MECÂNICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL (11)

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UNIVERSIDADE ANHANGUERA – UNIDERP
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
Prof.: MATHEUS PIAZZALUNGA NEIVOCK
E-mail: neivock@gmail.com
AULA 5
Sistemas de forças equivalentes
Vetor posição entre dois pontos A e B fora da origem
O vetor posição ou localização é definido como um vetor fixo que
localiza um ponto do espaço em relação a outro.
O vetor posição pode ser escrito na forma cartesiana.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
kzjyixr
rrrr
++=
Sistemas de forças equivalentes
Vetor posição entre dois pontos A e B fora da origem
O vetor posição é calculado a partir da subtração das coordenadas x,
y, z das extremidades dos vetores em análise.
O vetor posição indica o comprimento real ou a distância entre dois
pontos no espaço.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
kzzjyyixxr ABABABAB
rrrr
)()()( −+−+−=
ABAB rrr
rrr
−=
Sistemas de forças equivalentes
Exemplo de aplicação
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Sistemas de forças equivalentes
Exemplo de aplicação
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Sistemas de forças equivalentes
Exemplo de aplicação
z
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Sistemas de forças equivalentes
Exemplo de aplicação
z
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
y
Sistemas de forças equivalentes
Exemplo de aplicação
z
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
y
x
Sistemas de forças equivalentes
Exemplo de aplicação
z
A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
y
x
A
Sistemas de forças equivalentes
Exemplo de aplicação
z
A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
y
x
A
B
Sistemas de forças equivalentes
Exemplo de aplicação
z
A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
y
x
A
B
u
Sistemas de forças equivalentes
Exemplo de aplicação
z
A
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
y
x
A
B
u
Sistemas de forças equivalentes
Relembrando:
Vetor força orientado ao longo de uma reta
Como já vimos, pode-se definir uma força como um vetor
cartesiano pressupondo que ele tenha a mesma direção e sentido que o
vetor posição ou localização orientado do ponto A para o ponto B na
corda.
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corda.





==
r
r
FuFF
r
rr
..
posiçãovetordomódulor
olocalizaçãouposiçãovetorr
forçadamóduloF
unitáriovetoru
forçavetorF
→
→
→
→
→
r
r
r
Sistemas de forças equivalentes
Relembrando:
Vetor força orientado ao longo de uma reta
Como já vimos, pode-se definir uma força como um vetor
cartesiano pressupondo que ele tenha a mesma direção e sentido que o
vetor posição ou localização orientado do ponto A para o ponto B na
corda.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
corda.





=
r
r
u
r
r
posiçãovetordomódulor
olocalizaçãouposiçãovetorr
unitáriovetoru
→
→
→
r
r
Sistemas de forças equivalentes
Exercício 1:
A corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B,
determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Sistemas de forças equivalentes
Exercício 1:
A corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B,
determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
°≅115xθ °≅ 5,73yθ °≅ 31zθ
mrAB 7=
Sistemas de forças equivalentes
Exercício 1:
A corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B,
determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B.
Primeira etapa
Encontrar os pontos de A e B
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Sistemas de forças equivalentes
Exercício 1:
A corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B,
determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B.
Primeira etapa
Encontrar os pontos de A e B
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
( )mA 3,0,1 −=
Sistemas de forças equivalentes
Exercício 1:
A corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B,
determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B.
Primeira etapa
Encontrar os pontos de A e B
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
( )mA 3,0,1 −=
( )mB 3,2,2−=
Sistemas de forças equivalentes
Exercício 1:
A corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B,
determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B.
Segunda etapa
Encontrar o vetor localização
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
kzzjyyixxr ABABABAB
vrrr
)()()( −+−+−=
kjirAB
vrrr
))3(3()02()12( −−+−+−−=
mkjirAB )623(
vrrr
++−=
Sistemas de forças equivalentes
Exercício 1:
A corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B,
determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B.
Terceira etapa
Encontrar o módulo do vetor localização
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
mkjirAB )623(
vrrr
++−=
222 62)3( ++−=ABr
mrAB 7=
Sistemas de forças equivalentes
Exercício 1:
A corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B,
determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B.
Terceira etapa
Encontrar o módulo do vetor localização
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
mkjirAB )623(
vrrr
++−=
222 62)3( ++−=ABr
mrAB 7=
Comprimento da corda
Sistemas de forças equivalentes
Exercício 1:
A corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B,
determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B.
Quarta etapa
Encontrar o vetor unitário.
r
r
r
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AB
AB
r
r
u
r
r
=
7
623 kji
u
rrr
r ++−
=
kjiu
rrrr
857,0285,0428,0 ++−=
Sistemas de forças equivalentes
Exercício 1:
A corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B,
determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B.
Quinta etapa
Encontrar os ângulos.
Mecânica AplicadaProf.: Matheus P. Neivock
kjiu
rrrr
857,0285,0428,0 ++−=
1999,0 ≅=u
u
ux
x =θcos
u
u y
y =θcos u
uz
z =θcos
Sistemas de forças equivalentes
Exercício 1:
A corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B,
determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B.
Quinta etapa
Encontrar os ângulos.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
kjiu
rrrr
857,0285,0428,0 ++−=
1
428,0
cos
−
=xθ
1
285,0
cos =yθ
1
857,0
cos =zθ
1999,0 ≅=u
°≅115xθ °≅ 5,73yθ °≅ 31zθ
Sistemas de forças equivalentes
Exercício 1:
A corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B,
determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Sistemas de forças equivalentes
Exercício 2:
A placa circular é parcialmente suportada pelo cabo AB. Sabe-se
que a força no cabo em A é igual a 500N, expresse essa força como um 
vetor cartesiano.
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kNjNiNF
rrrr
5,3671305,313 −+=
Sistemas de forças equivalentes
Exercício 2:
A placa circular é parcialmente suportada pelo cabo AB. Sabe-se
que a força no cabo em A é igual a 500N, expresse essa força como um 
vetor cartesiano.
Vetor posição AB
( )mA 2,0,0=
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( )mA 2,0,0=
( )mB 0,707,0,707,1=
kzzjyyixxr ABABABAB
rrrr
)()()( −+−+−=
kmjmimrAB
rrrr
)20()0707,0()0707,1( −+−+−=
kmjmimrAB
rrrr
2707,0707,1 −+=
mrAB 72,2≅
Sistemas de forças equivalentes
Exercício 2:
A placa circular é parcialmente suportada pelo cabo AB. Sabe-se
que a força no cabo em A é igual a 500N, expresse essa força como um 
vetor cartesiano.
Vetor unitário u
kmjmimr
rrrr
2707,0707,1 −+=
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72,2
2707,0707,1 kji
u
rrr
r −+
=
kjiu
rrrr
735,0260,0627,0 −+=
kmjmimrAB 2707,0707,1 −+=
mrAB 72,2≅
Sistemas de forças equivalentes
Exercício 2:
A placa circular é parcialmente suportada pelo cabo AB. Sabe-se
que a força no cabo em A é igual a 500N, expresse essa força como um 
vetor cartesiano.
Vetor força F
rrrr
−+=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
)735,0260,0627,0.(500 kjiNF
rrrr
−+=
uFF
rr
.=
kjiu
rrrr
735,0260,0627,0 −+=
kNjNiNF
rrrr
5,3671305,313 −+=
Equilíbrio de um ponto material no espaço:
Como vimos podemos realizar o somatório dos componentes de
uma força, nas três direções x, y e z.
FORÇAS NO ESPAÇO
∑= xx FR ∑= yy FR ∑= zz FR
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
∑= xx FR ∑= yy FR ∑= zz FR
Equilíbrio de um ponto material no espaço:
Como vimos podemos realizar o somatório dos componentes de
uma força, nas três direções x, y e z.
FORÇAS NO ESPAÇO
∑= xx FR ∑= yy FR ∑= zz FR
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
∑= xx FR ∑= yy FR ∑= zz FR
Logo, para um ponto material estar em equilíbrio todas as forças
resultantes devem ser igual a zero.
Equilíbrio de um ponto material no espaço:
Como vimos podemos realizar o somatório dos componentes de
uma força, nas três direções x, y e z.
FORÇAS NO ESPAÇO
∑= xx FR ∑= yy FR ∑= zz FR
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
∑= xx FR ∑= yy FR ∑= zz FR
Logo, para um ponto material estar em equilíbrio todas as forças
resultantes devem ser igual a zero.
∑ = 0xF 0=∑ yF 0=∑ zF
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
Um cilindro de 200 kg é pendurado por meio de dois cabos AB e AC, amarrados no
topo de dois postes. Uma força H, horizontal e perpendicular ao plano dos postes,
mantém o peso na posição ilustrada. Determinar a intensidade de H e a tração em
cada cabo.
8 m
10 m C
B
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
Um cilindro de 200 kg é pendurado por meio de dois cabos AB e AC, amarrados no
topo de dois postes. Uma força H, horizontal e perpendicular ao plano dos postes,
mantém o peso na posição ilustrada. Determinar a intensidade de H e a tração em
cada cabo.
8 m
10 m C
B
NT 1400≅
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
ANH 235≅
NTAB 1400≅
NTAC 1236≅
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
Peso cilindro = 200kg y
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
Peso cilindro = 200kg y
P = m . g
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
Peso cilindro = 200kg y
P = m . g
P = 200 kg . 9,81 m.s-2
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
Peso cilindro = 200kg y
P = m . g
P = 200 kg . 9,81 m.s-2
P = 200 N
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P = 200 N
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
Peso cilindro = 200kg y
P = m . g
P = 200 kg . 9,81 m.s-2
P = 200 N
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P = 200 N
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
Peso cilindro = 200kg y
P = m . g
P = 200 kg . 9,81 m.s-2
P = 1962 N
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P = 1962 N
P
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
Vamos analisar as forças!
iHH
rr
=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
Vamos analisar as forças!
iHH
rr
=
jNjPP
rrr
1962−=−=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
Vamos analisar as forças!
iHH
rr
=
jNjPP
rrr
1962−=−=
kFjFiFT
rrrr
++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
kFjFiFT ABzAByABxAB ++=
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 mC
B
y
Vamos analisar as forças!
iHH
rr
=
jNjPP
rrr
1962−=−=
kFjFiFT
rrrr
++=
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12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
kFjFiFT ABzAByABxAB ++=
kFjFiFT ACzACyACxAC
rrrr
++=
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
Vamos nos concentrar nos cabos.
?=ABT
r
Não temos as forças mas 
temos os pontos de 
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12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
temos os pontos de 
localização, assim podemos 
determinar o vetor
unitário AB e em seguida 
multiplicar pelo escalar TAB
para obter o vetor TAB
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
Vamos nos concentrar nos cabos.
?=ABT
r
?=ACT
r
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
ABABAB TuT .
rr
=
ACACAC TuT .
rr
=
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
Vamos nos concentrar nos cabos.
ABABAB TuT .
rr
=
ACACAC TuT .
rr
=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
ACACAC
Para encontrar o vetor 
unitário que nos dará a 
localização da força é 
necessário encontrar 
primeiro o vetor localização 
do segmento AB
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
Vamos nos concentrar nos cabos.
olocalizaçãvetorr
unitáriovetoru
AB
AB
→
→
r
r
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
ABAB ru
rr
≠
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
Vamos nos concentrar nos cabos.
?=ABT
r
?=ACT
r
rrrr
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
zempontod
yempontod
xempontod
olocalizaçãvetorr
z
y
x
AB
→
→
→
→
r
kdjdidr zyxAB
rrrr
++=
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
Vamos nos concentrar nos cabos.
?=ABT
r
?=ACT
r
rrrr
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
kdjdidr zyxAB
rrrr
++=
kdjdidr zyxAC
rrrr
++=
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
Vamos determinar os vetores 
localização.
?
?
=
=
AC
AB
r
r
r
r
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
?=ACr
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
?=ABr
r
zempontod
yempontod
xempontod
z
y
x
→
→
→
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
z
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
?=ABr
r
zempontod
yempontod
xempontod
z
y
x
→
→
→
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
z
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
?=ABr
r
zempontod
yempontod
xempontod
z
y
x
→
→
→
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
z
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
?=ABr
r
zempontod
yempontod
md
z
y
x
→
→
−→ 2,1
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
?=ABr
r
zempontod
yempontod
md
z
y
x
→
→
−→ 2,1
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
?=ABr
r
zempontod
yempontod
md
z
y
x
→
→
−→ 2,1
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
zempontod
yempontod
md
z
y
x
→
→
−→ 2,1
?=ABr
r
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
zempontod
md
md
z
y
x
→
→
−→
10
2,1
?=ABr
r
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
zempontod
md
md
z
y
x
→
→
−→
10
2,1
?=ABr
r
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
md
md
md
z
y
x
8
10
2,1
→
→
−→
?=ABr
r
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
z
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
md
md
md
z
y
x
8
10
2,1
→
→
−→
?=ABr
r
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
z
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
md
md
md
z
y
x
8
10
2,1
→
→
−→
?=ABr
r
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
z
kmjmimrAB
rrrr
8102,1 ++−=
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
?=ACr
r
md
md
md
z
y
x
10
10
2,1
−→
→
−→
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
z
kmjmimrAC
rrrr
10102,1 −+−=
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
kmjmimrAC
rrrr
10102,1 −+−=
kmjmimrAB
rrrr
8102,1 ++−=
O que fazer agora?
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
O que fazer agora?
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
kmjmimrAC
rrrr
10102,1 −+−=
kmjmimrAB
rrrr
8102,1 ++−=
O que fazer agora?
Mecânica Aplicada Prof.:Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
O que fazer agora?
Com os vetores localização é 
possível encontrar os vetores 
unitários.
LEMBRAM DESSAS RELAÇÕES?
F
u
r
r
= k
F
j
F
i
FF
u z
yx
rrr
r
r
++==
FORÇAS NO ESPAÇO
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F
u =
Relembrando:
R
Rx
x =θcos
R
Ry
y =θcos R
Rz
z =θcos
k
F
j
F
i
FF
u ++==
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
kmjmimrAB
rrrr
8102,1 ++−=
F
F
u
r
r
= k
F
F
j
F
F
i
F
F
F
F
u z
yx
rrr
r
r
++==
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F
u = k
F
j
F
i
FF
u ++==
A primeira coisa a fazer é encontrar o módulo do
vetor localização vAB
mmmmrAB 86,12)8()10()2,1(
222 =++−=
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
F
F
u
r
r
= k
F
F
j
F
F
i
F
F
F
F
u z
yx
rrr
r
r
++==
kmjmimrAC
rrrr
10102,1 −+−=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
F
u = k
F
j
F
i
FF
u ++==
A primeira coisa a fazer é encontrar o módulo do
vetor localização vAB
mmmmrAC 19,14)10()10()2,1(
222 =−++−=
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
kmjmimrAB
rrrr
8102,1 ++−=
mrAB 86,12=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
kmjmimrAB
rrrr
8102,1 ++−=
mrAB 86,12=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
AB
AB
AB
r
r
u
r
r
=
F
F
u
r
r
=
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
kmjmimrAB
rrrr
8102,1 ++−=
mmmr rrr
r
r 8102,1−
mrAB 86,12=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
k
m
m
j
m
m
i
m
m
r
r
u
AB
AB
AB
rrr
r
r
86,12
8
86,12
10
86,12
2,1
++
−
==
kjiuAB
rrrr
622,0778,00933,0 ++−=
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
mmmr rrr
r
r 10102,1−
mrAC 19,14=
kmjmimrAC
rrrr
10102,1 −+−=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
k
m
m
j
m
m
i
m
m
r
r
u
AC
AC
AC
rrr
r
r
19,14
10
19,14
10
19,14
2,1
−+
−
==
kjiuAC
rrrr
705,0705,00846,0 −+−=
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
8 m
10 m C
B
y
Relembrando:
ABABAB TuT .
rr
=
ACACAC TuT .
rr
=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
12 m
H
2 m
1,2 m
A
z
x
P
ACACAC
Para encontrar o vetor 
unitário que nos dará a 
localização da força é 
necessário encontrar 
primeiro o vetor localização 
do segmento AB
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
ABABAB TuT .
rr
=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
ACACAC TuT .
rr
=
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
ABABAB TuT .
rr
=
kjiuAB
rrrr
622,0778,00933,0 ++−=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
ACACAC TuT .
rr
=
kjiuAC
rrrr
705,0705,00846,0 −+−=
Exercício 3:
FORÇAS NO ESPAÇO
ABABAB TuT .
rr
=
kjiuAB
rrrr
622,0778,00933,0 ++−=
kTjTiTT
rrrr
622,0778,00933,0 ++−=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
ACACAC TuT .
rr
=
kjiuAC
rrrr
705,0705,00846,0 −+−=
kTjTiTT ABABABAB
rr
622,0778,00933,0 ++−=
kTjTiTT ACACACAC
rrrr
705,0705,00846,0 −+−=
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
iHH
rr
=
jNjPP
rrr
1962−=−=
kFjFiFT
rrrr
++=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
kFjFiFT ABzAByABxAB ++=
kFjFiFT ACzACyACxAC
rrrr
++=
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
iHH
rr
=
jNjPP
rrr
1962−=−=
kTjTiTT
rrrr
622,0778,00933,0 ++−=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
kTjTiTT ABABABAB
rrrr
622,0778,00933,0 ++−=
kTjTiTT ACACACAC
rrrr
705,0705,00846,0 −+−=
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
iHH
rr
=
jNjPP
rrr
1962−=−=
kTjTiTT
rrrr
622,0778,00933,0 ++−=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
kTjTiTT ABABABAB
rrrr
622,0778,00933,0 ++−=
kTjTiTT ACACACAC
rrrr
705,0705,00846,0 −+−=
Considerando que o corpo está em equilíbrio, 
podemos efetuar o somatório das forças.
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
;0=∑F
r
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
;0=∑F
r
0=+++ PHTT ACAB
rrrr
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
;0=∑F
r
0=+++ PHTT ACAB
rrrr
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
01962705,0705,00846,0622,0778,00933,0 =−+−+−++− jNiHkTjTiTkTjTiT ACACACABABAB
rrrrrrrr
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
;0=∑F
r
0=+++ PHTT ACAB
rrrr
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
01962705,0705,00846,0622,0778,00933,0 =−+−+−++− jNiHkTjTiTkTjTiT ACACACABABAB
rrrrrrrr
0)705,0622,0()1962705,0778,0()0846,00933,0( =−+−+++−− kTTjNTTiHTT ACABACABACAB
rrr
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
;0=∑F
r
0=+++ PHTT ACAB
rrrr
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
01962705,0705,00846,0622,0778,00933,0 =−+−+−++− jNiHkTjTiTkTjTiT ACACACABABAB
rrrrrrrr
0)705,0622,0()1962705,0778,0()0846,00933,0( =−+−+++−− kTTjNTTiHTT ACABACABACAB
rrr
;0=∑F
r
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
;0=∑F
r
0=+++ PHTT ACAB
rrrr
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
01962705,0705,00846,0622,0778,00933,0 =−+−+−++− jNiHkTjTiTkTjTiT ACACACABABAB
rrrrrrrr
0)705,0622,0()1962705,0778,0()0846,00933,0( =−+−+++−− kTTjNTTiHTT ACABACABACAB
rrr
;0=∑F
r
;0
;0
;0
=
=
=
∑
∑
∑
z
y
x
F
F
F
r
r
r
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
0705,0622,00
01962705,0778,00
00846,00933,00
=−⇒=
=−+⇒=
=+−−⇒=
∑
∑
∑
ACABz
ACABy
ACABx
TTF
NTTF
HTTF
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
0705,0622,00 =−⇒=∑ ACABz TTF
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
0705,0622,00
01962705,0778,00
00846,00933,00
=−⇒=
=−+⇒=
=+−−⇒=
∑
∑
∑
ACABz
ACABy
ACABx
TTF
NTTF
HTTF
Mecânica Aplicada Prof.: MatheusP. Neivock
0705,0622,00 =−⇒=∑ ACABz TTF
E agora?
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
0705,0622,00
01962705,0778,00
00846,00933,00
=−⇒=
=−+⇒=
=+−−⇒=
∑
∑
∑
ACABz
ACABy
ACABx
TTF
NTTF
HTTF
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
0705,0622,00 =−⇒=∑ ACABz TTF
E agora?
Não é possível através de sistemas 
encontrar os valores?
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
0705,0622,00
01962705,0778,00
00846,00933,00
=−⇒=
=−+⇒=
=+−−⇒=
∑
∑
∑
ACABz
ACABy
ACABx
TTF
NTTF
HTTF
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
0705,0622,00 =−⇒=∑ ACABz TTF
E agora?
Não é possível através de sistemas 
encontrar os valores?
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
0705,0622,00 =−⇒=∑ ACABz TTF
0705,0622,0 =− ACAB TT
TT 705,0622,0 =
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
ACAB TT 705,0622,0 =
ACAB TT
622,0
705,0
=
ACAB TT 133,1=
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
0705,0622,00
01962705,0778,00
00846,00933,00
=−⇒=
=−+⇒=
=+−−⇒=
∑
∑
∑
ACABz
ACABy
ACABx
TTF
NTTF
HTTF
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
0705,0622,00 =−⇒=∑ ACABz TTF
E agora?
Não é possível através de sistemas 
encontrar os valores?
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
01962705,0778,00 =−+⇒=∑ NTTF ACABy
01962705,0778,0 =−+ NTT ACAB
NTT 1962705,0778,0 =+
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NTT ACAB 1962705,0778,0 =+
ACAB TT 133,1=
NTT ACAC 1962705,08814,0 =+
NTAC 19625864,1 =
NTAC 1236≅
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
01962705,0778,00 =−+⇒=∑ NTTF ACABy
01962705,0778,0 =−+ NTT ACAB
NTT 1962705,0778,0 =+
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NTT ACAB 1962705,0778,0 =+
ACAB TT 133,1=
NTT ACAC 1962705,08814,0 =+
NTAC 19625864,1 =
NTAC 1236≅
NTAB 1400≅
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
00846,00933,00 =+−−⇒=∑ HTTF ACABx
00846,00933,0 =+−− HTT ACAB
NTAC 1236≅NTAB 1400≅
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NTAC 1236≅NTAB 1400≅
01236.0846,01400.0933,0 =+−− HNN
05656,10462,130 =+−− HNN
NH 235≅
Exercício 3: RESUMINDO
FORÇAS NO ESPAÇO
NTAB 1400≅
NT 1236≅
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NH 235≅
NTAC 1236≅
Exercício 4:
FORÇAS NO ESPAÇO
Considere que o cabo AB esteja submetido a uma força de 700N. Determine as forças 
de tração nos cabos AC e AD e a intensidade da força vertical F.
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
Exercício 4:
FORÇAS NO ESPAÇO
Considere que o cabo AB esteja submetido a uma força de 700N. Determine as forças 
de tração nos cabos AC e AD e a intensidade da força vertical F.
NTAC 27,129=
Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock
NF
NT
NT
AD
AC
75,1058
81,509
27,129
=
=
=