Métodos Determinísticos AD1 QUESTÃO 2 2019 2 GABARITO

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 2 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2019-2
Questa˜o 2 (2,5 pontos) Considere as seguintes afirmac¸o˜es sobre os conjuntos na˜o vazios A, B, C
e D.
1) ∀x ∈ C, x ∈ B
2) ∃x ∈ A|x ∈ C
3) ∃x ∈ B|x /∈ A
4) ∃x ∈ A ∩B|x /∈ C
5) ∀x ∈ D, x /∈ A e x /∈ B.
(a) Diga se cada diagrama abaixo satisfaz a todas as afirmac¸o˜es acima. Caso na˜o satisfac¸a, diga
qual(is) afirmac¸a˜o(o˜es) na˜o seria(m) verdadeira(s).
i.
ii.
iii.
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iv.
(b) Esboce os conjuntos por meio de um diagrama de Venn. Caso haja mais de uma possibilidade,
esboce todas que encontrar. (Fac¸a de forma que dois conjuntos so´ se intersectem no diagrama
se puder ser garantido, pelas afirmac¸o˜es, que a intersec¸a˜o deles na˜o e´ vazia)
Soluc¸a˜o:
(a) i. O diagrama na˜o satisfaz a afirmac¸a˜o 4. Temos A ⊂ B, logo A ∩ B = A ⊂ C. Assim, e´
falso que existe x ∈ A ∩B tal que x /∈ C.
ii. O diagrama na˜o satisfaz a afirmac¸a˜o 1. A afirmac¸a˜o 1 implica que C ⊂ B, que na˜o e´ o que
ocorre neste diagrama.
iii. O diagrama na˜o cumpre a afirmac¸a˜o 4. Temos A∩B = C, logo e´ falso que existe x ∈ A∩B
tal que x /∈ C.
iv. Este diagrama cumpre com todas as afirmac¸o˜es.
(b) Apo´s esboc¸ar o conjunto B, e´ necessa´rio, pela afirmac¸a˜o 1, que C ⊂ B, logo poder´ıamos ter C
como esboc¸ado abaixo ou, talvez, C = B. Pore´m, a afirmac¸a˜o 4 diz que existe algum elemento
de B que na˜o seja elemento de C, o que exclui a possibilidade de C = B. Assim, teremos C
como abaixo:
Pela afirmac¸a˜o 2, conjunto A possui algum elemento xac na intersec¸a˜o com C, e, pela afirmac¸a˜o
4, ha´ algum elemento xab de A que esta´ em B mas na˜o em C. Ale´m disso, pela afirmac¸a˜o 3,
ha´ tambe´m algum elemento xb de B que na˜o esta´ em A. Esboc¸ando, temos algo como:
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Ou, esboc¸ando sem os elementos destacados:
Pela afirmac¸a˜o 4, o conjunto D na˜o intersecta A nem B, portanto deve ser abaixo:
Uma observac¸a˜o sobre o conjunto A:
As afirmac¸o˜es 2, 3 e 4, garantiram a existeˆncia dos elementos xb, xab e xac do esboc¸o abaixo.
A du´vida e´ se existem os elementos xa e xc. Nada nas afirmac¸o˜es garantem que existem nem
que na˜o existem.
O enunciado apenas pede para que na˜o sejam exibidas intersec¸o˜es que na˜o se pudesse garantir
que existissem, enta˜o na˜o precisamos nos preocupar com a existeˆncia ou na˜o destes elementos
xa e xc. Caso quise´ssemos levar isto em conta, ter´ıamos as quatro possibilidades abaixo:
• Existem xa e xc:
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• Existe xa e na˜o existe xc:
• Na˜o existe xa e existe xc:
• Na˜o existe xa nem xc:
Ao final, considerando o conjunto D, ter´ıamos
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Lembramos, pore´m, que esta discussa˜o na˜o vem ao caso dentro do que foi pedido no
enunciado, apenas achamos interessante avaliar as possibilidades!
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