analise combinatorio

Prévia do material em texto

Questão 1/5 - Análise Combinatória
Considere o triângulo de Pascal parcialmente apresentado abaixo:
1a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:13311a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:1331
Com base nesse triângulo, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) A terceira linha do triângulo de Pascal contém os números binomiais com n=2n=2, isto é, (20),(21)(20),(21) e (22).(22).
 
II. (   ) A quinta linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 4, 6, 4 e 1, dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem. 
III. (   ) Os coeficientes que aparecem no desenvolvimento do binômio  (x+a)5(x+a)5 com a∈R,a≠0a∈R,a≠0 são 1, 5 e 10. 
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V – V – V
A terceira linha do triângulo de Pascal é formada pelos números (20)=1,(21)=2(20)=1,(21)=2 e (22)=1.(22)=1. Logo, a afirmativa I é verdadeira. A 5ª linha é formada pelos números binomiais: (40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4(40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4 e (44)=1.(44)=1. Assim, a afirmativa II é verdadeira. Notamos também que a 6ª linha do triângulo de Pascal contém os coeficientes do desenvolvimento de (x+a)5(x+a)5. Calculando os números binomiais com n=6n=6, encontramos os coeficientes: 1, 5 e 10. Portanto, a afirmativa III é verdadeira.
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Questão 2/5 - Análise Combinatória
Analise o triângulo de Pascal abaixo e assinale a alternativa que apresenta o desenvolvimento de (x+a)4(x+a)4 com a∈R,a≠0.a∈R,a≠0.
111121133114641111121133114641
Nota: 20.0
	
	A
	x4+4a3x+6a2x2+4a3x+a4x4+4a3x+6a2x2+4a3x+a4
	
	B
	x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4
Você acertou!
	
	C
	x4+6ax3+4a2x2+4a3x+a4x4+6ax3+4a2x2+4a3x+a4
	
	D
	a4+4a3x3+6a2x2+4ax3+x4a4+4a3x3+6a2x2+4ax3+x4
	
	E
	a4+4ax3+6a2x2+4a3x+axa4+4ax3+6a2x2+4a3x+ax
Questão 3/5 - Análise Combinatória
Em um grupo formado por 10 professores, dos quais figuram Denise, Eduardo, Otto e Zaudir, considera-se comissões formadas por 5 professores. Com base nisso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) Ao todo, é possível formar 252 comissões. 
II. (   ) Sem a presença do professor Otto, é possível formar exatamente 126 comissões.
III. (   ) Ao todo, é possível formar 70 comissões com a presença do professor Eduardo e sem a presença do professor Zaudir. 
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V – V – V
O número de modos de escolher 5 professores num grupo formado por 10 é C10,5=10!5!(10−5)!=252.C10,5=10!5!(10−5)!=252. Com isso, a afirmativa I é verdadeira. Sem a presença do professor Otto, devemos escolher 5 professores num total de 9. Isso pode ser feito de C9,5=126C9,5=126 maneiras e a afirmativa II é verdadeira. Como Eduardo estará na comissão e Zaudir não, restam oito pessoas para 4 vagas, ou seja, C8,4=8!4!(8−4)!=70C8,4=8!4!(8−4)!=70 comissões possíveis. Portanto, a afirmativa III é verdadeira.
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Questão 4/5 - Análise Combinatória
Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13 cartas (AA, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J,Q,KJ,Q,K) de cada naipe (ouros - ♢♢, copas - ♡♡, paus - ♣♣ e espadas - ♠♠). Com base nesse experimento, analise as afirmativas:
I. O espaço amostral ΩΩ associado a este experimento possui exatamente 52 eventos elementares. 
II. A probabilidade de que a carta sorteada seja um JJ é 152152. 
III. Sabendo que a carta sorteada é de copas, a probabilidade de que ela seja um JJ é 113.113. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 20.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
Você acertou!
O baralho possui 4×13=524×13=52 cartas. Logo, o espaço amostral possui 52 eventos elementares e a afirmativa I é correta. Consideremos MM o evento "sortear JJ". Logo, #M=4#M=4 e a probabilidade da carta sorteada ser um JJ é P(M)=452=113P(M)=452=113. Com isso, a afirmativa II é incorreta. Passamos para a afirmativa III. Trata-se de uma probabilidade condicional. Seja BB o evento "sortear copas". Então, P(M∩B)=152P(M∩B)=152 e P(B)=1352P(B)=1352. Portanto, a probabilidade da carta sorteada ser JJ, dado que é de copas é P(M∖B)=P(M∩B)P(B)=113.P(M∖B)=P(M∩B)P(B)=113.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 5/5 - Análise Combinatória
Considere AA o conjunto formado por todos os números naturais de 3 algarismos, isto é, A={100,101,…,999}A={100,101,…,999}. Com base neste conjunto, analise as afirmativas: 
 
I. Há 1000 números no conjunto AA. 
II. O conjunto AA possui exatamente 648 números com os três algarismos distintos. 
III. O conjunto AA possui exatamente 450 números pares. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 20.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Você acertou!
No conjunto AA, temos 900 números. Isso porque o algarismo da centena não permite o algarismo 0. Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 9×10×10=9009×10×10=900 números e a afirmativa I é incorreta. Para a afirmativa II, existem 9 modos de escolhermos o algarismo da centena (o algarismo 0 não é permitido), 9 modos de escolhermos o algarismo da dezena (não podemos utilizar o algarismo usado na centena) e para a unidade existem 8 modos. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 9×9×8=6489×9×8=648 números com os três algarismos distintos. Com isso, a afirmativa II é correta. Passamos para a afirmativa III: existem 5 modos de escolhermos o algarismo da unidade: 0, 2, 4, 6 e 8. Já para a centena, temos 9 modos (o algarismo 0 não é permitido) e para a dezena há 10 modos. Logo, teremos 9×10×5=4509×10×5=450 números pares em AA e a afirmativa III é correta.