Cálculo Diferencial Apostila 1

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ALCINDO MARCIO
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SUMÁRIO
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 . Funções no Excel e taxa de variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 .1 Obtenção de um modelo matemático no Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 .2 Taxa de variação média (TVM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 .3 Velocidade média e aceleração média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 . Cálculo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 .1 O conceito de velocidade instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 .2 O conceito de função derivada ou função diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 .3 O conceito de derivada ou diferencial num ponto x = x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 .4 Cálculo de derivadas e aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 . O modelo linear e a interpretação geométrica da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 .1 Interpretação da taxa de variação do modelo linear como inclinação da reta . . . 31
3 .2 A interpretação geométrica da derivada e problemas de otimização . . . . . . . . . 34
4 . O cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 .1 Cálculo de áreas usando o Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 .2 O conceito de integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 .3 Aplicações de cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
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INTRODUÇÃO
O cálculo foi desenvolvido como instrumento para investigar problemas que envolvem determinação 
de áreas e estudo do movimento. Uma descrição precisa do movimento exige um entendimento 
dos conceitos de velocidade instantânea e de aceleração instantânea, por meio da derivada. Outra 
motivação para o desenvolvimento do cálculo foi a determinação de áreas de regiões com fronteiras 
curvas, pelo do conceito de integral.
Ambos os conceitos de derivada e de integral são definidos por processos de limites, que, no 
nosso caso, serão abordados de forma bem intuitiva, com auxílio de calculadora científica e de 
planilhas eletrônicas construídas pelo Excel.
Conforme veremos ao longo do nosso texto, para um bom entendimento e apropriação desses 
conceitos, é necessária uma sólida base aritmética, algébrica e analítica pertinente à matemática 
estudada na educação básica. Dessa forma, poderemos perceber a importância da apropriação 
dos conceitos referentes aos assuntos abordados neste texto na sua formação profissional, tanto 
no aperfeiçoamento de conteúdo quanto na contribuição no que diz respeito ao desenvolvimento 
de metodologias de ensino dos conteúdos matemáticos inerentes à educação básica.
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1 . FUNÇÕES NO EXCEL E TAXA DE VARIAÇÃO
1 .1 Obtenção de um modelo matemático no Excel
Em diversas situações do dia a dia, podemos observar alterações nos valores referentes aos 
fatores diretamente relacionados com elas. Esses fatores são denominados variáveis e podem estar 
relacionados entre si. Por exemplo, a poluição do ar em uma cidade pode depender do número de 
veículos que transitam nas ruas, do preço da gasolina e dos impostos cobrados pelo governo aos 
revendedores e fabricantes. Relações como essa podem ser representadas matematicamente por 
uma equação, que, por sua vez, pode apresentar características que a define como uma função 
matemática. Em termos gerais, uma função consiste em dois conjuntos e uma regra (ou equação) 
que associa cada elemento de um primeiro conjunto a um outro único elemento do segundo.
As equações que representam os modelos funcionais podem ser obtidas, dentre outras técnicas, 
por meio das planilhas eletrônicas criadas em programas como o Excel. Vejamos um exemplo. A 
tabela a seguir mostra o lucro (L) de uma empresa obtido na venda de (x) unidades de um produto.
TABELA 1 – Venda e lucro
Número de unidades vendidas (x) Lucro em reais (L)
0 -12.000
2 0
4 8.000
6 14.400
10 16.000
Fonte: Elaborado pelo autor.
Como podemos observar, cada um dos elementos do conjunto de valores de x possui um único 
correspondente no conjunto de valores de L. Dizemos que L é uma função de x e representamos 
esse fato por L(x). Assim, por exemplo, a informação descrita na tabela “quando são vendidas 6 
unidades do produto, o lucro da empresa é R$ 14.400,00” será denotada por L (6) = 14.400. Dizemos 
também que x = 6 é um elemento do domínio da função, assim como L = 14.400 é a imagem de x = 6.
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FIGURA 1 - Planilha do Excel
Fonte: istock/ Motortion
Para obtenção do modelo funcional que representa essa situação hipotética, vamos utilizar 
o roteiro a seguir, a ser aplicado no Excel:
1. Digitar as duas colunas da tabela nas colunas A e B da planilha do Excel.
2. Selecionar os dados digitados nessas colunas e selecionar o assistente gráfico.
3. Optar pelo gráfico do tipo Dispersão (XY), escolhendo em seguida um gráfico de linhas.
4. Clicar com o lado direito do mouse sobre a linha do gráfico e selecionar a opção linha 
de tendência.
5. Escolher, dentre os modelos sugeridos, polinomial de grau 2, visto que o gráfico da 
função é um arco de parábola.
6. Na aba Opções, selecione Exibir equação e finalize.
FIGURA 2 – Gráfico da função lucro
Fonte: Elaborado pelo professor.
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A lei funcional (função) obtida é y = -400x2 + 6.800x – 12.000.
Ou, representando y como L(x), temos: L(x) = -400x2 + 6 .800x - 12 .000
O fato de conhecermos essa lei funcional permite responder a algumas questões relevantes 
para a situação abordada. Vejamos:
Exemplo 1: Considere a função lucro em reais referente à venda de x unidades de um artigo, 
denotada por:
L(x) = -400x2 + 6 .800x - 12 .000
a) Qual o lucro específico da empresa referente à venda da décima unidade?
Neste caso, pretendemos estabelecer o lucro específico da décima unidade, que corresponde a 
L(10) – L(9), ou seja, o lucro na venda de 10 unidades menos o lucro na venda de 9 unidades.
L(9) = -400 . (9)2 + 6 .800 . (9) – 12 .000 => L(9) =13 .800 =>L(10) = 16 .000
Finalmente, podemos calcular o lucro específico na venda da 10ª unidade:
L(10) – L(9) = 2 .200
Portanto, a venda da 10ª unidade implicaum lucro de R$ 2.200,00.
b) Qual o lucro médio obtido na venda de 10 unidades?
O lucro médio obtido na venda de x unidades – LM(x) – é dado pelo quociente entre o lucro obtido na 
venda de x unidades e o número de unidades vendidas x, ou seja, 
Logo, temos: .
Isso significa que, em média, cada uma das 10 unidades proporcionou um lucro igual a R$ 1.600,00, 
que difere do lucro especifico referente à venda da 10ª unidade, que foi de R$ 2.200,00, obtido no item 
b.
1 .2 Taxa de variação média (TVM)
Seja y = f(x) uma função de uma variável real. Definimos a taxa de variação média dessa função, 
quando x varia de x1 até x2, pela razão:
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Com intuito de exemplificarmos essa definição por meio de uma situação de cunho prático, 
vamos analisar o exemplo a seguir.
Exemplo 2: Considerando a função lucro em reais referente à produção de x milhares de unidades 
de um artigo denotada por:
L(x) = -400x2 + 6 .800x – 12 .000
Determinar:
a) A taxa de variação média do lucro quando o número de unidades vendidas x varia de 6 para 10.
A taxa de variação média solicitada é dada por: 
 reais / unidade.
Isso significa que, quando aumentamos a venda de 6 unidades para 10, cada uma destas 
proporcionará para a empresa, em média, um lucro de R$ 400,00.
b) A taxa de variação média do lucro quando o número de unidades vendidas x varia de 9 unidades 
produzidas para 10 unidades.
Observamos que esse valor coincide com o lucro específico referente à venda da 10ª unidade, 
calculada no item (a) do exemplo 1.
c) A taxa de variação média do lucro quando o número de unidades vendidas x varia de 0 para 10 
unidades.
.
Observe que o valor do lucro médio referente à venda de 10 unidades, ou seja, R$ 1.600/unidade, 
calculado no item b do problema 1, difere do valor da taxa de variação média do lucro quando o 
número de unidades vendidas varia de 0 para 10, que foi de R$ 2.800,00/unidade.
Este fato ocorre pelo fato de a taxa de variação média ser calculada pela divisão entre duas taxas de 
variações (a do lucro e a do número de unidades vendidas), enquanto que o lucro médio é calculado 
pela divisão do lucro obtido na venda de x unidades por esse número x.
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1 .3 Velocidade média e aceleração média
FIGURA 3 – Velocidade e aceleração
Fonte: chinaface/Istock
Se um automóvel, durante uma viagem, percorre uma distância de 560 km em 8 horas, você e, 
provavelmente, muitas outras pessoas diriam: “O automóvel desenvolveu, em média, 70 km/h”. Esse 
resultado, que foi obtido dividindo-se a distância percorrida (560 km) pelo tempo de viagem (8 h), é 
o que denominamos velocidade média e representamos por vm. A distância percorrida é também 
chamada de deslocamento, de um modo geral denotado por ∆x ou ∆s, e o tempo necessário para 
realizá-lo é também chamado intervalo de tempo, que será representado por ∆t. Temos, então, por 
definição:
Esse deslocamento pode ser definido matematicamente de uma forma mais rigorosa como a 
diferença numérica entre a posição escalar inicial xinicial e a posição escalar final xfinal do automóvel.
∆x = xfinal – xinicial
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O tempo gasto no percurso pode ser definido matematicamente de forma mais rigorosa como 
a diferença entre o instante final do evento tinicial e o instante inicial do evento tfinal.
∆t = tfinal – tinicial
Esse termo pode ser entendido, geometricamente, como um intervalo na reta t orientada que 
contém todos os instantes possíveis associados ao movimento. Na prática, um cronômetro é o 
instrumento que mede a duração do evento.
Podemos afirmar também que a velocidade média é a taxa de variação média da posição em 
relação ao tempo.
Vejamos outro exemplo:
Exemplo 3: Um ponto material desloca-se sobre uma linha qualquer, e verificamos que, no 
instante t0 = 1 s, ele se encontra na posição x0 = 8 cm. Em outro instante t1 = 3 s, sua nova posição 
é x1 = 12 cm.
Para determinarmos sua velocidade média, faremos os cálculos a seguir:
Mais uma vez, chamamos a atenção para o significado do valor obtido.
Observe que o valor 2 cm/s só seria real se o ponto material se deslocasse com uma velocidade 
constante, o que não é obrigatoriamente verdadeiro. Ou seja, durante o movimento do ponto material, 
a sua velocidade pode ter sido maior, igual ou menor que 2 cm/s. É importante notar que a velocidade 
média (que é uma taxa de variação média do deslocamento em relação ao tempo) poderá ser positiva, 
negativa ou nula, dependendo do movimento analisado.
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O conceito de aceleração está relacionado com uma mudança de velocidade num determinado 
intervalo de tempo. Assim, a aceleração média é definida como a taxa de variação média da velocidade 
em relação ao tempo. Nesse caso, teríamos a variação de velocidade definida por:
∆v = vfinal – vinicial
Logo, podemos definir a aceleração média, que será denotada por am, por:
∆v = vfinal – vinicial
Assim, por exemplo, se um carro está com velocidade de 10 m/s e, após 12 s, sua velocidade 
passa a ser de 70 m/s, podemos afirmar que a aceleração média dele é:
Afirmamos que, em média, esse carro aumentou sua velocidade em 5 m/s em cada segundo. 
É importante notar que, assim como a velocidade média, a aceleração média poderá ser positiva, 
negativa ou nula, dependendo do movimento analisado.
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2 . CÁLCULO DIFERENCIAL
2 .1 O conceito de velocidade instantânea
FIGURA 4 – Cálculo diferencial
Fonte: istock/OstapenkoOlena
Um automóvel inicia uma viagem às 14 horas e percorre 150 km durante 3 horas. Sua velocidade 
média durante esse percurso foi de 50 km/h. Entretanto, o proprietário desse carro recebe uma 
multa, na qual consta uma velocidade de 68 km/h às 15h43 num trecho desse percurso, ao passar 
por um radar onde a velocidade máxima deveria ser de 60 km/h. Essa velocidade consiste no valor 
da velocidade do automóvel exatamente às 15h43 e é denominada velocidade instantânea.
Vamos considerar uma situação hipotética em que iremos analisar o movimento de um móvel 
para desenvolvermos um procedimento de obtenção da velocidade instantânea.
Exemplo 4: Os dados a seguir descrevem as posições de um carrinho deslocando-se numa 
trajetória retilínea demarcada em centímetros, decorridos t minutos após o início do seu movimento.
TABELA 2 - Relação entre posição do carrinho e tempo decorrido
 Tempo decorrido em minutos (t) Posições do carrinho na trajetória retilínea em centímetros (s)
0 16
1 7
2 4
3 7
4 16
Fonte: Elaborado pelo autor.
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a) Utilizando o algoritmo para obtenção de um modelo matemático no Excel, construa o gráfico da 
função horária da posição e descreva sua equação.
FIGURA 5 - Gráficos da posição s em função do tempo t
Fonte: Elaborado pelo autor.
A lei funcional (função) obtida é y = 3x2 - 12x + 16 ou, representando y como f(x), temos f(x) = 3x2 - 12x 
+ 16. Na física, é mais usual s = 3t2 - 12t + 16 ou s(t) = 3t2 - 12t + 16.
1. Calcule a velocidade média do móvel no intervalo de t = 3 s a t = 4 s:
2. Calcule a velocidade média do móvel no intervalo de t = 3 s a t = 3,5 s:
3. Calcule a velocidade média do móvel no intervalo de t = 3 s a t = 3,1 s:
4. Calcule a velocidade média do móvel no intervalo de t = 3 s a t = 3,01 s:
5. Calcule a velocidade média do móvel no intervalo de t = 3 s a t = 3,001 s:
b) Calcule a velocidade média do móvel no intervalo de t = 3 s a t = 4 s:
c) Calcule a velocidade média do móvel no intervalo de t = 3 s a t = 3,5 s:
d) Calcule a velocidade média do móvel no intervalo de t = 3 s a t = 3,1 s:
e) Calcule a velocidade média do móvel no intervalo de t = 3 s a t = 3,01 s:
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f) Calcule a velocidade média do móvel no intervalo de t = 3 s a t = 3,001 s:
Como podemos observar, quanto mais o valor de t se aproxima de 0, o valor da velocidade média 
aproxima-se de 6 m/s. Observe a tabela a seguir:
TABELA 3 - Velocidade média
Item do problema 4 Valor de Valor de (cm/s) 
b 1 9
c 0,5 7,5
d 0,1 6,3
e 0,01 6,03
f 0,001 6,003
Fonte: Elaborado pelo autor.
Essevalor (6 m/s) é chamado de velocidade instantânea no instante t = 3 s.
Afirmamos então que:
A velocidade instantânea é o valor limite da velocidade média quando o intervalo de tempo t se 
aproxima cada vez mais de zero .
Como a velocidade média é definida pela razão , podemos dizer também que:
A velocidade instantânea é o valor limite da razão quando intervalo de tempo t se aproxima 
cada vez mais de zero .
As afirmações podem ser matematicamente descritas da seguinte forma:
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No exemplo 4, se quiséssemos determinar a velocidade instantânea em t = 2 s, por exemplo, 
bastaria calcular as velocidades médias nos seguintes intervalos:
• t = 2s a t = 3s;
• t = 2s a t = 2,5s;
• t = 2s a t = 2,1s;
• t = 2s a t = 2,01s
• t = 2s a t = 2,001s.
Em seguida, verifica-se para que valor a velocidade média encontrada esteja tendendo. Resposta: 
zero. O que esse resultado significa?
Como foi observado no exemplo 4, os cálculos para obtenção da velocidade instantânea são 
extensos, mas fundamentais para apropriação do seu conceito. Nosso próximo passo é determinar, 
a partir da função horária da posição, a função horária da velocidade, pois, nesse caso, poderemos 
calcular o valor da velocidade instantânea utilizando esta em qualquer instante de forma mais 
rápida. Lembre que a função horária da posição é s(t) = 3t2 – 12t + 16.
Observe que, do item b ao item f do exemplo 4, os intervalos variam de t = 3 s a t = 3 + . Para 
um instante qualquer t, temos que essa variação seria de t a t + . Para facilitar nossos cálculos a 
seguir, representemos o intervalo de tempo por h.
Dessa forma, podemos afirmar que a variação de tempo ocorrerá do instante t ao instante t + 
h. Vamos reordenar alguns conceitos e procedimentos já estudados:
∆x = xfinal – xinicial
∆t = tfinal – tinicial
Ou
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Lembre que fizemos ∆t = h
Assim, podemos escrever:
tinicial = t e tfinal = t + h
xinicial = s(t) e xfinal = s(t + h)
Como s(t) = 3t2 – 12t + 16, temos que s(t + h) = 3(t + h)2 – 12(t + h) + 16.
Como ∆x = xfinal – xinicial, temos:
xfinal = s(t + h) = 3(t + h)2 – 12(t + h) + 16 e xinicial = s(t) = 3t2 – 12t + 16
Assim, ∆x = xfinal – xinicial = [3(t + h)2 – 12(t + h) + 16] – [3t
2 – 12t + 16].
Logo, ∆x = 6th + 3h2 – 12h.
Temos ainda que ∆x = xfinal – xinicial = t + h – t = h.
Observe que, a partir da função horária da posição s = 3t2 – 12t + 16, obtivemos a função horária 
da velocidade instantânea vinstantânea = 6t – 12. A partir dessa equação, podemos obter diretamente 
as velocidades instantâneas nos instantes que quisermos. Por exemplo, em t = 3 s, temos vinstantânea 
= 6t – 12 = 6(3) – 12 = 6m/s, conforme obtido após a execução dos cálculos dos itens (b), (c), (d), 
(e) e (f).
Agora, podemos calcular diretamente a velocidade instantânea, por exemplo, em t = 1s: basta 
fazer vinstantânea = 6t – 12 = 6(13) – 12 = 6m/s.
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2 .2 O conceito de função derivada ou função diferencial
Como vimos, a velocidade instantânea pode ser escrita por:
Considerando:
tinicial = t e tfinal = t + h
xinicial = s(t) e xfinal = s(t + h)
Temos:
Assim, podemos escrever a velocidade instantânea da seguinte forma:
Essa expressão define o que chamamos em matemática de função derivada ou função diferencial 
da função s(t), que corresponde na física à velocidade instantânea, que é denotada por s’(t) ou mais 
usualmente, principalmente nessa área, por .
 => lê-se: derivada de s em relação a t.
Se considerarmos a função denotada por f(x), teremos a seguinte definição da função derivada:
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2 .3 O conceito de derivada ou diferencial num ponto x = x0
Consideremos a definição da função derivada apresentada anteriormente:
Vamos avaliar a função f(x) num ponto x0, pertencente ao seu domínio.
Considerando x = x0 + h, como h → 0, podemos afirmar que:
x → x0 e x - x0 = h
A função derivada é dada por:
Podemos reescrever a função derivada em função de x0, eliminando h da expressão e realizando 
as seguintes alterações:
x0 no lugar de x em pois x → x0.
x → x0 no lugar de h → 0 embaixo do limite (lim), pois x - x0 = h.
x no lugar de x + h em f(x + h), pois h → 0.
x - x0 no lugar de h no denominador, pois x - x0 = h.
Assim, podemos reescrever a definição da função derivada da seguinte forma:
Essa nova expressão é denominada derivada da função f(x) no ponto x0.
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ATIVIDADE REFLEXIVA
Faça você os exercícios a seguir:
1. Considere a função f(x) = 3x2 – 12x + 16.
a. Utilize a definição da função derivada para obter f’(x).
b. Utilize a definição de derivada num ponto x0 para calcular f’(3).
c. Calcule o valor f’(3) utilizando o resultado obtido no item (a).
2. Considere a função .
a. Utilize a definição da função derivada para obter f’(x).
b. Utilize a definição de derivada num ponto x0 para calcular f’(4).
c. Calcule o valor f’(4) utilizando o resultado obtido no item (a).
3. Considere a função .
a. Utilize a definição da função derivada para obter f’(x).
b. Utilize a definição de derivada num ponto x0, para calcular f’(4).
c. Calcule o valor f’(4) utilizando o resultado obtido no item (a).
2 .4 Cálculo de derivadas e aplicações
FIGURA 5 - Cálculo
Fonte: francescoch/Istock
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Até o momento, apresentamos o conceito de função derivada e os procedimentos que nos 
levam à sua obtenção. Lembramos que tais procedimentos são fundamentais para a apropriação 
desse conceito. Entretanto, podemos desenvolver técnicas algébricas que permitem a obtenção 
da função derivada de forma mais prática.
Vamos reescrever a definição da derivada da função f (x):
Para obtermos a derivada de uma função num ponto x, devemos resolver esse limite. Entretanto, 
temos condições de analisar técnicas que facilitam a obtenção da derivada.
Vamos considerar uma função. Temos que:
Fazendo-se h = 0 na expressão, temos: f’(x) 3x2.
Observe que, sendo f(x) = x3, obtemos f’(x) = 3x2.
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Note que o expoente 3 da função desce como um fator multiplicativo na derivada, enquanto o 
expoente de x diminui uma unidade.
Assim sendo, é razoável, fazendo uma analogia com o exemplo dado, que:
f(x) = x2 → f’(x) 2x1 = 2x
f(x) = x4 → f’(x) 4x3
f(x) = x5 → f’(x) 5x4
Logo, de um modo geral, temos: 
 onde n representa qualquer número real.
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De forma análoga, podemos verificar alguns outros resultados relevantes para o nosso 
estudo. Eles podem ser demonstrados de forma científica, e você, caso deseje, poderá fazê-lo 
consultando a bibliografia indicada ao final da disciplina.
Vamos, a seguir, enunciar alguns desses resultados.
1. f(x) = xn → f’(x) = n . xn–1
2. f(x) = x → f’(x) = 1
3. f(x) = kx → f’(x) = k, onde k representa qualquer constante real.
4. f(x) = k → f’(x) = 0, onde k representa qualquer constante real.
Esse resultado já era esperado, pois, como a derivada é uma taxa de variação instantânea 
e a função f(x) = k é a função constante, isto é, não varia, então a derivada de qualquer função 
constante é zero. Se um móvel possui uma função horária s = 10 m, por exemplo, isso significa 
que ele está parado, ou seja, sua velocidade instantânea (derivada) é igual a zero.
5. A derivada da soma, ou diferença de duas funções é igual à soma, ou diferença, de suas 
derivadas. Veja:
f’(x) = (u + v)’ → f’(x) = u’+ v’, onde u e v são funções na variável x.
Por exemplo:
f(x) = x4 + x3 + 10
f’’(x) = 4x3 + 3x2 + 0
f’’(x) = 4x3 + 3x2
6. Para derivarmos uma função multiplicada por uma constante, basta multiplicar a derivada 
da função por esta.
f(x) = c. G(x) → f’(x) = c. G’(x)
Por exemplo:
F(x) = 6 . x3
F’(x) = 6 . 3x2 = 18x2
F(x) = 4 . x2 + 1
F’(x) = 4 . 2x + 0 = 8x2
Vejamos alguns exemplos desses cálculos.
Calcular as funções derivadas de cada uma das funções a seguir:
a) C(x) = x2 - 7x + 10
Resposta: C’(x) = 2x – 7.1 + 0 = 2x – 7.
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b) C(x) = x3 + 8x2 - 2x + 5
Resposta: C’(x) = 3x2 + 8. 2x - 2.1+ 0 =3x2 + 16x – 2.
Vamos agora obter a velocidade instantânea do móvel no instante t = 3 sdescrito no exemplo 
4, utilizando as técnicas de cálculo diferencial apresentadas anteriormente.
Lembre que a função horária da posição é s(t) = 3 t2 – 12 t + 16.
Calculando a derivada de s em relação a t, ou seja, s’ (t) ou, de forma mais usual na física, , 
temos:
Substituindo t = 3 em , temos: = 6(3) -12 = 6 m/s.
FIGURA 7 – Velocidade instantânea
Fonte: supergenijalac/Istock
Considerações:
Assim como definimos a velocidade instantânea como valor limite da velocidade média quando 
o intervalo de tempo considerado tende a zero, podemos de forma análoga definir a aceleração 
instantânea como o valor limite da aceleração média quando o intervalo de tempo considerado 
tender a zero. Simbolicamente, temos:
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Considerando a função velocidade v(t), e sabendo-se que
podemos afirmar que:
Logo, concluímos que:
Notação usual na Física:
Ou seja:
 => (Lê-se: derivada de segunda ordem de s em relação a t.)
Para melhor compreensão do conceito de velocidade instantânea, veja o exemplo a seguir.
Exemplo 5: Um saco de areia cai de um balão situado 98 m acima do solo. Desprezando-se a 
resistência do ar, a distância s(t) do solo ao saco de areia em queda, após t segundos, foi modelada 
através da equação:
s(t) = -4,9t2 + 98.
Calcule a velocidade e a aceleração do saco de areia no instante em que ele toca o solo.
Solução:
A distância s(t) do solo ao saco de areia em queda consiste na altura deste.
Quando ele toca o solo, sua altura é zero, logo, s(t) = -4,9t2 + 98 = 0 → .
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Logo, o saco de areia toca o solo em t = 4,5 s.
A função velocidade é a derivada de s em relação a t. Assim, .
Calculando-se v em t = 4,5 s, temos v = - 44,1 m/s, que consiste na velocidade na qual o saco 
de areia atinge o solo.
A função aceleração é a derivada da função velocidade em relação ao tempo. Assim, temos 
 (função constante).
Para quaisquer valores de t, a aceleração é -9,8 m/s2, que consiste na aceleração da gravidade 
na Terra. Esse movimento com aceleração constante é denominado movimento uniformemente 
variado. Entretanto, é comum depararmo-nos com situações de cunho prático onde a aceleração 
é variável.
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ATIVIDADE REFLEXIVA
Faça você as atividades a seguir:
1. Nos itens I a III, são informadas as funções horárias das posições de um móvel que se desloca 
em um eixo coordenado, com s em metros e t em segundos.
I. s = t2 – 3t + 2,0 ≤ t ≤ 2
II. s = 6 t – t2, 0 ≤ t ≤ 6
III. s = -t3 + 3t2 – 3,0 ≤ t ≤ 3.
Para cada movimento descrito, pede-se:
a. Calcular o deslocamento do móvel, a velocidade média e a aceleração média no intervalo.
b. Calcular o módulo da velocidade e a aceleração do móvel nas extremidades do intervalo.
c. O corpo muda de direção durante o intervalo? Em caso afirmativo, quando?
2. Um gerente modela o custo C, de produção de x unidades de um produto, em milhares de reais, 
por meio da equação .
a. Calcule a função custo marginal.
b. Calcule a função custo médio.
c. Calcule a função custo médio marginal. 
R.: = 
d. Utilize a função custo marginal para estimar o custo de produção da centésima primeira 
unidade a ser produzida. 
R.: R$ 13,01.
3. Suponha que o custo total ao se fabricar q unidades de brinquedos seja de . Utilize a função 
custo marginal para estimar o custo de produção da quinquagésima primeira unidade. 
R.: R$ 305,00.
4. A tabela a seguir representa a receita R (em reais) de uma empresa referente a venda de x 
unidades de um produto.
TABELA 4 – Receita referente à venda de produto
Número de unidades vendidas (x) Receita em reais
10 9.800
40 36.800
50 45.000
60 52.800
70 60.200
Fonte: Elaborado pelo autor.
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a. Utilize o Excel para escrever a equação que representa o modelo quadrático representativo da 
tabela que descreve a receita R em função do número de unidades vendidas x.
b. Em seguida, calcule a receita marginal para estimar o acréscimo da receita da empresa na 
venda da quinquagésima unidade.
Respostas: utilize o procedimento apresentado no início do material.
R’(x) = -4x + 1.000. Uma estimativa para o custo de produção da 51ª unidade será R’(50) = 800 reais/
unidade.
FIGURA 8 - Função receita
Fonte: Elaborado pelo autor.
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3 . O MODELO LINEAR E A INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA 
DERIVADA
A tabela a seguir representa a posição de um móvel (s) medida em cm, decorridos t segundos 
após o início do seu movimento, que ocorre numa trajetória retilínea.
TABELA 5 – Posição de móvel em relação ao tempo em segundos
Tempo em segundos (t) Posição do móvel (s)
10 500
20 700
30 900
40 1100
50 1300
60 1500
Fonte: Elaborado pelo autor.
Como vimos anteriormente, podemos utilizar o Excel para obter a função horária da posição 
desse móvel:
FIGURA 9 - Gráfico da função horária da posição
Fonte: Elaborado pelo autor.
Observamos que a equação obtida para a reta que representa o gráfico da função é s = 20t + 300.
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Agora, analisemos o seguinte exemplo:
Exemplo 6: Um móvel descreve uma trajetória retilínea, e sua equação horária da posição é 
dada por s = 20t + 300. Pede-se:
a) Calcule a velocidade média do móvel no intervalo de 50 segundos a 60 segundos.
Então, a velocidade média desenvolvida pelo móvel no intervalo dado é de 20 cm/s.
b) Calcule a velocidade média do móvel no intervalo de 10 segundos a 50 segundos.
Então, a velocidade média desenvolvida pelo móvel no intervalo dado é de 20 cm/s.
Calcule a velocidade média do móvel no intervalo de 50 segundos a 60 segundos.
Como podemos observar, em todos os itens, encontramos o mesmo resultado. Como vimos, 
o gráfico dessa função s = 20t + 300 é uma reta, e sua velocidade (que consiste na taxa de 
variação média da posição em relação ao tempo), em qualquer intervalo de tempo, é de 20 cm/s. 
Esse fato caracteriza, na cinemática (ramo da física que estuda os movimentos,) o movimento 
retilíneo uniforme (MRU). Na matemática, caracteriza a função do 1º grau, que representa o 
modelo linear e cuja equação possui a seguinte formatação:
f(x) = a x + b => mais usual no estudo das funções .
ou
y = mx + n => mais usual em geometria analítica .
 A seguir, vamos apresentar um procedimento para obtenção do modelo linear de forma algébrica, 
ou seja, sem utilização das planilhas eletrônicas. Esse procedimento ocorre em dois passos: primeiro, 
deve-se calcular a taxa de variação (m); em seguida, deve-se escolher um dos pontos fornecidos 
para calcular n.
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Vejamos um exemplo:
Exemplo 7: A tabela a seguir registra as posições (em cm) de um móvel em movimento retilíneo 
uniforme durante os três primeiros segundos.
TABELA 5 – Posição de móvel em MRU
Tempo em segundos (t) Posição em centímetros (y)
0 38
1 34
2 30
3 26
Fonte: Elaborado pelo autor.
Como o movimento é uniforme, sua velocidade é constante. A equação solicitada representa o 
modelo linear y = m.t + n. O valor de m é a velocidade média ou a taxa de variação média da posição 
em relação ao tempo. Escolhendo um período qualquer para o intervalo de tempo, por exemplo, 
entre t = 0 e t = 3, temos:
Então, a taxa de variação média m é -4 cm/s.
Para o cálculo do valor de n, escolha o ponto (t,y) da tabela, por exemplo, (0,38). Na equação y = m.t + 
n, podemos escrever y = - 4t + n. Substituindo o ponto escolhido, temos 38 = -4. (0) + n. Daí, n = 38.
Logo, a função horária solicitada é y = - 4 t + 38 ou y = 38 – 4 t.
Vamos construir o gráfico da função horária obtida:
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FIGURA 10 – Gráfico da função horária da posição
Fonte: Elaborado pelo autor.
Observe que, no gráfico gerado pelo Excel, a reta corta o eixo vertical y num valor entre 35 e 40. 
Podemos calcular esse valor precisamente. Basta na equação fazer t = 0 para obtermos y = 38, que é 
denominado intercepto em y. Note que esse corresponde ao valor de n na equação y = m.t + n.
3 .1 Interpretação da taxa de variação do modelo 
linear como inclinação da reta
Consideremos uma função afim crescente cujo gráfico está representado aseguir. Como já 
vimos, a função do primeiro grau, ou função afim, pode ser escrita da forma f(x) = mx + n, onde m 
é a taxa de variação e n é o intercepto da reta no eixo das ordenadas. Observe que a reta forma um 
ângulo α com o eixo das abscissas, conforme ilustra a figura:
FIGURA 11 – Gráfico da função de primeiro grau crescente
α
X2-X1
X1 X2 x
f(X2) - f(X1)
f(X1)
α
f(X2)
Fonte: Elaborado pelo autor.
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Observe que a tangente do ângulo α corresponde à razão entre o cateto oposto a α ( f(x2) – f(x1) ) 
e o cateto adjacente a α (x2 – x1). Ou seja, podemos afirmar que tangente de α (tan α) corresponde 
à taxa de variação média da função afim cujo gráfico é a reta f(x) = m x + n ou y = m x + n.
O valor tan(α), ou m, é denominado coeficiente angular da reta ou ainda inclinação da reta. 
Nesse caso, m = tan(α) é positivo, fato que caracteriza a função do primeiro grau crescente.
Observe na figura a seguir que isso também ocorre para uma função do primeiro grau decrescente. 
Entretanto, m = tan(α) é negativo.
FIGURA 12 – Gráfico da função de primeiro grau decrescente
X1 X2
X2 - X1
f(X1) - f(X2) 
f(X1)
y
X
f(X2)
π–α
α
α
Fonte: Elaborado pelo autor.
ATIVIDADE REFLEXIVA
Faça você a atividade a seguir:
Mostre que, se a reta que representa a função afim é paralela ao eixo das abscissas, então a taxa de 
variação média dessa função ou o coeficiente angular dessa reta é igual a zero.
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Exemplo 8: O gráfico a seguir representa a velocidade (medida em m/s) de um móvel no intervalo 
de 0 a 90 segundos.
FIGURA 13 – Gráfico representando velocidade de um móvel
Fonte: Elaborado pelo autor.
Calcule a aceleração do móvel nos intervalos indicados:
a) Intervalo de t = 0 até t = 10.
Como nesse intervalo o gráfico da função velocidade é uma reta, podemos afirmar que a 
aceleração do móvel é igual a sua taxa de variação, ou coeficiente angular dessa reta.
Observe que a reta passa pelos pontos (0, -30) e (10, 20).
b) Intervalo de x = 10 até x = 40.
Assim como no item a, observe que a reta passa pelos pontos (10, 20) e (40, 20).
c) Intervalo de x = 40 até x = 60.
Assim como no item a, observe que a reta passa pelos pontos (40, 20) e (60, 30).
d) Intervalo de x = 60 até x = 80.
Assim como no item a, observe que a reta passa pelos pontos (60, 30) e (80, 20).
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e) Intervalo de x = 80 até x = 90.
Assim como no item a, observe que a reta passa pelos pontos (80, 0) e (90, 0).
ATIVIDADE REFLEXIVA
Ainda em relação ao exemplo 8, responda você:
1. Qual a velocidade inicial do móvel? E o valor do coeficiente linear da reta no intervalo 0 ≤ t ≤ 10?
2. Qual a função horária da velocidade no intervalo 0 ≤ t ≤ 10? O móvel muda de sentido nesse 
intervalo? Em caso afirmativo, determine o instante.
3. Julgue a afirmação: “O fato de a aceleração ser nula garante que o móvel está parado”.
4. Calcule o ângulo que o segmento de reta no intervalo 0 ≤ t ≤ 10, forma com o eixo t no sentido 
anti-horário. Utilize uma calculadora científica.
5. Calcule o ângulo que a reta que contém o segmento de reta no intervalo 40 ≤ t ≤ 60 forma com 
o eixo t no sentido anti-horário. Utilize uma calculadora científica.
6. Calcule o ângulo que a reta que contém o segmento de reta no intervalo 60 ≤ t ≤ 80 forma com 
o eixo t no sentido anti-horário. Utilize uma calculadora científica.
3 .2 A interpretação geométrica da derivada e problemas de otimização
 Na figura a seguir, y = f(x) é uma função contínua. O ponto A tem coordenadas [x0, f(x0)], e o 
ponto B tem coordenadas [x0 + h, f(x0 + h)], tendo em vista que tanto o ponto A quanto o ponto B 
pertencem ao gráfico de y = f(x).
FIGURA 14 – Gráfico de y = f(x)
C
A α
B y=f (x)
f(x0 + h) - f (x0)
f(x0 + h) 
f(x0) 
x0 x0 + h
 h
X
Fonte: Elaborado pelo autor.
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Observe que o coeficiente angular da reta AB, que será denotado por m e corresponde a tan(α), 
pode ser facilmente obtido por intermédio da razão
Essa reta AB é denominada reta secante ao gráfico da função y = f(x).
Como faremos para encontrar o valor do coeficiente angular da reta AC, tendo em vista que não 
temos as coordenadas do ponto C, pois este não pertence ao gráfico de y = f(x)?
Se fizermos o ponto B deslizar sobre o gráfico de y = f(x) em direção ao ponto A, a reta tracejada 
AB movimenta-se em direção à reta AC. Além disso, o valor do parâmetro h tende a diminuir em 
relação ao seu valor na reta secante. Quanto mais o ponto B se aproxima do ponto A, o valor de h 
torna-se cada vez menor e próximo de zero.
Podemos então afirmar que o coeficiente angular da reta AC será definido por:
Como vimos anteriormente, o valor limite dessa razão quando h tende a zero corresponde à 
derivada da função y = f(x) no ponto x0, ou seja, para obtermos o coeficiente angular da reta AC no 
ponto x0, basta calcularmos a derivada dessa função no ponto x0.
Esta reta AC é denominada reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto x0.
Consideremos que na figura anterior a função y = f(x) seja dada por f(x) = 10x – x2 e o ponto x0 
considerado seja x0 = 1. Vamos obter a equação da reta tangente AC da seguinte forma:
• Calculemos f(x0).
f(x0) = f(1) = 10 (1) – (1)
 2 = 9. Logo, o ponto A teria coordenadas (1, 9).
• Calculemos o coeficiente angular da reta AC utilizando a derivada da função f(x)= 10x – x2.
 f’(x)= 10 – 2x => m = f’(x0) = f’(1)=10 – 2.(1) = 8 => m = 8
• A equação da reta é da forma y = m x + n. Nesse caso, como m = 8, temos que y = 8 x + n. 
Como o ponto A (1,9) pertence a essa reta, 9 = 8. (1) + n. Isso implica n = 1. Logo, a equação 
da reta AC, tangente ao gráfico de f(x) = 10x – x2 no ponto x0 = 2, é y = 8x + 1.
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Com isso em mente, vamos aplicar em mais um exemplo.
Exemplo 9: Determinar a equação da reta tangente à curva no ponto x0 = 2.
Solução: Nossa função será: 
Calculemos y0 = f(x0) = = 2 => Assim, o ponto de tangência tem coordenadas (2,2).
• Calculemos o coeficiente angular utilizando a derivada:
• A equação da reta é da forma y = m x + n. Nesse caso, como m = -2, temos que y = -2x + n. 
Como o ponto (2,2) pertence a essa reta, 2 = -2.(2) + n. Isso implica n = 6. Logo, a equação da 
reta tangente à curva no ponto x0 = 2 será y = -2x + 6.
ATIVIDADE REFLEXIVA
Faça você as atividades a seguir:
1. Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto x0 = 4. 
R: 
2. Encontre a equação da reta tangente à curva y = x3 no ponto x = -1. 
R: y = 3x + 2
3. A figura a seguir esboça o gráfico da função f(x) =- x3 + 6x2 – 10x + 5:
a. Encontre a equação da reta tangente representada no gráfico de f(x) no ponto P0 de abscissa 
x0 = 2.
b. Calcule o ângulo que a reta tangente referente ao item a forma com o eixo das abscissas no 
sentido horário.
c. Encontre as abscissas dos pontos onde a reta tangente é paralela ao eixo horizontal.
d. Verifique se a reta tangente obtida no item (a) intercepta o gráfico de y = f(x) em outro ponto 
distinto de P0. Podemos generalizar esse fato?
A reta normal ao gráfico de uma função no ponto P0 consiste na reta perpendicular à reta tangente ao 
gráfico dessa função nesse ponto.
• Mostre que, se duas retas são perpendiculares, então o produto dos seus coeficientes 
angulares é igual a -1.
• Mostre que, se duas retas são paralelas, então os seus coeficientes angulares são iguais.
• Determine a equação da reta normal ao gráfico da função dada no ponto x0 = 2.
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A reta normal ao gráfico de uma função no ponto P0 consiste na reta perpendicular à reta tangente ao 
gráfico dessa função nesse ponto.
• Mostre que, se duas retas são perpendiculares, então o produto dos seus coeficientes angulares 
é igual a -1.
• Mostre que, se duas retas são paralelas, então os seus coeficientes angulares são iguais.
• Determine a equação da reta normal ao gráfico da função dada no ponto x0 = 2.
e. Encontre os valores de x onde a reta tangente ao gráfico função é paralela ao eixo horizontal.
4. Uma empresa de turismo aluga um ônibus com capacidade para50 pessoas a grupos de 35 ou 
mais pessoas. No caso de grupos de 35 pessoas, cada uma paga R$ 60,00. Para grupos maiores, 
o preço por pessoa é reduzido de R$ 1,00 para cada uma que exceder 35.
a. Encontre a função receita. 
R: R(x) = 2100 + 25x – x2.
b. Determine o tamanho do grupo de modo que a receita seja máxima. 
R: 12 ou 13.
c. Qual o preço que proporciona a maior receita?
d. Qual o valor da receita máxima? 
R: R$ 2.256,00. 
Fonte: Fórum Ajuda Matemática. Disponível em: <www.docsity.com>. Acesso em: 5 jun. 2018.
5. Calcule o volume máximo de um cilindro circular reto que pode ser inscrito em um cone de 12 cm 
de altura e 4 cm de raio da base, se os eixos e do cone coincidem. 
R: 89,4 cm3. 
Fonte: Adaptado de GOMES, G. H. Cálculo diferencial e integral I. São Paulo: Mackenzie, 2002. 
Disponível em: <meusite.mackenzie.com.br>. Acesso em 5 jun. 2018.
6. Um construtor deseja construir um depósito com capacidade de 30.000 litros, teto plano 
e base retangular cuja largura é três quartos do comprimento. O custo por metro quadrado 
é de R$ 36,00 para o chão, R$ 204,00 para os lados e R$ 102,00 para o teto. Que dimensões 
minimizarão o custo? 
R.: 4,31 m x 3,23 m x 2,15 m.
7. Encontre as coordenadas do ponto do gráfico da curva y = x2 + 1 mais próximo do ponto (4,0). 
R.: (1,2)
8. De todos os cones circulares retos que podem ser inscritos numa esfera de raio a, calcule o 
volume do cone de volume máximo. 
R.: 
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FIGURA 15 – Gráfico de função f(x)
Fonte: Elaborado pelo autor.
4 . O CÁLCULO INTEGRAL
Os dois instrumentos mais importantes do cálculo são a derivada ou diferencial, já considerada 
anteriormente, e a integral. A derivada foi definida a partir do conceito de velocidade instantânea e 
aplicada também nos problemas de tangência. A integral surge de modo natural quando consideramos 
o problema de determinação de áreas de regiões onde não podemos aplicar fórmulas convencionais 
estudadas na geometria plana contemplada na educação básica, tendo em vista que pelo menos 
uma de suas fronteiras consiste numa curva.
4 .1 Cálculo de áreas usando o Excel
Para entendermos melhor a relação entre o cálculo de áreas e a integral, vamos utilizar o Excel 
como ferramenta a fim de facilitar nosso estudo. Vejamos os exemplos a seguir.
Exemplo 10: A região do gráfico a seguir, delimitada pela parábola y = 3x2, o eixo horizontal x 
e as retas x = 1 e x = 2, representa o pátio de um supermercado, que deverá ser calçado para ser 
utilizado como estacionamento. Sabe-se que o custo do calçamento por metro quadrado é de R$ 
20,00. As medidas referentes aos eixos horizontal (x) e vertical (y) são múltiplas de 10. Faça uma 
estimativa para o custo total da realização do calçamento.
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FIGURA 16 – Área do estacionamento a ser calçado
Fonte: Elaborado pelo autor.
Solução:
Como a região estabelecida não representa uma figura na qual possamos aplicar as fórmulas 
usuais da geometria plana, vamos apresentar um procedimento alternativo que pode ser executado 
também com auxílio das planilhas eletrônicas. Para isso, vamos estabelecer a área da região 
representada no gráfico:
• Passo 1: Dividir o intervalo de x = 1 até x = 2 em quatro partes iguais. Cada uma delas, denominada 
partição, medirá (2-1) : 4 = 0,25.
• Passo 2: Formar quatro retângulos cujas bases medem 0,25 e cada uma de suas respectivas 
alturas mede g(1), g(1,25), g(1,5) e g(1,75). Para calcularmos cada uma delas, basta substituir 
os valores de x (x = 1; x = 1,25; x = 1,5 e x = 1,75) na função g(x) = 3 x2.
FIGURA 17 – Estabelecendo retângulos na região do gráfico
Fonte: Elaborado pelo autor.
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Observe que a base de cada um dos retângulos mede 0,25. A altura do primeiro retângulo será 
conhecida calculando-se a imagem de x = 1, ou seja, g(1). Como g(x) = 3x2, temos que g(1) = 3.(1)2 = 3. 
Logo, a altura do primeiro retângulo é 3. A área dele é obtida pelo produto da base pela sua altura, 
ou seja:
• área = base.altura => área = (0,25).(3) => área = 0,75 (primeiro retângulo)
Analogamente obtemos a altura do segundo retângulo, que será g(1,25) = 3. (1,25)2 = 4,6875. 
Assim, a área dele será calculada da seguinte forma:
• área = (0,25).(4,6875) => área = 1,171875 (segundo retângulo)
Temos as alturas do terceiro e do quarto retângulos dadas respectivamente por:
g(1,5) = 3.(1,5)2 = 6,75 e g(1,75) = 3.(1,752)2 = 9,1875
Logo, as áreas deles serão:
• área = (0,25).(6,75) => área = 1,6875 (terceiro retângulo)
• área = (0,25).(9,1875) => área = 1,6875 (quarto retângulo)
Resumindo nossos cálculos, temos:
• área = (0,25).(3) => área = 0,75 (primeiro retângulo)
• área = (0,25).(4,6875) => área =1,171875 (segundo retângulo)
• área = (0,25).(6,75) => área = 1,6875 (terceiro retângulo)
• área = (0,25).(9,1875) => área = 2,296875 (quarto retângulo)
A soma das áreas dos quatro retângulos será: 0,75 + 1,171875 +1,6875 + 2,296875 ≈ 5,9.
Faremos essas contas no Excel da seguinte essa maneira:
a) Na coluna A, de a1 a a4, digite os valores de x: 1; 1,25; 1,5 e 1,75.
b) Na coluna B, célula b1, digite = 3*a1^2, arrastando até b4.
c) Na coluna C, célula c1, digite = b1*0,25, arrastando até c4.
d) Selecione as colunas C1 até C4 e calcule sua soma.
Como os valores de x e y são múltiplos de 10, temos que multiplicar o resultado obtido por 100 
(10 relativo a x e 10 relativo a y). Assim, temos que um valor aproximado para área em questão é 
5,9 . 100 = 590 m2. Observe, na figura exibida, que a soma das áreas desses retângulos é menor 
que a área desejada. Se aumentarmos o número de retângulos, chegaremos mais perto do valor 
real da área.
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Repita o procedimento, dividindo o intervalo dado (x = 1 até x = 2) em 16 partes iguais. Qual o 
valor de sua nova soma?
Roteiro: Cada retângulo terá base medindo: 2 – 1 = 1 => 1 /16 = 0,0625.
a) Na coluna A, de A1 A A2, digite os valores de x: 1; 1,0625.
b) Selecione as colunas a1 e a2 arrastando até a célula a16, onde você obterá o valor 1,9375.
c) Na coluna B, célula B1, digite = 3*A1^2, arrastando até B16, onde irá obter o valor 11,26172.
d) Na coluna C, célula C1, digite = b1*0,0625, arrastando até C16, onde irá obter o valor 
0,703857.
e) Selecione as colunas C1 até C16 e calcule sua soma.
TABELA 8 - Valores das colunas A, B e C
Colunas A B C
1 3 0,1875
1,125 3,796875 0,237305
1,1875 4,230469 0,264404
1,25 4,6875 0,292969
1,3125 5,167969 0,322998
1,375 5,671875 0,354492
1,4375 6,199219 0,387451
1,5 6,75 0,421875
1,5625 7,324219 0,457764
1,625 7,921875 0,495117
1,6875 8,542969 0,533936
1,75 9,1875 0,574219
1,8125 9,855469 0,615967
1,875 10,54688 0,65918
1,9375 11,26172 0,703857
SOMA => 6,720703
Fonte: Elaborado pelo autor.
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Na coluna A, temos os valores de x que utilizamos para obter as alturas na coluna B. A coluna 
C fornece as áreas dos 16 retângulos, de que precisamos para somá-las e obtermos uma melhor 
aproximação para a área solicitada, que, nesse caso, será aproximadamente 6,72.
Como os valores de x e y são múltiplos de 10, temos que multiplicar o resultado obtido por 100 
(10 relativo a x e 10 relativo a y). Assim, temos que um valor aproximado para área em questão é 
6,72 x 100 = 672 m2.
Resolva você o seguinte exercício:
Repetir o procedimento anterior dividindo o intervalo em 32 partes iguais.
a) Cada parte medirá (2-1):32 = 0,03125
b) Execute os cálculos no Excel e verifique se obtém como resposta o valor 6,9.
Agora, reflita e responda à questão.
Qual função f(x) tem como derivada g(x) = 3x2?
A resposta correta é f(x) = x3+k, onde k é um número qualquer, pois a derivada de f(x) = x3+k é 
f’(x)=3x2+0.
Logo, a função f(x) = x3 + k será chamada antiderivada de g(x) = 3x2.
Fazendo f(2) – f(1), temos:
f(2) =(2)3 + k => f(2) = 8 +k e f(1)=(1)3 + k => f(1)=1+ k
Calculando f(2) – f(1) => (8 + k) – (1 + k) => 8 + k – 1 - k => 7, que é um valor bem próximo a 6,9.
Observações:
a) Quanto mais retângulos você utilizar, mais próximo de 7 você chegará.
b) A funçãof(x) = x3+k é denominada antiderivada ou integral indefinida da função g(x) 
= 3x2. O termo indefinida é usado pois a constante k pode assumir qualquer valor.
c) A constante k não interfere na resposta do cálculo da área em questão. Nesse 
caso, quando identificamos a antiderivada ou integral indefinida, não precisamos 
escrever essa constante.
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Podemos, então, generalizar, intuitivamente, o resultado a seguir:
Para se calcular a área exata da região S delimitada pelo gráfico da função f(x) e pelas retas x = a, 
x = b e y = 0( eixo x), obtemos a função F(x), que é a antiderivada de e consiste em . Essa 
integral é denominada integral definida da função no intervalo a ≤ x ≤ b.]
FIGURA 18 – Gráfico da região S
Fonte: Elaborado pelo autor.
A área da região S representada na figura é calculada pela seguinte integral definida:
O cálculo da integral definida será representado da forma a seguir:
onde F(x) é a antiderivada da função f(x).
CURIOSIDADE
O símbolo de integral ∫
Trata-se de um “s” esticado, inicial da palavra latina summa, que faz referência à soma integral das 
áreas de um conjunto de retângulos cujas alturas são dadas através de uma função e cujas bases são 
infinitesimais representadas.
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Essa operação é denominada cálculo de integrais definidas, que geometricamente determina a 
soma das áreas dos diversos retângulos que podemos obter nas partições desenvolvidas no Excel.
Podemos realizar o cálculo da área solicitada de uma forma mais direta e precisa ilustrando 
também o cálculo da integral definida:
Área = 
Uma antiderivada de f(x)= 3x2 é F(x) = x3. Pois, derivando f(x) = x3, temos f’(x) = 3x2. Fazendo 
F(2) – F(1), temos: 23 – 13 = 7=> (multiplicando por 100) => área = 700 m2.
Como o custo do m2 é R$ 20,00 temos que o custo do calçamento será 700 . (20) => R$ 14.000,00, 
ou seja, o custo total do calçamento será de R$ 14.000,00.
4 .2 O conceito de integral definida
A partir do estudo apresentado, vamos formalizar o conceito de integral definida e sua aplicabilidade 
no cálculo de áreas.
Seja f(x) uma função contínua no intervalo , cujo gráfico é representado a seguir. Considere R a 
região do plano delimitada pelo gráfico de f(x) e pelas retas x = a, x = b e y = 0 (eixo das abscissas).
FIGURA 19 – Gráfico de y = f(x) no intervalo
Fonte: Elaborado pelo autor.
Suponha que esse intervalo tenha sido dividido em n partes iguais de largura .
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Seja xk um número pertencente ao intervalo de k, para k = 1, 2, ..., n.
FIGURA 20 - Gráfico de y = f(x) no intervalo a ≤ x ≤ b com n retângulos
Fonte: Elaborado pelo autor.
Todos os retângulos R1, R2, .... Rn possuem a mesma base e alturas f(x1), f(x2) , .... e f(xn), 
respectivamente. Consequentemente, as áreas deles serão dadas por:
Área(R1) = f(x1). ∆x; Área(R2) = f(x2).∆x; .... ; Área(Rn) = f(xn). ∆x
Formemos a soma:
f(x1). ∆x + f(x2). ∆x + ... + f(xn). ∆x = [ f(x1) + f(x2)+ ... + f(xn) ]. ∆x
O valor limite dessa soma, quando n tende ao infinito, ou seja, quando intuitivamente formamos 
uma infinidade de retângulos, é conhecida como uma soma de Riemann.
Nesse caso, a integral definida de f(x) no intervalo a ≤ x ≤ b representada por é dada 
pelo valor limite da soma de Riemann quando n tende ao infinito, ou seja:
= área da região R.
d) f(x) é a derivada da função F(x), ou, ainda, F(x) é a antiderivada (conhecida como 
primitiva ou integral indefinida) de f(x).
e) De um modo geral, quando conseguimos resolver a integral definida a partir da 
integral indefinida, não existe a necessidade de desenvolver o limite que contempla 
o seu conceito.
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Vamos resolver mais alguns exemplos para que possamos desenvolver técnicas algébricas 
que facilitem o cálculo dessas antiderivadas (integrais indefinidas) quanto às integrais definidas. 
Vejamos alguns exemplos básicos:
• Uma antiderivada de f(x) = x3 é dada por . Vamos derivar essa função:
• Uma antiderivada de f(x) = x4 + 12 é dada por . Vamos derivar essa 
função:
Após esses exemplos, podemos verificar:
• Uma antiderivada ou integral indefinida de f(x) = xn é dada por . Observe que, 
nesse caso, generalizamos o valor de n. Entretanto, este deve ser diferente de -1.
• Uma antiderivada ou integral indefinida de f(x) = c, onde c é uma constante real é dada por 
F(x) = cx.
Observe os próximos exemplos para melhor apropriação das técnicas de cálculo.
1. Resolver as integrais indefinidas:
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
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2. Calcule o valor das integrais definidas:
• 
• ∫ (2x + 1)dx = x2 + x = F(x) => F(3) = 12 e F(0) = 0 => F(3) – F(0) = 12
• 
• 
• 
4 .3 Aplicações de cálculo integral
A seguir, vamos apresentar aplicações do cálculo integral em situações de cunho prático 
pertinentes à física, à geometria e à economia, que vão possibilitar o dimensionamento da importância 
deste conteúdo matemático nas áreas citadas. O exemplo a seguir contempla o esboço gráfico de 
uma região do plano e o cálculo de sua área.
Exemplo 11:
Determinar a área da região abaixo do gráfico da função g(x) = 4 – x2 no intervalo de x = 0 até 
x = 2 usando a integral definida. Considere que as medidas referentes aos eixos horizontal ( x ) e 
vertical ( y ) estão em metros.
Solução:
O gráfico da função g(x) = 4 – x2 pode ser obtido pelo Excel ou simplesmente se considerando 
que se trata de uma parábola cuja concavidade está voltada para baixo e possui vértice no ponto 
(0, 4).
FIGURA 21 - Gráfico da função g(x)
Fonte: Elaborado pelo autor.
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Solução: área = .
Uma antiderivada para a função g(x) = 4 – x2 será 
ATIVIDADE REFLEXIVA
Para treinar um pouco mais, resolva os exercícios a seguir.
1. Calcular a área da região delimitada pela curva y = x3 + 1 e as retas x = 0, x = 1 e y = 0. 
R.: 1,25 unidades de área.
2. Calcular a área da região delimitada pela curva y = x2 - 4 e a reta y = 0. 
R.: 32/3 unidades de área.
3. Calcular a área da região delimitada pela parábola y = - x2 + 4x e pela reta y = x. 
R.: 4,5 unidades de área.
4. Calcule a área da região delimitada pelas curvas y = x2 e y = . 
R.: 1/3 de unidade de área.
5. Calcule a área do triangulo delimitado pelas retas y = 2x + 6, y = 0 e x =1:
a. utilizando uma fórmula da geometria plana;
b. utilizando a integral definida.
6. Calcule a área do trapézio delimitado pelas retas x + y = 10, y = 0, x = 2 e x = 6:
a. utilizando uma fórmula da geometria plana;
b. utilizando a integral definida.
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Vejamos a seguir uma aplicação da integral indefinida na física.
Exemplo 12: Um objeto inicia um movimento de queda livre após ser abandonado a partir do 
repouso de um prédio de 100 metros de altura. Desprezando a resistência do ar e considerando 
que a aceleração da gravidade na Terra é igual a 10 m/s2, pede-se:
a) A função velocidade e a velocidade do objeto 12 segundos após o início do movimento.
Já vimos que a função aceleração é a derivada da função velocidade, ou seja, a velocidade é a 
antiderivada da função aceleração. Simbolicamente, temos:
Como a = -10, temos:
V = -10 t + k. O fato de o objeto ter sido abandonado a partir do repouso significa que sua 
velocidade inicial é nula, ou seja, quando t = 0, v = 0. Substituindo esses valores na função v = 10t 
+ k, temos 0 = 10.(0) + k => k = 0. Logo, a função velocidade é v = 10t. Após 12 segundos, teremos 
v = -10.(12) = -120 m/s.
b) A função horária da altura do objeto e quanto tempo este objeto levará para atingir o solo.
Já vimos que a função velocidade é a derivada da função posição (no caso, a altura h), ou seja, 
a altura h é a antiderivada da função velocidade. Simbolicamente, temos:
Como v = -10t, temos: .
Como a altura do prédio é igual a 100 metros, temos que a altura do objeto quando t = 0 será igual 
a 100 metros, ou seja, quando t = 0, h = 100. Substituindo esses valores em h = –5t2 + k , teremos 
100 = 5(0)2 + k => k = 100. Logo, teremos h = –5t2 + 100. Fazendo h= 0, vamos obter t ≅ 4,5 s.
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ATIVIDADEREFLEXIVA
Resolva os exercícios a seguir:
1. Joga-se uma pedra verticalmente para cima de um ponto situado a 45 m acima do solo e com 
velocidade inicial de 30 m/s. Desprezando a resistência do ar, determine:
a. O tempo que a pedra leva para atingir a altura máxima.
b. O instante em que a pedra atinge o solo e o módulo da velocidade nesse instante. 
R.: t ≅ 3s e v ≅ 42,13 m/s.
2. Joga-se uma pedra diretamente para baixo com velocidade inicial de 5 m/s. Determine:
a. O tempo que a pedra leva para atingir a altura máxima.
b. O módulo da velocidade com que a pedra atinge o solo. 
R.: 80 m/s.
3. Um país tem 100 bilhões de metros cúbicos de reserva de gás. Se A(t) denota o total de gás 
consumido após t anos, então a taxa de variação instantânea de consumo, ou seja, a derivada 
da quantidade de gás consumido, é denotada por . Considerando que essa taxa de consumo 
seja dada pela equação e medida em bilhões de metros cúbicos por ano, 
calcule o tempo aproximado (em anos) em que o gás da reserva estará esgotado. 
R.: 20 anos 
Fonte: <www.ajudamatematica.com>. Acesso em: 30 ago. 2018.
4. Numa fábrica, o custo marginal é (3q – 12q2) reais por unidade quando o nível de produção é q 
unidades. Qual é o aumento do custo de fabricação quando o nível de produção aumenta de 6 
para 10 unidades? 
R: 208,00.
5. Um revendedor recebe uma remessa de 120.000 quilogramas de soja, que serão distribuídos 
a uma taxa constante de 300 quilogramas por semana. Se o custo de armazenamento é de 
0,2 centavos por quilo por semana, quanto o revendedor terá que pagar de armazenamento 
durante as próximas 40 semanas? 
R.: R$ 480,00.
6. A região delimitada pelo eixo das abscissas, pela parábola y = x2 + 1 e pelas retas x = -1 e x = 1 
gira em torno do eixo x. Calcule o volume do sólido resultante. 
R.: 11,7 unidades cúbicas.
7. A região delimitada pelo eixo das abscissas, pela parábola y = x3 e pelas retas y = 1 e y = 8 gira 
em torno do eixo x. Calcule o volume do sólido resultante. 
R.: 58,4 unidades cúbicas.
8. A região delimitada pela parábola x2 = y – 2 e pelas retas 2y – x – 2 = 0; x = 0 e x = 1 gira em 
torno do eixo das abscissas. Calcule o volume desses sólidos. 
R.: 12,4 unidades cúbicas.
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CONCLUSÃO
Este material apresentou exemplo e sugestões de exercícios onde os modelos matemáticos 
envolvidos, de um modo geral, foram descritos por intermédio de funções polinomiais. Entretanto, 
todos os conceitos aqui abordados podem ser estendidos para as funções transcendentes, ou seja, 
funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e suas funções inversas, além de funções 
compostas formadas por todas essas já descritas, agregadas ou não às polinomiais. Você poderá 
aprimorar sua formação continuada de professor consultando os livros descritos na bibliografia, 
além de sites disponíveis na internet que julgar atrativos.
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BIBLIOGRAFIA
BARBONI, A. Cálculo e análise: cálculo diferencial e integral a uma variável. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. V. I. Rio de Janeiro: Makron Books, 1999.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. V. I. 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
HIMONAS, A. Cálculo: conceitos e aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2005.
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. V. I. São Paulo: Harbra, 1994.
MIRANDA, A.; LADEIRA, A. Matemática aplicada. Apostila preparada para cursos da Universidade 
Veiga de Almeida. Rio de Janeiro: Universidade Veiga de Almeida, 2017.
MUNEM, M. A.; FOULIS, D. J. Cálculo. V. I. Rio de Janeiro: LTC, 1982.
STEWART, J. Cálculo 1. São Paulo: Thomson, 2009.
THOMAS, George B. Cálculo 1. São Paulo: Pearson, 2009.