Mecânica dos Fluidos e Hidráulica; Ranald V Giles

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RANALD V. GILES 
PROFESSOR LE ENG~ARIA CIVIL NO DREXEL 
INSTITUTE OF TECHNOLOGY 
''/\ECÂNICA DOS FLUIDOS 
E 
HIDRAULICA 
TRADUÇÃO 
SERGIO DOS SANTOS BORDE 
ENGENHEIRO 
E O 1 TO R A M e G R A W - H 1 L L O O B R A S 1 L , L T D A . 
SÃO PAULO 
RIO DE JANEIRO 
BELO HORIZONTE 
PORTO ALEGRE 
Bogotá 
Düsseldorf 
Johannesburg 
Kuala. Lumpur 
London 
México 
Montreal 
·New Delhi 
New York. 
Panamá 
St. Louis 
San Francisco 
Singapor~ 
JX9-"':% 
\::'. _) . 
}.Q:-1 
thorized tranalation 'from the second English-language edition, copyrighted 
lie United States of Americ& and published by Sehaum Publishing Compan1, 
· York.'' -
Título do Original 
"scHAUlll'S OUTLINE OF 
THEORY AND PROBLEMS 
OF 
FLUID MECHANICS AND HYDRAULICS" 
\ l BST 1 
-------·'' 
Copyright . © da Edltõra McGraw-Hlll do Brasil Ltda. 
Nenhwná parte desta publicação poderá ser r~pro<iuzlda, guar-
dada pelo sistema "retrteval" ou transmitida de qualquer modo ou por 
qualquer outro melo, seja este eletrõntco, mec:ànlco, de fotocópia, de 
gravação, ou outros, sem prévia autortzação por escrito da Edltóra. 
;l/1G83 
.• __....,...-------,.. .... _;1<.· 1974 
Todos os direitos para a língua portuguesa reservados pela 
EDITORA McGRAW-HILL DO BRASIL, LTDA. 
Rµa Tab11puã. 1105 
SAO PAULO 
ESTADO DE SÃO PAULO 
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BELO HORIZONTE 
MINAS GERAIS 
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RIO DE JANEIRO 
GUANABARA 
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PORTO ALEGRE 
RIO GRANDE DO SUL 
Impresso no Brasil. 
Printed in Brtttil 
Prefácio 
Êste livro foi concebido, preliminarmcnte, com o fim de suple-
mentar os livros-textos convencionais de Mecânica dos Fluidos e Hi-
dráulica. Êle. se baseia na convicção do autor de que o conhecimento 
e a interpretação dos princípios básicos de qualquer ramo de mecâ-
nica podem ser complementados mais eficientemente através de nu-
merosos problemas demonstrativos. 
A primeira edição dêste livro teve uma boa reeeptividade. Nesta 
·segunda edição, muitos capítulos foram revistos e ampliadm1, a fim 
de acompanharmos os conceitos, métodos e terminologias mais re-
centes. A atenc;:ão foi focalizada, inicialmente, na Análise Dimensio-
nal, através da eolocação dêste assunto, desenvolvido no CapítÚlo 5. 
As reYisõcs mais extensas ocorreram nos capítulos sôbre Fundamen-
fos de Escoamentos dos Fluidos, Escoamento de Fluidos em Tubos e 
Escoamento em Canais Abertos. 
A matéria exposta é dividida em capítulos, cobrindo áreas cfo 
teoria e PxPrt'.'foios. C::.da ea.pítulo começa _com o estabelecimento de 
ddinições, princípios e teoremas pertinentes, juntamente com .ma-
téria ilustratirn e descritiva. Esta matéria é seguida por conjuntos 
dosados de problemas resolvidos e suplementares. Os problemas re-
soh-idos ilnsti-am e ampliam a teoria, a.presentam métodos de análi-
ses, fornecem exemplos práticos e se concentram nos pontos delicados 
que permitem ao aluno aplicar os princípios básicos correta e con-
Jiantemente. Análises do corpo livre, diagramas vetoriais, princípios 
llc trabalho e energia, de impulso-quantidade de mov_imento e a lei-
do movimento de Newton são extensam<:nte utilizados. Esforços fo-
rmn feitos para apresentar problemas originais, desenvolvidos pelo 
m1tor durante os Yáriós anos de magistério neste assunto. Numerosas 
demonstrações 'àe teoremas e deduçõe.s de fórmulas foram inseri? ·-
PREFÁCIO 
nos problemas resolvidos. O grande número de problemas suplemen-
tares serve como uma completa revisão do assunto de cada capítulo. 
Além da sua utilização pelos estudantes de Mecânica dos Flui-
dos, é um livro valioso como fonte de consultas para engenheiros. 
:eles encontrarão soluções detalhadas de muitos problemas prático~ e 
poderão também recorrer ao sumário da teoria, quando necessário . 
.Além disso, o. livro .pode servir aos engenheiros que precisam rever 
o assunto para concursos, licenciamento ou outras razões. 
Eu gostaria de agradecer a meu colega, Robert O. Stiefel, que 
cuidadosamente conferiu as soluções dos muitos problemas novos. 
Gostaria também de expressar a minha gratidão ao "Staff" dá 
Schaum Publishing Company, particularmente a Henry Hayden e 
Nicola Miracapillo, por suas valiosas sugestões e cooperação presti-
mosa. 
RANALD V. GILES 
Phi~adelfia, Pa 
fndice 
\?CAPITULO - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS ........................ . 
Mecânica dos fluidos e hidráulica. Definição de um flui-
do. Sistema de unidades. Pêso específico. Massa especí-
fica de um corpo. Densidade de um corpo. Viscosidade 
de um fluido. Pressão de vapor. Tensão superficial. Ca-
pilaridade. Pressão nos fluidos. Unidade de pressão. 
Diferença de pressão. Variação de pressão em um fluido 
compressível. Altura de carga ou altura de pressão h. 
Módulo de elasticidade volumétrico. Compressão de gases. 
Para condições isotérmicas. Para condições adiabáticas 
ou isentrópicas. Pressões perturbadoras. 
(} CAPITULO 2 - FORÇA HIDROSTÁTl~A NAS SUPERFICIES .............. . 
\' Fôrc;a exercida por um líquido sôbre uma área plana. 
Linha de ação da fôrc;a. Tensão circunferencial. Tensão 
longitudinal em cilindros de paredes finas. 
CAPITULO 3 - EQUIL(BRIO DOS CORPOS IMERSOS E FLUTUANTES 
Princípio de Arquimedes. Estabilidade de corpos imersos 
ou flutuantes. 
33 
56 
CAP(TULO 4 - TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE MASSAS ÜCUIDAS . . . . . . . . 67 
' l ~ 
Movimentos horizontais. Movimento vertical. Rotação de 
massas fluidas - Recipientes abertos. Rotação de mas-
sas fluidas - Recipientes fechados. ç CAPITULO 5 - ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA HIDRÁULICA . . . . 79 
Análise dimensional. Teorema. das variáveis 'tr de Buck-
ingham. Modelos hidráulico~. . Semelhança geométrica. 
Semelhança. cinemática. Semelhança dinâmica. Relação 
de fôrças de inércia. Relação de fôrças: inércia·elasfici· 
dade. Relação de fõrças: inércia· tensão superficial. Rela-
ção de teJDpos. 
CAP(TULO 6 - FUNDAMENTOS DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS ........ . 
Três conceitos principais de escoamento de fluidos. Es· 
coamento de fluidos. Escoamento permanente. Escoa· 
mento uniforme. Linhas de corrente. Tubos de corrente, 
106 
Sumário
Capa I
Sumário VI
1 Propriedades dos Fluidos 1
2 Força Hidrostática Nas Superficies 33
3 Equilíbrio dos Corpos Imersos e 
Flutuantes 56
4 Translação e Rotação de Massas 
Líquidas 67
5 Análise Dimensional e Semelhança 
Hidráulica 79
6 Fundamentos de Escoamento dos 
Fluidos 106
7 Escoamento em Encanamentos 143
8 Encanamentos Compostos, Paralelos, 
Equivalentes e em Derivação 174
9 Medição de Escoamento de Fluidos 200
10 Escoamento em Canais Abertos 243
11 Fôrças Desenvolvidas Por Fluidos 
em Movimento 288
12 Máquinas Hidráulicas 336
Apêndice Tabelas e Diagramas 365
Tabela 1 Propriedades Aproximdas de Alguns 
Gases 367
Tabela 5 Valores de K 373
Tabela 6 Coeficiente C1, de Hazen-Williams
373
Tabela 7 Coeficientes de descarga para 
Orifícios Verticais Circulares de Borda Viva
374
Tabela 8 Fatores de Expansão para 
Escoamento Compressível Através de Bocais 
e Medidores Venturi 375
Tabela 9 Valores de n para uso nas Formulas 
de Kutter e Manning e M na Formula de Bazin
376
Tabela 10 Valores de C da Fórmula de Kutter
377
Tabela 11 Valores de Coeficiente de 
Descarga K na fórmula Q=(k/n)y8/1s1/2 para 
Canais Trapezoidais 378
Tabela 12 Valores do Coeficiente K em Q=(k/
n)bs para Canais Trapezoidais 379
Tabela 13 Áreas de Circulos 380
Tabela 14 Pesos e Dimensões de Tubos de 
Ferro Fundido 381
Diagrama B Ábaco para Encanamentos 
Fórmula de Hazen-Williams, C1 -100 384
Diagrama C Tubo - Orifício Vena Contracta
385
Diagrama D Bocais Medidores, Grandes 
Raios - Alta Relação 386
Diagrama E Medidores de Venturi 387
Diagrama F Coeficiente de Resistência x le
388
Diagrama G Coeficiente de Resistência de 
Forma para Placas Planase Lisas 389
Diagrama H Coeficiente de Resistência Cd A 
Velocidades Supersônicas 390
Ábaco para Cálculo de Perda de Carga em 
Canalizações 391
xu 
F 
g 
gpm 
h 
H 
HL,lre 
hp 
1 
lzy 
k 
K 
L 
La 
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p 
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p 
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psf 
psia 
psig 
q 
Q 
Qu 
r 
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R 
Rs 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
fôrça em kg (lb }. 
aceleração da gravidade: 9,81 m/s2 (32,2 ft/s2). 
galões por minuto. 
altura ou profundidade, pressão ou altura de carga em metros ou ft; 
'iltura total (energia) em metros ou mkg/kg (ft ou ft lb/lb). 
perda de carga em m (ft). Algumas .v~zes aparecerá como LI! ou hJ. 
Hor.ie Power = wQH/550 = 0,746 kw. 
momento de inércia em m4 ou cm4 (ft4 ou in4). 
produto de inércia em m4 ou cm4 (ft4 ou in4). 
relação de calores especíCiC95, expoente isentrópico (adiabático), cons-
tante de von Kárman. 
fatôres de descarga para canais trapezoidais, fator de perda de carga 
para expansões, qualquer constante. 
fa~or de perda de carga para contracões. 
distância de mistura em m (ft). 
comprimento em m (ft). 
comprimento equivalente em m (ft). 
fator de rugosidade na fórmula de Bazin. 
··massa em kg (slugs ou lb s2/ft), pêso molecular. 
coeficiente de rugosidade, expoente, coeficiente de atrito nas fórmulas 
de Kutter e Manning. 
rotação em rpm. 
velocidade especírica em rpm. 
velocidade unitária em rpm. 
número de Froude. 
número de Mach. 
número de Weber. 
pre9.'ão em kg/m2 (lb/Ct2), perímetro molhado m (ft). 
IJressão em lb/in2 ou kg/cm2• 
fôrça em kg, (lb), potência em kgrn/s (lb ft/s). 
potência unitária em kg m/s (lb ft/s). 
lb/ft2• 
lb/in2, absoluta. 
lb/in2, manométrica. 
fluxo unitário em m3/s/unidade de largura (ft3/s/uaidade de largura ) • 
vazão e~ volume em m3/s (ft3/s). 
vazã<;> unitária em m3/s (ft3/s). 
qualquer raio em. m (ít). 
raio de tubos em m {ft). 
constante de gases, raio hidráulico em m (ft). 
nÚalero de Reynolcb. 
sbrnOLOS E ABREVIATURAS xm 
S declividade da linha piezométrica ou da linha energética. 
So declividade de canal. 
T 
u 
u,11,w, 
" 
"" 
V 
Yc 
1D 
w 
y 
Yc 
YN 
y 
z 
z 
a (alfa) 
fJ (bet.a) 
õ (delt.a) 
 (àeita) 
E (epsilo) 
71 (eta) 
8 (teta) 
µ. (mu) 
11 (nu) 
11" (pi) 
p (rô) 
<T (lligrna) 
T (tau) 
"' (fi) 
tempo em ·segundos, espessura em m (in), viscosidade em segundos 
Saybolt. 
temperatura. torque em kg•m (Ct•lb), tempo em segundo. 
velocidade perüérica de elemento rotativo em rn/s ((t/s). 
componentes de velocidade nas direções X, Y e Z. 
volum~ em m 3 (ft3), velocidade local em rn/s (ft/s), velocidade relativa 
nas· máquinas hidráulicas em rn/s (ft/s). 
volume específico = l/ra = m3/kg (ft3/lb). 
velocidade cisalhante em rn/s (Ct/s) = V T/P 
velocidade média em m/s (ft/s) (ou como fôr definida). 
velocidade crítica em rn/s. (ft/s). 
pêso específico em kg/m3 ou g/cm3 (lb/ft3). 
pêso em kg (lb), vazão em pêso em kg/s (lb/s) = raQ. 
distância em m (ft). 
profundidade em m (ft), dístância em m (ft). 
profundidade crítica em m (ft). 
profundidade normal em m (ft). 
71/ 
'· 
fatôres de expansãÓ para escoamento de fluidos compressíveis. 
elevação (pressão) em m (ft) ou cota. 
altura da crista do vertedor acima do leito do canal, em m (ft). 
ângulo, fator de correção de energia cinética. 
ângulo, fator de correção da quantidade de movimento. 
espessura da camada-limite, em m (Ct). 
têrmo de correção do escoamento. 
rugosidade superfici& 1 ~m m (ft). 
viscosidade. 
qualquer ângulo. 
viscosidade absoluta em poises ou kg s/m2 ' (lb s/ft2) (p_oises). :0 0 
viscosidade cinemática em st.okes ou m2/s (ft2/s) = µ./p. 
parâmetro adimensional. 
massa específica em kg/m3 (slugs/ft3 ou lb s2/ft4) = w/g. 
tensão superficial em kg/m (lh/ft). tensão normal em kgfm2 (psi). 
tensão cisalhante em kg/m2 lb/ft2, lb/in2 (psi) ou kg/cm2• 
fator de velocidadP., potencial de velocidade, razão . 
. i/t (psi) função ~e escoamento. 
c.i (ômega) velocidade angular em rad/s. 
XIV MECÂNICA DOS FLUIDOS 
FATÔRES DE CONVERSÃO 
l polegada (in) = 2~,4_ll)m,-
1_;é_(ft).,,;, ó,3õs ~ = 12 in. 
l polegada3. (in)3 = 16,4 X 10-8 m 3• 
l pé3 (ft)3 = 28,3 X 10-3 m3 ,;,, 7,48 U.S. Gallon. 
1 U.S. Gallon = 37,8 X 10-4 ~3 = 8,338 lb de água a 60ºF. 
1 ft3/s = 0,6-i6 mgd = 448,8 gpm = 28,3 l/s. 
1 lb-s/ft2 (µ.) = 478,7 poises. 
1 ft2/s (v) = 929 cm2/s. 
1 hp = 550 lb~ft/s = 0,746 kw. 
1 lb = 0,454 kg. 
1 lb/Ct3 = 16 kg/m3• 
1 polegada2 = 6,45 _X 10-4 m2• 
l_ft2 =_9,,3_X 10-2~2~: 
1 libra por pé quadrado (lb/ft?) (psf) = 4,88 kg/m2• 
l libra por polegada quadrada (psi) = 0,07 kg/cm2• 
/ 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 
MecAnica dos fluidos e hidráulica. Mecânica dos fluidos 
e hidráulica ·;·-presentam aquêle ramo de mecânica aplicad~, que 
estuda r :.:>rtamento de fluidos em repouso e em movimento. 
No d 1vire ;nto dos princípios de mecânica dos fluiclos, algu-
mas Jpriedades dos fluidos representam as principais 'funções, 
outJ somente funções menores ou .nenhuma. Na estática dos 
flui< .s, o pêso especíjico é a propriedade mais importante, ao passo 
que no escoamento de fluidos, a massa específica e a viscosidade 
são propriedades predomii;tantes. Onde ocorre apreciável com-
pressibilidade, princípios de termodinâmica devem ser considera-
dos. · A pressão de vapor torna-se importante quando pressÕes ne-
gativas (manométricas) são consideradas, e a tensão superficial 
afeta as condições estáticas e de escoamento de pequenas pas-
1 
sagens. 
Definição de um fluido. Fluidos são substâncias que são 
capazes de escoar e cujo volume toma a forma de seus recipi-
entes. Quando em equilíbrio, os fluidos não suportam .fôrçiu1 tan-
genciais ou cisalhantes. Todos os fluidQs possuem um certo grau 
de compressibilidade e oferecem pequena resistência à mudança 
de forma. 
Os fluidos podetn ser divididos em líquidos e gases. As 
principais diferenças entre êles são: (a) os líquidos são pràticamente 
incompressíveis, ao passo que os gases são compressíveis e muitas 
vêzes devem ser assim tratados e (b) os líquidos ocupam volumes 
definidos e têm superfícies livres ao passo que uma dada m~ssa 
de gás expande-se até ocupar tôda as partes de um recipiente. 
Sistema de unidades. 
N.T. - Apresentamos, em paralelo ao sistema usual americano, o sistema métrico 
a fim de que o leitor possa trabalhar em ambos os sistemas de unidades. 
Três são as grandezas tomadas como referência (unidades 
fundamentais): comprimento, fôrça e tempo. Neste livro, as três 
unidades fundamentais C()rrespondentes usadas serão: o pé para 
o comprimento (metro), a libra-fôrça (Jb) ou lihra-pêso (quilogra-
ma-fôrça ou pêso) (kg* ou kg) e ó segundo para o tempo. Tôdas 
as oukas unidades são derivadas destas. Assim, a unidade de 
volume é o m3 (ft3), a unidade de aceleração é o m/s2 (ft/s2), a uni-' 
dade de trabalho é kg_.m {ft~lb), e a unidade de pressão é kg/m 2 
{lb/ft'). Sendo os dados fornecidos em outra unidade, êles devem 
ser convertidos ao sis~ma {pê-libra-segundo ou ~etro-quilograma­
-segundo) antes de serem aplicados à solução dos problemas. 
A unidade de massa no sistema americano é o slug, e é obtida 
das ·unidade3 de fôrça e aceleração. Para um corpo em queda livre 
no vácuo a aceleração é a da gravidade: g = 32,2 ft/s 2 ao nível 
do mar (g = 9,81 m/s2) e a única fôrça atuante é o seu pêso. Da 
segunda lei de Newton, 
ou 
fôrças em libras = massa em slug X aceleração em ft/s 2• 
Então, 
pêso ~m libras = massa em slugs X g (32,2 ft/s 2) 
· pêso Wem libras 
massa M em slugs = g (32,2 ft/s2) (1) 
N.T. - A distinção entre o quilograma, unidade de ~assa no sistema MKS 
e o quilograma-fôrça, unidade de fôrça do sistema MK •s, nem sempre. é bem 
compreendida. Para ambos, o corpo tomado cómo padrão é o mesmo: o· quilo-
grama padrão, cilindro de platina iridiada etc., ou aproximadamente, o litro 
d'águaa 4-C, mas a unidade de massa do sistema MKS é a massa dêsse corpo, 
e a unídàde de fôrça do sistema MK *S é o p2so do mesmo em determinadas con-
dições. Assim, no M~S. 1 litro de água vale 1 unidade de massa e ·pesa 9,81 
Newtons aproximadamente; no si.~tema MK*S, 1 litro d'água vale 1 unidade 
fôrça e 1 unidade de massa. 
1 slug = 32,2 lb, 
1 slug = 14,62 kg. 
Pêso e5pecífico. O pêso específico ef de uma substância é 
o pêso da unidade de volume de substância~ Para líquidos, w pode 
ser tomado corpo constante para mudanças normais de pressão. 
O pêso e~pecífico da água para oscilaÇões normais de temperatura 
é de l 000 kg*/"fll 3 ou 1 g*/cm3 (62,4 1 b/ft *). Vide Apêndice, 
tabelas lC e 2 ·para valores adicionais. 
CAP. 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 3 
O pêso específico dos gases pode ser calculado usando-se a 
equação de estado de um gás ou: 
.}!!!.!_ = R (leis de Boyle e Charles) (N.T. também chamada 
T equação característica dos gases perfeitos), (2) 
onde no sistema americano p é a pressão absoluta em lb/ft2, o 
volume específico v. é o volume por unidade de pêso em ft3/lb, 
a temperatura T é a temperatura absoluta em graus Rankine 
(460" + graus Fahrenheit) e R é a constante do gás em ft/graus 
Rankine. Uma vez que w = I/v., ·a equação acima pode ser 
escrita 
' - G. .~-- -
·o V 
,,,f 
'· ....... / . 
~ }-· - , ?n.' :)-
- .,, ()- __ .v_ 
. \ ' 
-_l 
w=J!_· R.T 
N.T. - Normalmente usamos as seguintes unidades, uo sistema métrico: 
kg/m2 para p 
m 3 /kg para lia 
°K para T (273 + t.oC). 
Com estas unidades obtém-se 29,25 kgm/kg °K para R para o ar . 
(3) 
. MASSA ESPECÍF~CA" de um CORPO p (rhô) =massa por 
umdade de volume = .'fd/g. 
No sist~ma de unidades usual, a massa específica da água 
é 62,4/32,2 = 1,94 slugs/ft3 ou lb..'12/ft'. No sistema métrico a 
m.assu. espedf ica da água é 1 gícm• a 4"C. Vide Apêndice, Ta-
bela IC. 
Densidade de um corpo 
N.T. - Nos E. U.A. densidade é "specific gravit" e pêso específico é· "specific 
weight.". 
A densidade de um corpo é um número absoluto que representa 
a relação do pêso de um corpo para o pêso de um igual volume 
de uma substância tomada como padrão. Sólidos e líquidos têm 
como referência a água (a 39,2ºF = 4°C), enquanto que os gases 
são muitas vêzes referidos ao ar livre de C02 ou hidrogênio (a 32ºF, 
OºC. e 1 atm = 14,7 lb/in 2 de pressão). Por exemplo: 
4 ~ECÂNICA DOS FLUIDOS 
Densidade de uma substância = 
pêso da substância 
pêso de igual volume de água 
pêso específico da substância 
· pêso específico da água 
(4) 
Assim se a densidade de um dado óleo é 0,750, seu p~so específico 
é 0,750 (62,4 lb/ft3) = 46,8 lh/ftª. (N.T. no sistema métrico 
seria 0,750 ·g/cm3 ou 750 kg/m3.) . . 
i\ densidade de água é 1,00 e do mercúrio é 13.57. A densidadç 
de uma substância é a mesma em .qualquer sistema de unidades. 
Vide Apêndice, Tabela 2. 
Viscosidade de um· fÍ'uido. A" viscosidade de um fluido é 
a propriedade que deter~ina o grau · de sua resistência à fôrça 
cisalhante. A viscosidade é devida preliminarmente à interação 
entre as molécuTàs do fluido. . 
Baseados na Fig. 1-1, consideremos duas placas largas e 
paralelas, separadas por uma pequena distância· y. O e~paço entre. 
- as placas é ocu.pado ~r um flui-
1·1aéa i\J .. ~~·cl • · .... ~- F do. Consideremos que sobre a 
placa superior atue uma fôrça 
constante F e portanto esta se 
mova com uma velocidade cons-
tante U. O fluido em contato Fig. l-"l 
com a placa superior . ficará ade-' 
rente à mesma e se moverá.à velocidade U; e o fluido em contato 
com a placa fixa terá velocidade nula. Se a distância y e a ve-: 
!ocid!!de [J n3.0 s5.c m~itc clcY~dns, n_. Ynrfrrçã~ de v~Iocidade 
( crradie11 te) será uma linha ret'l. Experiências mostraram que a 
rÔrça F varia diretamente com ~ área da placa, e com a veloci- · 
d:ide U e inversamente com a distância y. Por semelhança de 
triângulos Ujy = d V/dy, nós temos: 
Fçx AU =A dV 
y dy. ou 
F dV 
A = ra dy 
onde r = FJA. = tensão cisalhante. Se a constante de propor-
cionalidade µ. (mu), chamada de ·viscosidade absoluta (dinâmica), 
fôr· introduzida, 
dV 
T =.µ.--
. dy 
T (5) ou µ. = ·. dV/dy 
CAP. 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 5 
.N.T. - No caso geral de superfícies não planas, a expressão da ·tensão cisa-
lhante, decorrente da viscosidade será: 
onde àv / ày é a variaçao da velocidade transversalmente ao movimento ou 
gradiente de velocidade. 
As unidades de µ são kg· s/m2, uma vez que: 
kg·/m2 . (m/s)/m = kg·s/m2 (ou lh•s/ft2). 
Os fluidos que seguem as relações da equação (5) são chamados 
fluidos Newtõnianos. 
Outro coeficiente de viscosida9.e, o coeficiente de viscosidade 
cinemático, é definido como: 
Coeficiente cinemático .,, (nu) viscosidade absolutaµ 
massa esp~cífica p 
ou 
p=J!:....=_J!:__= µg 
p wjg w · 
As unidades de .,, são m 2/s, uma vez que 
= m 2/s (ft2/s). 
(kg s/m2) (m/s2) 
kg/m 3 
(6) 
As viscosidades nos manuais são fornecidas em poises e stokes 
(cgs) e, em certas ocasiões, em segundos Saybolt, decorrentts das 
medidas com viscosímetro. Conversões de sistemas são ilustradas 
nos ,problemas 6-8. Uns poucos valores de viscosidades são for-
neci~os nas tabelas 1 e 2 do· Apêndice. 
i\s viscosidades dos líquidos decrescem com o ::inmPnto de 
temperatura" mas não são afetados apreciàvelmente pelas variações 
de pressão: A viscosidade absoluta de gases aumenta com o au-
mento de temperatura mas não sofre alterações apreciáveis devidas 
à pressão. Uma vez que o pêso específico dos gases varia com a 
variação de pressão (temperatura constante), a viscosidade cine-
mática varia inver.sarnente com a pressão. De acôrdo com a 
equação acima, µg = wv. 
Pressão de vapor. Quando a evaporação ocorre dentro de 
um espaço fechado a pressão parcial criada pelas moléculas de 
vapor é chamada pressão de vapor. A pressão de vapor depende 
da temperatura e aumenta com ela. Vide tabela lC para valores 
para água. 
6 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
N.T. - Podemos também chamar pressão de saturação, tensão ..máxima de 
vapor, pressão de vaporização ou de condensação do fluido. 
Tensão superficia~.l. Uma mQlécula no interior de um líquido 
está solicitada por fôrças que a atraem em tôdas as ~eções, e o 
vetor resultante destas fôrças é nulo. Mas uma molécula à super-
fície de um líquido, é solicitadà para o interior do líquido, por uma 
fôrça resultante de coesão que é perpendiqular à superfície do 
mesmo. Por isso é n~cessário um certo trabalho para deslocar 
as moléculas superficiais contra esta fôrça oposta, e estas moléculas 
possuem mais energia que aquelas do interior do líquido. 
A tensão superficial de um líquido é o trabalho que deve ser 
fornecido para retirar moléculas suficientes do interior do líquido 
para a superfície a fim de formar uma nova unidade ou arco desta 
superfície (ft· lb/ft2 = m0 kg/m2). 
Êste trabalho é numericamente igual à. fôrça tangencial con-
trátil atuando perpendicularmente a uma , linha hipotética de 
comprimento unitário na superfície (lb/ft = kg/m). 
Em muitos problemas de introdução à mecânica dos fluidos, 
a tensão superficial não é de particular importância. A tabela IC 
fornece-nos valores de tensão superficial u (sigma) para água em 
contato com o ar. 
Capilaridade. A elevação ou queda de um líquido em um 
tubo capilar (ou em circunstância equivalente, como em meio 
poroso) é causada pela tensão superficial e depende das grandezas 
relativas da coesão do líquido e da adesão do líquido às paredes 
do recipiente. A superfície do líquido se eleva nos tubos, molhando 
as paredes (adesão > coesão) e decresce quando não molha as 
paredes (coesão > adesão). A capilaridade é importante quando 
usamos tubos menores que cêrca de 3/8" em diâmetro. 
N.T. - Manual de Hidráulica -- 2.• ed. -·José M. de Azevedo Netto, pág. 13"Coesão - permite às partículas fluidas resistirem a pequenos ~for<;OS de 
tensão. A formação de um jato d·água se deve à coesão. 
Quando um líquido está em contato com um sólido, a atração exercida pelas 
moléculas do sólido pode ser maior que a atração existente entre a molécula 
do próprio líquido. Ocorre, então a adesão. Na superfície de um líquido em 
contato com o ar· têm-5e a aparência de formação de uma verdadeira película 
elástica: é que a atração entre as moléculas do líquido é maior que a atração exer-
cida pelo ar e as moléculas superficiais atraídas para o interior do líquido tendem 
a tomar a área da superfície um mínimo. É o fenômeno de tensão superficial. 
As propriedades de adesão, coesão e tensão superficial são 
responsáveis pelos conhecidos fenômenos de capilaridade. 
CAP. 1 PROPRIEDADES DOS· FLUIDOS 1 
Pressão nos fluidos. A pressão em um fluido é transmitida 
com igual intensidade em tooas as direções e atua normalmente 
à qualquer plano. Em um mesmo plano horizontal as intensidades 
de pressão em um líquido são iguais. Medidas de unidades de 
pressão são acompanhadas pelo uso de vários tipos de mané)metros. 
A não ser que se indique o contrário, pressões manométricas ou 
relativas serão usadas através dêste livro. Pressões manométricas 
representam valores acima ou abaixo da pressão atmosférica. 
"'UNIDADE DE PRESSÃO ou PRESSÃO é expressa como 
fôrça dividida pela área. Em geral 
p (Jb/ft2 ou dP (lh) psf) = dA (f't2) • 
Para condições onde a fôrça P é uniformemente distribuída sôbre 
uma área, nós temos: 
p (lb) 
p (psi) = A (ft2) e p' (psi) = 
p (lh) 
A(~n2) 
N.T. - No sistema métrico usaremos kg/m2 ou kg/cm2 ou ainda kg/mm2• 
Diferença de pressão. A diferença de pressão entre dois 
pontos em diferentes ní~eis de Uf!l líquido é dada por: 
(7) 
onde w = unidade de pêso do líquido (lb/ft3 ou kg/m3) e h2 - h1 = 
= diferença de cotas (ft ou m). 
Se o ponto 1 está situado na superfície livre do Jíquido e h 
está diretamente abaixo, a equação acima se transforma 
p = w h (em psf gage ou kg/m2 manométrica). (8) 
Para obtermos a pressão em psi, nós usamos: 
, p wh ( . , . ) p = 144 = 144 em psi gage ou manometnca. (9) 
Estas equações são aplicadas enquanto w, é constante (ou 
varia tão pouco em relação a h que não acarreta êrros no resultado). 
N.T. - Será interess:rnt.e lembrar neste parágrafo que as unidades usuais de 
pressão são: 
1 atm = 10,33 metros de coluna d'água (mca) ~ 1 kg/cm2 
1 kg/cm2 = 104 kg/m? 
1 psi ~ 0,7 mca ~ 7 X 10-~ kg/cm2• 
Encontramos essas unidades usadas indistintamente na prática. 
8 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Variação de pressão eni um fluido comprêssível. As 
variações de pressões em um flui<Jo compressível são usualmente 
muito pequenas em virtude dos pequenos · pê$0s unitários e das 
pequenas diferenças de cotas que são consideradas nos cálculos 
em Hidráulica. Onde tais diferenças devem ser consideradas para 
pequenas variações de cotas dh, a lei de variação de pressão deve 
ser escrita 
dp = - wdh. (10) 
O sinal negativo indica que a pressão decresce quando a altura 
aumenta, com h positivo. Para aplicações, vide Problemas 29-31. 
Altura de carga ou altura de pressão h. A altura de ·carg~ 
h, representa a altura de uma coluna de um fluido homogêneo que 
produzirá uma dada intensidade de pressão. Então: 
. p (lb/ft2) 
h (ft de flmdo) = w (lb/ftª) , (11) 
ou 
. p (kg/m2) 
h (metros de flmdo) = w (kg/mª) . 
N.T. - Também encontraremos além de altura de carga as denominações de 
p<>tencial de. pressão, energia de pressão ou piezocarga. 
Módulo de elasticidade volumétrico (E) - "Bulk Mo-
dulas". O módulo de elasticidade volumétrico (E) expressa a 
compressibilidade de um fluido. É a relação da variação da 
pressão unitária para a correspondente variação de volume por 
unidade de volume. 
E= -:v = :~!f?t: = lb/in2 (anàlogamente kg/cm 2): (12) 
Compressão de Gases. A compressão de gases pode ocorrer 
de acôrdo com as várias leis da Termodinâmica. Para uma mesma 
massa de gás sujeita a duas diferentes condições, 
(13) 
onde: 
p pressão absoluta em lb/ft2 (kg/m2) 
v volUme em ft3 (m3) 
W pêso em lb (kg) 
w pêso específico em lb/ft3 
R constante do gás em ftfR (rrifK) 
T Temperatura absoluta em ºR (460 + ºF) ; (ºK). 
CAP •. 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 9 
PARA CONDIÇÕES ISOTÉRMICÂS (temperatura constante) 
a express;~l3) acima se transforma -em: . 
Wt Pt 
- = - = constante. 
Wz P2 
(14) 
Também: 
E = p (em psf ou kg/m2) (15) 
PARA CONDIÇÕES ADIABÁTICAS ou ISENTRÓPICAS 
(não ,há troca de calor) as expressões acima se transformam em: 
r),.,.A",_/ ... '( -~ ~· , •. !:!~ ..... -(~ ·~~- ('-_; . . \ :) -. J~ .. 
piv~':·=p2~z'º e . .:(~)Te= Pi= constante.·\ (16) 
W2 . P2 / 
. ·- . -
Também: 
T ( )
<k-1)/k 
2 P2 (l7) Ti = p_1 ' 
e 
E= kp (em psf ou kg/m 2), (18) 
onde k é a relação entre o calor específico a pressão constante e 
o calor específico a volume constante. É conhecido como o ex-
poente adiabático. 
A tabela IA no Apêndice indica alguns valores típicos de R 
e k. Para muitos gases, R multiplicado pelo pêso molecular é 
cêrca de 1544. 
N.T. -No caso de trubalharmos no sistema métrico obteremos o valor de 848. 
Na e11uação (2) multipliquemos ambos os membros pela massa molecular de um 
gás: 
pvs M = ilfRT ou pV = RT. 
Nesta expressão R, cujo valor é independente do gás e se obtém pelo produto 
da massa molecular pela constnntfl específica do gás, é den(lminadn constante 
universal dos gases, enquanto V é Q ,·olume ocupado pelo mol de quaiquer gás. 
Obtemos. pela introdução dos >a!ores correspondentes, R = g,iB kgm/kmol•K; 
se. aa invés de usarmos o kmol, usamos a lb.mol e utilizamos as unidades inglêsus 
encontraremos para R aproximadamente 1545. 
Pressões perturbadoras. As pressões perturbadoras obrigam 
um fluido a se mover em ondas. Estas ondas de pressão se movem 
a uma velocidade igual àquela do som através de um fluido. A 
velocidade ou celeridade, em: mfs (ftíseg) é expressa como: 
e= V Eíp; (19) 
10 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
onde ·E deve ser em: kg/mi (Íh/ft2). Para gases esta velocidade· 
acústica é 
e = v'kiiP" = v kg R.T ; (20) 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
1. Calcular o pêso específico w, o volume específico V9 , e a 
massa específica p do metano a 27°C e 9 kg/cm2 absoluta. 
Solução: 
Da tabela iA no Apêndice, R~ 53 m/0 K. 
. , . p ·9,0 X 104 -, 
P"eso espec1f1co w = RT = 53 (27J + 27) 
9,0 X 104 
53 X 300 = 5,66 kg/mª .. 
Volume específico.tia= ! = ~.~ = 0,177 m3/kg. 
Massa específica p = 5,66 kg/m3• 
/2. Se 6 m3 de óleo pesam 4 800 k4 calcular seu pêso específico 
w, sua massa específica p e sua densidade. 
Solução: 
Pêso específico w = 4 ~OO = 800 kg/m3• 
Massa específica p = ~ = 800 kg/m3• 
g 
• u·6Ieo 800 
Densidade = Wl.ltll& = 1 COO = 0,800. 
3. A 32°C e 2,1 kg/cm2 o volume específico v., de um certo 
gás era 0,70 m3/kg. Determinar a constante específica do gás R 
e a massa específica p. 
Solução: 
Uma vez que: 
= __]!_ _ R =___E_= p u. =; 2,1 X 104 X 0,70 = 48 20 m.kg. 
w RT. ' então wT T · 273 + 32 ' kg<>K 
w 1/1:111 l 1 3 Massa específica p = - = -- = - = -- = l 43 kgfm·. g g 7Jafl 0,7 • 
,J 
CAP. 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 11 
4. (a) Determine a variação de volume de 0,03 m3 de água 
a 27°C quando sujeito a um aumento de 21 kg/cm2 na pressão. 
(b) Dos seguintes dados de teste determinar o módulo de elasti-
cidade volumétrico da água: a 35 kg/cm,2 o volume era de. 0,03 m3 
e a 225 kg/cm2 o volume era de 0,0297 m3• 
Solução: 
(a) Da tabela lC no Apêndice E a (27-C) é (22 750 kg/cm2). Usando a 
fórmula (12) 
t1dp' do=-~= - 0,03 X 21 -s 3 3 22750 =-2,77XIO m ou =-27.7cm. 
(b) A definição associada com a fórmula (12) indica que as correspondentes 
variações na pressão e no volume devem ser consideradas. Aqui. um aumentona pressãó corresponde a um decréscimo no volume. 
E = _ dp' _ _ (225 - 35) _ ~ . 2 
dv/v - (0,0297 - 0,03)/0,03 - 1•90 X 10 kg/cm · 
5. Um cilindro contém 0,375 m 3 de ar a 49ºC e a 2,8 kg/cm 2• 
O ar é comprimido até 0,075 m3• (a) Considerando-se as condições 
isotérmicas, qual é a pressão do nôvo volume e qual é o módulo 
de elasticidade volumétrico? (b) Considerando condições adia-
báticas qual a pressão e a temperatura finais e qual será o módulo 
de elasticidade volumétrico ? 
Solução: 
(a) Para condições isotérmicas, Pi 111 = P2 V?· 
Então: 2,8 X io4 X 0,375 = (p2' X io4) 0,075 e P2' = .14 kg/cm2• 
O módulo E = p' = 14 kg/cm2• 
(b) Para condições adiabáticas p 1 v1 k = P'! 112 k e a tabela IA no Apêndice 
ilOS fornece k = 1,40. 
Então: (2,8 X 104) (0,375)1•4º = (P2' X 104) (0,075) 1•4º 
p2' = 26,6 kg/cm2• 
A temperatura final será obtida pelo uso da equação (17) 
T2 = ( 26,7 )0,1011,4, 
(273 + 49) 2,8 
E o módulo E= kp' = 1,40 X 26,6 = 37,24 kg/cm2• 
6. Da "International Criticai Tables", a viscosidade da água 
a 20"C é 0,01008 poises. Calcule (a) a viscosidade absoluta em 
.12 AlECÂNICA DOS FLUIDOS 
lb s/ft2• (b) Se a densidade a 20"C é 0,998, calcule o valor da vi!i-
cosidade cinemática em ft2/s. 
Solução: 
O poise é medido em dioa segundo/centímetro2• 
Uma vez que 1 lb = 444·800 dinas e 1 ft = 30,48 cm nós obtemos: 
lhseg .444·800d·s • 
1 ~ = 30,48 cm2 = 4711,7 poJSeS; 
{a) µ em lb seg/ft2 = 0,01008/478,7 = 2,11 X 10-5; 
(b) ,, em ft2/seg = _E_ = _E,_ = . p.g = 2,11 X 10-s X32,2 = 1,091 X io-5. 
p w/g w 0,998 X 62,4 
7. Converter 15,14 poises para a viscosidade cinemática em 
ft2/s se o líquidó tem uma densidade de . 0,964. 
Solução: 
Os pas.~os ilustrados no problema 6 podem ser considerados ou, um fator 
. 1 3"? 
adicional pode ser estabelecido par-J água a partir· de --. - X 
6
-·- = 0,001078. 
. 478,7 2,4 
Portanto v em ft2/s = 15,14 X 0,001078 = O 0169 
densidade = 0,964 ' · 
8. Converta uma ,viscosidade de 510 segundos Saybolt à 60"F 
(16ºC) para viscosidade cinemática v em ft 2/seg (m2/s). 
Solução: 
Dois conjuntos de fórmulas são dadas para estabelecermos esta conversão 
quando o viscosímetro Saybolt Universal é utilizado: 
(a} pa1·a t ~ 100, 
~id i > 100, 
(b) para l ~ 100, 
para l > 100, 
µem poises = (0,00.225 t - 1,'15ít) X densidade 
µ em_poises = {0,00220 l - 1,35/l) X densidade; 
11 em stokes = (0,00226 t - ·1,95/l) 
11 em stokes = (0,00220 l - 1,35/l), 
r. 1de t =segundos Sayholt. Para converter stokes {cm2/segundo) em m2/se-
gt~ndo basta multiplicar por 10-4; para convei:-ter em ft2h. dividimos por (30,48/2 
ou 929. 
Usando o grupo '(b), e uma vez que l > 100, 
v = ( 0,00220 X 510 - !i:) 9~ = 0,001205 ft2/s 
11 = ( 0,00220 X 510 - ~·::) 104 ~ 1,119 X 10-4 m2/s . 
CAP. 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 13 
9. Discutir as características de cisalhamento dos fluidos para 
os quais foram desenhadas as curvas da Fig. 1-2~ 
t 
S61ido Ideal 
.. 
--
Fig. I-2 
Solu~ão: 
(a) Os fluidos Newt.onianos comportam-se de acôrdo com a lei T = µ(dV/dy), 
ou a tensão cisalhante é proporcional ao gradiente de velocidade ou à deformação 
cisalhante. Assim para êstes fluidos a curva que exprime a relação entre tensão 
cisalhante e o gradiente de velocidade é uma linha reta passando pela origem. 
A inclinação da reta determina a viscosidade. 
(b) Para o fluido "ideal", a resistência à deformação cisalhante é nula, 
e portanto a curva coincide com o eixo dos XX. Embora não hàja nenhum 
fluido ideal, em certas análises a suposição de um fluido ideal é útil e justificada. 
(e) Para o sólido "ideal''. ou elástico, nenhuma deformação ocorrerá sob 
quaisquer condições de carga, e a curva coincide com o eixo dos YY. Sólidos· reais 
possuem uma certa· deformação e dentro do limite de proporcionalidade (lei d4' 
Hooke); a curva representativa é uma fü:h:: >eta quase na vertical. 
(d) Fluidos Não-Newtonianos deformam-se de tal modo que a tensão 
cisalhante não é proporcional à deformação, ex~et.o, talvez para tensões cisalhantea 
muito baixas. A deformação nestes fluidos pode ser considerada plástica. 
(e) O material ·plástico "ideal" poderia suportar um certo valor de tensão 
cisalhante sem deformação e tlaí."em diante êle se deformaria proporcion~lmente 
à tensão de cisalbament.o. 
10. Referência Fig. 1-3. Um fluido tem uma viscosidade 
absoluta de 0,0010 lb s/ft2 (0,0048 kg·s/m2) e densidade de 0,913. 
Calcular o gradiente de velocidade e a inte·nsidade de tensão ci8a-
lhan te na base e· nos pontos a l" ('°'.'o' 25 mm), 2" ("' 50 mm) e 3'' 
('=""' 75 mm) da base, considerando (a) a distribuição da velocidade 
linear, (b) a distribuição da velocidade parabólica. A parábola 
na figura tem seu vértice em A. A origem é B. 
14 MECÂNICA DOS FLU.IDOS 
Solução: 
Fig. 1-3 
{a) Para umn .distribuição linear, a relação entre a velocidade e a distância 
;y é V= 15y. Então dV = 15 dy ou o gradiente de velocidade é d.Y/dy = 15. 
Para y = O, V = O, dY/dy = 15 segundos -1 e 
T = µ (dV/dy) = 0,0010 X 15 = Ó,015 lb/ft2 (0,073 kg/m2). 
(b) A equação da parábola deve satisfazer à condição de que a velocidade 
é nula em B. A equaçiio da parábola é V = 45 - 5 (3 ~ ;y)2• Então dV/dy = 10 
'(3 - y) e tabelando os resultados teríamos: 
y V 
1 
dV/dy r = 0,0010 (dV/dy) 
o o 30 0,030 lb/ft2 (0,146 kg/m2) 
1 25 20 0,020 lb/ft2 (0;097 kg/m2) 
2 40 10 0,010 lb/ft2 (0,048 kg/m2) 
3 45 o o 
Podemos observar que ónde o ~cliente é nulo {o_ zero ocorre na_ linha de 
centro· de um tubo escoando sob pressão, como será visto mais tarde) a tensão 
ciSéliÜauie i.a1uitém é nuia. 
Notemos que a unidade de gradiente de velocidade· é segundo-1, e então o 
produtoµ (dV/dy) = (lb s/ft2) (s-1) = lb/ft2 (kg/m2) que são as unidades da tensão 
de cisalhamento T. 
ll. Um cilindro· de 120 mm de raio gira concêntricamente 
dentro de um cilindro fixo de 126 mm de raio_. Ambos os cilindros 
têm 300 min de. comprimento. Determinar a viscosidade_ do líqui-
do que enche o espaço entre os cilindros se um torque de 0,1 kg·m 
é necessário para manter uma velocidade angular de 60 rpm. 
Solução: 
(a) O torque é transmitido através do fluido colocado no cilindro externo. 
Uma vez qu_e o espaço entre os cilindros· é pequeno, o' cálculo pode ser feito sem 
integração. 
CAP; 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 15 
Velocidade tangencial do cilindro interno = r6' = (0,120 m) (211" rad/s) = 
-= O, 753 m/s. 
Para o ~ueno espaço entre os cilindros, o gradiente de velocidades pode 
ser considerado uma linha reta e o raio médio pode ser usado. 
Então: dV/dy = 0,753/(0,126 - 0,120) = 125, 3 (m/s}/m, ou s-1• 
O torque aplicado = torque resistente 
0,10 = T (áre~} (t-raço} = T (2 '1f' X 0,123 X 0,300} (0,123} e T'"" 3,50 kg/m2• 
Então: µ = -t/ (dV/dy} = 3,5/125,3 = 0,027 kg·s/m2• 
(b) Para uma aproximação matemática maiS exata, Usaremos o cálculo 
integral como se sugere: 
Como antes 0,10 = .T (2 11" r X 0,3)r do qual T = 0,048/il. 
dV, T 0,048 d ., • - l ºda.>- V · Agora -d = - = ----;-- , on e as varlaveJS sao a ve oc1 ..., . e o raio r. y µ µr . 
A velocidade é 0,753 m/s no raio interno e zero no raio. externo. 
Reagrupando a expressão acima e substituindo ( - dr) P<>r dy (o sinal nega-
tivo indica que o r decresce quando V aumenta}, nós obtemos: 
Então: 
J:Vint 0,048 Ío0,120 - dr dV=-- --v e:tt µ 0,126 ,:i 
o 048 [ 1 ]º·120 Vint - Vext = -· -'- -
µ r 0,126 
0,M8 ( 1 1 ) (0753- 0) = -- -- - -- da qual 
• µ 0,120 0,126 
P. = 0,0255 kg·s/m2• 
/12. Mostrar que a intensidade de pressão em um ponto é 
a mesma em tôdas as direções. 
Fig. I-4 
Solução: 
Consideremos .um elemento de prisma triangular de um líqwdo em repouso 
solicitado pelo fluido ao seu redor. Os ~alares médios das pressões. unitári.as 
16 lllBCÂNICA DOS FLUIDOS 
nas três superffoies são p1, P! e ]13.Na direção z as fôrças são iguãis e opostas, 
portanto se eliminam. 
ou 
ou 
e 
ou 
O ~mat6rio das fôrças nas direções z e y nós fornece 
2: X = O, P2 - Pa sen 8 = O 
P2 (dy dz) - P3 (ds dz) sen 8 = O 
}; Y = O, P1 :-- Pa cos 8 - dW = O 
. ' 
Pi (dz dz) - pa (ds dz) cos8 - w (! d:z: dydz) =O. 
Uma vez que dy = ds sen B e dz = ds cos 8. as equações 'reduzem-se a: 
J12dydz - patlydz =O ou 
P1 d:z:dz - PJdzdz - w (Í dzdydz) =O 
PI- pa - w(!dy) =O. 
(1) 
. (2) 
Como o prisma elementar tende a um ponto, dy tende a zero como um limite 
e as pressões médias torna1Jl-5e uniformes ou mesmo "pressões em um ponto". 
Então colocando dy = O na equação (2) nós obtemos P1 = p2 e daí PI = P2 = pa. 
/13. Deduza a equação (p2 - Pi) = w (h2 - hJ. 
Fig. 1-5 
Consideremos uma porção AB do líquido da Fig. 1-5 como um corpo livre 
de set.ão reta dA, que se mantém em equilíbrio pelo seu próprio pêso e pelos efeitos 
de outras partículas do líquido sôbre o corpo AB. 
Em A a fôrça atuante é P1 dA (a pressão em kg/m2 vêzes a área em m2); em 
Bela é P2 dA. O pêso do corpo livre AB é W = w 11 := wLdA. As outras fôrça;i 
que atuam sôbre o corpo AB são normais aos seus lados, e apenas algumas destas 
são mostradas no d~enho. Tomando 2:X = O, tais fôrças normais não aparecem 
na equação. Portanto, 
p2 dA - Pr. dA - wLdA sen O = O. 
Uma vez que L sen 8 = ~ - hi. a equação acima se transforma 
CAP. 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 17 
/14. Determine a pressão em kg/m2 a uma profundidade de 
6 m abaixo da superfície livre de ~m volume d'água. 
Solução: 
Usando um valor médio_ dç 1000 kg/m3 para w 
p = wh = 1 000 kg/m3 X 6m = -6 000 kg/m2• 
N.T. - Quando se trabalha no sistema inglês, -resolve-se êste problema com as 
seguintes unidades: 
w = lb/fí3 .· . p' = _.!!!._ = 2,4 i t X 20 t = 8,66 psi g. p = psi .} h 6 lb'f 3 r 
h = ft 144 144 in2/ft2 
- 62,4 • A l h. o l" A razao 144 ocorre mwtas vezes e o eitor gan ara tempo uti izando 
0,433 como quociente. ~ re~íproca é 2,31. 
115. Determine a pressão em kg/m2 a uma profundidade de 
10 m em um óleo de densidade 0,750. 
Solução: 
p = wh = 0,750 X 1 000 X 10 = 7 500 kg/m2 manométrica. 
/16. Determine a pressão absoluta em kg/m 2 no problema 14 
quando o harômetro indica 760 mm de mercúrio, densidade 13,57. 
Solução: 
Pressão absoluta = pressão atmosférica + pressão devida a 6 m de água 
= 13,57 X IG3 X 0,760 + 103 X 6 = 16,3 X 103 kg/m2• 
N.T. - f: comum usarmos as unidades de pressão em ~tm ou kg/cm~. Teríamos 
6 ,...., 6 pa = j)atm + psm = 1 atm + 10,33 atm- l; atm 
1 atm = 10,33 rri.c.a (metros de coluna d'água} 
1 atm,...., 1 kg/cm2• 
/17. Que profundidade de óleo, densidade 0,750, produzirá 
uma pressão de 2,8 kg/cm2 ? Qual a profundidade em água? 
Solução: 
hõteo = _P_ 
w61eo 
2,8 X 104 ---'--'-'--~ = 37 ,3 m 
0,750X11>3 
hAgua = _P_ = 2.8 X 104 = 28 m. 
Wâgua 103 
18 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
/ÍS. (a) Converter a altura de carga de 4,5 m <le água para 
metros de óleo; densidade 0,750. 
(b) Converter a pressão de 610 mm de mercúrio para metros 
de óleo, densidade 0,750. 
Solução: 
(a) h61eo = lir.gua 4,5 
d61eo 0,750 = 6 m 
(b) h61eo = li água 13,6 X 0,610 = 11,05 m. d61eo 0,750 
19. Prepare uma diagrama de tal modo que a pressão mano-
métrica e a pressão absoluta possam ser comparadas fàcilmente, 
tlentro de limites considerados. 
A 
(Presslles em kg/crri) T • 
3man 
-.---
-0.51 ma" -0,56 man 
_L. -t-
B 0,47 abs 
Zero Jlbsoluto 
Tl .. 
4 abs 
'-i>renã;-atmo~férica 
local~ 1 
1,03 abs 
! Zero Absoluto -1.03 man ou -1 man 
e 
Fig. 1-6 
Solução: 
Consideremos o ponto A, na Fig. 1-6, representando uma pressão absoluta 
de 4 kg/cm2• A pressão manométrica dependerá da pressão atmosférica no mo-
mento. Se tal pressão é normal ao nível do mar (1,03 kg/cm2), então a pressão 
manométrica no ponto A será 4 - 1,03 = 2,97 kg/cm2• Poderíamos ter uma 
pressão barométrica local de 1 kg/cm2, então a pressão manométrica seria 4 - 1 = 
= 3 kg/cm2 •• Suponhamos que B represente uma pressão absoluta de 0,47 kg/cm2 • 
Êste valor é indicado gràficamente abaixo do padrão 1,03 kg/cm2 e a pressão 
manométrica de B é 0,47 - l,03 = - 0,56 kg/cm2• Se a pressão atmosférica 
local é de 1 kg/cm2 então a pressão manométrica de B será 0,47 - 1 = - 0,53 
kg/cm2• 
Suponhamos que C representa uma pressão de zero absoluto. Esta é equi-
valente à pressão manométrica negativa "padrão" de - 1,03 kg/cm2 e a uma 
pressão manométrica negativa normal de - 1 kg/cm2• 
CÁP. 1 PROPRIEDADES DOS lq.Uil>OS 19 
As conclusões a serem consideradas são important.es. As pressões mano-
métricas negativas não deve~ exceder a um limite teórico da pressão 
atmosférica normal ou a um.valor padrão de - 1,03 kg/cm2 • A pressão absoluta 
não pode ter valores negativos especificadas para êles. 
/20. Na Fig. 1-7 as áreas do êmbolo A e do cilindro B são 
3 800 mm2 e 380 000 mm2 respectivamente e o pêso de B ~ 4 000 kg. 
O recipiente e as conexões estão cheias de óleo de densidade O, 750. 
Qual a fôrça P necessária para o equilíbrio, desprezando-se o pêso 
de A? 
Fig. 1-7 
Solução: 
Determinemos primeiro a pressão unitária atuante ~o êmbolo A. Uma 
vez que XL e XR estão ao mesmo nível no mesmo líqwdo, então a pressão em 
XL = pressão em XR, ou pressão abaixo de A + pressão devida a 4,8 m de 
• pêsode B 
oleo = ár.:a de B · 
4000 kg Substituindo, pA' + wh = -38,oo x 10-2 m 2 
pA' + (0,750 X 103) 4,8 = 10 526 kg/m~ e pA' = 6 926 kg/m2 • 
Fõrça P = pressão uniforme X área = 6 926 X 3 800 X 10-61 = 26,3 kg. 
-- -3,6 :m 
e 3m 
Fig. 1-8 
/21. Determine a pressão manométrica em A devida à de-
flexão do mercúrio (d = 13,6), no manômetro U mostrado na 
Fig. 1-8. 
20 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Soluçiio: 
B e C estão ao mesmo nível no mesmo líquido, mercúrio; portanto poderemoe 
igualar as pressões manométricas em B e C. 
Pressão em B = pressão em C 
PA + wh (para água) = pD + wh (para mercúrio) 
pA + IG3 (3,6 - 3,0) = O + 13,6 X 103 (3,8 - 3). 
Resolvendo, pA = 10 280 kg/m2 = 1,028 kg/cm2 C!:! 1 atm. 
Uma outra solução, utilizando-se a pressão de coluna d'água usualmente 
requer menos aritmética: 
Altura da coluna d'água em B =altura da coluna d'água em C 
PAI"' + 0.6 m de água = 0,80 X 13,6 m de água. 
Resolvendo: pAfw = 10,28 m de água e 
pA' = 10,28 X 103 = 10 280 kg/cm2, como anteriormente. 
1'22. Um óleo de densidade 0,750 escoa através de um bocal 
indicado na Fig. l-9 e causa a deflexão do mercúrio no manômetro U. 
Determine o valor de h se a pressão em A é de 1,5 kg/cm2 • 
ou 
e 
Solução: 
Pressão em B = pressão em C 
pA' + wh (óleo) = pD' + wh (mercúrio) 
1,5 X I<l4 + (0,750 X 103) (O,l!OO + h) = (13,6 X I03)h 
h = 1,21 m; h = l 210 mm. 
Usando m.e.a. como unidade: 
li 
Ar G 3,.2rn 
0,11 Ili. 
- D +-h E .!:.. 3m 
t B e LiquiduB 2,6jnac _ D 
Deruidade 1,6 
Fig. 1-9 Fig. 1-10 
Altura da coluna d'água em B =altura de coluna c;l'água em C 
1,5 X In4/IG3 + (0,8 + h) 0,750 = 13,6 h :. h = 0,1'.?l m como antes. 
CAP. 1 PROPRIEDAD!l!I DOS FLUIDOS 21 
23. · Para uma pressão manométriea em A de :-- 1 000 kg/m 2 
determine a densidade do líquido B da coluna manométrica d:.t. 
Fig .. 1-10. 
Solução: 
Pressão ·em C = pressão em D 
PA +wh. =p.1..1 
- ÍOOO + (1,6 X 1<13) 0,5. = pD. = - 200 kg/,ri2. 
Agora ]J(1 = pD = - 200 kg/m! Ullia vez que o pêso de 0,550 m de ar pode 
··ser despremdo sem intrOduiirmos &oro 'considerável 
Também PB = PP = O. 
Assim, pressão em G =.pressão 'em . E - presSão de (3,200 - 3,0)m do 
líquido manométrico 
]J(1 = PB. - (d X Iói) (3,200 - 3,0) 
- 200 = O - (d X 103) 0,200 e d = 1,00. 
124. Para uma leitura manométrica em A de - 0,175 kg/cm~ 
determinar (a) a elevação dos líquidos nas colunas piezométricas 
abertas E, F e G e (b) a deflexãodo merciírio no manômetro em 
U na Fig. 1-11! 
El.19,51u_ J' A E G. 
Ar 
e 
Fig. 1-11 
Solução: 
(a) uma vez que o pêso !!Specífico do ar (Cêrca de 1,28 kg/m:i.) é muito pequeno 
comparado com o dos líquidos, a presSão na cota 14,7 m pode ser ~nsiderada 
- 0,175 kg/cm 2 sem introduzirmos êrro considerável. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Para coluna E: 
A cota em L sendo considerada como se indica, (manométrica) temos 
pK = pL : • pH + wh = O 
ou 
- 0,175 X 104 + 0,7 X 103 h = O e h = 2,5m: 
Então o nível em. L será 14,7 - 2,50 = 12,20 m. 
Para coluna F: 
Pressão na cota 11,4 = piessão na cota 14,7 +pressão do líquido de den-
sidade 0,7 = (- 0,175 X 104) + (0,7 X 103) (14,7 - 11,-1) = 560 kg/m2; que deve 
ser igual à pressão em M. Assim a altura de carga em M (ou pressão piezométrica} 
será 560 X 103 de coluna d'água, e a coiuna F subirá 560 mm acima de M ou 
à cota lJ ,960 m em N. 
Para coluna G: 
Pressão na cota 7,8 = pressão à cota 11,4 +pressão de 3,6 m de água 
ou 
po = 560 + 3,6 X 103 = 4 160 kg/m2 
que deveria ser a altura de carga em R. Então a pressão em R é 
4 160 ? 6 d l' .d 
1,6 X 103 = -, m o 1qu1 o, e a coluna G subirá 2,6 m acima 
de R ou à cota 10,40 m em Q. 
(b) Para o manômetro de coluna, usando m.c.a. 
altura piezométrica em D =altura piezométrica em C 
13,6 ht = altura piezomé~rica à cota 11,4 +altura piezométrica de 
7,2 m de água 
13,6 ht = 0,560 + 7.2 = 7,760 
25. Um manômetro diferencial é colocado entre as seções A 
e B em um tubo horizontal, no qual escoa água. A deflexão do 
mercúrio no manômetro é de 576 mm. o nível mais próximo de 
A sendo o mais baixo dêles. Calcular 'l diferença de pressão entre 
as seções A. e B em kgím~. Considerar a Fig. 1-12. 
Solução: 
Nota: Um eshôço será sempre necessário à clareza da análise de todos os 
problemas bem como à redução de erros. Me;mo uma simples linha reta poderá 
nos auxiliar. 
Pressão em C = pressão 1:m D 
p.tfw - : = [pB.1w - (z + 0,:>76) l + 13,6 X 0,576. 
CAP. l PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 23 
Então PA/W - DB/w =diferença de pressão = 0,576 (13,6 - 1) =7;25 m.c.a. 
e 
Se (pA' - ps') fôsse negativo, a interpretação correta do sinal se.ria que a 
pres8ão em Bera maior do que A de (,2 X 101 kg/m2• 
Manôm~tros diferenl"iais devem ser "Eangrados" (retirada de ar) antes da 
leitura ser feita. 
- D 4;5m 
3,6m 
3.0m 
E 
D 
376 mm 
T 
===~-l.2tn 
A B 
Fig. I-12 Fig. 1-13 
26. A perda através do dispositivo X deve ser medida por 
um manômetro diferencial usando um óleo de densidade 0,750 
como fluido indicador. O líquido que se escoa tem uma densidade 
de 1,50. Determinar a diferença de pressão entre A e B para a 
deflexão do óleo indicado na Fig. 1-13. 
Solução: 
Pressão em C = pressão em D 
pB - (1,5 X 103) 0,6 - (0,750 X 11>3) 0,9 = PA - (1,5 X 101) 3,3. 
Então pA - pB = 3175 kg/m2 e a diferença em 
• . 3 475 ~ d l' "d metros de liquido = l,5 X 103 = 2,3;, m e 1qu1 o. 
Outro método 
Usando metros de líquido (d = 1,50) 
altura de carg-d em e = !!ltura de carga em r 
ps/w - 0,6 - 0,750 X 0,9 = PA/W - 3,3. 
1,50 
24 MECÂNICA: DOS FLUIDOS 
Então pA/w - pB/w = diferença de alturas de carga = 2,35 rn de líquido 
<.Y>moantes. 
@. Os recipientes A e B contém água sob pressões de'3 kg/cm2 
e 1,5 kg/cm2 respec~ivamente. Qual será á deflexão do mercúrio 
J\O manômetro diferencial na Fig. l·l4? ··---·--···--
Solução: 
Pressão em C = pressão em D 
3 X 104 1,5 X 104 ~ + :i: + h = 103 - y + 13,6 h (m.c.a). 
Recúmpondo: 30 + :i:.+ h = 15 - y + 13,6 h 
15 + :i: + y = 12,6 h. 
Substituindo :i: + y = 2 m e operando obtemos li = 1,35 m. 
O leitor poderá notar que a escolha de unidade em kg/m2 ou kg/cm2 envolveria 
mais cálculos, porém a probabilidade de cometermos enganos poderia recomendar 
o uso de tais unidades ao invés de m.c.a (metros de coluna d'água). 
Água 
l__ E 
T _5.,0n1 
:1: 
TLI~' h t 
.*; - D 
A 
_J,Gm 
..\gua. 
28. A pressão no nível A-A é de 10 mm de água e os pêsos 
específicós do gás e do ar são 0,560 kg/m3 e 1,26 kg/m3 respectiva-
ménte. Determinar a leitura da água no manômetro que mede 
~ pressão de gás ao nível B na Fig. 1-15. 
Solução: 
'<:onsideremos que os valores do w do ar e do gás permanecem constantes, 
para· os 90 m de diff!'rença de nível. Em virtude dos pêsos específicos do gás 
CAP. 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 25 
e do ar serem da mesma ordem de grandeza, a var.iação na pressão atmosférica 
com a altitude deve ser levada em consideração. O uso de pressões absolutas 
é recomendado. 
Pressão absoluta Pc = pressão absoluta pD. 
Pressão atmosférica pE + 103 h = pressão absoluta PA - li,56, X 90 (A} 
A pres>ão absoluta em A será determinado em têrmos de pressão atmosférica 
cm E, obtendo-se primeiro a pressão atmosférica em F e então pA. 
Pressão absoluta PA = [atmosfera pE + 1,26 (h + 90 + 0,09}] + 0,09 X 103• 
Substituindo êstcs valores em (A}, cancelando a pressão atmosférica pE e 
desprezando os têrmos de ·pequeno valor, temos: 
102 h = 90 (l,26 - 0,56 + I) = 153 :. h = 0,153 m ou 153 mm de água. 
29. Qual é a intensidade de pressão no oceano a uma 
profundidade de 5 000 ft, consid_erando-se que (a) a água salgada 
é incompressível e (b) a água salgada é compressível e pesa 64 
lb/ft3 à superfície~ E = 300 000 psi. 
Solução: 
(a) Intensidade de pressão p = wh = 64 (5000} = 320 000 psf man. 
(b) Uma vez que massa fornecida não varia de pêso, quando ela é compri-
mida, dW = O; então: 
dUi = d (W17) = w d11 + 11 dw = O ou d11/TJ = - dwíw. 
Das &111ações (10) e (12), dp = - w dh e d11/TJ = - dp/E. 
Substituindo em {A), 
dp/E = dw/w. 
Integrando, p = E ln w + C à superfície, p = P!'· w· = u:o; então 
C = po - Elnwa 
(A} 
(8) 
p = E ln w + po - E ln 1co ou (p - po} = E ln (w/u:o}. (C) 
Substituindo - wdh dw dp = - w dh em (8), --E-- = -;;;- ou dh = - E~w • 
w· 
Integrando, h = E/w + C1. 
A superfície, h = O, w = uo; então C1 = - E/u:o, h = (E/w - E/u·o) 
e daí 
u·oE 
w=----
u:oh+E 
(64} (300 000 X 144) = 6-1,5 lb/ft3• (64) ( - 5000) + (300 000 X 144) 
De (C) teremos: 
p = (30 X 104 X 144) ln (64,5/64) = 323 X 103 psfg (man.) 
(D} 
2Ci l)lECÂNICA DOS FLUIDOS 
30. Calcule a pressão barométrica em psi a uma altitude de 
4 000 ft se a pressão ao nível do mar é de 14,7 psi. Considere 
condições isotérmicas a 70"F. 
Solução: 
· O pêso específico do ar a 70°F é w = p 
R (460 + 70) 
onde R = 53,3 ft/0 R. 
Da Equação {10): d11 = - wdh = - p dh 53,3 {530) , 
ou 
dp/p = - 0,000 Õ351 dh. (A) 
Integrando {A), ln p = - 0,000 035 4 h + e onde e é a constante de inte-
gração. 
Para determinar e: quando h = O, p = 14,7 X 144 = 2 116 psf abs. 
Portanto e = ln 2 116 e ln p = 0,000 035 4 h + ln 2 116 ou 0,000 035 4 h = 
= ln 2 II6/p. (B) 
Transformando (B) em log10 2,302 6 log 2 116/p = 0,000 035 4 (4 000) log 
2 116/p = 0,061 6; 2 116/p = antilog 0,061 6 = 1,152 
2116 , 2 ll6 
P = 1,152 psf e p 1,152 X 144 = 12•7 psi. 
31. Deduzir a equação geral da relação entre pressão e elevação 
para as condições isotérmicas, usando dp = - w dh. 
Solução: 
P d. - . t' . - p po t ~ ara con 1çoes 1so erm1cas a equaçao wT = Wo To , rans1orma-se em 
011 w = wop/po. 
Ent.Uo: 
dh = - dp = - .!.'!.. X dp • Integrando f" dh = - ~ f P dp 
w u:o p J,.. wo Jp. p 
e 
h - hi; = - .!.'!..(ln p - ln pn) = .!.'!..(ln Pi> - ln p) = .!.'!..ln.!!!!... 
WO Wo U:O p 
. Realmente, a temperatura da atmosfera decresce com a altitude. Para uma 
solução exata necessitaremos de conhecer as variações de temperatura com a 
altitudt! e· o· uso da lei dos gases 
p w T = constante. 
CAP. 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 27 
32. Desenvolver a expressão da relac;ão entre a pressão mano-
métrica p dentro de uma #rOtícula de.líquido e a tensão superficial u. 
, a d[, 
dP,y 
--dP:dL 1 
d }-x 
l' 
adL 
---adL 
Fig. 1-16 
A tensão superficial na superfíde de uma pequena gôta de líquido faz com 
que a pressão interna seja maior do que a externa. 
A Fig. 1-16 mostra as fôrças que causam o equilíbrio na direção dw1 xx· de 
metade de uma gotícula de diâmetro d. As fôrças u · dL são de\· idas à tensão 
superficial ao longo do perímetro e as fôrças dP:i: são as comporn,11ll'~ 11a dirt·çãe> 
XX das fôrças p·dA (vide Capítulo 2). 
Então, do 2: X = O, 
soma das fôrças à direita = soma das fôrçl);, à esquerda 
u fdL = fdP:i: 
wnsão superficial X perímetro = pressão X área projetada 
q (1f d) = p (1f cf!/4) 
ou p = 4 u/d em unidade de pressão manornétrica. As unidades dtJ tensão 
superficial são kg/m \lb/ft). 
Pode-se ohsen·ar que quanto menor fôr a gotícula, maior será a pressão. 
33. Uma pequena gôta de água a 27°C está em contato com 
o ar e tem um diâmetro de 0,500 mm. Se a pressão 'interna à 
gotícula é de 57,4 kg/m2 maior que a atmosférica, qual é o valor 
de tensão superficial ? 
~olução: 
<T = Í pd = i (57,4) kg/m2 X 0,5 X 10-3 m = 7,175 X 10-3 kg/m. 
34. Calcular a altura aproximada a que subirá, em um tubo 
capilar exposto à atmosfera, um líquido que molha o tubo. 
28 .lllECÂNICA DOS FLUIDOS 
Solução: 
A elevação t>m um tubo de pequ1>110 diâmetro pode· ser determinada aproxi-
mHdamt>nlt, se conside1'11rmüs a massa do liquido ABCD na Fig. 1-17 como um 
corpo lh·rn. 
1 !ma vez que 2: Y = O; nós obtemos componentes da fôrça devida à tensão 
snperfidal (1iscendente) - pêso do volumt• ABCD (descendente) + fôrçn devida 
à prei;..,,ào AB (asct>ndcnte) - fôrça de\·ida à. pressão em CD (descendente) = O 
011 
+ (<T f dL) sen á - w (11" d2/.i X li) + p (área AB) ....,. p (área CD) = O. 
Pode ser verificado que as prt>SSões aos níveis AB e CD são ambas atmosfé-
ricas: A,-sim os (1ltimos dois têrmos do lado esquerdo da equação se anulam e, 
uma .,.,.;, q1m <T f dL = u (11" d), n6s obtemos, 
li = · 4 <T SP.n ª em melros. 
wd 
Para o corrípleto "molhamento", como de água sôhre vidro limpo, o ângulo a 
é es."f>nrial~nente 900. Maiores detalhes não são ·necessários aqui. 
Em trabalhos experimentais, evitar erros sérios devidos à capilaridade, 
usando tuhos em tôrno de 3/8" (9,5 mm) de diâmetro ou maiores. 
Fig. 1-17 
35. Estimar a altura a que a água a 2lºC subirá num tubo 
capilar de diâmetro 3,05 mm. 
Solução: 
Da tabela lC, <T = 0,01)1.iO kg/m. Considerando a = 90° para um tubo 
limpo: 
4 X 0,00740 
103 x 3,05 x 10-3 = 0•0097 m 
h = 9.ímm. 
CAP. 1 PROPRIEDADE.$ DOS FLUIDOS 29 
PROBLEMAS SUPLEMENTARES 
.zz prob, 
36. Se a massa específica de um líquido é 1,62 slug/ft3, determine seu ~o 
específico e sua densidade. . 
Resp.: 52,2 lb/ft3; 0,837. 
37. Verifique os valores da massa específica e do pêso específico do ar 'a 
80-F indicados na tabela lB. 
38. Verifique os valores dos pesos específicos do dióxido de carbono e do 
nitrogênio na tabela IA. 
, ~ A que pressão est.ará o a~ pesando ~.JJ9.J!>/ft3 a 120-F i'_ o~ ! 
_,/ Resp.: ~ · ., '' 
40. Dois pés cúbicos de ar à pressao atmosférica são comprimidos a 0,50 ft3• 
Para condições isotérmicas, qual é a pressão final? 
Resp.: 58,8 psia. 
41. No problema anterior, qual seria a pressão final se nenhum calor ·é 
perdido durante a compressão? 
Resp.: 102 psia. 
42. Determinar a viscosidade absoluta do mercúrio em lb s/ft2 se a ~-iscosi­
dade em poises é 0,0158. 
Resp.: 33 X io-6 lb/ft2• 
43. Se um óleo tem uma viscosidade absoluta de 510 poises, qual é súa 
viscosidade no sistema fps (foot-pound-second)? 
Resp.: 1,07 lb s/ft2• 
1 
44. Quais são as viscosidades absoluta e cinemática no sistema fps de un1 
óleo de 155 segundos Saybolt para viscosidade, se a densidade do óleo é 0,932'i' 
Resp.: 646 X io-& lb s/ft2; 358 X 10-& lb s/ft2• 
45. Duas grandes superfícies estão separadas entre si de l" (25,4 mm) ·e 
o espaço entre elas está cheio de um líquido de viscosidade absoluta 0,02 lb s/ft~ 
(0,976 kg·s/m2). Considerando o gradiente de velocidade linear; qual é a fôrça 
necessária para empurrar uma placa muito fina de 4,0 ft2 (0,368 m2) de ·área •à 
uma velocidade constante de l ft/s (0,3 m/s) se a placa está a 1/3" (8,46 mm) de 
uma das superfícies ? 
Resp.: 4,32 lb; l,96 kg. 
46. O tanque da Fig. 1-18 contém óleo de densidade 0,750. Determinar 
a leitura no manômetro A em psi. 
Resp.: 1,16 psi. 
47. Um tanque fechado contém 2 ft de mercúrio, 5 ft de água, 8 ft de óleo 
de densidade 0,750 e um espaço de ar acima do óleo. Se a pressão no fundo do 
tanque é de 40 psi manométrica, qual seria a leitura do manômetro no tôpo do 
tanque? 
Resp.: 23,4 psi. 
30 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
48. Considere-se a Fig. 1-19_ O ponto A está 1,75 ft abaixo da superfície 
do líquido (densidade 1,25) no recipiente. Qual seria a pressão em A em psi 
manométrica se o mercúrio se elevasse· ·de 13,5" no tuho? 
RP.so.: - 5,66 psi. 
j_ 
9" 
T 13,5" 
_J_ 
Fig. 1-18 Fig. 1-19 
49. Considere-se a Fig. 1-20. Desprezando-se o atrito entre o pistão -A 
e ó tanque de gás, determinar a leitura do manômetro B en:i polegadas de coluna 
de água. Considerar o gás e o ar com pesos específicos constantes e iguais a 0,0351 
e 0,0750 lb/ft3 respectivament.e, 
Resp.: 17,9 in ~e água. 
Fig. 1-20 
50. Tanques A e B contendo óleo e glicerina de densidades respectivamentc 
iguais a 0,780 e '1,25 são unidos por um manôrnetro diferencial. O mercúri" 
no manôrnetro está ao nível de 1,60 no lado A e 1,10 no iado B. Se o nível da 
superfície da glicerina no tanque B fôsse 21,l a que nível estaria a superfície do 
óteo no tanque _A ? 
Resp.:· Nível 24,90. 
:fij O recipiente A, cota 8,00 contém água sob 15 psi de pres..«ão. O reci-
piente B, cota 12,00, contém um líquido sob 10,0 psi de pressão. Se a deflexão 
CAP. 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 3l 
do manômetro diferencial é de 12" de mercúrio e o nível mais baixo estando no 
lado A à rota 1,0, qual será a densidade do líquido no recipiente B? 
Resp.: 0,50. 
~-/ No tanque do lado esquerdo na Fig. 1-21, a pressão do ar' é - 9·pol. 
de rrt-efcúrio. Determinar o nível do líquido. do manômetrd no lado direito da 
coluna em A. 
Resp.: 86,1. 
r 
1 /. 
'· 
~106,jl_ 
2,86 psi 
Fig. 1-21 
• 
53. Os compartimentos B e C na Fig. 1-22 estão fechados e cheios de ar. 
O barômetro indica 14,5 psi. Quando os nianômetros A e D indica
1
m os valores 
assinalados, qual será o valor de .r no manômetro E (líquido indicador: mercúrio)? 
Resp.: 5,96 ft. 
54. O cilindro e o tubo indicados na Fig. 1-23 contêm óleo de densidade 
0,902. Para uma leitura rnanométrica de 31,2 psi, qual será o pêso total do pistão 
epêsoW~ 
A 
! 
30.0 psi 
Resp.: 136 800 lb. 
B 
Ar 
\l_ 
l 
J 10,0' 
6' 
Pistiio·. 
Fig. l-2:1 
32 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
55. Consideremos a Yig.· 1-24, que leitura em A. eausará a elevação da glice-
rina ao nível B? O pêso específico do 61eo é 52 lb/Ct3 e da glicerina· é 78 lb/ft1• 
Resp.: 5,06 psi. . . . 
B 
Fig. 1-24 
56. Um dispositivo hidráulico é usado para suspender um "truck" de 10 t 
se o 61eo de densidade 0,810 atua sôbre o pistão com uma pressão de 177 psi, quul 
será o diâmetro necessário? 
NOTA: 1 ton = 2 000 lb. 
Resp.: 12~'-
57. Se o pêso especifico da glicerina é 79,2 lb/ít3, qual a pressão de sucção 
neces.c,ária para elevar verticalmente a glicerina de 9" em um tubo de 1/2" de 
diâmetr.o? 
Resp.: - 0,412 psi. 
58. Qual a pressão interna de uma gôta d'água que tem 0,06" {2,12 mm) 
de diâmetro quando a temperatura é de 700F {2,l0 C}? . 
Resp.: 0.0276 p«i g. 
)i 
\}.CAPÍTULO 2 
FÔRÇA HIDROSTÁTICA NAS SUPERFÍCIES 
Introdução. Os engenheiros devem calcular as fôrças exercidas 
pelos fluidos a fim de projetarem as estruturas satisfatoriamente. 
Neste capítuloas três características da fôrça hidrostática serão 
apreciadas: intensidade, direção e sentido. Adicionalmente, a locali-
zação, ou melhor, o ponto de aplicação também será determinado. 
Fôrça exercida por um líquido sôbre uma área plana. 
A fôrça P exercida por um líquido sôbre a área A é igual ao produto 
do pêso específico w do líquido, da profundidade h., do centro de 
gravidade da área e da área. A equação é: 
P = wh., A, (1) 
as unidades sendo: 
lb = lb/ft3 X ft X ft 2 ou kg = kg/m3 X m X m2• 
1 
Notemos que o produto do pêso específico w pela profundidade 
do centro de gravidade da área representa a intensidade de pressão 
no centro de gravidade de área. 
A linha de at;ão da fôrça passa pelo centro de. pressão que pode 
ser localizado pela aplicação de fórmula: 
r 
leu , 
Ycp = --4- + Ycu' Ycu · ·--··· 
onde leu é o momento de inércia de área em_!:.~l~çª~· ªº~ eixo_ que 
passa pelo centro de gravidade. As distâncias y são medidas ao 
longo do plano a· partir de um eixo situado na i.nterseção do plano 
com a supnfície do líquido, ambos prolongados se necessário. 
A componer(/e horizonla.1 da fôrça hidrostática sôbre qualquer 
superfície (plana ou irregular) é igual à fôrça normal à projeção 
vertical da superfície. A componente atua passando pelo centro 
de pressão para a projeção vertical. 
34 MECÂN"ICA DOS FLUIDOS 
A componente verlical da fôrça hidrostática sôbra.. uma superfície 
qualquer (plana ou irregular) é igual ao pêso do volume de líquido 
acima da área, real ou imaginária. A fôrça passa pelo centro de 
gravidade do volume. 
Tensão circunferencial. A tensão circunferencial {psi ou 
kg/cm2) é criada nas paredes de um cilindro sujeito à pressão in-
terna. Para cilindros de paredes finas (l < 0,10 d), 
intensidade de tensão <T (psi) ~ pressão p' (psi) X raio r (in) (3) 
espessura l (in) 
Tensão longitudinal em cilindros de paredes finas. A 
tensão lo11gitudinal (psi ou kg/cm 2) em cilindros de paredes finas 
fechados é igmil à metade da tensão circunferencial. 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
(/1,) Desenvolver (a) equação para fôrça hidrostática agindo 
em uma área plana e (b) localizar a fôrça . 
. Fig. :?-1 
Solução: 
(11) Con8Í<li-remos a rela A IJ r!'presentando uma área pia.na sujeita à 
pn•ssiiu d1• 11111 íluido e tendo uma inclinação O 1·om a horizo11lal, como mostra 
a Fig. 2-1. Considt>remos um demento de área tal que cada partícula esteja 
à nwsma dislâneia li abaixo da i<uperfície cio líquido. A faixa horizontal ha-
dmrada, ,: ''omo la! uma áre-.t, •~ a pressiio ,; uniforme sôbrn esta área. Então 
a ffirça """ alua sôhre a área dA é igual a intensidade da pressão uniforme p, 
vêzes a Ítrea d1t ou dP = pd A = wh dA. 
CAP. 2 FÔRÇA HIDROSTÁTICA NAS SUPERFÍCIES 35 
Somando-se tôdas as fôrças que atuam sôbre a área e. considerando-se 
que h ~ ysen 8, 
P = .! ~h dA = f w (y sen 8) dA, 
(w sen 8) f y dA = (to sen fJ) YCfl A; 
onde w e 8 são constantes, e da estática, 
f ydA = yqdA. 
Uma vez que hco = Yco sen 8. 
P = whc0 A. (1) 
N.T. - A expressão (1) nos mostra que: a resultante das press9es exercidas por 
um fluido sôbre uma área plana é igual ao pêso de coluna líquida tendo por base 
a área considerada e para altura a profundidade do seu centro de gravidade. 
Se notarmos que Pcg = tohc,,, pressão no centro de gravidade, podemos 
também verificar que a resultante das pressões exercidas por um líquido sôbre 
uma área plana é igual ao produto dessa área pela pressão em seu centro de 
gravidade. 
P =pcqA. 
(b) Para localizar a fôrça P, procederemos como na estática, considerando 
os momentos. O eixo O é escolhido como a interseção da área plana com a su· 
perfície da água, ambos prolongados se necessário. Tôdas as distâncias y são 
medidas a partir dêste eixo, e a distância à fôrça resultante é chamada Ycp, que 
é a distância ao centro de pressão. Uma vez que a soma dos momentos de tôdas as 
fôrças em relação ao eixo O deve ser igual ao momento da fôrça resultante. temos: 
f (dP X y) = P X ycp. 
Mas dP = wh dA = w (y sen 8) dA e P = (to sen 8) ycq A. Então, 
. . í -
tw sen tJ)} y" dA = (w seu 8) (ycg A) Ycp. 
Uma vez que f y2 dA é o momento de inércia da área plana em tôrn• • 
do eixo o. 
~ 
Yc,, A = Ycp· 
Em uma forma mais conveniente aplicando o teorema dos eixos 
lcg + Ay2cg /Cf/ Ycp = =--A-+ Ycg. 
YcgA Yco 
(2) 
Notemos que a posição do centro de pressões é sempre abaixo do centro de 
gravidade da área, ou (Ycp - Ycu) é sempre positivo. uma vez que lcg é sempre 
36 MECÂNICA. DOS FLUIDOS 
2. Determinar a posição lateral do centro de pressão (abscissa). 
Referência Fig. 2.;l. 
Solução: 
Em geral a abscissa do centro de pressão não é necessária para resolver 
muitos problemas de engenharia concernentes às fôrças hidrostáticas, ocasio-
nalmente, entretanto, esta informação ·pode ser necessária. 
Usando o esquema do problema anterior, a área dA é escolhida como 
(dzdy) de modo que o braço da alavanca x é convenientemente usado. Consi-
derando os momentos em relação a YY1, 
. PZcp = f (dP x). 
Usando os valores deduzidos no Problema 1, 
(whq, A) Zcp = f p (dx dy) x = f wh (dx dy) z, 
ou 
(w sen li) {yqr A) :rep = (w sen 8) f zy (dx dy); (3) 
uma vez que h = y sen fl. A integral representa o produto de inércia da 
área plana em tômo dos eixos X e Y escolhidos, designado por lzy. Então: 
(4) 
Se um dos eixos considerados fôsse eixos de simetria da área plana lzy 
seria nulo e a posição lateral (abscissa) do centro de pressão situar-se-ia no 
eixo dos YY que pássaria pelo centro de gravidade (não mostrado na Fig. 2-1). 
Notemos que o produtO de inércia em tôrno dos eixos que passam pelo centro 
de gravidade (/zy)q, pode ser positivo ou negativo, de modo que a abscissa 
do centro de pressão pode situar-se à direita ou à esquerda do eixo dos YY. 
!ç;_'=·'. ~ • .. ".. .. 
/ "'l .ut:Lt:1·wmac a resuuame P devida à ação àa água na área 
AB.f.'etangular de 1 m X.2 m, indicada na Fig. 2-2 abaixo. 
Solução: 
... p = whcg A = I@3.kg/m3 X (1,5 + 1) m X (2 X 1) m2 = 5 000 kg. 
Esta resultante a~ no centro de pressão que está situado a uma distância 
YCJJ do eixo 01' e, 
1· /1 ~"~3/12 ., ., ..... -~--,\ 
YCJJ = Y<v ~ + Y<v = 2,5 (2 X 1) + 2,5 = l~ + 2,5 ~ 
0_0 Determinar a fôrça resultante devida à ação da água na 
área triangular CD de 1,5 m X 2 m indicada na Fig. 2-2. O vértice 
~ais elevado do triângulo é e. 
CAP. 2 FÔRÇA HIDROSTÁTICA NAS SUPERFÍCIES 
Solução: 
PcD=10a.(1+ ! x2xo.101) G x1,5x2) 
. 3 ( 5,828) 
= 10 -3- 1,5_ = 2 914 kg. 
37 
Esta fôrça atua a uma distAncia Ycp do eixo 02 e é medida ao longo do plano 
da área CD. 
1,5 (23)/36 . 1,942 
J'cp = (1,942/0,707) (1/2 X 1,5 X 2) + 0;101 = 0,081 + 2,74 = 2,821 m de 02 
!C I~ I""· _,__ ___ 6 til-----
Fig. 2-2 Fig. 2-3 
5. A água sobe ao nível E no tubu localizado no tanque ABCD 
da Fig. 2-3. Desprezando-se o pêso do tanque e do tubo, (a) 
determinar e localizar a fôrça resultante átuante sôbre a área AB 
que tem 2,4 m de largura, (b) determinar a fôrça resultante na 
base do tanque, (e) comparar o pêso total da água ~om o resultado 
em (b) e explicar a diferença. 
Solução: 
{a) A profundidade do centro de gravidade da área AB é de 4,5 m abaixo 
da superfície da água (nfoel E). Então: 
P = whA = 103 (3,6 + 0,9) (2,4 X 1,8) = 19 440 kg, 
atuando à uma distância de: 
2 .. 1 (l,8)3/12 
Yci> = 4•5 (2,4 X l,8) + 4,5 = 4,56 m de O. 
(b) A pressão na base BC é uniforme; portanto a fô,ça 
P = pA = (wh) A = 103 (5,4) (6 X 2,4) = 77 760 kg. 
(e) t> pê~o total" de água W = 10ª (6 X 2,4 X 1,8 + 3,6 X 0,1) 
~ 26 280 kg. Um corpo livre com o volume da parte i11.íerior do tanque 
(cortado por um plao~ horizontal justame~te acima do nív.el BC) indicará 
--
38 l\IF.CÂNICA DOS FLUII>Ol:I 
uma fôrça para baixo sôbre a área BC de 77 760 kg, tensão verti~lnas paredes 
do tanque, e a reação do plano de apoio. A reação deve ser igual ao pêso total 
da água ou 26 280 kg. A teDBão nas pl'redes do tanque é causada pela fôrça 
ascendente no tôpo AD do tanque que é igual a: 
P AD = (wh) A = 108 (3,6) (14,4 - 0,1) = 51 480 kg. 
Um aparente paradoxo é asaim esclarecido, uma vez que, para o corpo livre 
considerado, a :;orna das fôrças vertical é zero, isto é: 
77 760 - 26 280 - 51 480 = o e, portanto, 
a condição de equilíbrio é satisfeita. 
6. A comporta AB na Fig. 2-4_ (a) abaixo, tem 1,2 m de largura 
e é fixa em A. O manômetro G indica (- 0,15 kg/cm2) e um óleo de 
deusidade· 0,750 é utilizado no. tanque à direita. Que fôrça hori-
zontal deve ser aplicada em B para equilibrar a comporta AB? 
1 
T 
T 
1-8 m 
_L 
0,99 nt },2 UI 
t 
6 -IAIO ki: .,._. 1455 kg 
B-F 
e 
Fig. 2-4(a} Fig. 2-4(b) 
Solução: 
As fôrças atuantes sôbre a comporta devem ser determinadas e localizada~. 
l'ara o lado direito, temos: 
Pó!eo = whq, A = {0,750 X 103) 0,9 (1,8 X 1,2} = 1 455 kg 
para esquerda atuando em: 
1,2 (l,8}3/12 
ycp = 0,9 (l,2 X l,8} + 0,9 = 1,2 m de A. 
l 
Poderíamos verificar que a pressão atuar.te no lado direito do retângulo 
AB varia linearmente da pressão zero ao valor devido aos 1,80 m de óleo (p = 
= wh é uma equação linear). O diagrama de pressão ABC indica êst.P. fato. 
Para o caso da área retangular, o centro de gravidade desta área de pressões 
coincide com o centro de pressão. O centro de gravidade está localizado a 
·2 3 (l,8} = 1,2 m de A, como foi calculado acima. 
CAP. 2 FÔRÇA HIDROSTÁTICA NAS SUPERFÍCIES · 39 
Para o lado esquerdo. é necessário converter a pressão negativa devida 
ao ar para seu equivalm1te em metros de !igua, 
h = _ ..!!.... = _ 0,15 X 104 
10 103 - 1,5 m. 
F..sta pressão negativa equivale a têrmos 1,5 m a menos de água abaixo 
do nível A. :f: conveniente e útil empregarmos uma superfície imaginária 
de água (l.W.S), 1,5 m abaixo do nível real e resolver o problema pelo uso.di-
reto das equações básicas. Assim: 
Págua = 103 (2,1 + 0,9) (1,8 X 1,2) = 6 480 kg, 
agindo para a direita no centro de pressão. 
Para a área retangular submers~, 
ou o centro de pressão está a (3,09 - 2,1) = 0,99 m de A. 
Na Fig. 2-4(b) o diagrama mostra as fôrças que atuam sôbre a comporta 
AB. A soma dos momentos em relação a A deve ser 'nula. Tomando o 
sentido do movimento dos ponteiros do rel6gio como positivo. 
+ l 455 X 1,2 + l,8F - 6 480 X 0,99 = O 
e F"' 2 600 kg da direita para esquerda. 
/'!. O tanque da Fig. 2-5 
contém óleo e água. Determinar 
a fôrça resultante no lado ABC 
que tem 1,2 m de largura. 
Solução: 
A resultante das fôrças em ABC 
é iguai a (PAB + PBc). C .. ku!tui•->o; 
1;ada uma delas, localizemo-las e, usan-
do o princípio de momentos, determim:· 
mos a posição da resultante sôbre o 
lado ABC. 
Fig. 2-5 
A _j_ 
IWS 0,6 lll 
t 
2,4m 
(a) P AB = (0,800 X 103) (l,5) (3 X 1,2) = 4 320 kg atuando eín um ponto 
? 
a i" (3) m de A ou 2 m abaixo. A mesma distância poderia ser obtida pela 
fórmula, como segue: 
1
•
2 <33)/l2 + 1,5 = 2 m de A. 
Ycp = 1,5 (1;2 X 3) 
(b) A água está atuando na área BC e qualquer líquido superposto pode ser 
convertido em uma equivalente profundidade de água. Empreguemos uma 
MECÂNICA DOS FL"t;JDOS 
superfície de água imaginária (IWS) para êste segundo cálculo, localizando a 
(IWS) pela mudança de 3 m de 6leo para 0,8 X 3 = 2,4 m de água. Então: 
PBC = 103 (2,4 + 0,9) (1,8 X 1,2)'.::::'. 7 130 kg atuando no centro de 
pressão. 
l,:Z (l,8)3/12 Ycp = + 3,3 = 3,38 m de O ou (0,6 + 3,38) = 3,3 (1,2 X 1,8) 
= 3,98m de A. 
A; fôrça resultante é igual a 4 320 + 7 13(1 = 11450 kg atuando no centro de 
pressão para área total. O momento desta resultante = a soma dos momentos 
«tas s1,1as. componentes. 
Usando A como um eixo de referência, 
11 450 Y cp = 4 320 {2) + 7 130 (3,98) e 
Ycp = 3,23 m de A. 
Outros métodos de resolução podem ser empregados mas acreditamos 
que o método ilustrado reduzirá os erros no julgamento e nos cálculos. 
8. Na Fig. 2-6 a comporta ABC é articulada em B e tem 
Fig. 2-ó 
1,2 m de comprimento. Des-
prezando o pêso- da comporta, 
detérminar o momento desequi-
librador devido à ação da água 
na comporta. 
SoJuçã~: 
PAB = 103 (1,2) [(2,4/sen 6(}<>) = 1,2] 
2 
= 3 980 kg, atuando a 3 (2,4/ 
/0,866) = l,85 m de A. 
PBc = 103 (2,4) (0,9 X 1,2) = 2 590 kg, atuando no centro de gravi-
dade de . BC, uma vez que a .pressão sôbre BC é uniforme. Tomando-se 
~omentos em relação a B (considerando positivo o momento no sentido do 
movimento dos ponteiros do relógio). 
Momento desequilibrante = 3 980 X 0,923 - 3 000 X 0,45 = 2 320 kg· m no 
sentido considerado. 
Á. Det~rminar a fôrça resultante devida à ação da água na 
á.rea v~rtical indicada na Fig. 2-7(a) e localizar o centro de pressão 
em coordenadas x e y. 
Solução: 
Dividir a área em um retângulo e um triângulo. A fôrça total atuante é 
igual à fôrça P 1 atuando DO retângulo mais a fôrça P2 atu .. ndo no triângulo. 
CAP. 2 FÔRÇA HIDROST.\TICA N.AS SUPERFÍOIES. 4t 
(a) P1 = 103 (1;2) (2,4 X 1,2) = 3 456 kg atuando a .!. X 2,4 = 1,6 m da 
f,. XX · 3 super icie , 
P2 = 103 (3) ( ~· X 1,8 X 1,2) = 3 240 kg atu~ndo a, 
Y. 1,2 (l,8)3/36 
cp = ( 
3 ! X 1,2 X 1,8) + 3 = 3,06 m abaixo de XX. 
A fôrça resultante: 
p = 3456 +3240 = 6696kg. 
Tomando-se momentos em relação ao eixo dos XX 
6 696 y cp = 3 456 (1,6) + 3 240 (3,06) 
Y cp = 2,36 m abaixo da superfície XX. 
(b) Para localizar o centro de pressão no ·eixo das abscissas (XX),. usamos 
o princípio dos momentos depois de têrmos localizado z 1 e z2 para o reiângulo e 
para o triângulo respectivamente. Para o retângulo, o centro de pressão paltl 
cada taixa horizontal de área dA está a O,~ ril de. YY; portanto o seu centro e·~ 
pressão está a 0,6 m dêste eixo. Para o triângulo, a cada área dA corresponde 
um centro de pressão, portanto a mediana contém todo8 os centros de pressão 
(L.G.) e o centro de pressão de todo o triângulo pode ser ag0ra calculado. Veri-
ficando-se a Fig~ 2-7(b) e usando-se semelhança de triângulos, z210,s = 1,14/l,8, 
do qual z2 = 0,38 m de YY. 
f,_ 
Fig. 2-7 ta) Fig. 2-7 (b) 
Calculando-se os momentos: 
6 696 XcP = 3 456 (0,6) + 3 240 (0,38) e Xcp = 0,49 m de YY. 
Um outro método poderia ser usado pura localizar o centro de pressão. Ao 
invés de dividirmos a área em ·2 partes, calculamos a posição do centro de gravi-
dade da área total. Usando-se o teorema dos eixos paralelos, determina-se o 
42 !l!ECÂNICA DOS FLUIDOS 
momento de inércia e o produto de inércia da área .total em relação aos eixos!1<1ue 
passam pelo centro de gravidade. Os valores de ycp e :rcp são então calculado.Q 
·pelas fórmulas (2) e (4) dos Problemas 1 e 2. Em geral êste processo não tr'"' 
nenhuma vantagem especial e pode envolver muita aritmética . 
...{@ A comporta AB de I,8 m de diâmetro na Fig. 2-8 gira 
em tôrno do eixo horizontal e localizado a 100 mm abaixo do ~entro 
de gravidade. A que altura h pode a água subir sem causar um 
momento desequilibrante (no sentido do movimento dos ponteiros 
do relógio) em tôrno do eixo e? 
Fig. 2-8 
Solução: 
Se o centro de pressão e o eixo C coincidirem, não haverá momento des>!-
quilibrante atuando na comporta. Determinando a posição do centro de pressão, 
Então, 
tr (I.3)~/64 O 100 (" d' d ) 
Ycp - ycg = (h + 0,9) Í7r (l,8)2/4l = ' m ica o 
h = 1,12 m acima de A. 
II. Considere-se a Fig. 2-9. Qual será a m1mma largura b 
para a base de uma barragem de 30 m de altura, se considerarmos 
que a pressão sôbre a barragem varia uniformemente desde a altura 
de carga na base até zero no tôpo e se c~siderarmos também uma 
pressão de gêlo P1 de 18 720 kg por metro linear de barragem no 
CAP. 2 FÔRÇA HIDROSTÁTICA NAi;