Matemática - Expressões algébricas

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EXPRESSÕES ALGÉBRICAS: 
 
São todas as expressões que contém números e 
letras. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
Valor numérico de uma expressão algébrica: É 
o número que obtemos substituindo as variáveis 
por números e efetuamos as suas operações. 
 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLINÔMIOS: 
 
Qualquer adição algébrica de monômios denomina-se 
polinômio. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
• Monômio é um polinômio de um único termo; 
 
• Um polinômio cujos coeficientes são todos 
iguais a zero é denominado polinômio nulo; 
 
 
 
 
• O radical grego mono significa “um só”, 
enquanto poli significa muitos. 
 
Grau de um polinômio: O grau de um polinômio 
não-nulo é dado pelo seu termo de maior grau não-
nulo. 
 Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adição de polinômios: Para adicionar dois 
polinômios, devemos agrupar os termos semelhantes 
reduzindo-os a seguir. 
 Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
Subtração de polinômios: Para subtrair dois 
polinômios, devemos adicionar o primeiro ao oposto do 
segundo. 
 Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
 
 Jaboatão, ___ de ______________ de 2019. 
Aluno:_________________________________________________ 
 
Aluno(a): __________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
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Multiplicação de monômio por polinômio: Na 
multiplicação de um monômio por um polinômio, 
devemos utilizar a propriedade distributiva, 
multiplicando o monômio por cada termo do polinômio 
e adicionando, a seguir, os resultados. 
 Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicação de polinômio por polinômio: Na 
multiplicação de um polinômio por um polinômio, 
devemos multiplicar cada termo de um deles por todos 
os termos do outro e, a seguir, adicionar os resultados. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
• O grau do polinômio produto é igual à soma 
dos graus dos polinômios multiplicando e 
multiplicador; 
 
• Numa multiplicação de três polinômios, 
multiplicamos inicialmente dois polinômios 
quaisquer e, a seguir, o resultado obtido pelo 
terceiro 
 
Divisão de polinômios: 
 
1º Caso: Divisão de um polinômio por monômio 
 
O quociente de um polinômio por um monômio não-
nulo é obtido dividindo-se cada termo do polinômio 
pelo monômio. 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º caso: Divisão de polinômio por polinômio 
 
Efetuar a divisão de polinômios A(x) e B(x) é 
determinar dois polinômios Q(x) e R(x) tal que : 
 
 
A(x) B(x) 
 
 R(x) Q(x) 
 
 

 A(x) = B(x) Q(x) + R(x) ou 
)x(B
)x(R
)x(Q
)x(B
)x(A
+=
 
onde : A(x), B(x), Q(x) e R(x) são chamados de 
dividendo, divisor , quociente e resto, respectivamente. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
• Devemos sempre colocar os polinômios em 
ordem decrescente, em relação a uma 
variável, antes de iniciarmos a divisão; 
 
• O grau do dividendo, em relação a essa 
variável, deverá ser maior ou igual ao grau do 
divisor; 
 
• A divisão só estará terminada quando o resto 
for zero ou quando seu grau for menor que o 
grau do divisor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PRODUTOS NOTÁVEIS: 
 
Quadrado da soma de dois termos: É igual ao 
quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o 
produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do 
segundo termo. 
 
( ) 222 2 yxyxyx ++=+
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quadrado da diferença de dois termos: É igual 
ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o 
produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do 
segundo termo. 
 
( ) 222 2 yxyxyx +−=−
 
 
 Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Produto da soma pela diferença de dois 
termos: É igual ao quadrado do primeiro termo menos 
o quadrado do segundo termo. 
 
22)).(( yxyxyx −=−+ 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cubo da soma de dois termos: É igual ao cubo 
do primeiro termo, mais três vezes o quadrado do 
primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o 
primeiro termo pelo quadrado do segundo, mais o 
cubo do segundo. 
 
( ) 333 ²3²3 yxyyxxyx +++=+
 
 
 Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cubo da diferença de dois termos: É igual ao 
cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado 
do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o 
primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o 
cubo do segundo. 
 
( ) 333 ²3²3 yxyyxxyx −+−=−
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
Casos especiais de produtos notáveis: 
yzxzxyzyxzyx 222²)( 222 +++++=++ 
 
³³²)²).(( yxyxyxyx +=+−+ 
 
³³²)²).(( yxyxyxyx −=++− 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FATORAÇÃO: 
 
Fatorar um polinômio dado, quando possível, significa 
escrever esse polinômio como um produto de dois ou 
mais polinômios. 
 
Para fatorar um polinômio, devemos conhecer técnicas 
que se baseiam em multiplicações já conhecidas e 
estudadas. Veremos a seguir algumas dessas 
técnicas, de larga aplicação no cálculo algébrico. 
 
Fatoração pela colocação de um ator comum 
em evidência: Quando todos os termos de um 
polinômio possuem um fator comum, podemos colocá-
lo em evidência. A forma fatorada é o produto do fator 
comum pelo polinômio que se obtém dividindo-se cada 
termo do polinômio dado pelo fator comum. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fatoração por agrupamento: Numa fatoração por 
agrupamento, agrupamos os termos de tal modo que 
em cada agrupamento apareça um termo comum. 
Realizando fatorações simples sucessivas, realizamos 
a fatoração. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fatoração da diferença de dois quadrados: 
Para fatorar uma diferença entre dois quadrados, 
extrai-se a raiz de cada termo. A soma das raízes 
multiplicada pela diferença entre elas é a forma 
fatorada. 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fatoração do trinômio quadrado perfeito: Para 
fatorar um trinômio quadrado perfeito é necessário 
que: dois termos sejam quadrados perfeitos e o 
terceiro termo seja igual ao dobro das raízes obtidas 
anteriormente. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fatoração do trinômio do segundo grau: 
Expressão da forma x²+Sx+P, em que S e P são, 
respectivamente a soma e o produto de dois números 
a e b. Escrevemos: 
 
X²+Sx+P = (x+a) . (x+b) 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fatoração da soma ou da diferença de dois 
cubos: Os binômios do tipo a³+b³ e a³-b³ apresentam 
as seguintes fatorações: 
 
²)²).((³³ yxyxyxyx +−+=+ 
 
²)²).((³³ yxyxyxyx ++−=− 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercícios: 
 
1. SejaF
 a forma fatorada irredutível equivalente à 
expressão algébrica a seguir: 
 
2 2
2
x (x 1) (x 2) (x 2) (x 1) 1
x 1
 − + − − −  − −
−
 
 
a) Escreva 
F.
 
b) Calcule o valor numérico de 
F
 quando 
x 2.=
 
 
2.º) Luíza estava brincando com seu joguinho no 
celular, no qual uma serpente deve comer os insetos 
que aparecem na tela. No início do jogo, a serpente é 
formada por um retângulo de dimensões 
x mm
 por 
(5x 12) mm+
 e, a cada inseto que come, ela aumenta 
o seu tamanho em um quadrilátero de área 
210 mm .
 
Após comer 
8
 insetos, a serpente, totalmente 
esticada, representa um retângulo de área 
2112 mm .
 
 
As dimensões da serpente, em milímetros, no início do 
jogo são, respectivamente, iguais a: 
 
a) 
1,6
 e 
20,0.
 
b) 
2,0
 e 
22,0.
 
c) 
3,6
 e 
30,0.
 
d) 
4,0
 e 
32,0.
 
 
3.º) Considere a expressão 
 
5 4 2 3 3
3 3 2
x y 2x y x y
M .
x x y x y
+ +
=
+ +
 
 
Se 
x y 3+ = −
 e 
xy 4,=
 então o valor numérico de 
M
 
é: 
 
a) 
36.−
 
 
 
 
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b) 
3.−
 
c) 
24.
 
d) 
36.
 
 
4.º) Se 
2x x 3,= +
 a expressão 
3x x 3− −
 é igual a: 
 
a) 
2x 9−
 
b) 
x 6−
 
c) 2x 2x 1− + 
d) 
2x 6x 1+ −
 
e) 
2x 2x 3+ −
 
 
5.º) Considere 
x
 o resultado da operação 
2 2525 523 .−
 
 
Assinale a alternativa CORRETA, que representa a 
soma dos algarismos de 
x.
 
 
a) 
18
 
b) 
13
 
c) 
02
 
d) 
17
 
e) 
04
 
 
6.º) Dados 
A x y,= +
 
B x y= −
 e 
C x y,= 
 para 
x y,
 
x 0
 e 
y 0.
 Simplificando a expressão algébrica 
2 2A B
,
C
−
 obtém-se: 
 
 
 
a) 
0.
 
b) 
2y
.
x
 
c) 
4.
 
d) 
2x
.
y
−
 
e) 
2x
.
y
−
 
 
7.º) Para que o número 
64.800
 se torne um cubo 
perfeito, devemos: 
 
a) multiplicá-lo por 
30.
 
b) dividi-lo por 
60.
 
c) multiplicá-lo por 
90.
 
d) dividi-lo por 
150.
 
e) multiplicá-lo por 
18.
 
 
8.º) O valor numérico da expressão 
3 3
3 2 2
x y
x x y xy
−
+ +
 
para 
x 0,8=
 e 
y 0,3=
 é igual a: 
 
a) 
0,325
 
b) 
0,125
 
c) 
0,415
 
d) 
0,625
 
e) 
0,275
 
 
9.º) A soma de todas as frações da forma 
n
,
n 1+
 onde 
n
 é um elemento do conjunto 
{1, 2, 3, 4, 5},
 é 
 
a) 
4,55.
 
b) 
6,55.
 
c) 
5,55.
 
d) 
3,55.
 
 
10.º) Segundo a Organização Mundial de Saúde 
(OMS), o Índice de Massa Corporal (IMC) ideal para 
um indivíduo adulto deve estar entre 
18,5
 e 
25.
 Para 
o cálculo, usa-se a fórmula 
2
peso
IMC .
altura
=
 
 
De acordo com o exposto, o peso ideal para um adulto 
de 
1,70 m
 de altura deve estar entre: 
 
a) 
54 kg
 e 
65 kg
 
b) 
56 kg
 e 
70 kg
 
c) 
48 kg
 e 
67 kg
 
d) 
60 kg
 e 
75 kg
 
e) 
54 kg
 e 
72 kg
 
 
11.º) Maria e seu marido realizaram uma viagem ao 
Nordeste e, para maior comodidade, resolveram locar 
um carro. 
 
Observe duas opções que eles encontraram. 
 
1ª opção: Locadora Quatro Rodas: Taxa fixa de 
R$ 140,00
 mais 
R$ 1,40
 por quilômetro rodado; 
2ª opção: Locadora Superveloz: Taxa fixa de 
R$ 90,00
 mais 
R$ 1,50
 por quilômetro rodado; 
 
Inicialmente a empresa Superveloz oferece um plano 
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mais atrativo ao cliente, mas, a partir de certa 
quilometragem, o valor da empresa Quatro Rodas 
passa a ser mais barato. 
 
Determine a partir de quantos quilômetros passa a ser 
mais vantajoso locar o carro na empresa Quatro 
Rodas e assinale a alternativa correspondente: 
 
a) quando a distância for superior a 
80 km
 
b) quando a distância for superior a 
230 km
 
c) quando a distância for superior a 
27 km
 
d) quando a distância for superior a 
500 km
 
e) quando a distância for superior a 
2.300 km
 
 
12.º) Em certa página de um livro foi anotada uma 
senha. Para se descobrir qual é a página, dispõe-se da 
informação de que a soma dos quadrados dos três 
números correspondentes à página da senha, à página 
anterior e à página posterior é igual a um certo número 
k que será informado posteriormente. 
 
Denotando por 
n
 o número da página da senha, qual 
é a expressão que relaciona 
n
 e 
k?
 
 
a) 
23n 4n k 2− = −
 
b) 
23n 4n k 2+ = −
 
c) 
23n k 2= +
 
d) 
23n k 2= −
 
e) 
23n k=
 
 
13.º) Raquel imprimiu um número 
x
 de fotografias ao 
custo unitário de 
54
 centavos. Cada foto foi vendida 
ao preço de 
75
 centavos sobrando, no final do 
período de vendas, 
y
 fotografias sem vender, o que 
resultou em um prejuízo de 
12
 reais em relação ao 
custo total das impressões. 
 
a) Calcule quantas fotografias foram impressas, para o 
caso em que 
y 100.=
 
b) Determine a expressão de 
y
 em função de 
x
 para 
a situação descrita no enunciado. 
 
14.º) Considere uma folha de papel retangular com 
lados 
20 cm
 e 
16 cm.
 Após remover um quadrado de 
lado 
x cm
 de cada um dos cantos da folha, foram 
feitas 
4
 dobras para construir uma caixa (sem tampa) 
em forma de paralelepípedo reto-retângulo com altura 
x cm.
 As linhas tracejadas na figura indicam onde as 
dobras foram feitas. 
 
 
 
a) Expresse o volume da caixa em função de 
x.
 
b) Determine o conjunto dos valores de 
x
 para os 
quais o volume da caixa é maior ou igual a 
3384 cm .
 
 
15.º) Um estacionamento cobra 
R$ 15,00
 pela 
primeira meia hora e 
R$ 10,00
 por cada meia hora 
seguinte. 
 
O valor cobrado em reais por 
N
 horas, 
N
 inteiro, 
nesse estacionamento, é: 
 
a) 
20N 5.+
 
b) 
10N 5.+
 
c) 
10N 15.+
 
d) 
15N 10.+
 
e) 
30N 5.−
 
 
16.º) Efetuando-se 
2 2(2.341) (2.340) ,−
 obtém-se: 
 
a) 
6.489
 
b) 
1
 
c) 
4.681
 
d) 
2.681
 
e) 
8.689
 
 
17.º) Considere as seguintes afirmações: 
 
I. 2x 1 x 1
,
x 2 2
+ +
=
+
 para todo 
x .
 
II. 
2x 5 2(x 5),+ = +
 para todo 
x .
 
III. 
2 2(x 2) x 4x 4,− = − +
 para todo 
x .
 
 
Assim, é CORRETO afirmar que: 
a) somente a afirmação I está correta. 
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b) somente a afirmação II está correta. 
c) somente as afirmações I e II estão corretas. 
d) somente a afirmação III está correta. 
e) as três afirmações estão corretas. 
 
18.º) Se 
x y 2− =
 e 
2 2x y 8,+ =
 então 
3 3x y−
 é igual 
a 
 
a) 
12.
 
b) 
14.
 
c) 
16.
 
d) 
18.
 
e) 
20.
 
 
19.º) Quando resolvemos a expressão 
2 2(7.777) (2.223) ,−
 encontramos o seguinte 
resultado: 
 
a) 
05,554 10
 
b) 
25,554 10
 
c) 
45,554 10
 
d) 
75,554 10
 
e) 
85,55410
 
 
20.º) Determine o valor do produto 
2(3x 2y) ,+
 
sabendo que 
2 29x 4y 25+ =
 e 
xy 2.=
 
 
a) 
27.
 
b) 
31.
 
c) 
38.
 
d) 
49.
 
e) 
54.
 
21.º) O valor numérico da expressão 2
3
xy xy
E ,
x x
−
=
−
 
para 
x 4=
 e 
y 3,= −
 é 
a) 
1
5
−
 
b) 
2
5
 
c) 
3
5
−
 
d) 
4
5
 
 
22.º) Em uma atividade com sua turma, um professor 
utilizou 
64
 cartões, cada um com dois algarismos 
x
 e 
y,
 iguais ou distintos, pertencentes ao conjunto 
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
 A imagem abaixo representa um 
tipo desse cartão. 
 
 
 
Um aluno escolheu um único cartão e efetuou as 
seguintes operações em sequência: 
 
I. multiplicou um dos algarismos do cartão escolhido 
por 
5;
 
II. acrescentou 
3
 unidades ao produto obtido em I; 
III. multiplicou o total obtido em II por 
2;
 
IV. somou o consecutivo do outro algarismo do cartão 
ao resultado obtido em III. 
 
Ao final dessas operações, obteve-se no sistema 
decimal o número 
73.
 
 
O cartão que o aluno pegou contém os algarismos cuja 
soma 
x y+
 é: 
 
a) 
15
 
b) 
14
 
c) 
13
 
d) 
12
 
 
23.º) Chegando ao destino de uma mesma viagem, os 
turistas 
X
 e 
Y
 alugarão, cada um deles, um carro. 
Fizeram, previamente, cotações com as mesmas três 
locadoras de automóveis da região. Os valores dos 
aluguéis estão representados pelas expressões dadas 
no quadro, sendo 
K
 o número de quilômetros 
percorridos, e 
N
 o número de diárias pagas pelo 
aluguel. 
 
Empresa 
Valor cobrado, em real, 
pelo aluguel do carro 
I 
100 n 0,8 k+
 
II 
70 n 1,2 k+
 
III 
120 n 0,6 k+
 
 
O turista 
X
 alugará um carro em uma mesma 
locadora por três dias e percorrerá 
250 km.
 Já a 
pessoa 
Y
 usará o carro por apenas um dia e 
percorrerá 
120 km.
 
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14 
 
Com o intuito de economizarem com as locações dos 
carros, e mediante as informações, os turistas 
X
 e 
Y
 
alugarão os carros, respectivamente, nas empresas 
 
a) I e II. 
b) I e III. 
c) II e II. 
d) II e III. 
e) III e I. 
 
24.º) Se 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
(3 5 ) (3 5 )
M ,
(3 5 )
+ − −
=
 então o valor de 
M
 é 
 
a) 
15.
 
b) 
14.
 
c) 
2
.
15
 
d) 
4
.
225
 
 
25.º) Simplificando a expressão 
2
2 2
(x y) 4xy
,
x y
+ −
−
 com 
x y,
 obtém-se: 
 
a) 
2 4 xy−
 
b) 
x y
x y
−
+
 
c) 
2xy
x y+
 
d) 
2xy−
 
e) 
4xy
x y
−
−
 
 
26.º) O custo de uma corrida de táxi é constituído por 
um valor inicial 
0C
 (bandeirada), fixo, mais um valor 
que varia proporcionalmente à distância d percorrida 
nessa corrida (em quilômetros). Em Recife, por 
exemplo, os dados para o cálculo do valor a ser pago 
numa corrida são os seguintes: 
 
Tabela de Corrida de Táxi 
Bandeirada Comum: 
R$ 4,32
 
Especial: 
R$ 5,24
 
Quilômetro 
Rodado 
R$ 2,10
 
(bandeira 1) ou 
R$ 2,54
 
(bandeira 2 
R$ 2,55
 
(bandeira 1) ou 
R$ 3,05
 
(bandeira 2 
Outras taxas: 
Tempo parado 
R$ 14,87
 por 
hora 
R$ 14,87
 por 
hora 
Volume 
transportado 
R$ 0,22
 por 
volume 
R$ 0,22
 por 
volume 
Taxa de 
atendimento 
personalizado 
R$ 4,32
 
R$ 4,32
 
 
Ao sair do supermercado com 10 volumes de compras, 
Lucas pagou 
R$ 52,25
 por uma corrida comum, na 
bandeira 2, até sua residência. Se Ian, em 
atendimento personalizado, saiu de um hotel numa 
corrida especial na bandeira 2 e fez um percurso de 
6 km
 a mais que Lucas, quanto ele pagou pela 
corrida? 
a) 
R$ 70,25
 
b) 
R$ 77,52
 
c) 
R$ 78,44
 
d) 
R$ 82,76
 
e) 
R$ 85,40
 
 
27.º) O valor da expressão 
3 22x 20x 50x,− +
 para 
x 105,=
 é igual a: 
a) 
71,05 10
 
b) 
72,1 10
 
c) 
62,1 10
 
d) 
61,05 10
 
e) 
72,05 10
 
 
28.º) Uma garrafa PET (politereftalato de etileno) com 
sua tampa custa sessenta centavos. Sabendo que a 
garrafa custa cinquenta centavos a mais que a tampa, 
quanto custa só a tampa? 
 
a) 
R$ 0,05
 
b) 
R$ 0,15
 
c) 
R$ 0,25
 
d) 
R$ 0,35
 
 Prof. Gênesis Matemática e suas tecnologias 
 
 
 
 
 
15 
 
 
29.º) Uma fábrica produz e vende peças para as 
grandes montadoras de veículos. O custo da produção 
mensal dessas peças é dado através da função 
C 6000 14x,= +
 onde 
x
 é o número de peças 
produzidas por mês. Cada peça é vendida por 
R$ 54,00.
 Hoje, o lucro mensal dessa fábrica é de 
R$ 6.000,00.
 
 
Para triplicar esse lucro, a fábrica devera produzir e 
vender mensalmente: 
 
a) o triplo do que produz e vende. 
b) 
200
 unidades a mais do que produz e vende. 
c) 
50%
 a mais do que produz e vende. 
d) o dobro do que produz e vende. 
 
30.º) Na sequência de quadros a seguir, o valor da 
primeira célula de cada quadro é a soma dos valores 
das duas últimas células do quadro anterior. 
 
 
 
Se o número da célula central do último quadro dessa 
sequência é 
20132 ,
 quanto vale o produto dos 
números das duas outras células? 
a) 20132 1− 
b) 20132 1+ 
c) 2013 12 + 
d) 40262 1+ 
e) 40262 1− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anotações: