enquanto, a resultante dos torques sobre o corpo promove sua rotação. Para que 
um corpo permaneça em equilíbrio estático é necessário que o mesmo não efetue movimentos 
de translação ou de rotação. Consequentemente, para que ocorra o equilíbrio de translação e 
rotação deve-se impor ao sistema duas condições: 
 
1ª – A resultante das forças (soma das forças atuantes no sistema) seja nula; 
2ª – A resultante dos torques (soma algébrica dos torques) também seja nula. Estas 
duas condições são representadas pelas equações: 
 
87 
 
0...321
rrrrr
=++++ nFFFF (9.1) 
0...321
rrrrr
=++++ nMMMM (9.2) 
 
Considerando que os vetores força na expressão (9.1) são todos coplanares, podemos 
escrevê-los da forma: );( 111 yx FFF
rrr
= , );( 222 yx FFF
rrr
= , ... , );( nynxn FFF
rrr
= , )0;0(0 =
r
. Usando 
esta notação podemos, somando componente a componente, reescrever a equação (9.1), como 
segue: 
 
0...321 =++++ nxxxx FFFF
rrrr
 (9.3) 
0...321 =++++ nyyyy FFFF
rrrr
 (9.4) 
 
Consideremos agora um corpo de peso P
r
 suspenso pelo conjunto de fios ideais 1, 2 e 3 
(sem massa e inelásticos) conectados no ponto E, fixos ao teto nos pontos G e H, conforme 
mostrado na figura 9.1. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.1: Esquema de um bloco em equilíbrio fixado por cordas ideais. 
 
O sistema constituído pelas forças 1F
r (tração no fio 1) e 2F
r (tração no fio 2), cujos 
ângulos com a horizontal são respectivamente α e β, e o peso P
r
 está esquematizado na figura 
9.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.2: Diagrama de forças do sistema bloco fixado por cordas ideais. 
 
 
Considerando as condições de equilíbrio estático para o ponto E, equações (9.3)e (9.4), 
podemos inferir as seguintes relações para as componentes das forças: 
 
021 =−= xxx FFF ; (9.5) 
021 =−−= PFFF yyy , (9.6) 
 
 
 
 
 
 
88 
 
onde, 
 αcos.11 FF x = αsenFF y .11 = 
 βcos.22 FF x = βsenFF y .22 = 
 
Deste modo, ao substituirmos esses valores nas equações (9.5) e (9.6), obtemos: 
 
βα cos.cos. 21 FF = (9.7) 
PsenFsenF =+ βα .. 21 (9.8) 
 
Estas equações, (9.7) e (9.8), permitem que determinemos analiticamente os valores 
(intensidades) das forças 1F
r
 e 2F
r
, desde que conheçamos o módulo da força peso P
r
e os 
ângulos α e β, que no exemplo, são formados com o eixo 0x. 
9.5 Atividades e Questões 
9.5.1 Usando as hastes, os tripés e as presilhas, monte a estrutura da figura 9.3. 
 
9.5.2 Corte dois pedaços de cordão para que após amarrados tenham valores aproximados de 
45,00 cm e 15,00 cm. (não se esqueça de cortar o cordão um pouco maior para que possa 
amarrá-los à presilha). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.3: Esquema de montagem do tripé 1. 
 
9.5.3 Amarre o cordão maior nas presilhas universais. E o cordão menor amarre, com um nó 
bem ajustado (para não deslizar), a aproximadamente 20,00 cm de uma das extremidades do 
cordão maior, de modo que se possa pendurar os pesos, conforme figura 9.4. 
 
9.5.4 Prenda à outra extremidade do cordão menor os pesos de 100,0 gf e 200,0 gf (total de 
300,0 gf), conforme mostrado na figura 9.4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.4: Esquema de montagem do tripé 2. 
 
89 
 
9.5.5. Aproxime ou afaste as barras verticais de modo que o ângulo γ (entre os fios), mostrado 
na figura 9.4, seja aproximadamente igual a ____º. Use o transferidor para medir este ângulo. 
Meça também os ângulos α e β e anote seus valores na folha de dados. 
 
Ângulo Valores (graus) Senos Cossenos 
γ 
α 
β 
 
9.5.6. Com o auxílio das equações (9.7) e (9.8), determine analiticamente os módulos das 
forças 1F
r
 e 2F
r
, em gramas-forças (gf), anote aqui e na folha de dados. 
 
=1F _________ gf 
=2F _________ gf. 
 
9.5.7 Desamarre a extremidade do cordão maior das presilhas universais, a fim de fixar os 
dinamômetros nestas extremidades. 
 
9.5.8 Ajuste os dinamômetros para ficarem zerados. Fixe os dinamômetros nas presilhas 
universais e amarre o cordão maior à extremidade dos dinamômetros, conforme figura 9.5. 
(tome cuidado para manter o sistema com os mesmos ângulos dispostos no item 9.5.5). 
 
9.5.9 Leia os valores obtidos nos dinamômetros 1D e 2D respectivamente e anote-os na folha 
de dados. Cuidado para não inverter os dinamômetros. D1 corresponde a F1 e D2 deve 
corresponder a F2. 
 
1D = ________ gf 
2D = ________ gf. 
 
9.5.10 Compare os valores 1F e 2F (item 9.5.6) com os valores de 1D e 2D (item 9.5.9). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.5: Esquema de montagem do tripé com dinamômetros fixados à extremidade dos fios. 
 
9.5.11 Calcule os valores médios entre 1F e 1D ; 2F e 2D , os desvios, e anote na folha de dados 
conforme apresentado na teoria dos erros. 
 
=1F (_________± _______) gf 
=2F (_________± _______) gf. 
 
90 
 
9.5.12 Determine os erros relativos percentuais encontrados para os módulos das forças 1F
r
 e 
2F
r
. Lembrete: 100% ×
−
=
x
xx
E iR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.5.13. Quanto vale o módulo da equilibrante Rr do peso de nosso sistema? 
R = _______________ gf. 
 
 
 
 
 
 
9.5.14. Quais fatores interferem nas incertezas encontradas neste experimento? Que fator 
contribui com maior erro? 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
91 
 
EXPERIMENTO 10 
 
TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE E VARIAÇÃO DA ENERGIA EM 
UM PLANO INCLINADO
 
10.1 Objetivos 
• Calcular o trabalho realizado por uma força externa para movimentar um corpo sobre 
um plano inclinado. 
• Comparar o trabalho realizado pela elevação do bloco pela face de fórmica e pela face 
de borracha até uma altura h. 
10.2 Material 
• Plano Inclinado 
• Bloco de madeira 
• Balança 
• Caixa de massas 
• Suporte das massas 
• Cordão (barbante) 
• Régua 
10.3 Introdução 
 
10.3.1 Plano Inclinado 
 
As necessidades do homem em realizar menor esforço físico nas tarefas braçais 
impulsionaram o desenvolvimento de mecanismos que facilitariam a realização dessas tarefas, 
aumentando, assim, a vantagem mecânica. Como consequência, foram inventadas as 
alavancas, as ferramentas, as engrenagens, a roda (lisa e dentada), as polias (fixas e móveis) e 
o plano inclinado. Alguns relatos dão conta de que no Egito Antigo já se utilizavam algumas 
dessas máquinas, a exemplo do plano inclinado, na construção das grandes pirâmides. 
Esse dispositivo mecânico - plano inclinado – permite que corpos de grande massa 
gravitacional sejam transportados mais facilmente entre dois pontos que apresentam um 
desnível entre si. Desnível entre dois pontos significa a diferença das alturas desses pontos em 
relação a um referencial escolhido. Na cidade de Salvador – BA, com características 
geológicas específicas – cidade alta e cidade baixa – existem dispositivos desse tipo 
(Liberdade, Gonçalves) que aliados ao Elevador Lacerda fazem o transporte das pessoas entre 
dois níveis (alto e baixo). 
Em que consiste, de fato, a vantagem mecânica conseguida com o plano inclinado? Na 
busca de respostas, observe a figura 10.1 a seguir: 
92 
 
P
Y
x
θ
 
 
Figura 10.1: Bloco num plano inclinado. 
 
É fácil perceber que os eixos cartesianos ( xO e yO ) estão posicionados diferentemente 
da posição habitual. A razão que justifica essa mudança é a necessidade de decompor o vetor 
– peso do corpo (P) em duas componentes: uma na direção paralela ao plano inclinado ( xP ) e 
outra na direção perpendicular ao plano inclinado ( yP ). Simplificando o desenho, tem-se: 
Pθ
yP
r
xP
r
P
r
 
 
Figura 10.2: Diagrama da força peso sobre um bloco num plano inclinado. 
 
Designando por θ, o ângulo de inclinação do plano, e, como se sabe o peso do corpo é 
mgP = , então é possível demonstrar que: 
 
θθ
θθ
coscos.
.
mgPP
mgsensenPP
y
x
==
==
 (10.1) 
 
Respondendo à pergunta que se encontra formulada acima, no texto, pode-se dizer que 
a vantagem é decorrente do fato de que para um agente externo elevar o corpo sólido desde a 
base do plano até o seu ponto mais alto, a força aplicada deve superar a componente xP . É 
fácil perceber que essa componente tem módulo menor que o módulo do peso P. Isso não 
ocorreria se o transporte desde a base do plano até a parte mais alta fosse feito numa direção 
vertical. 
O fato da força-peso fazer parte do conjunto de forças classificadas como forças 
conservativas ajuda a compreender a vantagem mecânica obtida na utilização do plano 
inclinado. 
 
10.3.2 Trabalho de uma força constante para deslocar um corpo 
 
93 
 
O termo trabalho recebe um enfoque diferenciado na física, pois,ações como levantar, 
empurrar, puxar etc., que envolvem esforço físico, só implicam em trabalho Físico se 
produzirem deslocamentos. Assim, define-se o trabalho, aqui identificado como trabalho 
mecânico, ao trabalho realizado por uma força que atua sobre um corpo, fazendo com que 
esse corpo passe a se movimentar, deslocando-se. Ou ainda, podemos expressar o trabalho de 
uma força constante que produz um determinado deslocamento, como sendo o produto escalar 
entre a força e deslocamento: Ã 
 À· ∙ Å· , que pode ser reescrita na forma: 
 
θcos..dFW = (10.2) 
 
Onde W é o trabalho, F é a força resultante (constante), d é o deslocamento provocado pela 
atuação da força F e cos θ é o cosseno do ângulo formado entre as direções da força e do 
deslocamento por ela produzido. Adota-se como unidade de medida do trabalho no sistema 
internacional (SI) o Joule (J). Entretanto, de modo mais geral, quando a força e o 
deslocamento variam no tempo, o trabalho desta força é dada pela relação: 
 
à 
 Æ À· . ÅÇ·È]È[ (10.3) 
 
10.3.3 Cálculo do trabalho realizado 
 
 Observando a figura 10.3, a seguir, identifique os novos elementos incorporados a 
partir da figura 10.2. Nela podem ser vistos: a polia fixa, o barbante e um suporte para massas 
aferidas, pendurada na extremidade do barbante, que também está preso ao bloco de madeira. 
Pθ
yP
r
xP
r
P
r
1P
r
T
r
T
r
atF
r
 
 
Figura 10.3: Diagrama de forças sobre o sistema num plano inclinado. 
 
Expressando numa linguagem vetorial estão traçados, agora, além da força peso (P) do 
bloco e as suas componentes, as forças de tração (T) no barbante, a força de atrito (paralela e 
de mesmo sentido que xP ) que se opõe ao movimento de subida do bloco, e a força peso do 
suporte de massas, acrescida da força peso das massas aferidas e aí colocadas ( 1P ). 
 
Essa é a situação mais completa, pois leva em conta a presença do atrito. Outra 
situação considera que a força de atrito é muito pequena, devendo, portanto, ser ignorada. A 
partir dessa figura e medindo as grandezas envolvidas pode-se calcular o trabalho realizado 
por cada força individualmente e, posteriormente, fazer a adição algébrica dessas parcelas. 
 
Outro procedimento consiste em fazer o cálculo do trabalho realizado pela força-
resultante do sistema, após fazer as medidas necessárias, seguindo os passos descritos a 
seguir. 
 
 
94 
 
10.4 Descrição Experimental 
 
10.4.1 Determinação do coeficiente de atrito (µµµµ) de um corpo em um plano 
inclinado diretamente pela tangente do ângulo entre o plano e a horizontal. 
 
10.4.1.1 Coloque o bloco, com a face de fórmica (ou madeira) voltada para baixo, 
sobre o plano inclinado, ainda na horizontal, na extremidade onde está afixada a roldana 
conforme a figura 10.4 (a). Aumente o ângulo do plano inclinado como mostrado na figura 
10.4 (b). Faça 5 medições e anote o valor médio para o qual o taco começa a se mover na 
tabela 1. Repita o procedimento para a face de borracha. E anote o valor médio. Por fim, 
determine o coeficiente de atrito para ambas as superfícies, calculando a tangente destes 
ângulos. 
 
 
 
Figura 10.4: (a) Bloco sobre o plano horizontal, (b) Bloco sobre o plano inclinado. 
 
 
Tabela 10.1. Medidas do ângulo para determinar o coeficiente de atrito. 
 
10.4.1.2 Por que podemos determinar o coeficiente de atrito através do cálculo da 
tangente? Mostre usando as leis de Newton a partir do diagrama de forças. 
 
 
10.4.1.3 Após obter o coeficiente de atrito através do método anterior, o que acontece 
com o mesmo se alterarmos os ângulos do plano inclinado? 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
10.4.2 Determinação do trabalho realizado sobre um corpo em um plano 
inclinado. 
 
10.4.2.1 Arme o plano inclinado formando um ângulo de 30º com a horizontal, como 
mostra a figura 10.5, a seguir. Depois você irá repetir o procedimento com um ângulo de 45º. 
 
θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θm μ = tg θm 
Face de Fórmica (ou madeira) 
Face de borracha 
95 
 
30O
 
 
Figura 10.5: Diagrama de forças sobre o sistema num plano inclinado. 
 
10.4.2.2 Meça o peso dos blocos e massas utilizando um dinamômetro ou balança. 
Efetue sempre várias medições para estabelecer o valor mais provável. Não esqueça os 
desvios! 
 
10.4.2.3 Coloque no suporte (balança, prato) algumas massas (da caixa de massas 
aferidas) até que o bloco com a face de fórmica (ou madeira) voltada para baixo movimente-
se com velocidade aproximadamente constante (Faça pelo menos quatro medições a fim de 
obter o valor mais provável). Anote na tabela 10.2, no quadro correspondente a 1P , o valor do 
mesmo. Lembre-se que 1P é o peso da balança (suporte das massas, caso esteja usando) mais 
o peso das massas aferidas. P é o peso do bloco que você deverá pesar e também colocar seu 
valor no quadro da tabela 10.2 com os respectivos ângulos. Lembre-se que P e 1P são pesos e 
cujas unidades deverão ser expressas em Newton (N). Se necessário, considere que 100,0 gf ≅ 
1,0 N. 
 
Tabela 10.2. Valores médios dos pesos e forças sobre o sistema bloco – plano inclinado superfície de 
fórmica (ou madeira). 
 
Face de Fórmica 
(ou madeira) 
P (N) P1 (N) P.senθ P.μcosθ P.senθ + P.μ.cosθ 
1P - (P.senθ + P. μ .cosθ) 
θ = 30o (π/6 rad) 
θ = 45o (π/4 rad) 
 
10.4.2.4 Repita os procedimentos anteriores com o bloco apoiado sobre a superfície de 
borracha e preencha a tabela 10.3. 
 
Tabela 10.3. Valores médios dos pesos e forças sobre o sistema bloco – plano inclinado superfície de 
borracha. 
 
Face de Borracha P(N) P1 (N) P.senθ P.μ.cosθ P.senθ + P. μ.cosθ 
1P - (P.senθ + P. μ .cosθ) 
θ = 30o (π/6 rad) 
θ = 45o (π/4 rad) 
 
10.4.2.5 Depois de preencher a tabela anterior, considerando os valores mais 
prováveis, meça a distância (pelo menos 3 medições) percorrida pelo bloco através do plano 
conforme a figura 10.6. 
 
96 
 
30O
d
 
Figura 10.6: Deslocamento do bloco num plano inclinado. 
 
10.4.2.5 Anote aqui o valor médio de d: __________________. Nunca esqueça os 
desvios! 
10.4.2.6 Determine o trabalho realizado pela força 1P - ( xP + atF ) para elevar o bloco, 
apoiado sobre a superfície de fórmica (ou madeira) e a de borracha, através do plano para 
ângulos de 30o e 45o e preencha a tabela 10.4. 
 
Tabela 10.4. Valores médios do trabalho das forças obtidas no sistema bloco – plano inclinado em 
ambas as superfícies. 
 
Face de fórmica 
(ou madeira) 
( )[ ]dFPPW Ax .1 +−= (Joules) 
θ = 30o (π/6 rad) 
θ = 45o (π/4 rad) 
Face de borracha ( )[ ]dFPPW Ax .1 +−= (Joules) 
θ = 30o (π/6 rad) 
θ = 45o (π/4 rad) 
10.4.3 Questões 
 
10.4.3.1 O que representa cada termo da primeira linha da tabela 10.2/10.3? 
 
10.4.3.2 Considerando as duas superfícies, a de borracha e a de fórmica (ou madeira), o 
que você conclui sobre o trabalho realizado sobre o corpo? (Responda esta pergunta 
comparando os seus resultados experimentais com aqueles obtidos teoricamente). Calcule 
os desvios percentuais! 
 
10.4.3.3 Admitindo que o bloco de madeira seja puxado pela força 1P com velocidade 
constante, qual o valor mais esperado no cálculo do trabalho realizado? Por quê? 
 
10.4.3.4 Cite os fatores aos quais você pode atribuir o fato de não ter obtido o valor 
esperado no item anterior. 
 
10.4.3.5 Quais as diferenças que você pode estabelecer entre forças dissipativas e forças 
conservativas?97 
 
10.4.3.6 O custo do transporte de passageiros, tanto no Elevador Lacerda quanto nos 
planos inclinados da Cidade de Salvador, atualmente é de R$ 0,15 por pessoa 
transportada. Descreva e discuta, como se dão os processos que envolvem a 
transformação de energia mecânica em energia elétrica nesses meios de transporte. Neste 
processo, a tarifa cobrada cobre os custos de energia gasta, considerando que 1 kwh custa 
aproximadamente R$ 0,54? [Atribua (pesquise) valores aproximados de peso das cabines, 
forças dissipativas, quantidade de pessoas transportadas (considere que o peso médio de 
uma pessoa é de 70 kg) etc. A fim de verificar se o sistema é viável, ou seja, R$ 0,15 por 
pessoa paga os gastos?]. Considere uma cabine e uma viagem de subida ou descida. 
 
10.4.3.7 Indique alguns procedimentos que poderiam ser adotados para fazer um estudo 
da viabilidade econômica desse meio de transporte soteropolitano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
98 
 
EXPERIMENTO 11 
 
DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DE EXPRESSÕES ANALÍTICAS DE 
MOMENTO DE INÉRCIA
 
 
11.1 Objetivos 
• Determinar as expressões analíticas do momento de inércia de uma esfera e de um 
cilindro, ambos maciço. 
11.2 Material 
• Um plano inclinado graduado e com indicação de inclinação (na falta do mesmo 
podemos usar uma tábua, calha, régua e transferidor); 
• Um cronômetro analógico ou digital, ou celular; 
• Um cilindro e uma esfera maciça. 
11.3 Introdução 
É parte integrante da disciplina Mecânica (muitas vezes rotulado como Física I, nas 
diversas instituições de Ensino Superior) o tópico denominado Momento de Inércia, onde se 
define e calcula a referida grandeza, como pode ser visto, por exemplo, em YOUNG e 
FREEDMAN (2003, p.296). Entretanto, tal disciplina é lecionada nos primeiros semestres dos 
diversos cursos de Engenharia, Matemática e Física (geralmente 1º e 2º semestres), onde o 
pouco domínio por parte dos estudantes de ferramentas matemáticas como o Cálculo 
Diferencial e Integral dificulta ou mesmo torna impraticável a demonstração matemática de 
tais expressões, sendo facultado ao professor, portanto, demonstrá-las ou, simplesmente, 
defini-las. 
Nesse sentido, proporemos aqui um arranjo experimental simples com a finalidade de 
se obter empiricamente as expressões do momento de inércia em relação ao centro de massa 
de uma esfera e de um cilindro, ambos maciços, semelhante ao proposto por CAMPOS et al. 
(2011, p. 67), ou seja, estudaremos o movimento de descida desses corpos em um plano 
inclinado e mediremos o tempo no qual eles percorrem uma distância conhecida nesse plano a 
fim de determinarmos a aceleração, com a qual alcançaremos o objetivo desejado. Entretanto, 
em nossa abordagem utilizaremos dois possíveis procedimentos experimentais que podem ser 
aplicados segundo a disponibilidade técnica do laboratório: um, através da tomada de tempo 
manual com um cronômetro, e outro, por meio de filmagem (com uma câmera fotográfica ou 
de um celular de boa resolução – taxa mínima de 30 quadros por segundo). 
A vantagem do procedimento experimental aqui proposto está na simplicidade da 
obtenção das medidas e na disponibilidade dos recursos materiais necessários à sua execução, 
além do aprofundamento do tratamento estatístico dos dados experimentais obtidos, conforme 
faremos adiante. 
99 
 
11.3.1 Fundamentação teórica 
Como dissemos, queremos determinar o momento de inércia através do estudo do 
movimento de descida de um corpo em um plano inclinado. Então, se faz necessário o estudo 
desse tipo de movimento (rotacional e translacional), como descrito por Nussenzveig, 2002. 
A figura 11.1 representa um corpo rolando sobre o referido plano inclinado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11.1: Diagrama de forças atuantes sobre um corpo rolando em um plano inclinado. 
 
Vamos supor que o corpo desce o plano inclinado sem deslizamento, nesse caso sua 
aceleração linear ‘a’, se relaciona com a aceleração angular, ‘α’, por meio da equação 
 
a 
 α. R, (11.1) 
 
onde ‘R’ é o raio do corpo. 
Sendo as forças atuantes sobre o corpo, o peso (P¸¸·), a normal (N¸¸·) e a força de atrito 
(f·1:) e, além disso, sendo ‘m’ sua massa, ‘I’ seu momento de inércia é ‘θ’ o ângulo de 
inclinação do plano, ao aplicarmos a segunda Lei de Newton, podemos escrever as seguintes 
equações: 
 
P. sin θ − f1: = m. a, (11.2) 
τ = I. α ⇒ τ = I. 1E (11.3) 
N = P. cos θ (11.4) 
 
O torque gerado pela força de atrito, nesse caso, é dado pela equação 
 
τ = f1:. R, (11.5) 
 
a qual, substituindo na Equação (11.3), nos fornece o momento de inércia do corpo através da 
Equação. 
I = ÍÎÏ1 . R	. (11.6) 
 
Ao observarmos a Equação (11.6) notamos que, uma vez determinada a força de atrito 
atuante sobre o corpo e a aceleração linear desenvolvida pelo mesmo no movimento de 
descida, podemos determinar seu momento de inércia. 
 
Da Equação (11.2) pode-se obter a força de atrito, expressa agora na Equação 
100 
 
 
f1: = m. (g. sin θ − a), (11.7) 
 
desde que se conheça a aceleração linear (que será determinada experimentalmente - ver 
próxima seção). Notando que a razão fat/a na Equação (11.6) tem unidade de massa, podemos, 
em geral, escrever a expressão do momento de inércia de um corpo na forma da Equação 
 
I = K. m. R	, (11.8) 
 
na qual, ’K’ ´e uma constante adimensional. 
Para o caso de uma esfera maciça, o momento de inércia é definido pela relação 
 
I = 	� . m. R	, (11.9) 
 
e, portanto, K = 2/5 = 0,40. Já no caso de um disco maciço, o momento de inércia é definido 
pela relação 
 
I = )	 . m. R	, (11.10) 
 
Então a constante, K = 1/2 = 0,50. 
Estes valores de ‘K’ serão tomados como referência na análise dos desvios das 
medições obtidas experimentalmente. 
Analisando, todavia, a Equação (11.6) e comparando-a com a Equação (11.8), 
chegamos à relação 
 
ÍÎÏ
1 = K. m, (11.11) 
 
ou ainda, pela Equação (11.7), a constante ’K’, poderá ser obtida pela relação 
 
K = ‡1 ∙ sin θ − 1. (11.12) 
 
Dessa forma, se soubermos a aceleração linear do corpo e considerarmos a aceleração 
da gravidade local como conhecida, podemos encontrar, pela determinação de ‘K’, sua 
expressão de momento de inércia. 
11.4 Descrição Experimental 
O experimento consistirá em determinar o tempo em que a esfera ou disco leva para se 
deslocar ao longo de uma distância ‘d’ no plano inclinado, partindo do repouso. De posse 
desse tempo podemos calcular, via Equação do movimento retilíneo uniformemente variado 
(MRUV), 
d 
 )	 at	, (11.13) 
a sua aceleração. Nesta expressão, ‘d’ é a distância (eixo 0x) percorrida no tempo ‘t’. 
101 
 
Nesse intuito, procederemos a tomada de tempo manual, ou seja, acionando-se um 
cronômetro e parando-o manualmente. 
 
A figura 11.2 mostra o aparato experimental utilizado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11.2: Visão global do aparato instrumental para determinação do momento de inércia. 
 
11.4.1 Tomada manual de tempo 
No procedimento de tomada manual de tempo, primeiramente, devemos fixar uma 
distância ‘d’ conhecida no plano. Efetuamos, Então, as medições do ângulo de inclinação do 
plano inclinado. Por fim, abandonamos o corpo para que role livremente e medimos com o 
cronômetro o tempo necessário para ele percorrer a distância pré-fixada ‘d’. Tomamos 
quantas medidas forem necessárias a fim de obtermos uma boa amostragem. Vamos adotar 10 
medidas. Sendo ‘n’ o número de medidas de tempo ‘t’ realizadas, a aceleração será, 
reagrupando a Equação (11.13), dada pela Equação 
a 
 	.�(:̅)] (11.14) 
onde ‘t ´e a média dos tempos obtidos, ou seja, 
t̅ = ∑ :�=�Z[� . (11.15) 
No casoda tomada manual de tempo, identificamos f(x1,...,xn) com K(t,̅θ). 
11.4.2 Tratamento dos dados 
Uma vez efetuadas as medições dos tempos de descida dos corpos pelo plano 
inclinado e determinadas suas respectivas acelerações, somos capazes de calcular o valor da 
constante ‘K’ utilizando, para tanto a Equação (11.12). 
Além disso, como conhecemos os valores teóricos das constantes para a esfera maciça 
utilizada e para o cilindro maciço, um teste de consistência dos resultados obtidos pode ser o 
Cálculo da discrepância dos valores obtidos experimentalmente (Kexp) em relação aos valores 
teóricos conhecidos (Kteo), ou seja, através da análise da Equação 
∆%
 ÑÒÏÓÔNÒÓÕÖÑÒÏÓÔ ∙ 100 (11.16) 
A estimativa das incertezas experimentais, apresentada no manual da ABNT, 2003, 
pode ser feita pela expressão de propagação de erros 
102 
 
∆f(x), … , x�) 
 C∑ ˆ DÍDX�‰
	 . (∆x�)	��c) (11.17) 
11.4.3 Resultados Obtidos 
Os resultados das medições do tempo de descida, utilizando o cronômetro, para o 
cilindro e esfera maciços, devem ser coletados e lançados na tabela (11.1 e 11.2), juntamente 
com o cálculo das incertezas tipo A (estatísticas). Nessas tabelas você também deve 
apresentar as respectivas médias, desvio padrão e o desvio referente à propagação de erros na 
determinação de ‘K’, segundo as equações descritas no tópico anterior. Considere que a 
aceleração gravitacional é g 7 9,8 m/s2. Você deve realizar as medições de tempo utilizando 
dois ângulos de inclinação do plano, por exemplo, θ1 = 10,0o e θ2 = 20,0o. 
Tabela 11.1. Resultados experimentais: medições do tempo para o cilindro com ângulo θ1 e θ2. 
 
N° Cilindro 1 (θ1) Cilindro 2 (θ2) 
Medidas Tempo (s) Tempo (s) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
– V ∆– 
a (m/s2) 
| V ∆| 
∆Ȧ¡(%) 
 
Tabela 11.2. Resultados experimentais: medições do tempo para a esfera com ângulo θ1 e θ2. 
 
N° Esfera 1 (θ1) Esfera 2 (θ2) 
Medidas Tempo (s) Tempo (s) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
– V ∆– 
a (m/s2) 
| V ∆| 
∆Ȧ¡(%) 
 
103 
 
11.5 Atividades e Questões 
 
11.5.1 Faça uma análise comparativa dos valores experimentais com os teóricos abordando 
prováveis fontes de erros e discrepâncias nos resultados. Mostre quais grandezas contribuem 
com maior desvio. 
 
115.2 Mostre através das equações 11.14 e 11.12 qual a expressão para determinar a o valor 
de K(t,̅θ). 
 
11.5.3 Quais os fatores que merecem destaques no experimento? 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
11.5.4 Foi possível alcançar o objetivo proposto? Por quê? 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
11.5.5 E possível afirmar que as medições do momento de inércia dos corpos analisados 
foram precisos e exatos? _______________________________________________________ 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
11.5.6 Que sugestões poderiam ser acrescentadas para minimizar os erros experimentais? 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
11.5.7 Escreva uma pequena discussão e conclua a partir das questões levantadas 
anteriormente. 
 
 
 
104 
 
EXPERIMENTO 12 
 
DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DA ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL 
ATRAVÉS DO PÊNDULO SIMPLES
 
 
12.1 Objetivos 
• Observar o comportamento oscilatório do pêndulo simples e suas dependências com a 
massa, número de oscilação, amplitude e comprimento do fio. 
• Determinar experimentalmente através da relação do período de oscilação do pêndulo 
simples, a aceleração gravitacional. 
12.2 Material 
• Corpos de massas diferentes 
• Fio inextensível (cordão) 
• Uma base de sustentação 
• Uma barra cilíndrica longa 
• Uma barra cilíndrica curta 
• Uma régua milimetrada 
• Presilhas universais 
• Cronômetro (relógio, celular etc.) 
12.3 Teoria do Experimento 
 
Durante o curso de Física estudam-se vários tipos movimentos. Dentre eles, o 
movimento retilíneo uniforme, o movimento circular, entre outros. Neste roteiro será visto o 
movimento vibratório ou oscilatório, que possui características diferentes em relação a outros 
movimentos, sendo que, o que vai ser abordado é o tipo mais simples, que o é movimento 
harmônico simples (M.H.S). 
O movimento periódico é um tipo de movimento onde o mesmo percurso é repetido 
em intervalos iguais de tempo. Se este percurso repetido periodicamente é do tipo vai e vem, 
o movimento é dito ser vibratório. O percurso completo de vai e vem deste tipo de movimento 
é denominado vibração e o tempo gasto em fazer uma vibração é chamado período. O número 
de vibrações por unidade de tempo é a frequência, o deslocamento a partir do ponto central é 
a elongação e a elongação máxima é denominada amplitude. Um tipo especial de movimento 
vibratório, em que a força restauradora é proporcional à elongação da partícula vibrante e de 
sinal contrário a essa elongação, é denominado movimento harmônico simples (M.H.S.). 
O estudo dos movimentos vibratórios é muito importante para a compreensão de 
vários fenômenos Físicos, como a luz, o som, as ondas de rádio etc. Outro ponto interessante 
dos movimentos oscilatórios é que, quando ocorrem em eventos periódicos regulares, como a 
sucessão de dias e das noites, permite a construção de relógios e controladores do tempo. 
105 
 
Os Físicos estudam o movimento oscilatório até hoje; esses estudos possibilitam a 
comunidade científica descrever e compreender inúmeros fenômenos da natureza. Galileu foi 
um dos primeiros cientistas a estudar esse tipo de movimento. Contam que o balanço do 
candelabro da Catedral de Pisa (Itália) fez com que Galileu reparasse que, embora os 
movimentos se tornassem cada vez mais curtos, o intervalo de tempo de cada balanço 
permanecia o mesmo. 
A fim de verificar este fato, Galileu utilizou como aparato experimental, uma pedra 
suspensa por um barbante e, ao imprimir movimento a pedra, media através de seu próprio 
pulso o intervalo de tempo de cada balanço. Com isso concluiu que sua observação feita ao 
movimento do candelabro estava correta: “o tempo de cada balanço permanecia praticamente 
o mesmo, enquanto que o balanço da pedra se tornava cada vez mais curtos”. 
O que Galileu estudou foi o movimento de um pêndulo que oscila em torno de um 
determinado ponto e o tempo de cada balanço refere-se ao período de oscilação. As 
conclusões de Galileu sobre o movimento dos pêndulos são válidas apenas para oscilações de 
pequenas amplitudes. O pêndulo observado por Galileu pode ser descrito como um pêndulo 
simples. 
Pêndulo simples é um sistema formado por um corpo de peso “P”, suspenso por um 
fio inextensível de comprimento “L” e massa desprezível em comparação com a massa“m” 
do corpo suspenso. Quando posto a oscilar, o pêndulo realiza um M.H.S. A figura 12.1 mostra 
um pêndulo simples na sua posição natural de equilíbrio e deslocado de uma amplitude na 
iminência da oscilação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12.1: Pêndulo simples em equilíbrio. 
 
Ao retirar o corpo da posição de equilíbrio, ou seja, incliná-lo de um ângulo “a” até 
uma posição “A”, conforme figura 12.2, em seguida abandoná-lo, o mesmo começará a 
oscilar em torno da posição inicial devido às forças que estão atuando no corpo, o peso e a 
tensão no fio. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12.2: Pêndulo simples em oscilação. 
106 
 
A componente Px do peso será responsável pela volta do corpo ao seu ponto de 
equilíbrio, atuando assim, como força restauradora. Desprezando as resistências ao 
movimento, o corpo abandonado do ponto A, passa pelo ponto de equilíbrio e alcança o ponto 
A' simétrico de A em relação a vertical 0Q. Alcançando A' o corpo inicia um movimento em 
sentido contrário retornando até A. Isso define um movimento oscilatório. Se o ângulo a for 
suficientemente pequeno (a << 10º) pode-se estudar um pêndulo como MHS em torno do 
ponto de equilíbrio 0. Aplicando ao corpo a equação fundamental da dinâmica, tem-se que: 
 
—. d = −Øg (12.1) 
uk = Øk (12.2) 
 
Considerando que a aceleração pode ser expressa como: d = −Ù	. _e Øg = Ø. sin Ú, 
substituindo no sistema, tem-se: ­. tan Ú = Ù	. _. Para ângulos pequenos (a << 10º) pode-se 
aproximar sin Ú ≈ tan Ú(ângulo em radianos). Assim, pode-se relacionar a posição x com o 
comprimento L, então: 
tan Ú = g¼ e ­. g¼ = Ù	. _. Como Ù = 	ÛÜ temos: u = 2ÝCˆ¼¯‰ (12.3) 
 
Através desta equação é possível obter informações a respeito do comportamento do 
pêndulo simples. Contudo, vimos anteriormente, que a força restauradora do pêndulo depende 
do sen a. Isto significa que somente para valores pequenos de a, quando se pode fazer sen α ≈ 
α (radianos), o período pode ser considerado independente da amplitude. Quando a amplitude 
não é pequena a equação (12.3) deixa de ser exata. O período, neste caso, pode ser calculado 
com a exatidão que se deseje tomando-se um número suficiente de termos da série (veja 
Symon, Mechanics, pg. 208), 
 
u 
 2ÝC¼¯ ˆ1 + )
]
	] ∙ ˜Þ 	 ˆß	‰ + )
]
	] ∙ ,
]
-] ∙ ˜Þ - ˆß	‰ + ⋯ ‰ (12.4) 
 
Vê-se, portanto, que o período depende de a. Para a << 10° o período real dado pela 
equação (12.4) difere do valor aproximado dado pela equação (12.3) em 0,05 %. Assim, na 
equação (12.4), podemos tomar o fator u = 2ÝCˆ¼¯‰ como igual ao período medido para 
ângulos pequenos (a << 10°). 
 
12.4 Procedimento Experimental 
12.4.1 Verificar a relação entre período de oscilação (T) e amplitude (A). 
i. Monte o aparato experimental (Base + Barras: longa e curta presas por presilhas). 
Prenda o fio numa extremidade e em seguida prenda uma massa na extremidade livre 
do fio de 150,0 cm de comprimento. 
ii. Afaste a massa do ponto de equilíbrio, para abandoná-la em diferentes amplitudes, 
conforme sugestão da tabela 12.1. 
107 
 
iii. Comece com uma amplitude de 5,0 cm da posição de equilíbrio e deixe oscilar 
livremente. Com um cronômetro (relógio, celular etc.) meça o tempo. 
iv. Repita o mesmo procedimento para as amplitudes de 10,0 cm, 15,0 cm e 20,0 cm, 
preenchendo os valores na tabela 12.1. 
v. Depois de anotar os tempos das oscilações, calcule o período a partir do tempo médio 
(Tm). 
Tabela 12.1. Amplitude (A) x Período de oscilações (T). 
 
Amplitude A Tempo para 5 Oscilações (s) Período 
(cm) T1 T2 T3 T4 T5 Tm T (s) 
5,0 
10,0 
15,0 
20,0 
25,0 
vi. Qual a dependência experimental entre o período de oscilação do pêndulo e a 
amplitude do pêndulo? Justifique. 
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________ 
 
12.4.2 Verificar a relação entre período de oscilação (T) e Nº de oscilações. 
i. Verifique se o período de oscilações depende do número de oscilações. Tome a 
amplitude de 10,0 cm e com o mesmo comprimento de fio de 150,0 cm, meça o tempo 
para 5, 10 e 15 oscilações, completa a tabela 12.2. 
 
Tabela 12.2. Período de oscilações (T) x Nº de oscilações (N). 
Nº de oscilações Tempo para as diferentes Oscilações (s) Período 
 T1 T2 T3 T4 T5 Tm T (s) 
5 
10 
15 
ii. O período de oscilações (T) depende do número de oscilações? Justifique. 
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________ 
12.4.3 Verificar relação entre o período de oscilação (T) e o comprimento do fio do pêndulo 
(L). 
i. Você iniciou a etapa anterior com um fio de comprimento igual a 150,0 cm e variou a 
amplitude. Agora com a mesma montagem vamos fixar a amplitude em 10,0 cm e 
fazer as medições do tempo de 5 oscilações mudando o comprimento do fio. 
ii. Anote os valores experimentais na tabela 12.3. 
iii. Afaste o pêndulo até uma amplitude de 10,0 cm para os diferentes comprimentos do 
fio (L). 
108 
 
iv. Meça o tempo para 5 oscilações completas, repita a medida 5 vezes, calcule o tempo 
médio e, a partir do tempo médio, determine o período para os diferentes 
comprimentos 150,0 cm, 100,0 cm e 50,0 cm. 
Tabela 12.3. Período de oscilações (T) x Comprimento (L). 
Comprimento L Tempo para 5 Oscilações (s) Período 
(cm) T1 T2 T3 T4 T5 Tm T (s) 
150,0 
100,0 
50,0 
v. De que forma foi alterado o período do pêndulo (T) em função da variação do 
comprimento (L)? Justifique. 
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________ 
 
12.4.4 Verificar relação entre o período de oscilações (T) e a massa do corpo (m). 
i. Utilizando a mesma montagem anterior, com um fio de comprimento de 100,0 cm, 
altere os valores das massas de 50,0 g a 150,0 g. 
ii. Anote os valores na tabela 12.4. Inicie as medições com uma massa de 50,0 g, 
amplitude de 10,0 cm. 
iii. Meça o tempo para 5 oscilações completas, repita a medida 5 vezes, calcule o tempo 
médio e, a partir do tempo médio, determine o período para as diferentes massas 50,0 
g, 100,0 g e 150,0 g. 
Tabela 12.4. Período de oscilações (T) x massa (m). 
Massa Tempo para 5 Oscilações (s) Período 
(g) T1 T2 T3 T4 T5 Tm T (s) 
50,0 
100,0 
150,0 
iv. Com os valores do período e do comprimento do pêndulo obtidos no item 12.4.3 (ii), 
construa um gráfico em papel mm, pelo método da anamorfose, de T2 versus L. 
v. A partir do gráfico determine o valor da aceleração da gravidade local “g”. Considere 
o valor teórico de g = 9,8 m/s2. Determine o desvio relativo percentual da aceleração 
da gravidade, de seu valor encontrado a partir do gráfico experimental. 
g = __________± ________. ΔR% = __________%. 
12.5. Atividade suplementar 
12.5.1. Entre no site: http://phet.colorado.edu/sims/pendulum-lab/pendulum-lab_en .html e 
acesse a simulaçãodo pêndulo simples e compare com seus resultados obtidos no laboratório. 
12.5.2. Talvez seja necessário, para executar a simulação, baixar e instalar o java (site: 
www.java.com) em seu computador. Caso já esteja instalado basta clicar sobre o aplicativo. 
 
109 
 
EXPERIMENTO 13 
 
COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO, ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE E 
DISSIPAÇÃO DE ENERGIA (opcional)
 
13.1 Objetivos 
• Determinar o coeficiente de restituição (e) de uma bola em queda livre; 
• Determinar a aceleração da gravidade local (g) a partir do coeficiente de restituição; 
• Analisar a dissipação de energia do sistema graficamente. 
13.2 Material 
• Um computador munido de programa capaz de gravar som e reproduzir graficamente 
(ex: audacity, praat); 
• Microfone; 
• Bolas elásticas (ping-pong, frescobol, etc) com massa conhecida; 
• Fita métrica. 
 
13.3 Teoria e Descrição do experimento 
Neste experimento vamos abandonar uma pequena esfera (bolinha) de uma altura e 
gravar o som dos impactos da esfera em diferentes momentos de impacto, conforme figura 
13.1. A partir daí, vamos medir o tempo de impacto obtido na gravação. 
13.3.1 Determinação de e: 
 
Abandona-se a bolinha de uma altura pré-determinada h e grava-se o som dos 
impactos sucessivos (1, 2, 3, ..., n). Através da análise da onda gerada no programa obtêm-se 
os intervalos de tempo entre dois impactos sucessivos (∆t12, (∆t23, ..., ∆tn-1,1)). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13.1: Esquema ilustrando a queda de uma bolinha em diferentes pontos de impactos. 
 
Denotemos por vj, a velocidade, instantaneamente antes do j-ésimo impacto e por vj’, a 
velocidade logo após o j-ésimo impacto. O coeficiente de restituição, portanto, será dado pela 
equação 13.3. 
110 
 
Tomemos ¶á” 
 ¶á�)” , assim 
 
0 = ¶á” − ­ ∆â,âã[	 ∴ ¶á” = ­
∆â,âã[
	 = ¶á�) (13.1) 
 
Para a velocidade ¶á�)” , teremos, analogamente 
 
¶á�)” = ­ ∆âã[,âã]	 = ¶á�	 (13.2) 
 
Logo, 
 
› = tâã[åtâã[ =
∆âã[,âã]
∆â,âã[ (13.3) 
13.3.2 Determinação de g 
 
Seja 
 
› = tâåtâ (13.4) 
 
Mas, 
 
¶) = R2. ­. ℎ → ¶)” = ›R2. ­. ℎ (13.5) 
 
Então, 
 
∆–)	 = 	t[å¯ = 	¦R	.¯.ç¯ (13.6) 
 
Assim a aceleração pode ser expressa por 
 
­ = �.ç.¦](∆[])] (13.7) 
13.4 Atividades e Questões 
 
Anote o valor da altura inicial de queda. ho = __________________. 
 
Sincronize o abandono da esfera com o disparo do programa de gravação de áudio, a 
fim de minimizar o erro no tempo do primeiro impacto. Caso necessário, execute dois 
lançamentos e calcule os valores médios. 
 
Meça o tempo adquirido pelo programa de áudio e preencha a tabela 13.1, a seguir. 
 
111 
 
Tabela 13.1. Período de oscilações (T) x massa (m). 
 
Nº Medidas Tempo impacto (s) ∆–á,á�) (s) › = ∆âã[,âã]∆â,âã[ (s) ­ =
�.ç.¦̅h]
è∆h,âé] (m/s
2) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 ############# ############## 
7 ######### Média: Média: 
 
 
13.4.1 Análise da dissipação da energia 
 
i. Utilizando papel milimetrado construa um diagrama da Energia versus tempo e observe se 
há alguma lei que rege essa dissipação. 
 
ii. Usando uma planilha eletrônica trace a linha de tendência e evidencie a equação da relação 
E versus t. Compare ao gráfico traçado no item anterior. 
 
iii. Conhecendo a relação E versus t utilize, se necessário, um dos métodos de linearização e 
aplique à curva encontrada. 
 
iv. Faça uma discussão dos resultados encontrados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
112 
 
EXPERIMENTO 14 
 
OUVINDO A QUEDA LIVRE (ADAPTADO DO MATERIAL DO PROF. C. E. 
AGUIAR -UFRJ) - (opcional) 
 
 
14.1 Objetivos 
• Determinar a aceleração gravitacional e obter a equação horária do movimento de 
queda livre de um corpo. 
14.2 Material 
• Um computador munido de programa capaz de gravar som e reproduzi-lo 
graficamente (ex: Audacity, Praat, Goldwave) e microfone; 
• Porcas; 
• Barbante; 
• Régua. 
14.3 Descrição 
Neste experimento pretendemos determinar a aceleração gravitacional de um corpo em 
queda livre, bem como determinar a equação horária deste movimento. Uma dificuldade 
encontrada em um experimento deste tipo reside no fato da aceleração gravitacional, ­·, ter um 
valor muito alto de modo que se quiséssemos realizar um experimento a fim de determinar o 
módulo de seu valor ou mesmo obter a função horária y(t) deste movimento, através de uma 
tomada manual dos tempos, isso seria quase impossível: o valor aproximado de 10,0 m/s² 
implica que um corpo em queda livre percorreria, em 1,0 s, uma distância aproximada de 5,0 
m! Ou seja, se torna impossível fazer essa medição para diversas distâncias diferentes e ainda, 
sendo o tempo de reação humana na ordem de 0,5 s, teríamos um erro de cerca de 2,5 m! 
 
14.4 Teoria e procedimento experimental 
Uma solução a esse problema seria uma tomada de tempo eletrônica (com um kit 
próprio a esse fim) ou através de filmagem. No primeiro caso, esses kits geralmente são caros 
e estão indisponíveis na grande maioria das escolas; no segundo caso, uma câmera comum 
(fotográfica, por exemplo) filma na taxa de 30 fps (= 30 fotos por segundo) e isso faz com que 
se superponha um “rastro” de corpos ficando difícil de se definir a posição do corpo em queda 
em determinado instante. Aqui daremos uma solução a esse problema que necessitará apenas 
de um computador com microfone. 
113 
 
O procedimento experimental é bem simples: amarramos 
algumas porcas no barbante (de 05 a 06, por exemplo) de modo 
que fiquem igualmente espaçadas, por uma distância conhecida d 
(ver figura 14.1). Em seguida abandonamos o conjunto e 
gravamos o som dos impactos através de um programa (listado 
acima). Com o auxílio deste programa determinamos o intervalo 
de tempo entre os impactos consecutivos destas porcas com a 
mesa ou o solo. Vejamos como é possível obter a aceleração da 
gravidade e a equação horária do movimento a partir desses 
dados. 
 
 
 
Figura 14.1: Esquema ilustrando um cordão com diversas porcas amarrada à distâncias 
aproximadamente iguais. 
 
Seja a equação horária de uma partícula em queda livre no vácuo e partindo do 
repouso 
ba 
 )	­–a², (14.1) 
 
onde o índice ‘n’ se refere à enésima partícula, yn a sua posição e o tempo tn é o seu instante 
de impacto. Assim, a distância entre duas porcas consecutivas será 
ba�) − ba = )	 ­(–a�)	 − –a	) = )	 ­(–a�) + –a)(–a�) − –a) (14.2) 
Assim, 
 
kiã[N ki
iã[Ni = ­ ˆ
iã[�i
	 ‰ ⟹ ¶ì = ­–ì, (14.3) 
 
na qual denotaremos vm por velocidade média e tm, pelo tempo médio. Assim como sabemos 
as posições ba e medimos os tempos –a , podemos, com o auxílio da equação (14.3) 
determinar a aceleração gravitacional via determinação do coeficiente angular da reta do 
gráfico ¶ì × –ì e ainda construir o gráfico de b × –. 
 
14.5 Atividades e Questões 
No experimento adotaremos uma distância entre as porcas igual a 20,0 cm = 0,20 m e, 
considerando a posição da primeira porca b� 
 0 para a qual –� = 0, preencha a tabela 14.1. 
Tabela 14.1. Valores de posição e tempo da queda livre das porcas (arruelas). 
 
yn (m) 0,0 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 
tn (s) 
 
114 
 
14.5.1 A partir destes dados construa o gráfico y versus t em papel milimetrado ou lance 
numa planilha eletrônica e obtenha o gráfico. 
 
14.5.2 Levante a curva de tendência e retire a equação equivalente. Que tipo de relação existe 
entre a altura e o tempo? 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________14.5.3 Escreva a equação encontrada: 
 
14.5.4 Quanto vale o módulo da aceleração gravitacional? ______________________ 
 
Se considerarmos g = 9,82 m/s2, qual o valor da discrepância obtida? _______________ 
 
14.5.5 Usando a equação (14.3) preencha a tabela 14.2 com valores de vm versus tm: 
Tabela 14.2. Valores de velocidade e tempo da queda livre das porcas (arruelas). 
 
vm (m/s) 
tm (s) 
 
14.5.6 A partir destes dados construa o gráfico v versus t em papel milimetrado ou lance numa 
planilha eletrônica e obtenha o gráfico. 
 
14.5.7 Levante a curva de tendência e retire a equação equivalente. Que tipo de relação existe 
entre a velocidade e o tempo? 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
14.5.8 Escreva a equação encontrada: 
 
14.5.9 Quanto vale o módulo da aceleração gravitacional? ______________________ 
 
Se considerarmos g = 9,82 m/s2, qual o valor da discrepância obtida? _______________ 
 
14.5.10 O valor da aceleração gravitacional obtido pela curva v versus t e y versus t são 
iguais? Explique. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
Qual o desvio entre estes valores? _____________________ 
115 
 
APÊNDICE A 
 
CONSTANTES E RELAÇÕES DE CONVERSÃO 
 
 
1. Constantes Físicas 
 
Item Nome Símbolo Valor 
01 Velocidade da luz (vácuo) c 2,99792458 x 108 m/s 
02 Módulo da carga do elétron e 1,6021773349 x 10-19 C 
03 Constante Gravitacional G 6,6725985 x 10-11 N.m2/kg2 
04 Constante de Planck h 6,626075540 x 10-34 J.s 
05 Constante de Boltzmann k 1,38065812 x 10-23 J/K 
06 Aceleração da gravidade Terrestre g 9,80665 m/s2 
07 Constante dos gases R 8,31451070 J/mol.K 
08 Massa do elétron me 9,109389754 x 10-31 kg 
09 Massa Próton mp 1,672623110 x 10-27 kg 
10 Permeabilidade do vácuo µ0 4pi x 10-7 Wb/A.m 
11 Permissividade do vácuo í� 
 1 º�î	⁄ 8,854187817 x 10-12 C2/N.m2 
12 Permissividade do vácuo 1 4⁄ Ý ∈� 8,987551787 x 109 N.m2/C2 
13 Energia repouso elétron me c2 0,5109990615 MeV 
14 Zero absoluto 0 K -273,15°C 
15 Campo magnético terrestre (pólo) T ≅ 70.000 x 10-9 Tesla (T) 
16 Campo magnético terrestre (equador) T ≅ 35.000 x 10-9 Tesla (T) 
17 
 
 
2. Relações de conversão de grandezas Físicas 
 
Item Valor Grandeza Valor 
01 1 caloria (cal) Energia 4,186 Joules (J) 
02 1 quilowatt-hora (kWh) Energia 3,600 x 106 Joules (J) 
03 1 atmosfera (atm) Pressão 1,013 x 105 Pascal (Pa) 
04 1 eletro-volt (eV) Massa/Energia 1,074 x 10-9 unidade massa (u) 
05 1 angstrom (šð) Comprimento 1,0 x 10-10 metros (m) 
06 1 unidade de massa (u) Massa 1,661 x 10-27 quilograma (kg) 
07 1 eletro-Volt (eV) Energia 1,6021773349 x 10-19 Joules (J) 
08 1 radiano Ângulo 57,29° (graus) 
09 1 Gauss Campo magnético 1 x 10-4 Tesla 
10 1 cavalo-vapor (CV) Potência 745,7 Watts (W) 
11 1 Newton (N) Força 102,0 grama-força (gf) 
12 1 Weber/metro2 (Wb/m2) Eletricidade/magnetismo 1 Tesla = 1 x 104 Gauss 
13 
 
 
 
 
116 
 
APÊNDICE B 
 
MODELO RELATÓRIO 
 
 
 
As aulas experimentais realizadas nos laboratórios de Física requerem dos estudantes a 
apresentação de um relatório que contenha os passos do trabalho realizado nas bancadas, bem 
como a apresentação organizada dos dados experimentais e as possíveis análises e 
representações gráficas. 
Neste roteiro estamos sugerindo algumas normas que usualmente são utilizadas para a 
elaboração de relatórios. Com isso pretendemos auxiliá-los nesta importante tarefa didática, 
ao mesmo tempo em que ocorrerá um primeiro contato com a elaboração de trabalhos 
científicos, ampliando os conhecimentos adquiridos nas aulas teóricas e, fundamentalmente, 
contribuindo para a sua formação geral e profissional. 
 Esse roteiro pretende servir de modelo para a confecção dos relatórios, mas não 
inviabiliza possíveis variações e acréscimos por parte das equipes. Lembre-se que a 
criatividade e a autonomia nas ações é o diferencial de qualquer trabalho. 
 
 
Passos para a elaboração: 
 
1. Identificação dos Autores 
 
 Identificar os autores participantes da aula prática e da confecção do relatório. 
 
2. Título do Experimento 
 
 Neste item o autor deverá deixar claro o título do experimento, de tal modo que o 
leitor saiba a primeira vista o que foi investigado. 
 
3. Objetivo 
 
 Indicar de forma sucinta os objetivos do trabalho. 
 
4. Introdução 
 
 Fazer um pequeno resumo de todo o relatório dizendo de forma reduzida o que será 
apresentado nas secções seguintes. 
 
5. Fundamentação teórica 
 
 Teoria que se pretende comprovar na prática, ou seja, aquela teoria que fundamenta os 
cálculos efetuados, os fenômenos observados, etc. Ao ler este item o leitor deverá se sentir 
esclarecido sobre os fundamentos teóricos que servirão como base para o experimento a ser 
realizado. 
 
6. Material Utilizado 
 
 Neste item o autor deve listar todo o material e equipamento utilizado na realização do 
experimento, não esquecendo as especificações técnicas, marcas, modelos, etc. 
 
117 
 
7. Procedimento Experimental 
 
 Descrever o procedimento experimental usado, detalhar todos os passos executados na 
obtenção dos dados experimentais. Incluir diagramas experimentais utilizados. 
 
 7.1. Dados Experimentais 
 
 Apresentar de forma clara todos os resultados experimentais obtidos e respectivos 
erros de leitura, sob a forma mais conveniente: tabelas, gráficos, filmes, sons, etc. 
 
 7.2. Tratamento e Análise dos dados experimentais 
 
 Efetuar e apresentar todos os cálculos necessários à obtenção dos resultados 
pretendidos e respectivas incertezas. Calculo dos erros, representações gráficas, análises 
dimensionais, etc. Este tópico constitui uma das partes mais importantes do relatório. 
 
8. Discussão e Conclusão 
 
 Resumir e comentar os resultados obtidos, comparando-os com os valores previstos. 
Analisar o cumprimento do objetivo proposto para o trabalho. Enumerar as principais causas 
de erros experimentais e possíveis métodos de evitar ou minorar. Fazer uma análise crítica do 
conjunto do trabalho. Este tópico permite avaliar o grau de compreensão do experimento e é 
um diferencial entre os diferentes grupos de alunos. 
 
9. Referências Bibliográficas 
 
 Listar os livros, tabelas, manuais, artigos científicos que serviram de consulta para a 
elaboração do relatório. A bibliografia deve ser listada em ordem alfabética e de acordo com 
as normas da “ABNT” (Associação Brasileira de Normas Técnicas). Veja a seguir alguns 
exemplos de referências. 
 
o Exemplo de livro: 
 
GASPAR, Alberto. Física, Eletromagnetismo: Física Moderna. Vol. 3. Ed. Ática. Vol. 3, p.23, 
2000 
 
o Artigos de Periódicos (On-line): 
 
AUTOR. Título do artigo. Título da publicação seriada, local, volume, número, mês ano. 
Paginação ou indicação de tamanho. Disponível em: <Endereço eletrônico>. Acesso em: data. 
 
Exemplo: 
 
 MALOFF, Joel. A internet e o valor da "internetização". Ciência da Informação, 
Brasília, v. 26, n. 3, 1997. Disponível em: <http://www.ibict.br/cionline/>. Acesso em: 18 
maio 1998. 
 
o Homepage: 
 
AUTOR. Título. Informações complementares (Coordenação, desenvolvida por, apresenta..., 
quando houver etc). Disponível em: <Endereço>. Acesso em: data. 
 
Exemplo: 
 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA. BibliotecaUniversitária. 
118 
 
Serviço de Referência. Catálogos de Universidades. Apresenta endereços de Universidades 
nacionais e estrangeiras. Disponível em: <http://www.bu.ufsc.br>. Acesso em: 19 maio 1998. 
 
10. Apêndices 
 
 Incluir neste item os gráficos construídos a partir dos dados, tabelas que foram 
verificados no experimento realizado. 
 
11. Anexo 
 
 Neste item devem ser apresentados dados, tabelas, gráficos etc., de outros autores. Ex.: 
tabela de densidades dos sólidos, gráfico da órbita de um planeta, etc. 
 
 
 
 
Referências
 
 
• JURATIS, K. R.; DOMICIANO J. B.; Introdução ao Laboratório de Física 
Experimental, Volume 1, 1ª Edição, Eduel, 2007. 
• HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: 
Eletromagnetismo, Volume 2, 9ª edição, LTC, 2012. 
• YOUNG, H.; FREEDMAN, R. Física II: Eletromagnetismo – Sears & Zemansky, 
12ª edição, Pearson, 2009. 
• BENENSON, W. ; HARRIS, J. W. ; STOCKER, H. ; LUTZ, H.: Handbook of 
Physics. Springer-Verlag, 2002 
• NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica – vol. 2, 1ª edição, Blücher, 1997. 
• ALONSO, M; FINN, E. J. Física, um curso universitário- vol II. 12ª REIMP. 
Blücher, 2005.