ControleII

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Universidade Presbiteriana Mackenzie
Curso de Engenharia Ele´trica
Controle II
Notas de Aula
Prof. Marcio Eisencraft
Segundo semestre de 2004
Universidade Presbiteriana Mackenzie
Curso de Engenharia Ele´trica
Controle II
TEORIA
Prof. Marcio Eisencraft
Segundo semestre de 2004
Controle 2 – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
1 
Universidade Presbiteriana Mackenzie 
Controle 2 
 
Professor Marcio Eisencraft (marcioft@mackenzie.com.br) 
2º. Semestre 2004 
 
1. Objetivos 
 
 O objetivo da disciplina é ampliar o conhecimento na área de controle 
de sistemas lineares, com estudo de aplicações voltadas principalmente para 
sistemas elétricos e mecânicos. Será usada intensamente a linguagem Matlab 
para simulação de sistemas. 
 O conteúdo envolve estudo de técnicas de projeto de sistemas de contro-
le como o Lugar Geométrico das Raízes, resposta em freqüência além de uma 
introdução às técnicas de controle digital. 
 
 
2. Aulas de Teoria e Prática 
ƒ Nas aulas de prática serão vistas aplicações dos assuntos abordados nas 
aulas de teoria. Em todas as aulas de práticas será utilizada a ferramenta 
computacional Matlab, principalmente seu ferramental (toolbox) para a á-
rea de controle. Será utilizado também o kit didático de levitação ECP. 
 
3. Avaliação 
ƒ Serão realizadas três avaliações versando sobre o conteúdo visto nas aulas 
de teoria e de prática. 
Controle 2 – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
2 
ƒ O aluno estará aprovado caso consiga média maior ou igual a 7,0 e estará 
reprovado caso consiga média inferior a 5,5. Se a média ficar entre 5,5 e 
6,9 o aluno será aprovado caso possua mais de 80% de presença em aula, 
caso contrário estará reprovado. 
 
ƒ Cada avaliação será constituída de duas notas: 
o Nota da Prova – 0,0 a 9,0 
o Nota de Relatórios da Aula Prática – 0,0 a 2,0 
 
ƒ Nas aulas de prática os alunos formarão grupos de um ou dois alunos. Ao 
final de todas as aulas será passada uma atividade a ser entregue pelo grupo 
no início da aula prática seguinte. A tolerância para entrega desta atividade 
é de 10 minutos. 
 
ƒ Importante: O relatório deve ser entregue em folha de papel A4 cons-
tando dos nomes, números de matrículas e número da aula à qual a a-
tividade se refere. FORA DESSAS CONDIÇÕES, O RELATÓRIO 
NÃO SERÁ ACEITO. 
 
ƒ Eventualmente, o professor poderá exigir a entrega de uma atividade du-
rante a aula. 
 
ƒ Para que o grupo tenha presença nas aulas de prática é indispensável que 
pelo menos um dos componentes tenha a apostila da aula. Será considerado 
presente o aluno que estiver em sala no momento em que é realizada a 
chamada. Não serão abonadas faltas (exceto os casos previstos em lei). A 
tolerância para entrada em sala é de 30 minutos. 
Controle 2 – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
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ƒ As provas serão realizadas no horário das aulas de teoria nos seguintes di-
as: 
PROVA Turma F (6ª feira) Peso 
P1 10/09 Peso 1 
P2 15/10 Peso 1 
P3 A ser definida Peso 2 
 
4. Conteúdo Programático 
O curso é formado por três tópicos principais muito importantes no projeto e 
análise de sistemas de controle moderno: 
 
1. Técnicas do Lugar das Raízes [NISE, pp. 305-323]. 
 
2. Técnicas de Resposta em Freqüência [NISE, pp. 417-458]. 
 
3. Sistemas de Controle Digital [NISE, p.558-579]. 
 
5. Bibliografia 
ƒ A cada aula (de teoria e de prática) serão disponibilizadas na Internet no 
site http://meusite.mackenzie.com.br/marcioft/ notas de aula. Além disso, 
serão fornecidas listas de exercícios. 
ƒ A principal referência que será utilizada durante todo o curso é: 
 
¾ [NISE] NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª edição, LTC, 
2002. 
 
 
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4 
Outras referências disponíveis em vários exemplares na biblioteca: 
 
Ö [OGATA] OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, 
Prentice-Hall do Brasil, 2003. 
 
Ö [DORF] DORF, R.C. Sistemas de controle modernos. 8ª edição, LTC, 
2001. 
 
Ö [HAYKIN] HAYKIN, S. S. Sinais e sistemas. 1ª edição, Bookman, 2000. 
 
Ö [PHILLIPS] PHILLIPS, C. L.; HARBOR, R. D. Sistemas de Controle e 
Realimentação, 1ª edição, Makron Books, 1997. 
 
Ö [OPPENHEIM] OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S. Signals & Sys-
tems. 2ª edição, Prentice-Hall, 1997. 
 
Ö [LATHI] LATHI, B. P. Signal Processing & Linear Systems. Berkeley-
Cambridge, 1998. 
 
Ö [CHAPMAN] CHAPMAN, S. J. Programação em Matlab para Engenhei-
ros, 2ª edição, Thompson, 2003. 
 
6. Horários preferenciais para atendimento 
5ª feira – 20h – 21h25min 
 
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Aula 1T - Técnicas do Lugar das Raízes 
 Introdução 
Bibliografia 
ƒ NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 2002. Páginas 301-305. 
ƒ OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 2003. Páginas 276-
277. 
 
1. Técnicas do Lugar das Raízes 
1.1. Introdução 
ƒ Como foi visto em Controle 1, os pólos de uma função de transferência de-
terminam várias características qualitativas da resposta de um sistema de 
controle. Por exemplo, para um sistema de 2ª ordem temos: 
o Estabilidade: o sistema é estável se todos os pólos têm parte real 
negativa. 
o Resposta transitória: subamortecida se os pólos são complexos 
conjugados, superamortecida se os pólos são reais e diferentes e 
com amortecimento crítico de os pólos são reais e iguais. 
 
Lugar das raízes: representação gráfica dos pólos a malha fechada em função 
da variação de um parâmetro do sistema. 
 
ƒ Assim, o lugar das raízes, tratado neste capítulo, fornece a descrição 
qualitativa do desempenho de um sistema de controle em função da variação 
de um parâmetro e também serve como uma poderosa ferramenta quantitativa 
fornecedora de mais informações do que os métodos já estudados. 
ƒ Antes de estudá-lo vamos revisar dois conceitos fundamentais: 
o O problema do sistema de controle e 
Controle 2 – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
2 
o Números complexos e suas representações como vetores. 
 
1.1.1. O problema dos sistemas de controle 
Problema sério dos sistemas de controle: enquanto os pólos da função de 
transferência em malha aberta são facilmente determinados (comumente são 
conhecidos por inspeção e não se alteram com mudanças no ganho do siste-
ma), os pólos da função de transferência a malha fechada são mais difíceis de 
determinar (normalmente não podem ser encontrados sem fatorar o polinômio 
característico do sistema, o denominador da função de transferência). Além 
disso, os pólos a malha fechada se alteram quando se muda o ganho. 
 
ƒ Lembrando: 
 
Figura 1 – Sistema de controle com realimentação [NISE] 
Função de transferência em malha aberta: ( ) ( )sHsKG 
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Função de transferência em malha fechada: ( ) ( )( )
( )
( ) ( )sHsKG
sKG
sR
sCsT +== 1 
 
Exercício: 
1. Seja ( ) ( )2
1
+
+=
ss
ssG e ( )
4
3
+
+=
s
ssH . 
(a) Calcule os pólos e zeros do sistema em malha aberta. 
(b) Determine a função de transferência em malha fechada. Determine seus 
zeros. 
(c) Verifique que os pólos do sistema em malha fechada são mais difíceis de 
calcular e dependem do ganho K . 
 
1.1.2. Representação vetorial de números complexos 
ƒ Número complexo, θωσ ∠=+= Mjs pode ser sempre descrito como um 
vetor. 
 
Figura 2 – Plano complexo [NISE] 
 
ƒ Quando o número complexo é substituído em uma função complexa 
( )sF , resultaoutro número complexo. Por exemplo, se ( ) ( )assF += , substitu-
Controle 2 – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
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indo então o número complexo ωσ js += resulta ( ) ( ) ωσ jasF ++= , outro nú-
mero complexo. Este número é mostrado a seguir. 
 
Figura 3 - ( ) ( ) ωσ jasF ++= [NISE] 
 
ƒ Observe que ( )sF apresenta um zero em a− . Se deslocarmos o vetor de 
a unidades para a esquerda, como a seguir, teremos uma representação alter-
nativa do número complexo que se origina no zero de ( )sF e termina no ponto 
ωσ js += . 
 
Figura 4 – Representação alternativa para ( ) ( ) ωσ jasF ++= [NISE] 
 
 
Controle 2 – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
5 
Concluímos que ( )as + é um número complexo e pode ser representado por 
um vetor traçado a partir do zero da função ao ponto s . 
 
ƒ Por exemplo, ( ) ( )7+= ssF calculada no ponto 25 js += vale 
( ) 21225 jjF +=+ e pode ser obtido traçando a partir do zero da função, -7, um 
vetor até 25 js += como mostrado a seguir. 
 
Figura 5 – ( ) ( )7+= ssF calculada em 25 js += [NISE] 
 
ƒ Seja então 
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )n
m
n
j
j
m
i
i
pspsps
zszszs
ps
zs
sF +++
+++=
+
+
=
∏
∏
=
=
…
…
21
21
1
1
. 
Uma vez que cada fator complexo pode ser visto como um vetor, a magnitude 
M de ( )sF em cada ponto s é: 
 
( )
( )∏
∏
=
=
+
+
= n
j
j
m
i
i
ps
zs
M
1
1
 
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em que izs + é a magnitude do vetor traçado a partir do zero de ( )sF em iz− 
ao ponto s e jps + é a magnitude do vetor traçado a partir do pólo de ( )sF 
em jp− ao ponto s . 
ƒ O argumento, θ , de ( )sF em qualquer ponto s é: 
( ) ( )∑∑∑∑
==
+∠−+∠=−=
n
j
j
m
i
i pszs
11
pólos dos ânguloszeros dos ângulosθ 
em que o argumento do zero é o ângulo, medido no sentido trigonométrico, a 
partir do eixo real, de um vetor traçado do zero de ( )sF em iz− ao ponto s e o 
argumento do pólo é o ângulo, medido no sentido trigonométrico a partir do 
eixo real, de um vetor traçado do pólo de ( )sF em jp− ao ponto s . 
 
Exercícios: 
2. Dado ( ) ( )( )2
1
+
+=
ss
ssF , obter ( )sF no ponto 43 js +−= usando a abordagem ge-
ométrica vista acima. 
 
3. Dado ( ) ( )( )( )( )63
42
++
++=
sss
sssF obter ( )sF no ponto 97 js +−= nas seguintes for-
mas: 
(a) substituindo diretamente o ponto em ( )sF ; 
(b) Calculando o resultado usando vetores. 
Resp: 
oj 7,110096,00899,00339,0 −∠=−− 
 
Controle 2 – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
1 
Aula 2T - Definindo o Lugar das Raízes 
 Propriedades do Lugar das Raízes 
Bibliografia 
ƒ NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 2002. Páginas 305-310. 
ƒ OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 2003. Páginas 277-
279. 
 
1.2. Definindo o Lugar das Raízes 
ƒ Vamos definir o que é o lugar das raízes a partir do seguinte exercício. 
 
Exercício 
1. Um sistema de câmara de vídeo, semelhante ao mostrado na figura a se-
guir, pode acompanhar automaticamente um objeto. O sistema de rastrea-
mento consiste em um sensor duplo e um transmissor, em que um compo-
nente é montado sobre a câmara e o outro usado pelo objeto. Uma diferen-
ça entre as saídas dos dois sensores que recebe energia do transmissor faz 
com que o sistema gire a câmara para eliminar a diferença e seguir a fonte 
de energia. 
 
Figura 1 – Câmara de vídeo do Exercício Um [NISE] 
Controle 2 – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
2 
Admita a representação em diagrama de blocos deste sistema apresentada a 
seguir. 
 
Figura 2 – Diagrama de blocos do sistema do Exercício Um [NISE]. 
 
Pede-se: 
(a) Encontre a função de transferência em malha fechada ( ) ( )( )sR
sCsT = em fun-
ção de 21KKK = . 
(b) Os pólos da função de transferência encontrada em (a) variam com K . 
Preencha a tabela a seguir com o valor destes pólos. 
K Pólo 1 Pólo 2 
0 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
40 
45 
50 
Controle 2 – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
3 
(c) Localize estes pólos no plano complexo para cada valor de K . 
(d) Com relação ao item (c), retire a localização dos pólos individuais e repre-
sente seu percurso por linhas cheias. 
 
Esta é a representação do percurso dos pólos a malha fechada à medida que o 
ganho é modificado que chamamos de lugar das raízes. 
 
O lugar das raízes mostra a mudança na resposta transitória resultante da vari-
ação do ganho K . 
(e) Baseado no lugar das raízes obtido no item (d), determine o intervalo de 
valores de K para o qual o sistema é: 
i) superamortecido. 
ii) criticamente amortecido 
iii) subamortecido 
iv) estável 
 
1.3. Propriedades do Lugar das Raízes 
ƒ No Exercício Um, chegamos ao lugar das raízes encontrando as raízes do 
polinômio de segunda ordem no denominador da função de transferência. 
Considere o que aconteceria se aquele polinômio fosse de quinta ou décima 
ordem. Encontrar as raízes do polinômio para um número elevado de valo-
res de ganho, sem o uso de um computador seria um grande problema. 
ƒ Vamos analisar as propriedades do lugar das raízes. A partir dessas propri-
edades, seremos capazes de fazer um esboço rápido do lugar das raízes pa-
ra sistemas de ordem superior sem ter que encontrar as raízes do denomi-
nador da função de transferência a malha fechada. 
ƒ Seja o sistema de controle geral a seguir: 
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4 
 
Figura 3 – Sistema de controle a malha fechada [NISE] 
 
ƒ Já sabemos que 
( ) ( )( )
( )
( ) ( )sHsKG
sKG
sR
sCsT +== 1 . 
ƒ Com base nesta equação, vemos que existe um pólo, s , quando o polinô-
mio característico no denominador se anula, ou seja, 
( ) ( ) ( ) omsHsKG 1801211 ⋅+∠=−= , …,2,1,0 ±±=m 
ou, 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) omsHsKG
sHsKG
18012
1
⋅+=∠
=
 
 
ƒ Desta forma, se quisermos saber se um ponto s está no lugar das raízes de 
um dado sistema, substituímos s em ( ) ( )sHsKG o que resulta num número 
complexo. 
Controle 2 – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
5 
ƒ Se o ângulo do número complexo for um múltiplo ímpar de 180°, este va-
lor de s é um pólo do sistema para um valor particular de K . 
ƒ Qual valor de K ? Uma vez que o critério do ângulo seja atendido, tudo o 
que resta a satisfazer é o critério da magnitude. Por conseguinte, 
( ) ( )sHsGK
1= 
ƒ Vamos fazer alguns exercícios. 
 
Exercícios 
2. Considere o sistema a seguir: 
 
Figura 4 - Sistema de controle do Exercício Dois [NISE] 
Controle 2 – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
6 
Seja o ponto 32 j+− . Verifique se ele pertence ao lugar das raízes para algum 
valor de K . 
Resposta: Se este ponto for um pólo em malha fechada, então devemos ter 
( ) ( ) ( ) omsHsKG 18012 ⋅+=∠ ou ( ) ( ) ( ) omsHsG 18012 ⋅+=∠ já que K é real. 
Vimos na aula passada que ( ) ( )sHsG∠ pode ser calculado como a diferença 
entre os ângulos dos zeros e os ângulos dos pólos. Da figura seguinte, 
 
Figura 5 - Contribuição dos pólos e zeros no ponto 32 j+− [NISE] 
 
ooooo 55,7043,1089057,7131,564321 −=−−+=−−+ θθθθ 
Por conseguinte, 32 j+− não é um ponto sobre o lugar das raízes ou, alternati-
vamente, 32 j+− não é um pólo em malha fechada para nenhum valor do ga-
nho. 
Controle 2 – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
7 
3. Repita o Exercício 2 para 
2
22 js +−= . Caso ele seja um ponto do lugardas raízes, determine para qual valor de K . 
4. Para um sistema com retroação unitária com função de transferência no 
canal direto 
( ) ( )( )134 22 ++ += ss sKsG , 
faça o seguinte: 
(a) Calcule o ângulo de ( )sG no ponto ( )03 j+− encontrando a soma algébrica 
dos ângulos dos vetores desenhados a partir dos zeros e pólos de ( )sG para o 
ponto dado. 
(b) Determine se o ponto especificado em (a) está sobre o lugar das raízes. 
(c) Se o ponto especificado em (a) estiver sobre o lugar das raízes, encontre o 
ganho K , usando os comprimentos dos vetores. 
Resp: (a) Soma dos ângulos = 180° 
 (b) O ponto está sobre o lugar das raízes 
 (c) 10=K . 
 
Controle 2 – Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
1 
Aula 3T - Esboçando o Lugar das Raízes 
Bibliografia 
ƒ NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 2002. Páginas 310-313. 
ƒ OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 2003. Páginas 279-
294. 
 
1.4. Esboçando o Lugar das Raízes 
ƒ Como vimos na aula passada, podemos obter o lugar das raízes de um sis-
tema buscando no plano complexo pontos s que satisfaçam: 
( ) ( ) ( ) omsHsG 18012 ⋅+=∠ 
ƒ Este procedimento pode ser bastante trabalhoso. Veremos nesta aula, como 
montar um esboço rápido do lugar das raízes praticamente sem fazer contas. 
ƒ Nas próximas aulas, aprenderemos a refinar este esboço e a usar uma fer-
ramenta computacional (Matlab) para obter um gráfico preciso. 
 
A. Número de ramos. 
ƒ Ramo é o caminho que o pólo percorre. Existe um ramo para cada pólo a 
malha fechada. 
O número de ramos do lugar das raízes iguala o número de pólos a malha 
fechada. 
ƒ O lugar das raízes do sistema discutido na aula passada (reproduzido a se-
guir) apresenta dois ramos, um começando em 0 e o outro em -10. 
 
Figura 1 – Diagrama de blocos de um sistema com realimentação [NISE]. 
Controle 2 – Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
2 
 
Figura 2 - Lugar das Raízes do sistema da Figura 1 [NISE]. 
 
B. Simetria 
ƒ Cada ponto do lugar das raízes representa um pólo, ou seja, uma raiz do 
polinômio característico do sistema de controle a malha fechada. 
ƒ Ora, sabemos que um polinômio com coeficientes reais ou tem raízes reais 
ou complexo conjugadas. 
ƒ Assim, concluímos que: 
O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real. 
Novamente, o sistema analisado na aula passada ilustra esta simetria. 
 
Figura 3 - Simetria no Lugar das Raízes do sistema da Figura 1 [NISE]. 
Controle 2 – Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
3 
 
C. Segmentos sobre o eixo real. 
ƒ Façamos uso da propriedade do ângulo para determinar onde existem seg-
mentos do eixo real que fazem parte do lugar das raízes. 
ƒ A figura a seguir mostra pólos e zeros de um sistema a malha aberta gené-
rico 
 
Figura 4 – Determinação dos segmentos sobre o eixo real [NISE] 
 
ƒ Se tentarmos calcular a contribuição angular dos pólos e zeros em cada 
ponto 321 ,, PPP e 4P sobre o eixo real, observaremos o seguinte: (1) em 
cada ponto, a contribuição de um par de pólos e zeros complexos a malha 
aberta é zero; (2) a contribuição dos pólos e zeros a malha aberta à esquer-
da do ponto respectivo é zero. 
ƒ A conclusão é que a única contribuição de ângulo em qualquer dos pontos 
sobre o eixo real vem dos pólos e zeros em malha aberta que existem à di-
reita do respectivo ponto. 
ƒ Se calcularmos o ângulo em cada ponto usando apenas os pólos e zeros a 
malha aberta sobre o eixo real, à direita de cada ponto, notamos o seguinte: 
(1) os ângulos do eixo real alternam entre 0° e 180° e (2) o ângulo é 180° 
para regiões do eixo real em que existem à esquerda de um número ímpar 
de pólos e/ou zeros. 
ƒ A regra seguinte resume o que foi descoberto: 
Controle 2 – Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
4 
No eixo real, para 0>K , o lugar das raízes existe à esquerda de um número 
ímpar de pólos e/ou zeros finitos a malha aberta sobre o eixo real. 
 
Exercício 
1. Encontre o LGR sobre o eixo real do sistema de controle mostrado a se-
guir (já discutido, em parte, na aula passada). 
 
Figura 5 – Sistema com realimentação do Exercício Um [NISE] 
 
D. Pontos de início e término 
ƒ Onde se inicia (ganho zero) e onde termina (ganho infinito) os ramos do 
lugar das raízes? 
ƒ Para o sistema padrão, 
 
Figura 6 – Sistema com realimentação negativa padrão 
Controle 2 – Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
5 
fazendo ( ) ( )( )sD
sNsG
G
G= , ( ) ( )( )sD
sNsH
H
H= e ( ) ( )( ) ( )sHsKG
sKGsT += 1 , temos: 
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )sNsKNsDsD
sDsD
sD
sN
K
sT
sDsD
sNsKN
sD
sN
K
sT
HGHG
HG
G
G
HG
HG
G
G
+=⇒+
=
1
 e 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )sNsKNsDsD
sDsKNsT
HGHG
HG
+= . 
ƒ O lugar das raízes é então definido pelas raízes da equação 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 0=+ sNsKNsDsD HGHG (I) 
 
ƒ Fazendo 0→K , a equação (I) torna-se: 
( ) ( ) 0=sDsD HG 
e vemos que os pólos do sistema a malha fechada nos ganhos pequenos ten-
dem aos pólos combinados de ( )sG e ( )sH . Concluímos que o lugar das raízes 
se inicia nos pólos de ( ) ( )sHsG , a função de transferência a malha aberta. 
ƒ Para ganhos altos, em que K está tendendo a infinito, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sNsKNsNsKNsDsD HGHGHG ≈+ . 
Assim, percebemos que os pólos do sistema a malha fechada para ganhos ele-
vados tendem aos zeros combinados de ( )sG e ( )sH . Concluímos assim que o 
lugar das raízes termina nos zeros de ( ) ( )sHsG , a função de transferência em 
malha aberta. 
ƒ Resumindo: 
Controle 2 – Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
6 
O LGR se inicia nos pólos finitos e infinitos de ( ) ( )sHsG e termina nos zeros 
finitos e infinitos de ( ) ( )sHsG . 
 
Exercício 
2. Baseado na regra acima, tente esboçar o LGR do sistema do Exercício 
1. 
 
E. Comportamento no infinito: Assíntotas. 
ƒ A regra D diz que os ramos do LGR começam nos pólos e terminam nos 
zeros da função de transferência a malha aberta. 
ƒ Mas o que acontece quando esta função de transferência tem um número 
diferente de pólos e zeros finitos? Por exemplo, a função 
( ) ( )( )21 ++= sss
KsG tem três pólos (-2, -1 e 0) e nenhum zero finito. E aí? 
ƒ Na verdade, o problema é que não estamos levando em conta os pólos e 
zeros infinitos. Toda função de s tem um número igual de pólos e zeros se 
incluirmos os pólos e zeros infinitos bem como os pólos e zeros finitos. 
Assim, a função ( )sG acima tem três zeros infinitos. 
ƒ Estes zeros no infinito aparecem no lugar das raízes como assíntotas, que 
são retas para as quais os ramos tendem quando ∞→K . Assim, 
 
O número de assíntotas num LGR é sempre a diferença entre o número de pó-
los finitos e o número de zeros finitos. 
 
ƒ A seguinte regra, cuja demonstração pode ser encontrada, por exemplo, na 
página 284 do [OGATA] resume como encontrar as assíntotas num LGR. 
Controle 2 – Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
7 
O lugar das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar tende ao infinito. 
Além disso, a equação das assíntotas é dada pelo ponto de intersecção sobre 
o eixo real, aσ , e o ângulo aθ da seguinte forma: 
( )
finitos zeros num.finitos pólos num.
18012
finitos zeros num.finitos pólos num.
finitos zerosfinitos pólos
−
⋅+=
−
−= ∑∑
o
a
a
kθ
σ
 
em que …,3,2,1,0 ±±±=k e o ângulo é dado em graus no sentido anti-
horário a partir do eixo real positivo. 
 
ƒ Vejamos os exercícios a seguir. 
 
Exercícios 
3. Esboce o lugar das raízes para o sistema mostrado a seguir.Figura 7 – Sistema do Exercício Três [NISE] 
 
4. Esboce o lugar das raízes e suas assíntotas para um sistema com retroa-
ção unitária que tenha a função de transferência direta dada a seguir: 
( ) ( )( )( )642 +++= sss
KsG . 
Controle 2 – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
1 
Aula 4T - Refinando o esboço do Lugar das Raízes 
Bibliografia 
ƒ NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 2002. Páginas 313-321. 
ƒ OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 2003. Páginas 
279-294. 
1.5. Refinando o esboço 
ƒ Revisão: um ponto s do plano complexo está no LGR se 
( ) ( ) 1−=sHsKG , (1) 
o que significa que 
( ) ( ) ( ) omsHsG 18012 ⋅+=∠ 
e seu ganho associado é 
( ) ( )sHsGK
1= 
ƒ Na aula passada, aprendemos a esboçar rapidamente o LGR determinan-
do: 
o Número de ramos 
o Simetria 
o Segmentos sobre o eixo real 
o Pontos de início e término 
o Assíntotas 
ƒ Na aula de hoje, aprenderemos a refinar este esboço calculando: 
o Pontos de saída e de chegada sobre o eixo real 
o Pontos de interseção do eixo ωj e 
o Ângulos de partida e de chegada 
 
1.5.1. Pontos de saída e de chegada sobre o eixo real 
ƒ Veja a figura a seguir em que foi esboçado um LGR a partir das regras 
vistas na aula passada. 
Controle 2 – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
2 
 
 
Figura 1 – Exemplo de traçado de LGR [NISE] 
 
 
ƒ Este LGR sai do eixo real entre -1 e -2 e retorna a ele entre +3 e +5. O 
ponto onde o lugar deixa o eixo real, 1σ− é chamado de ponto de saída 
e o ponto onde o lugar retorna ao eixo real, 2σ , é chamado de ponto de 
entrada. 
ƒ Como os dois pólos a malha fechada, os quais estão em -1 e -2 quando 
0=K , movem-se de um deles em direção ao outro, o ganho aumenta a 
partir do valor zero. Concluímos que o ganho deve ser máximo no eixo 
real no ponto onde ocorre a saída, em algum lugar entre -1 e -2. Natu-
ralmente, o ganho aumenta além deste valor quando os pólos se deslo-
cam para o plano complexo. Concluímos que o ponto de partida ocorre 
no ponto de ganho máximo sobre o eixo real entre os pólos de malha 
aberta. 
ƒ Usando um raciocínio análogo, podemos concluir que o ganho no ponto 
de entrada é o mínimo encontrado no eixo real entre os dois zeros. 
ƒ Sendo assim, lembrando que da equação (1), 
Controle 2 – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
3 
( ) ( )sHsGK
1−= 
e que nos pontos de chegada e saída σ=s (real) basta derivarmos a equa-
ção 
( ) ( )σσ HGK
1−= 
com relação a σ e fazermos a derivada igual a zero para encontrar os pon-
tos de ganhos máximos e mínimos e, portanto os pontos de saída e de che-
gada. 
 
Exercício 
1. Obter os pontos de saída e chegada para o lugar das raízes da figura 
anterior usando o cálculo diferencial. 
 
ƒ Uma outra forma de obter os pontos de saída e de chegada sem precisar 
de derivadas é o chamado método de transição que não será deduzido 
aqui (ver [NISE]). Seu enunciado é: 
Os pontos de saída e de entrada satisfazem a relação 
∑∑
== +=+
n
i i
m
i i pz 11
11
σσ 
em que iz e ip são, respectivamente, os negativos dos zeros e dos pólos de 
( ) ( )sHssG . 
 
Exercício 
2. Repita o Exercício 1 sem uso de derivação. 
 
1.5.2. Pontos de interseção com o eixo ωj 
ƒ Os pontos de interseção do eixo ωj é um ponto no lugar das raízes que 
separa a operação estável do sistema da operação instável. 
Controle 2 – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
4 
ƒ Para encontrar o ponto de interseção no eixo ωj , podemos usar o crité-
rio de Routh-Hurwitz, já estudado em Controle I, como se segue: for-
çando uma linha de zeros na tabela de Routh se obterá o ganho; retor-
nando à linha para a equação de polinômio par e determinando as raízes 
resulta a freqüência do ponto de interseção com o eixo imaginário. 
 
Exercício 
3. Para o sistema da figura a seguir, cujo esboço do LGR foi obtido na 
aula passada, obter a freqüência e o ganho, K , para o qual o lugar das 
raízes cruza o eixo imaginário. Para que faixa de valores de K o sistema 
é estável? 
 
 
Figura 2 – Sistema do Exercício três [NISE] 
 
Controle 2 – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
5 
1.5.3. Ângulos de partida e chegada 
ƒ Considere a figura a seguir que mostra os pólos e zeros de um sistema 
em malha aberta, alguns dos quais são complexos. 
 
Figura 3 – LGR com zeros e pólos complexos [NISE] 
 
ƒ O lugar das raízes se inicia nos pólos a malha aberta e finaliza nos zeros 
a malha aberta. Para esboçar o lugar das raízes corretamente, precisa-
mos calcular o ângulo de partida do lugar das raízes a partir dos pólos 
complexos e o ângulo de chegada aos zeros complexos. 
ƒ Se admitirmos um ponto ε no lugar das raízes próximo ao pólo com-
plexo, a soma dos ângulos traçados a partir de todos os pólos e zeros fi-
nitos é um múltiplo ímpar de 180°. Exceto para o pólo próximo ao pon-
to ε , admitimos que todos os ângulos traçados a partir de todos os ou-
tros pólos e zeros são desenhados diretamente ao pólo que está próximo 
do ponto ε . 
ƒ Desta forma, o único ângulo desconhecido na soma é o ângulo desenha-
do a partir do pólo que está próximo a ε . Podemos buscar a solução pa-
ra este ângulo desconhecido, o qual também é o ângulo de partida deste 
pólo complexo. Portanto, a partir da figura anterior, 
( ) ok 18012654321 ⋅+=+−−++− θθθθθθ 
Controle 2 – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
6 
ou ( ) ok 18012654321 ⋅+−+−−+= θθθθθθ . 
ƒ De forma totalmente análoga podemos determinar ângulos de chegada a 
zeros complexos. 
 
Exercícios 
4. Dado o sistema com retroação unitária da figura seguinte, encontre o 
ângulo de partida dos pólos e esboce o lugar das raízes. 
 
Figura 4 – Sistema do Exercício quatro [NISE]. 
 
 
5. [NISE, p.320] Dado um sistema com retroação unitária com função 
de transferência do canal direto: 
( ) ( )( )134 22 +− += ss sKsG 
faça o seguinte: 
(a) Esboce o lugar das raízes 
(b) Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário 
(c) Determine o ganho, K , no ponto de interseção do eixo ωj . 
(d) Determine o ponto de entrada. 
(e) Determine o ângulo de partida dos pólos complexos. 
RESPOSTAS: 
(b) 21js ±= 
(c) 4=K 
(d) Ponto de entrada = -7 
(e) Ângulo de partida = -233,1° 
Controle 2 – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
1 
Aula 5T - Um Exemplo de LGR 
Bibliografia 
ƒ NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 2002. Páginas 321-323. 
ƒ OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 2003. Páginas 279-
294. 
 
1.6. Um Exemplo de LGR 
ƒ Revisando: lugar das raízes é o caminho percorrido pelos pólos a malha fe-
chada de um sistema à medida que se varia um parâmetro do sistema. 
ƒ Cada ponto s do LGR satisfaz 
( ) ( ) ( ) omsHsG 18012 ⋅+=∠ 
 
1.6.1. Regras básicas para esboçar o lugar das raízes 
Número de ramos 
ƒ O número de ramos do LGR é igual ao número de pólos a malha fechada. 
 
Segmentos do eixo real 
ƒ Sobre o eixo real, o lugar das raízes existe à esquerda de um número ímpar 
de pólos e/ou zeros a malha aberta finitos sobre o eixo real. 
 
Pontos de início e de término 
ƒ O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos e infinitos de ( ) ( )sHsG e termi-
na nos zeros finitos e infinitos de ( ) ( )sHsG . 
 
Comportamento no infinito (assíntotas) 
ƒ Sejam 
n = número de pólos em malha aberta 
Controle 2 – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
2 
m = número de zeros em malha aberta 
então valem 
• Número de assíntotas = mn − 
• Ponto de encontro das assíntotas como eixo real: 
mn
zerospólos
A −
−= ∑∑σ 
• Ângulos das assíntotas: ( )
mn
k o
A −
⋅+= 18012θ com 1,,1,0 −−= mnk … . 
 
1.6.2. Regras adicionais para refinar o esboço 
Pontos de entrada e de saída do eixo real 
ƒ O LGR sai do eixo real no ponto onde o ganho é máximo e entra no eixo 
real no ponto onde o ganho é mínimo. 
 
Cálculo dos pontos de interseção com o eixo ωj 
ƒ Pode-se usar Routh-Hurwitz para determinar o ponto de interseção com o 
eixo ωj . 
 
Ângulos de partida e de chegada 
ƒ O lugar das raízes sai dos pólos complexos (entra nos zeros complexos) a 
malha aberta segundo ângulos que podem ser calculados da seguinte for-
ma: admita um ponto ε próximo ao pólo (zero) complexo. Adicione a este 
ponto todos os ângulos desenhados a partir dos pólos e zeros a malha aber-
ta. A soma é igual a ( ) ok 18012 ⋅+ . O único ângulo desconhecido é o do vetor 
traçado a partir de ε próximo ao pólo (zero), visto que todos os outros pó-
los e zeros podem ser considerados ligados ao pólo (zero) complexo pró-
ximo ao ponto ε . Calculando o ângulo desconhecido obtém-se o ângulo de 
partida (ângulo de chegada). 
Controle 2 – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
3 
Pontos específicos do LGR 
ƒ Todos os pontos do LGR satisfazem a relação ( ) ( ) ( ) oksHsG 18012 ⋅+=∠ . O 
ganho, K , em qualquer ponto sobre o lugar das raízes é dado por: 
( ) ( )sHsGK
1= 
 
Exercícios 
1. Esboce o lugar das raízes para o sistema mostrado a seguir e determine 
o seguinte: 
 
Figura 1 – Sistema de controle do Exercício Um [NISE] 
 
(a) O ponto e o ganho exatos onde o lugar cruza a reta de relação de amor-
tecimento 0,45. 
(b) O ponto e o ganho exato onde o lugar cruza o eixo ωj . 
(c) O ponto de saída do eixo real. 
(d) A faixa de K na qual o sistema é estável. 
 
2. [NISE, p.322] Dado um sistema com retroação unitária com a seguinte 
função de transferência do canal direto, 
( ) ( )( )( )256 422 ++ −−= ss ssKsG 
faça o seguinte: 
(a) Esboce o lugar das raízes. 
Controle 2 – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
4 
(b) Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário. 
(c) Determine o ganho, K , no ponto de interseção com o eixo ωj . 
(d) Determine o ponto de entrada. 
(e) Determine o ponto onde o lugar cruza a reta de relação de amortecimento 
0,5. 
(f) Determine o ganho onde o lugar cruza a reta de relação de amortecimento 
0,5. 
(g) Encontre a faixa de ganho, K , para a qual o sistema é estável. 
RESPOSTAS: 
(b) 06,4js ±= 
(c) 1=K 
(d) Ponto de entrada = +2,89 
(e) 18,442,2 js +−= 
(f) 108,0=K 
(g) 1<K 
 
 
Controle 2 – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
1 
Aula 7T - Técnicas de resposta em freqüência - Introdução 
Bibliografia 
ƒ NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 2002. Páginas 417-423. 
ƒ DORF, R.C. Sistemas de Controle Modernos. 8ª edição, LTC, 2001. Páginas 322 – 328. 
 
2. Técnicas de Resposta em Freqüência 
2.1. Introdução 
• Método mais antigo do que o de lugar das raízes. 
• Possui aplicações diferentes; por exemplo, ao se modelar funções de trans-
ferência a partir de dados físicos. 
 
Figura 1 – Analisador de espectro [NISE] 
Controle 2 – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
2 
• Veremos o conceito da resposta em freqüência, definindo-a, deduzindo ex-
pressões analíticas para a resposta em freqüência, desenvolvendo formas de 
esboçar a resposta em freqüência e então aplicar o conceito à análise e ao 
projeto de sistemas de controle. 
 
2.1.1. O conceito da resposta em freqüência 
• Em regime estacionário, entradas senoidais aplicadas a sistemas lineares 
geram respostas senoidais de mesma freqüência. 
• Embora a freqüência da entrada e da saída sejam as mesmas, elas diferem 
com relação à amplitude e ao ângulo de fase. Estas diferenças são funções 
da freqüência. 
• Você já sabe que senóides podem ser representadas por números comple-
xos chamados de fasores. A senóide ( )11 cos φω +tM é representada por 
11 φ∠M em que a freqüência ω fica implícita. 
• Como o sistema provoca alterações tanto na amplitude quanto no ângulo de 
fase da entrada, podemos pensar no sistema representado por um número 
complexo, definido de tal modo que o produto do fasor pela função de sis-
tema produza a representação do fasor de saída. 
• Considere o sistema massa-mola da figura a seguir em que é aplicada uma 
força senoidal ( ) ( )ii tMtf φω += cos . 
 
Figura 2 – Sistema massa-mola com entrada senoidal [NISE]. 
Controle 2 – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
3 
• Definimos então o número complexo ( ) ( )ωφω ∠M de forma que 
( ) ( )( ) ( )( )ωφωφωφ ∠∠=∠ MMM IIOO , 
ou 
( ) ( )( )ω
ωω
I
O
M
MM = e ( ) ( ) ( )ωφωφωφ iO −= 
 
 
• Estas equações constituem nossa definição de resposta em freqüência. 
Chamamos ( )ωM de magnitude da resposta em freqüência e ( )ωφ de fase 
da resposta em freqüência. 
 
2.1.2. Expressões analíticas da resposta em freqüência 
• Consideremos um sistema LIT com função de transferência ( )sG . Supo-
nhamos que o sistema seja estável e que ( )sX e ( )sY representem a trans-
formada dos sinais de entrada e saída respectivamente. 
 
 
Figura 3 – Sistema LIT no domínio s [NISE]. 
 
• Admitamos que ( )sG seja expressa na forma: 
( ) ( )( )( ) ( )npspsps
spsG +++= …21 
em que nppp −−− ,,, 21 … são os pólos do sistema supostos distintos por 
simplicidade. 
Controle 2 – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
4 
Consideremos como entrada um sinal senoidal de amplitude A e freqüência 
ω , ( ) ( )tAtx ωsin= cuja transformada de Laplace você já deve saber que é: 
( ) 22 ω
ω
+= sAsX 
• Nessas condições, temos: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )ωω
ω
ω
ω
jsjspspsps
AsP
s
AsGsXsGsY
n −++++
=+== …2122
 
• Esta resposta pode ser decomposta em frações parciais como 
( )
n
n
ps
b
ps
b
ps
b
js
a
js
asY +++++++−++=
∗
…
2
2
1
1
ωω 
em que a e ∗a são complexos conjugados dados por 
( )
j
jGAa
2−
−= ω e ( )
j
jGAa
2
* ω= . 
• Em virtude da estabilidade do sistema, os termos do tipo: 
i
i
ps
b
+ , ni ,,2,1 …= 
correspondem a funções do tempo que tendem a zero quando este se torna su-
ficientemente grande. Sendo assim, a resposta estacionária ( )ty∞ corresponde 
aos dois primeiros termos da expansão: 
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−++−
−=∞ ω
ω
ω
ω
jsj
jG
jsj
jGAsY 1
2
1
2
 
• Antitransformando, vem: 
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−
−= −∞ tjtj ej
jGe
j
jGAty ωω ωω
22
 
• Fazendo 
( ) ( ) ( )ωωω Φ= jejGjG e ( ) ( ) ( )ωωω Φ−=− jejGjG 
e lembrando que t
j
ee tjtj α
ωω
sin
2
=−
−
, temos: 
Controle 2 – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
5 
 
( ) ( ) ( )( )ωωω Φ+=∞ tjGAty sin 
 
• Assim, vemos que ( ) ( ) ωω jssGjG == é a resposta em freqüência que defini-
mos em 2.1.1. Ou seja, para um sistema estável, 
 
Resposta em freqüência = ( ) ( ) ωω jsGjG = 
 
2.1.3. Gráficos da resposta em freqüência 
• A resposta em freqüência, ( ) GGMjG φω ∠= pode ser representada grafica-
mente de várias maneiras. As principais são: 
o através de gráficos separados de magnitude e de fase, em função 
da freqüência; 
o por meio de um gráfico polar, em que o comprimento do fasor é 
a magnitude e o ângulo do fasor é a fase. 
• Quando fazemos os gráficos de magnitude e fase separados, a curva de 
magnitude geralmente é traçada em decibéis (dB) em função da freqüência 
em escala logarítmica. (dB = Mlog20 ). A curva de fase é construída com o 
ângulo de fase em função da freqüência em escala logarítmica.Exercícios 
1. Determinar a expressão analítica de magnitude e de fase da resposta em 
freqüência de um sistema com função de transferência ( )
2
1
+= ssG . Traçar 
Controle 2 – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
6 
também ambos os diagramas de magnitude e de fase separados e em gráfi-
co polar. (Use as escalas a seguir para ajudar). 
 
 
2. [NISE, p. 423] (a) Determinar as expressões analíticas para a magnitude e a 
fase da resposta em freqüência de: 
( ) ( )( )42
1
++= sssG 
(b) Construa os gráficos logarítmicos de magnitude e de fase usando a fre-
qüência em rad/s na abscissa. 
(c) Construa um gráfico polar da resposta em freqüência. 
 
RESPOSTA: 
(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−+−
≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−=
+−
=
8,
8
6arctan
8,
8
6arctan
 ;
68
1
2
2
222 ωω
ωπ
ωω
ω
ωφ
ωω
ωM 
Controle 2 – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
1 
Aula 8T - Diagramas de Bode 
Bibliografia 
ƒ NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 2002. Páginas 423-439. 
ƒ DORF, R.C. Sistemas de Controle Modernos. 8ª edição, LTC, 2001. Páginas 328 – 344. 
 
2.2. Diagramas de Bode 
ƒ Os diagramas de Bode são gráficos de ganho e defasagem em função da 
freqüência, esta marcada em escala logarítmica. 
ƒ O ganho, freqüentemente é representado como ( )ωjGlog20 . Esta unidade é 
chamada de decibel (dB). 
ƒ Além de permitir, em muitos casos, o traçado de esboços das curvas de res-
posta em freqüência de maneira simples e imediata (através de aproxima-
ções assintóticas), os gráficos logarítmicos têm a vantagem adicional de 
transformar produtos e divisões em somas e subtrações, respectivamente. 
ƒ Veremos a seguir os termos que aparecem com mais freqüência na análise 
da resposta em freqüência. 
ƒ Consideremos inicialmente sistemas que tenham apenas pólos e zeros reais. 
Seja, pois, ( )sG da forma: 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )PN
M
pspspss
zszszsksG +⋅+⋅+
+⋅+⋅+⋅= …
…
21
21 
ƒ Para a análise no domínio da freqüência, costuma ser conveniente reescre-
ver ( )sG como: 
 
 
 
 
em que 
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )111
111
21
21
+++
+++=
sTsTsTs
sssKsG
P
N
M
…
… τττ
Controle 2 – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
2 
P
M
ppp
zzkzK …
…
21
21= , 
i
i z
1=τ , ( Mi ,,2,1 …= ) 
i
i p
T 1= , ( Pi ,,2,1 …= ) 
 
ƒ Fazendo ωjs = e tomando o ganho em dB, temos: 
 
( ) ∑∑
==
+−−++=
P
i
i
M
i
i TjjNjKjG
11
1log20log201log20log20log20 ωωωτω
 
 
enquanto a fase fica 
 
( ) ( ) ( )∑∑
==
+∠−−+∠+∠=∠
P
i
i
o
M
i
i TjNjKjG
11
1901 ωωτω 
 
ƒ As expressões acima indicam claramente a existência de três tipos de ter-
mos: 
A. Associados ao ganho K ; 
B. Associados a pólos e zeros na origem. 
C. Associados a pólos e zeros reais fora da origem. 
 
ƒ Nossa estratégia será então ver como a resposta em freqüência devido a ca-
da uma dessas parcelas e depois somá-las para obter a resposta em freqüên-
cia do sistema todo. 
Controle 2 – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
3 
A. Ganho K 
ƒ A contribuição de K para o gráfico de Bode é uma reta horizontal corres-
pondente a Klog20 . 
 
Figura 1 – Contribuição do ganho K para o diagrama de Bode [DORF]. 
 
ƒ Em geral, 0>K e, portanto, neste caso, 0=∠K . 
ƒ Desta maneira, o efeito do ganho K sobre os Diagramas de Bode se resume 
em deslocar o gráfico de ganho e manter inalterado o de defasagem. 
 
B. Termos associados a pólos e zeros na origem 
ƒ Pólos simples na origem correspondem a parcelas de ganho do tipo 
ωjlog20− . No gráfico de Bode, este termo representa uma contribuição na 
forma de uma reta com declividade -20dB/década (uma década é um par de 
freqüências tais que razão entre a maior e a menor é igual a 10). 
ƒ Para perceber isto, basta considerar duas freqüências 1ω e 2ω separadas por 
uma década ( 12 10ωω = ) e notar que: 
 
( ) ( ) ( )112 log202010log20log20 ωωω −−=−=− 
 
ƒ Essa reta passa por 0dB quando 1=ω rad/s. 
Controle 2 – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
4 
ƒ A contribuição para a defasagem é de -90° independentemente da freqüên-
cia. 
 
Figura 2 – Contribuição de um pólo na origem [DORF]. 
 
ƒ Zeros simples na origem correspondem a parcelas de ganho do tipo 
ωjlog20+ , ou seja, retas com inclinação de +20dB/década e passando por 
0dB quando 1=ω rad/s. 
ƒ Sua contribuição para a defasagem é de +90, qualquer que seja a freqüên-
cia. 
 
Figura 3 – Contribuição de um zero na origem [DORF]. 
 
Controle 2 – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
5 
ƒ Quando os pólos (zeros) na origem têm multiplicidade N , o gráfico de ga-
nho apresenta declividade N20− dB por década ( N20+ dB por década), en-
quanto o gráfico da defasagem se desloca para oN90− ( oN90+ ). 
 
C. Termos associados a pólos e zeros fora da origem 
ƒ Consideremos inicialmente o caso de pólos reais simples fora da origem. A 
contribuição para o ganho é do tipo Tjω+− 1log20 . 
ƒ Em baixas freqüências, tem-se: 
01log201log20 1 =−≈+−⇒<< TjT ωω dB. 
ƒ Em altas freqüências: 
TjTjT ωωω log201log20 1 −≈+−⇒>> 
ƒ No gráfico de Bode, este termo representa uma contribuição na forma de 
uma reta com declividade -20dB/década. 
ƒ Por fim, deve-se observar que, para 
T
1=ω (freqüência de canto), tem-se: 
0log20 1 =−⇒= TjT ωω dB 
ƒ Essas duas retas definem aproximações assintóticas para o gráfico de Bode 
de Tjω+− 1log20 , válidas a partir de freqüências uma década acima ou a-
baixo da freqüência de canto. 
ƒ O valor exato do ganho na freqüência de canto é: 
32log201log20 1 −≈−≈+−⇒= TjT ωω dB. 
ƒ Quanto à defasagem associada a um pólo real simples fora da origem, note 
que: 
( ) ( )TTj ωω arctan1 −=+∠− 
ƒ Para freqüências baixas, adotamos a aproximação: 
Controle 2 – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
6 
( ) 0arctan 1 ≈−⇒<< TT ωω 
e, para altas freqüências: 
( ) oTT 90arctan 1 −≈−⇒>> ωω 
ƒ Na freqüência de canto: 
( ) oTT 45arctan 1 −=−⇒= ωω . 
ƒ O erro cometido nas freqüências em que 1,0=Tω e 10=Tω é da ordem de 
0,1rad (6°). 
ƒ Com isso traçamos as aproximações às curvas de ganho e defasagem atra-
vés de trechos de reta, conforme mostra a figura a seguir. 
 
Figura 4 – Contribuição de um pólo fora da origem [DORF]. 
 
ƒ A análise anterior conduz de imediato às aproximações referentes a zeros 
reais fora da origem, conforme os gráficos a seguir. 
 
Figura 5 – Contribuição de um zero fora da origem 
Controle 2 – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
7 
ƒ Para o caso de pólos (zeros) de multiplicidade n , a freqüência de canto con-
tinua sendo 
T
1=ω . As assíntotas do gráfico são, para baixas freqüências, a 
reta 0dB e, para altas freqüências, a reta que passa pelo ponto ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ dB
T
0,1 e 
tem declividade n20− dB por década ( n20+ dB por década). 
ƒ A defasagem é dada por n vezes aquela associada a um pólo (zero) simples. 
 
Exercício 
1. Esboce os gráficos de Bode para um sistema com ( ) ( )( )21
3
++
+=
sss
ssG . 
 
 
 
 
Controle 2 – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
8 
D. Termos associados a pólos e zeros complexos conjugados 
ƒ Além dos termos vistos até aqui, correspondentes a pólos e zeros reais, é 
necessário considerar fatores associados a pólos e zeros complexos conju-
gados. 
ƒ Analisemos inicialmente fatores da Função de Transferência do tipo 
22
2
2 nn
n
ss ωξω
ω
++ , 10 <<ξ 
e, portanto, correspondentes a um par de pólos complexos conjugados. Essa 
forma particular de fatores de segunda ordem tem, como se verá adiante, ga-
nho unitário em baixas freqüências. 
ƒ Podemos reescrevê-la como: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+ 221
1
nn
ss
ωωξ
, 10 << ξ 
ƒ Substituindo s por ωj e considerando o ganho em dB, temos: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+ nn
nn
j
jj ω
ωξω
ω
ω
ω
ω
ωξ
21log20
21
1log20
2
2 , 10 << ξ 
ƒ As assíntotas do Diagrama de Bode de ganho podem então ser determina-
das. 
ƒ Em primeiro lugar, consideremos a região de baixas freqüências, em que: 
( ) dBj
nn
n 01log2021log20 
2
=−≈⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−−⇒<< ω
ωξω
ωωω 
ƒ Por outro lado, na região de altas freqüências, tem-se: 
Controle 2 – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
9 
dBj
nnnn
n ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−≈⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−−⇒>> ω
ω
ω
ω
ω
ωξω
ωωω log40log2021log20 
22
Vemos que esta assíntota tem declividade de -40dB/década e passa pelo 0dB 
em nωω = . Esta é a freqüência de canto para o fator de segunda ordem. 
ƒ As duas assíntotas estão representadas na figura a seguir. 
 
Figura 6 – Contribuição de um par de pólos complexos [DORF]. 
 
ƒ Nota-se que elas são independentes do coeficiente de amortecimento ξ . 
ƒ No entanto, obviamente o Diagrama de Bode de ganho depende de ξ . Se 
desenharmos os gráficos com exatidão, perceberemos que os mesmos apre-
sentam um pico de ressonância nas vizinhanças de nωω = e que a amplitude 
deste pico depende de ξ , sendo tanto maior quanto menor for ξ (veja a fi-
gura a seguir). 
Controle 2 – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
10 
 
Figura 7 – Diagrama de Bode de ganho - pólos complexos - vários ξ [DORF]. 
 
ƒ Pode-se mostrar que a freqüência de ressonância é 
221 ξωω −= nr ( 2
20 ≤≤ ξ ) 
sendo que para 1
2
2 ≤≤ ξ não há ressonância. O valor do ganho rM na fre-
qüência de ressonância é 
212
1
ξξ −=rM , ( 2
20 ≤≤ ξ ) 
Note que quando 0→ξ , ∞→rM . 
ƒ Examinemos agora a defasagem. Temos: 
Controle 2 – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
11 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−−∠=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+
∠=Φ
nn
nn
j
jj ω
ωξω
ω
ω
ω
ω
ωξ
21
21
1
2
2 , 10 << ξ 
 e, portanto, em baixas freqüências: 
o
n 01 =∠≈Φ⇒<< ωω 
enquanto, em altas freqüências: 
o
n
n 180 
2
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−−∠≈Φ⇒>> ω
ωωω 
e na freqüência de canto 
( ) on j 902 −=−∠≈Φ⇒= ξωω 
ƒ Da mesma forma que o ganho também a defasagem depende de ξ . As cur-
vas de defasagem em função da freqüência normalizada 
nω
ω , parametrizada 
em ξ são mostradas na figura a seguir. 
 
Figura 8 - Diagrama de Bode de fase - pólos complexos - vários ξ [DORF]. 
Controle 2 – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
12 
ƒ Para concluir este tópico, deve-se observar que, para fatores do tipo: 
2
22 2
n
nn ss
ω
ωξω ++
 
(com 10 << ξ ) correspondentes a zeros complexos conjugados, as curvas de 
ganho e defasagem podem ser obtidas de imediato, invertendo o sinal daquelas 
associadas a pólos complexos conjugados. 
 
PROCEDIMENTOS PARA CONSTRUÇÃO DOS DIAGRAMAS DE BODE 
ƒ Uma das principais vantagens de se trabalhar com gráficos em escala loga-
rítmica é que a multiplicação dos módulos é transformada em adição. Além 
disso, dispõe-se também de um método simples para esboçar de forma a-
proximada o Diagrama de Bode do ganho utilizando-se assíntotas. 
ƒ O procedimento para construir os diagramas de Bode é o seguinte: 
• Escrever ( )ωjG na forma de um produto de fatores dos tipos apresentados 
anteriormente. 
• Identificar as freqüências de canto associadas a cada um dos fatores. 
• Desenhar as aproximações assintóticas das curvas de ganho em dB para 
cada um dos fatores. 
• Obter a soma das assíntotas do passo anterior. 
• Havendo fatores de segunda ordem, esboçar as curvas de ganho na vizi-
nhança de nωω = . 
• Desenhar as curvas de defasagem para cada um dos fatores. 
• Obter a soma das curvas do passo anterior. 
Controle 2 – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
13 
ƒ As aproximações assintóticas dos Diagramas de Bode têm duas característi-
cas importantes, a saber: a facilidade de construção e a simplicidade com 
que se pode modificá-las. 
 
Exercícios 
2. Esboce os gráficos logarítmicos de magnitude e de fase para um sistema 
com 
( ) ( )( )2522 32 +++ += sss ssG 
 
 
3. [NISE, p. 439] Construa os gráficos logarítmicos de magnitude e de fase 
para um sistema com: 
( ) ( )( )( )5071
20
+++
+=
sss
ssG . 
 
Controle 2 – Aula 9T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
1 
Aula 9T - Estabilidade, margem de ganho e de fase. 
Bibliografia 
ƒ NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 2002. Páginas 453-455. 
ƒ OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 2003. Páginas 457-
470. 
 
2.3. Estabilidade, margem de ganho e de fase por intermédio dos gráficos 
de Bode. 
• A questão da estabilidade de um sistema em malha fechada é uma das mais 
importantes na área de Controle. Num projeto, é sempre fundamental assegu-
rar que o sistema realimentado produzirá uma resposta limitada. 
• Já estudamos como abordar este problema usando o LGR. Nesta aula, a-
prenderemos a abordar esta questão através dos diagramas de Bode. 
 
2.3.1. Determinação da estabilidade 
ƒ A base para a determinação da estabilidade a partir dos gráficos de Bode é 
o teorema da estabilidade de Nyquist. 
 
Teorema da Estabilidade de Nyquist: Dado um sistema estável em malha 
aberta, o sistema em malha fechada com realimentação negativa obtida a 
partir dele será estável se a resposta em freqüência do sistema a malha aber-
ta tiver um ganho menor do que a unidade (0dB) quando a fase for 180°. 
 
ƒ Este teorema não será demonstrado aqui. Para mais detalhes veja [DORF] 
ou [OGATA]. 
 
 
 
Controle 2 – Aula 9T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
2 
Exercício 
1. [NISE, p. 453] Use os gráficos de Bode para determinar a faixa de valores 
de K para os quais o sistema com retroação unitária mostrado na Figura 1 a 
seguir é estável. Seja ( ) ( )( )( )542 +++= sss
KsG . 
 
 
Figura 1 – Sistema de controle com retroação unitária. [NISE] 
 
 
 
 
 
Controle 2 – Aula 9T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
3 
2.3.2. Calculando as margens de ganho e de fase 
ƒ As medidas de margem de ganho e de fase nos dão uma idéia de quão está-
vel um sistema é. Suas definições são: 
 
Margem de ganho, MG : A margem de ganho é a mudança no valor do ga-
nho a malha aberta no ponto com fase de 180°, expressa em decibéis (dB) 
necessária para tornar instável o sistema com malha fechada. 
 
Margem de fase, MΦ : A margem de fase é a mudança no valor da fase da 
malha aberta no ponto com ganho unitário necessária para tornar o sistema 
instável o sistema a malha fechada. 
 
ƒ A seguir mostraremos como calcular as margens de ganho e fase usando os 
gráficos de Bode. Veja a Figura 2 a seguir. 
 
Figura 2 – Margens de ganho e fase nos diagramas de Bode. [NISE]. 
Controle 2 – Aula 9T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
4 
ƒ A margem de ganho é obtida usando o gráfico de fase para encontrar a fre-
qüência, MGω em que o ângulo de fase é 180°. Nesta freqüência observe o 
diagrama de módulo para determinar a margem de ganho, MG queé o ga-
nho necessário para elevar a curva de magnitude até 0dB. 
ƒ A margem de fase é obtida usando a curva de magnitude para encontrar a 
freqüência MΦω onde o ganho é 0dB. Sobre a curva de fase nessa freqüên-
cia, a margem de fase, MΦ é a diferença entre o valor da fase e 180°. 
 
Exercícios 
2. [NISE, p. 454] Encontre as margens de ganho e fase para o sistema do E-
xercício 1 para 40=K . 
3. [NISE, p. 454] Repita o problema anterior para 200=K . 
4. [NISE, p. 455] Para o sistema mostrado na Figura 1, em que: 
( ) ( )( )( )50205 +++= sss
KsG , 
faça o seguinte: 
(a) Desenhe os gráficos logarítmicos de Bode de magnitude e fase. 
(b) Encontre a faixa de valores de K para estabilidade a partir do diagrama de 
Bode. 
(c) Calcule a margem de ganho, a margem de fase, a freqüência de zero dB e a 
freqüência de 180° a partir do diagrama de Bode para 10000=K . 
Controle 2 – Aula 10T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
1 
Aula 10T – Relação entre resposta transitória e resposta em freqüência 
Bibliografia 
ƒ NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 2002. Páginas 455-458. 
ƒ OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 2003. Páginas 464-
470. 
 
2.4. Relação entre resposta transitória e resposta em freqüência 
• Vimos na Aula 8T que para um sistema de 2ª ordem da forma 
( )
( ) ( ) 22
2
2 nn
n
s
sT
sR
sC
ωζω
ω
++== , (1) 
o gráfico de Bode de amplitude tem o formato mostrado na Figura 1 para 
7,0<ζ . 
 
 
ƒ Substituindo s por ωj na Equação (1) e calculando seu módulo chegamos 
a uma expressão para ( ) ( )ωω jGM = . Calculando a derivada desta expres-
Bω rω 
rM 
Controle 2 – Aula 10T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
2 
são em relação a 2ω e fazendo a derivada igual a zero, chegamos ao valor 
máximo de ( )ωM , rM e o valor em que ela ocorre rω (Esta dedução fica 
como exercício). Seus valores são 
212
1
ζζ −=rM 
221 ζωω −= nr . 
 
ƒ Pensando no sentido inverso, dado um gráfico de Bode de um sistema, a-
través do seu valor e freqüência de ressonância, podemos obter o amorte-
cimento ζ e sua freqüência natural nω e a partir daí, usando as fórmulas 
vistas em Controle 1 e revisadas nas Aulas 4P e 5P, as características de 
resposta transitória do sistema. 
ƒ As fórmulas vistas estão abaixo relacionadas novamente para referência 
rápida. Mais informações, veja [DORF], p.183-187. 
 
Figura 2 – Resposta temporal e especificações [FRANKLIN] 
U.P. 
Controle 2 – Aula 10T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
3 
Tempo de subida 
(tempo consumido em passar 
de 10 a 90% da magnitude do 
degrau de entrada) 
 
n
RT ω
ζ 60,016,2 +=
 
Tempo de acomodação 
(tempo a partir do qual a res-
posta permanece em torno de 
2% do valor final) 
 
n
ST ζω
4=
 
Ultrapassagem porcentual 
(porcentagem acima do valor 
final alcançado pela resposta 
transitória) 
 
21.. ζπζ −−= ePU 
Instante de pico 
(Instante em que ocorre o má-
ximo da resposta transitória) 
 
21 ζω
π
−= nP
T
 
 
 
Figura 3 – Relação entre ultrapassagem e amortecimento [FRANKLIN]. 
U.P. 
% 
Controle 2 – Aula 10T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
4 
ƒ É importante observar que não haverá pico da resposta em freqüência para 
707,0>ζ . Esta limitação de valor de ζ para pico sobre a curva de magni-
tude da resposta em freqüência não deve ser confundida com a ultrapassa-
gem porcentual da resposta ao degrau em que existe a ultrapassagem para 
10 << ζ . 
ƒ A relação entre a ultrapassagem porcentual ..PU e o valor de pico da res-
posta em freqüência PM é dada aproximadamente pela figura a seguir. 
 
Figura 4 – Pico da resposta em freqüência em função da ultrapassagem porcentual [NISE]. 
 
2.4.1. Velocidade de resposta e resposta em freqüência 
ƒ Uma outra relação entre a resposta em freqüência e a resposta no domínio 
do tempo é entre a velocidade da resposta no domínio do tempo (medida 
pelo tempo de assentamento, pelo instante de pico e pelo tempo de subida) 
e a banda passante da resposta de freqüência. 
 
rM 
Controle 2 – Aula 10T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
5 
Banda passante da resposta em freqüência é definida como a freqüência Bω 
em que o valor da curva de magnitude da resposta em freqüência está 3dB 
abaixo de seu valor na freqüência zero (veja a Figura 1). 
 
ƒ A banda passante de um sistema com dois pólos pode ser obtida determi-
nando a freqüência para a qual 
2
1=M (isto é, -3dB). A dedução é deixada 
como exercício. O resultado é 
 
( ) 24421 242 +−+−= ζζζωω
nB . 
 
ƒ Para relacionar Bω ao tempo de assentamento, substituímos ζω Sn T
4= na 
Equação acima e obtemos: 
( ) 244214 242 +−+−= ζζζζω SB T 
 
ƒ De modo semelhante, como 
21 ζ
πω
−
=
P
n
T
, 
( ) 24421
1
242
2
+−+−−= ζζζζ
πω
P
B
T . 
 
ƒ Na figura a seguir são mostrados gráficos normalizados das equações aci-
ma e também a relação entre a banda passante pelo tempo de subida e a re-
lação de amortecimento. 
Controle 2 – Aula 10T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
6 
 
Figura 5 – Banda passante normalizada em função da relação de amortecimento ζ 
 
Exercícios 
1. [NISE, p. 457] Encontre a banda passante a malha fechada necessária para 
uma ultrapassagem de 20% e um tempo de assentamento de 2s. 
 
2. [NISE, p. 483] Para cada sistema com as seguintes características de de-
sempenho, encontre a banda passante necessária. 
(a) 3 ,2,0 == STζ s 
(b) 3 ,2,0 == PTζ s 
(c) 2 s,4 == PS TT s 
(d) 4 ,3,0 == rTζ s. 
RESPOSTAS: 
(a) 10,06rad/s; (b) 1,613rad/s; (c) 2,29rad/s; (d) 0,4803 rad/s. 
Controle 2 – Aula 12T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
1 
Aula 12T - Sistemas de Controle Digital 
Bibliografia 
ƒ NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 2002. Páginas 558-565. 
ƒ HAYKIN, S.S. Sinais e sistemas, 1ª. Edição, Bookman Company, 2000. Páginas 445-460 
. 
3.1. Introdução 
ƒ Surge com o desenvolvimento dos microcomputadores (década de 60). 
ƒ Duas funções: 
(1) supervisão 
(2) Controle – substitui métodos de compensação 
ƒ Componentes analógicos são substituídos por cálculos do computador 
digital que imitam o componente físico. 
 
Vantagens dos computadores digitais 
(1) redução de custo. 
(2) flexibilidade para realizar mudanças de projeto. 
(3) imunidade a ruído. 
 
Configuração Típica 
 
Figura 1 – Configuração típica de um sistema de controle digital [NISE] 
 
Conversão Digital-Analógica 
ƒ Simples e instantânea. 
Exemplo: 
Controle 2 – Aula 12T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
2 
Figura 2 – Conversor Digital Analógico [NISE] 
 
ƒ Exemplo: 1102 = 6V. 
ƒ Chaves são eletrônicas: transistores. 
Conversão Análogo-Digital 
ƒ Duas etapas: amostragem e quantização. 
 
Figura 3 – Amostragem e quantização [NISE]. 
Bit menos significativo
Bit mais significativo
Saída 
analógica
Controle 2 – Aula 12T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
3 
3.2. Modelando o computador digital 
ƒ Amostragem e retenção em intervalos especificados fazem com que o 
desempenho do sistema mude com a taxa de amostragem. 
 
Modelando o amostrador 
 
Figura 3 – Modelo do Amostrador [NISE]. 
 
( ) ( ) ( )∑∞
=
−=
0
*
k
kTtkTftf δ (1) 
Modelando o extrapolador de ordem zero (ZOH) 
( )
s
esG
Ts−−= 1 ( ( ) ( ) ( )Ttututg −−= ) 
 
Controle 2 – Aula 12T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
4 
3.3. A Transformada z 
ƒ Em sistemas digitais, estabilidade e resposta transitória dependem tam-
bém da taxa de amostragem além dosvalores dos componentes. A transfor-
mada Z inclui esta informação com a facilidade da Transformada de Laplace. 
ƒ Aplicando Laplace ao sinal amostrado ideal, temos: 
( ) ( )∑∞
=
−∗ =
0k
kTsekTfsF 
ƒ Fazendo Tsez = , podemos reescrever como: 
 
( ) ( )∑∞
=
−=
0k
kzkTfzF
 (2) 
 
ƒ Esta equação define a Transformada-z 
( ) ( )zFkTf ↔ 
 
Exercício 
1. Determine a transformada Z de uma rampa unitária amostrada. 
 
ƒ As Tabelas a seguir mostram algumas transformadas úteis e proprieda-
des importantes das Transformadas Z. 
Controle 2 – Aula 12T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
5 
Capítulo 13: Sistemas de Controle Digital
9Copyright © 2003 LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Copyright © 2000 John Wiley, Inc.
Tabela 13.1
Tabela parcial de transformadas z e de Laplace
sen
sen sen
sen
sen
sen
 
Capítulo 13: Sistemas de Controle Digital
10Copyright © 2003 LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Copyright © 2000 John Wiley, Inc.
Tabela 13.2
Teoremas da transformada z
Teorema Designação
Teorema da linearidade
Teorema da linearidade
Derivação complexa 
Translação real 
Derivação complexa 
Teorema do valor inicial 
Teorema do valor final 
Nota: na tabela, kT deve ser substituído por t.
 
Controle 2 – Aula 13T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
1 
Aula 13T - Funções de transferência digitais 
Bibliografia 
ƒ NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 2002. Páginas 565-571. 
ƒ HAYKIN, S.S. Sinais e sistemas, 1ª. Edição, Bookman Company, 2000. Páginas 460-468 
. 
3.3.1. Transformada Z inversa 
ƒ Com base na tabela anterior, observamos que as funções exponenciais 
amostradas se relacionam com suas transformadas Z por: 
aT
akT
ez
ze −↔
− 
ƒ Devemos então usar expansão em frações parciais da forma 
( ) "+−+−= 21 zz
Bz
zz
AzzF 
ƒ Assim, primeiro formamos ( )
z
zF para eliminarmos os termos z do nu-
merador, executamos a expansão em frações parciais de ( )
z
zF e finalmente 
multiplicamos o resultado por z para fazer aparecer os z ’s no numerador das 
frações. 
 
Exercício 
1. Determine a função no domínio do tempo amostrado tal que a transforma-
da seja 
( ) ( )( )7,05,0
5,0
−−= zz
zzF . 
 
3.4. Funções de Transferência 
ƒ Assim como no caso analógico, podemos obter funções de transferência 
relacionando sinais amostrados em sistemas digitais. 
Controle 2 – Aula 13T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
2 
 
Figura 1 – Sistemas com dados amostrados: (a) contínuo; (b) entrada amostra-
da; (c) entrada e saída amostrados [NISE]. 
 
Dedução da função de transferência pulsada 
ƒ Dada uma entrada ( )tr , ao passá-la pelo amostrador, temos, 
( ) ( ) ( )∑∞
=
∗ −=
0n
nTtnTrtr δ 
em que ( )tr ∗ é uma soma ponderada de impulsos. A resposta ao impulso de 
( )sG é ( )[ ] ( )tgsG =−1/ . Assim, 
( ) ( ) ( )∑∞
=
−=
0n
nTtgnTrtc 
ƒ Amostrando este sinal, temos: 
Controle 2 – Aula 13T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
3 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑ ∞
=
∞
=
−=−=
00 nn
TnkgnTrnTkTgnTrkTc 
 
ƒ Vamos então calcular 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] k
k nk
k zTnkgnTrzkTczC −
∞
=
∞
=
∞
=
− ∑ ∑∑ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −==
0 00
 
ƒ Fazendo nkm −= ou nmk += , 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )zRzG
znTrzmTg
znTrzmTg
zzmTgnTrzC
n
n
m
m
n
n
nm
m
nm n
nm
=
==
==
==
∑∑
∑∑
∑ ∑
∞
=
−∞
=
−
∞
=
−∞
=+
−
∞
=+
∞
=
−−
00
00
0 0
 
ƒ Assim, 
 
( ) ( ) ( )zRzGzC = 
 
ƒ ( )zG , a transformada Z de ( )kTg é a chamada função de transferência 
pulsada do sistema. 
ƒ Uma forma de obter ( )zG é começar com ( )sG , determinar ( )tg e então 
usar a tabela vista para encontrar ( )zG . 
 
 
Controle 2 – Aula 13T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
4 
Exercícios 
2. Dado um z.o.h. em cascata com ( )
1
2
1 +
+=
s
ssG , ou seja, 
( ) ( )( )1
21
+
+−=
−
s
s
s
esG
Ts
 
determinar a função de transferência de dados amostrados ( )zG se o período 
de amostragem, T , for 0,5s. 
 
3. Determine ( )zG para ( )
4
8
+= ssG em cascata com um amostrador e extrapo-
lador de ordem zero. O período de amostragem é 0,25s. 
Controle 2 – Aula 13T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
5 
 
 
 
 
Tabela 13.1 
Tabela parcial de transformadas z 
e de Laplace 
Controle 2 – Aula 14T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
1 
Aula 14T - Redução de diagramas de blocos 
Bibliografia 
ƒ NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 2002. Páginas 571-573. 
ƒ OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A.S. Signals & Systems. 2ª edição, Prentice Hall, 1997. Páginas 826-
828. 
 
3.5. Redução de diagramas de blocos 
ƒ O processo de redução de diagramas de blocos funciona de forma aná-
loga ao já aprendido no domínio contínuo. Só é necessário tomar alguns cui-
dados. 
ƒ Por exemplo, ( ) ( ){ } ( ) ( )zGzGsGsG 2121 ≠A . Devemos primeiramente multi-
plicar ( ) ( ) ( )sGGsGsG 2121 = e aí obter a transformada 
( ) ( ){ } ( ) ( )zGzGsGGzGG 212121 ≠= A . 
Conversão Básica 
 
Figura 1 – Conversão básica [NISE] 
 
Idéia: Reduzir o diagrama a blocos de conversão básica. 
“Truque”: Sempre podemos colocar um amostrador imaginário na saída de 
qualquer subsistema que tenha uma entrada amostrada desde que a natureza 
do sinal enviado para qualquer outro subsistema não seja mudado. 
 
Exercícios – Exemplos 
1. Para o sistema a seguir, encontre ( ) ( )( )zR
zCzT = . 
Controle 2 – Aula 14T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
2 
 
Figura 2 – Diagrama de blocos do Exercício 1 [NISE]. 
 
2. Para o sistema a seguir, encontre ( ) ( )( )zR
zCzT = . 
 
 
Figura 3 – Diagrama de blocos do Exercício 2 [NISE]. 
 
 
3. Para o sistema a seguir, encontre ( ) ( )( )zR
zCzT = . 
 
Figura 4 – Diagrama de blocos do Exercício 3 [NISE]. 
 
4. Para o sistema a seguir, encontre ( ) ( )( )zR
zCzT = . 
 
Figura 5 – Diagrama de blocos do Exercício 4 [NISE]. 
Controle 2 – Aula 14T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
3 
Solução: 
 
Figura 6 – Solução do Exercício 4 [NISE]. 
 
5. Para o sistema a seguir, encontre ( ) ( )( )zR
zCzT = . 
 
Figura 7 – Diagrama de blocos do Exercício 5 [NISE]. 
Controle 2 – Aula 15T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
1 
Aula 15T - Estabilidade em sistemas digitais 
Bibliografia 
ƒ NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 2002. Páginas 573-579. 
ƒ OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A.S. Signals & Systems. 2ª edição, Prentice Hall, 1997. Páginas 830-
832. 
 
3.6.Estabilidade 
ƒ Já sabemos que a condição de estabilidade para um sistema descrito no 
domínio de Laplace é que os pólos da função de transferência que descreve o 
sistema tenham parte real negativa. 
ƒ Qual será a condição equivalente no domínio Z? 
ƒ A condição de estabilidade para um sistema descrito por 
as
A
+ , com pó-
lo a− é { } 0Re >a . Como sabemos que 
aTez
z
as
A
−−↔+
A
, 
o pólo equivalente no domínio Z é aTe− . Como 
10Re <⇒> −aTea 
concluímos a seguinte condição de estabilidade no plano Z 
 
Condição de estabilidade no plano z: todos os pólos devem ter mó-
dulo menor do que a unidade, ou seja, pertencentes ao interior da 
circunferência unitária. 
 
 
 
 
Controle 2 – Aula 15T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
2 
Exercícios1. Determine a faixa de valores do período de amostragem T que fará com 
que o sistema mostrado na figura a seguir seja estável. 
 
 
 
 
2. Determine a faixa de valores do período de amostragem, T que fará 
com que o sistema da figura seguinte seja estável. 
 
 
s
e Ts−−1
 1
10
+s - 
+ 
Extrapolador 
Processo a 
controlar 
C(s) R(s) 
C(s) R(s) 
s
e Ts−−1
 5
20
+s - 
+ 
Processo a 
controlar Extrapolador 
Controle 2 – Aula 16T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004 
1 
Aula 16T - Exercícios 
Bibliografia 
ƒ NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 2002. Páginas 558-579. 
ƒ OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A.S. Signals & Systems. 2ª edição, Prentice Hall, 1997. Páginas 826-
832. 
 
1. Determine a faixa de valores do período de amostragem, T que fará com 
que o sistema da figura seguinte seja estável. 
 
 
 
 
 
 
2. Um controlador implementado num computador digital é modelado pela 
função de transferência pulsada: 
( ) ( )( ) ( )( )5,08,0
4
−−
−==
zz
z
zC
zRzG . 
Determine a resposta ao degrau deste sistema, ou seja, determine ( )kTr para 
( ) ( )kTukTc = , sendo T o intervalo de amostragem. 
 
3. Use transformada Z para resolver a equação de diferenças: 
( ) ( ) ( ) ( )kTuTkTyTkTykTy 222,09,0 =−+−− . 
 
4. Usando a expansão em frações parciais e a tabela dada, determine a trans-
formada Z para cada G(s) a seguir se 5,0=T s. 
( ) ( )( )1342 272 +++= ssssG 
C(s) R(s) 
s
e Ts−−1
 5
20
+s - 
+ 
Processo a 
controlar Extrapolador 
Universidade Presbiteriana Mackenzie
Curso de Engenharia Ele´trica
Controle II
Laborato´rio
Prof. Marcio Eisencraft
Segundo semestre de 2004
Controle 2 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft - julho 2004 
1 
 
Aula 1P - Exemplos da utilização do Matlab na área de controle 
Bibliografia 
ƒ DORF, R.C. Sistemas de Controle Moderno, 9ª edição, Prentice Hall, 2001. Páginas 632-644 
ƒ HAYKIN, S. S. Sinais e sistemas. 1ª edição, Bookman, 2000. Páginas 71-76. 
 
1. Introdução 
ƒ O Matlab é uma ferramenta muito útil no estudo de problemas e no desenvolvimento de 
projetos em Engenharia sendo utilizado em universidades e empresas ao redor do mun-
do. 
ƒ Na área de Engenharia Elétrica e, mais precisamente, na Engenharia de Controle vem 
adquirindo um caráter quase fundamental. 
ƒ O principal motivo deste sucesso é a utilização maciça de vetores e matrizes para repre-
sentar dados de uma forma simples (Matlab = Matrix Laboratory). Esta forma de repre-
sentação praticamente elimina a necessidade de utilização de laços FOR ou WHILE 
simplificando e acelerando muito os programas. 
ƒ A família de programas Matlab inclui o programa básico mais uma variedade de tool-
boxes que estendem as funcionalidades do programa. Para a área de controle o toolbox 
Control System Toolbox é bastante interessante. 
ƒ Uma sessão típica de utilização do programa utilizará sentenças e variáveis, matrizes, 
gráficos e scripts. Desta forma, nesta aula, veremos exemplos de cada um desses obje-
tos. 
ƒ Lembre-se: sempre que você ficar na dúvida sobre a utilização de um comando, a fun-
ção <help comando> pode lhe ajudar. 
 
2. Sentenças e variáveis 
ƒ O Matlab utiliza o sinal igual (“=”) para atribuir uma expressão a uma variável. Por 
exemplo, o comando: 
>> A = [1 2; 4 6] 
A = 
 1 2 
 4 6 
Controle 2 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft - julho 2004 
2 
 
atribui uma matriz 2x2 a uma variável de nome A. 
 
ƒ A matriz A é automaticamente mostrada na tela quando a sentença é executada. Se a 
sentença fosse seguida por um ponto-e-vírgula (;) a exibição seria suprimida. Apesar 
disso, a atribuição é feita da mesma forma. Toda vez que você não quiser ver o resulta-
do de uma sentença na tela, simplesmente adicione um ponto-e-vírgula (;) em seu final. 
>> A = [1 2; 4 6]; 
>> 
>> A = [1 2; 4 6] 
A = 
 1 2 
 4 6 
 
ƒ Sem maiores dificuldades o Matlab pode ser usado como uma calculadora científica, 
bastando digitar as operações na sua linha de comando. Veja os exemplos a seguir: 
>> 12.4/6.9 
ans = 
 
 1.79710144927536 
>> 1+1/3 
ans = 
 1.33333333333333 
>> a = 23; 
>> b = 10; 
>> a+b 
ans = 
 33 
>> a-b 
ans = 
 13 
>> sin(pi/2) 
ans = 
Controle 2 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft - julho 2004 
3 
 
 1 
 
ƒ É importante lembrar que o Matlab reconhece diferenças entre letras maiúsculas e mi-
núsculas. Assim, as variáveis M e m são diferentes. 
>> M = [1 2]; 
>> m = [3 5 7]; 
>> M 
M = 
 1 2 
>> m 
m = 
 3 5 7 
 
ƒ O Matlab possui algumas variáveis pré-definidas como pi, i, j, Inf, NaN. Veja 
os exemplos: 
>> z = 3+4*i 
z = 
 3 + 4i 
>> 2/0 
ans = 
 Inf 
>> 0/0 
Warning: Divide by zero. 
ans = 
 NaN 
 
ƒ Para ver as variáveis já criadas até aqui, utilize o comando who. 
>> who 
Your variables are: 
A M a ans b m z 
 
Controle 2 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft - julho 2004 
4 
 
ƒ Informações mais completas sobre as variáveis já definidas podem ser obtidas com o 
comando whos. 
>> whos 
 Name Size Bytes Class 
 A 2x2 32 double array 
 M 1x2 16 double array 
 a 1x1 8 double array 
 ans 1x1 8 double array 
 b 1x1 8 double array 
 m 1x3 24 double array 
 z 1x1 16 double array (complex) 
Grand total is 13 elements using 112 bytes 
 
ƒ Variáveis podem ser removidas do espaço de trabalho com o comando clear. Utiliza-
do sozinho, ele apaga todas as variáveis definidas. Para apagar somente a variável A uti-
lize 
>> clear A 
>> who 
Your variables are: 
M a ans b m z 
 
3. Matrizes 
ƒ Como já foi dito, o Matlab tem como principal característica a fácil manipulação de 
vetores e matrizes. 
ƒ Uma típica matriz é cercada de colchetes [.]. Os elementos das colunas são separados 
por espaços ou vírgulas e as linhas separadas por ponto-e-vírgulas (;) ou retorno de li-
nha (Enter). 
ƒ Suponha que desejamos entrar uma matriz A dada por 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
8,08,0cos8,0sin
3cos2sin1log
241
eaa
j
A ππ . 
Controle 2 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft - julho 2004 
5 
 
Uma forma de fazer isso é 
>> A = [1 -4*j sqrt(2); log(-1) sin(pi/2) cos(pi/3);asin(0.5) acos(0.8) exp(0.8)] 
A = 
 1.0000 0 - 4.0000i 1.4142 
 0 + 3.1416i 1.0000 0.5000 
 0.5236 0.6435 2.2255 
 
ƒ A matriz A pode ser redefinida a qualquer momento como em 
>> A = [1 2; 4 5] 
A = 
 1 2 
 4 5 
ƒ A operação entre matrizes requer apenas que as dimensões sejam compatíveis. Veja os 
exemplos a seguir 
>> A = [1 3; 5 9] 
A = 
 1 3 
 5 9 
>> B = [4 -7; 10 0] 
B = 
 4 -7 
 10 0 
>> A+B 
ans = 
 5 -4 
 15 9 
>> b = [1;5] 
b = 
 1 
 5 
>> A*b 
ans = 
Controle 2 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft - julho 2004 
6 
 
 16 
 50 
>> A' 
ans = 
 1 5 
 3 9 
 
ƒ As operações matriciais básicas podem ser modificadas para operações elemento a ele-
mento precedendo o operador por um ponto. Veja o seguinte exemplo: 
>> A = [5 3 7 9] 
A = 
 5 3 7 9 
>> B = [2 1 2 3] 
B = 
 2 1 2 3 
>> A*B 
??? Error using ==> * 
Inner matrix dimensions must agree. 
>> A.*B 
ans = 
 10 3 14 27 
>> A^2 
??? Error using ==>